Построение приближенных решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

^Яр^рский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

цел >таций

На правах рукописи УДК 51Т.926

Соколова Татьяна Венедиктовна ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЯГЭЕРЕНЩШЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

Специальность 01.01. ОТ - вычислительная математика

Автореферат диссертации ва соискание учэноЯ степени кандидата фазико-матэматичесхих наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском государстшнком университете им. М.В. Ломоносова на факультета шчислителмой математики и кибернетики.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Н.Х. Розой, кандидат физико-математических наук, доцент В.Г. Сушко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профосоор В.Ф. Бутузов, доктор физико-математических наук, подуший научный сотрудник И.П. Боглаов

Ведущая организация: Казахский государсгвоиннй университет.

Защита состоится " /¿? " _1992 г. в

часов на заседании специализированного Совета Д.053.05.37 а Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова па '.факультете вычислительной математики и кибернетики. •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ во 2 учебном корпусе.

Адрес факультета: 119399 Москва, ГСП, Ленинский горы, МГУ 2 учебныа корпус, ВМиК.

Автореферат разослан '' " 1992 г.

Учений секретарь /

специализированного Совета у {/ // профессор / Г/{/¡(ЫаУЬ.. Моисеев.

ОБЙ£ЕЕ СОДЕгаНИЕ РАБОТЫ.

Актуальность теш. Многие задачи механики, физики, , техники, химической кинетики, биофизики, экологии, других наук приводят к системам дифференциальных уравнений, содержащим малые параметры как мнохителл щи старших производных. В качества малых параметров могут выступать чзгсла Маха и Прандтля, постоянная Планка, Еаличиня, обратная скорости света ш скорости химической реакции и т.д. Такие уравнения назыввют сингулярно возмущенными.

Большое значение для задач химической или биологической кинетики, нелинейной оптики и др. имеет изучение контрастных структур, то есть зон быстрого изменения решения на граница или внутри рассматриваемой области. Широкое применение в технике к' позитных и слоистых материалов приводит к необходимости детального исследования дпдаренипЕЛьшх уравнений с разрывами в коэффициентах.

Как правило, точноэ аналитическое решение указанных задач не может Сыть выписано в явном виде. В связи с этим проблема построения асимптотических разложений решений краевых задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и обоснование построенных формальных приблиаений представляется весьма актуальной как в теоретическом плане, так и для прикладных исследований.

Особый интерес представляет разработка специальных численных методов для получэшя приближенных решений краевых задач для обыкновенных даЗферэнциапышх уравнений о малым параметром при стерших производясь при наличии зон быстрого изменэния репений, а такжэ разрывов правых частей уравнений. Для построения эффективных численных алгоритмов желательно иметь определенную априорную информацию о свойствах и поведении искомых решений. Эту информацию могут дать асимпто-л ' тае метода.

Цель работы - построение зсимтгготкчэских репений линейных и квазилинейных краевых задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с особенностями в коэффициентах.

Научная новизна. В диссертации впервые построен!» всиштоткческкв ( при стремлении малого параметра к нулю ) представления реиений крвэвих задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с разрывными правыми частями в случав, когда старший коэффициент вырожденного уравнения обращается в нудь. Также Епервке 1'кзз2й: асимптотические представления решений краевых задач для нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с разрыЕншж правыми частя:.® , решения которых характеризуются наличием внутренних монотонных переходных слова. Доказаны оценки близости построенных формальных асимптотических представлений и точных решений.

В диссертации исследованы вопросы существования и единственности решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в которых коэффициент при первой производной может обращаться в нуль в одной шш нескольких точках рассматриваемого интервала. Получены юане теоремы о дифференциальных неравенствах, позволявдие доказать существование решения исходной задали и оценить близость Построенного приближенного решения к точному.

Практическая и теоретическая ценность» Многие прикладные задачи приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малые параметры как множители при старших производных. В частности, решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка могут представлять собой стационарные пределы решений соответствующих уравнений в частных производных.

При .описании течения Блазиуса или ламинарного штока в. канале с пористыми стенками в случае всасывания возникают, обыкновенные дифференциальные уравнения третьего порядка с малым параметром при старших производных. Уравнением аналогичного типа описывается процаоо росте кристаллов в переохлажденной кидаооти.

В большинстве случаев точные решения краевых задач для «акдх уравгэнгЕ не могут быть получены. В то хе время построение Даже нескольких членов асимптотических представлений решений указанных задач может дать достаточно хорошее приближение к искомому решению. Кроме того, информация о поведении решения, полученная асиштотичесними методами, мокет быть использована при построении специальных численных методов решения задач о

областями быстрого изменения решения.

В диссертации в процессе построения и обоснования асимптотических представлений решений краевых, задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и . третьего порядка изучены Еопросы существования и единственности вспомогательных задач, определяющих коэффициенты разложений. Установлена определенная зависимость характера погранслойной структуры решения от свойств коэффициентов исходного сингулярно возмущенного уравнения. Получены новые теоремы о дифференциальных неравенствах, позЕолящие расширить класс рассматриваемых задач.

Апробация работы. Содернание работы докладывалось ка Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Минск, 1991), на ВсесопзноЯ конференция "Асиштотическиэ метода теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), на научно-исследовательских семинарах физического факультета ( рук. проф. A.B. Васильева и проф. В.Ф. Бутузов ) и факультета вычислительной математики и киберэтики ( рук. доц. В.Г.Сушко и доц. Я.М.ЛилэЯкин ) МГУ им.. Ломоносова , на ноучно-исолэдовательском семинаре квфэдры математической физики факультета ВМК МГУ им. Ломоносова ( рук. акад. А.Н. Тихонов ), на научных конференциях Московского педагогического университета.

Основшз результата диссертации опубликованы в 4 статьях.

Структура и оСъен работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литэратурн, включающего 60 назван: я приложения. Общий объем диссертации составляет 207 отраниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

¡Введение содержат краткий обзор результатов и методов тэорет сингулярно возмущенных уравнений, а также метода дя^Карвнциашшх неравенств. В сжатом виде изложено содержание дахэртации и сформулированы полученные результаты.

- & -

£ первой главе исследуются краевые задачи для линейных обыкновениях дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с малым параметром е>0 при старших производных Еида еу"+а1(х)уЧа0(г)у=1(г) , 0<х<1 . (1)

у(0)=Р , у(1 )=0 . (2)

и

е2у"Ч£ар(х)у"+а1(1)у'+а0(х)у=Г(х) , Оа<1 , (3) У(0)=Р , у' (О)=0 , у- (1)=Н . (4)

Предполагается, что коэффициенты и правые части уравнений могут иметь конечное число точек разрыва первого рода на интервале (0,1) ( эти точки ниш для краткости называются точквми типа И ), а коэффициент а1(х) монет обращаться в нуль в конечном числе точек этого интервала, не совпадающих с точквми разрыва коэффициентов и правой части уравнения ( эти точки ниже для краткости называются точкам типа N ).

Решением задачи (1),(2) в случае, когда по крайней мере одна из функций а1(х), а0(х), * (х) терпит разрыв первого рода в точке А«(0,1), назовем функции у=у(х,е), непрерывно дифференцируемую по х на всем отрезке 10,11. имеющую непрерывную вторую производную по х прз всех хе(0,1)\Ш , удовлатЕорянцую уравнению (1) при х«-(0,А)и(А,1) и краевым условиям (2).

Аналогично определяется решение задачи (3),(4) в случае, когда по крайней мере одна из функций а1(х), 1=0,1,2, Г(х) терпит разрыв первого рода в некоторой точке интервала (0,1).

Дня задачи (1),(2) изучен Еопрос о том, какие дополнительные условия надо присоединить к вырожденному уравнению

а^зОу'+ВоООУКх) (5).

с тем, чтобы при е-.О обеспечить стремление рэпешя исходной задачи (1),(2) к определенному таким образом решению вырожденной задачи. Показано, что постановка задачи для выровданного уравнения (5) зависит от характера чередования - знаков коэффициента а^х) на подынтервалах, на которые, отрезок £0,13 разбит точками типа В и точками типа N.

Указан алгоритм построения асимптотического представления решения задачи (1),(2) для произвольного конечного числа точек типа К и точек тииа К. Это асимптотическое прздставлзкиз кисет

вид

фчт : <6>

число членов п в асимптотическом представлении определяется свойствами коэффициентов я правой части уравнения (1). Здесь А^, 1-1,..,1, - точки типа И ; ик(х) - регулярные члены разложения ; ёГ^] » 71, к ~ функции типа погранслоя,

обеспечивапцав непрерывность приближенного рэаения и его первой производной в точках А^ с точностью до величин порядка 0(еп+') и

0(еп) соотЕетстЕэнно ; *£[-§-] , - функции типа погран-

с/.: обеспечивввдие выполнение краевых условий (2) с точностьп до Беличзш порядка 0(ел+1). В зависимости от характера чередования зяаноз коэффициента а1 (I) некоторые из функции типа погранслоя или все они могут быть тождественно равны нулю. Доказано сладувдее утверждение.

Теорема I. Существует такое число е0е(0,1) , что при всех е«(0,е0] для решения задачи (1),(2) всюду на отрезке [0,и справедлива оценка

|Уп(х,е)-у(х,е)|<СЕп-, С=сопз1>0 ,

где Уп(х,е) - асимптотическое представление (б) .

Для задачи (3),(4) в диссертации для простоты рассмотрена ситуация, когда на интервале (0,1) лехит единственная точка типа Н (обозначим ее А) и единственная точка типа N (обозначим ее В).

Показано, что постановка задачи для в'/роаденного уравнения и возможность построения функций типа погранслоя вблизи концов рассматриваемого отрезка и в окрестности точки А зависит от характера чередования знаков коэффициентов а1 (х) и &,„ на подынтервалах, на которые отрезок С0,11 разбит точками А и В. При наличии на интервале (0,1) одной точки типа Я и одной точки типа Ы возможно 128 различных вариантов сочетания знаков коэффициентов а.,(х) в &2 (х). Все ати варианты могут быть разделены на три группы:

- для 54 случаев, отнесенных к первой группе, возможно однозначное построение асимптотических представлений решений

погранслойного типа;

- среди -случаев, отнесенных, ко второй группе, 12 характеризуйся тем, что решение задачи (3),(4) определяется не единственным образом, и для какдого из решений может быть построено свое асимптотическое представление; остальные 9 случаев этой грушш требуют дальнейшего изучэния;

- для 53 случаэЕ, отнесенных к третьей группе, построение асимптотических представлений реиений погранслойноГо типа невозмото.

Асимптотические представления решений задачи (3),(4) для случаев пэрвоя группы и 12 указанных случаев второй грушш построены в виде

где y,c(ï) - регуляртю члена разлоетния ; v^ —Е—1 , 1=1,2, -

Функции вша гогранолон,. обесшчшвавциа непрерывность приблшин-ного ришояил, его пирвой а второй производных с точность» до ■величин порядка £)(епИ) , 0(6«) и О(£п~1)соответственно ;

wi,kHH ' w2,~ Функции погранслоя,' обеспечиващиэ

ЕЫПОЛНВКК9 ГраНКЧШХ УСЛОВИЯ У' {Q)=Q , у (1 )=R с ТОЧНОСТЬ!) до величин порядка 0(еп+''). В зависимости от сочетания знаков коэффициентов а1 (х) и а2(х) некоторые из фушсции типа погранслоя могут быть товдественш раины нулю. Число членов п в асимптотическом представлении (7) определяется свойствами ковффщивнтсв а.,(х), 1=1,2,3, я фуаяциа i(x).

Доказана следующая теорема об . оценка погрешности построению: асимптотических представлений.

Теорема 2. Существует такое число eq«(0,1) , что для всякого &з(0,е0] задача (3),(4) при указанных сочетаниях знаков коеффициентов гц (х) и в^х) шэет решение у=у(х,е). Для втого . решения справедливо асимптотическое представление (7 ) , причем trn(x,s)~y(x,E)|SCE:i+1, C-^sonat , osxsl (8)'

При оценке погрешности построенных асимптотических представлений используется метод дифференциальных неравенств, котсрнй позволяет одновременно установить существование решения

исходной задачи. Доказана следум^я теорема о барьерных функциях для решений краевых задач вида

y'"=¿(x,y,y' ,7"), а<хчЪ, У(а)-Р , y'(a)--.Q ,y'(t»'-íi. <9)

Теорема 3. Пусть функция í(x,y,z,w) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка по переменным y,z,w , в по переменной х принадлежат классу C([a,i*)U(x*,b!), причем точка х е(а,Ь) является точхся разривв первого рода. Щ'сть, долее, существует такая функция , что

00

|í(X,y,Z,W)|5!p(|ff|) , J^jL+oo.

1

Пусть, наконец, существует пара озрьерныг функций а(х) , р(х) , принадлекащих классу О' [a,b]f>C2(la,x* )U(x' ,bl), таких, что справедливы соотношения :

а(х)гф(х) , а' (x)sp'(x) , hsxsd a<a)-p(aH? , а' (a)íQsp' (в) , а'<b) ,

а''*aí(х,а,а',а'') , p'-'sru.M'.P") , xe(a.x*)U(x*,b) , а'' (x*-0)sa'' (х*+0) , р* * • (х*-+0)

Тогда задача (У) имеет решение у=у(х) , причем o(x)sy(x)¿p(x) t a' (x)íy'(x)íP'(i) при x«[a,b] .

Вторая глава посвящена изучению краввш: задач для для квааютшэЛЕкх ооыкнованнкх диф^иренциальных уравнений второго и третьего порядков с малым параметром &Q при старших производных вида

еу'Ча,, (х)уЧй(х,у)»0 , 0<х<1 , (10)

' У(0)-Р , 7(1 )=Q , (11)

и.

e2y"4ea2(x)y'4a1(x)y4h(i,y)=ü , 0<х<1 , (12).

У(0)=Р , у* (Q)=Q , у'И)=Н. , (13)

Предполагается, что на интервале (0,1) лежит конечное' число точек типа N и Еесовпадаицих с шаи точек nina R ( точкой типа R будем навивать таю» точку разрыва первого рода по переменной х функции Ь(х,у)).

Предварительно изучается вопроо о существовании я поведении решения выроадвнного уравнения

a, (r)y4h(x,y)=Q , Оос<1. (14)

Показано, что, кок и в линейном случае, поведение решений уравнения (14) зависит от характера чередования знака коэ№щиэята а1 (х) на подынтервалах, на которые отрезок 10, П разбит точками типа N и Н .

Описание построения приближенного решения задачи (10),(11) при наличия на интервале (0,1) произвольного конечного числа точек типа N и типа й Оыло бы слизпком громоздким. Поэтому при изучении ПОВ9ДОШ1Я решения вырожденного уравнания (14) и построении асимптотических представлений решении задачи (10),(11) рассмотрены следующие случал:

- коэффициент а1(х) обращается в нуль в одной или двух внутренних точках интервала (0,1) , при этом функции а, (х) и 1г(х,у) непрерывны;

- коэффициент а, (х) обращается в нуль в одной или двух внутренних точках интервала (0,1) , при этом функции а, (х) и 11(х,у) терпят разрыв первого рода по переменной х в некоторой точке интервала (0,1) , отличной от нулей функции а.,(х).

Общий езд построенных асимптотических представлений решений задачи (10), (11) совпадает с обчим видом асимптотического представления (б) при 1=4 . Для построенных асимптотических представлений доказаны теоремы, аналогичные теореме 1.

Для задачи (12),(13) подробно исследована ситуация,■ когда на интервала (0,1) лежит единственная точка типа й ( нззобэм ее А ) и единственная точна типа К ( назовем еэ 3 ). Показано, что постановка задачи для вырозденнсго уравнения, обеспечиващзя стремление рес;э:шя неходкой задачи (12), (13) к решению вырожденной задачи при е->0 , зависит от характера чередования зк;.хов коэффициентов а1(х) к в^^х) на подантврвалах, на которые отрезок [0,1) ргз5::т точками А и Е .

Все возможные случаи сочетания знаков коэффициентов а1 (х) и (х) разделены нз три группы. Для случаев пергей и второй груш описаны схемы построения фокальных асимптотических представлений решений задачи (10),(11) и доказаны теоремы об оценках погрешности построенных асимптотических представлений. Общий вид асимптотических представлений решений рассматриваемой зеДата аналогичен еиду (7) для линейного случая. Для него справедлява оценка погрешности (а), где у(х,б) - точное решение задачи (12), (13).

Результаты второй глвен могут Зуп. оЗайз^ЕЫ на случай

произвольного конечного числа точ*к тина К и точек типа R.

В трот, ей главе изучены ¿'ад&'ш зада

, С<хс1 , (15)

i'(CJ)-P , y(1)-Q . (16)

и

ey"-p(x,y)y*+gU,y) , 0<х<1 , (17)

У(0)=Р , y!1)=Q , ЦЫ)

решения которых характеризуются наличием анутрешшх монотонных переходшд слоев в окрестности точки х*<г(0,1). Такие рвшашш удовлетворяют предельному соотношению

гщ (х) им 0<х<х*, Щ у(х,е)=<~ ,

£-»0 UMX) ПРИ I <Г<1.

Здесь и, (х) и Ug(x) - два устойчивых непересекающихся рэшгзпкя выровдлгкох'о уравнения

ix(x,y)«0 для задачи (15), (16),

или

p(x,y)y'+g(x,yHû для иадачи (17), (18). При этом предполагается, что на интервала (0,1) лежит единственная точка х^х* , в которой иракна части урашений (16), (17> терпят разрыв первого рода по переменной х.

Построено асимптотичоское представление решения задачи (15),(16) вида

Здесь ui>k(x), 1=1,2,3, - регулярные члены разложения ;

т1|к[-У-] . 1=1,2, - функции тгата пограаслоя, описыващие внутренний переходный слой в окрестности точки х=х*;

yl,k( e^) » 1=3 »4> - функции типа погранслоя, обеспечивапцие непрерывность приближенного решения и его первой производной о точностью до величин порядка 0(en+1) и Ote3) соответственно ;

функции типа погракслоя Wi,ic(~f~) , w2»k.Pr"J обеспечивают • ЕУпо.гаегшо краевых условий (16) с точность» до величин порядка 0(ЕП+1).

Дня каждой из этих функций выписаны определяющие их вспомогательное задета, доказана их разрешимость, исследованы свойства соответствующих решений. Доказана следующая теорема. Теорема 4. Пусть выполнены условия:

1) функция h(x,y) является непрерывной, достаточно гладкой в области

D=C (х,у) | хв[0,х0)и(х„,1 ] , -®<у<+о» } , а в точке х-х0 функция íi(x,y) имеет разрыв первого рода по переменной х и конечные предельные значения слева и справа для всех своих производных при каждом фиксированном значении у ;

2) при x«(0,Xq) Еыровденнса уравнение h(x,u)»=Q имеет два достаточно гладких решения ^(х) и ^(х) , Ojíi^Ugíz) ; при x«(Xq,1) Енрокденное уравнение имеет достаточно гладкое решение UgCx) . Для определенности будем считать, что ^(x^Ug^x) ,

UoCioJc'igdo) ;

3) решения вырожденного уравнения ix^íz) , 1=1,2,3, устойчивы, то еать

При , 1*1.2к

h£(x,Ug(x) )£т>С при x«[Xq,1] ;

4) в области.

D,=£ (2,У) | OíXSXo , 1Х| (х) <y<Ug (х) ) уравнение h(x,u)=0 имеет единственное решкиз С(х), причем в то реийние неустойчиво, то есть

h¿(x,tl(x>)<0 при Скх<1 ; б) существует единственная точка x*«(0,Xq) такая, что J(x*)«Q, J'(i ><0 ; здесь

J(x)- | h(x,s)cü ; 4¡ (х)

■п

6) J Мх,з)гй>0 для всех ^(u., (rj.u^x*)) : о,(х*>

"Ч

7) J П(0,9)с13>0 ДЛЯ ECBX TTeímlnílL, (Q),?},imttL, (0),?))U (P>;

1Ц<0)

■Л '

8) J h(1 ,з)сй>0 для всех T^minU^d ),Q),max{u3(1 ),Q>)U ÍQ); U3(1)

Л

9) a) J htXo-O.aJdsXD для всех т^ид (x0)>u3(Xa)J;

U^Xq)

■П .

0) J h(X0+O,a)da>O для всех T>st.Ug(x0),U3(xGj);

10) сучэотвуюг такие -числа R1 >0 и Hg>0 , что выполняется равенство

U^XqJ+H, UjtXoí+Ro

J h(x0-Q,3)d3 = | híXo+Q.eJda , VXg)

U2 (iü) ríL, (20) +H2 ;

11) h'(x0-0,a)-h(x0+0,3)>0 при sed^^í.UgCio)).

Тогда найдется такое число e0S(D,1) , что для всех &s(0,£0J существует по крайней мере одно решение у=y(x,s) краевой задачи (15),(16), для которого можно построить асимптотическое представление вида (19) таков , что

lYn(x,e)-y(x,e)|sGEn+1 , xe(Q,íl, n=2k , k=0,1.....

lYn(x,s)-y(r,e)!£Csn , laíQ.II, a=2k+1, k=0,1 Задача (17), (18) в завиымости от условий, налагаемых на Щгнкцяк р(х,у) и g(x,y), может иметь деа различных тша решений:

1) решение у^у^х.Е) задачи (17),(18) характеризуется кр.личием внутреннего монотонного переходного слоя в окрестности точки х* , краевого погранслоя на концах отрезка 10,1 ] не возникает;

2) решение (х»£) задачи (17),(18) характеризуется наличием внутреннего монотонног'о переходного слоя в окрестности точки х* и краевого погранслоя в окрестности точки х=1.

При етис: предположениях построены асимптотические представления решений задачи (17),(18) вида

.-1===-1 . иехьг*

УП(1,Е)=

У^о- (20)

Здесь а1>к(х), 1=1,2,3, >',2, ^(^г3). ^р!1]

имеют тот зга смысл, что и в асимптотическом представлении (19) . Б асимптотическом представлении резания у1(х,е) функция типа

погранслоя к? ¿р^г] тождественно равна нулю, а функция тала

погранслоя Тд ^["ё"^) обеспечивает непрерывность первой

производной приближенного решения с точностью до членов порядка 0(еп) . В асимптотическом представлении решения у2(х,е) тохдественно равна нулю функция •

Доказаны теоремы сб сцэккз' ттоатрсзнкыг асзмототачэских представлений решений задачи (17),(18).

Все полученные в третьей главэ результаты могут Овть оск.Згцаны на случай конечного числа точек типа х0 и х* .

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Соколова Т.В. Асимптотическое разлокение решения одной сингулярно возмущенной краевой задает с внутренним слоем.// Веста. Моск. ун-та, сэр.15, еычисл. матем. и кибернетика, 1990,. * 3,с.бб-71.

2. Соколова Т.В. Асимптотические разложения решений для