R - матричный подход в задачах конечнозонного интегрирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 Введение.

2 Система динамики полюсов конечнозонного решения уравнения Дэви-Стюартсона

2.1 Уравнение Дэви-Стюартсона.

2.2 Прямая спектральная задача.

2.2.1 Спектральная кривая.

2.2.2 Аналитические свойства собственных функций.

2.3 Обратная спектральная задача.

2.3.1 Рациональный случай.

2.3.2 Эллиптический случай.

2.4 Универсальный подход при построении гамильтоновой структуры

3 R-матричный подход на примере системы СМ и ее разностного аналога RS

3.1 Основания Д-матричного подхода

3.2 Универсальная й-матрица.

3.3 Квази-хопфова деформация.

3.4 Построение гамильтонианов.

3.5 Спиновая система RS.

4 R-матричный подход в случае полюсной динамики решения уравнения Дэви-Стюартсона

4.1 Классическая г-матрица

4.2 Свойства L-операторной алгебры.

Конечномерные динамические системы теории солитонов первоначально воспринимались в значительной степени лишь как модельные примеры в теории интегрируемых систем. Как оказалось впоследствии, ряд таких систем тесно связан с фундаментальными проблемами математики и математической физики. Так в пионерской работе [1] впервые была обнаружена связь между рациональными или эллиптическими решениями уравнения КдФ, и рациональной или эллиптической системой Calogero-Moser(CM [2]). Наиболее полное понимании природы такой связи возникло с приходом алгебро-геометрического метода обратной задачи, разработанного в работах [3],[4]. А именно, было установлено, что условие существования собственной функции специального вида у вспомогательного линейного оператора, построенного по представлению Лакса, эквивалентно тому, что динамика полюсов решения нелинейного уравнения описывается системой такого типа. В работе [5] был установлен изоморфизм между эллиптическими решениями матричного уравнения КП и решениями спиновой системы СМ. В работе [6] в качестве нелинейного уравнения было взято разностно-дифференциальное уравнение двумеризованной цепочки Тода. Роль системы, описывающей динамику полюсов решения уравнения, выполняет спиновая система Ruijsenaars-Schneider(RS [7]).

Алебро-геометрические конструкции прямой и обратной задачи, используемые в работах [5],[б], представляют богатейший математический аппарат. Алгебраические объекты, "живущие" на кривой, такие как пространства функций Бейкера-Ахиезера, пространства абелевых дифференциалов, обладающие высокой степенью симметричности, позволяют явно конструировать решения динамической системы и нелинейного уравнения в терминах ^-функций на Якобиане кривой.

Существенным при всех дальнейших рассмотрениях является наличие у нелинейного уравнения представления Лакса

С=[М,£] или представления нулевой кривизны dt-C,dy-M] = 0.

Оказывается, что факт существования решения вспомогательной линейной задачи й-£)Ф = 0 для оператора с двоякопериодическими коэффициентами в виде двоякоблоховской функции Ф является столь ограничительным условием, что в ряде случаев позволяет однозначно восстанавливать С, АЛ пару, а следовательно и решение нелинейного уравнения. Пространство двоякоблоховских функций с фиксированным количеством полюсов при каждом значении t может быть рассмотрено как конечномерное пространство. Оператор, фигурирующий во вспомогательной линейной задаче отображает это пространство в пространство большей размерности. Именно поэтому на коэффициенты разложения по базису решения Ф возникает переопределенная система уравнений, в большинстве случаев имеющая вид:

L-k)C = 0, (1.1) dt - А)С = 0, (1.2) где L - уже конечномерный оператор, зависящий от спектрального параметра г, параметризующего вместе с параметром к пространство блоховских факторов. Условие совместности этих уравнений, то есть уравнение Лакса, является конечномерной динамической системой на полюса хг собственной функции. Существование решения уравнения (1.1) задает уравнение кривой в виде det(L - к) = 0.

Коэффициенты этого полинома не зависят от i и предоставляют набор интегралов системы. Кроме того, данная собственная функция при некоторой нормировке имеет аналитические свойства на кривой, характеризующие так называемую функцию Бейкера-Ахиезера. Благодаря методам обратной задачи, функция, обладающая такими свойствами, однозначно восстанавливается и имеет явное выражение в терминах тета-функций. Таким образом, помимо связи решения нелинейного уравнения и динамической системы, было установлено фундаментальное соответствие этих решений набору алгебро-геометрических данных.

Эта конструкция является одной из многочисленных демонстраций того богатства математических структур, связанных с этими системами, которое обусловило неослабевающий уже более 20 лет интерес к ним. В последнее время существенный интерес к этим системам основан на установленной в серии работ [8],[9] связи между их геометрической природой и N = 2 суперсимметричной теорией Зайберга-Виттена. В частности, набор спектральных данных в теории Зайберга-Виттена полностью соответствует спектральным данным прямой и обратной задачи теории алгебро-геометрического интегрирования, и такой фундаментальный объект на спектральной кривой, как 1-форма d\ позволяет строить предпотенциал теории, а периоды этой формы параметризуют вакуумное пространство. С этой проблематикой тесным образом связана настоящая работа, предметом которой является исследование гамильтоновой структуры динамических систем теории солитонов, возникающих как системы полюсной динамики.

Существует ряд подходов к гамильтонову описанию подобных систем, затрагивающих широкий спектр математических методов. В их числе можно перечислить универсальный метод построения гамильтоновой структуры в терминах алгебро-геометрических конструкций прямой и обратной задачи, разработанный в трудах [10],[11]; метод гамильтоновой редукции, использованный в работах [12],[13]; а также метод, базирующийся на конструкции динамической матрицы [14],[15]. Основными задачами всех этих подходов является описание симплектической структуры, коммутативной алгебры интегралов, канонических переменных и т. д. Важность исследований в этой области нельзя переоценить. Помимо того, что гамильто-нов формализм является хорошо структурированным языком в теории интегрируемых систем, он иногда является средством для решения системы, позволяет находить ее квантование.

Вышеупомянутый универсальный метод построения гамильтоновой структуры, изначально введенный для уравнений в частных производных, оказался весьма эффективным и при анализе конечномерных динамических систем. В работах [10],[11] была предложена симплектическая форма 1 ш = -Resоо < Ф*8Ь А £Ф > elk, на пространстве периодических операторов, зависящих от спектрального параметра. Она выражается в терминах функционалов на этом пространстве 8L и где Ф -собственная функция оператора, являющаяся также функционалом на этом пространстве. Как было показано, эта форма является замкнутой, невырожденной и дает полное гамильтоново описание динамической системы на пространстве таких операторов. Универсальность данного выражения симплектической формы заключается еще и в том, что в конечномерном случае, в большинстве известных динамических систем, симплектическая структура может быть выражена таким же образом. Достоинством этого представления является то, что оно позволяет явно строить переменные "действие-угол", в терминах которых симплектическая форма приобретает вид 1 где 7s - полюса собственной функции на кривой, где Е - энергия, а к - квазиимпульс собственной функции. Отметим, что для интегрируемых систем связанных с гиперэллиптическими кривыми форма (1.3) была предложена в работе [16]. Вышеупомянутая 1-форма, играющая важную роль в теории Зайберга-Виттена, тесно связана с переменными "действие-угол" и имеет следующее выражение d\ = kdE. В разделе 2 данной работы будет продемонстрирован универсальный метод построения гамильтоновой структуры на примере системы, связанной с матричным уравнением Дэви-Стюартсона. В этом случае его применение позволило впервые получить явное выражение для симплектической структуры и гамильтониана этой динамической системы.

Еще один подход к исследованию гамильтоновой структуры систем полюсной динамики имеет в своей основе метод гамильтоновой редукции и был удачно применен в построении целого класса интегрируемых систем, называемых системами Хитчина. В работе [17] Хитчин рассмотрел семейство интегрируемых систем, фазовым пространством для которых является кокасательное расслоение к пространству Af стабильных голоморфных векторных расслоений ранга п для группы GLn{C) на компактной римановой поверхности Г рода д > 1 с особенностями. На кокасательном расслоении к пространству As комплексных структур на гладком векторном расслоении со слоем V, изоморфным Сп имеется каноническая симплектическая структура и канонический набор интегралов, отвечающий свободной системе. Однако после редукции на нулевой уровень отображения момента, система перестает быть тривиальной, при этом интегрируемая структура, то есть требуемый набор интегралов в инволюции, сохраняется. К наиболее важным примерам применения этого метода можно отнести системы:

Годен:

Tr(pbpa)

Ъфа (Хь Ха)

СМ: t 2 i,j sinh2(

Sij = y^XPs)ij(Psf)jis,sl

Эллиптические системы Годена, Калоджеро-Мозера, а также система Макдональда и ее SU(N) аналог, который есть не что иное, как рациональная система RS, также могут быть получены в рамках метода гамильтоновой редукции.

Научная новизна данной работы заключается, прежде всего, в привлечении аппарата квантовых групп в алгебро-геометрическую теорию интегрирования. И связано это с понятием так называемой универсальной /^матрицы. Понятие классической r-матрицы и следующее описание пуассоновой структуры

LuL2} = [r12,L1]-[r21,L2]' (1.4) систем имеющих представление Лакса было введено в работах [18], [19]. Однако, как было замечено в работе [20], некоторое обобщение данного представления, является следствием инволютивности набора собственных значений L-оператора интегрируемой конечномерной системы. А именно, было показано, что для любой такой системы по крайней мере локально существует представление Лакса с операторами, принимающими значения в некоторой алгебре Ли, и сущестует представление пуассоновой структуры в форме (1.4). Кроме того, если для системы существуют глобальные переменные "действие-угол", то и данные представления выполняются глобально. Привлечение аппарата универсальной динамической /2-матрицы основывается на работе [14], в которой было замечено, что r-матрица для системы СМ, удовлетворяет не классическому уравнению Янга-Бакстера, а его динамическому аналогу. Это и позволило обнаружить структуру квази-хопфовой алгебры в квантовой деформированной системе СМ. Оказалось, что эта связь является довольно универсальной и, как было показано в [14], стартуя с любой простой квази-хопфовой алгебры, может быть построена интегрируемая система, то есть набор интегралов в инволюции и пуассонова структура как в квантовом, так и в классическом случае. Основным при построении является тот факт, что понятие квази-хопфовой алгебры предполагает наличие универсальной /^-матрицы, которая в квазикоассоциативном случае является универсальным решением динамического квантового уравнения Янга-Бакстера, иначе называемого уравнением Gervais-Neveu-Felder, представимого в виде

Ri2{x)R13{xqH2)R23(x) = R23{xqH>)R13(x)R12(xqH*).

Это решение при правильно подобранных параметрах представления квази-хопфовой алгебры и подходящих обертывающих преобразованиях в пределе по параметру q дает выражения для квантовых и классических гамильтонианов системы, для классической r-матрицы, для L-оператора. То есть в структуре квази-хопфовой алгебры содержится информация об основных алгебро-геометрических объектах интегрируемой системы. В том числе, о представлении Лакса, о гамильтонианах, о пуассоновой структуре на Z-алгебре. Кроме того, это построение позволяет строить квантование системы и в ряде случаев полностью решить квантовую задачу. Фундаментальной задачей в этой области остается процедура построения квази-хопфовой структуры по данным спектральной кривой. Такие попытки уже предпринимались в работе [21]. Целью настоящей работы является исследование примеров построения такой структуры, согласованной с имеющимися алгебро-геометрическими объектами. В разделе 3 такая задача будет рассмотрена для системы СМ. В разделе 4.2 будет обсуждаться квази-хопфова структура, связанная с системой, решенной в разделе 2.

Одной из целей данной работы, помимо изложенных выше, является исследование гамильтоновой структуры спиновой системы RS, чему будет посвящен раздел 3.5. Аппарат квантовых групп в этом случае представляет исключительный интерес. Связано это с квантовой интерпретацией конструкции релятивистского аналога динамической системы. Эта процедура в терминах спектральной кривой выражается в виде замены фундаментальных дифференциалов второго рода(для системы СМ) на дифференциалы 3-го рода(для системы RS), то есть с расщеплением особенности. В алгебраических терминах взятие релятивистского аналога связано с q-деформацией алгебры, что представляется более простым механизмом ее анализа. Было замечено, что до взятия предела по q описанные с помощью Д-матрицы структуры для системы СМ соответствуют системе RS. В работе [15] это было продемонстрировано для двухчастичной системы. В главе 3 подобное построение будет проведено для общего случая. Заметим, что универсальный гамильтонов подход для релятивистских аналогов спиновых систем не дает явного выражения для симплектической структуры в терминах фазового пространства. Остальные существующие методы также не дают исчерпывающих ответов в отношении спиновой системы RS. В работе [22], используя первый описанный метод, было получено выражение для гамильтониана этой системы N

Н = г=1 однако выражение для симплектической структуры было получено в явном виде только для бесспинового вырождения Lij = /4-Ф(жг- — Xj — rj,z).

Метод гамильтоновой редукции для спиновой рациональной системы RS, использованный в работах [12],[13], привел к описанию симплектической структуры. Однако для описания пуассоновой структуры авторами были введены дополнительные фазовые переменные. Открытым остается вопрос о построении замкнутого описания гамильтоновой структуры. Использованный в разделе 3 данной работы Д-матричный метод построения интегрируемых систем изначально ориентирован на замкнутое описание пуассоновой структуры. Она естественным образом наследуется из структуры алгебры Ли универсальной обертывающей алгебры. Канонические координаты и импульсы также оказываются естественным образом разделены со спиновыми переменными. В этой конструкции спиновый и бесспиновый случаи отличаются тем, какое представление Uq(sln) берется. Будет рассмотрен случай, когда размерность пространства нулевого веса неприводимого конечномерного представления равна 1. Но даже для этого случая разные представления старших весов приводят к построению квантовых интегрируемых систем с гамильтонианом

Щ = Т е*ч П , , * • (1-5) i k^i Ч У

Также будет построена квантовая интегрированная система соответствующая алгебре Uq^slz), предел по параметру деформации которой является квантовой спиновой системой Калоджеро-Мозера. Заметим, что конструкция квантовой RS системы также производилось в работах [23, 24] с помощью нединамической Д-матрицы. Однако, в данном случае строится представление алгебры в разностных операторах, что является аналогом процедуры динамической деформации.

Построение подобной системы было осуществлено в работе [25] с привлечением аппарата гамильтоновой редукции по отношению к действию группы G на пространстве T*G, где G - соответствующая аффинная группа Ли. Полученный гамильтониан записывется в виде: г зфг где

2 sin2(Kv/kN)

J {Я> { sin^rrq/к) >'

Заметим, что построение квантовой интегрируемой системы с гамильтонианом, являющимся эллиптическим аналогом гамильтониана (1.5), было предложено в работе [26]. Ее метод также основан на Д-матричном формализме, однако для построения гамильтонианов использовался метод "fusion".

Суммируя все вышесказанное в качестве целей данной работы можно назвать следующие:

1. Построение гамильтонова формализма для системы, связанной с матричным оператором Дирака (раздел 2);

2. Установление связи /^-матричного подхода с уже имеющимися конструкциями в области исследования гамильтоновой структуры конечномерных систем теории солитонов на примерах спиновой системы СМ и вышеупомянутой системы (раздел 3.5)

3. Исследование гамильтоновой структуры спиновой системы RS (раздел 3.5). К новым результатам, полученным в этой работе можно отнести следующие:

1. Построение, интегрирование и описание гамильтоновой структуры для спиновой системы, связанной с матричным уравнением Дэви-Стюартсона;

2. Гамильтоново описание системы СМ и ее релятивистского аналога - системы RS, полученное с применением аппарата универсальной динамической iZ-матрицы;

3. Построение релятивистского аналога спиновой системы СМ с помощью аппарата универсальной динамической Д-матрицы;

4. Исследование r-матрйчной природы системы, связанной с матричным уравнением Дэви-Стюартсона. 2

Система динамики полюсов конечнозонного решения уравнения Дэви- С тюартсона

Заключение

Основная цель данной работы заключается в привлечении аппарата универсальной .R-матрицы в задачи, связанные с динамическими системами теории солитонов. Методы, предложенные в работах [14], [15], позволяют явно конструировать интегрируемые динамические системы, стартуя с некоторой квазихопфовой алгебры. К достоинствам этих построений можно отнести универсальность и полноту описания гамильтоновой структуры, возможность квантования системы. Под универсальностью здесь понимается описание на универсальном алгебраическом языке. Конкретный смысл сконструированных величин заключается в выборе представления и особых условий нормировки. Областью особого интереса в контексте данного метода является в некотором смысле обратная задача, то есть задача нахождения квазихопфовой алгебры, а следовательно и квантовой интегрируемой системы, по спектральным данным классической системы, получаемым в рамках алгебро-геометрического метода интегрирования. Заметим, что в ряде случаев удается построить пуассо-нову структуру на фазовом пространстве системы, а также решение классического динамического уравнения Янга-Бакстера. Попытки решения такой обратной задачи уже предпринимались в работах [21], [38], [39]. В первой из них квазихопфова алгебра строилась по спектральным данным, по кривой с отмеченными точками. Однако рассматривался только случай стартовой алгебры sl2. В работах [38], [39] основное внимание уделялось контруированию решений классического и квантового динамических уравнений Янга-Бакстера. В частности был найден класс решений классического уравнения, для которого существует квантование. Однако все построения данных работ ориентированы на фундаментальные представления и не могут давать положительных результатов при анализе спиновых систем.

Задача построения квази-хопфовой алгебры в случае спиновой системы СМ была решена в следующем смысле: учитывая имеющиеся скобки пуассона на фазовам пространстве системы, которые могут быть рассмотрены как определяющие соотношения алгебры Ли sln, а также наличие классической r-матрицы, была рассмотрена динамическая деформация универсальной обертывающей Uq(sln). Условие редукции, которое в классических терминах имело вид Ьг+й; = 2, приобрело на языке квазихоп-фовой алгебры так называемое свойство нулевого веса. Именно оно позволило найти коммутативную подалгебру в универсальной обертывающей алгебре. Требует дальнейшего прояснения вопрос сопоставления процедуры гамильтоновой редукции на квантовом и классическом уровне, так как данное свойство нулевого веса на самом деле сужает алгебру до алгебры, порожденной величинами eafa. На классическом уровне такого сужения не происходит.

Как оказалось, именно таким образом построенная алгебра дает полное квантовое описание системы, то есть описывает алгебру операторов, действующую на квантовом пространстве и ее коммутативную подалгебру, включающую гамильтониан. Эта структура в случае стартовой алгебры Ли sln соответствует квантовой системе RS в бесспиновом случае. Для нее может быть найден классический предел, который совпадает с классической системой RS, а также предел по параметру деформации и его классический аналог: квантовая и классическая системы Калоджеро-Мозера. В случае UqtX{sl^) была построена квантовая спиновая система, предел по параметру деформации q которой является квантовой спиновой системой СМ. Следует отнести к достоинствам этого метода универсальность описания в том смысле, что спиновый и обычный случаи отличаются исключительно параметрами рассматриваемых представлений. Суммируя все вышесказанное, заметим, что была построена деформация квантовой спиновой системы СМ, которая в случае представления с пространством нулевого веса размерности один соответствует тригонометрической системе RS. Открытым остается вопрос выяснения связи этой деформации и классической спиновой системы RS. Кроме того, рассмотрение эллиптического и рационального случая систем также представляют существенный интерес.

Существенная часть данной работы посвящена исследованию гамильтоновой структуры динамической системы, связанной с конечнозонными потенциалами матричного уравнения Дэви-Стюартсона. Была получена новая интегрируемая конечномерная динамическая система. В рамках алгебро-геометрического подхода эта система была решена, в терминах ^-функций. Применение так называемого универсального метода исследования гамильтоновой структуры привело в случае этой системы к впервые полученным выражениям для симплектической структуры и гамильтониана. Последний раздел работы посвящен Д-матричному подходу в случае данной системы. Отправными пунктами построения являются наличие пуассоновой структуры на фазовом пространстве, которое в данном случае, в отличие от случая систем CM, RS, содержит два экземпляра алгебры Ли sln. Было показано, что L-алгебры в случае этой системы частично описывается той же классической г-матрицей, что и в случае систем RS, СМ. Исходя из свойств L-операторной алгебры в данном случае была установлена связь системы динамики полюсов решения матричного уравнения Дэви-Стюартсона и спиновой системы Калоджеро-Мозера на уровне иерархий нелинейных уравнений. Дальнейшим развитием этого раздела представляется исследования соответствия квазихопфовой структуры для данной системы с объектом, впервые введенным Дринфельдом в работе [36]. Это квазихопфова алгебра, связанная с алгебраической кривой и набором отмеченных точек, построенная как квантование некоторого центрального расширения прямой суммы алгебр, учитывающее геометрическую природу кривой. Эта идея была разработана в серии работ [40, 41, 42].

Дальнейшие исследования в данной области представляются в виде разработки следующей программы:

• построение симплектической структуры и гамильтониана для системы, связанной с дифференциальным уравнением, на основе универсального алгебро-геометрического метода построения гамильтоновой структуры;

• по полученным данным, то есть по пуассоновой структуре и по классической динамической r-матрице, строится квази-ли биалгебра;

• квантование этой биалгебры соответствует квантовому аналогу деформированной системы, связанной уже с разностным уравнением во вспомогательной линейной задаче алгебро-геометрического подхода прямой и обратной задачи.

Эта программа была частично реализована в случае системы СМ, и были намечены основные этапы исследования для системы, связанной с конечно-зонными решениями матричного уравнения Дэви-Стюартсона.

1. Н. Airault, Н. McKean, J. Moser, Rational ancl elliptic solutions of the KdV equation and related many-body problem. Comm. Pure and Appl. Math. 30 (1977) 95-125.

2. F. Calogero, Exactly solvable one-dimentional many-body systems, Lett. Nuovo Ci-mento 13(1975), 411-415.

3. И.М.Кричевер, Нелинейные уравнения и эллиптические кривые, Совр. Пробл. Мат. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР 23(1983)

4. И.Кричевер, Периодическая неабелева цепочка Тода и ее двумеризация. Успехи Мат. Наук 36 (1981),2,72-77.

5. I. Krichever, О. Babelon, Е. Billey, М. Talon. Spin generalization of the Cologero-Moser system and the Matrix KP equation. Preprint LPTHE 94/42. Amer. Math. Transl. 170(1995),n2,83-119.

6. I. Krichever, A. Zabrodin Spin generation of the model Ruijesenaars-Schneider, non-abelian 2-dimentional Toda chain and the Sklianin algebras representations. IJspehi mat. nauk 1995 V. 50 N. 6 pp. 3-56.

7. S.N.M.Ruijsenaars and H.Schneider, A new class of integrable systems and its relation to solitons, Ann. Phys. (NY) 170(1986), 370-405.

8. R.Donagi, E.Witten, Suppersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, Nucl. Phys. В 460 (1996) 299-334.

9. E.D'Hoker, D.H.Phong, Calogero-Moser systems in SU(N) Seiberg-Witten theory, hep-th 9709053. Nucl.Phys.B 513(1998) 405-444.

10. I. M. Krichever, D. H. Phong . On the integrable geometry of soliton equations and N=2 supersymmetric gauge theories. J. Differential Geometry 45 (1997) 349-389.

11. I. M. Krichever, D. H. Phong . Symplectic forms in the theory of solitons, preprint hep-th/9708170

12. G.E.Arutyunov, P.B.Meclvedev, Geometric construction of the classical R-matrices for the elliptic and trigonometric Calogero-Moser systems, hep-th/9511070

13. G.E.Arutyunov, S.A.Frolov, On Hamiltonian structure of the spin Ruijsenaars-Schneider model, hep-th/9702119 J.Phys.A31(1998) 4203-4216.

14. S.P.Novikov, A.Veselov, On Poisson brackets compatible with algebraic geometry and Korteweg-de Vries dynamics on the space of finite-zone potentials, Soviet Math. Doklady 26 (1982) 357-362.

15. N.Hitchin, Duke Math. Jour. Vol. 54, No 1(1987).

16. E. К. Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Функ. ан. и его прил. 17(1983) №4, 34-48

17. L.D. Faddeev, L.A. Takhtajan, Hamiltonian methods in the theory of solitons. (Springer series in Soviet Mathematics, Berlin, Germany) (1987) .

18. O. Babelon, C-M. Viallet, Hamiltonian structure and Lax equations. Phys. Lett. В 1990 V 237, N 3,4 p. 411-416.

19. V. Rubtsov, B. Enriquez, Quasi-hopf algebras associated with sl2 and complex curves, q-alg/9608005

20. I.Krichever, Elliptic solutions to difference non-linear equations and Bethe ansatz equations, solv-int/9804016

21. K. Hasegawa, Ruijsenaars' commuting difference operators as commuting transfer matrices, q-alg/9512029

22. A. Antonov, К. Hasegava, A. Zabrodin, On trigonometric intertwinning vectors and non-dynamical R-matrixfor the Ruijsenaars model, Nucl.Phys. B503 (1997) 747-770, hep-th/9704074

23. A.Gorsky, N.Nekrasov, Relativistic Calogero-Moser model as gauged WZW theory. Nuclear Phys. В 436(1995) 582-608.

24. G.Felcler, A.Varchenko, Elliptic quantum groups and Ruijsenaars model, hep-th/9704005

25. T.M. Маланюк, Конечно-зонные решения уравнения Дэви-Стюартсона. Усп. Мат. Наук. V.46 N. 5 171-172.

26. О. Babelon, М. Talon, The symplectic structure of the spin Calogero model q-alg/9707011

27. E. K. Sklyanin, Dynamical r-matrices for the elliptic Calogero-Moser model, St.Petersburg Math. J. 6(1995) no.2 297-406.

28. J.L. Gervais, A. Neveu, Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string theory. Nucl. Phys. В 238 (1984) 125.

29. M.Rosso, An analogue of the PBW theorem and the universal Д-matrix for Uh{sl(n + 1)), Comm. Math. Phys. 124 (1989) 307.

30. S.M. Khoroshkin, V.N. Tolstoy, Universal i?-matrix for quantized (super)algebras, Commun. Math. Phys. 11(1993), 445-452.

31. M. Jimbo, H. Konno, S. Odake and J. Shiraishi: "Quasi-Hopf twistors for elliptic quantum groups". DPSU-97-11 q-alg/9712029. To appear in Transformation Groups.

32. D. Arnaudon, E. BufFenoir: "Universal solution of quantum dynamical Yang-Baxter equation", q-alg/9712037. Lett. Math. Phys. 44(1998) 201-214.

33. V. G. Drinfeld, Quantum groups, Proc. Int. Congr. Math(Berkeley, 1986) 1, 798-820.

34. В. Г. Дринфельд, Квазихопфовы алгебры, Аглебра и анализ, 1989, т.1, вып.б сс. 114-148

35. P. Etingof, A. Varchenko, Geometry and classification of solutions of the classical dynamical Yang-Baxter equation, q-alg/9703040

36. P. Etingof, A. Varchenko, Solutions of the quantum dynamical Yang-Baxter equation and dynamical quantum groups, q-alg/9708015

37. P. Etingof, D. Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras, I q-alg/9506005

38. P. Etingof, D. Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras, III q-alg/9610030

39. P. Etingof, D. Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras IV, math/9801043