Распределения вероятностей в задаче регистрации стохастического излучения в квантовой оптике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На прозах рукописи

ВИТОХИНА Наталья Николаевна

Распределения вероятностей

в задаче регистрации стохастического излучения в квантовой оптике

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2006

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вирченко Юрий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Чеканов Николай Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Задорожный Владимир Григорьевич

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

Защита состоится 25 апреля 2006 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.015.05 с Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая 14, ауд. 322.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 23 марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Глушак А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи, изучению которых посвящена диссертация, возникают в квантовой оптике. Они связаны с проблемой регистрации низкоинтенсивного электромагнитного излучения, которая в естественных условиях всегда осложняется наличием в излучении стохастической составляющей. Для математического описания этой стохастической составляющей приходится использовать конкретные модели случайных процессов. Обычно, в качестве таковых выбираются так называемые элементарные гауссовские процессы, которые определяются решениями стохастических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Конкретные задачи, которым посвящена работа, связаны с изучением распределений вероятностей случайных значений аддитивных квадратичных функционалов от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека. Интерес к такого рода распределениям, с точки зрения проблемы регистрации оптического излучения низкой интенсивности, связан с тем, что сама регистрация, как физическое явление представляет собой поглощение приемником энергии электромагнитного поля. Интенсивность поглощения в единицу времени является квадратичной функцией от напряжённостей электрической и магнитной составляющих поля, а поглощённая приёмником энергия есть интеграл по некоторому временному промежутку от этой функции. Если в излучении присутствует стохастическая составляющая, то эта энергия как раз и представляет собой аддитивный квадратичный функционал от траекторий случайного процесса. Если для моделирования электромагнитного шума используется гауссовский процесс, в частности процесс Орнштейна-Уленбека, то задача вычисления характеристической функции для значений аддитивного квадратичного функционала от его траекторий принципиально решается либо на основе известного метода Каца-Фейнмана-Дынкина, либо методом решения соответствующей спектральной задачи для интегрального оператора, ядром которого является ковариационная функция процесса. На этом пути было вычислено большое число характеристических функций, интересных с точки зрения прикладных задач. Однако, очень мало известно о распределениях вероятностей, связанных с этими характеристическими функциями. Однако, изучение, с математической точки зрения, задачи, которой посвящена диссертация, облегчается тем обстоятельством, что для её исследования не требуется полная информация о плотности распределения значений квадратичного функционала.

Низкоинтенсивное оптическое излучение поглощается квантовым

которые называются фотоотсчётами. fot НАЦИОНАЛЕН

библиотека

С.Пегервург/1 08

детектором отдельными порциями,

В квантовой оптике доказывается, что случайное число п фотоотсчётов за время Т имеет следующее распределение вероятностей

Рт(п) Н Рг {п = п} = ~Е{7(Т)У ехр(- 7{Т)), (1)

которое называется распределением Манделя. Здесь j(T) - случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации Г энергию электромагнитного поля,

j{T)=\\z{sfds. (2)

о

В том случае, который исследуется в диссертации, - случае полностью стохастического одномодового, циклически поляризованного электромагнитного излучения, комплекснозначные функции z(f), t & R являются случайными и, в совокупности, представляют комплекснозначный случайный процесс Орнштейна-Уленбека. Таким

образом, случайная величина J(t) определяется как аддитивный квадратичный функционал от траекторий z(f) процесса. Класс процессов Орнштейна-Уленбека параметризуется двумя координатами, т.е. фиксация значений двух параметров v > 0 и а > 0 полностью определяет распределение вероятностей каждого из процессов.

Производящая функция случайной величины /(т) для процесса Орнштейна-Уленбека была вычислена А.Зигертом. Она определяется формулой

QT[X-z]=_4rv ехр(уГ)_^ (3)

где г = -v/v2 + 2Яа .

Распределение вероятностей, соответствующее этой характеристической функции и, соответственно, распределение вероятностей составного распределения Пуассона, случайным показателем которого является величина /(г), определяющая его неявно, оказываются аналитически очень сложными. В связи с этим, возникают задачи его явного приближенного, в математически точно определённом смысле, вычисления и качественного исследования.

Цель и задачи исследования. Основной целью работы является вычисления распределений вероятностей дискретной случайной величины, распределённой согласно составному распределению Пуассона со случайным показателем, который представляется

значениями указанного выше функционала. Эта величина физически соответствует числу фотоотсчётов низкоинтенсивного оптического стохастического излучения.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать с качественной точки зрения свойства распределения Манделя для числа фотоотсчетов в случае полностью поляризованного одномодового шумового излучения.

2. Разработать алгоритм вычисления с гарантированной точностью распределения Манделя в указанном случае.

3. Разработать алгоритм вычисления плотности распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера.

4. Вычислить характеристическую функцию и плотность распределения вероятностей для суммы квадратов значений указанных процессов в эквидистантно расположенных точках.

Научная новизна работы состоит в следующем: В процессе исследования распределения вероятностей Манделя, которое в рамках представлений квантовой оптики определяет вероятности фотоотсчётов полностью стохастического поляризованного одномодового оптического излучения малой интенсивности, получены следующие новые научные результаты. Доказана локальная предельная теорема распределения Манделя при неограниченном возрастании времени регистрации Т. Для этого же случая доказана общая интегральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает тип асимптотики распределения вероятностей при увеличении времени вне зависимости от пути предельного перехода. Дело в том, что в модели Манделя, кроме времени регистрации присутствуют ещё два параметра у'1, ах размерности времени. В связи с этим, предел 7*—к» может осуществляться различными способами в плоскости соответствующих безразмерных параметров т = уТ, в = оТ!\>. В более частном случае, когда осуществляется последовательный предельный переход - сначала в—*<л, а затем г—«о, получена формула для соответствующей повторной асимптотики распределения вероятностей Манделя. Строго доказана локальная предельная теорема при Т —* 0, которая была получена ранее эвристическими методом в физических работах. Разработан алгоритм последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью, оцениваемой в равномерной метрике на Z+. Построено мультипликативное разложение распределение Манделя по пуассоновским законам с изменяющимся шагом и с различными показателями при условии у2/с > 1, и, тем самым, доказана его

5

безграничная делимость в этом случае. Разработан алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера в виде разложений в сходящиеся равномерно на полуоси ряды. Эти ряды быстро сходятся при больших значениях временного параметра, определяющего функционал; в рамках этого алгоритма, для винеровского процесса вычислены все члены разложения ряда вместе с оценками точности каждого приближения. Вычислены характеристические функции для суммы квадратов значений процессов Винера и Орнштейна-Уленбека в эквидистантно расположенных точках.

Практическая значимость работы. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как на их основе могут решаться различные задачи теории регистрации излучения. Кроме того, полученные в работе результаты могут иметь практическое приложение - использоваться при обработке статистической информации, касающейся искажения сигналов в лазерных устройствах, передающих информацию.

Основные результаты, выносимые на защиту.

- Доказательство интегральной предельной теоремы для распределения Манделя при Т—юо. Формула для повторной асимптотики 0—><х>, г-*».

- Разработка алгоритма построения последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью в равномерной на Х+ метрике.

Доказательство теоремы о безграничной делимости распределения Манделя в случае достаточно малых значений дисперсии порождающего комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека V2/<т > 1 и алгоритм мультипликативного разложения распределения Манделя по пуассоновским компонентам.

- Построение равномерно сходящегося на полуоси разложения для плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса.

Личный вклад соискателя. Соискателю принадлежит аналитические вычисления при получении основных результатов, построение оценок точности приближений, доказательства большого числа математических утверждений в тексте диссертации. Соискатель также принимал активное участие в подготовке результатов диссертации к публикации.

Апробация и внедрение результатов. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI международной конференции по математическому моделированию (г.Херсон, 2003); Воронежской зимней математической школе (г.Воронеж, 2004); XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г.Москва, 2004); Десятой международной научной конференции им. акад. М.Кравчука (г.Киев, 2004); Международной конференции «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике» (г.Санкт-Петербург 2005); VII Международной конференции по математическому моделированию (г.Феодосия, 2005).

Публикации. Основные положения и результаты диссертации отражены в пяти печатных научных изданиях, материалах шести международных конференций и двух электронных публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и библиографического списка из 85 наименований. Общий объем диссертации составляет 146 страниц основного текста Работа содержит 1 приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, сформулированы цель и задачи диссертационной работы. Приведены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость работы, отмечена апробация работы.

Первая глава посвящена более подробному описанию научного направления, которому посвящена диссертация, постановке возникающих в рамках этого направления задач, используемых методов их решения и обзору литературы по этим вопросам. Описывается общая постановка задачи вычисления распределений вероятностей фотоотсчётов в квантовой оптике.

В диссертационной работе исследуется с математической точки зрения распределение вероятностей (1) для случайного числа й отсчётов, которое возникает в задаче регистрации низкоинтенсивного оптического излучения квантовым счетчиком. Распределение Манделя (1) связано с распределением вероятностей случайной величины J(т),

которая зависит от модели случайного процесса ?(?). В случае одномодового полностью поляризованного чисто шумового излучения, ?(/) является комплекснозначным процессом Орнштейна-Уленбека. Этот процесс обладает свойствами марковости, стационарности и гауссовости. Он полностью определяется плотностью условных вероятностей перехода

гСп \ ( у Г 1

В этом случае производящая функция случайной величины J{т) задается формулой (3).

При большой величине Г, распределение Манделя в интегральном смысле аппроксимируется распределением вероятностей случайной величины J(T). Для вычисления плотности /т(х) этой случайной величины, достаточно вычислить обратное преобразование Лапласа

< /оо+с

/т (х) = — \<2Т [*> ^]ехр(1 х)ЛХ ■

1 -100+с

Этот интеграл не вычисляется точно, и, при определении плотности, необходимо построить для него подходящую последовательность приближений, равномерно сходящуюся при *е[0;оо), с оценкой точности каждого из них.

Во второй главе описывается техника интегрирования в функциональном пространстве по мерам, связанным с гауссовскими случайными процессами Винера и Орнштейна-Уленбека, необходимая для исследования распределения вероятностей фотоотсчётов. Анализируется задача вычисления распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала, определённого на траекториях указанных процессов.

Сначала решается задача о вычислении распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала (2) от траекторий винеровского процесса. Процесс Винера также обладает свойствами марковости и гауссовости. Он определяется следующей формулой для плотности условной вероятности перехода

I 2ет\1-(\)

с начальным условием /(*, 0) = 5 (х). Производящая функция соответствующей случайной величины J(т) задается формулой

Доказано следующее утверждение для плотности распределения вероятностей/т(х) = 2сгТ2/т{2сгхТ2), связанной с этой производящей функцией. Плотность /т(х) представляется абсолютно сходящимся рядом

¿«wS^'Nb

для которого N-й остаток оценивается величиной

^«-/"-"(ф^^ + ^ехр

В случае процесса Орнштейна-Уленбека, аналогичная формула получена в первом приближении в работе Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. В этой же главе вычислена характеристическая функция суммы квадратов значений винеровского процесса в эквидистантно расположенных точках, которая имеет важное значение с точки зрения статистики временных рядов, связанных с винеровским процессом.

В третьей главе разрабатываются алгебраические методы для изучения сходимости разложений сложных аналитических функций по степеням малого параметра с целью оценивания точности приближений распределения Манделя, моментов и кумулянтов распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала j(T) от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека.

Рассматривается множество функций комплексного переменного z, аналитических в круге ненулевого радиуса с центром в точке z=0, представимых в виде ряда

X ** *4 (5)

о

с набором коэффициентов а = (ак е С; к е Z+ ) ■ Каждая функция

однозначно определяется набором своих коэффициентов. Линейным операциям над функциями соответствуют линейные операции над

последовательностями коэффициентов. Бинарная операция свёртки ° последовательностей

(а о b)* = £ ajbk_t ,к = 0, 1,2,...,

jm О

является коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Будем

обозначать (а" - т-й компонент п-й степени последовательности а.

Кроме того, определяется бинарная операция * на пространстве последовательностей

(а*Ь)*= ¿(4,, б,,,, А = 0,1,2,....

у=ои

На основе операций ° и * вводятся аналитические функции на соответствующих алгебрах последовательностей коэффициентов степенных рядов (5). Алгебра с операцией свёртки позволяет производить формальные вычисления со сложными аналитическими функциями и строить оценки точности конечных отрезков соответствующих степенных рядов. В рамках алгебры с операцией * осуществляется переход от моментов решётчатого распределения вероятностей на к кумулянтам этого распределения.

В этой главе получено основное неравенство в рамках алгебры со свёрткой последовательностей, необходимое для оценки моментов разложения распределения Манделя. Пусть для компонент ат функции (5) имеет место оценка с некоторой постоянной р,

\ат\<ср"-\{т-\})-\

тогда величина да-й компоненты (а")т оценивается неравенством

срт-"ШУ,

где /0 (х) - функция Бесселя мнимого аргумента, нулевого порядка.

№

В четвертой главе получены основные результаты диссертации, касающиеся распределения вероятностей Манделя. Это распределение исследуется при больших и малых временах регистрации Т.

При больших Т доказана локальная предельная теорема для распределения Манделя. Имеет место асимптотическая формула

при Т —>оо. Доказана интегральная предельная теорема при в—►<»

п:А$п/в<В А

где /(г) = О /т {О г) ■ При т—>оо эта интегральная теорема приводит к явной формуле в виде повторной асимптотики. Если сначала в—*оо при фиксированном т, а затем г—»°о, то имеет место формула

10

1нп У Рт(п) =

О—► оо . - '

п:А< п!0< В

8г

Л

1/2 в

|[/0(г г,г) + 0(ехр (- 2г / 2))]х

где /0 (г, Г) = 1 + г - 4/(,9)(1 + 9 47п),

Э = {\ + Т/г)47[2, 4>{3)=?уещ)(&2)еф{$).

При малых временах регистрации оптического излучения математически строго доказана локальная предельная теорема при Г-> О

í гт, , \П

\_1( а-Г/у

Рт(п) = (1 + аТ/у)'

(МО).

\+СГТ/У;

которая ранее была получена нестрогими рассуждениями в физической литературе.

Построен алгоритм вычисления последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью на основе представления его в виде разложения по моментам М/

П\ /=о '! «!/=О I-

Последовательность приближений т=\, 2,... этого распределения,

йт

каждое из которых аппроксимирует его с точностью до __,

определяется в виде

п\ыо

Доказано утверждение о том, что приближение Р^ порядка т

аппроксимирует распределение Манделя с точностью, определяемой неравенством

\рТ(п)-р; <с

1-2х

при х = ■

2а (т

< —, где 2

ЛМ-Ё^чМ-т1^-

п=0 [п]) 4 ^

При этом моменты Мт пе N, вычисляются точно. Они определяются следующим образом

С - константа.

2сЛ

У2)

Компоненты х„ определяются посредством операции свёртки последовательности w,

Компоненты этой последовательности представляются в виде 1 + — 1 + --/С.,1г) +

■V—кЛ*) ) *

где полиномы Л*(г) вычисляются по рекуррентным формулам

при условии Л* (г) = 1 - Вычислены первые приближения вплоть до т=Ъ.

Доказана безграничная делимость распределения Манделя при выполнении неравенства v2/<7 > 1 для параметров v, а, определяющих распределение вероятностей случайной величины J(т). При этом оно разлагается в бесконечную свёртку

Рт(п)=р{,)орЫо...орЫ,... пуассоновских законов распределения р®, I е N с шагом / и с показателями

(/-1)

В заключении перечислены важные задачи, относящиеся к научному направлению диссертации, решение которых было бы желательно для дальнейшего его развития.

В приложении приведено вычисление формулы для первого приближения с точностью до О(ехр (- 2т /г)) для плотности /Г(г)

распределения случайной величины J{т).

Основные публикации по теме диссертации:

1. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. О локальной предельной теореме для распределения вероятностей аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначного винеровского процесса // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. -СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. - С.48-50.

2. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса // Воронежская зимняя математическая школа - 2004. - Воронеж: ВорГУ, 2004. - С.30-31.

3. Витохина H.H. Вычисление распределения вероятностей Манделя в квантовой оптике // XXVI Конференция молодых ученых механико-матема-тического факультета МГУ им. Ломоносова: Тезисы докладов. - М.: Мех.-мат. факультет МГУ, 2004.-С.31-32.

4. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений квадратичного функционала от траекторий комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека // Десята м¿жнародна наукова конференщя ¡меш академка М. Кравчука, 13-15 трав. 2004р., КиГв: Матер1али конф. - К.: Задруга, 2004. - С.582.

5. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. Analysis of the probability distribution of photocount number of the onemode stochastic radiation // Los Alamos arXiv: math-ph/0411025, 81V80. - 2004.

6. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса // Вестник ВГУ, Серия: Физика, математика, 2004, №2. - С. 126-136.

7. Витохина H.H. Вычисление распределения Манделя в квантовой оптике // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. - М.: Мех.-мат. факультет МГУ, 2004. - Т.1. -С. 52-57.

8. Вирченко Ю.П., Витохина Н.Н. Плотность распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса II Труды Воронежской зимней математической школы - 2004. -Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. -С.35-55.

9. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. Sequential approximations of the calculation of Mandel distribution in quantum statistics // Analytic methods in Number Theoiy, Probability and Statistics: Abstracts of communications. - St. Petersburg. - 2005. - P. 96-98.

10. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. The probability distribution density of random values of squared functional on Wiener process trajectories // Los Alamos ArXiv: math-ph/0510028 vl. -2005.

11. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Вычисление распределения Манделл в квантовой статистике // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(2). - Херсон: ХНТУ,2005.-С. 80-83.

12. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. Calculation of the fotocount probability distribution of the onemode stochastic radiation // Functional Materials. - 2005. - Vol.12. № 3. - P. 416-424.

13. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Метод рекуррентного вычисления распределения вероятностей фотоотсчетов квантового одномодового шумового излучения // Доклады НАНУ, вып. 12. - Киев, 2005. - С. 14-18.

Подписано в печать 20.03.2006. Формат 60*84/16. Гарнитура Times. Усл. п. л. 0,81. Тираж 100 экз. Заказ 49. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

¿> A.

62 0 5

II

Введение

I Математические задачи теории регистрации оптического излучения и методы их исследования

1.1 Распределения вероятностей значений аддитивных функционалов от траекторий случайных процессов.

1.2 Теоретические основания постановки задач теории регистрации квантового оптического излучения.

II Распределение вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала. Процессы Винера и Орнштейна-Уленбека

2.1 Элементарные гауссовские процессы.

2.2 Аддитивный квадратичный функционал на траекториях ви-неровского процесса.

2.3 Плотность распределения вероятностей случайной величины Jr(ii))

III Алгебры последовательностей коэффициентов степенных рядов

3.1 Алгебра £0 коэффициентов степенных рядов.

3.2 Алгебра £*.

IV Исследование распределения Манделя

4.1 Распределение Манделя при Т —>• оо.

4.2 Аппроксимации при малых временах регистрации.

4.3 Разложение по пуассоновским компонентам. Безграничная делимость.

Актуальность темы. Исследование, проведенное в настоящей работе, относится к той области математической физики, которая только в самое последнее время получила устоявшееся название - статистическая математическая физика [62],[63]. Задачи, изучаемые в рамках этого направления, объединяются, с одной стороны, тем, что их постановки естественным образом возникают в физических исследованиях, а, с другой стороны, их формулировка и методы решения основаны на теории случайных процессов. Следует, однако, указать на существенную разницу между постановкой задач в рамках направления, которому посвящена диссертация, и задачами, которые возникают в такой более традиционной области приложений методов теории вероятностей к физическим проблемам, как статистическая механика [74]. В последнем случае, теория вероятностей проявляется только терминологически, но, по сути, используемые методы исследования остаются "детерминистическими", в том смысле, что исследуемые математические модели сконструированы в виде детерминированных гамильтоновых динамических систем, и распределения вероятностей в этом случае возникают только лишь в связи с неопределённостью начальных данных. Более того, эти распределения (распределения Гиббса) конструируются на основе гамильтониана каждой из исследуемых систем. В той же области математической физики, которой посвящена диссертация, изучаются задачи, которые возникают в таких физических проблемах, в которых приходится учитывать существенное влияние различного рода случайных факторов на свойства физической системы. Однако, при вероятностном моделировании воздействия на систему этих случайных факторов, несмотря на то, что, как правило, имеется только довольно ограниченная априорная информация об их статистических свойствах, не используются модели наиболее общего вида, а, наоборот, стремятся применять простейшие случайные процессы. При этом обоснование применения той или иной вероятностной модели к изучению каждой такой физической проблемы лежит за пределами математики, а сами задачи представляют собой конкретные задачи математического анализа. В качестве примера описанного подхода мы приведём здесь задачу о т.н. чандлеровских колебаниях земной оси [58] или задачу о космических ливнях в атмосфере Земли [59]. В первом случае, для математического описания случайных колебаний используют конкретную модель стационарного случайного процесса с экспоненциально быстрым расцеплением корреляций - т.н. процесс Орнштейна-Уленбека, во втором, - специальную модель ветвящегося процесса. При решении конкретных прикладных задач в приведенных примерах и им подобных возникает ситуация, типичная как раз для математической физики. Здесь проявляется примерно такое же соотношение, какое имеется между подходами общей теории дифференциальных уравнений в частных производных или теории интегральных уравнений и теорией начально-краевых задач математической физики.

Задачи, изучению которых посвящена диссертация, возникают в квантовой оптике. Они связаны с проблемой регистрации электромагнитного излучения, которая в естественных условиях всегда осложняется наличием в нём стохастической составляющей. Для математического описания этой составляющей приходится использовать конкретные модели случайных процессов - т.н. элементарных гауссовских процессов [58], которые определяются решениями стохастических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Последнее обстоятельство тесно связано с линейностью уравнений Максвелла, описывающих распространение электромагнитного излучения (см. разд.1.2). В простейшем случае, для моделирования случайной составляющей используется упомянутый выше процесс Орнштейна-Уленбека, и именно такого типа математические модели изучаются в диссертации.

Конкретные задачи, которым посвящена работа, связаны с изучением распределений вероятностей случайных значений аддитивных квадратичных функционалов от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека. Интерес к такого рода распределениям, с точки зрения проблемы регистрации излучения, связан с тем, что сама регистрация, как физическое явление представляет собой поглощение приёмникбм энергии электромагнитного поля. Интенсивность поглощения в единицу времени является квадратичной функцией от напряжённостей электрической и магнитной составляющих поля, а поглощённая приёмником энергия есть интеграл по некоторому временному промежутку т от этой функции. Если в излучении присутствует стохастическая составляющая, то эта энергия как раз и представляет собой аддитивный квадратичный функционал от траекторий случайного процесса. Если для моделирования электромагнитного шума используется гауссовский процесс, в частности процесс Орнштейна-Уленбека, то задача вычисления характеристической функции для значений аддитивного квадратичного функционала от его траекторий принципиально решается либо на основе известного метода Каца-Фейнмана-Дынкина [26], либо методом решения соответствующей спектральной задачи для интегрального оператора, ядром которого является ковариационная функция процесса [25] (см. разд.1.1). На этом пути было вычислено большое число характеристических функций, интересных с точки зрения прикладных задач [44]. Подробный обзор развития направления математической физики, к которому относится тема диссертации дан в разд. 1.1.

Низкоинтенсивное оптическое излучение поглощается квантовым детектором отдельными порциями, которые называются фотоотсчётами. В квантовой оптике доказывается [65], что случайное число п фотоотсчётов за время т имеет следующее распределение вероятностей рт(п) = Рг{п = п} = Ье. (¿(Г))П ехр[-](т)], называемое распределением Манделя (обоснование этого распределения см. разд. 1.2). Здесь 1{Т) - случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации т энергию электромагнитного поля, т т) = 115(5)|2^5. о

В том случае, который исследуется в диссертации, - случае полностью стохастического одномодового циклически поляризованного электромагнитного излучения, комплекснозначные функции 5(£), ¿ЕМ являются случайными и, в совокупности, представляют комплекснозначный случайный процесс Орнштейна-Уленбека. Таким образом, случайная величина J{T) определяется как аддитивный квадратичный функционал от траекторий ¿(¿) процесса. Класс процессов Орнштейна-Уленбека параметризуется двумя координатами, т.е. фиксация значений двух параметров V > О и а > 0 полностью определяет распределение вероятностей каждого из процессов. Характеристическая функция случайной величины 3(Т) для процесса Орнштейна-Уленбека была вычислена в работе А.Зигерта [85]. Она определяется формулой аги ехр (г/Г) (г + р)2 ехр(гТ) -{г- и)2 ехр(-гТ) ' где г = \/г/2 + 2Асг. Распределение вероятностей, соответствующее этой характеристической функции и, соответственно, распределение вероятностей составного распределения Пуассона, случайным показателем которого является величина 3{т), определяющая его неявно, оказываются очень сложными аналитически. В связи с этим, возникают задачи их явного приближённого, в математически точно определённом смысле, вычисления и качественного исследования.

Прежде всего, нам удалось исследовать распределение Манделя при большой величине параметра т. В этом случае доказана следующая локальная предельная теорема. При т —> оо имеет место асимптотическая формула

Эта формула была ранее получена на физическом уровне строгости, посредством сравнения асимптотик моментов мп = Е(](т))п ~ 6П случайной величины 1{т) при т —> оо без оценок на их равномерность по п.

Далее, в диссертации доказана интегральная предельная теорема при повторном предельном переходе в = ат/у —> оо, а затем г = ит —> оо,

ОДА; г] для вероятности ^^ Рт{п)- В этом случае имеет место формула п:А<п/®<В А г

10(тг, г) = 1 + тг - 2л/2тгЩь)) [1 + яйу/тгЩ , гй = (1 + г~1)^/тг/2.

Исследуя распределение вероятностей Манделя в области малых значений параметра 71, нами доказано, что для Рт{п) при Т —> О имеет место асимптотическая формула которая также ранее была известна в физической литературе, но получалась посредством нестрогого математически приёма пересуммирования главных членов асимптотик каждого момента Мп ~ п!0п.

Далее, при малых временах Т регистрации оптического излучения построен алгоритм вычисления последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью. Для этого вероятность Рт(п) представлялась в виде разложения по моментам ятностей Манделя, каждое из которых определяет его с точностью до вттт-1, вводилась, как соответствующий конечный отрезок ряда п •

Последовательность приближений т = 1,2,. распределения веро

В этом случае доказано утверждение о том, что приближение Р^ порядка т аппроксимирует распределение Манделя с гарантированной точностью, определяемой неравенством

1-2* при где

2(7 V оо

1о(в) = £ а/2)

2 п

С1 (г) п=0 ег ("О2 '

1+г + т и С - определённая константа.

При этом моменты Мп, п € N вычисляются точно. Они определяются следующим образом

Мп = (—1)пп!

Компоненты определяются посредством операции свёртки о последовательности \л/, п 1=1

А компоненты последовательности \л/ = {гит; т Е выражается следующим образом посредством полиномов специального вида, ш т

1П, , . /„ т\ т + 1 , , ч 2-V1 + т) + -г-^М+ е

2г

1 „ , ч Л ГП\ 771 + 1 , Л

1 + -) + М

771 6 где полиномы вычисляются по рекуррентной формуле т

1М = ±

-1)'; при условии ш

Д±(г) = 1.

В диссертации доказана безграничная делимость распределения Манделл при выполнении неравенства V2¡а > 1 для параметров и, а, определяющих распределение вероятностей случайной величины ^(Т). Этот факт является следствием разложения распределения Манделя в бесконечную свёртку

Рт(п) = о о . о о . пуассоновских законов распределения р®, / £ N с шагом I и с показателями

I - 1)!

В этой формуле А„, п Е N - полюса производящей функции

Основная цель. В диссертации изучаются с качественной точки зрения распределения вероятностей, возникающие в простейшей физической постановке задачи регистрации низкоинтенсивного электромагнитного излучения и разрабатываются методы их приближённого вычисления с гарантированной точностью. В работе изучается математическая модель регистрации оптического излучения в отсутствие сигнала (неслучайной составляющей) и в том случае, если стохастическая составляющая имеет только одну "неслучайную" поляризацию и пространственную моду. Основной целью работы является вычисления распределений вероятностей дискретной случайной величины, распределённой согласно составному распределению Пуассона со случайным показателем, который представляется значениями указанного выше функционала. Эта величина физически соответствует числу фотоотсчётов низкоинтенсивного оптического стохастического излучения.

Задачи исследования. Исходя из вышеуказанной общей цели исследования в диссертации решались следующие задачи (точную математическую формулировку этих задач см. в гл.1):

1. Исследовать с качественной точки зрения свойства распределения Манделя для числа фотоотсчётов в случае полностью поляризованного одномодового шумового излучения.

2. Разработать алгоритм вычисления с гарантированной точностью распределения Манделя в указанном случае.

3. Разработать алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комп-лекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера.

4. Вычислить характеристическую функцию и плотность распределения вероятностей для суммы квадратов значений указанных процессов в эквидистантно расположенных точках.

Научная новизна. В процессе исследования распределения вероятностей Манделя, которое в рамках представлений квантовой оптики определяет вероятности фотоотсчётов полностью стохастического поляризованного одномодового оптического излучения малой интенсивности, получены следующие новые научные результаты. Доказана локальная предельная теорема распределения Манделя при неограниченном возрастании времени регистрации. Для этого же случая доказана общая интегральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает тип асимптотики распределения вероятностей при увеличении времени вне зависимости от пути предельного перехода. Дело в том, что в модели Манделя, кроме времени регистрации присутствуют ещё два параметра и"1, а~2 размерности времени. В связи с этим, предел т —> со может осуществляться различными способами в плоскости соответствующих безразмерных параметров т = ит, 0 = ат/р. В более частном случае, когда осуществляется последовательный предельный переход - сначала 0 —> оо, а затем т —>■ оо, получена формула для соответствующей повторной асимптотики распределения вероятностей Манделя. Строго доказана локальная предельная теорема при т —>• 0, которая была получена ранее эвристическими методом в физических работах. Разработан алгоритм последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью, оцениваемой в равномерной метрике на Построено мультипликативное разложение распределение Манделя по пуассоновским законам с изменяющимся шагом и с различными показателями при условии V1 /сг > 1, и, тем самым, доказана его безграничная делимость в этом случае. Разработан алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера в виде разложений в сходящиеся равномерно на полуоси ряды. Эти ряды быстро сходятся при больших значениях временного параметра, определяющего функционал; в рамках этого алгоритма, для процесса Орнштейна-Уленбека вычислено первое приближение и дана оценка его точности; для винеровского процесса вычислены все члены разложения ряда вместе с оценками точности каждого приближения. Вычислены характеристические функции для суммы квадратов значений процессов Винера и Орнштейна-Уленбека в эквидистантно расположенных точках.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как на их основе, могут решаться различные задачи теории регистрации излучения. Кроме того, полученные в работе результаты могут иметь практическое приложение - использоваться при обработке статистической информации, касающейся искажения сигналов в лазерных устройствах, передающих информацию.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство интегральной предельной теоремы для распределения Манделя при Т —> оо. Формула для повторной асимптотики О —> оо, т —> оо.

2. Разработка алгоритма построения последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью в равномерной на Z+ метрике.

3. Доказательство теоремы о безграничной делимости распределения Манделя в случае достаточно малых значений дисперсии порождающего комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека а/и2 < 1 и алгоритм мультипликативного разложения распределения Манделя по пуассоновским компонентам.

4. Построение равномерно сходящегося на полуоси разложения для плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса.

Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 работах автора. Они вышли из печати на протяжении 20032005гг. и представлены (за исключением тезисов докладов на конференциях) в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. VI международной конференции по математическому моделированию, г.Херсон, 9-14 сентября 2003г.

2. Воронежской зимней математической школе, г.Воронеж, 23-28 января 2004г.

3. XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, г.Москва, МГУ, 12-16 апреля 2004г.

4. Десятой международной научной конференции им. акад. М.Кравчука, г.Киев (Украина), 13-15 мая 2004г.

5. Международной конференции "Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике", посвященной 90-летию акад. Ю.В.Линника, г.Санкт-Петербург, 25-29 апреля 2005г.

6. VII Международной конференции по математическому моделированию, г.Феодосия, 5-10 сентября 2005г.

Кроме того, по материалам диссертации выпущено два электронных препринта в Лос-Аламосском архиве.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 85 наименований, и приложения. Каждая глава состоит из разделов, которые, в свою очередь, дробятся на подразделы.

В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер раздела, третья на номер формулы (утверждения) в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы (утверждения) в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце диссертации списке. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке.

Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводится в отдельном списке (см. ранее).

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы диссертации. Начало каждого доказательства отмечается знаком □, а конец - ■.

Первая глава посвящена более подробному, чем данное выше, описанию научного направления, которому посвящена диссертация, постановке возникающих в рамках этого направления задач, используемых методов их решения и обзору литературы по этим вопросам. Описывается общая постановка задачи вычисления распределений вероятностей фотоотсчётов в квантовой оптике.

Во второй главе описывается техника интегрирования в функциональном пространстве по мерам, связанным с гауссовскими случайными процессами Винера и Орнштейна-Уленбека, необходимая для исследования распределения вероятностей фотоотсчётов. Анализируется задача вычисления распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала, определённого на траекториях указанных комплекснознач-ных процессов.

В третьей главе разрабатываются формально алгебраические методы для изучения сходимости разложений сложных аналитических функций по степеням малого параметра с целью оценивания точности приближений распределения Манделя, моментов и кумулянтов распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека.

В четвертой главе изучается распределение Манделя для числа фотоотсчётов, регистрируемых квантовым счётчиком в случае одномодового, полностью поляризованного, чисто шумового низкоинтенсивного оптического излучения. Получены все основные результаты диссертации.

В заключении перечислены важные задачи, относящиеся к научному направлению диссертации, решение которых было бы желательно для дальнейшего его развития.

В приложении приведён несколько переработанный материал работы [14], на основной результат которой опирается доказательство в главе IV интегральной теоремы для случайного числа фотоотсчётов при большой величине времени регистрации.

I Математические задачи теории регистрации оптического излучения и методы их исследования

Эта глава является введением в проблему, которая изучается в диссертации. Сначала, в первом разделе, мы даём общую математическую формулировку задач математической физики, которые возникают в теории регистрации оптических сигналов малой интенсивности и описываем методы их исследования. Далее, во втором разделе, даётся описание теоретических основ для решения физических задач, исследуемых в диссертации. Эти два раздела носят обзорный характер и, поэтому, мы в них не даём точных математических определений используемых понятий и, соответственно, не приводим точных доказательств. Точное математическое описание предмета и методов исследования даётся в следующих разделах.

Заключение

В заключение работы мы перечислим те задачи, которые остались ещё нерешёнными в рамках диссертации.

1. Теория приближений распределения вероятностей значений функционала J в случае процесса Орнштейна-Уленбека, даёт обозримое выражение для первого приближения (см.Приложение), однако, вычисление приближений более высокого порядка становится в данной схеме неудобным. Схему их вычисления необходимо упростить.

2. Важно получить также более точные формулы для вероятностей больших уклонений и малых значений случайной величины J (т.н. флук-туационная область в физической терминологии). Основное приближение оказывается неточным в этих областях при малых значениях временного параметра. В то же время, при вычислении вероятности ошибочного приёма сигнала (т.н. приёмник Котельникова), как раз указанные области изменения случайной величины оказываются самыми существенными.

3. Поправки на дискретность для распределения вероятностей значений сумм Jn\x\, полученные в разд.2.3, даются асимптотическими формулами, которые не позволяют получить оценки точности. В дальнейшем необходимо избавиться от этого недостатка.

4. В рамках разработанного метода аппроксимаций распределения Ман-деля получить более простые аналитические выражения для высших приближений.

5. С физической точки зрения, нет никаких причин, по которым бы распределение Манделя перестало быть безгранично делимым при произвольном соотношении между параметрами у и ст. По-видимому оно безгранично делимо во всей области изменения этих параметров.

6. Желательно решить вопрос о т.н. свойстве точной одновершинности распределения Манделя (см. [11], [12], [20]).

1. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика-М.: Наука, 1969 624с.

2. Боровков A.A. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1972.

3. Вирченко Ю.П.,. Витохина H.H. Вычисление распределения Манделя в квантовой статистике// Вестник Херсонского национального технического университета. Вып.2(2).- Херсон: ХНТУ- 2005 С.80-83.

4. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Метод рекуррентного вычисления распределения вероятностей фотоотсчетов квантового одномодового шумового излучения// Доклады НАНУ, Киев,- 2005. №12 С.14-18.

5. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений квадратичного функционала от траекторий винеровско-го процесса.// Воронежская зимняя школа. Воронежский государственный университет. Воронеж.- 2004.- С.30-31.

6. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса// Вестник ВГУ, Серия: Физика, математика.2004. №2.- С.126-136.

7. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Плотность распределения вероятностей значений квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса// Научные ведомости 2004.- Белгород: БелГУ. -2004.

8. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Мазманишвили A.C. Статистика функционалов, определенных на решениях стохастических дифференциальных уравнений// Донецк: Дон ФТИ-84-8 1984 - 34с.

9. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Метод функционального интегрирования как средство анализа нелинейных инерционных преобразований гармонических случайных процессов.// Автоматизированные системы управления.- 1990. №95.- С.62-69.

10. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Одновершинность одного класса распределений, связанных с комплексным процессом Орнштейна-Уленбека// Доклады АН УССР, сер. А 1988. №.- С. 55-57.

11. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Одновершинность распределения числа фотоотсчётов гауссовских оптических полей// Проблемы передачи информации 1995- Вып.31. №1.- С.83-89.

12. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Плотность распределения вероятностей энергетического функционала от траекторий стохастического процесса// ЦНИИ Атоминформ :М 1987 - С.26.

13. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Распределение вероятностей аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплексно-значного процесса Орнштейна-Уленбека// Кибернетика и системный анализ.- 2004.

14. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Распределение вероятностей случайного функционала свёртки от нормального марковского процесса// Проблемы передачи информации 1990.- Вып.26. №1.- С.96-101.

15. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Распределение кросс-корреляционного функционала от двух процессов Орнштейна-Уленбека// Доклады HAH Украины.- 1996. №4 С.27-30.

16. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Распределение средней мощности в линейной системе,возбуждённой белым шумом// Радотехника и электроника.- 1989.- Вып.35. №12 С.2546-2549.

17. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Статистические свойства кросс-корреляционного функционала от двух марковских нормальных процессов// Радиофизика (Изв. ВУЗов).- 1996 Вып.39. №7 - С.916-924.

18. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Статистические свойства функционала свёртки от нормального марковского процесса// Доклады АН УССР.- сер.А.- 1988. №1- С.14-16.

19. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Существенная одновершинность распределения вероятностей случайных квадратичных функционалов// Доклады АН УССР.- сер.А 1990. №12.-С.З-5.

20. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Существенная одновершинность распределений вероятностей случайных квадратичных функционалов// Кибернетика и системный анализ.- 1992. №2. С.172-175.

21. Витохина H.H. Вычисление распределения Манделя в квантовой оптике// Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.- М.: Мех.-мат. факультет МГУ 2004.- Т.1.- С.52-57.

22. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике// Успехи мат. наук.-1956.- Вып.11. №1.- С.77-114.

23. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. T.I.- М.: Наука, 1971- 664с.

24. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т. II М.: Наука, 1973.

25. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т. III.- М.: Наука, 1975.

26. Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов// Квантовая оптика и квантовая радиофизика.- 1966.- С.91-280.

27. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей М.: Эдиториал, УРСС, 2001.

28. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз.- М., 1962.- 648с.

29. Дынкин Е.Б. Марковские процессы.- М.: Физматгиз, 1963 858с.

30. Дынкин Е.Б. Функционалы от траекторий марковских случайных процессов// Докл.АН СССР.-1955 Вып.104. №5 - С.691-694.

31. Золотарёв В.М. Об одной вероятностной задаче. Теория вероятностей и её применения 1961. -Вып.6. №2 - С 219-222.

32. Золотарёв В.М. Одномерные устойчивые распределения М.: Наука, 1983.

33. Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы.- М.: Наука, 1974.

34. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.- М.: Мир, 1965.-407с.

35. Клячко A.A., Солодянников Ю.В. Вычисление распределения свёртки винеровского процесса// Пробл. передачи информ-1985 Вып.21. №4. - С.41-48.

36. Клячко A.A., Солодянников Ю.В. Вычисление характеристических функций некоторых функционалов от винеровского процесса и броуновского моста// Теория вероят. и её примен 1987.- Вып.31. №3.-С.569-573.

37. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.- 496с.

38. Курант Р., Гурвитц А. Теория функций. М.: Наука, 1968, 646с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.- М.: Наука, 1982.

40. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники М.: Сов. Радио, 1968- 504с.

41. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиофизики I.- М.: Сов. Радио, 1969 752с.

42. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем.- М.: Наука, 1982.

43. Мазманишвили A.C. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач.- Киев: Наукова думка, 1987.- 224с.

44. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.2.- М., 1968.

45. Пугачёв B.C. Теория канонических разложений случайных функций// Труды ВВИА.- 1950. вып.345-350.- С.1-26.

46. Пугачёв B.C. Теория случайных функций.- М.: Физматгиз, 1960.

47. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.- М.: Наука, 1967.

48. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля.- М.: Наука, 1981.

49. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс М.: Наука, 1971.

50. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Случайные поля.- М.: Наука, 1978.- 464с.

51. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1988.

52. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика.- М.: Наука, 1985.

53. Федорюк М.В. Метод перевала. М. : Наука, 1977. 368с.

54. Фейнман Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир, 1968.

55. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии.-М.: Изд-во иностр. лит., 1947 168с.

56. Ширяев А.Н. Вероятность М.: Наука, 1980.

57. Arato М. Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach.- Berlin: Springer-Verlag, 1982. (М.Арато Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход М.: Наука, 1989 - 304с.)

58. Barucha-Reid А.Т. Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications Mc Grow-Hill Company, Inc., 1960. (Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969 - 511 с.)

59. Doob J.L. Stochastic Processes New York: John Wiley & Sons, 1953. (Дуб Дж. Вероятностные процессы.- М.: ИЛ, 1956.)

60. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol.II., 2d ed. New York: John Wiley & Sons. Inc, 1972 - 752 p. (Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2. - М.: Мир, 1984.- 751 с.)

61. Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, 2d ed.- Berlin-Heidelberg-New York: SpringerVerlag, 1985. (К.В.Гардинер Стохастические методы в естественных науках М.: Мир, 1986.)

62. Horsthemke W., Lefever R. Noise-Induced Transitions Berlin: SpringerVerlag, 1984. (Хорстхемке В., Лефевер Р. Индуцированные шумом переходы.- М.: Мир, 1987 - 398с.)

63. Karhunen К. Über Linearen Methoden in der Wahrscheinlichkeit Srechung// Ann. Acad. Sei. Fennicae.- Ser.A 1947 - 1. No.2.

64. Klauder J.R., Sudarshan E.C.G. Fundamentals of Quantum Optics New York: W.A.Benjamin, 1968. (Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики - М.: Мир, 1970 - 299с.)

65. Kuo Hui-Hsiung. Gaussian measures in Banach spaces.- Berlin: SpringerVerlag, 1975. (Го X.-C. Гауссовские меры в банаховых пространствах.-М.: Мир, 1979.- 176с.)

66. Lax M. Fluctuation and Coherence Phenomena in Classical and Quantum Physics.- New York: Gordon & Breach, 1968. (Лэкс M. Флуктуации и когерентные явления.- М.: Мир, 1974.- 299с.)

67. Loéve M. Fonction aléatoires de second ordre// C. R. Acad. Sei 1945. Vol.220, - 1946. Vol.222, -Rev. Sei.- 1945. Vol.83, -1946. Vol. 84.

68. Lukacs E. Characteristic Functions, 2nd ed.- London: Griffin, 1970. (Лу-кач E. Характеристические функции.- M.: Наука, 1979.- 424с.)

69. Mandel L. Progress in Optics, Vol.2, ed. E.Wolf.- Amsterdam: North-Holland, 1963,- 181p.

70. Mandel L. Proc.Phys.Soc. London.- 1958. Vol.72. -P.1037.

71. Perina J. Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena.- Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1984. (Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений.-М.: Мир, 1987.)

72. Perina J. Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena.- Dordrecht: Kluwer, 1992.

73. Ruelle D. Statistical Mechanics, Rigorous Results.- Ney York-Amsterdam: W.A.Benjamin, Inc., 1969. (Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.- М.: Мир, 1971.)

74. Simon В. The Р(<р)г euclidian (quantum) field theory.- Princeton: Princeton University Press, 1974. (Саймон В. Модель P{<p)2 евклидовой квантовой теории поля.- М.: Мир, 1976.)

75. Van Kampen N.G. Stochastic processes in physics and chemistry-Amsterdam: North-Holland, 1984. (Ван Кампен H.Г. Стохастические процессы в физике и химии.- М.: Высшая школа, 1990.)

76. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. Analysis of the probability distribution of photocount number of the onemode stochastic radiation. ArXiv: math-ph/0411025 (2004), (81V80).

77. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. Calculation of the photocount probability Distribution of the onemode stochastic radiation// Functional Materials.- 2005.- Vol.12, No.3 P.416-423.

78. Virchenko Yu.P., Vitokhina N.N. The probabilitiy distribution density of random values of squared functional on Wiener process trajectories. ArXiv: math-ph/0510028 vl.

79. Virchenko Yu.P., Mazmanishvili A.S. Study of statistics of quality control functional in the rough surface treatment theory// Functional Materials.-2004.- Vol.11. No.l P.20-13.

80. Wald A. Sequential Analysis- New York: John Wiley & Sons, Inc. Charman & Hall, Ltd. London, 1947.

81. Вальд А. Последовательный анализ.- M.: Физматгиз, I960).

82. Wiener N. Differential Space// J. Math. Phys.- 1923. No.58 P.131-174.

83. Wiener N. The average value of a functional// Proc. London Math. Soc.-1922. No.22 P.454-467.

84. Whittaker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. т.П.- М.: Физматиздат, 1963)

85. Ziegert A.J.F. A systematic approach to a class of problems in the theory of noise and other random phenomena, part II, examples// Trans. IRE.-1957. V.IT-3.- P.38-44.