Построение решений в задачах управления с помехой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ой

. л V

лА

На правах рукописи

БАБАЛЬТЕВ ТАТi:\IVPAЛ ХАМЫЛОПИ'!

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМЕХОЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕ РЛТ

на соискание учепол степени кандидата фг.зпко-математическнх наук

Екатеринбург - 1991»

Работа выполнена ь институте математики и механики Ур(

РАН.

Научные руководители - доктор фииико-матеыатичес.кнч к,

в.н.с. В.Н. Ушаков;

кандидат физико-математических плу i: доцент М.Б. Байбазарои. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

в.и.с. А.Г. Пашков;

кандидат фпзико-математачееких ¡тук. A.M. Соломахпн. Ведущая организация - Челябинский государственный уннверс;

Защита состоит■cnfj'. Ш t| [Г 1096 год«; vAi . часов на n«-седанпи диссертационного совета Д 002.07.01 по присуждению учено!: степени кандидата фпзико-матемнтаческнх наук в Институте маю магнкп и .механик»! Уральского отделения ГАП ü-j одре«., у : C2Ü05G. г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 10. -

С диссертацией можно ознакомиться ь библиотеке' Пистнтутн математики п мехапики Уральского отделения РАК.

Автореферат разослан "А/ JLÍÚ^lJ Ü 1S96 г.

Ученый секретарь диссертационного í ¡j s V V» совета к.ф.-м.и., с.н.с. 1 | / М.И.Гусев

Общая характеристика работы.

Актуальность темы : В диссертации рассматриваются задачи управления при наличии помех па управляемую систему, а также одна обратная задача теории дифференциальных включений. Задачи управления при наличии помех рассматриваются в рамках теории дифференциальных игр (д.и.).

Становление теории д.и. связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, Л.С. Поитряпша, Е.Ф. Мищенко, А.PI. Субботина, Б.Н. Пшеничного, Р. Айзекса, В. Флеминга.

Остановимся кратко на основных результатах, к которым примыкает диссертационная работа.

H.H. Красовским и его сотрудниками развита концепция позиционной д.и.1,2, основу которой составляет принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты. Для широкого круга д.и. доказана теорема об альтернативе . Обоснован метод детерминированных программных конструкций, дающий эффективное решение для регулярных задач теории позиционных д.и.1 и разработан метод стохастических программных конструкций для нерегулярных задач.3'4.

Важную ветвь теории д.и. составляют д.и. с интегральными ограничениями. Характер интегральных ограничений накладывает определенную специфику на динамику управляемой системы, что выражается, например, в существенном отличии динамики областей достижимости от динамики областей достижимости в случае геоме-

'Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука.1971. 476с.

-Красовский H.H., Субботпн А.И. О структуре дифференциальных пгр. // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, N 3. с.523-526.

3Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука. 19S5. 517с.

■•Красовский H.H., Красовский А.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. математика и механика 1981.T.45,N 4. с.579-586.

трических ограничений на управления. Это обстоятельство может приводить к дополнительным трудностям при построении разрешающих стратегий.

Первые работы по теории д.и. с интегральными ограничениями появились в 60-х годах . Для линейных д.и.5 было впервые сформулировано позиционное правило экстремального прицеливания.

Параллельно с позиционным подходом к решению д.и. с интегральными ограничениями развивались методы, являющиеся аналогами методов, разработанных JI.C. Понтрягиным для решения д.и. с геометрическими ограничениями на управления игроков6,7. Построение разрешающих управлений согласно этим методам предполагает наличие информационной дискриминации одного из игроков другим.

В 70-80 годы были рассмотрены также некоторые классы нелинейных дифференциальных игр с интегральными ограничениями на управления игроков .

Теория дифференциальных включений, к сфере которой относится рассматриваемая здесь обратная задача, представляет собой новый раздел теории дифференциальных уравнений. Одним из основных стимулов к исследованию дифференциальных включений явились проблемы, возникающие в математической теории оптимального управления. Повышенный интерес к дифференциальным включениям обусловлен не только внутренней логикой исследований в этой области, но и появлением новых постановок прикладных задач, вызванных научно-техническим Прогрессом.

Тематика исследований по дифференциальным включениям

"•Красовский H.H., Репин Ю.М., Третьяков В.Е. О некоторых ситуациях в теории управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965, N 4.C.3-13.

'Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с инте-

гральными ограничениями. // Дифференц.уравнения. 1972. Т.8, N 6 с.964-971/

'Мезенцев A.B. О задаче преследования с интегральными ограничениями на управления игроков // Вести. МГУ .Вычисл.математика и кибернетика. 1981, вып.1. с.57-60.

очень обширна . Здесь же мы выделим лишь то направление, которое близко к вопросу, рассматриваемому в диссертации. Мы имеем в виду направление исследований по слабой и сильной ннварнаптности множеств относительно дифференциального включения. Здесь отметим прежде всего работы А.Б. Куржанского и его сотрудников'*'9,

а также A.A. Толстоногова10, Ж.П. Обэна. А. Челлнны11, Ж. Хад-

12

дада 1\

Цель работы : 1) Исследование свойства стабильности в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями:

2) Разработка методов приближенного построения множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения;

3) Изучение одной обратной задачи теории дифференциальных включений.

Метод решения. В работе систематически используются методы теории д.и., привлекаются понятия теории дифференциальных включений.

Научная новизна. Основные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. В работе изучено свойство стабильности в линейных д.и. с интегральными ограничениями, установлена эквивалентность различных форм определения стабильности. Приведен алгоритм приближенного построения множества позиционного поглощения. Приводятся достаточные

'Куржапский A.B. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы. //Докл. АН СССР. 1067. T.17Ö. X 4. с.764-766.

эКуржанский A.B., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траектории дифференциального включения. //Докл. АН СССР. 1986. T.2S9. N 1. с.38-41.

10Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве.

Новосибирск: Наука, 1986. 296с.

"Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set valued maps and viability theory. Berlin, 1984. 342 p.

13Cornet В., Haddad G. Theorems de viabilité pour les inclusions différentielles du second ordre. - Isr.J. of math., 1987, V.57, N 2. p.225-238.

условия разрешимости обратной задачи теории дифференциальных включений. Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значения. Алгоритм, изложенный do второй главе может быть применен для широкого круга задач теории д.и. и теории управления.

Апробация работы и публикации. По материалам диссертации сделаны сообщения на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН и кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 4 статьи.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы включает 107 наименований. Объем работы составляет 116 страниц машинописного текста.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

В первой главе рассматривается задача сближения управляемой системы с целью в фиксированный момент времени в. Динамика системы на отрезке времени описывается векторным диффе-

ренциальным уравнением

dx/dt - A{t)x + B(t)u + C(t)v, z[i0] = x0 . (1)

где x - фазовый вектор системы содержится в евклидовом пространстве i?m; и и v - управляющие воздействия первого и второго игроков, являющиеся элементами евклидовых пространств Rp и Rq соответственно; A(t),B(t),C(t) - матрицы соответствующих размерностей, зависящие от t непрерывно.

Предполагается, что реализации u(i) и v(t) управляющих воз-

действий стеснены на [Ц,в] {в > /0) условиями

{¡1\\ч{т)\\Чт)^ < /(0, {¡1ыт)\\2с1т)1/2 < щ (2)

Предполагается, что величины /ф] и v[t] - ресурсы управлений игроков - изменяются согласно уравнениям

= ti - С u\t\ = ^ - £ |Kr)||2rfr (3)

(t € и удовлетворяют неравенствам fi[t] > 0. u[t\ > 0.

Конфликтная ситуация рассматривается в первой главе с точки зрения первого игрока. При этом считается, что первому игроку известна в каждый момент (t 6 [¿о, $]) текущая позиция игры - (т+3)

- мерный вектор (i, fi[t], v\t],

Задача, стоящая перед первым игроком, заключается в построении позиционного способа управления, обеспечивающего приведение движения z[t] = [fi[t], v[t],x[t]) системы (1), (3) в момент в на целевое множество М* = {г = (¡i,v,x) : fi > 0, и > 0, х G Л/}, где М

- выпуклый компакт из Rm.

Как известно, задачу построения разрешающего позиционного управления можно решать на основе экстремальной конструкции, в которой основным элементом является стабильный мост1'2. В связи с этим очень важно уметь эффективно описывать стабильный мост. Известно, что в случае задачи сближения с геометрическими ограничениями на управления игроков таким эффективным описанием является унпфикационная схема13. Это схема рассматривалась также в различных аспектах , в частности для построения стабильных мостов в конкретных дифференциальных играх, имеющих весьма сложную динамику.

Что касается д.и. с интегральными ограничениями на управления игроков, то здесь отсутствуют сколько-нибудь эффективные

13Красовский H.H. К задаче унификации дифференциальных игр //Докл. АН СССР. 1976. Т.226, N 6. с.1260-1263.

алгоритмы построения стабильных мостов. По-видимому, это связано с отсутствием эффективного описания свойства стабильности-описания, подобного унификационной схеме в играх с геометрическими ограничениями на управления игроков.

В первой главе диссертации для рассматриваемой линейной дифференциальной игры с интегральными ограничениями на управления и при определенных условиях на систему (1), (3) и задачу сближения в целом приводится некоторый аналог унификационной схемы. Отметим, что унификационную схему здесь не удалось выразить в терминах " чисто" функции Гамильтона - Якоби конфликтно-управляемой системы. Унификационная схема, приведенная в первой главе, сформулирована в интегральных терминах, отвечающих сколь-угодно малым промежуткам времени Г](¿о < tt < t' < в).

В §1. первой главы приводятся вспомогательные понятия, относящиеся к конструкции стабильного моста в дифференциальной игре наведения па цель М с интегральными ограничениями; определяются допустимые управления игроков и(-), и(-), программные движения = СИСТСЛ1Ы (1), (3), порожденные допустимыми для позиции 2т) управлениями и(-),и(-), вводится в рассмотрение область достижимости Z(t*] zt) (¿о < < Г < 0) системы (1), (3).

Предполагаем, что в 1,1 полнено

Условие А. Для любых и Г из [^,0], ** ф tt, Л 6 Ят

(11*11 Ф 0)

Р^,П = (1''\\}<тЩГ,т)\\Чт)1'2>0 (г = 1,2). (4)

Н1(Г,т) = Х(Г,т)В{т), Я2(**,т) = *(<*,т)С(т), Х(Г,т) -фундаментальная матрица системы (1) при и = 0, V = 0.

Определяется интегральный аналог гамильтониана управляе-

мой системы (1), (3) - функция

ЫГ; и, Z.) = и{ т*х : ) Г( )1ШПД) sTz{f-, f., =.)„,.>,<•>. ^S'.

S* = {* = (*,,в,,*,) 6 Я™+2:|М1 = Ii-

Ii случае s £ S — S* fl{s : s^ > 0, s„ < 0} имеются формулы для вычисления функции £„(t*; f», г,).

Далее в §1 вводятся в рассмотрение множества

II,(i*;f.,0 = {= 6 Rm+2 : аТ: < &(Г; f.. -%)}•

Zs(t*-,t„zt) = Z(i*;i„:,)nn,(iV.,:.) где я € 5.

Z4.)(t*; f., 2,) = {2(f*; t„ *.)«<•),*(■) : «(■) e (7(?.. z.)}.

Здесь £/(<„ 2«) и V(f.,2») множества допустимых для позиции (i,,2») управлений первого и второго игроков соответственно.

Устанавливается ряд полезных свойств множеств Z(t';t,.z,). Zv(){t*\t*,z*), Z,(t*]tt,zt) (t, < t < в), таких, как выпуклость, замкнутость, непрерывная зависимость от переменной i* 6 0} и т.д. Эти свойства используются в дальнейшем в §2 этой главы.

В §2 первой главы приводятся различные определения стабильности множества W С [¿о, х Rm+2 в линейной дифференциальной игре с интегральными ограничениями на управления и устанавливается их эквивалентность при определенных условиях на мпожество

w. ■

Традиционное определение стабильности в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями на управления формулируется следующим образом

Определение 1. Mnootcecvieo W С ['о-®] х /?'п+2 назовем и -стабильным мостом, если W(d) С М и для любых (f., г.) € 0W. t*e(t.,0)f v(-) G V[t,, г.) верно

здесь d\V(t) - граница множества JV; W(t) = {= е jRm+2 : (t, z) 6

Приводятся также два определения стабильности в унифицированной форме

Определение 2. Множество W с [io^] х Rm+l назовем и стабильным мостом, если W(6) С М и для любых (£,, z,) 6 t* 6 (/., в), s G S верно

Определение 3. Множество W С * Rm+2 назовем и -стабильным мостом, если 1Г(0) С М и найдется такая функция 6(A) (А > 0; 6(A) Ю при A J. 0; НтД10<5(Л)/Л = 0), что для любых (t„zt) £ 91V", t* 6 (f,,0),s € 5 верно

здесь iV*(i*)j(c-«.) означает 6(t* — t,) - окрестность множества PF(i*).

Предполагается, что замкнутое множество W С [¿сь 6] X Rm+2 удовлетворяет условию В:

1. Для любого t 6 множество выпукло;

2. Для любых t 6 \h,e\, z = (n,v,x) G №(<), г + Az -(fi + Ац, v + Au, x + Ax) (Afi >0, Av = 0, Ax = 0 или Ац = 0, 0 < u + Av < v, Ах = 0) выполняется включение z + Az £ W(t);

3. Для любого 6 > 0 найдутся такие константы а > 0 и ¡3 > 0, что для любых t 6 [*о> 0-8], z = (ц, и, х) 6 dW(t) (ц > 0, v > 0), s G 5* - вектора внутренней нормали к W(t) в точке z выполняются неравенства Sf, >ct,s„< —/3.

Основной результат первой главы формулируется следующим образом

Теорема 1. Пусть для системы (1), (2) и множества W

выполняются условия А. В. Тогда определения (I), (2). (3) эквивалентны.

Во второй главе рассматривается проблема построения множества позиционного поглощения в задаче сближения с целью управляемой системы вида

dx/dt = f(t,x) + B(t,x)u + C(t,x)v, x(t0) = x0 (5)

x 6 Rm, и e P, veQ.

P и Q - замкнутые выпуклые многогранники в евклидовом пространстве Rm.

Предполагается, что выполнены условия традиционные для дифференциальных игр.

Для системы (5) формулируется задача об отыскании позиционного способа управления1 U-~U(t,x) , гарантирующего попадание на цель М в фиксированный момент времени в. В работах12 предложен подход к решению этой задачи, использующий понятие множества позиционного поглощения. При таком подходе при построении разрешающего способа управления U +U(t,x) основная тяжесть ложится па построение множества позиционного поглощения И'0. Известно1 , что TF0 можно определить на основе попятных конструкций. В 14 рассматривается близкая к задаче вычисления множества W0 задача о вычислении фупкции цены дифференциальных игр с терминальной платой. В ней излагаются специфические сеточные методы приближенного вычисления функции цены, использующие приемы локального овыпуклення функций и вычисление гамильтониана управляемой системы.

14Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Конечно-разностный метол построения функции оптимального гарантированного результата. М.: Наука. 1992. с.166-172.

В 15 для управляемых систем общего вида при традиционных предположениях на систему рассматривается метод приближенного построения множества достижимости управляемой системы, в основе которого лежит идея аппроксимации сечений множества достижимости, отвечающих дискретным моментам времени, некоторой дискретной в фазовом пространстве е - сетью.

В настоящей работе аналогичный фактически подход применяется для решения игровых задач управления. Предлагается метод приближенного вычисления сечений множества И/0 , отвечающих дискретным моментам времени. Этот метод не использует локальных овыпуклений и вычислений значений гамильтониана управляемой системы. Здесь вычисляемые множества представляются в виде набора пикселов, а в качестве основных операций используются операции объединения и пересечения множеств, составленных из пикселов. Они как бы заменяют вычисления гамильтониана системы. Метод очень прост для реализации на ЭВМ и алгоритм составлен для решения задач с любой размерностью фазового вектора, практическое применение его для задач высокой размерности определяется ресурсами вычислительной техники.

Остановимся подробнее на описании предлагаемого метода.

В §1. второй главы описывается попятная конструкция построения системы : £ Г} множеств И^,) С Ят, аппроксимирующей множествоТГ0 и отвечающей разбиению Г = ••• , = 0} - разбпенпю отрезка \Ц,в].

Известно, что предел системы : 6 Г}, когда диаметр

Д(Г) разбиения Г стремится к пулю, есть множество И/0. Поэтому приближенно И'0 можно вычислять как систему множеств :

<; 6 Г}. Однако точное вычисление системы множеств в сколь-нибудь

"Комаров В.А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включе-ппй в задаче с фазовыми ограничениями // Тр.МИАН СССР. 1988. Т.185. с.116-125.

нетривиальных случаях невозможно; ее можно вычислить только приближенно, кале систему множеств

W(tN) = М\

Щи) = (1 U Х-\(tr,ti+hw(ti+l))

ы=17=1

(г =0,1, ... iV- 1),

где

X^U+uWiU+i)) = = {ф] G Rm : W(ti+l) П XUt7(ti+u и,х[и}) ф 0},

X„,y{ti+l, U, ф]) = ф] + Л,(/(if, ф,]) +

+В{и,х[и])иу + C{ti,x[ti))v"),

где u7 6 S("\ vu - вершина многогранника Q, S^ = {u7 6 dP : 7 = 1,2, ... , к} - некоторая ¿-сеть границы ЭР многогранника P.

Вычисление системы множеств {^(f,-) : f,- € Г} также осуществляется приближенно как вычисление системы {W(f,) : f,- G Г} множеств W(t,) в Rm, каждое из которых представляет собой объединение элементарных ячеек (ЭЯ) определенного размера.

В §2 второй главы приведены результаты вычисления предлагаемым методом множеств W(fjv), W(<w_i), • • • VV(fo) Для одного хорошо известного примера в теории дифференциальных игр.

Третья глава посвящена исследованию дифференциальных включений. По своей тематике третья глава примыкает к исследованиям 1-4, в которых изучалось свойство стабильности в дифференциальных играх, а также к исследованиям8-12 , в которых изучались свойства слабой и сильной инвариантности множеств относительно

дифференциальных включений. В исследованиях интегральных воронок, слабо и сильно инвариантных множеств обычно предполагается, что эти множества и их свойства определены относительно заданного включения . Здесь же рассматривается обратная задача : Задано замкнутое множество W С х Rn\ требуется опреде-

лить дифференциальное включение (д.в), такое, что интегральная воронка Z, порожденная этим д.в.и имеющая начальным сечением Z(to) множество TF(f0) = {х G -R" : (t-o,x) € W} удовлетворяет равенству W = clZ7 здесь clZ - замыкание множества Z. Приводятся достаточные условия разрешимости этой задачи.

В §1 третьей главы рассматривается замкнутое множество W С [<о, 0] х R" ; где to < в. Полагается

И'(«) = {я € Я" : (i,a) € VV}, DW{t, х) = {d 6 Rn : 3tk > t, Bxt G W{tk), Jim^Xb - x)/{tk - t) = d}

при (i, x) 6 [<O)0] x R" i здесь R" - евклидово n-мерное пространство.

Вводится в рассмотрение отображение (<, х) ►-+ F(t, х) на [¿о, 0\ х

(6)

Rn :

рп л_/ если («,*)€ И^

( ' ' ~ { иг.йа„т{х)01Г&х*), если («,*) 0 IV,

Пт(х) = {л:* € Щг) : ||а: - х*|| = ¿Ш(х, ЩЦ)}. dist(x, = иии И1-Н1> И1-гу || ~ евклвдова норма вектора

Х — IV.

Рассмотривается дифференциальное включение (д.в)

хеГ(1.,х),' (7)

где (/,*) е [/„.0] х Rn.

Совокупность решений х(-) д.в. (7) с начальным значением £(<,) = е [/0,б]), обозначим символом

14

Определение 4. Под интегральной воронкой 2Г д.в.(7) с начальным сечением Zo С Я." будем понимать множество в [<о, х Яп , определенное равенством Z = Z(to,Zo) = : (<,х) €

дгх(-),х(-) 6 Х(^,хо), хо 6 Яо) ; здесь символ дга:(•) означает график вектор-функции х(-).

Введем понятие сильно ипвариаптного множества в [¿о, в] х Я" относительно д.в. (7).

Определение 5. Замкнутое множество V/ С [¿(ь^] * Я" называется сильно инвариантным относительно д.в. (7), если для любых (£,,£») € IV, любых х(-) 6 Х(1„х,,) выполняется включение дгх(-) С IV.

Отображение > (6) не удовлетворяет обычным

предположениям, при которых исследуется д.в. (7). Оно не является ни полунепрерывным сверху, ни полунепрерывным снизу.

Ниже приводятся достаточные условия сильной инвариан'йо-сти множества IV относительно д.в. (7).

Теорема 2. Пусть множество IV С [¿о, 0\ х Яп замкнуто, отображение < 6 непрерывно в хаусдорфовой ме-

трике, ф %,Х{г,х) ф 0 при всех (г,х) е < в). Тогда

множество IV сильно инвариантно относительно д.в.(7).

При условиях, наложенных на IV в теореме (2) интегральная воронка 2 д.в.(7) = И^о)) удовлетворяет включению с12 С

IV.

Однако, можно привести примеры замкнутых множеств Ш С М] х Яп, удовлетворяющих условиям теоремы (2) и таких, что обратное включение IV С с/£ не выполняется, (см. в тексте на стр. 93 ).

В §2 приводятся достаточные условия на множество И/_, при которых интегральная воронка Z = Z{t0, д.в. (7) заполняет

множество ТГ. в том смысле, что удовлетворяет условию W С clZ.

Формулируются свойства 1) и 2) замкнутого множества W С

1) Отображение t»-+ W(t),t 6 \tQ,0\, - липшицево в хаусдорфо-вой метрике (с константой L £ (0, оо));

2) При каждом t £ [¿о, в] существует гомеоморфизм <¿(t) : 0"(0) i-» \V(t){0"{0) = {х & R" : ||х|| < 1}) , который непрерывно зависит от í в том смысле, что для любого 1, £ [to, 0]/)(U'*(í), \V(t,}) =

max ||<^(<)(х) — ^(i.)!*)!! 0 при t —* tt; здесь имеем ввиду, что ip(t) ■1ёОп( 0)

- гомеоморфизм 0"(0) на W(t).

Теорема 3. Пусть замкнутое и ограниченное множество W С [<о,0] х R" обладает свойством 1) или 2). Тогда W С clZ для интегральной воронки Z = Z(to,W(to)) д.о. (7).

Из теорем (2) и (3) с учетом специфики доказательства теоремы (3) следует основной результат третьей главы

Теорема 4. Пусть ограниченное замкнутое множество W С [¿о, S] х R" обладает свойством 1). Тогда выполняется равенство W — Z.

Пусть замкнутое множество W С х Rn удовлетворяет соотношениям D\V(t,x) ф 0,Х(£,х) ф 0 при всех (t,x) £ W (t < в), а также обладает свойством 2). Тогда W = clZ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бабалыев Т.Х., Хрипунов А.П. Один метод приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. N 11. С. 1749-1758.

2. Бабалыев Т., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Унификация в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями на управления игроков // УрО РАН. - Екатеринбург, 1994.-61с. Деп. в ВИНИТИ, N 1457-В94.

3. Бабалыев Т.Х., Хрипунов А.П. Об одном методе приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения. // УрО РАН. - Екатеринбург, 1994,-19с. Деп. в ВИНИТИ, N 1590-В94.

4. Бабалыев Т.Х., Байбазаров М. Обратная задача теории дифференциальных включений // УрО РАН. - Екатеринбург, 1995.-24с. Деп. в ВИНИТИ, N 2904-В95. 1

■Подписано к печати 02.02.96. Формат 60 х 84 1/16. Бум. тип. N 2. Уч. изд. л. 1,0. Тираж 80 экз. Зак. 236. СФАБИ. 620147 г.Екатеринбург, проезд Решетникова, 22.