Пространства расширенных групп Шоттки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ОС С КИС КАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДШ2ЫЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правам рукописи

ЗИЩЩНОВА Кэдая Салахадаяовна

• . УДК 517.862:513.835

ПРОСТРАНСТВА РАСОМРЕННЫХ ГРУШ ШОТТКИ 01.01.01 - матенатачесгагй анадкз

Автореферат диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико-ыатейвггических заук

НОВОСИБИРСК - 19&.

. Работа г'глтслнона на кафедре теории функций Коз^ л'.Слрского государственного .университета

Ньучные руководителе : доктор физшсо-матемагйчоских -наук,

. ррофоссор С.Л.Крушкпль

, кандидат физико-математаческшс’ наук, с.н.с. Н.А.Гусевский Официальные оштонанм: доктор физико-математических наук,

• профессор д.Д.Модных

. кандидат флзшш-мэгематичаских наук

доцент, В.Б.Чуешев Водуцзя организация': Ташкентский государственный

уаигерситот ик. В.И.Ленино

Зецити состоится "_______"_______________1992 г. в________

часов на заседании специализированного совета К.002.23.02. но присуждения ученой, степашг кандидата фазико-матоматических наук в Институте математики СО РАК ш адресу: 6300S0,

НовоеиОирзк-ЭО, Университетский проспект, 4.

С дассертациой: можно ознакомиться н оиошотеке Института математики СО РАЛ.

Автореферат разослан "______н________________1992 г.

.. -»

УчотШ секретарь совета / / /

кандидат физ.-маг. наук,доцент . ,• _ /' Планов В.В.

*1 . / V“ ’ і

■ ■ .

Актуальность тепы. В 1053 году поязилась с.тьтья А.Л.Алексаіідрова В.В.Овчинниковой, посчяа^эшия цреобра:>о-ваїшям Лоренца я полбгспзяая начало целому ряду нсслодовмглд по геометрии, иаибольхее число которых появилось в 70-г ічзда и которое были чзц.о всехю посвятцаны установлена» аффиллсстл отображения, сохраняющего некоторое семейство ІК шюгаста в пространство, где вило гадано ото огображение. Интерес к дгішим иследоланням объяснялся том, что понятие аф^анкого отображения относится к наиболее простим и хорошо изученным и понятно стремление веследовятетей найти наиболее слабые условия ДЛЯ СеМейСТВЭ МЧОЫвСТВ К , тем не менее достаточные для аффшшоста отображения. .

Биективные отображения, сохраняясь семейство множеств К , зздающее порядок, называет порядковыми автоиор{ігз-мами. В после,: ше годы было найдено решение проблеми описания порядковых автоморфизмов упорядоченных коммутативной и основной аффинной групп Ли. Зто било сделано соответственно А.Д. Александровым к А.К.Гуном.,В то а» время псследовтия других упорядоченных, некоммутативных групп и алгебр Ли, несмотря на успехи, достигнутые в изучении свойств инвариантны* порядков, за небольшими исключениями (работы А.В.Шзй-денко), не затрагивали порядковых автоморфизмов. Некоторые результаты, в етом направлении получены в диссертации, --мэкно описаны порядковые автоморфизмы трехмерных одиосвязних рза-. . }ЦХ групп Ли... :

Вопросами однородности кошгчоскія связных порядков занимались Л.Д.Александрой и Э.Б.Винберг, которым была достроена алгебраическая теор'жя однородных порядков. Однако вопросы однородности' порядков на группах Ли практически оставались но затронутыми, равно как и вопросы однородности несвязных порядков. Несвязные порядки в аффинном пространства изучались А.К.Гуцем, В.Бенцем я Э.ИредЗром.

В диссертации исследованы попроси однородности поряд-

.чов па rpozMi'pdViA одію&вязішх р»:ор?шллі2 rp/ttnaX Лі, а така» и прстшзно упоіядочошмх пйфяп&и пространства* произвольной рЗЗЧОрЛООТЯ.Нл ССНОСС И ДУЛ построения СШП'СШМОСКОЯ №Ор»ВІ ощіородішк л.іреіщосу* МіЮґообрсзай Д'иіо окекошзаїаческоїі иостроуции т/ч-ямериой і’оо'іпурігл isc йядоовіусідоіш rtpooypaacfBa. Цель работы. Диссортацал шашщонаї

- описачлы корялкоснх аіітсмор’+язілпп одіісргщсіз одпоеі’ЯЗЬ'Цл угторлдоче:ш;« ліфішш кзюгосбрайиА и rfusiispiiux одисоияз-іш;< упорііД(ічои!>.ід груші Ля;

- пссмдзвжю яроЛпэнш одисродаюга порядхоп прхмьшпеаъио как .ч TreJ.MspjB.ai упорлдочоітии раз^езт&ы :-рушіам Л>і і чак і; к сгхізяо л ыоошэии уііоря/Л'К-ш&ч сфі-итаїм іірос група про'лЗоіх>ль.іс,й рп;*іорнос'Гіі5

- яоотрио-іию еяитотачесгай* Лідсхоордаваташі" №>тодсгі гвскеї-

ркп Tporw.3j.!!oru nccbAaon;\Juy!oH3 tt;oc’rvc!rc'U«t н<з осікшо Uony-чстаїа ро"ультзтои по изучотш пораджені

- неслодоа&ни» іюьивазюго етроешім ихогциі о&ОД->Д>шя і»ссн»із-•адг ;юр;ідкои « гфідг.іііия чрооуринппіаа.

Методика вссяедовожш. Ссмошааі «ктодои аоИзош-ольсгр пэмотся построение гьсмотричоскиз и т»орстп«о-«иоз>с.е'Пзе№!Иа копструші^П, а їакгзз тркдп-^.’онan їохчіша групп ;lst. .

Ііозвзиа в гзр2хтечосу,й!і «йіаіость работа. і'> дасоор^ац'-Ы иолучглш сладукщто ос.чг;із«из розульїата: .

a) oiescс:п/ поріїда.ої;ік< сиїсі;ур4*'Зіх.і Tpox.v.ypK'ii:', о.іБКСЕПО-іпіл одчородтад ^тторпдочоїіщх многообразия;

'j) дохаг«ші в^іг-шо«гь порядкових аптоморЗнзмюи усіора-дочмскя її-ож.:г>ріац; рдпоедаспих paopewsrwujr групп Л;;;

е) цоііизсііо, что ср-зда іюрлдкоо, код-зііііуд сонойспзамк елліпггіїчасіая кону со в, пщзариаьташ: отеимп'ольнп нормальнії;! еф£хшсііс ирздстаалонаЯ сзязаїк одслсияоіпіх раорег.игих тре.я-мор!г,.іх ггуіяї Л.і, ыахсяиолыюЗ одасроді:ос?ь» облядеот pwuwa-і):їс’гск:і8 порядки (порядка, :тьиря;и:тісн> относіаольно irjyw/-лсямті? іюрспосоз);

г> на сс:;о23 получеішук {.■йьулг.їигоа по л^учсііїсо яорад* юти щісеодзко эи&гоматкчосхсо пэстроыод гоомо'ірш; ірод^ор* -лого псоюдоьяклііасоз прсограксіиз;

д) докезііис, что несвязные порядка па йогу? оить внутренне однородными и что пиошле однороднее порядки, за ИСКЛЮЧЄ!ШЄМ,бЦТЬ МОЯЭТ, ''оссби.т" ПОСНЯЗНМХ ПСр:1Д1'Ои. Зудут сплзними;

9) исслодоваро возмсшюо строэ:ше іратічнз одчородних П0-;,. ЗКЫХ порядков.

Прнлокешя. Работа носит теоретический характер. Результати исследований!, аздоотшше в диссертация, яплявтсл новими и мэгут бать ишольаояаші специалистами и области упорядоченных групп а адгебр Дк, упорядоченных однороднпх афіиннкх шюгсобразій, аоиовшотЯ геомотркл г: епоцнэ лілюй теории относительности, тзории управления. ° ,

Апробация ргйоти. Результата диосарташш докладывалась автором ка X Все сошном оішюзітумз но теории групп (Го «эль, 1836 г.), ка Вовсовдноа х.лфгронцни по геоьгатрии я анализу (Новосибирск, 1939 г.), яа заседаниях сеиинэра кафшдри гео-«зтр’.кі и топологии Нойооибарпкого государственного уштерси • тета (1991 г.). оемяпяро кафадры математического коделиро-эяиич Омского гасударотпегагого уцнперсятота (1989-1991 гг.), іа П МождуиарадвдО колфзрвэд’ДН по влгоо^а (Барцаул,1991 г-.).

Публикаций. По темэ диссертация опубликовано 8 работ, гвноок которых приведен в конце автореферата.

Структура Н Сбьви роботи. Диссертация содо раит 109 ;ч,:;"П1ц маетшописнаго текста, состоит из введения, двух глав і списка цитированной литературы о 40 наименований.

Главы имеют ододуюсдае названия:

’л.1. Порядковые автоморфизмы однородных трохнзріаїх шюгоой-шзай,

’л.П. Однородный порядок о аффинном пространстве.

Обе глави садеряат коротите онедепил, характеризующие ;руг рассматриваемых в них проблем. Кахудлй параграф начина -топ с комментариев и формулировок. Теоремы нумеруются двумя Ифрамн, первая из которых - номер параграфа, втора.ч - номер эоремч ьиутр’л параграфа. Аналогично нумеруются леими, слгд-твия, замечапия и примори.

ССДКИШГИЕ РАЕС/ГЫ

Ьо ішедоісл даотся об'лор основного еодер&аііия диссертации.

В зррис.й глзвя дяссвртацаи изучаются порядконые ьвтомор-фязмы сдн'"'рг<лаых трех»г©р’шх аффлзвшх >-шогообразий, однородные еіф-йшиь леиоиявариантше порядки на трехмерных разрэ-аикнх грукшіх Ли я излагаются схитатичсскоя порядковая теория трахморчого гісевдооіжллдзса тростргнства.

Пярагр'в-1ы I и 2 нос пт ЕСла-догат'».тьт«а характер. В 5 I даютсл оігуі-д^.:' Miurwx. мнго ос<5г.азий и полных аффинных

леіп;г5і;г;рй::нт!!.- . /ктур на разрешимых' связных односвязиых

п-ыоряъх группах Ли. В J 2 лрииодятел примори аффинло наик-в-дв'лявитшх структур для трчхмсрноЯ коммутативной группы Ли н пртайры нормальных продстяїіЛБіпг-ї разрезами групп Ли. Пр.і отой яфїимічх» ире дсташіе>ир группу Ли k-;3UDo'*tck иормалышч, если макс;сигільн->а ябелегюй зодгрущш 1 группа Ли &г с ou тв j *г с 7ъ у с т подгруппа групші параллельных переносов п-мир-ногс арифметического пристранстаа . ІКЛ .

В J 3 описиваотся o,vra< ко сиосоЗоь задания частичного порядке на ьг-югооОразии IT' , который дглез всегда исполь-яуотсл и дзсссртаидш: ир мїіогоо^разл^ї :>адоотсл оомейство 'ІІ = { Б'„: Г < подмиоагэсти, удзвлотворяац’оо слсдуивдш

условиям: і і) х t й\. ; (і с) у i !}Jt , то IP>( с fi> ;

(,І і er-ju z ?' ;i , то P / ІР . .

Если ti-j мг.огс-образіш С/* , гдо задея порядок ф , дой.ет-иузт 1'рїіс.ю гіреобразоогішй €>Г , то порядок ^ нозыэа-

отся 4? - лнгсрпантшл.!, оол'.і дая лкбих ї f E/n , g ( S.,

K»oav. sviPE) == Pg(a) . - . '

Гомаоморїазм / : b ---------->- \¥ , сохрз.чяодій порядок, т.о.

такай, что для лг«2ой точкя X € Уп /(!-'_) = ІР называется

породі"'>'»ч автоморфізмом или ?3 - автоморфизмом. Мііоз.-остоо поряд ’ аптеморіазмоз ивлл-з. ея rpyunot; и обозначается через . '

ТЕОРЕМ/. 3.1. 1 iyс і і n Tpc.VJopxioM аЗДяхкком пространства

. - 7 - . -

Ап порядок *51 состоит из пллиптичоския коту сов и їиполнєви следующие условия: I) для любой плоскости На гроходящой через точку а € Лп и параллельной плоскости И , семейство { Рд.: X € На } состоит из равных и гараллельаых конусов, прячем если На / , то !Ра

[9 равен :л по пзраллелен !Р^ ; 2) іпЦУа) П На = 0 ;

!) существует луч Ь такой, что каадаїА коцус Р„ содор-ит ісрайшіз ооразуыцуя і , паргллольиую І . Тогда любой [орядковий автоморфізм / есть а;їфжпгое преобразование.

ТЕОРЕМА 3.2 показывает, что тробова.хго {ГСІ([?а, П На= 0 і теореиз 3.1 является существеїоалі.

В § і огдісивгютсл порядкозие аптсиор^ізілі 3-х мерных іязних односвязних разрепимих групп Лн 5^ • С группами

©3 работаем в их аффинном предстевло.чяи, то есть рас-матриваем их как просто транзитивные подгруппы группы

з

ффншшх преобразований аффиакого пространство Д' , в ко-

орсм зада:ш инвариантные относитэльно груопи С-, порядки.

ТЕОРЕМ 4.1. Пусть ?Р = {. (Р : X £ ,ГҐ} оллизтичєотій ко-3 3

пческкЗ порядок в А , инвари'чтнцй относительно грунти

а і (Еді , где а - нормальное - гф^тшоо продстапленив

пязіюЯ одиосвнзлоЯ разрешимой группа Ля со.. . Тогда любой

орядкоииа автоморфгал лвллетсл оффашшы преобразованием.

З ! 5 псследувтся однородные гфі^аиіиа .товои/хвпрнаптшіо

орядкн на рззрвшміх группах Ли. В - ишїзризнтішй поря-

ок ‘]і = { Р : X с о,л} па многообразии "ііГІ ;га~изается внут-

8шіз ( іпі -), гранично (д -) ;г внешне ( ОХҐ -) однородным,

сли стабилизатор группы в одяюіцо е груша дей-

гвует трзіритивно на 1г.І !?^ (соответстзетю, иа 3 і ,

“* и 1Р‘ )), гдо ЬІ_- і У і. З’, 3 6) Чзпр:г.:зр, рзлп-' ® У *»

;озистс:сіЗ коїсггссіслЗ. о ллііігпічс сг^і порядок ?з А гпілло^ся

тщовременно ІПІ д н ОТІ - одиородгяал.

ТЕОРКМі 5.1. Пусть '3 - пял1ъгг.?’.ъс:?.’Л г-кшпе'сісгї поря-

э’с з , изгоаригнтішй относительно гругпгі аС®о) ,гдо

^ •

і -- нормгльиоэ гффлшоо про.г.отгБлоц.Тд езкзпой одеосшїзпсЯ ;;зргцкиой группы Ли , не язлгкщиася родяхззясгсхпа. згда ^ не яеляєтся яи ІПІ одиородим, ж 0 - одаород-

ным. ни wt « еднвредашм»

Заметим, что ро^итивнатский аффинный причинный порядок появляется т группой Фдт » , <t3vn0 по классифика-

ции Бьянпи отнерягольш полной лоиощтариантной. аЗфвшой структуры С,П.Геврч,'1оаа.

Цо.чып £ 6 ЯйЮШТвЯ рцдаданиз тредмэриого псендоевкли-дова пространства wmwrypu <+ - - > среда аффшгао

упорядочэннчх одчородауя лоранцевых многообразий.

Во nro[)oft удава иррдадуотол нэ йнеишэю, внутрвшш'э и граничную однородно^ как связные, «рак и нвевнзнао порядки

В нффШШОМ npopTpnuefpe .

§ 7 главы ц наэвд »ояа«от'атрд11ша характер. Б пои даются основные опродрлйвдя и нанятая, отсгооодиее» к ifecuin&m^y порядку в гффжсмы пр«отрануч>ш fin . Точка е фякокруотоп и вс второй главэ падем I? мэета G*0 » Р' вмеего !?" ,

Обо. начаем Р \U'} черэз <П К тщщём ft ? © ,

* 'Я* п

Внесшим конусом ксюазстяа iP^ , X £ ft называется множество С - U 1+ , гдо I* - дуц а яичвдим в точка £ ,

Л XJ/ *tj/ . , , г

пр^ходящзй через точку у € ОВ^ . Полагаем ®рк € .

В 5 8 предполагаете я. что выполняются сдвдухщи? у МОГ. i: Л (A.I) ВЕ8ШШ1Й конус кз является полупространством}

(Ай) Hit в fl s (« а.

Несвязный порядок ф является ‘’особу:*", если мыозэо-тоо О (IP) = {I е An; х Ф е: ш с > совпадает с ffif , где & = Р~ Ч{ е } , в противном сдучаэ порядок <р называется "ноособым".

' ТЕОРЕМА 8.1. Пусть ^ - порт ■ п Ап , п >. 2 ,

удовлетворяющий условиям (AI), (Д2; да I). Любой внешне однородный порядок '-J3 за исключением, бить может, "особого11 несвязного порядка, являе- ся связным; 2). Если ?р -связный внешне однородный порядок такой', что Ini Cent (SP.e)?

^ 0 {Cont (iH.e) - контингонция множества 5’ в точка е ) н существует окрестность 1* точки е, для которой Й П ИМ! 1Р~^=

- {е; , то ф является эллиптическим коническим порядком.

г' § 9 рассматривается порядки, удовлетворяющие условиям

;

(АХ), (Л2) ИЗ 5 0.

ТЕОРИЯ 0.1. НэсайаниЯ порнврп М Й йП , !1 > 2 , удошютнсряициЛ учиаи'Л'п (ЛЯ), шедший иону и №. л>рого имоог острум вброшу < но можот? бить ий - однородным*

ТЕОРЕМА &.1!| П'Н'.7Ь - ()- («диеродняй яесвязний порядок

В Ап , П ? II I УД‘0Л‘!0^‘Л0|!/!0Э? УйЙоЬВЮ (/Л), Пр'.ХЧОМ внешний конус очтруя сариоду* Тогда слодуюгде два. условия

насо.^ЧусиШ! 1), ф и.'.йеV точк/ строго;! вогнутости, т.о. б Ф 1^:!гот точку Э.‘0 , для которой иаЯдотся гиперплоскость Ил, Я окростность 'Л_, 'гакио, что IIг П ПО®- {тп),

^0 ^0 ^

(И ПО) ) \ (ТЛ>С ш О ;2). для лх-биг и С Дп \<0> П Г'} г0 а0 О я а

1.ЛОЛЭСТОО 3 О Р, й 3 »и ’ЛМООТ компактных компонент СВЯЗ-

^С л

ИОСТП.

. В саг.ллчйкио автор виражаот глусюку» гЗ.тегодг.рность

своему научному руководятэлэ Гуну А.К. ::а постановку вопросов, совртц в рзсотм и цошшп заиг-чшсв!.

Оововнна роо.улъткч'Н дчосорт цич оп.'/бл'лло'опнч аят-о.хзм в районах:

I. */);ф?и;п,!ОМ Н.Р.,Гуц Л.К. .Шзлнкляп П.Л. Сиюттачогле;).'! теория Г-М"ЛГ!П(Х ЛороПЦПРМХ \ПГ«)ГГЛ>1ПЙ'.ЧЬ1 к угорядо1еш«1» Групп»! Д’Л // Хокл.АН СССР. - Ш<в. - т..'ЮЗ, г; 4.- Г: ’-701.

З.Залимэтзз Н.Л. Хро>'огос;.этрия ргероагэд * гр. •.

?од. "СлО.мчт.й:. ; - Нопослбирск, 1083.-ил с.- Дчн. . .Л'Дта 26,0G.es., и -П'Ш - аЗУ.

ЗЛ'&ламопа И.Л. Владко т;:пл’чтгт:п?1ш:! порядок в «^..латои '.*т.«с™>гзисткэ // Йспсоэзняя :<С1г?х2рэхг,!ЛЯ пи го ':атс:в' гплл:-до^лодоп.-- Непосч'^д'еи: СОЛИ СССР, ТС5').~ С.Г',.

4 ля'хжп К.Л.Грг^г.гпю повя/ул в гЯ;;:л;.‘ч

.: л о 1;1^~Т;0 // 'Л Псессг.ол.зп сг. о."л. П-'т'Л'рях'.ггх'^гс Уп:У'!1 .‘/-}:-:укг:г1.- К-.’морог.о: К ГУ, 1Г00.- С*С0.

Г>,^'-.>лг?.:оьп Н.Л, ,Гу! Л.,Ч. Пзр!!д:<^п:.'0 отггс-г-зу;.~гиг!;:; т ут. // Тсг:»с'1 докладам X Рсосо~-з:юго самгогпут.'а :хо тесрал Т<ули. - 'Л;чск: ;?.) д]| ЕССР, 1Г^6.- С.71.

6.ИЪламоиа Н.Л. Внешно однородный порядок в аф^шшои пространстве. М.,- 1991.- 10с.- Деи. в ВИНИТИ 13.05.91,

N 1926 - £$91.

7.Шалимова Н.Л.Однородные аффинные левоинвариантныв порядки па разрешимая группах Ли. М.,- 1991.- 9о.- Деп.в ВИНИТИ 13.06.91, N 1925 - В9Х.

О.Шадамопа Н.Д.Дффиняо однородные коиичеокиа полугруппы разрешимое групп Ли. //Международная конференция по алгебре. Тоэпсы докладов.- Барнаул: АТУ, 1991.- С.84.

Подписано к печати 24.06.92 .

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 0,75 п.л.; I уч.изд.л.

Заказ Ий - Тираж 100 ,

Отпечатано на ротапринта Института математики СО РАН 630090, Новосибирск, 90