Постановка и решение нестационарных задач совместной фильтрации воды и пара с учетом тепловых эффектов и фазовых переходов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Афанасьев Андрей Александрович

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВОДЫ И ПАРА С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ ЭФФЕКТОВ И ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

Специальность 01 02 05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МО«— 1111!1Й1»|111||||Ц|||

003167265

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета и в лаборатории общей гидромеханики НИИ механики МГУ имени М В Ломоносова

Научные руководители

доктор физико-математических наук профессор А А Бармин доктор физико-математических наук член-корреспондент РАН, О Э Мельник

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Г Г Цыпкин

доктор технических наук профессор H M Дмитриев

Ведущая организация

Институт физики Земли

им О Ю Шмидта РАН, г Москва

Защита состоится 16 мая 2008 г в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 89 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119899, г Москва, Воробьевы горы, главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ имени M В Ломоносова

Автореферат разослан « i- i~» апреля 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 89,

доктор физико-математических наук

Осипцов

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы Геотермальные резервуары представляют собой нагретые до высоких температур насыщенные водой и паром пористые среды Подобные формации располагаются в областях активной вулканической деятельности, где имеется поток тепла из недр Земли к вмещающей воду и пар пористой среде

Возрастающие энергетические потребности требуют освоения альтернативных источников энергии Одним из решений этой проблемы является промышленная разработка геотермальных систем Для извлечения геотермальных ресурсов производится бурение добывающих скважин, вскрывающих пористые пласты, насыщенные перегретым сильно сжатым паром Под действием внутрипластового давления теплоноситель - пар поднимается на поверхность и используется для йолучения электроэнергии Если давления в системе не достаточно для извлечения необходимых объемов пара, то в дополнение к добывающим скважинам бурятся нагнетательные, через которые в нагретый резервуар закачивается холодная вода При течении воды от нагнетательных к добывающим скважинам она нагревается и испаряется, вследствие чего давление в геотермальном пласте поднимается до необходимых для разработки значений

Актуальность работы связана с необходимостью более детального анализа нелинейных эффектов в двухфазных фильтрационных течениях жидкости и ее пара, так как подобные течения реализуются в широком круге прикладных проблем добычи полезных ископаемых при разработке геотермальных резервуаров а также при тепловых методах разработки месторождений углеводородов

Цель работы

• Исследовать качественные особенности совместных неизотермических сопровождающихся процессами фазового перехода течений воды и пара в пористой среде Определить доминирующие механизмы их развития

• Исследовать эволюционность, структуру и устойчивость фронтов фазового перехода в фильтрационных течениях воды и пара

• Провести анализ решений классической задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте

• Реализовать эффективные алгоритмы численного моделирования фильтрационных течений воды и пара

Научная новизна

• Рассмотрены нелинейные эффекты в двухфазных течениях жидкости и ее пара в пористой среде с учетом процессов теплопроводности и фазовых переходов Задачи фильтрации рассмотрены с учетом как конвективного, так и кондуктивного переноса тепла Построены точные решения нелинейных задач

• Разрывные совместные фильтрационные течения воды и пара рассмотрены в рамках современной теории сильных разрывов Проведен анализ эволюционности и предложена модель структуры всех возможных в течениях воды и пара фазовых разрывов Показано что априорно эволюционные разрывы могут не иметь структуру (Априорно эволюционными называем разрывы, число уходящих малых возмущений от которых на единицу меньше числа заданных на^них условий) Модель фильтрации включает & себя уравнения для описания непрерывных течений и множество допустимых (имеющих структуру) разрывов, которое определено в диссертационной работе

• Из условия существования структуры сформулировано дополнительное к законам сохранения условие на разрыве (условие Жуге), которое необходимо для корректной постановки задач фильтрации воды и пара

• Предложена модель структуры межпластовых фазовых разрывов, то есть разрывов, образующихся на границе между проницаемыми пластами с разными свойствами Решена задача о взаимодействии фронтов испарения с межпластовыми разрывами

• Решена более общая по сравнению с рассмотренными ранее классическая задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте В отличие от случая газовой динамики, где соответствующая задача рассмотрена для уравнений гиперболического типа, в данной работе задача решена для уравнений, которые в разных областях имеют смешанный или параболический тип Выявлено сложное строение решений с немонотонным распределением параметров, каждое из которых содержит до четырех фронтов фазового перехода и качественно отличается от решений задачи в газовой динамике

• В явном виде получено достаточное условие неустойчивости фронтов фазового перехода в пористой среде При помощи прямого численного

моделирования рассмотрена нелинейная стадия развития неустойчивости фронтов между жидкостью и ее паром в пористой среде с учетом теплопроводности и фазовых переходов

Научная значимость

• Проведен анализ нелинейных процессов неизотермической двухфазной фильтрации жидкости и ее пара с учетом фазовых переходов, который может быть полезным при определении доминирующих механизмов и сценариев развития процессов в других задачах

• С позиций современных представлений о сильных разрывах исследовано множество допустимых в фильтрационных течениях воды и пара фазовых разрывов Это исследование будет полезным для корректной постановки задач фильтрации воды и пара

• Проведен анализ решений классической задачи о распаде произвольного разрыва для уравнений смешанного и параболического типа

• Помимо самостоятельного значения полученного в работе критерия неустойчивости фронтов фазового перехода также ценен метод его получения, который может использоваться при изучении устойчивости разрывов в течениях других сред, описываемых смешанными и параболическими системами уравнений

Практическая значимость состоит в том, что результаты работы, в том числе разработанные конечно-разностные методы расчета двухмерных течений воды и пара в пористой среде могут быть использованы при моделировании и оценки эффективности разработки геотермальных систем и тепловых методов разработки нефтяных месторождений Кроме того полученные результаты могут быть применены при моделировании извержений вулканов с учетом их взаимодействий с геотермальными системами

Достоверность результатов обусловлена использованием фундаментальных уравнений фильтрации многофазных сред, корректной, опирающейся на современные представления о сильных разрывах, постановкой задач, точным решением ряда модельных задач и значительным числом аналитических результатов работы, получением результатов, согласующихся в некоторых частных случаях с результатами других исследователей Достоверность численных решений поставленных задач обусловлена тщательной проверкой

корректности вычислений различными способами, совпадением результатов расчетов и аналитических решений для модельных задач

Апробация работы Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А Г Куликовского, проф А А Бармина, проф В П Кар-ликова, на конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (Москва, 2004-2007 гг), Всероссийской конференции "Задачи со свободными границами теория, эксперимент и приложение" (Бийск, 2005 г), XIII XV школах-семинарах "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи,

2005, 2007 гг), конференции " Ломоносовские чтения" (Москва, МГУ

2006, 2007 гг), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г), Всероссийской конференции "Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности" (Москва, 2007 г), на Генеральной Ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (Италия, Перуджа, 2007 г), международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" (Звенигород, 2008 г)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в семнадцати работах, в том числе в четырех статьях в журналах из списка ВАК

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы В работе содержится 30 рисунков, 1 таблица и 93 библиографические ссылки Общий объем работы составляет 154 страницы

2. Содержание работы Введение

Во введении описываются основные представления о течениях воды и пара в пористой среде, сопровождающихся испарением или конденсацией При течении воды в нагретой пористой среде могут присутствовать однофазные зоны фильтрации воды или пара и двухфазные зоны совместной фильтрации фаз - зоны пароводяной смеси Эти зоны разделены подвижными границами фазового раздела - фронтами фазового перехода Процессы испарения или конденсации могут иметь место только в зонах смеси и на разрывах

Приводится обзор литературы, касающейся проблем фильтрации воды и пара К настоящему времени имеется широкий круг работ, в которых построены приближенные решения ряда частных автомодельных задач Для упро-

щения их решения обычно пренебрегают конвективным или кондуктивным переносом тепла, по сути фильтрация рассматривается в линейном приближении с нелинейными соотношениями на разрывах Также имеющиеся работы содержат недостаток, касающийся постановки решаемых в них задач для корректной постановки дополнительное к законам сохранения условие на одном из входящих в решение разрыве выставлялось из эвристических соображений В настоящей работе проведен анализ эволюционное™ разрывов, из которого следует, что дополнительным условием будет известное условие Жуге В диссертационной работе фильтрация рассмотрена с учетом как конвективного, так и кондуктивного переноса тепла Построены точные решения нелинейных задач

В конце введения изложена структура диссертации и перечислены основные исследуемые вопросы

Первая глава

Первая глава посвящена формулировке математической модели фильтрации воды и пара Предполагается, что течения равновесны по отношению к внутренним процессам, температуры скелета породы и наполняющего его флюида совпадают Капиллярные эффекты не учитываются, поэтому в областях смеси давления в воде и в паре равны между собой Вода и пар рассматриваются как двухпараметрические среды, а давление и температура выбраны в качестве параметров, определяющих их термодинамическое состояние Считается, что вода чистая, без солевых примесей Фильтрационные течения являются медленными, ползущими, поэтому кинетическая энергия по сравнению с тепловой пренебрегается Пористый резервуар полагается несжимаемым, сила тяжести не учитывается

В разделах 1 1—1.4 сформулирована замкнутая модель совместной неизотермической фильтрации воды и пара Система основных уравнений состоит из законов сохранения массы, энергии (1) и закона фильтрации Дар-

си (2)

— + сЬУ (р№уш + р„у„) = О

(1)

— + ¿1У + - А—

дЬ

V,

КШдР

¿4, ОТ ' 7

г = V, ги

(2)

р(Р, Т, в) = твру, + ш( 1 - в)р„ + (1 - т)рь

ре(Р, Т, в) = тврпви, + т( 1 - 5)р„е„ + (1 - т)р8е3

Л(Р, Т, я) = гшА.«, + т(1 — я)Л„ + (1 — т) Аа Здесь Р - давление, Т - температура, в - водонасыщенность - объемное содержание воды в порах, р - плотность, V - скорость фильтрации, е - внутренняя энергия, Н - энтальпия, Л - коэффициент теплопроводности, К - проницаемость породы, то - пористость, р - вязкость Индекс V - соответствует параметрам в паре, го - в воде, 5 - в скелете породы

Согласно (2) скорость каждой фазы пропорциональна с отрицательным коэффициентом дР/дт Причем в двухфазных областях скорости воды и пара различны и зависят от количества воды в порах в Относительные фазовые проницаемости /(я) характеризуют взаимодействие пористой среды и жидкости на масштабах пор и зависят от структуры пор скелета Подставив (2) в (1) получим

(3)

дР , / дР\ Л дре , ( дР ,дТ\ п

/ г> гп \ IVI . К Jv

к(Р, Т, в) = ру,-+ ру-

/Аш Ми

<р{Р,Т, й) = Ры—^-К + р^^-Ку

Здесь -кдР/дг - поток массы (к > 0), —срдР/дг - конвективный поток тепла (<р > 0), —ХдТ/дт - кондуктивный поток тепла

Система (3) должна быть дополнена уравнениями состояния каждой из фаз. рг(Р, Т),ег(Р, Г),г = г^-ш, 5 и тд , соотношением, определяющим температуру термодинамического равновесия между водой и паром Т/(Р) и относительными фазовыми проницаемостями /г(з),г = у, т Для проводимых в диссертационной работе исследований конкретный вид уравнений состояния не существенен, поэтому полученные результаты могут быть использованы для описания фильтрационных течений других жидкостей и их паров

Уравнения (3) представляют систему двух уравнений относительно Р,Т и в В однофазных областях воды (3) замыкается условиями в = 1, Т < Т;{Р), в

областях пара - 5 = О, Т > Tf(P), в областях пароводяной смеси - Т = Т/(Р), О < з < 1

Вместо температуры Т в качестве одной из неизвестных величин в системе (3) удобно использовать перегрев Р — Т — Т}{Р) - разность между температурой и температурой кипения В воде Р < 0, в паре Р > 0, в смеси Р = О Второе уравнение (3) можно представить в виде

Эре л ( дР

Здесь х = <Р + АТ/, = (¡Т{/<1Р, —\dFfdr - часть кондуктивного потока тепла, которая соответствует неравновесному (Р ^ 0) распределению температуры - неравновесный кондуктивный поток тепла В зонах смеси —\dFfdг = 0 и в случае общего положения —ХдР/дг ^ 0 в зонах воды или пара

Для изучения свойств системы (3,4) в разделе 1.5 рассмотрены решения мало отклоняющиеся в точке г = 0, £ = 0 от другого решения этой системы -фона, на котором распространяются возмущения течения, удовлетворяющие линеаризованной системе уравнений Рассмотрены решения пропорциональные ехр г (кг — шЬ), со —> оо, к —> оо и получено дисперсионное уравнение на ш и к Показано что однофазная фильтрация воды и пара описывается параболической системой уравнений - дисперсионное уравнение имеет два корня

(5)

10! £

Система в областях пароводяной смеси вырождается помимо корня (5), соответствующего малым возмущениям параболического типа, также имеется корень (6), который соответствует малым возмущениям гиперболического типа

дн ф дР

и = ск, С = --—7^7-5- 6

дз р'8ре'8 дт Н = 'Ф = Р'*Х ~ ре'°К > °

Безразмерная функция Н - адиабата разрыва

В разделе 1.6 получено "коротковолновое приближение" системы (3,4), описывающее течения, характерный масштаб которых I —> 0 стремится к нулю пропорционально характерному времени течения £ —> 0, У£ ~ I Здесь V характерная скорость Приближение коротких волн используется при решении задач в третьей и шестой главах

2 — а, 1та = 0, а > 0 (5)

При i —► 0 время распространения волн р и Т, которые описываются уравнением диффузии, пропорционально I2, то есть на порядок меньше характерного времени поэтому распределения р и т квазистационарны В областях воды(пара) дисперсионное уравнение системы (3,4) имеет два эллиптических корня

к2 = 0 (7)

соответствующих квазистационарному распространению волн р и т В областях смеси в отличие от областей воды или пара имеется только один эллиптический корень (7) Это связано с тем, что в смеси р и т связаны условием термодинамического равновесия т = т[{р) и их волны распространяются совместно Также в смеси дисперсионное уравнение имеет корень (6)

В разделе 1.7 показано, что, если конвективный перенос тепла преобладает над кондуктивным

эр вт

» А*

то коротковолновое приближение уравнений совместной фильтрации воды и пара совпадает с классическими уравнениями Баклея-Леверетта, описывающими изотермическую фильтрацию несмешивающихся жидкостей В разделе 1 8 подведены выводы к первой главе

Содержание первой главы носит вводный характер и основывается на результатах А Г Куликовского, Г Г Цыпкина и более ранних работ Автором диссертационной работы предложено использовать в качестве одного из неизвестных параметров течения перегрев ^ Также автору принадлежит формулировка коротковолнового приближения системы (3,4)

Вторая глава

Во второй главе проведен анализ свойств всех возможных в фильтрационных течениях воды и пара подвижных фронтов фазового перехода Предполагается, что давление и температура непрерывны на разрыве, а рвутся только их градиенты и водонасыщенность На разрыве ^ = 0'

В разделе 2.1 рассмотрены условия на разрывах Проводя тождественные преобразования, законы сохранения массы и энергии на фронте можно представить в виде

т\¥ = - к 1' - , --(8)

+ 1 + С-/ 8+-а- v

дх ф \ дх) ' РыРК дх

Уравнение (8) определяет скорость разрыва Ж Можно показать, что (9) есть условие баланса той части тепла, которая может расходоваться на процессы фазового перехода на разрыве С? - безразмерный неравновесный кон-дуктивный поток тепла Условия (8,9) удобны, оказывается, что скорость разрыва смесь-смесь (С± = 0), также как и скорость ударной волны в газовой динамике, пропорциональна тангенсу угла наклона секущей к адиабате между состояниями перед и за разрывом

В разделе 2 2 получено соотношение, позволяющее определить направление и интенсивность процессов фазового перехода на разрыве

Предложенная А Г Куликовским структура внутреннего разрыва в смеси - фронта смесь-смесь в разделе 2 3 обобщена на случай разрывов между областями с разными свойствами - на случай фронтов смесь-вода(пар) и вода-пар Представим характер вырождения системы (3) в смеси как результат предельного перехода Т = Т/(Р) — £«, е —> 0, е > 0 Тогда в законе сохранения энергии в (3) появится дополнительный потоковый член ЛеЭй/Зг, который, как можно считать при интерпретации, отвечает переносу тепла из-за диффузии жидкости В случае одномерных течений система (3,4) примет вид

Эр д_ ( дР\ = 0 dt дх V дх

dt дх I * дх дх) дх \ £ дх

(10)

В связанной с разрывом системе координат рассмотрены стационарные решения (10) - структура разрыва и получено уравнение структуры

к ds

Хт£фЖ =

_ Г / H(s-) f H(s+) H(s.)\ s-s-\]

- ~ \H{s) - [ttg: + [itg; ~ itgiJ t^zjr

В разделах 2.4, 2 5, 2 6 проведено исследование эволюционности и свойств фронтов смесь-смесь, смесь-вода(пар) и вода-пар соответственно Показано, что, если адиабата разрыва H(s) выпукла вниз, то структуру имеют только априорно эволюционные разрывы смесь-смесь. При этом имеющие структуру разрывы будут фронтами испарения Структуру разрыва во-

да(пар) - смесь имеют только априорно эволюционные разрывы и фронты Жуге Априорно эволюционные разрывы между водой и паром могут не иметь структуру

В диссертационной работе впервые отмечено, что направление фазовых переходов на фронте, эволюционость разрыва и т д качественно зависят только от двух безразмерных параметров в± - в случае разрыва смесь-смесь - смесь-вода(пар), С± - вода-пар В плоскости этих параметров проведено исследование свойств фронтов

В разделе 2 7 подведены итоги ко второй главе

Третья глава

В третьей главе исследованы свойства межпластовых разрывов, то есть разрывов параметров течения, которые образуются на границе между пластами разной проницаемости Их скорость равна нулю а положение совпадает с положением межпластовой границы На межпластовых разрывах также как и на фронтах фазового перехода рвутся водонасыщенность и градиенты давления и температуры

Рассмотрена задача о взаимодействии подвижных фронтов фазового перехода с межпластовыми разрывами, постановка которой сформулирована в разделе 3.1

В разделе 3 2 рассмотрена эволюционность межпластовых разрывов, а также предложена модель их структуры

В разделе 3 3 в коротковолновом приближении предложен графический способ решения задачи о взаимодействии фронтов с межпластовыми разрывами Решение задачи зависит только от вида двух функций адиабат разрыва в каждом из пластов

В разделе 3.4 подведены итоги к третьей главе

Четвёртая глава

В четвертой главе в полной нелинейной постановке решена классическая задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте

Раздел 4.1 посвящен постановке задачи Пусть имеется однородный одномерный бесконечный пористый резервуар, в котором в начальный момент времени (I = 0) присутствует фазовый разрыв (х — 0), разделяющий две области (х < 0 и х > 0), насыщенных смесью воды и пара Распределения давления и водонасыщенности при £ = 0 в каждой области постоянны и равны и Р+, при х < 0 и х > 0 соответственно Начальный разрыв

в общем случае существовать не может и в процессе эволюции (при t > 0) распадется на систему распространяющихся в пласте фронтов Исследуется временная эволюция описанного распределения в зависимости от Р±, s±

Задача о распаде по постановке автомодельная и имеет решения, зависящие от а; и £ в виде комбинации

Здесь Хк — const - масштабный коэффициент Переходя в (3) к автомодельной переменной (11), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений Задача о распаде решалась методом пристрелки при помощи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (3,11)

В разделе 4.2 исследованы интегральные кривые системы (3,11), соответствующие зонам пароводяной смеси С учетом проведенного во второй главе анализа эволюционности разрывов показано, что, если в решении задачи присутствует внутренняя ограниченная разрывами зона смеси, то в случае общего положения один и только один из двух разрывов, ограничивающих эту область, будет фронтом Жуге, то есть будет двигаться с характеристической скоростью (W = С)

^Анализ свойств интегральных кривых показал, зчто непрерывное решение задачи о распаде произвольного разрыва существует в четырехмерном пространстве ее начальных параметров P±,s± на двумерном многообразии Таким образом в случае общего положения решение задачи разрывно

В разделе 4.3 представлено однофронтовое с разрывом смесь-смесь решение задачи (рис 1 I, давление П = Р/Ра отнесено к Ра = 105Па) Согласно (2) течение происходит из зоны х > 0 в зону х < 0 - в область низкого давления Важную роль в протекающих в пласте процессах играет скелет пористой породы, так как он занимает основной объем пространства (m 1) и, следовательно, большая часть тепловой энергии сосредоточена именно в скелете Так как температура при х > 0 падает, то внутренняя энергия пористой породы уменьшается Согласно закону сохранения энергии образуется отток тепла от породы часть тепла уносится кондуктивно, вследствие процессов теплопроводности, часть конвективно, в результате нагрева фильтрующегося флюида, но существенная часть уходит на испарение воды Таким образом, при х > 0 (£ > 0) в пласте имеет место испарение, которое наиболее интенсивно в областях с наибольшим оттоком тепла от скелета породы, то есть в зонах наибыстрейшего падения температуры при конечных х > 0 (£ > 0) Аналогично при конечных х < 0 (£ < 0) имеет место конденсация пара

Рис 1 Типы решения задачи Сплошная линия - распределение водонасыщен-ности - в, штриховая - давления - П Символами и и с отмечены фронты испарения и конденсации м - интенсивность процессов фазового перехода

(рис 1 I)

В представленном случае (рис 1 I), распределение водонасыщенности имеет минимум в окрестности начального положения разрыва (х — 0) и максимум на фронте Причем величина максимума больше начальных значений водонасыщенности в± в пласте Такой немонотонный вид распределения имеет следующее объяснение При конечных х > 0 имеет место испарение воды, которая движется в отрицательном направлении оси х (£) и, следовательно, с уменьшением х (£) водонасыщенность убывает Образующийся пар, как более подвижная, то есть менее вязкая фаза, инжектируется в область х < 0 При конечных х < 0 пар конденсируется, поэтому в области х < 0 количество воды увеличивается и с уменьшением х (£) водонасыщенность возрастает Максимум водонасыщенности на фронте образуется вследствие интенсивных процессов конденсации пара при х < 0

Однофронтовое решение задачи о распаде существует только для относительно малых начальных перепадов давления |П+ — П_| При фиксированных я-ь, с непрерывным увеличением |П+ — П_| интенсивность процессов фазового перехода в пласте увеличивается и по достижении некоторого значения испарение при х > 0 или конденсация при х < 0 протекает столь интенсивно, что образующийся в пласте пд,р или вода соответственно в некоторой области пористой среды полностью вытесняет воду или пар образуются однофазные зоны фильтрации пара или воды, отделенные от областей смеси фазовыми разрывами

В разделе 4 4 представлены возможные решения задачи (рис 1) I - однофронтовое решение, II - двухфронтовое с водяной пробкой, III - трехфрон-товое с разрывом смесь-смесь и паровой пробкой, IV - четырехфронтовое с областями воды и пара, V - двухфронтовое с паровой пробкой, VI - трехфрон-товое с разрывом вода-пар

В решениях III и IV присутствует внутренняя область пароводяной смеси, поэтому, согласно проведенному в разделе 4 2 анализу, один из ограничивающих ее разрывов будет фронтом Жуге В III,IV фронтом Жуге будет разрыв смесь-пар (случай фронта Жуге вода-смесь для рассмотренных параметров среды и пласта не реализовывался)

Рассмотрим распределения в решении IV (рис 1) в области £ < 0, которые соответствуют решению задачи об инжекции пара в полубесконечный (ж < 0), насыщенный пароводяной смесью пласт Температура закачиваемого пара больше начальной температуры смеси, однако перед областью пара внутрь резервуара распространяются области воды и пароводяной смеси Та-

ким образом, если в пласт закачивается горячий пар, то перед ним возможно образование области воды, отделенной от зоны пара областью смеси

В разделе 4 5 показано, что без условия существования структуры разрыва решение задачи о распаде произвольного разрыва неединственно Предложены начальные параметры задачи П±, для которых существуют ее решения как типа IV, так и VI В построенных решениях все разрывы априорно эволюционны, однако в VI разрыв вода-пар не имеет структуру Таким образом, нельзя провести отбор верных (эволюционных) решений, исходя только из требования априорной эволюциоиности фронтов Такой отбор возможно провести учитывая условие существования структуры разрывов

С учетом условия существования структуры разрывов решение задачи существует и единственно

В разделе 4.6 представлены решения задачи о распаде произвольного разрыва смесь-пар Построено точное решение задачи с разрывом, на котором давление имеет максимум

В разделе 4 7 подведены итоги к четвертой главе

Пятая глава

В пятой главе описана конечно-разностная схема, применявшаяся для численного решения задач, представленных в шестой главе

В разделе 5 1 методом конечных объемов получена разностная схема расчета течений воды и пара Схема полностью неявная, консервативная с разностями против потоков Показано, что расчетная схема имеет первый порядок аппроксимации по временной и пространственной переменной

В разделе 5 2 описана и схематически изображена структура расчетного кода, в котором была реализована разностная схема Достоинство кода состоит в том, что в расчете не нужно специальным образом отслеживать положение разрывов Разрывы автоматически выделяются в вычислениях

В разделе 5 3 описано тестирование разностной схемы Проводилось сравнение точных решений задачи о распаде произвольного разрыва с ее численными решениями Показано, что при сгущении расчетной сетки численное решение задачи сходится к ее точному решению Применялся следующий тест, показывающий, что в расчетах разрывы без структуры не реализуются В тестовом расчете за начальные распределения Р, Т, з выбирались их распределения в момент времени { ^ 0 в неэволюционном решении VI (рис 1), когда разрыв вода-пар не имеет структуру, а эволюционное решение имеет

тип IV В расчете не имеющий структуру фронт вода-пар распадается на два

<

разрыва вода-смесь и смесь-пар, а распределение параметров в пласте при I —> оо стремится к их распределению в решении IV В разделе 5 4 подведены выводы к пятой главе

Шестая глава

Шестая глава посвящена исследованию гидродинамической устойчивости подвижных фронтов фазового перехода

В разделе 6 1 в приближении коротких волн проведен линейный анализ устойчивости разрывов между водой и паром в пористой среде Анализ устойчивости проведен для имеющих структуру разрывов, то есть для тех разрывов, от которых, согласно проведенному во второй главе исследованию, не уходят малые возмущения (6) Так как в неустойчивой ситуации источником возмущений должен быть сам фронт, то возмущенное течение слева и справа от разрыва состоит из уходящих от него волн (7), в которых к2 = 0 Можно показать, что в уходящих волнах отсутствуют возмущения в, что в совокупности с условием (7) существенно упрощает анализ устойчивости Получено достаточное условие неустойчивости разрыва

[Н]ф- -ф+П 1 ( Н+С+ ] П

' И V- + Ф+ т + И \ 1 + С+ + 1 + / т

+ ТТТ^ > 0 (!2)

Несмотря на то, что формулировка критерия (12) сложна, само условие неустойчивости имеет простую интерпретацию, предложенную в разделах 6 2, 6 3

В разделе 6.2 условие (12) рассмотрено для разрыва смесь-смесь (С± = 0), когда в (12) второе слагаемое обращается в ноль В этом случае (12) можно представить в виде

ох

дР \ дР

+ дх _) дх

> 0 (13)

Согласно (13) разрыв смесь-смесь неустойчив, когда за разрывом модуль градиента давления меньше, чем перед ним Условие неустойчивости (13) и критерий при классической неустойчивости Саффмана-Тейлора имеют одну и туже интерпретацию Действительно, в классическом случае, когда происходит вытеснение одной жидкости другою, несмешивающейся с первой, фронт вытеснения неустойчив, если вытесняющая жидкость имеет меньшую вязкость, чем вытесняемая Следовательно, так как скорости жидкостей совпадают, то согласно закону Дарси в неустойчивом случае модуль градиента

давления за разрывом меньше, чем перед ним Отличие от классической ситуации состоит в том, что разрыв смесь-смесь может распространяться против потока (при —[#]/[«] < 0), и поэтому может быть неустойчивым, когда вытесняющая смесь менее подвижна, чем вытесняемая Таким образом, при (13) на фронте смесь-смесь имеется дестабилизирующий скачок градиента давления, который, по аналогии с классическим случаем, соответствует неустойчивому вытеснению смеси другою более подвижной смесью

В разделе 6 3 критерий (12) рассмотрен для разрывов смесь-вода(пар) и вода-пар Пусть однофазная область воды или пара находится справа от разрыва Зафиксируем параметры слева от него, тогда О,, а также первое слагаемое в (12) фиксированы Будем увеличивать по абсолютной величине неравновесный кондуктивный поток тепла | Х+дР/дх\+\, тогда оказывается что второе слагаемое в (12), а, следовательно, и левая часть (12) - показатель роста возмущений будут убывать Таким образом, неравновесные кон-дуктивные потоки тепла со стороны однофазных областей воды или пара способствуют стабилизации поверхности раздела фаз

В разделе 6 4 в двумерной постановке рассмотрена задача об инжекции пароводяной смеси в насыщенный смесью резервуар (Ьх х Ьу) с однородным распределением начальных параметров Р+, Т+, (рис 2) На границах резервуара у = 0, у = Ьу, х = Ьх заданы условия непротекания и теплоизолированной стенки

дР п дТ —п = 0, — п = 0 от от

Здесь п нормаль к границе резервуара На четвертой границе х = 0 в момент времени t = 0 Р, Т, э скачком изменяются и удерживаются, причем давление возрастает - происходит инжекция смеси в резервуар

Проведено сравнение численных решений задачи об инжекции в двумерной постановке с ее точными решениями в соответствующей одномерной автомодельной постановке На рис 2 а {[Ь3\ = м, ] — х, у) изображено одно-фронтовое решение задачи, когда внутрь резервуара распространяется только разрыв смесь-смесь, согласно (13), неустойчивый в одномерной постановке В двухмерном решении поверхность разрыва не плоская образуются пальцы с высоким содержанием воды, проникающие в область перед разрывом Развивается область перемешивания, в которой поверхность разрыва случайным образом сильно искривлена и решение задачи двумерно Скорость распространения области совпадает со скоростью фронта в автомодельном решении В области перемешивания распределение в отлично от £(2;) - осреднен-ной вдоль оси у водонасыщенности, вне области решение задачи одномерно

Рис. 2. Распределение р, 5 и автомодельном решении (линии 1, 2), распределение 3(з;) (линия 3). Линии уровня - распределение з в двумерном решении. Прямые 4, 5 - передний и задний фронт перемешивания соответственно, 6 -задний фронт смесь-вода.

5 = «(а;) и совпадает с автомодельным решением Если параметры инжекции таковы, что выполнено обратное неравенство (13), соответствующее устойчивому фронту смесь-смесь, то в двумерной постановке при рассмотренных параметрах задачи поверхность разрыва остается плоской

В расчетах начальное распределение водонасыщенности случайным образом возмущалось я — + ¿в, |<5з| <С 1, 6з(х, у) - случайная величина В неустойчивом случае распределения в области перемешивания и положение поверхности разрыва разные при разных 5з, однако протяженность области и характерная толщина пальцев не зависят от 5в и являются инвариантными характеристиками течения

Проведено сравнение двумерных решений задач, когда инжекция происходит в резервуары разной ширины Ьу Выявлено, что на начальном этапе развития неустойчивости, при относительно малых толщина пальцев и протяженность зоны перемешивания - расстояние между передним и задним фронтом перемешивания с течением времени растут по автомодельному закону - пропорционально лД (см (11)) На поздних этапах эволюции, когда на процесс укрупнения пальцев влияют непроницаемые боковые стенки резервуара у — 0 и у = Ьу масштаб зоны перемешивания растет уже не автомодельным образом

При интенсивной инжекции смеси в пласт возможно образование внутренней области воды, распространяющейся внутрь резервуара (рис 2 б) Возможны случаи, когда передний фронт вода-смесь, согласно (12), неустойчив, вследствие чего развивается зона перемешивания, которая не дестабилизирует задний устойчивый, согласно (12), разрыв смесь-вода Поверхность фронта остается плоской, однако его скорость выше, чем скорость соответствующего разрыва в автомодельном решении Последнее объясняется тем, что волны р в однофазной зоне воды из-за ее слабой сжимаемости распространяются существенно быстрее, чем в смеси Следовательно, из-за искривления поверхности разрыва изменение р на переднем фронте приведет к мгновенному перераспределению давления во всей области воды и, в частности, к изменению его градиента на заднем разрыве, из-за чего скорость последнего возрастет В разделе 6.5 подведены итоги к шестой главе

Заключение

В заключении подведены итоги работы и сформулированы ее основные результаты

3. Основные результаты и выводы

Рассмотрены нестационарные одномерные и двумерные фильтрационные течения жидкости и ее пара с учетом процессов теплопроводности и фазового перехода

Течения воды и пара в геотермальном пласте рассмотрены в рамках современной теории сильных разрывов Исследована структура всех возможных в фильтрационных течениях воды и пара фазовых разрывов, а модель фильтрации дополнена допустимыми, имеющими структуру разрывами Обнаружено, что априорно эволюционные разрывы могут не иметь структуру Предложены переменные, которые удобны при исследовании свойств разрывов

Впервые рассмотрены свойства фазовых разрывов, которые образуются на границе между пластами разной проницаемости

Решена классическая задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте Качественное отличие уравнений неизотермической фильтрации воды и пара от уравнений газовой динамики обуславливает сложное строение решений задачи с немонотонными распределениями параметров течения между разрывами Дана интерпретация решений задачи, показывающая существенное влияние скелета вмещающей жидкость породы на динамику течения Решения задачи о распаде использовались для тестирования конечно-разностных методов расчета течений

В явном виде получено достаточное условие неустойчивости фронтов фазового перехода в пористой среде и дана его интерпретация Впервые рассмотрена нелинейная стадия развития неустойчивости фронтов между жидкостью и ее паром в пористой среде с учетом теплопроводности и фазовых переходов Показано, что в автомодельной задаче об инжекции пароводяной смеси в насыщенный смесью резервуар характерный масштаб образующейся при развитии неустойчивости зоны перемешивания растет по автомодельному закону и на начальном этапе развития не зависит от размеров резервуара, в который происходит инжекция

Выявлено, что при инжекции перегретого пара в насыщенный пароводяной смесью резервуар с меньшей температурой перед паром возможно образование внутренней области воды, отделенной от зоны пара промежуточной областью смеси При этом внутрь пласта будут распространяться два разрыва смесь-вода, ограничивающие область воды Возможны случаи когда передний фронт неустойчив, в результате чего развивается область перемешивания, которая, однако, не дестабилизирует задний разрыв

Публикации по теме диссертации

1 Афанасьев А А Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте//Труды конф-конк мол уч 2004 г М Изд-во МГУ 2004 С 30-38

2 Афанасьев А А , Бармин А А Постановка и решение автомодельных задач фильтрации пара, воды с учетом фазовых переходов Тезисы докладов, Всеросс Конф "Задачи со свободными границами теория эксперимент и приложение" Бийск Новосибирск Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН 2005 С 9-10

3 Афанасьев А А Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте Тезисы докладов, XIII школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики" М Изд-во МГУ 2005 С 12

4 Афанасьев А А Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте// Труды конф -конк мол уч 2005 г М Изд-во МГУ 2006 С 33-40

5 Афанасьев А А , Бармин А А Автомодельные задачи в течениях пароводяных смесей в пористой среде Тезисы конф "Ломоносовские чтения", МГУ 2006 г М Изд-во МГУ С 22

6 Афанасьев А А , Бармин А А О фазовых разрывах в фильтрационных течениях воды// Изв РАН МЖГ 2006 №4 С 100-111

7 Афанасьев А А Нестационарные одномерные фильтрационные течения воды с учетом теплопроводности и фазовых переходов Тезисы докладов, IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, Изд-во Нижегородского Ун-та, 2006 Том 1 С 128

8 Афанасьев А А О фильтрационных течениях воды и пара с учетом процессов теплопроводности и фазовых переходов Труды конф -конк мол уч 2006 г М Изд-во МГУ 2007 С 31-38

9 Афанасьев А А , Бармин А А , Мельник О Э Неизотермические фильтрационные течения воды с учетом фазовых переходов Тезисы докладов, Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности (теоретические и прикладные аспекты), Москва ГЕОС, 2007 С 20-21

10 Афанасьев А А , Вармин А А , Мельник О Э О гофрировочной устойчивости фронтов испарения в пористых средах Тезисы конф "Ломоносовские чтения", МГУ 2007 М Изд-во МГУ С 28-29

11 Afanastev А , Ba,rrriin А , Melnik О Nonisothermal water and vapor filtration flows m superheated porous media International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) XXIV General Assembly, Perugia, Italy, 2007 CD-paper

12 Афанасьев A A , Бармин А А Нестационарные одномерные фильтрационные течения воды и пара с учетом фазовых переходов// Изв РАН МЖГ 2007 №4 С 134-143

13 Афанасьев А А , Бармин А А , Мельник О Э Гидродинамическая устойчивость фронтов фазового перехода в пористых средах Тезисы докладов, XV школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики" М Изд-во МГУ 2007 С 15

14 Афанасьев А А Об устойчивости фронтов фазового перехода в гравитационных течениях воды в пористой среде Труды конф -конк мол уч 2007 г М Изд-во МГУ В печати

15 Афанасьев А А , Бармин А А , Мельник О Э О гидродинамической устойчивости фронтов испарения в пористых средах//Изв РАН МЖГ 2007 №5 С 106-117

16 Афанасьев А А Гидродинамическая устойчивость фронтов фазового перехода в фильтрационных течениях воды и пара Тезисы докладов, Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность, Звенигород, Изд-во МГУ 2008 В печати

17 Афанасьев А А О взаимодействии фронтов испарения с межпластовой границей в пористой среде//Изв РАН МЖГ 2008 №3 С 94-103

Введение

1. Математическая модель фильтрации воды и пара

1.1. Основные уравнения и предположения

1.2. Об относительных фазовых проницаемостях воды и пара

1.3. Уравнения состояния воды и скелета пористой среды.

1.4. Замкнутая система уравнений

1.5. О свойствах системы законов сохранения.

1.6. Приближение коротких волн.

1.7. Система законов сохранения в высокопроницаемом пласте

1.8. Резюме.

2. О фазовых разрывах в фильтрационных течениях воды

2.1. О законах сохранения на фазовых разрывах.

2.2. О процессах фазового перехода на разрывах.

2.3. О структуре фронта фазового разрыва.

2.4. Разрывы внутри пароводяной смеси.

2.5. Разрывы между пароводяной смесью и водой(паром).

2.6. Разрывы между водой и паром.

2.7. Резюме.

3. О взаимодействии фронтов испарения с межпластовой границей

3.1. Постановка задачи.

3.2. Эволюционность межпластовых разрывов.

3.3. Задача о распаде произвольного разрыва (коротковолновая постановка)

3.4. Резюме.

4. Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте

4.1. Постановка задачи.

4.2. Об уравнениях в пароводяной смеси.

4.3. Однофронтовое решение задачи

4.4. Многофронтовые решения задачи.

4.5. О существовании и единственности решения задачи.

4.6. О некоторых свойствах течений воды и пара.

4.7. Резюме.

5. Конечно-разностный метод расчёта течений воды и пара

5.1. Конечно-разностная схема.

5.2. Структура расчётного кода.

5.3. Тестирование разностной схемы

5.4. Резюме.

6. Устойчивость фронтов испарения в пористой среде

6.1. Критерий гидродинамической неустойчивости.

6.2. Об устойчивости разрыва смесь-смесь.

6.3. Об устойчивости разрывов вода-пар и вода(пар)-смесь

6.4. Задача об инжекции.

6.5. Резюме.

Геотермальные системы представляют собой нагретые, насыщенные водой и паром пористые среды. Подобные формации, протяжённость которых может достигать нескольких километров, встречаются в районах активной вулканической деятельности, где имеется интенсивный подток тепла из недр Земли к её поверхности. Подогрев насыщающей геотермальный резервуар жидкости приводит к появлению фильтрационных течений воды и пара, сопровождающихся процессами фазового перехода. При этом могут образовываться естественные циркуляционные системы, в которых в одних зонах перегретый пар течёт к поверхности Земли, где он охлаждается и конденсируется, а в других зонах уже охлаждённая вода просачивается вглубь геотермальной системы [1-3]. Таким образом, поток тепла из недр к поверхности осуществляется не только из-за теплопроводности, но зачастую в большей степени конвективно, из-за подъёма горячего пара. Наблюдаемые следствия подобных процессов термальные источники и гейзеры. На динамику процессов в геотермальных системах могут влиять близко расположенные действующие вулканы. При извержении вулкана давление в его канале падает, а температура возрастает, из-за чего появляется поток тепла от канала к окружающей его пористой среде. В результате насыщающая геотермальный коллектор вода испаряется, а образующийся пар инжектируется в канал вулкана появляется обратный эффект ответного воздействия геотермальной системы на вулкан. Подобная инжекция пара может привести к существенному увеличению расхода извергающейся магмы [4] и, следовательно, к катастрофическим последствиям. Возрастающие энергетические потребности требуют освоения альтернативных источников энергии. Одним из решений этой проблемы является проВведение мышленная разработка геотермальных систем. Для извлечения геотермальных ресурсов производится бурение добывающих скважин, вскрывающих пористые пласты, насыщенные перегретым сильно сжатым паром. Под действием внутрипластового давления теплоноситель пар поднимается на поверхность и пропускается через турбины для получения электроэнергии [2,3]. Если давления в системе не достаточно для извлечения необходимых объёмов пара, то в дополнение к добывающим скважинам бурятся нагнетательные, через которые в нагретый резервуар закачивается холодная вода [5]. В подобном вынужденном течении воды от нагнетательных к добывающим скважинам она нагревается и испаряется, вследствие чего давление в геотермальном пласте поднимается до необходимых для разработки значений. При разработке систем на поверхность можно выкачивать жидкий теплоноситель воду, содержащую примеси полезных солей, которые вымываются при течении воды в пористой среде. Таким образом, геотермальные системы эксплуатируются и с целью добычи присутствующих в них полезных минералов и солей. Помимо производства электроэнергии и добычи полезных ископаемых геотермальные системы используются для обогрева жилых домов, когда горячая вода из добывающих скважин поступает непосредственно в систему отопления здания. Схожие с отмеченными выше процессы имеют место при разработке нефтяных месторождений, когда для увеличения нефтеотдачи углеводородную фазу вытесняют паром [6,7]. Эффективность этого метода разработки связана с тем, что в процессе вытеснения пар отдаёт тепло нефти из-за чего её вязкость уменьшается и вытеснение становится более полным. При этом в пласте, вследствие конденсации пара, образуется вода и вытеснение нефти происходит не паром, а более вязкой водой, что также способствует более Введение устойчивому вытеснению [8]. Схожие неизотермические процессы с фазовыми переходами имеют место и при разработке месторождений гидрата метана [9-13] и в задачах геокриологии [14-17]. Протекающие в недрах, например, в геотермальной системе, процессы не наблюдаемы: очень скудную, косвенную информацию о них можно получить рассматривая явления на поверхности Земли. Таким образом, проводимое в данной работе, опирающееся на фундаментальные законы сохранения математическое моделирование течений в геотермальных системах особенно актуально и по сути является единственным средством прогнозирования их развития. Основная цель работы состоит в том, чтобы исследовать качественные особенности совместных неизотермических сопровождающихся процессами фазового перехода течений воды и пара в пористой среде и определить доминирующие механизмы их развития, а также реализовать эффективные алгоритмы численного моделирования фильтрационных течений воды и пара. Задачи, связанные с прогнозированием и моделированием эволюции геотермальных систем, можно формально разбить на две группы. В первую группу относят проблемы построения модели геотермального резервуара [2,3], то есть проблемы определения его размеров, строения, измерения физических свойств проницаемых пород и состава насыщающих их жидкости, а также проблемы выявления доминирующих процессов и механизмов, осуществляющих подток тепла и вещества к системе. Ко второй группе относят проблемы математического моделирования и расчёта динамики геотермальных систем, например, фильтрационных течений воды и пара. Обе группы задач взаимосвязаны, так как расчёт динамики геотермальных систем невозможно провести без оценки размеров системы и физических Введение свойств породы, из которых она сложена. С другой стороны оценка параметров системы, её размеров и свойств, зачастую проводятся на базе экспериментальных данных при помощи решения обратных математических задач. Обычно на практике и представления о строении резервуара, и математическая модель совершенствуются в процессе разработки системы с учётом анализа полевых наблюдений [2,3]. Предлагаемая работа в первую очередь ориентирована на решение проблем корректного моделирования течений воды и пара и создание эффективных алгоритмов их расчёта. При математическом моделировании динамики геотермальных систем широко используются известные уравнения переноса в пористых средах [18,19], вывод, формулировку и обсуждение которых применительно к совместным течениям воды и пара можно найти, например, в [2,20-22]. Основная система уравнений состоит из законов сохранения массы, энергии и закона фильтрации Дарси. Имеются сопоставления результатов натурных наблюдений и расчётов течений воды и пара позволившие сделать вывод о приемлемости используемой модели [2,3,5,23]. Схожие к этой модели широко применяются при описании многофазных течений, которые имеют место при разработке углеводородных месторождений [6-8,11,12,19,24-26]. При моделировании течений воды и пара применяются два подхода. В первом, который также используется и в данной работе, основные уравнения сформулированы в терминах давления и температуры [22,27], а во втором в терминах давления и энтальпии [20,21]. Второй подход, по сравнению с первым, имеет как недостатки, например, связанные с тем, что неудобно задавать граничные условия в терминах энтальпии, но также имеет и преимущества, например, при моделировании течений воды и пара вблизи критических температур [28], где плотность и энтальпия воды и пара быстро меняются в Введение зависимости от температуры. При течении воды в геотермальном пласте могут присутствовать зоны фильтрации воды, пара и области конечной протяжённости совместной фильтрации воды и пара зоны пароводяной смеси [2,3,22,29,30]. В зонах смеси происходит постепенное превращение жидкости в пар или, наоборот, пара в жидкость. Области воды, пара и смеси

Заключение

Проведено исследование процессов совместной неизотермической фильтрации жидкости и её пара с учётом фазовых переходов. Новизна работы состоит в том, что рассмотрены нелинейные эффекты в двухфазных течениях пароводяной смеси в пористой среде. Задачи фильтрации рассмотрены с учётом как конвективного, так и кондуктивного переноса тепла. Построены точные решения нелинейных задач.

Основное внимание в работе уделено исследованию фронтов фазового перехода и разрывных решений задач фильтрации воды и пара в рамках современных представлений о сильных разрывах. Проведённый анализ эволюцион-ности разрывов позволил однозначно решить вопросы, касающиеся постановки задач фильтрации воды и пара. Решена классическая одномерная задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте для уравнений смешанного и параболического типа, которыми описываются рассматриваемые процессы.

Исследование эволюционности разрывов также способствовало существенному упрощению анализа их гидродинамической устойчивости. Критерий неустойчивости разрывов сформулирован в явном виде.

Получены следующие новые результаты

1. Показано, что, если конвективные потоки тепла преобладают над кон-дуктивными, то в приближении коротких волн уравнения фильтрации воды и пара сводятся к классическим уравнениям Баклея-Леверетта.

2. Исследованы все возможные типы разрывов между областями фильтрации воды, пара и пароводяной смеси. Предложены безразмерные переменные, которые удобны при исследовании свойств разрывов. Свойства разрывов качественно зависят только от двух параметров, в плоскости которых проведён анализ свойств фронтов. Если адиабата разрыва выпукла вниз, то внутри пароводяной смеси априорно эволюционны только фронты испарения. В предположении слабой неравновесности и стационарности структуру разрыва смесь-смесь имеют только априорно эволюционные фронты. Структуру разрыва вода(пар) - смесь имеют только априорно эволюционные разрывы и фронты Жуге. Априорно эволюционные разрывы между водой и паром могут не иметь структуру

3. Дополнительное к законам сохранения условие Жуге на разрыве смесь-вода(пар), которое необходимо для корректной постановки задач с отмеченным фронтом, сформулировано из условия существования структуры разрыва.

4. Исследованы свойства межпластовых разрывов, то есть разрывов, образующихся на границе между пластами с разными свойствами. Для монотонно возрастающих адиабат разрыва все межпластовые разрывы смесь-смесь априорно эволюционны и имеют структуру. Если распределение параметров со стороны однофазных зон воды и пара термодинамически непротиворечиво, то межпластовые разрывы смесь-вода(пар) и вода-пар имеют структуру. Неэволюционные, но имеющие структуру разрывы представляют эволюционные слившиеся межпластовый разрыв и фронт фазового перехода, которые при действии малых возмущений приобретают различные скорости и первоначальный разрыв распадается.

5. В коротковолновом приближении предложен способ графического решения задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном резервуаре, состоящем из двух пластов с разными свойствами. Решение задачи зависит только от вида двух функций: адиабат разрыва в каждом из пластов. Задача решена в частном случае, когда в пласте могут присутствовать только зоны смеси и воды. Если поток смеси с высоким содержанием воды набегает на низкопроницаемый насыщенный смесью пласт, то на межпластовой границе может образоваться расширяющаяся с течением времени зона воды.

6. В полной нелинейной постановке решена классическая одномерная задача о распаде произвольного разрыва смесь-смесь в геотермальном пласте. Показано, что в случае общего положения решение задачи содержит разрывы, а непрерывное решение в пространстве параметров задачи существует только на многообразии, размерность которого на две единицы меньше размерности всего пространства. Для разных начальных параметров задачи её решения качественно различны; возможны шесть многофронтовых (до четырёх разрывов) решений задачи, с внутренними однофазными областями воды и пара и с немонотонным распределением параметров течения. В пространстве параметров задачи ограничены области с разными типами её решения. Выявлена важная роль скелета пористой породы в неизотермичеких течениях воды и пара: внутренние зоны воды и пара образуются вследствие интенсивного обмена теплом жидкости со скелетом породы.

7. С условием существования структуры разрывов решение задачи о распаде произвольного разрыва смесь-смесь при рассмотренных параметрах существует и единственно. Без учёта условия существования структуры разрывов решение задачи может быть неединственным. Приведены начальные параметры задачи, для которых существует два разных её решения с априорно эволюционными разрывами, но с фронтом без структуры в одном из решений.

8. Показано, что в фильтрационных течениях воды и пара могут присутствовать фронты фазового перехода, на которых давление имеет максимум, а также присутствовать области смеси с однородным распределением параметров течения. Построены точные решения задачи о распаде произвольного разрыва смесь-пар с отмеченными эффектами.

9. Сформулирована конечно-разностная схема расчёта фильтрационных течений воды и пара и описана структура программного кода, в котором эта схема реализована. Схема полностью неявная, консервативная и имеет первый порядок аппроксимации по пространственной и временной координате. Проведено тестирование разностной схемы на точных решениях задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте. Показано, что при сгущении расчётной сетки численное решение задачи о распаде сходится к её точному решению. Выявлено, что конечно-разностная схема выделяет эволюционные решения задачи, в которых разрывы имеют структуру. В расчётах разрывы без структуры не реализуются.

10. В линейной постановке в явном виде получено достаточное условие неустойчивости фронтов фазового перехода: разрывов смесь-смесь, смесь-вода(пар), вода-пар. Фронт смесь-смесь неустойчив, если за разрывом модуль градиента давления меньше, чем перед ним. Неравновесные кондуктивные потоки тепла на фронтах смесь-вода(пар) и вода-пар способствуют стабилизации поверхности разрыва. При фиксированной слева и справа от разрыва водонасыщенности наиболее неустойчив фронт смесь-смесь.

11. В задаче об инжекции пароводяной смеси в двухмерный горизонтальный насыщенный смесью резервуар обнаружено, что вместо неустойчивых в одномерной постановке разрывов в двухмерном случае развивается зона перемешивания, в которой поверхность разрыва сильно искривлена: насыщенные водой "пальцы" проникают в область перед фронтом. Поверхность устойчивых согласно сформулированному критерию разрывов остаётся плоской. На начальном этапе развития неустойчивости протяжённость области перемешивания и характерный размер пальцев не зависят от размеров резервуара, в который происходит ин-жекция, и с течением времени растут по автомодельному закону. Вне зоны перемешивания распределение параметров течения одномерно и совпадает с распределением в автомодельном решении задачи.

12. В предлагаемой работе впервые обнаружен интересный эффект, который может быть полезным в приложении. При инжекции перегретого пара в насыщенный пароводяной смесью резервуар с меньшей температурой перед паром возможно образование внутренней области воды, отделённой от зоны пара промежуточной областью смеси. При этом внутрь пласта будут распространяться два разрыва смесь-вода, ограничивающие внутреннюю область воды. Возможны случаи, когда передний фронт неустойчив, в результате чего развивается область перемешивания, которая, однако, не дестабилизирует задний разрыв.

1. Schubert G., Straus J.M. Gravitational stability of water over steam in vapor-dominated geothermal systems//J. Geophys. Res. 1980. V.85. ЖВ11. P.6505-6512.

2. O'Sullivan M.J. Geothermal reservoir simulation// Intern. J. Energy Res. 1985. V.9. P.319-332.

3. Grant M.A. Geothermal reservoir modelling// Geothermics. 1983. V.12. №4. P.251-263.

4. Бармин А.А., Мельник О.Э., Старостин А.Б. Моделирование влияния притока воды на течение в канале вулкана// Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С.95-105.

5. Woods A. W. Liquid and vapor flow in superheated rock// Annu. Rev. Fluid mech. 1999. 31:171-199

6. Федоров K.M., Шарафутдинов Р.Ф. К теории неизотермической фильтрации с фазовыми переходами// Изв. АН СССР. 1989. №5. С.78-85.

7. Насырова JI.A., Рахматуллин И.Р., Шагапов В.Ш. Гидродинамические и тепловые поля в пористой среде при инжекции перегретого пара// Изв. РАН. МЖГ. 2005. Ш. С.113-126.

8. Баренблатт Г.И., Ентое В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211с.

9. Бондарев Э.А., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. К математическому моделированию диссоциации газовых гидратов// ДАН СССР. 1989. Т.308. №3. С.575-578.

10. Цыпкин Г.Г. О возникновении двух подвижных границ фазовых переходов при диссоциации газовых гидратов в пластах// Докл. РАН. 1992. Т.323. №1. С.52-57.

11. Нигмагпулин Р.И., Шагапов В.Ш., Сыртланов В.Р. Автомодельная задача для разложения газогидрата в пористой среде под действием нагрева и депрессии.// ПМТФ. Т.39. №3. С.111-118. 1998.

12. Цыпкин Г.Г. Влияние разложения газового гидрата на добычу газа из пласта, содержащего гидрат и газ в свободном состоянии//Изв. РАН. МЖГ. 2005. №1. С.133-142.

13. Цыпкин Г.Г. Аналитическое решение нелинейной задачи разложения газового гидрата в пласте// Изв. РАН. МЖГ. 2007. №5. С.133-142.

14. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Математическая модель промерзания во-донасыщенной пористой среды// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1986. Т.26. Ml. С. 1743-1747.

15. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Явление "перегрева" и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мёрзлых грунтах// ДАН СССР. 1987. Т.294. №5. С.1117-1121.

16. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Автомодельное решение задачи о протаивают мёрзлового грунта// Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №6. С.72-78.

17. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассо-перенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.:Наука, Физматлит. 1997. 224с.

18. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 366с.

19. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред, т. 1, 2, М.: Наука, 1987.

20. Brownell D.H., Garg S.K., Pritchett J. W. Governing equations for geothermal reservoirs// Water Resour.Res. 1977. V.13. №.6. P.929-934.

21. Faust C.R., Mercer J.W. Geothermal reservoir simulation. 1.Mathematical models for liquid- and vapor-dominated hydrothermal systems// Water Resour.Res. 1979. V.15. Ж1. P.23-30.

22. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. К постановке задач с движущимися границами фазовых переходов в гидротермальных пластах// ПМТФ. 1991. №5. С.98-102.

23. Woods A.W., Fitzgerald S.D. The vaporization of a liquid front moving through a hot porous rock. Part 2. Slow injection//J. Fluid mechanics. 1997. V.343. P.303-316.

24. Федоров K.M., Хабеев H.C., Нигматулин P.M. Математическое моделирование мицеллярно-полимерного вытеснения нефти из обводненных пластов// Изв. АН СССР. МЖГ. №.6. 1982.

25. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 544с.

26. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396с.

27. Веригин Н.Н., Голубев B.C. О генерировании пара в подземных пластах-коллекторах// Докл. АН СССР. 1975. т.223. №6. С.1355-1358.

28. Сох B.L., Pruess К. Numerical experiments on convective heat transfer on water saturated porous media at near-critical conditions// Transport in porous media, 1990. №5. P.299-323.

29. Цыпкин Г. Г. О возникновении двух подвижных границ фазовых переходов при добыче пара из гидротермального водонасыщенного пласта// Докл. РАН. 1994. Т.337. №.6. С.748-751.

30. Куликовский А.Г. О фронтах испарения и конденсации в пористых средах// Изв. РАН. МЖГ. 2002. №5. С.85-92.

31. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука, 1973. 536с.

32. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах// М.: Моск. лицей, 1998. 412с.

33. Куликовский А.Г., Любимов ГА. Магнитная гидродинамика. М.: Логос, 2005. 328с.

34. Куликовский А.Г. О фазовых переходах при фильтрации в теплопроводном скелете// Изв. РАН. МЖГ. 2004. №3. С.85-90.

35. Кондрашев А.В. О свойствах некоторых фронтов фазовых переходов в гидротермальных пористых пластах// Изв. РАН. МЖГ. 2004. №6. С. 133144.

36. Ильичев А. Т., Цыпкин Г.Г. Гравитационная устойчивость движущейся поверхности раздела вода-пар в гидротермальных системах// Изв. РАН. МЖГ. 2002. №1. С.3-12.

37. Ильичев А.Т., Цыпкин Г. Г. Критерий гидродинамической неустойчивости поверхности раздела фаз в геотермальных системах// Изв. РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 100-109.

38. Farcas A., Woods A. W. On the extraction of gas from multilayered rock// J. Fluid Mech. 2007. V.581. P.79-96.

39. Pruess K., Calore C., Celati R., Wu J.S. An analytical solution for heat transfer for a boiling front moving through a porous medium// Int. J. Heat and Mass Transfer. 1987. V.30. Ml. P.2595-2602.

40. Garg S.K., Pritchett J.W. Cold water injection into single- and two-phase geothermal reservoirs//Water Resour.Res. 1990. V.26. №.2. P.331-338.

41. Garg S.K., Pritchett J. W. Pressure interference data analysis for two-phase (water/steam) geothermal reservoirs//Water Resour.Res. 1988. V.24. №.6. P.843-852.

42. Мейерманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 239с.

43. Цыпкин Г. Г. Математическая модель фазовых переходов вода-пар в гидротермальных пластах// Изв. РАН. МЖГ. 1994. №6. С.98-105.

44. Бармин А.А., Цыпкин Г.Г. Математическая модель инжекции воды в геотермальный пласт, насыщенный паром// Изв. РАН. МЖГ. 1996. №6. С.92-98.

45. Бармин А.А., Цыпкин Г.Г. О движении фронта фазового перехода при инжекции воды в геотермальный пласт, насыщенный паром// Докл. РАН. 1996. Т.350. №.2. С.195-197.

46. Кондратов А.В., Цыпшн Г. Г. О режимах инжекции воды в геотермальный пласт насыщенный паром// Изв. РАН. МЖГ. 1999. №2. С.86-91.

47. Цыпшн Г. Г. О существовании фронтового режима фазового перехода вода-пар в гидротермальных пластах// Изв. РАН. МЖГ. 2000. №6. С. 125133.

48. Бармин А.А., Кондратов А.В. Двухфронтовая математическая модель инжекции в геотермальный пласт, насыщенный паром// Изв. РАН. МЖГ. 2000. №3. С.105-112.

49. Сыртланов В.Р., Шагапов В.Ш. Фильтрация кипящей жидкости в пористой среде//Теплофизика высоких температур, 1994. Т.32. №.1. С.87-93.

50. Шагапов В.Ш., Насырова Л.А., Галиакбарова Э.В. Нагнетание воды в пористую среду, насыщенную паром//Теплофизика высоких температур, 2000. Т.38. №.5. С.811-818.

51. Шагапов В.Ш., Ильясов У.Р., Насырова Л.А. Об инжекции воды в геотермальный пласт// ПМТФ. 2002. Т.43. Ж4. С. 127-138.

52. Woods A.W., Fitzgerald S.D. The vaporization of a liquid front moving through a hot porous rock//J. Fluid mechanics. 1993. V.251. P.563-579.

53. Woods A. W., Fitzgerald S.D. On vapor flow in a hot porous layer//J. Fluid mechanics. 1995. V.293. P.l-23.

54. Woods A. W. Vaporizing gravity currents in a superheated porous medium//J. Fluid mechanics. 1998. V.377. P.151-168.

55. Tsypkin G.G., Woods A.W. Vapor extraction from a water saturated reservoir// J. Fluid mechanics. 2004. V.506. P.315-330.

56. Lambert W., Marcheshin D., Bruining J. On the Riemann solutions of the balance equations for steam and water flow in a porous medium// Methods and applications of analysis, 2005. V.12. №3. P.325-348.

57. Bruining J., Varcheshin D., Van Dujin C.J. Steam injection into water-saturated porous rock// Computational and Applied Mathematics, 2003. V.22. №. P.359-395.

58. Eastwood J.E., Spanos T.J.T. Stability of a stationary steam-water front in a porous medium// Transport in Porous Media, V.14. P.l-21. 1994.

59. Ramesh P.S., Torrance K.E. Stability of boiling in porous media// Int. J. Heat and Mass Transfer. 1990. V.33. №9. P. 1895-1908.

60. Woods A. W., Fitzgerald S.D. The instability of a vaporization front in hot porous rock// Nature. 1994. V.367. P.450-453.

61. Fitzgerald S.D., Woods A. W. Instabilities during liquid migration into superheated geothermal reservoirs// Water Resour. Res. 1998. V.34. №.9. P.2089-2101.

62. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media// Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. №.19. P. 271-311.

63. Иногамов H.A., Демьянов А.Ю., Сон Э.Е. Гидродинамика перемешивания. М.: Изд-во МФТИ. 1999. 464с.

64. Никишин В. Ф., Смирнов Н.Н. Моделирование неустойчивого вытеснения жидкости из пористой среды//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 2005. №6. С.30-38.

65. Никитин В.Ф., Смирнов И.Н. Неустойчивое вытеснение жидкости из пористой среды с переменной проницаемостью//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 2006. №2. С.33-40.

66. О'Sullivan M.J., Pruess К., Lippmann M.J. State of the art of geothermal reservoir simulation// Geothermics. 1983. V.30. №4. P.395-429.

67. Benard J., Eymard R., Nicolas X., Chavant C. Boiling in porous media: model and simulations// Transp. Porous Med. 2005. №.60. P. 1-31.

68. Афанасьев А.А. Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте// Труды конф.-конк. мол. уч. 2004г. М.: Изд-во МГУ. 2004. С.30-38.

69. Афанасьев А.А. Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте. Тезисы докладов, XIII школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики". М.: Изд-во МГУ. 2005. С. 12.

70. Афанасьев А.А. Задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте// Труды конф.-конк. мол. уч. 2005г. М.: Изд-во МГУ. 2006. С.33-40.

71. Афанасьев А.А., Бармин А.А. Автомодельные задачи в течениях пароводяных смесей в пористой среде. Тезисы конф. "Ломоносовские чтения", МГУ 2006г. М.: Изд-во МГУ. С.22.

72. Афанасьев А.А., Бармин А.А. О фазовых разрывах в фильтрационных течениях воды// Изв. РАН. МЖГ. 2006. №4. С.100-111.

73. Афанасьев А.А. О фильтрационных течениях воды и пара с учётом процессов теплопроводности и фазовых переходов. Труды конф.-конк. мол. уч. 2006г. М.: Изд-во МГУ. 2007. С.31-38.

74. Афанасьев А.А. Постановка и решение автомодельных задач фильтрации воды и пара с учётом тепловых эффектов и фазовых переходов. Отчёт № 4843 НИИ Мех. МГУ. С.1-89.

75. Афанасьев А.А., Бармин А.А., Мельник О.Э. О гофрировочной устойчивости фронтов испарения в пористых средах. Тезисы конф. "Ломоносовские чтения", МГУ. 2007г. М.: Изд-во МГУ. С.28-29.

76. Afanasiev A., Barmin A., Melnik О. Nonisothermal water and vapor filtration flows in superheated porous media. International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) XXIV General Assembly, Perugia, Italy, 2007. CD-paper.

77. Афанасьев А.А., Бармин А.А. Нестационарные одномерные фильтрационные течения воды и пара с учётом фазовых переходов// Изв. РАН. МЖГ. 2007. №4. С. 134-143.

78. Афанасьев А.А., Бармин А.А., Мельник О.Э. Гидродинамическая устойчивость фронтов фазового перехода в пористых средах. Тезисы докладов, XV школа-семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики". М.: Изд-во МГУ. 2007. С.15.

79. Афанасьев А.А. Об устойчивости фронтов фазового перехода в гравитационных течениях воды в пористой среде. Труды конф.-конк. мол. уч. 2007г. М.: Изд-во МГУ. В печати.

80. Афанасьев А.А., Бармин А.А., Мельник О.Э. О гидродинамической устойчивости фронтов испарения в пористых средах//Изв. РАН. МЖГ. 2007. №5. С.106-117.

81. Афанасьев А.А. Гидродинамическая устойчивость фронтов фазового перехода в фильтрационных течениях воды и пара. Тезисы докладов, Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность, Звенигород, Изд-во МГУ. 2008. В печати.

82. Афанасьев А.А. О взаимодействии фронтов испарения с межпластовой границей в пористой среде//Изв. РАН. МЖГ. 2008. №3. С.94-103.

83. Li К., Ноте R.N. Fractal modeling of capillary pressure curves for The Geysers rock// Geothermics. 2006. №.35. P. 198-207.

84. Li K., Home R.N. Calculation of water-steam relative permeability using capillary pressure data// Proceedings, Twenty-Seventh Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford Universiry, 2002.

85. Li К., Home R.N. Universal capillary pressure and relative permeability model from fractal characterization of rock// Proceedings, Twenty-Ninth Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford Universiry, 2004.

86. Вукалович М.П. Термодинамические свойства воды и водяного пара. М.: Машгиз, 1955. 92с.

87. Александров А.А., Григорьев Б.А. Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара. М.: Изд-во МЭИ, 2003, 168с.

88. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 424с.

89. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-600с.

90. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736с.