Применение теоретико-множественных методов в теории рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕК/ШВА

на правах руко;::' -и

РГ6 ОА

си и.,

ХО/ЦЕВНИКОВА НАТАЛЬЯ НИКОЛАЕВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕ0РЕТИКО-МН08ЕСТВЕНННХ МЕТОДОВ В ТЕОРИИ РЯДОВ (01.01.01.- математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в НГТН."СТАНКИН"

Официальные оппоненты:

Доктор Физико-матеиатических наук Блованский И.Л.

Доктор снзико-иатеиатических наук Бочкарев C.B.

Доктор «гшзико-катеиатических наук Конягик C.B.

Ведущая организация - Институт математики АН Армении

Запита состоится -В- 1 1994г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 002.38.03 при Математическом институте иы. В»А.Стеклова РАН по адресу:

117333, Москва, ул.Вавилова,42. С диссертацией ноено ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан /X 1994г.

Учений секретарь спец.совета Д 002.38.03 доктор физ.-кат. наук

А.С.Холево

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассмотрен ряд ?.->просоп теории единственности тригонометрических и других классоч плдов, а так«е получены результаты о непротиворечивости для рядов.

Основной проблемой теории тригонометрических ряди- и источником ее возникновения явилась проблема представления более или менее произвольной функции, заданной на интервале-периоде, в виде суммы тригонометрического ряда. Одновременно ставился вопрос о единственности такого представления. В 1870 г. Г.Кантор доказал, что если тригонометрический ряд

-г + а,г сапх 4- ¿игих (1)

сходится к нуля нейду на [0.25П . за исключением быть иояет конечного числа точек, то е<ск его коэффициенты равны нуле,

Производным множеством ЕГ1'данного мно*ества Е^Ю^Я) Кантор назвал множество предельных точек Е .Через Е 1 'обозначается производное мно1ество мнояеетва ЕГы>. В 1872 г. Кантор доказал. что если Е - счетное мнояеетво и Е"°пусто для некоторого конечного^ ,то из сходимости ряда (1) к нули на Г0.23П \ Е :ледует, что все коэффициенты этого ряда равны нуле.

В примечаниях к собрания сочинений Г.Кантора Э.Цермело [1.с.183 тнеал: "дальнейшее расширение этого определения (производного точеч--1ого множества) за пределы любого конечного индекса^ привело впоследствии исследователя к необходимости создания понятия "трансфи-¡итных" порядковых чисел 10,Сл)И,...,со1г ■■. -Тем самым в этом понятии "высших производных" точечного кнонества мы видим зародыи.а в теории тригонометрических рядов - место рождения канторовой "теории <но*еств". Мы приводим эти слова Э.Цермело и в связи с тем, что в «стоящей работе рассматриваются вопросы, касаввиеся тонких множеств 1ля тригонометрических рядов, решение которых требует использования :овременных теоретико-мнохественных методов и результатов.

Если Е - счетное замкнутое мнояеетво, то 1-0 для )екоторого счетного ординала . Поэтому доказательство Кантора с юмоцьо трансфинитной индукции проходит и в этом случае и нередко :леду«щим образом формулируется

Теорема Кантора. Если ряд (1) сходится к нуяв вевду на Г0.2ЯК Е •де Е - счетное замкнутое множество, то ™Лл * £п ~ О (а6]Ы) .

В 1909 г. В.1нг [21 доказал,что в качестве Е в теореме Кантора ю«но взять произвольное счетное множество. Ввиди теорем Кантора и !нга существование тригонометрического ряда, сходящегося к нияв

почти всюду , имевшего не равные нулв коэффициенты, казалось маловероятным. Однако, в 1916 г. Д.Е.Меньшов [3] построил пример такого ряда. Этот результат полокил начало новому направлении исследований в теории единственности тригонометрических рядов. Под влиянием теории единственности тригонометрических рядов ставились и изучались вопросы единственности для рядов по другим системам функций.

В теории Функций уже давно использовались некоторые дополнительные теоретико-мновественные предположения. Раньше всего и более всего гипотеза континуума СН, высказанная Г.Кантором в 1878 г. и состоящая в ток, что мощность континуума С есть первая несчетная ыоаность . В предположении СН были доказаны различные интересные теоретико-множественные и теоретико-функциональное утвераденйя Н.Н.Лузиным 14.с.6831 А.Зигмундом,В.Серпинскин [5],[63 и другими математиками. В это время взаимоотноиение СН с обычной системой аксиом I?С (Цернело-Френкеля) теории множеств было неясным. Фундаментальные открытия Геделя и Козна, повлекшие дальнейиее бурнсг? развитие теории мноаеств', определили статус СН. Б 1939 г.Тедель доказал, что СН совместима с гРС, а в 1963 г. Коэн доказал невыводиаость СН. Введенный Козном новый мощный метод построения моделей, метод вынукдения или форсинг, позволил получать результаты о непротиворечивости в различных областях математики и открыть новые аксиомы, дополнительные к VI, например, аксиому Картина. Аксиома Мартина находит лирокое применение в теории мноаеств,в топологии, в теории функций.Использование различных дополнительных к 1¥С теоретико-иковественннх предположений приводит к результатам о непротиворечивости и в теории тригонометрических рядов.

Цель работ. Решение ряда проблей теории единственности тригонометрических рядов и рядов по другим системам функций. Исследование тонких множеств для тригонометрических рядов.

Методы исследования. Для ревения рада задач потребовалось привлечение дополнительных теоретико-множественных предполовений.

Научная новизна. Результаты диссертации являвтся новыми и опубликованы в работах автора.

В работе исследуются кнонества единственности для тригонометрических рядов, рядов по системам 9олиа-Пэли, Радемахера, Фабера-Ваудера. Ревавтся вопросы, связанные с категорией и модностью этих множеств. Центральное место занимает вопрос об объединении множеств единственности. Исследование тонких множеств для тригонометрических рядов, в основном 1 -, 1! -, и I) -множеств, проводится с примененищщзвреманных-теоретико--множественных-методов._При этом получаются как абсолютные

:т.е. полученные в 2РС) результаты, так и результа, . непротиворечивости.

Практическая и теоретическая ценность. Работа пси::;; теорети-1еский характер. Ее результаты могут бнть применен». исследо-лниах по теории функций, использован« при чтении спецкурсов и работе научно-исследорательских семинаров по теории функций/?

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на екинарах по теории функций в МИРЙН (руководители - С.Б.Стечкин С.А.Теляковский) и в МГУ (руководители - П.У).Ульянов и Б.С.Ка-1Н). (руководители - В.А.Скворцов, Т.П.Лукашенко ). По резуль-!Там диссертации бнли сделаны доклади на всесовзных и неядуна-|дных школах . проводившихся под научным руководством С.Б.Стзч^ нл в Душанбе (1988г.) и на Урале (1989. 1993гг.). на школахкпо ории функций в Воронеже (1991, 1993гг.), в Одессе (1991г.). Саратове (1991г.), на школе но абстрактному анализу в Чехосло-кииг 1990г. ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5отах автора II] - С13]. приведенных в конце автореферата. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения грех глав, разбитых в общей сдояности на 15 парагрофов, а такяе списка цитированной литературы. Работа излояена на 202 страницах, [сок литературы содержит 61 наименование.

0630Р СОДЕРВАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Червая глава диссертации посвящена мнояестваи единственности рядов по различным системам функций.

'ассмотрии последовательность отобр<1*еиий { ) множества X шейное топологическое пространство V над к ил» С Пусть К некоторый класс рядов по системе ( ) вида:

У_а.л1п(х) (2)

п '

О-а^'Ж ила С , соатоетстиепно, и содержаний ряд с О. Зногестзо ЕС 1 назчзаекс й- тглствчч пли множество* лгенност« для класс г £ .коротко И» К >- ьпэгсстзом.если из шсгк зада (?) к Цилд ял р.*п:?схие К\£ сяепу?т. что ¡зз:?$яцие«ть' ого ряа-5 р<??;ш нулг,

!незестао X шдогметса дяз издсса 'г

коротко НСЮ-мнояеством,если существует ряд класса К .сходящийся к нулю на XNE , не все коэффициенты которого равны нулв.

Фундаментальными б теории единственности тригонометрических рядов являптся следующие результаты: счетное множество является U-мновествон (для пустого.конечного и счетного замкнутого мнояества - теореме Кантора f 7.С.191 З.обций случай - теорема Юнга 17.с.792 ]).инсаество положительной меры является М-мновеством (соответствующий ненулевой ряд - ряд Фурье характерестической функции совериенного подкнонества пояснительной меры данного мнояества [7.C.193]).существует совершенное Н -иновество меры 0 (знаиенитый пример Меньшова [ 7,с.804 J).существуют соверыенные И-инокества (результаты Бари и Райхмана I 7.с.796 ]).

Основополагавиие результаты об U - и И -множествах для рядов по системе Ь'блиа-Пэли получены А.А.Шнейдером [8 1: счетное множество является мновеством бдинственнссги. множество положительной меры является M-mhoee'tbom,существует М-мнокество меры 0 и существуют континуальные U-кновества. Вопроси единственности и представления Функций по систеие Иолша-Пэли изучались в работах В.А.Скворцова, . Вейда, Файна, Ф.Г.йрутпняка, ft.ft.Талаляпа, и других авторов.

С.Б.Стечкин и П.Л.Ульянов [ 9 ] доказали,что всякое иновество иеры иеньие 1/2 является U-мнояествоы для рядов по системе Радемахера. Й.В.Бахиецян [ 10 ] показал,что li-инояество меры меньше 1 содервится в U-иноаестве,дополнение которого до [ 0,1 1 счетно. Кури Ш] доказал, что всякое иновество первой категории является (J-нногествои для лакукарных рядов по системе Уолша, в частности для рядов по системе Радемахера. Справедлива следующая

Теорема ¡.Всякое иновество Е первой категории на [0,13 и всякое множество £ мощности меньше С содераится в U-множестве для рядов по системе Радемахера. дополнение которого до [0,11 счетно.

( Для'удобства в автореферате принята сквозная нумерация теорем диссертации, как и во Введении в диссертации.)

Обратимся к рядам по системе Фабера-Иаудера. Через Обозначим ынокество двоично-рациональных точек отрезка [ 0,1 ]. Т.Н.Сабурова заметила,что кандая двоично-рациональная точка является Н-мно-аеством для рядов по системе Фабера-Шаудера. Нетрудно видеть,что иновество Е^ [0,11 авлется мноаествоы единственности для рядов по системе Фабера-Наудера тогда и только тогда,когда ЕСЮ,1 ]\

Рассмотрим класс К рядов по системе Фабера-Шаудера

со

Z А я (3)

П-0

со следующим условием на коэффициенты

рп A/1,2) - о fza Qt) 14)

где in^C z)> - возрастают последовательность номеров всех тех функций .носитель которых (т.е. замыкание множества точек,где Чл(хУ 0 ) содержит 7..

Всякое счетное множество на I 0.1 ] является множеством единственности для этого класса К. Пример совершенного М(К) -множества меры 0 дает замыкание следующего множества:

А = I г е Ga : г = ± ± .. ± кпг

СJ

тЛ^-.Лпх ^ kl< kx<...<km j

Доказано,что мнояества канторова типа, а именно, симметрические мнояества с постоянным отношением -ц; (4=3.4,5... ; являются множествами единственности для рядов по системе Фабера-Ваудера с условием (4) на коэффициенты.

Проблемы объединения и категории множеств единственности для тригонометрических рядов возникли в 20-е годы навего столетия (см. [7.C.79G]). Заметим.что если { ) -система борелевских функций.заданных на отрезке [ а.Ь ) и для некоторого класса К рядов по этой системе, всякое счетное подмножество является UC К J -множеством, то:

1) если Ест[а.Ь] и Е не содержит никакого поверженного подмножества (в частности, если моцность мнояества Е меньве континуума С ), то Е является U( К )-инояеством,

2) всякое множество й с [а.Ь] разбивается в сумму двух U(Ю-множеств, т.е. A-Z^u Ег. где Ej/1 Е Ех и Еt являптся множествами единственности для класса К.

В силу этого вопросы об объединении и категории U -множеств рассматривается в следущей постановке.

Проблема объединения. Является ли объединение двух ( счетного числа ) борелевских множеств единственности слова, множеством единственности?

Проблема категории. Должно ли множество единственности, обла-цавчее свойством Бзра, икоть первую категории?

В связи с 1) может быть рассмотрена еце и

Проблема иожности.Если Йс1[а,ЬЗ н модность й меньве < , сучествует ли борелевское множество единственности, содержащее А?

Основным резцльтатом об объединении U -множеств для тригоно-

- 6 -

метрических редиь является следующая

Теореиа 5аргг Объединение счетного числа и -мнокеств есть И-ыновество.

й.й.йнейдер 18] доказал,что объединение конечного числа замкнутых и -множеств для рядов пс системе Уолша-Пэли является и -множеством. Позае Вейд Г123 доказал,что объединение счетного числа замкнутых и -кнояеств для рядов Нолва является I) -множеством.

Мнонество А -всех точек ,в которые ряд (2) сходится к нулю назовем мноаеством нулей ряда (2), а его дополнение - ядром ряда (2).

Пусть множество X, на котором определены функции { является топологический пространством. Сформулируем следуиций

Принцип локализации ядра. Если (Хп. fщ (X) ряд класса К с ядром £ и Е£ ёЛ <9 , где (х -открытое подмножество Х.то найдется ряд класса К с ядром <£1 , таким что ,

Приведем прииерн классов К.

1. К -класс тригонометрических рядов вида (1) со сходявимися к нулю коэффициентами. 1!(К) и М( К)-мнояества для этого класса совпадают с обычнымк и и И -мнокестваии для тригонометрических рядов. Как известно (7.с. 136], для К справедлив принцип локализации ядра.

2. К -класс радов по системе Уолва-Иэли со сходящимися к нули коэффициентами. 1КК) и М(К Ьмножества для этого класса тоже совпадают с обычными и и М-множестваии для рядов Эоляа. В 18] доказана, что для К справедлив принцип локализации ядра.

3« К- класс рядов по системе Фабера-Ваудера с условием (4) на коэффициенты. Доказывается, что для К справедлив принцип локализации ядра.

4. К - класс двойных рядов по системе Уолва

еху

&КПХ ^Гсс)и/т/у)

К,п1=0 ® <

каждый из которых сходится по прямоугольникам на множестве вида:

{а*Ш))и1Ш)х8 3 .где 0,6 € СОЛ) (Ли ё свои для каждого ряда).

Под сходимостью ряда (5) будем понимать сходимость по прямоугольникам. Тогда можно прежним образом дать определение ядра и принципа локализации ядра. Для К справедлив принцип локализации ядра.

Теорема 2. Пусть К - класс рядов по системе { ^п У, :Х-»-У. где X - сепарабельное нетризуемое топологическое пространство, У- линейное топологическое пространство, и для К справедлив принцип локализации ядра.

Если Е и X - два ШК)-мнояества, то найдутся такие их подмно-1ества $ и 7 , что---------

- - ? -a> S "О, i'Enf, >1л J

(где А замыкание мнояества А е X )

б) SuJ является и(К)-мно8ествоя тогда и только тогда, когда EuI есть U<К)-мнояество.

Теорема 3. Пусть К - класс рядов по системе ( fa), >jn : X->Y. где X - полное нетризуемое пространство, и для К справедлив принцип локализации ядра. Тогда, если El и являптся Ut К) - мновестваки и

а) (Lz - множество типа и fff одновременно

или

б) ¿i и Аг мнояества типа G^. и Lin Et типа

'о ti U El Tose U(K)-HH0ïecr8o.

Теоремы 2 и 3 имеют место для рядов классов 1,2,3,4. Сравним теперь ситуацию, связанную с объединением множеств динственности для рядов по различным системам функций.

Так как для рядов по системе Радемахера всякое множество меры еньяе 1/2 является U-мнохеством [91.то отрезки СО, 3 и ,13 --мноиества. в то время как их объединение не является и,-мно»ест-ш.

Для рядов по системе Хаара {"X (х)] с условием на коэффициенты утюняна-Талаляна

Ьпь — = О для каадого X £ [0,1'}

XnW

К

18 Rl<ni<... ... все те номера п, при которых ^ О

ассыатриваемой точке X ). как доказал Г.М.Мувегян [133 , мно--тво [0,13 тогда и только тогда является И- мнсяеством,

да содервит совериениое подмнояество. Следовательно, всякое елевское U-мнояество в этом случае - просто счетное мнояество, • Нединение произвольного и-мнозастоа и счетного числа борзлевс-U-MHosecTB является U-мнояеством.

Для тригонометрических рядов и рядов Йолаа-Пэди справедливы зан 2 и 3. Вопрос об объединении произвольная бврелевских U -еств открыт.

Лля класса К рядов по системе ©абера-ваудерз п цсловиеи !4) озффициентн справедливы тесреаы ? я 3. При эгон длз д.энного

класса К объедисяние U множества типа Qp и счетного множества уже mois? быть й -нн-иествоы. Действительно, мновество [0,1]\ 0Я является '¡КЮ-инохествои типа . Qj. есть ШЮ-множество

как счетное мновество, объединение же их отрезок [0,1] есть М(К)-множестоо,

Полонительное решение проблемы категории для тригонометрических рядов получеке в 1986 г. Дебсом и Сен-Реймоном [14) с помош>ш И,и К,-множеств (U-множеств в иирокок и М-мноиеств в уз-кок смысле). Более короткое и прямое доказательство этого результата дано в книге Кекркса к Луво [15,с.290]. Для рядов Уолва-Пзли проблема категории решается нами аналогичным образом, с помощью U0 и М-ыновеств. Яри зтои дополнительные трудности возникает в связи с разрывность» Функций 9олша. Доказано» что всякое U-мнокество для рядов Иолла-Пэли , обладающее свойством Бэра, имеет первую категорию. В частности, всякое борелевское , аналитическое, коаналити-ческое U-мнояество имеет первус категорию.

11с поводу проблемы косности отметим следующее. Для рядов по системе Радемахера, как следует из теоремы 1» она решается положительно. Для тригонометрических рядов проблема моцности неразрешима в ZFC.

Вторая глава называется: 0 тонких множествах для тригонометрических рядов,

Неразрешимыми в ZFC оказываются многие вопросы, касаюциеся тонких множеств для тригонометрических ' рядов. Неразрешимость некоторого вопроса или некоторой гипотезм H в ZFC означает, что как H так и отрицание й ( "1К) совместимы с ZFC , т.е. существуют такие дополнительные совместимые с ZFC предположения (существует модель ZFC3 при которых (в которой ) гипотеза H выполняется и существуют другие теоретико-мкснественные предположения совместимые с ZFC (или другая модель ZFC) прк которых (в которой) выполняется!Н. Таким образом, в ZFC без дополнительных теоретико-множественных предположений шг не можем получить ответа на неразрешимый вопрос.

В настоящее время в теории множеств, топологии и теории функций нередко применяется аксиома Мартина MA, которая является следствием СН и совместима с отрицанием CH. Аксиома Мартина имеет, например, следующее замечательное следствие: ^

Теорема Мартина и Соловея ( [ 16].см.! 17,с. 1091 ) Ш]. Объединение меньше чем С множеств нулевой меры ( первой категории ) на прямой имеет меру нуль (первую категорию).

Î) Зто означает . что теорема доказана в предположении выполнимости аксиомы Картина,

Напомним теперь определения некоторых тонких множеств.

Множество Ее [0,1) называется ({-множеством, если существует тригонометрический ряд

со

О2 + X ап смлт/гл + 6п ¿¿п2шх с б)

* п=±

оа

абсолютно сходящийся на Е, но такой, что с-=>.

Такие множества, абсолютная сходимость на которых не гарантирует абсолютную сходимость всюду, можно считать тонкими по отношению к вопросу об абсолютной сходимости, тем более что они оказались малы и в смысле меры и категории. При рассмотрении других свойств тригонометрических рядов возникают другие тонкие множества, например, Я- мжпества. множества Дирихле, множества Кронеке-ра.

Множество Ее 10.1) называется Я-нножеством, если существует тригонометрический ряд вида (6). сходячийся на Е и такой, что его коэффициенты не стремятся к нулю.

Изучением N и И-множеств занимались Лузин, Данжуа, Юнг. Райхман, Салем. йрбо, Немыцкий, Бари.

Известно (см. 17,с. 173. 174,736,737,74?]). что.И и I*- множества имеют меру 0 и первую категорию, и что всякое счетное множество является как 1?, так и N - множеством. Когда мы знаем, что некоторый класс множеств (например. Я.О) содержит все счетные множества, содержит некоторые совервенные множества, то естественным представляется вопрос о том. должно ли всякое множество мощности меньше С также принадлежать этому классу. Очевидно, что в предположении СН ответ на вопрос положителен, т.к. все сводится к счетному случав. Для класса и-множеств, как уже отмечалось в первой части, ответ на вопрос положителен и не требует никаких дополнительных к 2РС предположений. Иначе обстоит дело с классами N и й - множеств, й именно, при отрицании СН ситуация здесь неоднозначна.

Теорема 4 1МА). Всякое подмножество мощности меньве'С .;из: * 10.1) является и И и К- множеством.

Отметим, что в предположении аксиомы Мартина между счетной бесконечной мощностью и мощностью континуума может быть "как угодно много'промежуточных мощностей . С другой стороны, имеет место

Теорема 5. С гРС совместимо утверждение о сужествовании подмножества модности иеньве < канторова троичного множества, которое не является ни N .ни й -множеством.

Множество Е СГ [0.1) называется А?-ынояествоы (множество» Арбо) илл допускающим нулевую последовательность, если существует

возрастающая последовательность натуральных чисел { Пк ) .такая что

lünUtt2ХПкх=о дла xé Е .

Буквами N.R.U.M и Агобозначаится также классы соответствуп-вих инояеств.

Недавно С.Кахан доказал, что Re fiv.a затем С.В.Конягин 118) доказал, что AtcR .

Для £7 сг [0.1], ?.£R положим

где (х) -дробная часть числа х.

Известно .что если есть N-мнсжестзо, то¿S^j токе N-множе-ство и что объединение N-мноиества и счетного множества есть N-множество. Для R-множеств аналогичные вопросы оставались открытыми (см.[7.с.838]). Используя совпадение классов R и >\. получим, что если $ есть R -множество. то тоже й-инояеетво и что объединение R-множества и счетного множества есть R-множество. Отметим еще тот результат, что в предположении НА объединение М-мнохества и множества моцносги ыеньве С является Н-множеством. При доказательстве теоретико-функционального утверждения в предположении аксиомы Иартина нам приходится строить некоторое частично-упорядоченное множество (порядок на котором диктуется существом решаемой теоретико-функциональной задачи ), которое должно удовлетворять условии Суслииа, и сложность доказательства обычно состоит в установлении такого порядка.

Третья глава называется: Множества однозначности и результаты о непротиворечивости для рядов.

Для класса К рядов по системе { fn ) (см.(2)) множество Ее X назовем множеством однозначности, если оно является дополнением к (КЮ-множеству, т.е. из сходимости ряда класса К к нулв на множестве Е следует, что коэффициенты ряда равны нули.

Рассмотри« множества однозначности для лакунарных (по Адама-ру) тригонометрических рядов

n 00 r¡

+ Z-,L\K mnKa: + tK ¿üiПкос

гдо 7(kej*f)

Ttepeaa Зигмунда о единственности лакунарных рядов Ш.с.ЗШ утверждает . что есяков множество-положительной меры ssí-aeics «кожеетвом однозначности.для лакунарных рядов, Множество ив лкс&ей катггегнн токе является ыножесгвоы однозначности, что

следует из теорем й.Зигмунда и С.Б.Стечкина об абсолютной сходимости лакупарного ряда 17, с.696, 7031.

Теорема 6. Пусть А - счетное подмножество Тогда супест-

вует ненулевой ланунарннй ряд ^

¿ё^бсап^Х , такой что £¿£$<00 ,

сходяиийся к нули на А.

Это означает, что счетное множество не является множеством однозначности для лакунарь^х рядов. Вопрос о том, должно ли множество однозначности обязательно иметь ыояность С, неразрешим в

г?с.

Теорема ? [МА1. Пусть Я - подмножество 10.2^) мощности меньше С . Тогда существует ненулевой лакунарный ряд оо л гх>

сходяаийся к нулв на А.

С другой стороны, непротиворечиво считать, что -существует множество мощности меньае <3 на 10,2%), которое является множеством однозначности для лакунарных тригонометрических рядов. Для рядов вида

Т^Ек ИЛ&ХКХ Где £к =0 или 1 '(<Сб ^ (7)

всякое множество не первой категорий и всякое множество, которое не является множеством меры нуль, является множеством однозначности. Счетное множество тоже может быть множеством однозначности в этом случае. .

Теорема 8. Пусть ряд 9 где

ёк- рациональные числа и Iёь ^ >■ О . сходится на бесконечном пожмножестве Е множества {¿.~т • Тогда множество значений

данного ряда на Е бесконечно. ^

Следствие 1. Множество является множеством одно-

значности для рядов вида (?).

Следствие 2. Если ряды ^Ил^ЯПцХ и ЯШЯГткЯ сходятся на бесконечном множестве (XI <£.//) и

суммы их на нем совпадают, то эти ряда тождественно совпадаят. т.о. т.к. = л* С к А/)

Множество ЕС[0,11 называется независимым, если для любых различных Е из равенства * ■ ■■ ■* КкХк » п,

где Пл,.. ,,п.1а, П в 2. .следует, что П^ =,,.-Пк - П. * О

Независимое счетное множество уве не является множеством однозначности для рядов вида (7). В.Рудин 120] построил пример со-

верченного независимого множества, которое является М-мнокеством для тригонометрических рядов и. в силу этого, является множеством однозначности для рядов вида (7). С другой стороны существуют независимые множества, не являюциеся множествами однозначности, например. совервенные множества Кронекера.

Множество Е^[0,1] называется множеством Кронекера. если для каждой непрерывной комплексной функции^' на Е (Е- замыкание множества Е), такой что = 1 для X б Е. и для всякого ¿Г > О найдется номер А, такой что

Множество Кронекера является независимым множеством. Классическая теорема Кронекера говорит о том, что всякое конечное независимое множество является множеством Кронекера. Известно (см.[21.с. 1141). что всякое совериенное подмножество [О.П содержит совериенное множество Кронекера.

Теорема 9. Пусть {/("а] - возрас1ащая последовательность замкнутых множеств Кронекера: С! Kn.fi (

действительная функция, непрерывная на ^„'¡^а • Тогда найдется возрастающая последовательность натуральных чисел I П.1Л . такая что ряд Х&цггярг сходится к </&)на сТ" Ка . причем

на каждом сходимость равномерная. а"1 скэ

Отметим, что сходимость, которая возникает на множестве и к, називаат квазинормальной.

Пусть 4п и | - действительные функции на множестве X. Последовательного ^называется квазинормально сходящейся к ^ на X, если сужествует последовательность {¿41 , £п>С . =

такая что для каждого х из X найдется номер , такой что

¡{(М- {п(х) I < Еп для всех п ^

Термин квазинормальная сходимость предложен 3. и Л.Буковскими Е22}. 123}. Сама же такая сходимость рассматривалась, например, при исследовании [^-множеств [7.с.7371.

Вопрос о том. должно пи независимое множество однозначности для рядов вида (7) иметь мощность < . неразрешим в гРС.

С.И.Адяк и П.С.Новиков (24] дали отрицательный ответ на вопрос Н.Н.Лузина о том, можно ли для произвольной борелевской Функции | : 10.1) -«* [0.11 разбить отрезок 10,11 не счетное число множеств С0.12= ¿^Ап. . так что т/а* 'сужение f на Лп ) непрерывно для каждого п , й именно, они построили полунепрерывную снизу функции для которой такого разбиения не существует. Различные обобщения »того вопроса рассматривались в последнее время Чиконем, Морейно*, Павднкоеским, Солецким [251.126]. К этому же кругу всцросч?» пожат бять отнесена и_

Теорема 10 iMft]. Пусть f : J ->JR , где Л<= R и 1Л1<С, l fbj- счетное множество непрерывных функций из & в R . сужение которых на любой отрезок la.MCl плотно в Cta.bJ. Тогда существует строго возраставшая последовательность натуральных чисел {Пк] такая, что последовательность функций |а нваэинормально сходится к ^ на множестве JL . к

Следствие [НА]. Если f'.A~*JR .ЛсМ и !Л\< < , то Л - (/o^jf , где Ак^Ак*j и сужение ^ на множество ^ совпадает с сужением на некоторой функции ^¿непрерывной на J5 .

Из теоремы 10 и построения В.9.Козлова универсального триго-. нометрического ряда (см. [?, с. 87П) следует

Теорема 11 [НА]. Существует последовательности рациональных чисел \&и] и {in.) такие, что для произвольной функции f.' d—^JR где , !Л\< С . найдется строго возрастающая

последовательность натуральных чисел Ыу} (^0 = 0) .что

причем ряд" сходится квазинормально на Л .

Мы видим, что исследования в такой классической области математики как тригонометрические ряды, приводят нас нередко к вопросам. речение которых требует применения современных теоретико-множественных методов. Заметим, что такие вопросы возникают и для числовых рядов.

Если два числовых ряда с неотрицательными членами сходятся (расходятся), то один из рядов называется медленнее сходящимся (расходящимся), чем другой, если его остаток (частичная сумма) является бесконечно малой (бесконечно больной ) низнего порядка по сравнению с остатком (частичной суммой) второго ряда. Хорохо известно, что для всякого счетного семейства сходящихся рядов с неотрицательными членами найдется ряд, сходящийся медленнее любого из рядов данного семейства, а для всякого счетного семейства расходящихся рядов - ряд, расходящийся медленнее лвбого из рядов данного семейства.

Назовем семейство сходящихся (расходящихся) рядов с неотрицательными членами семейством сравнения, если не существует ряда, сходящегося (расходящегося) медленнее лвбого из рядов данного семейства. Вопрос о том, какова наименьвая мощность семейства сравнения, неразрешим в ZFC.

Теорема 12 Ш]. Наименьвая мощность семейства сравнения есть С •

Теорема 13, С ZFC совместимо утверждение о существовании семейства мощности меньве С сходящихся (расходящихся) числовых рядов с неотрицательными членами, являющегося семейством сравнения.

ЛИТЕРАТУРА

[il Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985.

12] Young H.H. A note on trigonometrical series // Hess, of Math.

1909. 38. P.44-48. 133 Menchoff D.E. Sur l'unicité du developpment trigonouetrique//

C.R.ftcad. Se.Paris. 1916. 1G3. P.433-436. С43 Лузин H.H. Собрание сочинений. T.2. M.: Изд. АН СССР. 1958. ¿53 Sierplnski H.. Z.YSEUiid A. Sur une fonction qui est. discontinue sur tout ensemble de puissance dusontinu // Fund.Math. 1923. T.<. P.31f>-318.

[6i Slerplnski К. Hupot'cse du continu // Monogr.Mdt. 1934.T.4.

!?j Б'арк K.K. Тригонометрические ряды. И.: Физматгиз, 1901.

[£.■ Енскдер й.й. 0 единственности разложений по системе функций

Уоляа // Катей.сб. 1949. Т.24 (66).С.279-300. 19J Стечкин С.Б., Ульянов il.il. G множествах единственности // Изв.

Ali СССР. ¡962. 25. С. 2 1 1-222. [S0J Бахкецян А.В. О нулях ряцов по системе Радемахера // Матен.

закетки. 1983. Т.33. К 2, С. 1 69-178. ÏH] Соигу .".£. Soae results on iacunary Halsh series //

Pacif J.Kath. '973. U.45. N 2. P. 4 13-425. i ;2Î iisdc К.Й. Sussing closed U-set for Halsh series // Proc. fiaer.

Keth. Soc. 1971. U,29, H 1. P.123-125. [13] Кугггян r.îi. 0 множествах единственности для систеиы Хаара//

Изв. ЯН йрн.ССР. Серия ¡¿атем. 1 967. Т.2. И 6. С. 350-361 . (Î4Î Debs 6.. Saint Raj rond 3. Ensesbles d'unicité et d'unicité au sens large // P.nn, Inst .Fourier. Grenoble. 1987. T.37, H 3. P.217-233.

£153 Kechris ft., Louveaii Й. Descriptive set theory and the

Structure of sels of uniqueness. Cacbrlrige unlv. près, 1987. IlGî Martin G,. Solovay R. interne! Cohen extenlions // flnnals of

Jîeth. Losic. 1370. 2. P.143-178. H? i fÎ2;: J, Tcopns: кксЕвсто в asroA форсинге. H,: Мир. 1373. 1Ш 5c»ye?ir. S.v, Every set of resolution is ftrboult sut// С.Р..

ic^C. Se, Paris. îSS2. T.314. P.101-104. USJ Зстздгщ й, Тр^гокзкетркчсскяс рягн. T.t. К.: Кир, 1955. UCi н. Fourisr-SU It j es transforas of mesures on independent

srls tf В ; ï, fins г.Saih,Soc. iS80. 56. P.19S-202. •C24Î я,-il. б&сряктко скохгсцгсс ркда ©ары. g.: Кир, tS?6. 1221 S&wsks X, îb!» sols in triKoaoïetricai series and ceswereencr Kitb.Sievese. IS«. 40. P.53-62.

[233 Bukovsky L., Reclau 1.. Repicki И. Spaces not distinguishing pointuise and quaslnornal convergence of real functions// Topology and its Appl. 1991.

[241 Новиков П.С. Избранные труди. М.: Наука, 1979.

[251 Cichon J.. Morayne Н. Universal functions and generalized classes of functions //Pros. Aa. Math, Soc. 1989.U i02» N 1. P.83-89.

[ 263 Cichon 3.. Morayne M., Paulikowski J., Solecki S-. Decomposing Baire functions // 3. Syab. Log. 1991. 56. N 4. P.1273-1283.

Публикации Холяевниковой H.H. по теме диссертации .чр'-о^'-ПТ!-^

Ш 0 сумке меньше континуума замкнутых 13-мнокеств // Вестник МГУ, сер. мат., мех. 1981. N 1. С.51-55.

123 Неразрешимость нескольких вопросов сходимости рядов и последовательностей // Натем. заметки. 1983. Т.34, Н 5. С.711-718.

[33 0 несчетных R и fi-мноаествах // Натем. заметки. 1985. Т.38. Н 2. С.270-277.

[43 0 множествах сходимости к нулю лакунарннх тригонометрических рядов // Нате«, заметки. 1989. Т.46, N 2. С.135-144.

[53 On concentrated sets and N-sets // Asta Univ. Carolinae. 1990. U.31. N 2. P.47-50,

[63 0 представлении некоторых функций s предполоаении аксиомы Мартина //Натем.заметки. 1991. Т.49, N 2. С.151-154,

[73 0 некоторых тонких нноиествах в теории функций и топологии // Труды «ИРАН. 1992. Т.198. С.212-218.

[83 Обобщенная теорема Бари для системы 9олиа // Матем.сборник. 1992. Т.183. N 10. С.3-12.

[93 0 мнояествах однозначности и представлении Функций рядами // Analysis Hath. 1992. Т.18. Н 3. 185-202.

[103 0 свойствах тонких мнояеств для тригонометрических и некоторых других рядов, // Докл. РАН. Т.327. N 4-6. С.448-449.

[ИЗ 0 ыноаествах единственности для рядов по различным системам функций // Изв. РАН. 1993. Т.57. HI. С.137-182.

[123 Конструкция ынояеета, некоторые свойства которых неопределенны в ZFC // Тезиса док/адов вколи. Воронеи: ВГУ, 1993. С.140.

113 3 0 категории U-мнояеств для рядов по системе Нолва // Натек.заметки, 1993. Т.53, й 5. С.129-151.