Применение метода связанных волн и теории возмущений к задачам рентгеновской оптики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Фещенко Руслан Михайлович

Применение метода связанных волн и теории возмущений к задачам рентгеновской оптики

Специальность 01.04.05 - оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математи*еских наук

Москва 2005

Работа выполнена в отделении Квантовой радиофизики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

док гор физико-

Научный руководи- математических наук, тель профессор, A.B. Виногра-

дов

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, Арсеев Петр Иварович, ФИ-АН;

доктор физико-математических наук, Кон Виктор Германович, Российский научный центр - "Курчатовский институт".

Ведущая организация - Институт кристаллографии РАН.

Защита состоится_200_г. в_часов на заседании диссертационного совета К002.023.02 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

Автореферат разослан__2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чуенков В.А.

2/7

1 Общая характеристика работы Актуальность темы

Развитие рентгеновской оптики началось сразу же после открытия Вильямом Конрадом Рентгеном рентгеновских лучей в 1896 году. Вскоре выяснилось, что рентгеновские лучи реагируют на периодическое изменение электронной плотности в кристаллах или оптических констант в искусственных квазипериодических многослойных структурах, давая резкие дифракционные пики рассеяния, а также отражаются при скользящих углах от любого твердого тела, демонстрируя эффект полного внешнего отражения. Кристаллы начали использоваться для управления рентгеновскими лучами практически с самого открытия рентгеновских лучей, однако их полоса отражения по углу и по длине волны обычно очень узкая, к тому же кристаллы не работают в области мягкого рентгеновского излучения. Зеркала полного внешнего отражения получили широкое распространение в астрофизике, управлении синхротронным излучением и до последнего времени являлись единственными оптическими элементами способными к широкополосному по длине волны отражению, хотя малые углы скольжения приводили к проблемам в проектировании оптических систем.

В конце 70-х годов начала бурно развиваться многослойная рентгеновская оптика. В течении более двадцати лет она занимает прочные позиции одного из передовых направлений современной рентгеновской оптики. Она нашла широкое применение в астрофизике, рентгеновской микроскопии, в исследованиях по биологии, физике плазмы, позволяя достичь высоких коэффициентов отражения для мягкого рентгеновского излучения при нормальном падении. Многослойная отражательные покрытия является ключевым элементом в разрабатываемой технологии литографии экстремального ультрафиолетового излучегия с длиной волны около 13 нм. Поскольку многослойные периодические зеркала как и кристаллы отражают в довольно узком по длине волны и углу скольжения интервале, были созданы первые непериодические зеркала, расширяющие угловую или спектральную полосу отражения.

Не смотря на обозначенные выше значительные достижения, существует ряд поставленных, но не решенных задач, которые могут выдвинуть рентгеновскую оптику на качественно иной уровень. Диссертация направлена на решение некоторых из них.

Диссертация преследует следующие основные цели:

а) Во первых, важно научиться теоретически учитывать влияние тонких поверхностных или переходных слоев на отражение рентгеновского излучения от твердых тел, пленок и многослойных структур. Такое понимание существенно для расчета реальных зеркал, особенно широкополосных, упомянутых ниже. Это также принципиально для определения оптических констант материалов в рентгеновской области спектра методами рентгеновской рефлектомегрии и эллипсомет-рии.

б) Во вторых, принципиально важно создание многослойных непериодических рентгеновских зеркал с расширенной по углу или по спектру областью отражения. Это позволит полнее использовать излучение широкополосных источников рентгеновского излучения, например синхротронов, создавать новые изображающие системы для астрофизики и рентгеновской микроскопии. Для проектирования и применения непериодических многослойных покрытий желательно разработать их последовательную теорию.

в I В третьих, технология изготовления многослойных покрытий достигла такой стадии, что стало возможным создание более сложных оптических элементов на основе таких структур. Заманчивым представляется использование срезов короткопериодных многослойных покрытий в качестве дифракционных решеток. Подобные решетки будут обладать высокой дисперсией при высокой эффективности дифракции и больших углах скольжения. Для проектирования и расчета подобных дисперсивных рентгенооптических элементов также необходима их теория.

Научная новизна

а1 Впервые получены поправки к френелевским коэффициентам отражения рентгеновского излучения и их отношению от образцов при наличие тонкого поверхностного или переходного слоя в виде ряда по толщине этого слоя с точностью до членов второго порядка Впервые сформулирован критерий наличия тонких пленок на поверхности образцов, связанный с использованием отклонения от соотношения симметрии между френелевскими коэффициентами отражения.

б) Впервые построена теория непериодических многослойных рентген овских зеркал с использованием метода медленных амплитуд (ММ.А) и ВКВ асимптотик. В рамках созданной теории решена задача отраг-жения от многослойного рентгеновского зеркала с медленно меняо-щимся периодом. Разработан оригинальный метод решения обратной задачи, сводящийся к численному решению одного дифференциального уравнения первого порядка и работающий в широком диапазоне длин волн 0,01 — 20 нм. Впервые получено сбщее соотношение, связывающее максимально достижимый интегральный коэффициент отражения с параметрами многослойной структуры, найдено уравнеме для оптимального соотношения толщин слоев материалов покрытия.

в) Было впервые показано, что использование урана и его соединений в качестве тяжелого материала способно радикально улучшить параметры многослойных покрытий в диапазоне 4,4 — 5 нм ("углеродном окне"). Найдены оптимальные непериодические покрытия в 5 —10 раз расширяющие полосу отражения зеркал в этой области спектра при увеличении интегрального коэффициента отражения в 1,5 — 2 рг;а Впервые показано, что диапазон 4,4—5 нм обеспечивает более высокое пространственное разрешение, чем другие диапазоны спектра, планирующиеся к использованию для проекционной рентгеновской литографии, если используются периодические многослойные покрытия. Это преимущество возрастает при переходе к широкополосным непериодическим зеркалам, позволяя получить разрешения вплоть до 5 — 10 нм.

г) Впервые построена теория и разработан метод численного расчета дифракционных эффективностей срезанных многослойных решеток, сс-пованныс на решении уравнений Максвелла в слоистой среде. Вперьые с помощью приближения двух связанных волн и метода медленных амплитуд получены приближенные аналитические формулы для расчета дифракционных эффективностей срезанных многослойных решеток, а также критерии их применимости.

Практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты могут использоваться для:

а) Более точного определения оптических констант образцов с помошью методов рентгеновской рефлектометрии и эллипсометрии, что необхэ-

димо для восполнения имеющихся пробелов в области мягкого рентгеновского излучения. Знание рентгенооптических констант материалов является необходимым условием для успешной разработки новых оптических элементов для рентгеновского излучения;

б) Создания непериодических многослойных рентгеновские зеркал с заданной зависимостью коэффициента отражения от угла скольжения или длины волны, с расширенной полосой отражения. Это позволит создавать изображающие рентгенооптические системы нового поколения с высокими эффективностью и пространственным разрешением в диапазоне длин волн 0,1 — Е нм;

в) Расчета дифракционных эффективностей срезанных многослойных решеток (а также асимметричных кристаллов), что позволит создать новые типы подобных дисперсивных рентгенооптических элементов, работающих в широком диапазоне длин волн 1 — 20 нм и предназначенных для астрофизики и да агностики плазмы.

На защиту выносятся следующие положения:

а) Критерием наличия тонкого поверхностного или переходного слоя на границе раздела двух сред служит отклонение от соотношения симметрии между френелевскими коэффициентами отражения.

б) Максимально возможный интегральный коэффициент отражения, а также оптимальное соотношение толщин слоев материалов структуры могут быть оценены с помошью полученных в диссертации уравнений и неравенств.

в) Оптимизация непериодических многослойных покрытий для диапазона 4,4—5 нм позволяет достичь расширения полосы отражения в 5—10 раз, при одновременном увеличении интегрального коэффициента отражения в 1,5 — 2 раза. Для гоздания высокоотражакмцих многослойных рентгеновских покрытий в этой области спектра целесообразно применение урана и его соединений.

г) Асимметричные кристаллы могут быть использованы в качестве дис-персивных рентгенооптических элементов (дифракционных решеток) с эффективностью десятки процентов.

Личный вклад автора

Непосредственно автором были проведены вычисления поправок к френе-левским коэффициентам отражения, создана теория отражения от многослойных рентгеновских зеркал с медленно меняющимся периодом и разработан метод решения обратных задач и максимизации их интегралы- ого коэффициента отражения. Автором рассчитаны оптимальные непериодические многослойные покрытия для диапазона /дин волн 4,4 — 5 ни и показано, что этот диапазон позволяет достигнуть лучшего пространственного разрешения по сравнению с другими, упоминающимися в литератур, областями спектра. Автором разработаны численные и аналитические методы расчета дифракционных эффективностей сэезанных многое лой! и six решеток, проведено сравнение результатов расчета с экспериментом.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на: XII Международной конференции по использованию синхротронного излучения (Новосибщхж, 13-18 июля, 1998 г.); Международном симпозиуме SPIE по оптике, разработке и приборам (Денвер, США, 19-23 июля 1999 г.); 7-й Международной конференции по рентгеновским лазерам (Сант-Мало, Франция, 19-23 июня 2000 г.); IV Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротрюнного излучений, нейтронов и электронов для исследования материалов (Москва, 17-22 ноября, 2003 г.); 9-й Международной конг]>е-р>енции по рентгеновским лазерам (Пекин, Китай, 24-28 мая 2004 г.); XV Международной конференции по использованию синхротрюнного излучения (Новосибирск, 19-23 июля, 2004 г.); Рабочем совещании по явлениям каналирования нейтральных и заряженных частип "Channeling 2004"(Рим, Италия, 2-6 ноября, 2004 г.).

Основные результаты диссертации представлены в работах [1]-[16]. Из них 7 это публикации в Российских и зарубежных журналах, 2 в трудах конференций, 5 в сборниках тезисов конференций и 2 препринта ФИАИа.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, трех приложений, основшлх р>езультатов и выводов и включает 135 страниц, 32 рисунка, 12 таблиц и библиографию из 118 научных работ.

2 Содержание работы 2.1 Глава 1

В главе 1 (Введение) да-1 обзор истории, основных применений и современного состояния рентгеновской оптики. Сформулированы основные проблемы на решение которьи направлена диссертация, основные теоретические методы, положения вьггосимые на защиту и основные полученные результаты.

2.2 Глава 2

Глава 2 посвящена учету влияния тонких окисных или загрязняющих плене». на коэффициент отражения рентгеновского излучения от различных образцов. Сама постановка задачи связана с существующей дохгое время проблемой экспериментального определения оптических постоянных различных материалов в области мягкого рентгеновского излучения 0,2 — 50 нм Различные эксперименты часто давали разные результаты, и вскоре стало понятно, что это связано с наличием тонких окисных и загрязня-kmejix, преимущественно органических, пленок на поверхности образцов. Существовало два способа решения этой проблемы: научиться делать чистые образцы или учесть наличие пленок при анализе результатов экспе-pi-гментов. В главе 2 изложены результаты, полученные при следовании по второму пути, т.е. учету влияния тонких поверхностных пленок на коэффициент отражения.

Основным методом ранения является разложение коэффициентов отражения и других величич по малому параметру а/\втв, где а - толщина гоенки. Волновые уравнения для з и р поляризаций излучения имеют вид:

Е" + к2 [ф) - cos2 6»1 Е = 0, В" - 44В'+ к2 Гф) - cos2 $] В = 0, (1)

e(z)

где Е и В - это ортогональные плоскости падения компоненты полей.

13 результате в Главе 1 получаются следующие разложения для коэффициентов отражения по интенсивности rs и гр и отношения соответствующих амплитудных коэффициентов отражения с точностью до второго порядка по толщине пленки:

г» = |До,|2 jl f sin+ ^sin20- f) C2 + 7 J . (2)

|Дор|2{

1 4- Аквтв1т

1 е2 сое2 вР\ + (е — сое2 в)Р

Р=Ж

Др _ Дрр

£-1 1 + 21кА\-

евт2 в — ее®2 в вт в ссе2 в

' В — сое2 9

} (3) (4)

где

С = 1тР/(е-1), е = Веу/ё, 7 = Ъеу/е<Ц{е - 1),

оо оо

<э= ! г5ф)йг, Р = ! 5е{г)йг, Ке^у = О,

оо

ш

-1-ф)

(н

Аг

£-1

(Р + еРг), &(*) = ф)- 1 ± ф)(1 - е),

к - волновое'число, в - угол скольжения, йа, и До? - соответствующие френелевские коэффициенты отражения, т](г) - тэта функция. Получз*-ные поправки могут использоваться для приближенного вычисления о эффициентов отражения и анализа результатов рефлектометрическиу и эллипсометрических измерений. В главе 2 приводятся примеры приме 18-ния полученных разложений для расчета коэффициентов отражения от различных систем пленка подложка.

Можно показать, что для френелевских коэффициентов отражения Ло,, и Дор и их отношения существует соотношение, в которое не входит диэлектрическая проницаемость среды:

Ко* =

р—сш2в 1 — рсх&2в

Соотношение (5) показывает, что в отсутствие переходного слоя изжаренное эллипсометрическими методами значение р можно использовать для вычисления значения Я„. Это означает, что метод рефлектометрии не дает дополнительной информации по сравнению с методом эллипсометрш.

При наличии тонкой пленки на поверхности образца соотношение (5) перестает выполняться. С использованием разложен? й (2)-(4) в главе 2 показано, что при наличии тонкой пленки на поверхности образца справедл!- ш

сиэдующее разложение (с точностью до членов первого порядка): р,{в) - cos2в

Л =

\U0)?

1 -pe(6')cos2Ö

-—Im sin0

- 1 =

AxÍRq,, + cos 20) (1 + fío8 cos 26)

Ro,(e sin20-cos20) (6)

где A = Im(P/(e — 1)). Формула (6) может использоваться при анализе результатов экспериментальных измерений для обнаружения тонкой пленки на поверхности, поскольку в этом случае Д ^ 0.

В завершении, в главе 2 анализируется влияние наличия тонкой поверхностной пленки на точность определения оптических констант твердых Tin. Найдены критерии, когда нужно переходить от использования формул Френеля к формулам (2)-(4).

2.3 Глава 3

Глава 3 посвящена другой задаче - расчету и оптимизации широкополос-ньх многослойных зеркал для рентгеновского излучения. Как уже отмечалось, за последние 25 лет в оптике рентгеновского излучения произошла настоящая революция, связанная с созданием периодических рентгенов-асих многослойных отражательных покрытий для диапазона 0,05 — 50 ни. Однако они обладают одним существенным недостатком, связанным с у зостью их полосы сражения, которая обычно не превышает 10"1 для мягкого рентгена при нормальном падении и 10_3 для жесткого. Одним из путей его преодоления является использование непериодических рентгеновских отражательных покрытий, для успешного конструирования которых необходимо имегь развитую теорию решения обратных задач отражения. Подобная теория и излагается в главе 3 и представляет собой о<5общение метода двух связанных медленных волн, успешно применяюще-гсх'я для анализа отражения от периодических покрытий, на покрытия с медленно меняющимся периодом.

Исходным для этой теории является представление диэлектрической проницаемости в виде:

Z Z

ф) = но + 4Bi * cos(2 J q(z')dz') + 4 ¿ Bn cos(2п j q(z')dz') (7) o n=2 o

где

Mo = ߣi + (1 — ß)£2, Вп = Цр^.яатф, ß= dl

2пж di +d>2

а величины £1, - константы диэлектрической проницаемости компонент многослойной структуры, г - расстояние от поверхности структуры, д(г) -это произвольная положительная медленная (¿д/Лг д2) функция.

Соответствующее уравнение для поля Е(г) внутри среды, если падающая волна имеет угол скольжения в, имеет вид:

Е"

Но ~ с082 9 + 4В * сс«(2 J д(г')<1г') о

£ = О, В = Ви г > О, (8)

где мы сохраняем в выражении (7) для г(г) лиг 1ь первую Фурье гармонику, рассматривая коэффициент отражения вблизи первого брэгговского резонанса.

Поскольку период многослойного зеркала меняется медленно, то поле внутри него можно представить как сумму двух волн (падающей и отраженной) , распространяющихся в противоположных направлениях:

= \Ш[ М*)«'*....... + (9)

где Ъ+ и - медленные амплитуды падающей и отраженной волн, соответственно. Подстановка выражения (9) в уравнение (8), как показано в Главе 3, ведет к следующим приближенным уравнениям:

V* =

гш

/Л = Но ■

сое2 в

(10)

Граничные условия и выражение для коэффициента отражения Я будут:

/МО) = 1, д = мо), г = |М0)р Г|Я

= 0, г^^+оо . [и>

Исключая Ь+(г) из системы (10) можно свести ее к одному уравнению второго порядка для Ь{г) =

Ь" + 2-Ь' +

, /с2 к4 - 4Б2)

Ь = 0, Ь = Ь.(г). (12)

Причем справедливо граничное условие Ь(+оо) = 0, а выражение (11) для коэффициента отражения можно преобразовать к виду:

Аг2 1 Д = .о - ---— (13)

9(0) .]£_ г?(0)

ш к2

т 6(0)

3 + + f*

Jr P

У = 0 (14)

Датее в главе 3 к решению уравнения (12) впервые применяются ВКБ асимптотики. Для этого вводится новая функция y(z) и переменная t:

b(Z) = —===, 2 =

V9W P

гдг p - это формальный параметр асимптотического разложения, причем р 0, a q(t)/q(t) ~ 1. Подставляя теперь все это в уравнение (12), получим:

/о , h

У + где

Точка означает дифференцирование по Затем в Главе 3 строится асимптотический энзац (формальное разложение) для решений (14). Для этого фЗ'нкция S раскладывается в следующий ряд по р:

1 00 Р к=О

Подставляя это разложение в (14) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем функции S^. Асимптотический энзац имеет смысл лишь вдали от особых точек(точек поворота) уравнения (14) {г,}, которые опэеделяются условием:

Ф.) = \/-Мъ) = 0. (16)

В общем случае при наличии поглощения эти точки не являются вещественными. Наибольший интерес с точки зрения расширения полосы отражения представляет случай двух особых точек, расположенных справа от нуля недалеко от вещественной оси. Для того, чтобы получить асимптотику решения на всей комплексной плоскости переменной г, необходимо сшрть асимптотики в различных областях, проходя при этом через точки позорота.

В результате в Главе 3 получается следующее выражение для коэффи-цигнта отражения, при наличии резонанса (при учете нулевого и первого членов в (15)).

1 + гш-

еЫ

R =- А - -у/Л2 - 1 (1?)

А + - 1 + iu/e ^

М5 ад» М7 ад» ад»

Длина волны, нм

VI

МО ода г

040

о,«

0110 \

оде V

вьм ---.-1-

адг ем Длинаволны, нм

Рис. 1- Примеры решения обратной задачи для жесткого диапазона спектра, для структуры С)— С при /3 = 0,38 и при угле скольжения в — 1°. Штриховая линия - модельный спектр отражения, сплошная - коэффициент отражения структуры, полученной при решении обратной задачи.

где

-2«

ф = I У (г) = « = 1 - -

о

В Главе 3 показывается, что поскольку обычно параметр \А\ 1, выражение (17) можно записать как:

Я = г = |Я|а =+ М2, = ЫФ)- П8)

Первое слагаемое в (18) описывает осцилляции коэффициента отражения. Второе дает его среднее значение:

1-

(19)

Для решения обратной задачи в Главе 3 используется усредненное по схцилляциям выражение (19) с заменой В на \В\. Для этого выведены приближенные аналитические формулы для параметров £ и ■ф". При этом 01 сбывается, что множитель ехр(—4^") соответствует затуханию волны пр л распространении ее от поверхности до группы резонансно отражающих слоев и обратно.

В Главе 3 показывается, что формула (19) удовлетворительно описыва-еп усредненный по осцилляциям коэффициент отражения в широкой по-л(х:е длин волн за исключением случая, когда падающая волна находится в брэгговском резонансе со слоями вблизи поверхности зеркала к « д(0)/т/Ке/г. Иначе говоэя, когда точки поворота расположены вблизи по-ве-ржности структуры. Для того, чтобы избежать громоздких вычислений обратная задача решается, исходя из эвристической модификации сравнительно простого выражения (19):

ш = лАад, (20)

ЧГЧ) обеспечивает предельный переход при В —у 0 в выражение, получаемое в кинематическом приближении. Также необходимо положить:

й = Тг1Ь Км = = (21)

При убывающей д(г) надо £ заменить на —

В Главе 3 излагается метод решения обратных задач, основанный на обращении (формулы (21), которая выражает коэффициент отражения через функцию обратную к q{z) и ее первую производную. Это дает возможность получить дифференциальное уравнение для -г(д), т.е. для функции обратной к д(г). Для решения этого дифференциального уравнения необходимо з? е.ть зависимость г и материальных параметров от ц. Их можно получить 31- сЯ зависимости от к или от в и используя условие Брэгга. Таким образом мо:кно выделить две основные постановки обратной задачи:

а) Найти функцию q{z) по заданной зависимости г(/с);

б) Найти функцию <?( г) по заданной зависимости г {в).

Обе эти постановки сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка относительно я~1(я)- Для случая а) оно имеет вид:

где r(x) - функция от к. Для постановке б) в Главе 3 также выписано дифференциальное уравнение. Знак плюс выбирается для убывающей q(z), а знак минус для возрастающей. Для ф" в Главе 3 получено выражение: ф" — jqz/2Re(/i). В случае необходимости учета дисперсии величины Е\ и

СИ7 являются функциями к = q/yfttefj,. Начальное условие z(qo) = О отражает тот факт, что строим непериодическую многослойную структуру начиная с поверхности и движемся в глубь многослойного покрытия. Выбор qo произволен, но целесообразно выбрать его из условия Брэгга как: до = 21гл/Щц)/\тах для возрастающей q(z) и ® = 2ir^/Re{fi)/\ тгп ДЛЯ убывающей q(z).

Из написанного выше уравнения (22) следует, что каждая задача имеет по два решения в виде возрастающей и убывающей функции q(z). Какое из них будет наиболее эффективным зависит от хода дисперсии диэлектрической проницаемости.

В общем случае (особенно при учете дисперсии) уравнение (22) может быть решено лишь численно. Критерием обрыва при этом будет равенство нулю аргумента логарифма. Это соответствует достижению точки z = +оо, и невозможности продолжить структуру дальше. Наличие подобного условия показывает, что не все заданные зависимости г от длины волны или угла скольжения могут быть реализованы на практике. Ограничивающим фактором здесь выступает поглощение.

Для расчета реального коэффициента отражения, численно найденная функция q(z) (или более точно z(q)) используется для построения дискретной структуры. Затем коэффициент отргжения построенной таким образом структуры вычисляется методом рек;френтных соотношений.

В качестве одного из примеров в Главе 3 берется структура Сг/С при скользящем падении и для нее решается обратная задача для различных зависимостей г(А) с помощью уравнения (22). Результаты приведены на Рис.1. Из них видно, что можно получить почти любую зависимость коэффициента отражения от длины волны. В главе 3 приводятся другие примеры решения обратных задач для диапазона 0,1 — 13 нм, включая область "углеродного окна"4,4 — 5 нм. Развитый метод хорошо работает в области 0,1 — 5 нм.

Помимо решения обратной задачи в Главе 3 рассматривается вопрос максимизации интегрального коэффициента отражения. Сначала рассматривается простейший случай зависимости R(А) типа "полочки":

г

\iun fi ^ 5: \тах в остальных случаях

В итоге для "полочки"получается следующие оценки для угловой ширины полосы отражения и ширины полосы по длинам волн:

7 /х' У и 1п 7 /* У " Ь [ттё]

р р

где р = величины В, Ц, 7 бзрутся в некоторых средних точках полосы отражения А и а величины Аи#в свою очередь это некоторые средние значения длины волны и угла скольжения. Будем считать, что й< 1 и, следовательно, р < 1. Тогда на основе неравенств (23) можно получить следующую оценку для интегргильного по длине волны коэффициента отражения:

г

1 -ге

Л ж \ гс

2.............." ' (24)

\/3(1-гс)]

Из формулы (24) следует, что с уменьшением гс интегральный коэффициент отражения гт4 увеличивается, достигая максимума при гс — 0. Для предельного интегрального коэ<}>фициента отражения имеет место следующее неравенство:

Из формулы (25) можно получить также оптимальное значение ¡3. Замечая,что интеграл существенно зависит от ¡3 лишь через соотношение |В|2/7, можно записать уравнение для Ртах'-

tg7г/?maI = 2тг(;3 + д), д = (26)

В рассматриваемых нами случаях обычно 5 « 1, поэтому ртах « 0,37. Уравнение (26) получено для коэффициента отражения типа "полочки", однако оно применимо для любой формы коэффициента отражения не слишком сильно отличающегося от полочки. Помимо элементарного подхода в Главе 3 рассмотрен более общий, основанный на аналогии с классической механикой.

В заключении в Главе 3 рассмотрена задача создания широкополосных многослойных рентгеновских зеркал для диапазона 4,4 — 5 нм ("углеродного окна"), который является привлекательным для многих приложений, особенно для рентгеновской микроскопии и проекционной рентгеновской литографии. Высокоотражающве зеркала нормального падения для этой

Рис. 2: Функции МП? для трех периодических многослойных покрытий в зависимости от пространственного периода к. Параметры покоытий приведены в Таблице 1.

Таблица 1 Основные параметры периодически}: многослойных структур, чьи МТР функции изображены на Рис. 2. _

Покрытие Длина волны, ям Период, нм Р Число периодов

5с/5», нм 46,9 25 0,4 20

Мо/вг, нм 13,4 6,85 0,4 100

Со/С, нм 4,5 2,25 0,4 300

области длин волн могут быть только многослойными, обладают очень узкой полосой отражения, составляющей по длине волны меньше 0,05 нм, а по углу меньше 1°.

Поскольку углы падения излучения раз личаются в разных точках сферических зеркал, то может оказаться, что они выйдут за пределы полосы отражения для конкретной длины во/ны. Для одного зеркала это не представляет проблемы, поскольку в случае широкополосного по спектру источника излучения, это будет означать, что разные участки поверхности зеркал будут просто отражать излучение с немного отличающимися длинами волн. Для многозеркальной оптической системы ситуация совершенно иная, т.к. длина волны излучения отраженного от одного зеркала может не попасть в полосу отражения другого, что приведет к существенной деградации интенсивности прошедшего через систему излучения.

Помимо падения эффективного пропуасания оптических систем узость полосы отражения по углам может вызвать уменьшение пространственного разрешения оптической системы. Это несложно понять, если заметить, что узкополосное зеркало ограничивает спектр пространственных частот,

проходящих через систему. Поскольку для достижения высокого пространственного разрешения необходимы высокие частоты, то ограничение спектра эквивалентно ограничению пространственного разрешения.

Один из способов решения эгих проблем - это использование зеркал с градиентом периода по глубине, рассматриваемых в главе 3.

Для создания многослойных зеркал для диапазона 4,4 — 5 нм были выбраны оптимальные пары материалов, которыми оказались Со/С, II/С, а также нитриды и карбиды урана в пар>е с углеродом. В главе 3 показано, что уран и его соединения являются наилучшими материалами для этой области спектра и обеспечивают существенное улучшение оптических характеристик многослойных покрытий. Рассчитаны оптимальные непериодические многослойные покрытия дта этого диапазона, которые обеспечивают расширение полосы отражения з 5 — 10 раз при увеличении интегрального коэффициента отражения 1,5 - 2 раза.

В Главе 3 рассмотрено влияние конечной ширины полосы отражения многослойных зеркал на пространственное разрешение оптических систем. Анализ основан на использовании МТР функции:

МТV - 1^(Д:)1тах ~ \Ет(х)\шп

+ \Ег{х)\1ап {г'}

На Рис.2 показаны МТР функции для трех периодических многослойных покрытий в различных областях спектра {Ет (х) - это поле отраженной волны как функция поперечно? координаты х). МТР функция определяет, как изменяется контраст дл? волн различных частот при прохождении через оптическую систему. Контраст в падающей волне считается равным 1 для всех пространственных частот. Параметры многослойных покрытий находятся в Таблице 1.

Из рисунка видно, что просгранственное разрешение составляет: для диапазона 46,9 нм - около 100 нм; для диапазона 13,4 нм - около 80 нм; для диапазона 4,5 нм - около 50 нм. Таким образом диапазон "углеродного окна"обеспечиваег наилучшее разрешение. Минимальное разрешение оценивалось как ктт ~ ХАф, где Аф - это полуширина полосы отражения зеркала. Если взять ширюкополосные непериодические зеркала у которых ширина полосы отражения в 5 — 10 раз больше чем у периодических зер>-кал, то можно достичь разрешения 5—10 нм. В результате получается, что использование ширхжополооных рентгеновских зеркал на основе многослойных покрытий медленно меняющимся периодом в области "углеродного окна"4,4 — 5 нм способно значительно улучшить пространственное разрешение рентгенооптических систем.

Таблица 2: Параметры срезанвой многослойной решетки, измеренная и рассчитанная численно дифракционная эффективность (кривая качания) которой изображена ва

эмв (1, нм Б, нм а, град. N

Со/С 10,7 0,4 6',6 170 1000

2.4 Глава 4

Задача, рассмотренная в главе 4, связана с расчетом нового типа дисперсионных рентгенооптических элементов - срезанных многослойных решеток (ЭМв). Такие решетки получаются при косом срезе многослойных структур под достаточно малым углом 5 — 10°. В силу малости периода многослойных покрытий, используемых в рен-теновской области спектра, срезанные решетки обладают очень большой дисперсией, сравнимой с даваемой нарезными решетками с числом штрихов на мм порядка 104. При этом они обладают дифракционной эффективностью примерно равной коэффициенту отражения от соответствующих многослойных покрытий. Сильная резонансная дифракция возникает при углах падения одновременно удовлетворяющих основному уравнению решетки и условию Брэгга

- = пА, п = 0, ±1,2,..., (28)

2^8ш(у> - а) = тХ. т - \п\, (29)

где Л - это длина волны, <рп и <р - это углы дифракции и падения, соответственно, £> = ¿1 эта - это период решетки, а - угол среза, <1 - это период многослойного покрытия.

В главе 4 изложена полная теория и V етоды расчета срезанных многослойных решеток, основанные на решении уравнений Максвелла для поле обеих поляризаций в слоистой среде:

V х V х Е = ек2Е, V х ^У хв| = к2В, (30)

где Е и В - это векторы электрического и магнитного полей соответственно, а £ = е(х, г) - это диэлектрическая щюницаемость как функция координат. За пределами слоистой среды, т.е. где г < 0 и г > го, где го - это толщина структуры, она равна 1. Схема срезанной многослойной решетки изображена на Рис.3.

Для решения уравнений (30) все величины разлагаются в ряды Фурье по координате х параллельной поверхности решетки с периодом решетки В. В результате получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядкь (с переменой г). Для ее решения

Рис. 3 Схема срезанной многослойной решетки, где а - это угол среза, £) - период решетки.

Рис. 4' Нормированная на единицу дифракционная эффективность Со/С срезанной многослойной решетки как функция угла скольжения ф0 (кривая качания) для первого порядка дифракции. Сплошная кривая численный расчет, закрашенные треугольники и кружки - экспериментальные данные Экспериментальная кривая была сдвинута на 1,25 градуса для совмещения с расчетом Длина волны была А = 4,47 нм.

необходимо оставить разумное конечное число уравнений, после чего эта система сводится к матричному уравнению Риккати первого порядка, ко-

торое решается численно с помощью метода Рунге-Кутта. Дифракционные эффективности вычисляются по матричным формулам на основе, найденной численно фундаментальной матрицы на поверхности решетки. Если количество уравнений в конечной систем г равно девяти, то точность расчетов обычно лучше, чем Ю-10.

Помимо численного метода расчета в Главе 4 рассмотрен приближенный аналитический метод. Он основан на сохранении из бесконечной системы ОДУ только двух уравнений для нулевой л п-ой резонансной гармоник. Затем к получившейся системе двух уравнений второго порядка применяется метод медленных амплитуд, что позволяет свести ее к системе двух уравнений первого порядка, которая решается точно. Были получены формулы для коэффициентов отражения и прохождения для срезанной многослойной решетки как в случае дифракции Брэта, так и Лауэ. Для амплитудного коэффициента отражения в случае Брэ)та формула для дифракционных эффективностей выглядит как:

1' (31)

где

✓ \ 1/2 _ / \ 1/2

„ A-~2 „ Vl^+g-l / Й) , (h, 4n\

q+= 2q"œs<f , = Вп = цриМппй

cos<p + cos<pn eos ip + cos ipn 2nn

• 1 . Q

fin = - sur <pn, qn = — cosa, fíj = e0- sm' <p0,

a L - это толщина срезанной многослойной решетки.

В главе 4 было также показано, что }тюмянутые выше методы могут применяться для расчета асимметричных кристаллов, которые можно рассматривать как срезанные решетки. Приведены примеры расчета для ряда асимметричных кристаллов.

В заключении в Главе 4 результаты численных расчетов сравниваются с экспериментальными измерениями срезанных многослойных решеток в диапазоне 4,4 — 5 нм. Результаты сравнения приведены на Рис.4, а параметры решетки показаны в Таблице 2. Поскольку поперечный размер срезанной многослойной решетки обычно мал ND ~ 100 мкм), а размер

К =

пучка был больше его, то было невозможно измерить абсолютные значения дифракционных эффективностей. Поэтому все результаты измерений, а также теоретических расчетов нормированы на 1. Такой подход позволил провести сравнение формы измеренной и рассчитанной кривых качания. Сравнение показывает, что при исключении фона рассчитанная численно и измеренная кривые качания находятся в хорошем согласии друг с другом.

Помимо срезанных многослойных решеток с постоянным периодом в Главе 4 обсуждаются срезанные решетки с медленно меняющимся вдоль поверхности периодом. Показано, что они будут фокусировать излучение, причем фокусное расстояние будет равно:

пХу

+ (32)

где типичное значение градиента 7 = бИ/бх составляет 10 5 — 10 6 (определяется как изменение периода на единицу длины).

3 Основные результаты и выводы

В представленной работе были теоретически решены несколько важных задач рентгеновской оптики:

а) Построена теории отражения рентгеновского излучения от твердых тел при наличии тонкой плгнки на поверхности. Получены поправки к френелевским коэффициентам отражения для р и « поляризаций излучения и к их отношению, которые учитывают влияние тонкого поверхностного или переходного слоя с точностью до членов второго порядка по толщине этсго слоя. Обоснован метод использования отклонения от соотношения симметрии между френелевскими коэффициентами отражения для обнаружения переходных слоев и опре- / деления их параметров в диапазоне длин волн 0,1 — 50 нм. Оценены погрешности при рефлектометрических измерениях, связанные с наличием тонкой пленки на поверхности образца. Найдены поправки к

углу Брюстера, связанные с наличием поглощения.

б) Разработана теория многослойных рентгеновских зеркал с медленно меняющимся периодом. С помощью метода медленных амплитуд (ММА) и квазиклассического приближения (ВКБ асимптотик) получены явные аналитические выражения для коэффициента отражения,

в пределе переходящие в известные формулы для коэффициента отражения от периодических многослойных структур. Полученные формулы для коэффициента отражения приближенно описывают его в наиболее важной на практике области существования резонансного отражения. Найденные формулы локально выражают коэффициент отражения через функцию, задающую закон изменения периода, и >зе первую производную.

в) Полученные формулы для коэффициента отражения послужили отправным пунктом для решения обратной задачи: создания многослойных структур с заданной зависимостью коэффициента отражения от длины волны или от угла скольжения. Разработан оригинальный мэ-тод решения обратной задачи, сводящийся к ч-деленному решению одного дифференциального уравнения первого порядка. С помощью разработанного метода были исследованы конкретные примеры решенья подобных задач в различных областях спектра

г) Найденные формулы для коэффициента отражения были также использованы для решения задачи максимизации интегрального коз<])-фициента отражения. Получено общее соотношение, связывающее максимально достижимый интегральный коэффициент отражения с пар а,-меграми многослойной структуры, найдено уравнение для оптимального соотношения толщин слоев материалов покрытия. На основе ал.3г логии с классической механикой, найдено дифференциальное уравнение для общей задачи максимизации интегрального коэффициента отражения в заданном интервале длин волн или углов скольжения, справедливое в области применимости разработанной теории непериодических многослойных покрытий.

д) Рассмотрена задача создания широкополосны« рентгеновских зерьгл в диапазоне 4,4 — 5 нм ("углеродном окне"). Подобраны наилучаие пары материалов. Было найдено, что использование урана и его соединений в качестве тяжелого материала способно радикально улучшюъ параметры многослойных покрытий в этой области спектра. Найде-ш оптимальные непериодические покрытия, в 5 — 10 раз расширяют! ,ие полосу отражения зеркал в этой области спектра при увеличении интегрального коэффициента отражения в 1,5 — 2 раза. Показано, <-то диапазон 4,4—5 нм обеспечивает более высокое пространственное разрешение, чем другие диапазоны спектра, планирующиеся к исполь л> ванию для проекционной рентгеновской литографии, если использу-

ются периодические многослойные покрытия. Это преимущество возрастает при переходе к шиэокополосным непериодическим зеркалам, позволяя получить разрешения вплоть до 5 —10 нм за счет увеличения числовой апертуры оптических систем.

е) Построена теория и разрабэтан метод численного расчета дифракционных эффективностей срезанных многослойных решеток, основанные на решении уравнений Максвелла в слоистой среде. Развитый метод позволяет с высокой то юностью находить дифракционные эффективности для любой срезанной слоистой системы, включая асимметричные кристаллы. Приведены примеры численного расчета дифракционных эффективностей от срезанных решеток для различных длин волн и пар материалов в диапазоне 2-20 нм, а также для некоторых асимметричных кристаллов. Проведено сравнение численных расчетов с экспериментально измеренными дифракционными эффективно-стями срезанных многосло4ных решеток в спектральном диапазоне 4,4-5 нм.

ж) С помощью приближения двух связанных волн и метода медленных амплитуд получены аналитические формулы для расчета дифракционных эффективностей срезанных многослойных решеток, а также критерии их применимости Проведено сравнение с численными расчетами, показавшее высоку о точность метода.

з) Проведен, основанный на рюметрической оптике, анализ оптических свойств срезанных многослойных решеток с медленно меняющимся вдоль поверхности периодом. Показано, что подобные решетки будут фокусировать излучение в г лоскости падения. Выведена формула для фокусного расстояния.

Список литературы

[1] R.M. Fechtchenko and A.V. Vinogradov, "Reflection from surfaces with a thin overlayer", Optics Letters, 25, No 14, 998-1000, 2000.

[2] R.M. Fechtchenko, A.V. Popov and A.V. Vinogradov "On the reflectivity of surfaces with thin transition or contaminated layers", Journal of Russtan Láser Research, 21, No. 1, 62-68, 2000.

[3] I.A. Artioukov, B.R. Berreare, R.M. Fechtchenko, J.J. Rocca, M. Seminario, A.V. Vinogradov, and M. Yamamoto, "The Prospecte of

Reflectometry and Ellipsometry with Colorado State University Tabletop XUV laser", J.Phys. IV France, 11, Pr2-451-Pr2-457, 2001.

[4] A. V. Vinogradov, R.M. Fechtchenko "An approach to the theory of X-ray multilayers with graded period", NIMA, 448, 142-146, 2000.

[5] A. V. Vinogradov, R.M. Fechtchenko, "Theory of X-ray multilayers with graded period", Proc. SPIE, 3773, 128-138, 1999.

[6j A.B. Виноградов, P.M. Фещенко, "Тэория многослойных рентгеновских зеркал с медленно меняющимся периодом", Москва, ФИАН, Препринт No 20, 1998.

[7] A.B. Виноградов, P.M. Фещенко, "Теория многослойных рентгеновских зеркал с медленно меняющимся периодом: часть 2 - обратная задача", Препринт No 9, Москва, ФИАН, 1999.

[8] I.A. Artioukov, R.M. Fechtchenko, A.L. Udovskii, Yu.A. Uspenskii and A.V. Vinogradov, "Soft X-ray multilayer mirrors based on depleted uranium", NIM A, 517 1-3, 372-377, 2004.

[9] И.А. Артюков, A.B. Виноградов, A.JI. Запысов, В.И. Осташев, В.А. Пронин, А.Л. Удовский, Ю.А. Успенский, P.M. Фещенко, "Многослойные рентгеновские зеркала нормального падения, основанные на обедненном уране", XV Международная Конференция по Использованию Синхротронного Излучения, 19-23 июля 2004 г., Новосибирск, сборник тезисов, с.142.

[10] I.A. Artioukov, R.M. Fechtchenko arid A.V. Vinogradov, "Wavefront transformation and the modulation transfer function (MTF) of x-ray multilayer mirrors", J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 4, 233-236, 2002.

[11] R.M. Fechtchenko, A.V. Vinogradov, D L. Voronov, "Optical properties of sliced multilayer gratings", Optics Communications, 210, 179-186, 2002.

[12] A.B. Виноградов, P.M. Фещенко, В.А. Чернов, "О применении совершенных кристаллов в рентгеновской спектроскопии высокого разрешения", Письма в Ж9ТФ, 78 (10), 1118-1120, 2003.

[13] А.В. Виноградов, P.M. Фещенко, В.А Чернов, "Дифракционная эффективность срезанной многослойной решетки и совершенного асимметричного кристалла", IV Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электро-

нов для исследования материалов, Москва, 17-22 ноября, 2003 г , тезисы докладов с.475.

[* 4] Е.А. Бугаев, P.M. Фещенко, В.П. Петухов, А.В. Виноградов, Д.Л. Воронов, В. А. Токарев, "Срезы многослойных структур и асимметричные кристаллы для спектроскопии в мягком рентгеновском диапазоне", XV Международная Конференция по Использованию Синхротронного Излучения, 19-23 июля 2004 г., Новосибирск, сборник тезисов, с. 143.

['.;>] Е. A. Bugaev, R.M. Feshchenko, V.P. Petukhov, A.V. Vinogradov, D.L. Voronov, "Со/С sliced multilayer grating for the 4.4-5 nm wave-length interval", 9th International Conference on X-Ray Lasers, Beijing, China, May 24-28, 2004, abstract book, p. 102.

[-«] E. A. Bugaev, R.M. Feshchenko, V.P. Petukhov, A.V. Vinogradov, D.L. Voronov, V.A. Tokarev, "Dispersive properties of Co/C sliced multilayer gratings for the 4.4-5 nm wavelength interval", Channeling2004 Workshop on Charged and Neutral Particles Channeling Phenomena, Frascati (Rome), Italy, November 2 - 6, 2004, abstract book, p.98.

!

s I

i

»

i î

€16869

РНБ Русский фонд

2006-4 12561

Подписано в печать 2005г.

Формат60x84/16. Заказ № 8 V Тираж -КОэкз. П.л. .

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 132 5128