Расчеты инкрементов многосгустковых неустойчивостей в накопителях заряженных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

Направахрукописи

МИТЯНИНА Наталья Валерьевна

РАСЧЕТЫ ИНКРЕМЕНТОВ

МНОГОСГУСТКОВЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В НАКОПИТЕЛЯХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

01.04.20 - физика пучков заряженных

частиц и ускорительная техника

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК-2004

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

Карлинер Марлен Моисеевич

Петров

Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор,

Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск кандидат технических наук, Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Корчуганов Владимир Николаевич

Сидорин Анатолий Олегович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Защита диссертации состоится

доктор физико-математических наук, Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск

кандидат физико-математических наук, Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна.

ГНЦ РФ "Институт физики высоких энергий", г. Протвино

2004 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д.003.016.01

Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан

«» асУЛ^АЛ

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

А.А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТИРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одной из задач физики ускорителей является повышение интенсивности пучков. Когерентное взаимодействие пучка с импедансом окружающей структуры (со стенками вакуумной камеры, с резонаторами ВЧ системы и т.д.) может ограничивать ток этого пучка. Учет этого взаимодействия позволяет выбирать параметры конструкции элементов ВЧ системы так, чтобы взаимодействие с этими элементами не приводило к неустойчивости когерентных колебаний и к уменьшению тока пучка.

Когерентные колебания частиц пучка происходят под действием электромагнитных полей, наведенных этим же пучком, частицы которого совершают когерентные колебания. При исследовании устойчивости этих колебаний возникает задача одновременного решения уравнений движения частиц в заданных полях и определения полей, наведенных пучком, совершающим когерентные колебания. Решению этой самосогласованной задачи для случая произвольных многосгустковых пучков и посвящена данная работа.

В предшествующих работах в основном рассматривалась устойчивость одиночных сгустков и симметричных многосгустковых пучков, для которых моды колебаний известны (нормальные симметричные моды), а инкременты колебаний этих мод легко вычисляются. Однако на практике часто используются несимметричные пучки. Это может быть связано с режимом заполнения накопительного кольца сгустками частиц или с попыткой ослабления неустойчивости за счет затухания наведенных пучком полей в зазоре пучка. Для несимметричного пучка существует оценка сверху инкрементов колебаний его собственных мод, через инкременты собственных мод симметричного пучка, до которого может быть "дополнен" данный несимметричный пучок (Берг, Кохаупт). Такая оценка не дает ответа на вопрос об эффективности использования несимметричных пучков вместо симметричных в целях ослабления неустойчивости. Поэтому полезно, кроме верхней оценки, иметь инструмент, позволяющий определять инкременты колебаний любых многосгустковых пучков.

При несимметричном (произвольном) заполнении сепаратрис сгустками моды колебаний заранее не известны и должны быть определены вместе с собственными числами (то есть инкрементами и когерентными сдвигами частоты колебаний) в результате грешени^ц^^щ^рванной задачи

БИБЛИОТЕКА I

движения частиц пучка под действием наведенных этим пучком полей. Размерность этой задачи и эффективность расчетов зависит от используемых моделей и приближений.

Ряд авторов обращался к этой проблеме. Однако, их подход имел ограничения, которые не позволяют эффективно использовать эти методы на практике. Так, О. Nauman и J. Jacob рассматривают случай, когда пучок возбуждает лишь одну гармонику частоты обращения. R.L. Morton, R.D. Ruth и К.А Thompson получили критерий устойчивости для пучка с зазором, для случая, когда поле, наведенное каждым сгустком, затухает достаточно быстро и действует лишь на один следом летящий сгусток. J.S. Berg и R.D. Ruth сформулировали задачу устойчивости поперечных колебаний произвольного многосгусткового пучка в терминах азимутальных гармоник дипольного момента тока пучка, при этом задача имеет бесконечную размерность. Конечные же результаты получены только для симметричных пучков. К.А. Thompson и R.D. Ruth рассмотрели задачу устойчивости дипольных продольных и поперечных когерентных колебаний в терминах Wake-потенциала и привели ее к линейной алгебраической задаче на собственные значения, в предположении равенства всех ненулевых зарядов сгустков пучка и с использованием модели макрочастиц. При этом не рассматривались затухание Ландау, коротковолновая часть спектра импеданса, высшие мультипольные типы продольных колебаний, а также встречные пучки и пучки с разными зарядами сгустков.

В данной работе используется метод, изложенный в работах М.М. Карлинера, где проблема устойчивости когерентных колебаний рассматривалась для одиночных сгустков и симметричных пучков. В настоящей работе этот метод расширен на случай несимметричных пучков, в том числе и на случай встречных пучков. Кроме того, при анализе внутрисгустковых неустойчивостей использовано разложение функции распределения с помощью ортогональных полиномов, аналогично используемому Йонг-Хо Чином, при этом снимается ограничение на длины волн спектра импеданса окружающей ВЧ структуры, а также учитывается связь разных типов мультипольных колебаний.

Целью работы является:

1. Разработка аналитического алгоритма и создание вычислительной программы для расчета устойчивости продольных и поперечных когерентных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сепаратрис, в том числе и встречных электрон-позитронных пучков, при взаимодействии с окружающей структурой.

2. Расширение метода на случай длинных сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны спектра импеданса окружающей структуры) и создание модификации программы, реализующей этот метод,

позволяющей также учитывать и связь разных типов мультипольных колебаний.

Научная новизна

1. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM1 для расчета собственных мод когерентных колебаний (поперечных и мультипольных продольных) произвольных многосгустковых пучков, в том числе и встречных пучков. Рассматривается взаимодействие с резонаторами ВЧ-системы и с резистивным импедансом вакуумной камеры с конечной проводимостью стенок, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны импеданса окружающей структуры).

2. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM2, позволяющая расчитывать устойчивость мультипольных продольных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сепаратрис без ограничения на длину пучка или ширину спектра. Эта программа позволяет также рассматривать связь различных типов мультипольных колебаний.

3. Для более быстрого и точного вычисления матричных элементов найден способ точного аналитического суммирования рядов по азимутальным гармоникам, с учетом длины сгустка, в том числе для высших типов мультипольных колебаний, для резонансных мод спектра импеданса.

Практическая ценность

Программа MBIM1 применяется при анализе устойчивости многосгустковых пучков в накопителях заряженных частиц, в том числе при проектировании ВЧ системы ускорителя и системы обратной связи. Подобные расчеты проводились для проектов ВЭПП-5, LHC, Nano-hana, для проектов модернизации ВЭПП-2 и ВЭПП-4, для нового резонатора с подавлением высших мод DUKE FELL.

Программа MBIM2 применяется для сравнения с программой MBIM1 и уточнения результатов расчетов в случае длинных сгустков, а также при анализе связи различных типов мультипольных колебаний.

Созданные программы используются не только в ИЯФ, но и в других научных центрах (CERN, CESR).

Апробация работы и публикации

Положенные в основу диссертации результаты докладывались на научных семинарах в ИЯФ им. Будкера СО РАН, на всероссийских и международных конференциях: XI Всесоюзное совещание по ускорителям заряженных частиц (Дубна, 1988); The Ш Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop on beam-beam effects in circular colliders (Novosibirsk, 1989); XII

Всесоюзное совещание по ускорителям заряженных частиц (Москва, 1990); The XV International Conference on High Energy Accelerators HEACC-92 (HAMBURG, 1992); EPAC-96 (Sitges, Barcelona, 1996); EPAC-2000 (Viena, Austria, 2000); XVII Совещание по ускорителям зар. частиц, (ГНЦ РФ, Ин-т физ. высоких энергий, Протвино, 2000); The 2nd Asian Conf. on Particle Accelerators, APAC-2001 (Beijing, China, 2001); XVII Международный семинар по ускорителям заряженных частиц (Алушта, 2001); XIII Конференция по ускорителям заряженных частиц RUPAC-2002 (Обнинск, 2002); ICAP-2004 (Санкт-Петербург, 2004), а также опубликованы в журналах и в виде препринтов.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и девяти приложений. Работа изложена на 194 страницах, содержит 33 рисунка и 5 таблиц. Список литературы включает 52 наименования.

Основные результаты, представленные к защите:

1. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM1 для расчета собственных мод когерентных колебаний (поперечных и мультипольных продольных) произвольных много-сгустковых пучков, в том числе и встречных пучков. Программа позволяет учитывать взаимодействие с резонаторами ВЧ-системы и с резистивным импедансом вакуумной камеры с конечной проводимостью стенок, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны импеданса окружающей структуры).

2. Программа MBIM1 применяется при анализе устойчивости много-сгустковых пучков в накопителях заряженных частиц, в том числе при проектировании ВЧ системы ускорителя и системы обратной связи. Подобные расчеты проводились для проектов ВЭПП-5, LHC, Nano-hana, для проектов модернизации ВЭПП-2 и ВЭПП-4, при проектировании нового одномодового резонатора для DFELL.

3. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM2, позволяющая расчитывать устойчивость мультипольных продольных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сепаратрис без ограничения на длину пучка или ширину спектра. Эта программа позволяет также рассматривать связь различных типов мультипольных колебаний.

4. Программа MBIM2 применяется для сравнения с программой MBIM1 и уточнения результатов расчетов в случае длинных сгустков, а также при анализе связи различных типов мультипольных колебаний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, сформулированы задачи и цель настоящей работы. Приводятся краткое ее содержание и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены продольные мультипольные колебания многосгустковых пучков при взаимодействии с резонаторами ВЧ системы, в приближении коротких сгустков, с использованием модели макрочастиц.

В параграфе 1.1 приведены основные предположения, использованные в работе, а также исходные уравнения движения частиц пучка во внешних электромагнитных полях и выражения для полей, наведенных пучком, совершающим когерентные колебания. Здесь же указаны существенные для дальнейшего изложения различия симметричного и несимметричного многосгустковых пучков, а также встречных пучков.

В параграфе 1.2 приведен вывод общей системы уравнений для произвольной системы сгустков, в том числе и для встречных пучков, в переменных действие-фаза. В параграфе 1.3 из этих уравнений получены инкременты колебаний собственных мод для некоторых простых случаев (один сгусток, симметричный пучок). Также здесь приведен анализ зависимости максимального инкремента многосгусткового пучка от добротности резонатора и его резонансной частоты (на примере одномодового резонатора).

В параграфе 1.4, после перехода к комплексным амплитудам колебаний сгустков, система уравнений (для произвольных многосгустковых пучков) преобразована к задаче на собственные значения (для дипольных колебаний):

где I - вектор комплексных амплитуд колебаний сгустков; Х — СИ — /ДГ2 -собственное число, действительная и мнимая части которого являются инкрементом и когерентным сдвигом собственной моды когерентных колебаний;

А = БтО,)), О. - частота некогеренгных

синхротронных колебаний, - кратность, напряжение и

синхронная фаза ускоряющего напряжения; - диагональная

матрица, зависящая от токов всех сгустков

, где

- импеданс резонатора на верхней боковой частоте к т -й гармонике обращения - угловое положение -го сгустка в

т

частоты

сопровождающей системе отсчета, причем для сгустков встречного пучка

в;

зависят от положения резонатора относительно места встречи пучков:

где - число сгустков в каждом пучке, а 1л / - расстояние между

соседними сгустками пучка. Отметим, что сгустки с нулевыми токами могут быть пропущены, так что размер матрицы может быть уменьшен.

Далее в этом параграфе приведен пример зависимости максимального инкремента пучка с зазором, при взаимодействии его с одномодовым резонатором, от числа сгустков в пучке и добротности резонатора. Показано, что при сохранении среднего тока пучка нельзя однозначно утверждать, что при любом спектре резонатора несимметричное распределение сгустков более устойчиво, чем симметричное. Таким образом, следует проводить расчеты для каждого конкретного случая.

В параграфе 1.5 отдельно рассмотрен случай встречных пучков, взаимодействующих с резонаторами ВЧ системы, в том числе и в случае нескольких резонаторов. Здесь же приведен пример области устойчивости в переменных расстроек двух мод для простейшего случая двух встречных сгустков, в зависимости от положения одного резонатора и двух одинаковых резонаторов, симметрично расположенных относительно места встречи.

В параграфе 1.6, на той же модели макрочастиц, рассмотрено взаимодействие многосгустковых пучков с резистивным импедансом продольно-однородной вакуумной камеры, который, в отличие от импеданса резонатора, не может быть приведен к узкому зазору. Показано, во-первых, что, в данном случае, в отличие от взаимодействия с резонаторами, встречные пучки не взаимодействуют друг с другом; во-вторых, полученные инкременты колебаний пренебрежимо ^япы; и в-третьих, для широкополосного резистивного импеданса ос л/со , модель коротких сгустков

оказывается уже не применима. Более точно эта задача будет решена в следующей главе, на модели сплошной среды.

Во второй главе продольные мультипольные колебания много-сгустковых пучков рассмотрены на модели сплошной среды, принимая во внимание внутрисгустковое движение, а также связь разных типов мультипольных колебаний. При этом снимается ограничение на длины волн спектра импеданса ВЧ системы для данной длины сгустка. Используемое разложений функций распределения по ортогональным полиномам позволяет представить самосогласованную задачу определения собственных мод колебаний в наиболее компактном виде, когда члены разложения высшего

порядка быстро убывают, и ряд может быть оборван, ограничившись лишь несколькими слагаемыми. При этом ранг матрицы равен произведению числа сгустков в пучке на число членов разложения функции распределения. Этот же способ позволяет при расчете устойчивости учесть амплитудную зависимость синхротронной частоты, приводящую к ослаблению неустойчивости - затухание Ландау. Другой подход к системе интегральных уравнений, приведенный в этой главе, в случае коротких сгустков, позволяет учесть затухание Ландау, при этом ранг матрицы равен числу сгустков в пучке.

В параграфе 2.1 приведен вывод системы интегральных уравнений связанных мультипольных колебаний для одного гауссовского сгустка

произвольной длины (невозмущенная функция распределения ос е JQ = СТ^Ма, где аь - Г.Ш8. длина пучка, М - эффективная масса). При

этом исходным является уравнение Власова для малого возмущения функции распределения. Для этого возмущения используется разложение по

гармоникам частоты синхротронных колебаний , а также по

ортогональным функциям, выражающимся через полиномы Лагерра

ТО'-

Рп (.0 = с'* (*)> * = ■"■/<>. /Л*) «с *Н/24"1\;С) ,

которое далее позволит получать быструю сходимость решения при небольшом порядке аппроксимации (то есть числе учитываемых членов этого разложения). Кроме того, этот вид разложения позволил учесть линейную зависимость частоты сишфотронных колебаний от квадрата амплитуды в виде линейной связи соседних

членов разложения. В результате, система уравнений для коэффициентов

разложения функций распределения имеет вид

(з2Ё-(Ш0)2(Е-%Мп)2)Е>'' -

-2Ап£2т(8-тщ)е{тф»)2'2 %Вп<!(т)(-1дП0)(Ё-4М'1)П'1 =0,

т д>0

где

А = -

О/п

аМ

_ иь

Я

, /0 - ток пучка, Л - средний

радиус накопителя;

Далее в этом параграфе рассмотрены частные случаи малых когерентных сдвигов (при малых токах), когда можно пренебречь связью разных мультипольных мод, но надо учитывать амплитудную зависимость синхротронной частоты (затухание Ландау) и противоположный случай больших токов и больших когерентных сдвигов, при которых можно пренебречь амплитудной зависимостью синхротронной частоты.

Связь разных мультипольных мод рассмотрена на примере продольного резистивного импеданса и низкодобротного одномодового резонатора.

В параграфе 2.2 полученное выше матричное уравнение расширено на случай симметричных многосгустковых пучков. При этом сохраняется обозначение для среднего тока пучка. Далее в этом параграфе показано, как с увеличением добротности одномодового резонатора выше £~ТИГ/ возникает расщепление симметричных мод, чего не

наблюдается для широкополосного резистивного импеданса.

Параграф 2.3 посвящен самому общему случаю - связанным продольным колебаниям произвольных многосгустковых пучков, система уравнений для которого имеет вид

(у2£ - (тП0)2(Ё-%Мл)2)г)п! -А/.

-2

у=1 т

»»Ю-^-О«*)2« х

х Х^^Х-гдОоХ^=0,

?>о )

где Е( = а?-а-кп1,п>0, / = 1,...,ЛГ4.

В параграфе 2.4 приведен для сравнения другой способ определения инкрементов и когерентных сдвигов в модели сплошной среды. Этот способ применим, когда действует приближение коротких сгустков. При этом матрица задачи на собственные значения имеет размерность, равную числу сгустков, собственные числа находятся аналогично модели макрочастиц, а инкременты и когерентные сдвиги при учете затухания Ландау находятся из дисперсионного соотношения Я = g{s):

В конце параграфа показано, что результаты применения обоих методов дают одинаковую асимптотику решения в той области параметров, когда оба метода применимы.

В третьей главе на модели макрочастиц рассматривается проблема поперечных когерентных колебаний многосгустковых пучков, при. взаимодействии с резонаторами ВЧ системы, а также с резистивным импедансом вакуумной камеры. Проблема устойчивости сформулирована в виде задачи на собственные значения для матрицы размерности равной числу сгустков.

В параграфе 3.1 приведены уравнения поперечного движения (вертикального и горизонтального) в переменных действие-фаза, причем для горизонтальных (радиальных) колебаний учтена зависимость радиального отклонения от изменения продольного импульса (через коэффициент уплотнения орбит).

В параграфе 3.2 получена в матричной форме система уравнений, определяющая устойчивость вертикальных колебаний произвольных многосгустковых пучков (в том числе и встречных):

ЛХ = АШ,

где X - это вектор комплексных амплитуд колебаний всех сгустков;

- инкремент и когерентный сдвиг частоты

вертикальных бетатронных колебаний; - число

бетатронных колебаний на оборот,

- поперечный (вертикальный) импеданс резонатора.

При этом угловое положение сгустков в сопровождающей системе определяется так же, как и для продольных колебаний.

В параграфе 3.3 показано, что матричное уравнение для горизонтальных колебаний отличается от уравнения для вертикальных, кроме замены индекса

, еще и дополнительным слагаемым в матрице , возникающим при учете зависимости радиального отклонения от изменения продольного импульса в том случае, если резонатор не симметричен относительно плоскости у — О

В параграфе 3.4 рассмотрен наиболее простой случай - поперечные колебания пучка, взаимодействующего с одномодовым резонатором, для односгусткового, симметричного многосгусткового пучков и многосгусткового пучка с зазором, в зависимости от добротности и резонансной частоты резонатора и числа бетатронных колебаний на оборот.

л

Здесь же отдельно выписан вид матрицы для случая встречных пучков (с учетом положения резонаторов относительно места встречи пучков), аналогично продольным колебаниям.

В параграфе 3.5 на модели макрочастиц рассмотрено влияние импеданса продольно-однородной вакуумной камеры со стенками конечной проводимости на устойчивость поперечных когерентных колебаний многосгусткового пучка. Отмечено, что, как и для продольных колебаний, на устойчивость колебаний пучка не влияют поля, наводимые встречным пучком (при наличии его), то есть встречные пучки колеблются независимо друг от друга.

Далее в этом параграфе приведены для сравнения выражения для инкрементов поперечных колебаний односгусткового и симметричного многосгусткового пучков, в зависимости от числа бетатронных колебаний на оборот, а также (на примере VEPP-5) приведена зависимость максимального инкремента пучка с зазором от величины этого зазора. Приведенные результаты позволяют сделать вывод, что использование пучка с зазором, при сохранении среднего тока пучка не дает увеличения устойчивости поперечных колебаний, и даже может несколько ухудшить ситуацию.

В четвертой главе устойчивость поперечных колебаний много-сгустковых пучков рассматривается на модели сплошной среды, позволяющей принять во внимание связь поперечных колебаний с продольными, а также амплитудную зависимость синхротронной и бетатронной частот

□г(У2) = . Л / Ло), ОДЛ) = £1,0(1 - & • зх /

В параграфе 4.1 рассмотрены вертикальные колебания, с учетом некогерентных продольных колебаний, в приближении коротких сгустков. Исходя из линеаризованного уравнения Власова, получена система интегральных уравнений, которая, если пренебречь связью разных типов продольных мультипольных колебаний, может быть приведена (для коротких сгустков и для мультипольности п) к следующему виду:

2в = I еш{в'~в'\т -{к-ух)^21х{-та0 -

т

РодУх

к =

а 8рг

- коэффициент, описывающий зависимость бетатронной

частоты от продольного импульса, через коэффициент сжатия орбит а (р0 - полный продольный импульс);

\{дfQlдJx)JxJ^dJxdJz}

5 + /П(71) + /иП2(7г)

- дисперсионное соотношение, связывающее собственные числа системы с комплексными когерентными сдвигами

В параграфе 4.2 показано, что отличие горизонтальных колебаний от вертикальных при использовании модели сплошной среды - то же, что и полученное в предыдущей главе на модели макрочастиц.

В параграфе 4.3 показано, как при разных соотношениях коэффициентов амплитудной зависимости частот продольных и поперечных колебаний двойной интеграл в дисперсионной функции может быть сведен к

однократному.

В параграфе 4.4 обсуждаются ограничения данного метода - модель коротких сгустков, в том числе и ограничения, существующие в данный момент в программе МВ1М1, созданной для анализа устойчивости когерентных колебаний многосгустковых пучков в модели коротких сгустков.

В пятой главе приведены примеры практического применения программ, созданных на основе изложенных в работе методов. Это расчеты, проведенные для созданного в ИЯФ нового резонатора для накопителя БЕЬ в университете Дюка, США (параграф 5.1), а также расчеты когерентной неустойчивости в СЕ8К, источником которой могут быть сепараторы (параграф 5.2). Анализ, проведенный А. Темных с помощью программы МВ1М1, показал, что сепараторы могут быть источником по крайней мере 2/3 наблюдаемой неустойчивости.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложения вынесен ряд математических выкладок, необходимых для полноты изложения материала, а также краткое описание программ МВ1М1 и МВ1М2, их входных параметров, возможностей и результатов расчета.

В Приложении 1 приведен способ точного аналитического суммирования рядов по азимутальным гармоникам для резонансных мод спектра импеданса. В Приложении 2 приведена оценка инкремента несимметричного

пучка с зазором для широкополосного импеданса, в зависимости от добротности резонатора и ширины зазора, основанная на виде матрицы задачи, полученном в данной работе. В Приложении 3 приведено для справки преобразование к симметричным модам, используемое в работе. В Приложении 4 дано математическое обоснование обобщения полученных систем уравнений на случай взаимодействия встречных многосгустковых пучков с ВЧ системой из нескольких резонаторов. В Приложении 5 приведено математическое доказательство отсутствия взаимодействия встречных пучков друг с другом в продольно-однородной вакуумной камере. В Приложении 6 дан вывод полей, наведенных пучком в продольно -однородной вакуумной камере со стенками конечной проводимости. В Приложении 7 приведено преобразование системы интегральных уравнений для многосгусткового пучка к системе линейных алгебраических уравнений в случае коротких сгустков. В Приложении 8 показан способ сведения двумерной дисперсионной функции (для поперечных колебаний) к одномерной. В Приложении 9 дано краткое описание компьютерных программ MBIM1 и MBIM2 (MultiBunch Instability, Multipole oscillations), созданных на основе изложенных в работе методов.

Основные результаты работы содержатся в следующих работах:

1. М.М. Karliner, N.V. Mityanina, V.P. Yakovlev. Longitudinal Stability of

Colliding Beams in ^ ^ Storage Rings with the Account of Beam Coupling with the Environment. Proc. of Third Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop on Beam-Beam Effects in Circular Colliders. Novosibirsk, 1989.

2. M.M. Карлинер, Н.В. Митянина, В.П. Яковлев. Многосгустковые резистивные неустойчивости в накопителях с большой интенсивностью пучка. Труды XII Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц (Москва, 1990), Дубна, ОИЯИ, 1992.

3. M.M. Karliner, N.V. Mityanina, V.P. Yakovlev. Multibunch resistive wall instabilities of an intense beam in storage rings. Proc. of XV International Conference on High Energy Accelerators HEACC-92 (Hamburg, 1992), Int. J. Mod. Phys. (Proc. Suppl.) 2B (1993).

4. M.M. Karliner, N.V. Mityanina, V.P. Yakovlev. Multibunch Resistive Wall Instabilities of an Intense Electron Beam in Storage Ring. BudkerlNP 92-52, Novosibirsk, 1992.

5. M.M. Karliner, N.V. Mityanina, B.Z. Persov, V.P. Yakovlev LHC beam screen design analysis. Part. Acc. 1995, V50, N1-3, p.153.

6. M.M. Karliner, D.G. Myakishev, V.P. Yakovlev. Calculation of transverse resistive impedance for vacuum chambers with arbitrary cross sections. Proc. ofEPAC-96 (Sitges (Barcelona), 1996), Bristol, Inst. ofPhys. publ., 1996.

7. N. Mityanina. MBI user's manual. Preprint of Cornell University. SRF/D 970314-01,1997.

8. N. Mityanina. The Stability of Multipole Longitudinal Oscillations of Multibunch Beams in Storage Rings with the Account of Beam Coupling with the Environment. Budker INP 99-46, Novosibirsk, 1999.

9. N. Mityanina. The Stability of Transverse Oscillations of Multibunch Beams in

Storage Rings with the Account of Beam Coupling with RF Cavities. Budker INP 9945, Novosibirsk, 1999.

10. N.V. Mityanina. Multibunch Beam Instability in the Case of Long Bunch. Budker INP 2001-3, Novosibirsk, 2001.

11. H. Митянина. Суммирование рядов по азимутальным гармоникам при анализе устойчивости когерентных колебаний. Препринт ИЯФ 2004-34, Новосибирск, 2004.

12. B.C. Арбузов, В.Н. Волков, Э.И. Горникер и др. Новая ВЧ система 178,5 МГц с подавлением высших мод DUKE FELL. XIII Конференция по ускорителям заряженных частиц (RUPAC-2002) 14 октября 2002, Обнинск, Россия.

МИТЯНИНА Наталья Валерьевна

Расчеты инкрементов многосгустковых неустойчивостей в накопителях заряженных частиц

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 28.10.2004 г. Подписано к печати 29.10.2004 г. Формат 100x90 1/16 Объем 0,9 печ.л., 0,7 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 62

Обработано на ЮМ РС и распечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Буцкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. АкадемикаЛаврентьева, 11.

1246 58

Введение.:.-.ТГТ.

Глава 1. Устойчивость продольного движения многосгустковых пучков модель макрочастиц).

1.1. Исходные уравнения и предположения.

Уравнения движения частиц в переменных действие-фаза.

Наведенные в резонаторе поля.

Многосгустковые пучки.

Встречные пучки.

1.2. Вывод общей системы уравнений для произвольной системы сгустков.

1.3. Простейшие случаи.

Один сгусток.

Симметричный пучок.

1.4. Несимметричные пучки.

Система линейных уравнений.

Инкремент колебаний несимметричного пучка в зависимости от широкополосности импеданса резонатора.

1.5. Встречные пучки.

Матрица системы уравнений.

Устойчивость встречных пучков в зависимости от положения резонатора.

1.6. Взаимодействие со стенками вакуумной камеры.

Инкремент колебаний одиночного сгустка.

Инкременты нормальных мод симметричного пучка.

Встречные пучки.

Дополнительные замечания.

Глава 2. Модель сплошной среды (продольные колебания).

2.1. Уравнение для одного длинного сгустка, с учетом связи мод.

Система интегральных уравнений для связанных мод.

Разложение функции распределения по ортогональным полиномам.

Система уравнений при малом токе (несвязанные колебания).

Связь различных типов мультипольных колебаний.

Пороговый ток при взаимодействии односгусткового пучка с резистивной вакуумной камерой.

Пороговый ток односгусткового пучка в зависимости от добротности резонатора, модель широкополосного резонатора.

2.2. Уравнения для симметричного многосгусткового пучка (с учетом связи мод).

2.3. Система интегральных уравнений для несимметричного многосгусткового пучка.

Разложение по ортогональным полиномам (многосгустковые пучки ).

2.4. Формулировка задачи на собственные значения для коротких сгустков, с учетом затухания Ландау (несвязанные колебания).

Сравнение асимптотик двух методов.

Глава 3. Поперечные колебания (модель макрочастиц).

3.1. Уравнения движения частиц в переменных действие-фаза.

3.2. Вертикальные колебания. Модель макрочастиц.

3.3. Горизонтальные колебания. Модель макрочастиц.

3.4. Простейшие случаи. Одномодовый резонатор.

Один сгусток.

Симметричный пучок.

Несимметричный многосгустковый пучок, в зависимости от характера заполнения множества сепаратрис.

Встречные пучки.

3.5. Взаимодействие с импедансом вакуумной камеры со стенками конечной проводимости.

Глава 4. Поперечные колебания (модель сплошной среды).

4.1. Вертикальные колебания.

4.2. Горизонтальные (радиальные) колебания - отличие от вертикальных.

4.3. Частные случаи.

4.4. Дополнительные замечания.

Глава 5. Примеры практических расчетов.

5.1. Резонатор с подавлением высших мод для накопителя FEL в университете Дюка (США).

5.2. Расчеты когерентной неустойчивости для CESR.

Одной из задач физики ускорителей является повышение интенсивности пучков. Яогерентное взаимодействие пучка с импедансом окружающей структуры (со стенками вакуумной камеры, с резонаторами ВЧ системы и т.д.) может ограничивать ток этого пучка. Учет этого взаимодействия позволяет выбирать параметры конструкции элементов ВЧ системы так, чтобы взаимодействие с этими элементами не приводило к неустойчивости когерентных колебаний и к уменьшению тока пучка.

Когерентные колебания частиц пучка происходят под действием электромагнитных полей, наведенных этим же пучком, частицы которого совершают когерентные колебания. При исследовании устойчивости этих колебаний возникает задача одновременного решения уравнений движения частиц в заданных полях и определения полей, наведенных пучком, совершающим когерентные колебания.

В предшествующих работах в основном рассматривались устойчивость одиночных сгустков и симметричных многосгустковых пучков (например, [1], [3], [4]; встречные симметричные пучки рассматривались, например, в [2] - для продольных колебаний и в [32] - для поперечных). Для симметричных пучков моды колебаний известны (нормальные симметричные моды), и для них можно выписать выражения для инкрементов, которые зависят от действительных частей импеданса на боковых частотах к гармоникам частоты обращения.

Однако на практике часто используются несимметричные пучки. Это может быть связано с режимом заполнения накопительного кольца сгустками частиц. Также одной из причин использования несимметричных пучков бывает попытка ослабления неустойчивости.

Для несимметричного пучка, как показано, например, в [5] и в [31], возможна оценка сверху инкрементов колебаний его собственных мод, через инкременты собственных мод симметричного пучка, до которого может быть "дополнен" данный несимметричный пучок. Ток такого "дополненного" пучка превышает ток первоначального несимметричного пучка, поэтому оценка сверху может сильно превышать (в зависимости от импеданса ВЧ системы и степени несимметрии пучка) реальные инкременты и тем самым налагать гораздо более сильные ограничения на ток или более высокие требования на систему обратной связи для подавления этих инкрементов. Кроме того, эта оценка не дает ответа на вопрос об эффективности использования несимметричных пучков вместо симметричных в целях ослабления неустойчивости. Отметим также, что широкополосная (например, резистивная) и узкополосная (резонансная) части импеданса окружающей структуры по-разному реагируют на несимметрию пучка (и на наличие встречного пучка), как показано, например, в [6]. Поэтому полезно, кроме верхней оценки, иметь инструмент, позволяющий определять инкременты колебаний любых многосгустковых пучков.

При несимметричном (произвольном) заполнении сепаратрис сгустками моды колебаний заранее не известны. В этом случае следует сформулировать самосогласованную задачу движения частиц пучка под действием полей, наведенных этим же пучком. Собственные числа этой задачи будут определять инкременты и когерентные сдвиги частоты колебаний.

Ряд авторов обращались к этой проблеме ([46]-[49]). Однако их подход имеет ограничения, которые не позволяют эффективно использовать эти методы на практике. Так, в [46] рассматривается случай, когда пучок возбуждает лишь одну гармонику частоты обращения. В [47] получен критерий устойчивости для пучка с зазором, для случая, когда поле, наведенное каждым сгустком, затухает достаточно быстро и действует лишь на один следом летящий сгусток. В [48] задача устойчивости поперечных колебаний произвольного многосгусткового пучка сформулирована в терминах азимутальных гармоник дипольного момента тока пучка и имеет бесконечную размерность. Конечные же результаты получены только для симметричных пучков. В [49], в терминах \¥аке-потенциала задача устойчивости дипольных продольных и поперечных когерентных колебаний приведена к линейной алгебраической задаче на собственные значения, в предположении равенства всех ненулевых зарядов сгустков пучка и с использованием модели макрочастиц. При этом не рассматриваются затухание Ландау, коротковолновая часть спектра импеданса, а также высшие мультипольные типы продольных колебаний. Также не рассматриваются встречные пучки и пучки с разными зарядами сгустков.

В настоящей работе представлены метод и программа расчета когерентных неустойчивостей многосгустковых пучков при взаимодействии с окружающей структурой. Имеются в виду продольные мультипольные синхротронные колебания и поперечные бетатронные колебания многосгустковых, в том числе встречных пучков (в одном кольце), с любым заполнением кольца сгустками заряженных частиц, симметричным и несимметричным. Рассматривается взаимодействие пучка с резонаторами ВЧ системы (и другими элементами, приводимыми к узкому зазору) и с резистивным импедансом гладкой (продольно-однородной) вакуумной камеры произвольного сечения, с конечной проводимостью стенок.

Проблема устойчивости сводится к задаче на собственные значения для линейной алгебраической системы, причем размерность задачи в приближении коротких сгустков (программа МВ1М1) равна числу сгустков, а в программе МВ1М2, когда ограничение коротких сгустков снимается, размерность задачи равна произведению числа сгустков на число рассматриваемых одновременно типов мультипольных колебаний и на число членов разложения функции распределения, которое, благодаря выбранному виду разложения, может быть небольшим (порядка нескольких единиц).

В работе используется метод, изложенный в [1] где проблема устойчивости когерентных колебаний рассматривалась для одиночных сгустков и симметричных пучков, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны спектра ВЧ системы). В настоящей работе этот метод расширен на случай несимметричных пучков, в том числе и на случай встречных пучков, который ранее также рассматривался только для симметричных пучков (см., например, [2], [32]).

Кроме того, при анализе высших типов мультипольных колебаний (внутрисгустковые неустойчивости) использовано разложение функции распределения с помощью ортогональных полиномов, аналогично [13], при этом снимается ограничение на длины волн спектра импеданса окружающей ВЧ структуры (по сравнению с длиной сгустка), а также учитывается связь разных типов мультипольных колебаний.

Целью работы является:

1. Разработка аналитического алгоритма и создание вычислительной программы для расчета устойчивости продольных и поперечных когерентных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сераратрис, в том числе и встречных электрон-позитронных пучков, при взаимодействии с окружающей структурой.

2. Расширение метода на случай длинных сгустков ( по сравнению с минимальной длиной волны спектра импеданса окружающей структуры) и создание модификации программы, реализующей этот метод, позволяющей также учитывать и связь разных типов мультипольных колебаний.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа МВ1М1 для расчета собственных мод когерентных колебаний (поперечных и мультипольных продольных) произвольных многосгустковых пучков, в том числе и встречных пучков. Рассматривается взаимодействие с резонаторами ВЧ-системы и с резистивным импедансом вакуумной камеры с конечной проводимостью стенок, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны импеданса окружающей структуры).

2. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM2, позволяющая расчитывать устойчивость мультипольных продольных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сепаратрис без ограничения на длину пучка или ширину спектра. Эта программа позволяет также рассматривать связь различных типов мультипольных колебаний.

3. Для более быстрого и точного вычисления матричных элементов найден способ точного аналитического суммирования рядов по азимутальным гармоникам, с учетом длины сгустка, в том числе для высших типов мультипольных колебаний, для резонансных мод спектра импеданса.

Практическая ценность:

Программа MBIM1 применяется при анализе устойчивости многосгустковых пучков в накопителях заряженных частиц, в том числе при проектировании ВЧ системы ускорителя и системы обратной связи. Подобные расчеты проводились для проектов ВЭПП-5 [34], LHC [20], Nano-hana [36], для проектов модернизации ВЭПП-2 [35] и ВЭПП-4, для нового резонатора с подавлением высших мод DUKE FELL [37].

Программа MBIM2 применяется для сравнения с программой MBIM1 и уточнения результатов расчетов в случае длинных сгустков, а также при анализе связи различных типов мультипольных колебаний.

Созданные программы используются не только в ИЯФ, но и в других научных центрах (CERN [6], CESR [38], [41]).

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и девяти

Основные результаты работы содержатся в 6 опубликованных работах [27], [16], [19], [39], [40], [45], и докладывались на международной конференции ICAP-2004 ([50], [51], [52]).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям Карлинеру М.М. и Петрову В.М., а также своему предыдущему руководителю Яковлеву В.П. и всем своим коллегам бывшим и настоящим за доброжелательность, помощь и интерес к своей работе.

Автор также благодарит Е.А. Переведенцева за интерес к работе, полезные замечания и ряд ценных ссылок.

Заключение.

1. М. М. Карлинер. Когерентные неустойчивости пучка в электронных накопителях вследствие электромагнитного взаимодействия с окружающей структурой.

2. С. Pellegrini. Longitudinal Coupled Bunch Instability for Two Counterrotating Beams. CERN/LEP-TH/86-17, Geneva, Switzerland, August 1986.

3. A.W.Chao. Physics of Collective Beam Instabilities in High Energy Accelerators. John Wiley & Sons Inc., New York, 1993.

4. F. Sacherer. Methods for computing Bunched-Beam Inctabilities. CERN/SI-BR/72-5, Geneva, Switzerland, 1972.

5. R.D. Kohaupt. On Multibunch Instabilities for Fractionally filled Rings. DESY 85-139, Hamburg, 1985.

6. O. Meincke. Transverse Coupled-bunch instabilities for non-symmetric bunch filling. CERN-SL-98-018, Geneva, Switzerland, May 1998.

7. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Статистическая физика. Часть 1. Москва, «Наука», 1976.

8. Вайнштейн. Электромагнитные волны. Москва, 1988.

9. В.А.Диткин, А.П.Прудников. Операционное исчисление. М., "Высшая школа", 1966.

10. А.Н.Лебедев, А.В. Шальнов. Основы физики и техники ускорителей. Москва, Энергоатомиздат, 1991.

11. С.Г. Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959.

12. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. Москва, «Наука», 1983.

13. Yong-Ho Chin. Transverse Mode Coupling Instabilities in the SPS. CERN/SPS/85-2 (DI-MST). CERN, 1985

14. M. Абрамовиц, И. Стиган (ред.). Справочник по специальным функциям. Москва, «Наука», 1979.

15. M.Month, R.F.Peierls. Coupling impedance structure above the tube cutoff frequency, NIM 137 (1976), p. 299 (Appendix A).

16. N. Mityanina. The Stability of Multipole Longitudinal Oscillations of Multibunch Beams in Storage Rings with the Account of Beam Coupling with the Environment. BudkerlNP 99-46, Novosibirsk, 1999.

17. Бронштейн И. H., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Москва, «Наука», 1986.

18. Л. Левин. Теория волноводов. Москва, «Радио и связь», 1981.

19. М. М. Karliner, N.V. Mityanina, V.P. Yakovlev. Multibunch Resistive Wall Instabilities of an Intense Electron Beam in Storage Ring. BudkerlNP 92-52, Novosibirsk, 1992.

20. M. M. Karliner, N.V. Mityanina, B. Z. Persov, V.P. Yakovlev. LHC Beam Screen Design Analysis. BudkerlNP 94-45, Novosibirsk, 1994.

21. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Москва, «Наука», 1981.

22. Карлинер М.М. Электродинамика СВЧ. Новосибирск: Издательство НГУ, 1999.

23. М.А. Tiunov, В.М. Fomel, V.P. Yakovlev. Electron Guns Designing. Proc. Of XIII International Conference on High Energy Particles Accelerators, Novosibirsk, 1987, vol.1, p. 353.

24. M.M.Karliner, N.V. Mityanina, D.G.Myakishev, V.P.Yakovlev. Calculation of transverse resistive impedance for vacuum chambers with arbitrary cross sections. Proc. of EPAC-96 (Sitges (Barcelona), 1996), Bristol, Inst, of Phys. publ., 1996

25. Д. Г. Мякишев. Разработка эффективных численных методов и программ для расчета элементов СВЧ-генераторов и ускоряющих структур. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН, Новосибирск, 2000.

26. Р. В. Wilson. Introduction to Wakefields and Wake Potentials. SLAC-PUB-4547 SLAC/AP-66, January 1989.

27. Н.И. Зиневич, M.M. Карлинер. Поперечная неустойчивость пучка при его взаимодействии с шихтованным железом электромагнита циклического ускорителя. Препринт ИЯФ 77-14, Новосибирск, 1977.

28. Н.С. Диканский, Д.В.Пестриков. Физика интенсивных пучков в накопителях. Новосибирск, Наука, 1989.

29. The NAG Fortran Library Manual, MARK15. NAG Ltd, 1991.

30. J.S. Berg. Bounds on Multibunch Growth Rates when the Bunches Currents are not Identical. CERN-SL-Note 97-92(AP), November 1997.

31. J.M. Wang. Transverse Two-Beam Instability. CERN/LEP-TH/87-65, November 1987

32. N. Mityanina. MBI user's manual. Preprint of Cornell University. SRF/D 970314-01,1997.

33. А.В.Александров, В.В.Анашин,С.А.Беломестных и др. Проект В-фабрики в Новосибирске. Препринт ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1992

34. V.N. Volkov, А.А. Bushuev, Е.К. Kendjebulatov et al .VEPP-2000 SingleMode Cavity. Proc. of EPAC-2000 (26-30 June,2000), Viena, Austria, 2000, p.439

35. Проект накопительного кольца источника СИ в Nano-Hana, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1999.

36. B.C. Арбузов, В.Н. Волков, Э.И. Горникер и др. Новая ВЧ система 178,5 МГц с подавлением высших мод DUKE FELL. XIII Конференция по ускорителям заряженных частиц (RUPAC-2002) 1-4 октября 2002, Обнинск, Россия.

37. M.G. Billig, S. Belomestnykh. Observation ov a Longitudinal Coupled Bunch Instability in CESR. Proc. Of the 1999 Particle Accelerating Conference, New York, 1999.

38. N. Mityanina. The Stability of Transverse Oscillations of Multibunch Beams in Storage Rings with the Account of Beam Coupling with RF Cavities. BudkerlNP 99-45, Novosibirsk, 1999.

39. N.V. Mityanina. Multibunch Beam Instability in the Case of Long Bunch. BudkerlNP 2001-3, Novosibirsk, 2001.

40. A. Temnykh. The CESR Horisontal Separators Impedance Study. CBN 00-4, Cornell University, March 2000.

41. B. Zotter. On the summation of infinite algebraic and Fourier series. CERN/ISR-TH/78-9, CERN, Geneva, April 1978.

42. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1987.

43. С. Беломестных, рабочие материалы.

44. Н. Митянина. Суммирование рядов по азимутальным гармоникам при анализе устойчивости когерентных колебаний. Препринт ИЯФ 2004-34, Новосибирск, 2004.

45. О. Nauman, J.Jacob. Fractional filling induced Landau damping of longitudinal instabilities at the ESRF. IEEE 1998, p. 1551.

46. R.L. Morton, R.D. Ruth, K.A. Thompson. Coupled bunch motion in large size rings. Proc. of РАС 1991, p. 1854.

47. J.S. Berg, R.D. Ruth. Transverse instabilities for multiple nonrigid bunches in a storage ring. Phys.Rev. E, vol.52, No 3, p. 2179 (1995).

48. K.A. Thompson, R.D. Ruth. Transverse and longitudinal coupled bunch instabilities in trains of closely spaced bunches.Proc. of РАС 1989, p.792.

49. N.V. Mityanina. The code MBIM1 for calculations of the coherent oscillations stability for arbitrary multibunch beams in storage rings (in approach of short bunches). Proc. of ICAP 2004 (to be published).

50. N.V. Mityanina. The code MBIM2 for the calculation of the longitudinal coherent oscillations stability for arbitrary multibunch beams in storage rings (in the case of long bunches). Proc. of ICAP 2004 (to be published).

51. N.V. Mityanina. Analytic evaluation of the serieses over azimuthal harmonics at the analysis of the stability of bunched beams coherent oscillations. Proc. of ICAP 2004 (to be published).