Применение статистического моделирования для оценки показателей надежности элементов энергетического оборудования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Голубева Ольга Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООЗ168188

Москва-2008

003168188

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

Радин Владимир Павлович Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Гусев Александр Сергеевич - доктор технических наук, профессор Горбатых Валерий Павлович Ведущая организация - ФГУП ОКБ «Гидропресс»

Защита состоится «28>> мая 2008 г в 16— часов в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул , д П

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (техническом университете)

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул , д 14 Ученый совет МЭИ (ТУ)

Автореферат разослан Qiyi/^vgjjujL. 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор Трифонов О В

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Элементы энергетического оборудования, будучи составными частями сложных и ответственных технических объектов, находятся в условиях повышенной нагруженности При переходе в предельное состояние они являются источниками повышенной опасности для людей и окружающей среды Кроме того, в настоящее время существует большое количество энергетических объектов, время эксплуатации которых приближается к проектному ресурсу или превышает его. В связи с этим весьма важной проблемой является опенка показателей надежности и прогнозирование остаточного ресурса

Существующие в настоящее время нормативные документы для расчета элементов энергетического оборудования либо ориентированы на детерминированный подход, либо косвенно учитывают случайный характер параметров нагружения и сопротивления введением соответствующих коэффициентов запаса или расчетных кривых В связи с этим нормативные расчетные схемы зачастую оказываются весьма далекими от условий работы реальной конструкции, подверженной воздействию случайных факторов. Данное обстоятельство было отмечено еще в 60-е годы прошлого века, тогда же был предложен ряд общих решений задач прочности, основанных на статистических методах Рассмотрены задачи построения математических моделей процессов нагружения и получения вероятностных характеристик для оценки надежности, усталостной долговечности и живучести конструкций Наиболее широкое применение статистические методы нашли в расчётах машиностроительных конструкций при случайных воздействиях Новый этап в развитии вероятностных методов расчета конструкций состоит в дальнейшем совершенствованием теоретических основ и более широким использованием на практике

Целью работы является разработка методов анализа надежности и ресурса энергетического оборудования с использованием метода статистического моделирования и иллюстрацией на примере узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М В рамках диссертационной работы для достижения поставленной цели требовалось решение следующих задач анализ напряженно - деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М, исследование и статистическая обработка режимов нагружения узла, выбор и обоснование законов распределения нагрузок и сопротивлений, разработка алгоритмов моделирования случайных величин с заданными статистическими характеристиками, разработка алгоритмов статистической обработки результатов моделирования . \

Методы исследования. В диссертационной работе анализ напряженно-деформированного состояния узла проведён с использованием современного программного обеспечения - конечно-элементного комплекса ANSYS В рамках вычислительного эксперимента для моделирования широко используется метод статистического моделирования (метод Монте - Карло) При анализе выборок и статистической обработке результатов вычислительного эксперимента использовались современные методы математической статистики При оценке показателей надежности из расчета на циклическую трещино-стойкость проводилось численное интегрирование уравнения роста трещин (уравнения Пэриса)

Научная новизна. Впервые для элементов энергетического оборудования был систематически применен метод математического моделирования, получены оценки показателей надежности Были рассмотрены и учтены случайная природа нагрузок, разброс свойств материалов, статистическое истолкование коэффициентов запаса. На примере узла приварки «горячего» коллектора парогенератора Г1ГВ-1000М и четырех видов расчетов (на статическую прочность и трещиностойкость, на циклическую прочность и циклическую трещиностойкость) были разработаны алгоритмы и программы по оценке показателей надежности

Достоверность полученных результатов. Использованные в работе данные по истории нагружения узла качественно соответствуют картине повреждений, наблюдаемой при эксплуатации узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М Прочностные расчёты строго и последовательно проведены по формулам, согласно существующим нормативным документам Статистическое моделирование реализовано с использованием современного программного обеспечения, в достаточном объеме и с учетом последних наработок математической статистики

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программы могут быть использованы проектными и научными исследовательскими организациями для решения проблем прочности и ресурса На данный момент разработанные методики внедрены на 1-ом блоке Калининской АЭС для обоснования остаточного ресурса элементов ГЦК

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на Одиннадцатой Международной научно - технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» i-2 марта 2005 i , Москва,

- на IX Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров» 24-28 октября, 2005 г, Обнинск,

- на Двенадцатой Международной научно - технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» 2-3 марта, 2006 г, Москва

По теме диссертации опубликовано 7 работ, имеется 1 внедрение Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, сводки результатов и выводов, списка литературы Объем работы - 131 страница, включая 40 рисунков, 3 таблицы. Список литературы включает 93 наименования

Краткое содержание работы

В первой главе приведена историческая справка по истории развития теории надежности механических систем, описаны методы математической статистики, основные положения метода статистического моделирования, а так же детерминистический расчет на прочность и долговечность элементов энергетического оборудования

Вторая глава посвящена анализу напряженно - деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М и применению метода статистического моделирования для оценки показателей надежности узла из расчета на статическую прочность и трещиностойкость

В процессе многолетней эксплуатации оборудования АЭС были выявлены однотипные повреждения узла приварки «горячего» коллектора ПГВ-1000 малой серии в виде магистральных макротрещин непосредственно в районе сварного шва №111/1, В рамках исследования влияния термомеханического нагружения на повреждаемость шва №111/1 были проведены расчеты по определению напряженно-деформированного состояния узла приварки с использованием МКЭ-моделей (рис 1, а))

Был просчитан ряд последовательностей режимов нагружения узла, проведен анализ полученных реализаций местных условно-упругих напряжений и значений повреждаемости в точках сечения узла (рисЛ, б)), соответствующих разным последовательностям режимов В результате расчетов были выявлены наиболее опасная точка в сечении (условный номер 9329, рис 1 б)) и расчетный случай нагружения, описывающий картину зарождения и роста обнаруженных дефектов (рис 2) Данные по напряжениям расчетного случая нагружения представлены в виде последовательности значений как функция номера режима /

трещин

Сечение

а4*

61

Рис.1, а) Расчётная модель узла врезки «горячего» коллектора ПГВ-1000М; б) схема (с номерами узлов) расчетного сечения, расположенного на высоте выявленных дефектов

40 80 120

I номер режима

I, номер режима

а) б)

Рис.2. История нагружения патрубка в точке 9329: а) местные условно-упругие напряжения за первый год эксплуатации, МПа; б) местные условно-упругие напряжения за год, начиная со второго года эксплуатации, МПа

В качестве исходных напряжений для вероятностных расчётов была использована реализация местных условно-упругих напряжений в точке 9329, которая представляет собой комбинацию двух составляющих: расчётный случай 1 - первый годовой блок эксплуатации (рис.2, а), это этап неустановившихся упруго-пластических деформаций) и расчётный случай 2 - последующие годовые блоки эксплуатации начиная со второго (рис.2, б), этот этап характеризует условия работы, происходящие в условиях стабилизировавшихся циклических нагружений) в количестве девяти блоков повторений.

Далее напряжения рассматривались как выборка, соответствующая некоторой случайной величине а. На рис.3 представлена гистограмма выборки напряжений расчётной истории нагружения, усеченной снизу значением, равным 50 МПа. Усечение призвано исключить из рассмотрения невысокие значения напряжений, не представляющие большого расчётного интереса, и более адекватно описать и смоделировать высокие напряжения, вносящие основной вклад в повреждаемость. Кривая, аппроксимирующая эмпирическую плотность распределения а теоретическим распределением, соответствует нормальному (гаусовскому) закону. Правомерность применения указанного закона подтверждена критериями согласия для сложной гипотезы.

600 700

' • ■ ' а, МПа

Рис.3. Гистограмма выборки напряжений. Кривая - теоретическая плотность распределения напряжений а

Моделирование случайной величины а проводилось по методу Монте-Карло. Величина о моделировалась многократно, по итогам моделирования была сформируована выборка максимальных значений отах. Для аппроксимации полученной статистической выборки максимальных значений теоретической функцией распределения было использовано распределение Гумбеля. Использование критериев согласия для сложной гипотезы позволило сделать выбор как вида теоретической функции распределения, так определить значения параметров входящих в неё. В результате в качестве аппроксимирующей функции была принята функция распределения Гумбеля:

^Кш) = ехР

-ехо -

(1)

где связь параметров распределения Гумбеля о0, ас со статистическими характеристиками величины Ощах математическим ожиданием (отах) и дисперсией Д атах) задается соотношениями

(ато) = а0 +0,577ае> = (2)

Сопротивление материала, характеризующееся пределом текучести, также считаем случайной величиной, которая, согласно данным завода изготовителя, нормально распределена с известными параметрами распределения При расчете на статическую прочность проверяется выполнение условия прочности применительно к расчетным нагрузкам На рис 4 построены теоретическая функция распределения максимальных значений напряжений /~(отах) — кривая 1, к здесь же в несколько увеличенном по оси ординат масштабе для наглядности построена плотность распределения предела текучести р{К) - кривая 2 Кривая 1 может рассматриваться как условная вероятность безотказной работы при некотором фиксированном значении предела текучести, т е ) = Р(оши | Л)

1

OS

н

is 06

О 2 О

/

У

/ J

/ / / V

) J \ \ V

О 300 400 500 600 700

сгти, МПа Л, МПа

Рис 4 Теоретическая функция распределения максимальных значений напряжений F(amax) (кривая 1) и плотность распределения предела текучести p(R) (кривая 2)

Функция надежности Р определяется по формуле

00

р= ¡F(aa„\R)p{R)dR, О

вероятность нарушения условия статической прочности Q определяется

со

0 = 1-^ = 1- (4)

О

Для принятой истории нагружения патрубка и свойств материала вычисления дают () = 0,848 Такое значение вероятности достаточно велико -это говорит о том, что наличие значений напряжений близких к пределу текучести в истории нагружения скорее правило, чем исключение (достоверность утверждения 84,8%) В свою очередь вероятность выполнения условия статической прочности Р - 1 - 0,848 = 0,152 не может считаться достаточной, особенно для ответственного оборудования и необходимы меры по снижению нагруженности узла, в том числе и общего уровня эксплуатационных напряжений

Методы статистического моделирования дают возможность оценить параметры надежности из расчета на сопротивление хрупкому разрушению Сопротивление хрупкому разрушению следует считать обеспеченным, если выполняется условие

(5)

где К, - коэффициент интенсивности напряжений, [£,] - его допускаемое значение Используем ранее смоделированую и аппроксимированную функцией распределения Гумбеля выборку максимальных значений напряжений Натт) В качестве расчетного дефекта берется несколько вариантов полузл-липтических трещин глубиной а и полудлиной с: 2x6 мм, 6 х 20 мм, 10 х 30 мм Для цилиндрических, сферических, конических, эллиптических, плоских элементов, нагружаемых внутренним давлением и температурными воздействиями, коэффициент интенсивности напряжений МПа м1/2 допускается определять по формуле

(У2

Ю, (6)

где т| - коэффициент, учитывающий влияние концентрации напряжений, <ур - составляющая напряжений растяжения, МПа; а? - составляющая из-

гибных напряжений, МПа,

Ир = 1 + 0,12(1 - а! с), М, = 1 - (0,64а / К) , (7)

а - глубина трещины, мм, с - полудлина трещины, мм; к-длина зоны, в пределах которой составляющая изгибных напряжений сохраняет положительное значение, мм;

С = [1 + 4,б(а / 2с)1'65(8)

При расчете принято коэффициент концентрации напряжений »/=1, напряженное состояние определяется деформациями растяжения, т. е смоделированная выборка максимальных значений /Х°шах) трактуется как выборка напряжений растяжения, а изгибные напряжения принимаются ну-левымйким образом получены три статистические выборки максимальных значений коэффициента интенсивности напряжений К1 (по количеству вариаций трещин) Теоретическая функция, аппроксимирующая выборку К\, соответствует распределению Гумбеля максимальных значений Проверка утверждения о соответствии была реализована посредством критериев согласия для сложной гипотезы На рис.5 приведён коэффициент интенсивности напряжений на вероятностной бумаге Гумбеля (случай трещины с размерами 2x6 мм) Качество аппроксимации можно проконтролировать виз>ально На рис 6 проиллюстрированы теоретические функции распределения максимальных значений коэффициента интенсивности напряжений К\ для трех случаев размеров трещин 2 х 6 мм (кривая 1), 6 х 20 (кривая 2) и 10 х 30 мм (кривая 3) Кривые 1-3 можно рассматривать как зависимости вероятности безотказной работы Р от допускаемого значения коэффициента интенсивности напряжений

0 997 р

О 99 0 98[ 0 95' 4 0 90 0 75

0 50 0 25Ь

0 003

еХ _:___ -__з

40~42~44 46 48 50 52 54 56 К;, МПаУм1

Рис 5. Статистическая функция распределения Гумбеля максимальных значений коэффициента интенсивности напряжений К\ для случая трещины с размерами 2 х 6 мм на вероятностной бумаге Гумбеля

30 40 50 60 70 80 90 100110120 К^МПгЫм1

Рис 6 Теоретические функции распределения максимальных значений коэффициента интенсивности напряжений К\ для трех случаев размеров трещин 2x6 (кривая 1), 6 х 20 (кривая 2) и 10 х 30 мм (кривая 3)

Для примера возьмем допускаемый коэффициент интенсивности напряжений [/Г^ - 80 В этом случае для трещины 2 * 6 мм вероятность безотказной работы практически равна единице (рис 6, т.1) Для трещины

и

6 X 20 мм она составляет 0,718 (рис 6, т 2) и для трещины 10 х 30 мм вероятность безотказной работы близка к нулю (рис 6, т 3)

Таким образом, зная размеры трещины (например по данным дефектоскопии) и типичную историю нагружения (результаты замеров тензометрии, результат расчетно-экспериментальных мероприятия и т п), можно оценить вероятность развития трещины до критической

В третей главе рассмотрена оценка показателей надежности узла приварки горячего коллектора ПГВ-1000М из расчета на циклическую прочность и трещиностойкость История нагружения принимается как в предыдущих расчетах на статическую прочность, а именно. 1 год эксплуатации - расчетный случай 1 (рис 2, а)), 2-10 годы эксплуатации - расчетный случай 2 (рис 2, б)) Дополнительно принимаем, что на основные циклы наложены детерминированные высокочастотные вибронапряжения с частотой / = 4 Гц и амплитудой (ста} = 5 МПа

Данные по напряжениям были обработаны следующим образом исключены повторяющиеся, следующие друг за другом значения (как не вносящие вклада в циклическую повреждаемое гь), методом полных циклов выделены циклы нагружения для которых вычислен массив размахов напряжений До и амплитудные значения оа Для полученной выборки амплитуд напряжений построена гистограмма амплитуд напряжений (рис 7)

0 016 0 014 0 012 Ъ 0 01 1 0 008 ^ 0 006 0 004 0 002

°0 100 200 300 400 500 600

оа, МПа

Рис 7 Гистограмма амплитуд напряжений

Из гистограммы следует, что выборка содержит большое количество невысоких значений напряжений (ниже пороговых кривой усталости) Ис-

ключим эти значения из выборки как не вносящие существенного вклада в повреждаемость Оставшуюся часть аппроксимируем теоретическим законом распределения По результатам применения критериев согласия для сложной гипотезы, выборку амплитуд напряжений будем полагать равномерно распределенной на интервале [min maxоа]. В качестве minoa принимается наименьшее значение амплитуды напряжений, которое учитывается кривой усталости, тах с0 - наибольшее значение амплитуды напряжений за время эксплуатации Выборка амплитудных значений напряжений формируется как сумма детерминированной составляющей (значения меньше, чем mínaa) и смоделированного по равномерному закону распределения значения на интервале [mmca, maxaj Формирование вероятностной составляющей напряжений было реализовано методом статистического моделирования Монте-Карло Объем выборки при этом был постоянен и определялся исходными даш1ыми (выборкой)

В основу вычислений на циклическую прочность положена расчетная кривая усталости углеродистых и легированных сталей Для удобства вычислений кривая усталости аппроксимировалась кусочно-линейной зависимостью (см рис 8, где звездочками отмечены контрольные вычисления с использованием параметров аппроксимации)

Ufr

S

Ж irr

ю1

1 ~ ~ 3 4 (V 4 И- 1 HIM т

Ч 4-с-Ч > ОИ ) + ♦ S, 1 fll -í Í-Í-K-V í i Httil ■*■ i ^^Sv f t' ► i'" .. i*1 V 1 í " í

_ - _ l XX T ¡ i hn-'J ' * f t -i t u * и • .. ' ..............

№

Ю1 10: 103 ю4 ю"

10° ю Щ

Рис 8 Кусочно-липейная аппроксимация кривой усталости

Рис 9 Схема расчетной (нижняя кривая) и «истинной» (верхняя огибающая кривая, выделена жирной линией) кривых усталости

Суждение о прочностных характеристиках натурных элементов строится обычно по результатам изучения механических характеристик материалов, из которых эти элементы выполнены При испытаниях наблюдается некоторое рассеяние результатов, что было отражено в виде коэффициентов запаса

Так в расчетной кривой усталости (рис 8) заложены максимальные коэффициенты запаса по напряжениям п„ = 2, по числу циклов и,у = 10 «Истинная» кривая усталости (без коэффициентов запаса) может быть восстановлена следующим образом На графике помимо расчетной кривой усталости [ста] ~ [Лу (рис.9) достраиваются еще две1 2[сл] ~ [Лу и [о3] ~ 10[ЛГ0] Обе кривые расположены выше расчетной и имеют точку пересечения |7У*] «Истинная» кривая усталости проходит «по верху» обеих кривых и, по сути, состоит из 2-х частей при [Л'в] < [Л'*] описывается кривой [о,,] - 10[Л'9], а при [ОД > [Лт*] имеет место 2[оа] ~ [ЛУ С другой стороны, «истинная» кривая усталости строится по статистически обработанным результатам испытаний заданного числа образцов. В опыте фиксируется амплитуда напряжений и определяется количество циклов до разрушения На основе полученных данных составляется статистическая выборка «амплитуда напряжений - число циклов до разрушения». Срез выборки при фиксированном параметре после соответствующей статистической обработки дает точку на «истинной» кривой усталости Срез производиться по фиксированной амплитуде, если разброс значение чисел циклов до разрушения небольшой, и при фиксированном числе циклов, если разброс данных о циклах нагружения до разрушения большой (т е в зоне пологости кривой усталости, где одной и той же достаточно низкой амплитуде напряжений соответствует широкий диапазон циклов разрушения)

Функция, аппроксимирующая данные среза по параметру, является логарифмически - нормальной с плотностью распределения

2 (1ПДГ-Ц)'

^-ТШ' " • <9)

и функцией распределения

= (10)

где Ф - функция Лапласа

Для однозначного определения функции распределения кривой усталости необходимо знать значения входящих в нее параметров /х и -/о. Используем следующие соображения «истинная» кривая усталости имеет 50%-ную обеспеченность, «расчетная» - 99.87%-ную (т е является квантилью 0 0013 функции распределения) С другой стороны при ¡7У0] < [¡У*] значение «истиной» кривой усталости есть Ю[АГ0], расчетной [Л'«] Для [Лг0] > [/V ] значение «истиной» кривой усталости есть 2[сга], расчетной [<та] В результате получим

два набора параметров функции распределения кривой усталости в зависимости от значения разрушающего числа циклов

//=1п10[лг0], 45=з1пю при [л;]<[лГ], (п)

// = 1п2[сга], -/Д = 31п2 при [А'о]>[//]. (12)

Полученные значения параметров (11)-(12) функции рассеяния кривой усталости (9}—(10) далее использованы при статистическом моделировании реализаций кривой усталости методом Монте-Карло При этом полученные реализации обладают всеми свойствами прототипа Дополнительно была принята гипотеза об однородности свойств материала при различных режимах работы, т е о неизменности полученных параметров распределения На рис 10 представлен пучок смоделированных кривых усталости

Рис 10 Семейство смоделированных кривых усталости

Расчет на циклическую прочность проводится согласно соответствующим нормативным документам. Введем в рассмотрение меру повреждения а, равную нулю для начального состояния материала и единице для момента полного разрушения Условие прочности при наличии циклических нагрузок проверяется по формуле

¿¿-^Ы. (13)

где М, - число циклов ) - го типа за время эксплуатации, к - общее число типов циклов, [Аг0 ] - допускаемое число циклов г-го типа, [дд,]-предельное

значение накопленного усталостного повреждения, которое обычно принимается равным единице В общем случае

а, + аг + а,

й = ШаХ| а (14)

где а\ - повреждение от эксплуатационных циклов нагружения, на которые не наложены высокочастотные напряжения, <з2 - повреждения от высокочастотных напряжений при постоянных эксплуатационных напряжениях (стационарные режимы), а\ - повреждение типа а2, определяемое при условии нагружения при стационарном режиме, приводящем к наибольшему повреждению за все время эксплуатации, аз - сумма повреждений от высокочастотных напряжений в течении циклов переменных напряжений на переходных эксплуатационных режимах а\ и при прохождении резонансных частот а" в тех же циклах. Накопленные повреждения а\ и определяются по формуле (13)

Сочетание основного эксплуатационного циклического нагружения с амплитудой (од) и частотой /0 и наложенного с амплитудой (оа) и частотой / вызывает снижение допускаемого числа циклов основного низкочастотного нагружения с [Лг0] до [Лг], определяемого по формуле

М=К]/к, (15)

где к-коэффициент снижения долговечности при наложении высокочастотных циклов Для основного цикла нагружения г - ого типа повреждение аъ определяют по формуле

(а;),=*-д/[дц (16)

Коэффициент к независимо от факторов эксплуатации определяют по номограммам или вычисляют по формуле

к =

Г

(17)

/ ч/о у

где ^-коэффициент, зависящий от материала, принимается по соответствующим таблицам, здесь 11 принят равным г) = 1,3

Частота и амплитуда основного циклического нагружения при вычислениях по (17) были приняты как средние значения за весь период эксплуатации В (14) слагаемые а\ и а" не учитывались

Вероятностному расчету на циклическую прочность предшествует классический детерминированный расчет, который проводиться с использованием исходной истории нш^ужения (рис 2) и нормативной кривой устало-

сти (рис.8). График изменения меры повревдения для детерминированного расчета приведен на рис 11.

Рис 11 График изменения цикличе- Рис 12 Семейство зависимостей ской меры повреждения патрубка (де- меры повреждения от времени терминированный расчет)

К концу десятилетнего периода эксплуатации мера повреждения а достигла значения равного 0,38 - это детерминированная оценка повреждаемости Вероятностную оценку показателей надежности будем проводить в предположении о том, что история нагружения патрубка есть некоторый случайный процесс (точнее случайная последовательность, заданная значениями напряжений в зависимости от номера режима), а также что характеристики материала являются случайными величинами Алгоритм статистического моделирования при вероятностной оценке надежности состоит в следующем

• формируется выборка амплитудных значений напряжений, распределенных согласно закону, что и исходная, объем выборки постоянен и определяется числом эксплуатационных режимов,

• моделируется стохастическая кривая усталости варьированием отклонений от расчетной кривой,

• с учетом детерминированных вибронапряжений, накладываемых на основные циклические напряжения, вычисляется зависимость меры повреждения а от времени по формулам (13)-(17),

о фиксируются максимальные значения меры повреждения атах в конце заданного срока эксплуатации и формируется выборка случайных значений агах, вычисляются параметры распределения выборки а^

• вероятность безотказной работы Р узла из расчета на циклическую прочность определяется как значение функции распределения для а^ от предельно допустимого значения [а]

После проведенного статистического моделирования напряжений и стохастической кривой усталости вычисляется оценка показателей надежности, а именно проводиться вычисление зависимости меры повреждения а от времени с учетом детерминированных вибронапряжений На рис 12 приведено несколько реализаций зависимостей меры повреждения от времени, вычисленных по формулам (13)~(17).

В конце заданного срока эксплуатации было зафиксировано значение накопленной повреждаемости - наибольшее значение за историю нагружения ати По всем фиксированным <ашах составлена соответствующая статистическая выборка, которая описывается теоретическим законом распределения На основании результатов проверки критериями согласи для сложной гипотезы можно утверждать, что выборка для аппроксимируется двойным экспоненциальным распределением Гумбеля

Вероятность безотказной работы Р узла из расчета на циклическую прочность определена как значение функции распределения Гумбеля от предельно допустимого значения [а], те Р = ^([а]) На рис.13 построена зависимость /"([а]) Если принять предельно допустимое значение для меры повреждения, равное единице, то Р~ 0,9998. Иначе говоря, при заданной истории нагружения вероятность набрать предельную повреждаемость равную единице есть 0 = 1 - Р = 0,0002

Следующий важный прочностной расчет - расчет на циклическую тре-щиностойкость В основе описаний циклической трещиностойкости лежит диаграмма усталостного разрушения Для дальнейших расчетов в качестве рабочей была принята средняя область диаграммы, непосредственно описываемая законом Пэриса

а - поправочный коэффициент, зависящий от размеров элемента конструкции, ориентации трещины и способа нагружения, I— длина трещины В качестве расчетных были приняты следующие числовые параметры а=1.и = 4,

(18)

(19)

где ДА" связан с Аа соотношением

АК = аАа4л1

(20)

02 03 04 05 06 07 08 09 1

И

Рис.13 Графих вероятности безотказной работы

С = 5 1(Г14мм7 Н4, начальная длина трещины /0 = 6 мм Для вероятностной оценки параметров циклической трещиностойкости брались смоделированные ранее выборки размахов напряжений Да, определялся ДК согласно соотношению (20), далее численно интегрировалось уравнение роста трещины, фиксировалась величина трещины на конец расчетного периода - наибольшее значение за историю нагружения Из полученных значений была сформирована выборка максимальных значений размеров трещины /гаах (порядка 500 значений) Статистическая выборка /тях, как и большинство выборок тах значений случайной величины, хорошо аппроксимируется теоретическим распределением максимальных значений Гумбеля (см рис 14), что также подтверждается критериям согласия для сложной гипотезы

Вероятность безотказной работы определяется как Р ~ /^(4), где 1С -заданная критическая длина трещины, может быть определена через заданный коэффициент интенсивности К1с Пусть критическое значение коэффициента интенсивности равно К]с = 80 МПал/м Тогда в соответствии с критерием Ирвина Ктгх = К]с определим критическую длину трещины

К

I =

У-т

= 10,06 мм

(21)

По графику вероятности безотказной работы (рис 15) находим, что для принятой истории нагружения и для начальной трещины длиной б мм согласно критерию Ирвина разрушение не наступит с вероятностью 99,7% (что соответствует обеспеченности 0,997).

0 999 0 997

1

0 99 Ь, 0 98 0 95 0 90

4

Р=Р(1^-0 997

075-

1?;

О 001^

6 7 8 9 10 II 12

"6 5 7 75 8 85 9 95 10 1. мм

I, мм

Рис 14 Статистические данные тах Рис 15 График вероятности без-размера трещины /тах на вероягносг- отказной работы ной бумаге Гумбеля, пунктиром обозначено теоретическое распределение

В четвертой главе содержится описание программного комплекса оценки параметров надежности, средств графического интерфейса пользова-

1 С помощью метода конечных элементов проведен анализ напряженно -деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-ЮООМ

2 Проведен статистический анализ истории нагружения узла приварки, предложены и обоснованы законы распределения, использующиеся далее при моделировании

3 Разработаны алгоритмы и программы для статистического моделирования режимов нагружения при проведении разтичных видов расчетов на прочность (статическая прочность и трешиностойкость, циклическая прочность и циклическая трещиностойкость)

4 Разработаны методы аппроксимации статистических характеристик экстремальных значений выходных параметров моделирования (максимальных напряжений, меры повреждений, коэффициентов интенсивности напряжений) Показано, что экстремальные значения показателей работоспособности хорошо аппроксимируются распределением Гумбеля Разработана программа построения статистических выборок на вероятностной «бумаге Гумбеля»

5 Разработан пакет программ с использованием графического интерфейса пользователя, включающий ввод статистических характеристик нагружения и сопротивления и других необходимых исходных данных, выбор ви-

теля

Основные выводы и результаты работы

да расчёта, многократное воспроизведение работы элемента конструкции, статистическую обработку результатов моделирования и вычисление оценок показателей надежности

6 Показано, что при наличии определённого объема исходной информации о нагруженности элементов энергетического оборудования метод статистического моделирования даёт возможность сделать объективную оценку показателей надежности

Публикации по теме диссертации

1. Голубева О.В. Применение статистического моделирования к оценке параметров надёжности элементов энергетического оборудования при расчёте на циклическую ирочноегь //Вестник МЭИ. 2005. № 6. С.140-145.

2 Аркадов Г В., Вереземский В Г., Голубева О В , Дембовский А В Экспериментально-расчётное исстедование факторов нагружения узла приварки «горячего» котлектора парогенераторов ВВЭР-1000 малой серии // Безопасность АЭС и подготовка кадров Девятая междунар конф Тез докл в 2-х т Обнинск ИАТЭ, 2005 Т 2 С 69-71

3 Голубева О В Применение статистического моделирования к оценке показателей надежности энергетического оборудования при расчете на статическую прочность и статическую трещиносгойкость // Новое в российской энергетике Ежемес электрон журнал 2006 №3 С 34-43

4 Голубева О В , Радин ВПК оценке показателей надежности энергетического оборудования вероятностными методами // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Двенадцатая междунар науч -техн конф студентов и аспирантов Тез докл В 3-х т М Издательство МЭИ, 2006 Т 3 С 286-287

5 Голубева О В, Радин В П Применение статистического моделирования для оценки показателей надежности энергетического оборудования // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Одиннадцатая междунар науч -техн конф студентов и аспирантов Тез докл В 3-х т М Издательство МЭИ, 2005 Т 3 С 231

6 Голубева О В , Радин В П Применение статистического моделирования к оценке параметров надежности энергетического оборудования при расчёте на циклическую трещиностойкость // Новое в российской энергетике Ежемес электрон журнал 2005 №7 С 14-24

7 Голубева О В , Дембовский А В , Жидков С В , Усанов Д А Конечно-элементное моделирование силового нагружения оборудования пегаи ВВЭР-1000 // Безопасность АЭС и подготовка кадров Девятая междунар конф. Тез докл в2-хт Обнинск ИАТЭ, 2005 Т2 С 103-104 (на английском языке)

Подписано в печать IhCJf'Cti; Зак ji^ Тир. (['С Пл. fiH Полиграфический центр МЗИ(ТУ) Красноказарменная ул., д.13

Список основных обозначений.

Введение.

1. Основные понятия теории надёжности и математической статистики

1.1. История развития теории надёжности, основные понятия и модели.

1.2. Методы математической статистики.

1.3. Основные положения метода статистического моделирования

1.4. Цель диссертации.

2. Применение метода статистического моделирования для оценки показателей надёжности узла приварки «горячего» коллектора ПГВ-1000М из расчёта на статическую прочность и трещиностойкость

2.1. Анализ отказов, повреждений и напряжённо — деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора в районе сварного шва №111/1.

2.2. Статистический анализ истории нагружения.

2.3. Применение вероятностных методов для расчёта на статическую прочность. ^

2.4. Вероятностный расчёт на статическую трещиностойкость

3. Оценка показателей надёжности узла приварки горячего коллектора ПГВ-ЮООМ из расчёта на циклическую прочность и трещиностойкость

3.1. Разработка модели циклического нагружения.

3.2. Обработка нормативной кривой усталости.

3.3. Детерминистический и вероятностный расчёты на циклическую прочность.

3.4. Применение метода статистического моделирования для вероятностных расчётов на циклическую трещиностойкость. оо

4. Описание программного комплекса оценки показателей надёжности.

Сводка результатов и выводы.

Оценка технического состояния и прогнозирование остаточного ресурса элементов энергетического оборудования приобретает в настоящее время всё большую актуальность. Это вызвано рядом обстоятельств, главными из которых являются:

- наличие большого количества энергетических объектов, время эксплуатации которых приближается к проектному ресурсу, или даже превышает его;

- как правило, элементы энергетического оборудования находятся в условиях повышенной силовой и температурной нагруженности и их отказ может представлять высокую опасность для людей и окружающей среды. В значительной степени это относится к оборудованию атомных энергоустановок;

- развитие приборной базы для проведения дефектоскопии и разработка новых методов для обнаружения различного рода дефектов и отклонений в характеристиках нагружения и сопротивления элементов энергетического оборудования от проектных значений.

Проектные и проверочные расчёты на прочность энергетического оборудования, в частности оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок, основываются на нормативных документах и ориентированы на детерминистический подход. Случайный характер параметров нагружения и сопротивления учитывается косвенно посредством соответствующих коэффициентов или расчётных кривых, заданных с определённой обеспеченностью. В то же время, объективная оценка показателей надёжности оборудования, учитывающая случайную природу действующих нагрузок, разброс свойств материалов, разнообразие режимов работы и т. д. возможна лишь с непосредственным привлечением методов теории вероятностей и математической статистики.

Современное состояние теории надёжности механических систем совместно с накопленным статистическим материалом, полученным в результате многолетнего периода эксплуатации энергоустановок, дают широкую возможность оценивать показатели надёжности энергетического оборудования с достаточно высокой точностью. Что касается возможных способов оценки показателей надёжности уникальных или малосерийных изделий, к которым относится оборудование атомных энергетических установок, то наиболее эффективным, а в ряде случаев, пожалуй, и единственно возможным является метод статистического моделирования (метод Монте - Карло). Целесообразность применения этого метода обусловлена рядом объективных факторов. Во-первых, в настоящее время существует большое количество методов и алгоритмов статистического анализа и моделирования случайных величин, случайных процессов и полей. Во-вторых, история строительства и эксплуатации атомных энергоустановок составляет уже полувековой период. За это время накоплен и, в некоторых случаях, частично систематизирован статистический материал по отказам, дефектам, напряженно-деформированному состоянию несущих элементов, трубопроводов и различных узлов АЭС. Третье обстоятельство определяется наличием мощных быстродействующих компьютеров и соответствующего программного обеспечения, позволяющих, с одной стороны, с необходимой точностью рассчитывать напряжённо - деформированное состояние элементов конструкций, а с другой - многократно воспроизводить (моделировать) весьма сложную историю нагружения.

В настоящей диссертации на примере узла врезки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М была разработана методология и проведена оценка показателей надёжности с применением статистического моделирования. Для этого был разработан единый подход к анализу показателей надёжности элементов энергетического оборудования, который был применён к следующим видам нормативных расчётов, проводимых при оценке прочности: к расчёту на статическую прочность и статическую трещиностойкость, к расчёту на циклическую прочность и циклическую трещиностойкость. В результате, в рамках обозначенных расчётов, были получены оценки показателей надёжности, в частности, вероятность безотказной работы.

Выводы

1. При формализации истории циклического нагружения с практической точки зрения наиболее удобен метод «свёртки локальных циклов», т. к. он прост в численной реализации и полностью соответствует конечными результатами методам, описанным в [21].

2. При высоком уровне напряжений коэффициент запаса кривой усталости определяется по числу циклов и равен 10, а при низком уровне -по напряжениям и равен 2. Поэтому кривая усталости имеет кусочную структуру, что необходимо учитывать при её моделировании.

3. Вероятность безотказной работы узла из расчета на циклическую прочность определяется как значение функции распределения максимальной повреждаемости от предельно допустимого значения повреждаемости. Если принять последнее равное единице, то при оговоренных условиях по нагружению и свойствам материалов вероятность безотказной работы составит 0,9998. Иначе говоря, вероятность набрать предельную повреждаемость равную единице составляет 0,0002.

108

Это достаточно малая величина, что позволяет сделать вывод о не нарушении условия циклической прочности.

4. В рамках решения задачи о вероятностной оценке параметров циклической трещиностойкости было реализовано численное интегрирование уравнение роста трещины (уравнение Пэриса). Вероятность безотказной работы при расчёте на циклическую трещиностойкость есть значение функции распределения максимального значения длины трещины от критического значения. Последнее может быть определено, в том числе, через заданный коэффициент интенсивности К\с в соответствии с неким критерием, например критерием Ирвина. В данной работе по графику вероятности безотказной работы (рис. 3.18) видно, что при принятой истории нагружения и для начальной трещины длиной 6 мм, согласно критерию Ирвина разрушение не наступит с вероятностью 99,7% (что соответствует обеспеченности 0,997).

4. Описание программного комплекса оценки показателей надёжности

Программа расчёта параметров надёжности составлена с применением средств графического интерфейса пользователя. Программа содержит пять стандартных окон (панелей) системы Windows и оценивает вероятности отказа патрубка коллектора из расчёта на статическую прочность, на циклическую прочность, на циклическую и статическую трещиностойкость (на сопротивление хрупкому разрушению). Первая панель (рис. 4.1) содержит пять командных кнопок и пять текстовых окон. Наименование командных кнопок указывает на вид расчёта и щелчок по ним открывает соответствующую панель (рис. 4.2-4.5). На рис. 4.2 изображена панель расчёта на статическую прочность. Здесь имеется окно выбора необходимого файла с данными по истории нагружения, редактируемые текстовые файлы для задания исходных данных. При щелчке мышью по кнопке с надписью «Загрузка данных» в память компьютера вводятся исходные данные, строится график истории нагружения, гистограмма напряжений и её аппроксимация теоретическим распределением. Нажатие на кнопку с надписью «Статистическое моделирование» инициирует блок многократного моделирования истории нагружения и предела текучести. После вычисления строятся статистические функции распределения максимальных напряжений и разности предела текучести и действующих напряжений. В текстовом окне этой панели и первой главной панели появляется вычисленная вероятность отказа. Аналогичную структуру, закомментированную многочисленными надписями, имеют остальные панели расчёта на циклическую прочность и на сопротивление хрупкому разрушению. f ) Оценка параметров надежности узла приварки ы 4 файл

Парциальные вероятности отказа

Статическая прочность 0.030315

Циклическая прочность 0.075608

Циклическая трещиностойкость 0.08*1138

Статическая трещиностойкость 0.027624

Вероятность отказа

0.20173

Рис. 4.1. Вид главной панели программы по оценке параметров надёжности узла приварки

Рис. 4.2. Вид панели расчёта на статическую прочность Оценка параметров надежности по критерию циклической пр

Файл

Расчетная кривая усталости

Загрузка данных

История нагружения за компанию о 10 20 30 40 50

Статистическое моделирование

J УУ7

5 10

Мера повреждения за компанию

20 40 во

Мера повреждения

0.2 0.4 0.6 0.8

Распределение max меры

Вероятность отказа [ 0.075608

Рис. 4.4. Вид панели расчёта на циклическую прочность

J Оценка параметров надежности по критерию циклической тре: ili-J

Файл

Ввод исходных данных

Smax> | 395.0332

Распределение критических длин трещин

0.50 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01

0.003 0.001

-11

1

Ж- 1 ----Г -

-----J-----

15

20

25

Свойства материала

Параметры уравнения Периса

Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений

С 3.25е-015

- I ; Л

100 мм

Начальная длина трещины | 6 Критическая длина трещины <lc> | 20.680 мм Число компаний | 60

Статистическое моделирование

0.997

0.99 0.98 i —-t— ■ -t- ! 4 i i Л-jT и т I = t = nil 1 lllll Mil 1 urn Mil 1 1111 1

20 40 60

Вероятность отказа

14

1ft

1Я 0.08413

20

Рис. 4.5. Вид панели расчёта на циклическую трещиностойкость

Сводка результатов и выводы

1. На основе метода конечных элементов проведён расчёт напряжённо -деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М при разных последовательностях режимов нагружения. В результате были получены реализации компонент тензора напряжений. Путём анализа напряжённо-деформированного состояния в сечении, расположенном на уровне выявленных трещин, была выявлена наиболее опасная зона, хорошо качественно вписывающаяся в картину реального расположения дефектов.

2. Проведён статистический анализ истории нагружения узла приварки. Предложены алгоритмы и программы для статистического моделирования режимов нагружения при проведении различных видов расчёта на прочность (статическая прочность и трещиностойкость, циклическая прочность и циклическая трещиностойкость) с выбором и обоснование принятых законов распределения.

3. Разработаны методы аппроксимации статистических характеристик экстремальных значений выходных параметров моделирования (максимальных напряжений, меры повреждений, коэффициентов интенсивности напряжений). Показано, что экстремальные значения показателей работоспособности хорошо аппроксимируются распределением Гумбеля. Разработана программа построения статистических выборок на вероятностной «бумаге» Гумбеля.

4. Разработан пакет программ с использованием графического интерфейса пользователя, включающий ввод статистических характеристик нагружения и сопротивления и других необходимых исходных данных, выбор вида расчёта, многократное воспроизведение работы элемента конструкции, статистическую обработку результатов моделирования и вычисление оценок показателей надёжности.

5. Вероятностный расчёт на статическую прочность для известной истории нагружения и свойств материала дал вероятность выполнения условия статической прочности Р = ОД52. Такой низкий показатель однозначно не может считаться достаточным для ответственного оборудования. В связи с этим, необходимы меры по снижению нагруженно-сти узла, в частности, снижение общего уровня эксплуатационных напряжений.

6. Вероятностный расчёт на статическую трещиностойкость показал, что в зависимости от допускаемого коэффициента интенсивности напряжений и размера исходного дефекта (трещины) вероятность безотказной работы сильно варьируется. С помощью представленной методики возможна как оценка текущей вероятности безотказной работы по критерию статической трещиностойкости, так и прогнозирование на будущее. Для большей точности требуются качественные данные о размере имеющихся дефектов (трещин) и условиях нагружения.

7. Вероятность безотказной работы из расчета на циклическую прочность от предельно допустимого значения меры повреждения равного единице в случае принятой истории нагружения и свойств материала Р = 0,9998. Иначе говоря, вероятность набрать предельную повреждаемость равную единице есть Q = 0,0002 - такое значение вероятности может считаться, при определённых обстоятельствах (в частности на новых, не ремонтированных парогенераторах), приемлемым.

8. Вероятностный расчёт на циклическую трещиностойкость при критическом значении коэффициента интенсивности напряжений

КХс = 80 МПал/м, принятой истории нагружения и начальной трещине длиной 6 мм согласно критерию Ирвина дал вероятность, что разрушение не наступит, 99,7%. Это соответствует обеспеченности 0,997.

9. В результате проведённой работы был разработан единый подход к анализу показателей надёжности энергетического оборудования с применением статистического моделирования. Впервые на примере

117 узла приварки «горячего» коллектора ПГВ-1000М для четырёх видов расчётов (на статическую прочность и трещиностойкость, на циклическую прочность и циклическую трещиностойкость) были получены оценки показателей надёжности, отработаны алгоритмы и программы по их оценке.

118

1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. В 4-х т. Т. IV. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Наука, 1964. 578 с. С. 386-393, 566-569.

2. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. 4-е изд. M.-JL: Гостехиздат, 1946. 556 с.

3. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1981. 351 с.

4. Болотин В. В. О безопасных размерах трещин при случайном нагружении // Механика твердого тела. 1980. № 1. С. 124-130.

5. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Издательство литературы по строительству, 1971. 256 с.

6. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 315 с.

7. Болотин В. В. Ресурс машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1990. 448 с.

8. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.: Машиностроение, 1984. 315 с.

9. Болотин В. В., Радин В. П., Чирков В. П. Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска конструкций // Изв. АН. МТТ. 1997. № 6. С. 168-175.

10. Болыпев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. М.: Наука, 1983. 416 с.

11. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Учеб. для вузов. 7-е изд. стер. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.

12. Вентцель Е. С., Овчаров JI. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд. стер. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.

13. Вентцель Е. С., Овчаров JI. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд. стер. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

14. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Учебник. 7-е изд., исправл. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

15. Голубева О. В. Применение статистического моделирования к оценке параметров надёжности элементов энергетического оборудования при расчёте на циклическую прочность // Вестник МЭИ. 2005. № 6. С. 140-145.

16. Голубева О. В., РадинВ. П. Применение статистического моделирования к оценке параметров надёжности энергетического оборудования при расчёте на циклическую трещиностойкость // Новое в российской энергетике. Ежемес. электрон, журнал. 2005. № 7. С. 14-24.

17. ГОСТ 25.101-83 «Расчеты и испытания на прочность. Методы схематизации случайных процессов нагружения элементов машин и конструкций и статистического представления результатов». М.: Изд. Стандартов, 1983. 29 с.

18. ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения». М.: Изд. Стандартов, 1990. 35 с.

19. Губарев В. В. Вероятностные модели. Справочник. В 2-х ч. / Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1992. 422 с.

20. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965. 416 с.

21. Гусев А. С. Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.

22. Гусев А. С. Структурный анализ процессов нагружения и оценка ресурса конструкций // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994. № 1. С. 200-206.

23. Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

24. Джапаридзе К. О., Никулин М. С. Об одном видоизменении стандартной статистики Пирсона // Теория вероятностей и её применения. 1974. Т. 19. № 4. С. 886-888.

25. Залесский Б. А., Ольшевская О. В. О функции распределения статистик омега-квадрат при малых выборках // Заводская лаборатория. 1989. № 7. С. 103-105.

26. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.318 с.

27. Кендал М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. Т. 2. М.: Наука, 1973. 900 с.

28. Кендал М., Стьюарт А. Теория распределений. Т. 1. М.: Наука, 1966. 588 с.

29. Когаев В. П., Махутов Н. А., Гусенков А. П. Расчёты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. Справочник. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

30. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-ое изд. М.: Наука, 1974. 120 с.

31. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

32. Крамер Г. Математические методы статистики. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. 648 с.

33. Кулинская Е. В., Савушкина Н. Е. О некоторых ошибках в реализации и применении непараметрических методов в пакете для IBM PC // Заводская лаборатория. 1990. № 5. С. 96-99.

34. Лемешко Б. Ю. Статистический анализ группированных, частично группированных и негруппированных наблюдений одномерных непрерывных случайных величин. Автореф. дис. докт. техн. наук. Новосибирск, 1997. 46 с.

35. Лемешко Б. Ю., Гильдебрант С. Я., Постовалов С. Н. К оцениванию параметров надежности по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. № 1. С. 52-64.

36. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Компьютерные технологии анализа данных и исследования статистических закономерностей. Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 120 с.

37. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельных распределений статистик % Пирсона и соотношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1998. Т. 64. № 5. с. 56-63.

38. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. №7. С. 62-71.

39. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1998. Т. 64. № 3. С. 61-72.

40. Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н., ЧимитоваЕ. В. О распределениях статистики и мощности критерия типа % Никулина // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. № 3. С. 52-58.

41. Лемешко Б. Ю., Чимитова Е. В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа х2 Н Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. № 1.С. 61-67.

42. ЛикешИ., ЛягаЙ. Основные таблицы математической статистики. М.: Финансы и статистика, 1985. 256 с.

43. Лукасевич Б. И., Трунов Н. Б., Драгунов Ю. Г. Парогенераторы реакторных установок ВВЭР для атомных электростанций. М.: ИКЦ «Академкнига», 2004. 391с.

44. Мартынов Г. В. Критерий Омега квадрат. М.: Наука, 1978. 194 с.

45. Махутов Н. А., Воробьёв А. 3., Гаденин М. М. Прочность конструкций при малоцикловом нагружении. М.: Наука, 1983. 272 с.

46. Машиностроение. Энциклопедия. Ред. совет: К. В. Флоров (пред.) и др. М.: Машиностроение. Надёжность машин. Т. IY-3 / В. В. Клюев, В. В. Болотин, Ф. Р. Соснин и др. Под общ. ред. В. В. Клюева. 1998. 592 с.

47. Мирвалиев М., Никулин М. С. Критерии согласия типа хи-квадрат // Заводская лаборатория. 1992. № 3. С. 52-58.

48. Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте Карло. М.: Наука, 1987. 240 с.

49. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982. 198 с.

50. Никулин М. С. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т. 18. №3. С. 583-591.

51. Никулин М. С. О критерии хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т. 18. № 3. С. 675-676.

52. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок (ПНАЭ Г-7-002-86) / Госатомэнергонадзор СССР. М.: Энергоатомиздат, 1989. 525 с.

53. О проверке сложных статистических гипотез / Наши консультации // Заводская лаборатория. 1986. № 10. С. 62-63.

54. Огибин В. Н. О применении «расщепления» и «рулетки» в расчётах переноса частиц методом Монте Карло // Метод Монте - Карло в проблеме переноса излучений / Ред. Г. И. Марчук. М.: Атомиздат, 1967. С. 72-82.

55. Правила устройства и безопасной эксплуатации оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок (ПНАЭ Г-7-008-89). М.: Энергоатомиздат, 1990. 230 с.

56. Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. М.: Изд-во стандартов. 2002. 87 с.

57. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. М.: Изд-во стандартов. 2002. 64 с.

58. Ржаницын А. Р. Расчёт сооружений с учётом пластических свойств материалов. М.: Стройиздат, 1954. 289 с.

59. Савушкина Н. Е, Тюрин Ю. Н. Критерии согласия для распределения Вейбулла Гнеденко // Техническая кибернетика. 1984. № 3. С. 109-112.

60. Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчёты деталей машин на прочность. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Маш-гиз, 1975. 488 с.

61. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1969. 512 с.

62. Соболь И. М. Метод Монте Карло. 4-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 80 с.

63. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1970. 536 с.

64. Стрелецкий Н. С. Основы статистического учёта коэффициентов запаса прочности сооружений. М.: Стройиздат, 1947. 143 с.

65. Трифонов О. В. Определение конструкционного сейсмического риска ускоренным методом Монте Карло // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2001. № 2. С. 47-51.

66. Трифонов О. В. Оценка вероятностей редких событий для нестационарных систем с накоплением повреждений // Проблемы машиностроения и надёжности машин, 2001. № 4. С. 45-51.

67. Тюрин Ю. Н. О предельном распределении статистик Колмогорова -Смирнова для сложной гипотезы // Серия математическая. 1984. Т. 48. № 6. С. 1314-1343.

68. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере / Под. ред. Фигурнова В. Э. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ИНФРА-М, 2003. 544 с.

69. Хеллан К. Введение в механику разрушения. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 364 с.

70. Хоциалов Н. Ф. Запасы прочности. // Строительная промышленность, № 10, 1929.

71. Хоциалов Н. Ф. Массовый анализ в железобетонном деле // Строительная промышленность, № 1, 1932.

72. Biometrika Tables for Statistician. V. 2, 1972. 385 p.

73. Chandra M., Singpurwalla N. D., and Stephens M. A. Kolmogorov Statistics for Tests of Fit for the Extreme-Value and Weibull Distributions // JASA (Journal of American Statistical Association), 1981. Vol. 76. № 375. P. 729-731.

74. Darling D. A. The Cramer-Smirnov Test in the Parametric Case // Annals of Mathematical Statistics. Offic. journal of the Institute of math, statistics. Sten-ford, 1955. Vol. 26. № 1. P. 1-20.

75. Darling D. A. The Kolmogorov-Smirnov, Cramer-Von Mises Tests // Annals of Mathematical Statistics. Offic. journal of the Institute of math, statistics. Stenford, 1957. Vol. 28. № 4. P. 823-838.

76. Dayer V., Bucher C. Importance sampling for first passage problem of nonlinear structures // Probabilistic Engineering Mechanics, 1999. Vol. 14. № 1-2. P. 27 32.

77. Freudenthal A. M. Safety and probability of structural failure. Proc. ASCE, № 408. 1954.

78. Golubeva О. V, Dembovskiy A. V., Zhidkov S. V. Finite-element modeling of VVER-1000 loop equipment strength loading // NPP safety and personnel training. IX international conference. Abstracts. Obninsk. 2005. Vol. 2. P. 103-104.

79. Hammersley J. M., Handscomb D. C. Monte-Carlo Methods. New York: Wiley, 1964. 178 p.

80. Johnson A. I. Strength, safety and economical dimensions of structures. Bull. Div. Struct. Engng, Roy. Inst. Tech., Stockholm, № 1. 1953.126

81. Mahadevan S., Dey A. Adaptive Monte-Carlo simulation for time-variant reliability analysis of brittle structures // AIAAA Journal, 1997. Vol. 35. № 2. P. 321-326

82. Maier Max., Die Sicherheit der Bauwerker und ihre Berechnung nach Granzkraften anstatt nach zulassigen Spannungen. Springer-Verlag, Berlin, 1926.

83. Melnik-Melnikov P. G., Dekhtyaruk E. S. Rare events probabilities estimations by "Russian roulette and splitting" simulation technique // Probabilistic Engineering Mechanics, 2000. Vol. 15. № 2. P. 125-129.

84. Rubinstein R. Y. Simulation and the Monte-Carlo Method. New York: Wiley, 1981.278 р.

85. Shinozuka M., ed. Stochastic Mechanics. Vol. III. Princeton: Department of Civil Engineering & Operations Research Princeton University, 1988. 282 p.