Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ворошяский гос/длрствишыа гашврситвт

На правах рукописи Айдулкодяяд Муоя

. колеблемость швншся рвзвний уравнение

ВТОРОГО ПОРЯДКА - СПЕКТРАЛЬНАЯ ТВОРИЛ Специальность oi.oi.OI - нвгемйтическиИ »Ийяпз

АВТОРЕФЕРАТ

дисспртоцкк на соискание учено« степени хяндидатв ]нзиг.о-!'ЕТ0нег1иескйх нвук

Ьоронвя

Работа виполйсга на ка$едре математического псилияе Воронежского университета

Научный руководитель: Лоитор физико-ьотсмотических наук, профессор Е.В.Покорный

Социальные оппоненты! дсктоп фнзико-катеиотнческих наук

профессор П.А.Бахтин

. доктор физико-мвтемвтических иау» профессор А.П.Хромов

Вздупвя организации: Киевский государственный утге^сит!

. Зе.цигв диссертации состоится 10 ноября 1992 г. в 15 час 20 мин но заседании специализированного Совета К 063.4В.0е п принуждению учоной степени квндидптв физико-катеивтических и г» Воронежском гссуиарстъснчои университете.по пдргсу: ЗЗ^СКЗ Боронен, /яиьорснтетсквн пл., I, БГ/, математическим [пкутьт

С диссертацией.кожно ознигсинться в библиотеке Ооронелс го государственного университета.

Автореферат, раэсслпн 0 октября 1°92 г*

''чен'Н: секретарь специе лизирсп.-нчсго Ссяетг

-■з--

ОВП'АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки. Многие конкретные задачи физики и техники

делпруптся краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных

авнонкй второго порядка на графах. Для классического случач -

ыкйовенных дифференциальных уравнений второго порядка на отроз-

основн качественной тзории била залокэны знаменитыми разулъта-

т Штурма*К На юс базп била развита спектральная теория задачи'

урма-Лиупплля. Поело известных работ Д.Гильберта к спектрально-

анализу краевых задач начал интенсивно применяться мэтод пк-

гралыгых уравнений, а позднее - методы теории линейныхопэрато-

в. К настоящему врегтапп линейные двухточечные краевые задачи ,

г обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно хороша изу-

зы. В частности, далеко продвинуто направление, связанное о Hays')

аием асимптотики спектра, полноты и баэисяооти .

Гораздо более сложными и менее изученными является задачи,мо-шруюциэ, например, деформацию систем упругих континуумов эржной, струн), соединенных по типу сетки (решетки), т.е.- сио-и, геометрически имеющих форму графа. Задачи такого рода воэни-от также при описании электронных колебаний сложных молекул, « ■ Sturm J.Ch.P. Memove aur lea equations differontiollaa li-

ires du second order // J. Eath.Fures.Appl.,1836, Vol.1,P.106-166

2) " ' '

Tnnarkin J.D. 3orae£eneral Problema on the theory of ordi-

y linear differential equations and expansion of an arbitrary . ction in seriea of fundamental functions // Hath. Zs., Bd.27', 7, 3. 1-54; Килдыш M.B. О полноте собственных функций некоторых-1сссв-неса.10сопряженных'линейных операторов.// УмН, 1971, 27:4, L&-47; и ын. др.

- л -

процессов -i< сюггешх акустических тр;,^, чеплив^дов, ь г одра ьы. веских и электрических цег-нх, Huhljj изучени»! тиких задач зило гол^-женс 1- перглЙ ийлс-ышч 60-х годов £ pa-joiax. ленинградских и французских учених^, а также на семинаре Ю.Ь.Покерного (к. с v и гут ш-

лтл Воронежского университета). Б работих семинара 13.L.Цикорного для краевых задач на графах, оехения которых щутся ъ классе непрерывных функций, 5ыл разраоотан качественный аппарат,

позволяющий установить такие ивэР.ства этих задай, 1(щ< условие нз~ t

вырожденности, существование и положительность функции Ррина, Uc- положительность соответстгующего интегрального оператора, • условие простоты собственных значений, счетность спектра, простота ведущего собственного значения.

Более сложншли (но не'ценее актуальными) являются краевое э'> дачи на графах, решения которых допускают разрывы первого рода. К такого рода задаче приводит, например, вопрос о колебаниях уп-pyi ой саткн из струн, сочлененных пружинами. -Исследование спс-«тт таких задач к якляется целью и результатом настигшей диссертации.

'Цзлъ работу состоит в изучении спектра краевой задачи ял т. лин "дифференциального уравнения второго порядка на графе в случае, ко

^ Павлов Б.С., йаддееЕ Ы.Д, Модель свободных электронов й ■ задача рассеяния // Ш, li'Sc, Т.ББ, rc3 C.2ü7-iL6i;¡.¡акров A.B. Эллиптический уравнения второго посядка ш графах // ¡»!ат. сб., IC65, Т. 127 (IfeiO: 4 (О, С.ЬОк-ЫО; dixh I.r. Lo npjotro Лц Lupl lasion our un erapha // Loctuxo Hater: in liitii., Г, 'Jprin,;rj' . Vc.-las,- 1934, Р.5Й1-539! Hicausa аora? гззиПэ on apeotrril tho-j ry -over networks, applied to nervo in^uln trauMnisuioa // Lciiiu;-': ¡loten iu IJuth., Ii 1771, fcJprincc1-.V3vl.il,,, 1933, 53'.'-И1.

-5- .

режштч допусл-ают разривн во внутренних вешина-к гра"«. Для этой целтг изучается гатвгралыш?? оператор, обратят!* исходную задачу, вмдс.чяотся классы задач, для которых ядра таких операторов (*упк-пгл Гргна) обладает свойствами, нсобходнттп для применения теории погожчтплыпт: операторов. Осковние результат: г состоят в ело— ЗГ/^ст: ' г.

- лппсаи класс до^тярештаяышх уравнений на гра*е с рязрнв-тг.тп тушения?,та и соответствующие кравшо Задачи, для ^отспгг:

- конструктивно опредвлзна (^упглпя'Тр"на. Установлена связь неоспиллятши уравнения со знакопостоянствсм '"ункстш Гр:*"я;

- доказана сильная положительность ( ползяительноеть) интегрального оператора, порождаемого ^ушатие'; Грина;

- доказана счотность спектра и простота ведущего собственного значения;

- найдено условие простоты любого другого собственного значения (отличного от ведуиего);

- изучена структура позитивного спектра задачи Дирихле для уравнения с вогнутой нелинейностью.

Методика исследования. Р. диссертации используются метода « теор;т1т полуупорядочении* пространств и общей теории компактных операторов, применяемые к интегральным операторам, возникающим в исследуемых задачах. Анализ ядер этих операторов (Лункпий Грина) приводит к необходимости использования качественных методов теории дт!г>~ере!шпалъннх уравнений.

I

. Нр.у^ная новизна. ' Все основнне результаты диссертации являются новншт. Конструктивно определена функция Грппа» Установлена са^зь неоснплляцпп уравнения с знакопостоянством функции Гри-1а. Доказана сильная "оложптельност'ь ( !Ла - положительность)

интегрального оператора, порождаемого ^угасшей Грпна. Доказана суетность спектра л нрозтота ведущего собственного значения, на доио усдовче простоты любого другого собственного жгаченич (отличного от гедуцего). Изучена структура позитивного сявг.тпа за д »чп Дцршгло уравнении о вогнутой пелипеГностью.

Пшпткчасг.оо значсжнз работ;;;. Работа поспт тооротичеспп:" трактор. Ее рзэультати могут бить гсполъзовага! при изучзшш ко-лоба!шй (депорт,иил'.)!) систем, кювета структуру типа гр?.Т">а {сапа решетки), образованного упруггил континуума та.

Агтробшгня .работ;!. Рззультати диссертанта докладашиись ш реопублпг.г.непоЯ. научно!! икояа-свиинаре "Разривнне дпнампческно систеш" {Ужгород, 1091 г.), Воронежской весонне;; математическое школе-(1992 г.).

Куб-тесании. Основные результата диссертации опубликован-! I чэтирех работах автора, список которых приведен в конце авторе'* рата.

Огуитурп и обге;;, работа. Диссертация состоит из введете трах глав, списка литературы, содержащего 41 наименований. Всег в диосэртгаши 101 страшат галпшописного текста.

' СРт*Е?ШИЗ РАБОТЫ -

Во вводпшп: дан кратхпп'г обзор развития спсхт-ютю'1 гоорчи краових задач длл однородных даУ^решиталышх уравнений на отрезке и гра^с, приведены прпкорн задач, изучас.'.г.;х в диссертации, «уТюгхулирзваш основшга розулътати.

I. Первая глава олунчт дня вбедапгя основ:г'т понятн':.

Центральным является понятие дифференциального уравнения на графе. ■

Пусть в R." задана конечная созокуяиость [^{.Vl-i °'1КРн"" тfix попарно нопересекаюгчхся прямолинейных интервалов, для которых Öj — ф при I-f j (здесь lij - замикащн п ^R" ' интервала ). Пусть J\ - множество всех концов интерналов , д Д - подмчожпство J\ таких концов этих интерна?ов, каждый из которых является обоим для нескольких (т.о. на fen ее .двух) интервалов.

Пусть ßi - некоторое подмножество множества Лв .Если множество р , составленное из всех точек интервалов i{ и всс-х точек из Jli , является связным в , то, следуя*^, га будем называть его открытым связным геометрическим графом (в дальнейшем просто графом). При этом точки из ft будем называть вершинами графа Т , точки из - внутренними вершинами Т .а из

Я \ ßL - граничными вершинами Г . Множество граничных вершил . Т обозначается через "ЭТ* , а множество внутренних вершин У' -через tHl*)- Ниже мы всегда будем предполагать, что 'ВТ ф ф • Интервалы ^ будем называть ребрами графа Г . Объединение всех ребер графа Г" , как множеств из 1R", будем обозначать че-" рез^СГ). Всюду далее для любого множества В из R" через В обозначается замыкание множества В - в . Через I (£х ) зля любого C4G Р обозначим множество £t = l7m lFi^0^.

, С каждой внутренней вершиной rt € 3 СГ\) связываются два набора положительных чисел: £«?<-((.oO)i.6l(ov) } я

[ -fej.) {д) I i,) (z Hot) \ 0 последнем наборе k^ (сн) - •

^ Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения .для сравнений яа графах // ДУ. - 1989. - 25, № 7. - G.II4I-II50i

- 8 -

Эти наборы далзэ считаются фиксированными.

Функция ¿Л ; (Л*.), равномерно непрерывная на кая ребрэ вместе со своей производной, называется квазиглад

эсли она в каждой внутренней вершина Л£ 3 (V) уповлотвор условию

^иОК^сО - 2--И- (л)-1Л\Ш)1 а<1{1

К1 (а) Ч * 1

Здесь и\(.(Я) означает производную Функции 1А (-) , посч таннуг в направлении "от л " вдоль рэбра , а соответственно, пределы функции Ы (•') в точке л вдоль I бер и •

. Обозначим через ССТ1,)» С СР)>СчГ)множества функций, ди вугатпх из в К и обладающих на каждом ребре ^ рш

мерно непрерывными производными цо, соответственно, нулевого вого и второго порядков. Множество гвазиглацких функций из С

л» Л ^ А

и Сг(Р) будем обозначать, соответственно, через С (Г)и С ( Под дилерекциальним уравнением второго порядка на графе понимается соотношение

-1РИ'}' + ч ы • исг) . (1)

• Смысл этого уравнения раскрывается в понятии его решения. Р01

л

ниеы уравнения (I) называется любая функция из множества С{( удовлетворяющая на каждом ребре УI "обычному" скалярному у; нению

- С Р^'с )' + 01.4X4 = К ' где Р^.; . 0|. • ~ СУЖ0НИЛ Функции Р<

о) , ^ (.) , 1Л (•) на ребро . Всюду далее предполагается, что ец , V ^ С (.Г) , Р £ СЧГ ) ; относительно "Р I')

дополнительно предполагается; что

иг? ^ Р Сх) 1 х > О . •

Для уразнетн (I) мо от о ставить краэвна задачи, добавляя к (I) какие-либо краевые условия на граница гр<4>а Т . Ма рассматриваем в основном условия вида

и \ о 'эг

(2)

называемых по аналогии условиями Дирихле. . '•

Краевой задачей (1), (2), кал отмечалось вите, оансцзаются малые деформации систета упруго сочленовных струи (в данной случае нужно считать О ), Б условиях /свазнгладкооти в качеот-

вэ ^¡.(.ек) здэсь выступает натяжение Р-^ОО I -ой струны в точке (X .

2. Глава П посвящена з основном изучению регаений однородного уразнения

- ( Ри'У 4 с{ и -О СХ €Г) . 13)

Вяесь устанавливаются аналоги теорем Штурма, Попутно аву-!алтея свойства решений цлЗферонциального неравенства

-(Рм')' + Я /х ^ о {х^Т) м ри 9 м^ о .

Гра'р Го называется подграфом графа Г » если {^ЛГ,)сК!(.Г) 3 (Г„) 3 (.Г,) . Пучностью ( 'З - зоной) функции Л {•) £ С (Г,) называется любой поцграф "Го графа Р та-•й, что чункцил. (X (•) имеет относительные нули на граняцэ

и, кроме того, для любых точек Yt , хг из R (V) сущоствуе путь в р., • содержащий точки /t п /2 , на котором функци ¡Л <•) положительна {отрицательна). Для функции Ц { ■) , знакопостоянной на Р» понятие " М ' ■) имеет относительный нуль в -очке ci € 'Sie " означает что (а) > t-tj ((X) 4. О пРи ielpfal

j t J-гт (.£>0 , где I-rr (я) есть множество индексов (номеров) Г0 1 о

ребер графа.Р , содержащих ребра подграфа р, » примыкающие

к а , а Jjr (a)zzl(0<j\ Ip- (а). Для непрерывной функции ш отрезке пучность - это интервал между ее соседними нулями. Прив* денное понятие пучности расширяет понятие пучности, данное Поко. ным и Пенкиным для непрорывных на графе функций на случай функций из (Р) -

Т- е о р е м а 2.1. Пусть Р0 - пучность решения М. (•) уравнения (3). Тогда любое другое решение Yk о этого уравнейи непропорциональное U (•) на R (Г0) , меняет знак в Р„ .

Эта теорема - точный аналог классической теоремы Штурма о р делении нулей.

Теорема 2.2. Пусть - произвольный подграф "Г cj (.) неотрицательна на R СГ"„) . Тогда любое решение неравен ва С4), отличное на R. (Г0:)" от константы имеет неположительны, мин™ ум на Р„ .

Теорем а 2.3. Пусть в условиях теоремы 2.2 решения U (-)и 1/ (-j неравенства (4) обращаются одновременно в нуль на границе р • . Тогда Ы (•) и г? (•) соизмеримы на Х1, т.е. для некоторых положительных чисел ) выполне-

но неравенство о<. U i • j г/ (-J ^ «•.) • • Теорема 2.4. Пусть Р, - пучность некоторого рёве-ния М {•) уравнения (3). Пусть неотрицательное на R (Т^) решение V'(-) неравенства (4) не меняет знака в пучности Y0

пункции Ц i■) . Torna V* t>) пронорцконалыт IH>) 11a R(.I%) • На основе ToopoM 2-4 устанавливается

T e о в а м n 2.5. Пусть , С(Г) причем

^ нл ' Пусть T„ - пучность роиэнпл урач-

еннл

-(Pw'/+qt и - О < х €Г) .

огда лиЗоо рэЕэкио уравнения

- -О (xtr) ,

зколливдзрное tí на R СГ0) • "эмет знак в пучности fj гнкции (,( (.) .

Это центральна! теорема главы П, которая явлются точным ала-jroM таореми Штурма о сравнении.

3. В глаЕе Ш обсуждается главным обрнзои краовая задача (Í), !) и соответстзутацие спектральные задачи для уравнений

i (5)

■4P iД'У+ <Мл - Ъ г и (х£Г>

ри положительной. на R. (."Г) фуикцпи Y (.0 и

- (Pii')'i-q U - ^(x.W) Ч*€Г)<в)

ри неотрицательной функции У (.•) и вогнутой по 1А пра-i части).

Теорема 3.^. Если задача (Í), нешроадеиа, то зестзуэт-единственная определенная на R CT} X R LV) функция та -этой задачи. Она равномерно непрерывна на каждом прякоуголь-

я ti / ÍTj •

ДиМ^рвндаальное уравнение (3) естественно назвать неоспдяли-пт на графе- "Г , если ка-кдоа ого. росанио не имеет пучности

в граде Xх . 1"зюду далее в главе Ш предполагается неотрицательность коэффициента р] (•) в уравнении (3), что обеспечивает невырожденность задачи (I), (2), предполагаемую в теореме 3.1.

Т е о р о к а 3.2. Уравнение (3) но осциллирует на гре^е Г , если о на К.1Г).

Из теоремы 3.2 естественным образом вытекает То о.р е м а 3.3. Если функция с\ (•) неотрицательна ш ^ (.Т.) , то задача (I), (2) новнрээдена. - Неотрицательность функции Ц I•) обеспечивает знакорегу ляркые свойства оператора , обращающего задачу (I), (2).

В силу теоремы ЗЛ оператор \д 1 представил в интегрально;! форме ...

■ • ? г, « (7)

Ь"4? I ) & V (5.) о$ ,

РНГ)

где й С- > • ) - функция Грина задачи (1), (2Оператор II1 действует в пространстве С С V) . Это пространство можно раем ривать как банахово, если нормировать его следующим образом

И\| - 1 ? и>)

В этом пространстве множество неотрицательных функций (I

образует конус.

Теорема 3.4. Оператор 1Г1 положителен по отн швнию к упорядоченности, порожденной в пространстве С (Г') ко сом СР;) , т.е. из £ С'). следует Ъ'М (.•>>.

Положительность оператора 1_Г1 влечет неотрицательное функции Г^ина задачи (I), (2). Оказывается, этот факт допускае уточнение.

1:1 - .

Т е о ;) о м а 3.5. Ясли Функция q (,) неотрицательна на VI1) , то Аунюш Грина (д задачи ), (2) строго полояи-тельна в своей области определения (т.о. на ОЛТ1,) хй 1Г*) . ). Более того, ллл любого ^икст.рэъанного Р- IГ) в ка'ВДэЧ

внутренней вершина а £ 3(1*} выполнено

■йог £(*.*)> о ,и 11л))

« .

А

Свойство положительности опэратори Ь'1 допусквэ-г усиленно.

Узорам а 3.5. Оператор 1 является и„ - по.ю'гл-тельным пэ .отношении к упсрядочокноти, порожденной в пространство Г С Г) конусом '}? ( р: (Г)). Ится! ело вата, при некоторой неотрицательной функции и{ £ С (. Г) лл-глюбоИ чонулавой и неотрицательной рушщш ? СО £ С^ С Гг) суаюствуот пара положите-ль-анс чисел о< , р таких, что на

* -К. (О £ ( и*"?) со * Р> Ы • Оператор и1, оказывается вполне непрерывным. Поэтому к в :ледствие эбда результатов тоории положательнцх операторов для !эго в силу теоремы З.С> справа¡сливо слздуюовв сзойсто.

Теорема Зт7. Множество собственных значений задачи 5), (2) не более чем счетно. Ведущее собственное значаниэ положительно и просто. Соотвэтствуюшая ему собственная функция оохра-яет знак в К Болоо иго, если считать ей неотрицательной а й. (Т), то ока строго положительна на Я (Г1) причем в лобой кутрашшй вэрюше а 6 3 выполнены неравенства

-Ч (.£*;> о ( I £ Т •• '

Под циклом гра|а Г* понижается, как обыно, ого подмнзжзот-1о, гомбоморфяоо окружности (здесь подразумевается, что на града Р звед-жа топология, индуцьров энная в К" ). Слецук>-

щеэ утаерэдениа доказывается на основе теоремы Штурма о, разделе-нга нулей (теоремы 2.1).

г в о о е м а 3.8. Пусть при Г\-ГХ0 задача (5), (2) .млеет рокениэ ¡л (.•) , удовлетворяющее условию

и^а). ИЦ0) > О (схеЗ(Г) , 1Л(*)-)

и не тлеющее нулей в циклах графа Т" . Тогда любое.другое реше-ш.э этой задачи (при 7ч ^ 7ч „ ) пропорционально (А (•) , т.€ геометрическая кратность , как собственного значения задачи (5), -(2), равна единице.

ис- положительность и полная непрерывность оператора 1т1 позволяют, опираясь на теорию 1Л, -вогнутых операторов, установить сяедувшв спектральные свойства задачи (б), '(2). Напомним, что множество ср положительных векторов банахова пространства £Г с конусом образует непрерывную ветвь бесконечной длвдц, если пересечение множества о границей любого открытого множества из пространства В , содержащего нуль пространот за £ ,, непусто.

Теорема 3.9. Неотрицательные собственные функции задачи (6), (2) образуют в', конусе (Я? СР )) непрерывную ветвь бесконечной длины. Позитивный спектр аадачи (6), (2) образует интервал ; ). причем

.||1р1.)Ц -О } ' \ш{.,\\ ~+00 ,

где Ц^О) - неотрицательное решение задачи (6), (2).

' Вектор-Пункция '

ojhu'iHa и íc^|iacTuef ( з смысле упорядоченности порождаемой /сем' Jz { R СГ)) при позргсгаяии 'Х .

ссисенио результати д'.'Йсергнции .опубликованы п следующих отвх. ''•■■"

1. Покерный 1.У., ^иткскиьк л.К., ЛСдуль- Квдляд.'Н» Теиромы вниния г.л/1 разрывных краевых задач на гр»4в* // Роярывкис ди-ические системы. Сборник тезнссв докладов ниучноь школы'-евни-п, 17-20 сентября 1991 г., г. Учгород»

2. Лбдульквджнд И. Г простоте собственных значение разбивкой ачи Дирихле на графе // Воронен, гос. /н-т» - Воронеж., 1992. ■■ . - Jleh. в ВИНИТИ 04.09.92, » 2555-В92.

3. Лбдулькадкид IL 0 положительностиф/нкуни Грина разрывной очи Дирихле на графе // Ворснел. гос. ун-г, - Воронеж, 1992, -. - Деп. в ВИНИТИ 27.07.92, 2472-В92. •

'». Абдульчадиид М., Лрядиев ПЛ. О спсктро разрывной задачи и*ле ни графе // Воронеж. гсс. ун-т, - Воронеж, 1992. -Юс.. в ЬИ1Я!П! 27.07.92, »- 247Э-В92.

гскяз 372 от 5.10.92г. тир. 1Шэкз. формат 60x90 ' Г/16, Объём 1пл. Орсетная да б. ВГ/.'

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность эмц.

Основы теории клойновшс групп были зажжены в ко;ад прошлого века в классических работах Ф.Кяэйиа и А.Пуанкаре по унифоршзацни алгебраических Функций и ршаешоных поверхностей. Длительное время эта теория развивалась в основном кшс теория Фуксових груш, т.е. таких клейюгш групп , которне оставляют инвариантным некоторый круг. С развитием теории кваайкон;.ормшх отобраканиб, теория фасция шюгих комплексных переменках и методов алгобреической топологии, о серодину сорокошх годов наяего столетия теория клойнокых групп вновь интенсивно развивается и представляет собой один из актуальных разделов современного комплексного анализа. Существенное продЕшсениэ в зто» области связано о работав Л.Алъфэрсп. Л.Барса, С.Л.Нрушколя, б.Маскита, А.клр.^на, А.Д.Меднкх , Н.А.Гусевского и других. Параду о аналитическими катодами в теории клейновых груш а последние года аироко стопят применяться геометрические и топологичэские методы. йдз в 1383 года А.Пуанкаре высказал идею, позволяющую рассматривать общие клойюеы гр'угаш в нокоторо?< смысле как фуксовн, -з именно продолжить плоские клвЯновн группы б трехмерный шар. На утом пути естественно'возникает связь медду теорией клейношх групп и топологией трехмерных многообразий. Однако, о недостаточным разритием к тему вречош топологии ютсгоосрагий, ота идея но принесла сущэотвенних результатов и била надолго -.-«яонта, 'Д

только ь црс-ле'лкие три десятилетия, благодаря работам В.МоЯзс, К. :1?.п<.ю;р ьгкспулоса. Д.Столингса, Ф.Вйльдхаузвнв и др., когда были реаеш наглые проблемы топологии мяогоооразай, методы трехмерной топологии станоьятся моцким алструмнытом з исследовании клойновых групп. Новые аспэкты твори? клойноешс групп, тесно связанные с трехмерными мкогаабрзза.;.ми, шгрохо представлены б работах амершонского ммо.чмтпка '.Геротона..

Ьпншд классом клвйновнх групп яь-ляются гругищ Шоттки и их озсще-чк« • - расккренчне группы Шоттки. Группы Шотткк взодеки в работе С.Шоттки еыз п 1С87 году. Однако основные СВОЙС1ВЗ мих групп были найдена сравнительно недавно в работах Е.Улскитс., Р. Чу кроу, А.Мардена, В.Чуозепа, Н.Гусевскаго, Х.Сето, Р. Родите с и друг.-д. При этом ьыяспеио, что группы Шотткм унифсрмигируйт компактны« римакааи поверхности, а рас^фокние групп; Июттк/. ксг.'лактгше рнмановы поверхности с четным числом прокслов. Поэтому 8СТОСТЕ6НКО рассматривать пространства г тих групп как пространства модуле иких римансвых по^рхиостеЯ. Пространства груш лЬтгкп юча.и к:.учапся также сравнительно подави:-, хотя, с точка гре-нкя уни^ермизации, возникли раньше, чем г.рострщгсп?г) Тййхюдлдора.

Опросы, СЕйзашшо о теориоЯ кл^логчх групп, актуглым з гозрекйшом анализа и шют шол.ч;'л: .ж !.:п<: н

Целью данной райоты является характбр1за:згя рвси-лумш

рушт Шоттки типа ( е,в,т ) с течки зрения ях ал'эЗгаическ:>;'о гтройства, исследование пространств . раотаронных

эттки и его границы при вложении з 0м, униформ:!;'ицл.! зкоторых римановых поверхностей о узлами.

Методика исследования. В диссертации использусти:

шарат теории плоских клзйнсрых груш и теорш трехмерных югообразиЭ.

Научная новизна и теоретическая значимость.

В диссертации дана поштл алгебраическая гарактеризацда

¡сшгрвгпшх групп Иэтткл . типа ( ¿,в,т ). Частным случаем ;дучопюго результата являются результаты Масккта и Годглгас ¡я групп Шоттки плов ( 8,0,0 ) к ( £,0,т ) ютветствонну.

Введены ноше наборы параметров для пространства

^ классов эквивалентности ошечанкл групп ¡¡кэтт^си

Л2 < е,в,т ), которые осуществляют атоасение Э ^ в 0м.

С сомодыи установленной теоремы херактэризьцин дана асскфикация• большинства граничных течек пространства

Построены пополненные пространства узучаеша групп, торыз являются пространствами деформаций клзйновых групп, эдетазлявдгх риманош поверхности с узлами.

Все ОСИОВШЭ подученные результаты является иогиш, Зота иоепт теоретический характер и может найти при,чэцо;ыс теории клейновнх групп, автоморфн с функций и топологии

многоосрауяВ.

Апрэбацкя работы.

?эзуль7ат1/ дассертоцям докладывались на Доноцком коллоквиуме г.о теории квазккоиформных отосЗрааэшй, ее обобщений к пралояошй ( г. Донецк, 1Я84г, }; са Всосохупом

семаьвре юда ученых « Актуолъиые вопроса ксмплэксного ©

акслизи " ( г. Ташкент, iSSS г. ); не Всасоюзпой

конференции по х-осаотрка " р цэлог.5 » ( г. Новосибирск, 1807 г. ){ на Еаучно-иооладоватольском сагзжарэ по теории Функций комолоксного пэрамешюго Института • катома7>сйг СО P¿li и на сомклврг хсфодра теорвд фускцяй ! НсеосЕбирского государстветого университете.

Публикации. Оскозшэ рэзультаэд доссартациа

опубликованы в ряостах С Г, - [4].

ооь«ц работы. Диссертация 'излазова ив I J.5 стргнацсх(

СОСТОИТ ИЗ ТШЭДЗШЯ, Тр<32 ГЛЕБ 1Î СЯИСХЗ дитзратуры ИЗ 46

ввдаеыопаняЛ, a mese содергзд о«ну.. таблицу, гродставлонаую ва ВОСЬМЕ С$рОЕ8ВЮС. , *

. овзор ссдашлил РАБОЙ.

Во ввэдаяш дек кроткий сбзор содэраанкя ctccopreíca:. Диесэрщщя состой? мзьвэдоши и трех г-лав. §1 первой главы носи? вгпсиогего,яьшв характер. Б ней приведена .основные-' -опродэлмом -и " яожюораэ извесачше

розультаты ; тсор'.ш као£коакг груди а тасрии трэзиерши

гаогообрпзца.

г.

В §2 доказана тоорзма характоризацш для рястронних груга Шоттки типа ( е,з,к ).

ТЕОРЕМА 1.1. ( ТЕОРЕМА ПРАКМИИАЦИИ ). КлэЛнова группа, о лвляот'-ч расширенной группой Шоттки типа ( g.o.üi ) тогда и только тогда, когда вшсикеки опадущко два условия: 1.

G п <Т > <1' > в <17 > * ...« <W > « <U. ,Y.>*...«<L' ,У >

4 ö 1 F * m * m

гдэ < > - циклическая группа, пороадэшшя

локсодрсгагеоскем оломэнтсм , < \1. > - цзклкчоскся

группа, пороадагаан параболический элементом w ,

< ufc, vfc > свободная айэловз груша рента 2, соровдешшя

зараболачаскач отобрагениями Uk и vk, i » 1,...,е ,

в

= 1,..., ь 1,..,,m ;

2. если 7 е о - явраболпвскиД йдзмэпт , то 7

шрязиа в с элементу ввда или ukl vkr.

да г.,i,i* - целив числа, < £ {1,...,а}5 ь € {1.....mb

Зтот результат ойсЗцаот взвоотпыо ракоо результату :ас:шта и Родригес, дащвэ характэрязацию для групп отпей тггясв ( s,0,Q } .и ( g,.o,m ) соответственна.

В оеом. парагрвйэ тялегэ доказала даэ зм?ш,щ)вдстаЕшг!Щб самостоятеяыйй штгорос и позволяющие Ешсать рнменови поворхкеекг и фувдамвнтальнив полиэдры зрез алтебршзлвсксо прздехнзяонкэ группы.

. ЖМА1.12. Пусть а - глойнава группа,

ховлетворящая условиям таорока 1 . \. Тогда s( G ) / о

/л'ооV четное чиг.ло проколов л все они попарно спарен

пора Галиче скьлт? трубами .

Л2ША 1.-.5. Пусть с - клейнова группа

удсЕльтьор.чпчая условие твореьм 1.1 .-Тогда о геюматричвск конечна .

Глане 11 состоит из трех первграСюв". Б 51 вводится пространства расширенных груш Июттк ^ч...».» состояние из классов дробно-линейно

уквкзалеитности отмоченных расшкрониых групп ИЬттка тип ( в.в.ш ). В этих пространствах задается топология иьдучироЕшшая топологией равномерной сходимости отоорагени

риманоной аери С. На пространство £(!1.т> ма>ш

определить структуру кошлексного кногообрэзия, вклацыва

ого в. способом, описание ксторог

приводится. ОСраз , 2<в.т, при влоаэиии в о14*""*'*"

будем обозначать через Е Т Доказана

ТЕСРБШ 2.1. Пространство обрезу е

открытое и связное поданокастго в .

Изучение пространств расаирошшх груш Щоттки тип \ е,в,т ) начато в работах В.Чуеяева.

£2 посвящен изучониы граничных групп ( так называемы алгебраических пределов ) пространства 51ятгт,- Показано

что тшсю группу дискретны и изоморфны расширении« груша Лотткп типа ( £,з,т ) < теорв.ча 2,2.).

С погювдьы твореш! х&ректеризации, доказанной в главе I

дана классификация большинства граничных точок s„ «>»>•

Установлено, что любая граничная группа 0( т ) либо нэклейнова, либо содоркит случайные парабодичес ив элементы ( теорема 2*3 ).

В 53 построено пополненное пространство расширенных

групп Шоттки S Оно образовано присоединением

к S Т, ы нэкоторых точек из С35'0""""'. Будет

показано, что присоединенные точки лежат на границе

пространства S Т,двш) и соответствуют случаю, когда в

пределе последовательности элементов из пространства

S хотя бы по одному порождающему получается

константа. Доказана

TE0PLMA 2.4. Пополненное пространство расширенных .руин

Шоттки S п-\"ап., является подмножоством

о Т, U д 3 Т и образует область в

(g,«,m> I з ,<., гг) а *

v .

/

' Пополненные пространств« для расширенных груш Шоттки типов ( g,0,0 ) и < g,0,m ) рассмотрев в рботь-: Л.Бореа, Х.Сато, Р.Родригес.

Глава III посвящена изучению пространсть деформаций клейпевых групп, прэдетевляющих ркмьновы поверхности с узлами, введение Барсом. Узлы представляют собой простсЯзпй случай. сыроядения римзновнх поверхностей, когда повэрхлость пережимается вдоль нескольких ростах зашенутпх петель.

3 §1 вводятся римаковн поверхности с узлами и даются

основные определения.

В {>2 установлено соответствие между течками из

пополненного пространства Б Т,*лв1) и ршановыми

поверхностями с узлами, а именно покззано, что казэдой точке

т <1 Б Т(*кт) соответствует риманоьа поверхность с четным

числом проколов, имеющая не более §+в+го разделяетцих и но более е наразделящих узлов.

Конструкция пополненного пространства пояснена на конкретном примера и соответстзумциэ риманоБЫ поверхности- с узлеми прадегавлзны в таблица 1.

В §3 доказана

ТЕОРЕМА. 3.4. Для лабой : точки ч е Б 1\* 1

О {у»®«"*»

существует последовательность { хп } с Б Т18ет1

сходяяаяся к то так, что сооа-этствущие риыановн {товерхности 3( ^ ) сходятся к поверхности с узлами р( тс ) как отмоченные поверхности.

В зышязние автор вырашэт благодарность С.Л.Крушкалю и $.А.Гусовскому за научное руководство и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Гусэзский H.A., Зшздшова H.G. Харэктеривация расширенных rpyim Шэттки // ДЛИ СССР. - 1986. - Т.285, $ 5. ~ О. 1054 - 1057.

2. Гусбвсякй H.A., Ззддиноза Н.С. О пространства pscrsipoHKix групп Шот-гаи // С:.;б.:,'а1'.:::урн.- 19BS. - Т.27, G.G5 - 78.

3. Зшццшове Н.С. Пополнонноэ простралс-п'.о груш т.тв Еотткл // Всесоюзная конфешнцяя по гоолвэгриа "в цолсм"»

- 30 свит. IS37: Тез. доил, - Новосибирск, Институт матомати:с::,1337. - С.46.

4. Зиндаова Н.С. Поцоднвнкоэ пространство расяирэшшх групп. Шоттмг я риманова повархиоста • с уалсиа / Род."окб.мат.хурнГ - Новосибирск, 1907.- 23 с. - Дэп. в ВИНИТИ 5.05.86, Л 1037 - В £3.