Распространение и взаимодействие волн в каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

ДРОЗДОВА Юлия Александровна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В КАНАЛАХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и ал аз мы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени хсандидата физико-математических каук

МОСКВА — 1999

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико - математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В.Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических нате, член-корр. РАН, профессор А. Г. Куликовский

доктор физико-математических наук А. В. Марченко

доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Петров

Ведущая организация: Институт водных проблем РАН

Защита состоится " ЕЯ^рА ^ддд г в час на за_

седании Диссертационного Совета Д.053.05.02 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ^ " г.

Учёный секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических наук,

профессор л В.II. Карликов

\ _К

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Работа посвящена исследованию распространения и нелинейного взаимодействия длинных волн в каналах с неровным дном. Существует много работ, посвященных распространению волн в безграничных бассейнах или на шельфе, Волны в каналах с неровным дном изучены в гораздо меньшей степени. Описание влияния неровности дна, а также отражения от берегов, на распространение и взаимодействие волн представляет интерес как с точки зрения развития общей теории волн, так и с точки зрения приложений.

Цели исследования- Основными целями работы являются вывод уравнений, описывающих длинные поверхностные волны в каналах с учетом дисперсии, и изучение поведения волн с помощью этих уравнений.

Методика исследования базируется на применении уравнений теории мелкой воды и уравнений типа Буссинеска. При этом применяются как аналитические, так и численные методы.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами.

Для длинных волн конечной амплитуды в каналах произвольного сечения предложен способ вывода одномерных уравнений, учитывающих дисперсию волн (уравнения типа Буссинеска). Для ряда конкретных форм поперечного сечения уравнения получены в явном виде.

Предложен способ вывода уравнений Буссинеска для узких по сравнению с глубиной каналов, применимый также для вывода уравнений в приближениях более высокого порядка. Уравнения Буссинеска и уравнения высшего приближения для узких каналов выписаны в явном виде.

Предложена модель типа Буссинеска для описания длинных волн, распространяющихся по текущей жидкости в наклонных каналах, с учетом диссипативных процессов. С помощью этих уравнений исследована устойчивость однородных потоков, а также структура кинематических разрывов.

В рамках теории мелкой воды исследовано распространение поверхностных двумерных волн малой амплитуды в каналах со сложной формой поперечного сечения. Подробно изучены волны в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Показано, что неровность дна приводит к дисперсии волн. В отличие от волн на шельфе спектр волн в канале дискретный. При этом могут распространяться волны, амплитуды которых на мелкой части существенно превышают их амплитуды на глубокой части (захваченные волны).

Изучено нелинейное трехволновое взаимодействие волн малой амплитуды. Показано, что в каналах со ступенчатым профилем дна может существовать резонансное взаимодействие волн с некратными частотами. Показано, что в процессе взаимодействия происходит распад волн высших мод на волны низших мод.

Выведена новая форма двумерных уравнений Буссинеска дм каналов с неровным дном.

Для каналов, глубина которых является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты, найдены и исследованы решения, имеющие вид солитона со следующей за ним системой неодномерных волн малой амплитуды.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена корректностью постановок задач и обоснованностью применяемых математических методов. ■

Практическая значимость работы определяется тем, что изучение волн в каналах важно при прогнозировании процессов переформирования русел, а также при организации береговой защиты.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и получили положительную оценку на научных семинарах кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ, Института механики МГУ, Математического Института РАН, кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ нефти и газа.

Результаты докладывались также на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в

механике сплошных сред " (Москва, 1997), Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 1998), Международная конференция "Математические и численные аспекты распространения волн" (Голден, США, 1998), Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, Великобритания, 1999), Международная конференция "Современные проблемы механики" (Москва, 1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 127 страницах, содержит 1 таблицу, 39 фигур. Список литературы включает 70 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, приведены цели работы, дано краткое описание содержания диссертации.

В первой главе предлагается метод получения одномерных уравнений, описывающих длинные нелинейные волны в каналах произвольного поперечного сечения с учетом поперечного ускорения частиц жидкости (приближение Буссинеека). Для каналов с некоторыми заданными формами поперечного сечения эти уравнения выписаны в явной форме. При выводе уравнений Буссинеска малость амплитуды волны не предполагается. Искомые уравнения являются уравнениями относительно площади живого сечения (или глубины) и средней по сечению продольной скорости потока.

Способ получения уравнений, используемый в этой работе, основан на рассмотрении уравнений Лагранжа для некоторого жидкого объема. При этом используется полученное в работе приближенное выражение для кинетической энергии движения в плоскости поперечного сечения русла. Уравнения Буссинеска выписываются в виде

дв дэи „ . .

ди ди 1 (дРд дРь\

= + (2)

Здесь £ - время; х - координата вдоль оси русла; и - средняя по сечению скорость вдоль русла; з - площадь поперечного сечения потока. Здесь уравнения написаны без учета трения, дно канала считается горизонтальным.

Величина Рд -+- Рь есть деленная на плотность сумма сил давления, действующих на поперечное сечение потока. При вычислении Рд учитывается только гидростатическая часть давления. В теории мелкой воды в правую часть уравнения (2) входит только Рд. Величина Рь определяется добавками к гидростатическому давлению, связанными с учетом поперечного ускорения. Формула для Рь имеет вид

Рь = А^з + А^з2

Для А^б), А-¿(5) в работе выписаны общие формулы, пригодные для русла произвольного поперечного сечения. Их вычисление для конкретных русел связано только с вычислением некоторых известных интегралов по площади поперечного сечения потока. Например, для потока глубиной Л в русле треугольного сечения с углом наклона бортов равным ср, уравнения Буссинеска (1), (2) имеют вид

Эк2 диИ? к2

+ = 0,

— ди - 1 I д

дЬ дх tg

+

дх

Ш I 1 4 ^зtg2v4'l

В этой же главе выводятся уравнения Буссинеска для волн в узких по сравнению с глубиной каналах. В этом случае потенциал скорости представляется в виде

оо

ф = р(х,0+ £ !Р„(а:,*)/»(*)

П=1

Функции /п(^) находятся из рекуррентных соотношений

/п + 1 = ~ / Г / ^/„¿С^7? О ьо

где 6 = - ширина русла на уровне г. Уравнения Буссинеска для рассматриваемых узких каналов записываются в виде

8Н д<рд1х ,&<р дИ &г<р д*<р \ _ л

2 Я„.оЗ,„ 1 /Я2,л\2

Аналогичным способом получены и уравнения следующего приближения, которые также выписываются явно для потоков в руслах с произвольной формой поперечного сечения.

Во второй главе сначала излагаются известные сведения, касающиеся уравнений Сен-Венана и уравнений теории кинематических волн, которые необходимы для дальнейшего изложения. Далее с помощью полученных в первой главе уравнений Буссинеска исследуется устойчивость однородных потоков в наклонных каналах, когда необходим учет трения. В первой части исследования для трения принимаются формулы, используемые в гидравлике, и уравнения Буссинеска записываются в виде

дэ дви п

й+ЛГ = 0 <3>

ди ди I (дР„ дРь\ . ,, ,

ж+'= -Л + ж)+98та~ (4)

а - уклон русла. Показано, что если параметры потока и русла удовлетворяют условию

\а — и| > с

то амплитуды всех малых возмущений растут. Здесь а и и ± с -скорости малых крупномасштабных и мелкомасштабных возмущений

соответственно. При

|а — u| < с

(5)

растут амплитуды возмущений с волновыми числами к, большими ко, где к0 определяется формулой

В общем случае fcg велико, то есть растут амплитуды очень коротких волн. Такие волны не описываются уравнениями, основанными на предположениях мелкой воды, в частности уравнениями Буссинеска, поэтому полученный результат не означает неустойчивости любого однородного потока.

Если поток таков, что \а — и\ меньше с, но близко к с, то величина ко мала, и, следовательно, будут расти и амплитуды длинноволновых возмущений, описываемых уравнениями Буссинеска. Это означает неустойчивость таких потоков. Таким образом, учет дисперсии расширяет границы области неустойчивости в пространстве параметров потока и русла, определяемые теорией мелкой воды (5).

Во второй части исследования дополнительно учитывается вну-

/ \ д2" тт треннее трение: в уравнение (4) добавляется член вида Член

такого вида включался ранее при изучении турбулентных течений. Показано, что при выполнении условия (5) и при ц > , где /xi вычисляется известным образом через параметры потока, поток устойчив. При ¡л < ni растущие возмущения соответствуют к, удовлетворяющим неравенству ¡¿¡j < < |fc2|, причем |/:ii2| > \kQ\. Поэтому при ц < /xi, так же, как при /х = 0 из полученного роста возмущений следует неустойчивость только при малых к\. Величина к\ для заданного потока зависит от величины /л.

В этой же главе изучены бегущие волны в наклонных каналах с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно. Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка.

1/2

В задаче о бегущих волнах рассматриваются решения вида и = и(£), 5 = £ = х — шЬ. Тогда система уравнений Буссинеска может быть записана в форме

з=Уи У[=У2, У2 = Ч>{З,У\1У2),

(6)

где

V =

Я2 ^ ^ дРь дРь (? 2 я

^ - с ] У1 + г? - — - —У2 + - я7У2

К,

К =

С} = (и — ъи)з — соивЬ, Т = дет а — /

Исследование сводится к построению интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки системы (6), соответствующие однородным потокам.

Определены типы особых точек в зависимости от параметров однородных потоков. Указаны в явном виде ситуации, когда при задан-

12 1.1

-3500 -ЗООО -2500 -2003 / Л 500 -1000 -500 ( од

0.7

Фиг. 2:

ном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Примером русла,

где это может иметь место, является русло с сечением в виде изломанного треугольника, то есть русло, уклон бортов которого на некоторой глубине меняется скачком. Показано, что в таком русле могут существовать кинематические волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов соединяют две ближайшие особые точки. Примеры полученных численно решений, представляющих структуру кинематического разрыва в русле с сечением в виде изломанного треугольника, показаны на фиг.1 (волна повышения уровня),

В этой же главе проведено исследование структуры гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых на заднем фронте гидравлического прыжка имеются колебания. Пример структуры гидравлического прыжка в канале с сечением в виде изломанного треугольника показан на фиг.З.

В третьей главе в рамках теории мелкой воды рассматриваются двумерные волны малой амплитуды в широких каналах со сложной формой поперечного сечения, в частности, ступенчатой. Численно и аналитически изучены свойства линейных волн в таких каналах. Показано, что неровность дна приводит к дисперсии волн даже в рамках теории мелкой воды. В частности, для канала со ступенчатым дном (глубина в центральной части равна /г-2, у берегов - Ъ,\ < /г2) дисперсионные кривые имеют вид, показанный на фиг.4. Волны с фазовыми скоростями меньшими, чем \fgfx\-, не могут распространяться в рассматриваемых каналах. Все кривые при кх оо имеют асимптоту и = кху'дИх.

Волны с фазовыми скоростями, большими л/дК[, но меньшими

Фиг. 4: Дисперсионные кривые для симметричных (а) и антисимметричных (б) волн: 1 - линия ш = k!^ghl; 2 - линия uj— кх y/gh-2', п - номер моды

\Jgh-i, обладают таким свойством, что их амплитуда на мелкой части значительно превышает амплитуду волн на глубокой части. В теории волн на шельфе аналогичные волны называются береговыми или захваченными. Изучено поведение групповых скоростей волн сд — du>/dkx. Для волн с фазовыми скоростями, равными >/gh2, групповая скорость, в отличие от волн на шельфе, не равна фазовой. Известно, что группы волн с d2uj jdk\ — 0 затухают медленнее, чем все остальные. Численное исследование дисперсионных кривых для канала со ступенчатым дном показывает, что точки, где cf^cu jdtirx — 0, существуют на всех дисперсионных кривых.

В этой же главе рассмотрено нелинейное трехволновое взаимодействие волн. Проведено подробное исследование трехволнового взаимодействия для канала со ступенчатым профилем дна.

Показано, что в таком канале могут существовать тройки волн с некратными частотами, удовлетворяющие условию резонанса. Уравнения для изменения амплитуд взаимодействующих волн с; имеют вид

= al2clc2cos(x + qvi),

Фиг. 5: Изменение во времени амплитуд взаимодействующих волн с^ с-х, ( из — и, +(¿2); с'ь с-2 при < = О малы, сз велика (а); с\, сз при 1 = 0 малы, С2 велика (б)

— = апс2с.1 соя(х + Чп), ^ = а31С3С1 сой(Х + ?з0 ,

¿X С2С1 С3С2 С3С]

— = -012-нш(х + 912) - «23-йш(х + д2з) ~ «31-$ЩХ + 931)

аъ С3 С\ С2

Здесь а^, амплитуды и фазы коэффициентов связи, определяемые формой канала, а также частотами и длинами взаимодействующих волн. В работе получены явные выражения для коэффициентов связи для канала со ступенчатым дном.

С помощью численного исследования получены следующие выводы о поведении амплитуд волн при их нелинейном взаимодействии.

Взрывная неустойчивость не наблюдается. Амплитуды всех волн изменяются периодически. Знаки коэффициентов а13 различны. Волна, соответствующая ац, знак которого отличается от знаков двух других коэффициентов, является особенной в тройке взаимодействующих волн. Именно, если амплитуды двух волн в начальный момент

много меньше, чем амплитуда третьей волны, то в дальнейшем они существенно растут, если третья волна особенная, и остаются малыми в противоположном случае. Особенной волной является всегда волна с наибольшей частотой.

Таким образом, волна с наибольшей частотой возбуждает волны низших мод (волна накачки), то есть волны с высшими частотами являются распадно неустойчивыми. Этот результат находится в соответствии критерием Хассельмана. Примеры поведения амплитуд взаимодействующих волн показаны на фиг.5.

Таким образом при наличия фонового волнения даже малой амплитуды, волны высших мод, вообще говоря, распадаются на волны более низких мод, передавая им свою энергию. В свою очередь, эти более низкие моды передают свою энергию еще более низким модам. Только волны,соответствующие нулевой и первой нечетной модам, практически не меняют амплитуду при взаимодействии с малыми возмущениями в виде остальных волн. В этом смысле волны высших мод могут быть названы распадно неустойчивыми, а волны, соответствующие нулевой четной и первой нечетной модам - устойчивыми.

В четвертой главе главе рассматриваются нелинейные волны малой амплитуды в широких горизонтальных каналах. Получена но-

вая форма двумерного уравнения Буссинеска, в котором в качестве искомой функции выступает потенциал скорости на невозмущенной поверхности.

Фиг. б:

Но

Фиг. 7:

<?V • (HVip) - iptt = - + gV

-V&ip- + V'faVip)

Рассмотрено распространение солитона вдоль неровности дна в бассейне, имеющем форму канала, то есть при наличии двух берегов. При этом глубина канала является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты (фиг.С), то есть Н = Ho + crh(y), Hq = const, а 1. Изучаемое решение представляется в виде

V — + У). i = x-Ut где (ро соответствует уединенной волне

p — ip^ — /Зсо sech2

lis;«

Выведено уравнение для <р[, решение которого представляется рядом по собственным функциям задачи о распространении малых воз-

в 10 в В)Л в ~

Фиг. 8: 1 - — = 10, 2 - — = 25, 3 - — = 50, 4 - — = МО, 5 ' 7Г = 200> 6 ' Но Но На Н о "о

irmo

мухцений в канале постоянной глубины

оо /717Г \

<р 1 = ап(0 cos (—-у , В — ширина канала п=1 ' В 1

Уравнение для амплитуд с„(£) имеет вид

'-ЩигапШ + - U2 + 2>Up - -zHiU2kl] ani( + 3Udian(-(4 + Up) k2yan -f (l- ~H2Qklj ghnd\ + (h^U2 - hnd, = 0

d\ = d-i = p^f, ky =

П7Г

~B

Это уравнение с использованием условий отсутствия возмущений далеко впереди солитона и ограниченности амплитуд далеко позади ис-

следуется чмсленно. Результат может быть сформулирован следующим образом. Наличие неровности дна и берегов приводит к тому, что в хвостовой части уединенной волны образуется система двумерных синусоидальных волн. Фазовая скорость хвостовых волн в направлении канала совпадает со скоростью солитона, а групповая скорость - меньше скорости солитона. Таким образом неровность дна канала в поперечном направлении и наличие берегов приводят к потере соли-тоном энергии за счет излучения хвостовых волн, и его затуханию.

Исследована зависимость длины и амплитуды излучаемых волн от ширины канала и амплитуды солитона. При увеличении ширины канала или амплитуды солитона длина хвостовых волн увеличивается. Для канала заданной ширины амплитуда хвостовых волн зависит от амплитуды солитона немонотонно, достигая максимума при некотором ее значении.

Вид решения приведен на фиг.7. На фиг.8 приведены графики зависимости амплитуды хвостовых волн от скорости солитона при различных значениях ширины канала.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Выведены одномерные уравнения, приближенно описывающие длинные волны на поверхности идеальной жидкости в каналах произвольного сечения, учитывающие дисперсию волн (уравнения типа Бус-синеска). При выводе этих уравнений малость амплитуды не предполагалась. Для ряда конкретных форм поперечного сечения уравнения получены в явном виде.

2. Предложена модель типа Буссинеска для описания длинных волн, распространяющихся по текущей жидкости в наклонных каналах, с учетом трения.

3. С помощью уравнений этой модели проведено исследование устойчивости однородных течений жидкости в наклонных каналах. Показано, что учет дисперсионных членов приводит к расширению области неустойчивости в пространстве параметров потока.

4. Изучены бегущие волны в канале с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно. Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка. Задача о бегущих волнах сводится к исследованию интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки, соответствующие однородным потокам. Определены типы особых точек в зависимости от параметров потока и скорости волны.

5. Исследованы решения, описывающие структуру кинематических разрывов. Указаны в явном виде ситуации, когда при заданном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Проведено численное исследование структуры кинематических волн в русле с сечением в виде изломанного треугольника. В таком русле могут существовать волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов, соединяют две ближайшие особые точки.

6. Исследована структура гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых гидравлический прыжок имеет колебательную структуру.

7. С использованием уравнений теории мелкой воды исследовано распространение двумерных волн в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Подробно изучены линейные волны в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Найдены зависимости ы(к) для различных типов волн, демонстрирующие нати-чие дисперсии. Выявлены отличия волн в таких каналах от волн на шельфе и от волн в каналах прямоугольного поперечного сечения.

8. Исследовано нелинейное взаимодействие троек волн малой амплитуды в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Показано, что в каналах со ступенчатым профилем дна может существовать резонансное взаимодействие волн с некратными частотами. При этом происходит распад волн высших мод на волны низших мод.

9. Выведена новая форма двумерного уравнения Вуссинеска для канала с неровным дном. Полученное уравнения представляет собой уравнение для потенциала скорости на невозмущенной поверхности.

10. Найдены хвостовые волны, порождаемые движением соли-тона малой амплитуды в канале с неровным дном. Фазовая скорость этих волн совпадает со скоростью солитона, а их групповая скорость меньше скорости солитона. Исследована зависимость длины и амплитуды хвостовых волн от ширины канала, амплитуды солитона и степени неровности дна. Оценены потери энергии солитона, связанные с излучением хвостовых волн.

Работы автора по теме диссертации

1. Дроздова Ю. А. , Куликовский А. Г. Об описании длинных нелинейных волк в каналах // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. N 5. С. 13G - 145.

2. Дроздова К). А. Трехволновое взаимодействие волн в канале со ступенчатым профилем поперечного сечения // Материалы Всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". Москва. 1997. С. 29.

3. Дроздова Ю. А. Гравитационные волны в канале со ступенчатым дном // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 196.

4. Drozdova Julia A. Nonlinear interaction of waves in a channel with a step - wise bottom // Proceedings of the Fourth International Conference

• on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Golden, Colorado, USA, 1998. P. 688- C90.

5. Дроздова Ю. А. Нелинейное взаимодействие волн в каналах. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. N 5. С. 137-144.

6. Drozdova Julia A. Nonlinear interaction of waves in a channel with arbitrary cross-section // Proceedings of the Fourth International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, Scotland, 1999. P. 255.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕ-СКА ДЛЯ КАНАЛОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

1.1 Метод вывода уравнений Буссинеска.

1.1.1 О распределении по сечению скоростей, перпендикулярных оси русла.

1.1.2 Приближенное нахождение (р и Рь, и оценки для этих величин.

1.1.3 Уравнения Буссинеска для некоторых конкретных русел.

1.2 Уравнения Буссинеска для потоков в узких каналах

1.3 Уравнения 2-го приближения для узких каналов.

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ БУССИНЕСКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ И ВОЛН В КАНАЛАХ

2.1 Уравнения Сен-Венана.

2.2 Уравнения в крупномасштабном приближении (теория кинематических волн).

2.2.1 Русло произвольного сечения. Уравнения и условия на разрыве .*.

2.2.2 Русло треугольного сечения.

2.2.3 Русло с сечением в виде изломанного треугольника

2.2.4 Русло с неравномерной шероховатостью бортов

2.3 Устойчивость однородного потока в канале.

2.3.1 Исследование поведения малых возмущений однородного потока с помощью уравнений Буссинеска с гидравлическим трением).

2.3.2 Исследование поведения малых возмущений и вывод условий устойчивости однородного потока с учетом внутреннего трения.

2.3.3 Длины волн растущих возмущений неустойчивого потока.

2.4 Структура кинематического разрыва. Описание с помощью уравнений Буссинеска.

2.4.1 Уравнения, описывающие бегущую волну. Особые точки.

2.4.2 Исследование особых точек системы уравнений Буссинеска

2.4.3 Возможные знаки а, 7 для особых точек, соответствующих устойчивому потоку.

2.4.4 Взаимное расположение особых и критических точек

2.4.5 Исследование поля интегральных кривых

2.4.6 Структура гидравлического прыжка

2.5 Решения, описывающие структуру кинематического разрыва

- 4

2.6 Структура кинематического разрыва в русле с сечением в виде изломанного треугольника.

ГЛАВА III. ДВУМЕРНЫЕ ВОЛНЫ В КАНАЛАХ

3.1 Линейные волны в канале переменной глубины.

3.1.1 Линейные волны в канале со ступенчатым профилем дна.

3.2 Нелинейное взаимодействие волн в каналах.

3.2.1 Нелинейное взаимодействие волн в канале со ступенчатым дном.

ГЛАВА IV. СОЛИТОН В КАНАЛЕ С НЕРОВНЫМ ДНОМ 98 •

4.1 Двумерные уравнения Буссинеска.

4.2 Солитон в канале с неровным дном.

Работа посвящена описанию длинных линейных и нелинейных волн в каналах произвольного поперечного сечения. Предполагается , что характерный масштаб движения вдоль дна канала / много больше характерной глубины потока К. Используются уравнения теории мелкой К воды, а также уравнения следующего приближения по — - уравнения I типа Буссинеска [38]. Способ вывода таких уравнений для каналов произвольного сечения предложен в этой работе.

Имеется много работ, посвященных длинным волнам в неограниченном бассейне, на шельфе, а также в каналах прямоугольного сечения с постоянной глубиной или глубиной, меняющейся в зависимости только от координаты вдоль канала [22, 25, 29, 30, 37, 44, 45, 46, 52, 62, 70]. Описанию длинных волн в каналах произвольного поперечного сечения посвящено значительно меньше работ [22, 43, 47, 63, 64, 68].

Поперечный рельеф дна существенно влияет на процесс распространения волн в мелких каналах. В каналах непрямоугольного сечения появляются качественно новые особенности процесса распространения волн по сравнению с волнами в каналах прямоугольного сечения. Приведем два примера. Известно, что для некоторых форм поперечного сечения в канале могут существовать прыжки понижения уровня [33], в то время, как в прямоугольном канале возможны только прыжки повышения уровня. Волны в прямоугольном канале, которые описываются уравнениями теории мелкой воды, не обладают дисперсией. Если же сечение не прямоугольное, а, например, ступенчатое, то, как следует, в частности, из результатов этой работы, даже в рамках теории мелкой воды возникает дисперсия волн.

Описание влияния неровности дна, а также отражения от берегов, на распространение и взаимодействие волн представляет интерес как с точки зрения развития общей теории волн, так и с точки зрения приложений.

Содержание диссертации можно разбить на две части. В первой части (главы 1,11) рассмотрены относительно узкие каналы при условиях т «1 ^ т « 1 (2> где /, И, Ъ - типичные длина волны, глубина и ширина потока соответственно. При этом отдельно изучались каналы с & ~ /г и & < /1. При выполнении условия (2) естественно вводить среднюю по сечению скорость вдоль канала и изучать зависимость этой средней скорости, а также площади живого сечения потока, от продольной координаты х и времени t. Таким образом при условиях (1), (2) получается квазиодномерная задача.

Во второй части работы (главы III, IV) изучаются волны в относительно широких каналах, для которых выполнено условие (1) и Ъ к. В этом случае задача получается двумерной, в уравнения входит средняя по глубине скорость с компонентами как вдоль, так и поперек канала, зависящими как от продольной координаты х, так и от поперечной координаты у.

В первой главе предлагается метод получения одномерных уравнений, описывающих длинные нелинейные волны в каналах произвольного поперечного сечения с учетом поперечного ускорения частиц жидкости (приближение Буссинеска). Для каналов с некоторыми заданными формами поперечного сечения эти уравнения выписаны в явной форме. При выводе уравнений Буссинеска малость амплитуды волны не предполагается. Получаемые уравнения являются уравнениями относительно площади живого сечения (или глубины) и средней по сечению продольной скорости потока. Способ получения уравнений, примененный в этой работе, основан на рассмотрении уравнений Лагранжа для некоторого жидкого объема. При этом используется полученное в работе приближенное выражение для кинетической энергии движения в плоскости поперечного сечения русла. Получение явного вида уравнений для конкретных русел связано только с вычислением некоторых известных интегралов по площади поперечного сечения потока.

В этой же главе выводятся уравнения Буссинеска для волн в узких по сравнению с глубиной каналах. Уравнения Буссинеска и уравнения следующего приближения для рассматриваемых узких каналов записываются в явном виде для потоков в руслах с произвольной формой поперечного сечения.

Во второй главе сначала излагаются известные сведения, касающиеся уравнений Сен-Венана и уравнений теории кинематических волн, которые необходимы для дальнейшего изложения. Далее с помощью полученных в первой главе уравнений Буссинеска исследуется устойчивость однородных потоков в наклонных каналах; при этом необходим учет трения. В первой части исследования для трения принимаются формулы, используемые в гидравлике. Показано, что если параметры потока и русла удовлетворяют условию а — и\ > с, то амплитуды всех малых возмущений растут. Здесь а и и ± с - скорости малых крупномасштабных и мелкомасштабных возмущений соответственно, и - скорость однородного потока. При \а — и\ < с растут амплитуды возмущений с волновыми числами к, большими ко. где ко определяется формой русла и параметрами исследуемого однородного потока. В общем случае fco велико, то есть растут амплитуды очень коротких волн. Такие волны не описываются уравнениями, основанными на предположениях мелкой воды, в частности уравнениями Буссинеска, поэтому полученный результат не означает неустойчивости любого однородного потока. Если поток таков, что \а — и\ меньше с, но близко к с, то величина ко мала, и, следовательно, будут расти и амплитуды длинноволновых возмущений, описываемых уравнениями Буссинеска. Это означает неустойчивость таких потоков. Таким образом, учет дисперсии расширяет границы области неустойчивости в пространстве параметров потока и русла, определяемые теорией мелкой воды.

Во второй части исследования дополнительно учитывается внутренд^и нее трение: в уравнение Буссинеска добавляется член вида 2 • Член такого вида включался ранее при изучении турбулентных течений. Показано, что при выполнении условия \а — и\ < с и при \± > ¿¿i, где ¡j,\ вычисляется известным образом через параметры потока, поток устойчив. При \а — < с ц < (ii растущие возмущения соответствуют волновым числам к, удовлетворяющим неравенству |fci| < |fc| < |&2|, причем |/сх,21 > N. Поэтому при /i < /ii, так же, как при /л = 0 из полученного роста возмущений следует неустойчивость только при малых к\. Величина к\ для заданного потока зависит от величины /л.

В этой же главе изучены бегущие волны в наклонных каналах с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно.

Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка.

В задаче о бегущих волнах рассматриваются решения вида и = 5 = £ = х — изЬ. Исследование сводится к построению интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки, соответствующие однородным потокам. Определены типы особых точек в зависимости от параметров однородных потоков. Указаны в явном виде ситуации, когда при заданном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Примером русла, где это может иметь место, является русло с сечением в виде изломанного треугольника, то есть русло, уклон бортов которого на некоторой глубине меняется скачком. Показано, что в таком русле могут существовать бегущие волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов, соединяют две ближайшие особые точки. Приведены примеры полученных численно решений, представляющих структуру кинематического разрыва в русле с сечением в виде изломанного треугольника.

В этой же главе проведено исследование структуры гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых на заднем фронте гидравлического прыжка имеются колебания. Приведены примеры полученных численно решений структуры гидравлического прыжка в канале с сечением в виде изломанного треугольника.

В третьей главе в рамках теории мелкой воды рассматриваются двумерные волны малой амплитуды в широких каналах со сложной формой поперечного сечения, в частности, ступенчатой. Численно и аналитически изучены свойства линейных волн в таких каналах. Показано, что неровность дна приводит к дисперсии волн даже в рамках теории мелкой воды. Исследованы волны в канале со ступенчатым дном (глубина в центральной части равна /12, у берегов - Н\ < Н^). Получены дисперсионные соотношения. Описаны свойства линейных волн. Волны с фазовыми скоростями, большими \fghi, но меньшими л/дк2, обладают таким свойством, что их амплитуда на мелкой части значительно превышает амплитуду волн на глубокой части. В теории волн на шельфе аналогичные волны называются береговыми или захваченными. Изучено поведение групповых скоростей волн сд — <1и/(1кх. Для волн с фазовыми скоростями, равными у/дЬ,^ групповая скорость, в отличие от волн на шельфе, не равна фазовой. Известно , что группы волн с — 0 затухают медленнее, чем все остальные. Численное исследование дисперсионных кривых для канала со ступенчатым дном показывает, что точки, где ¿2и/(1к1 = 0, существуют на всех дисперсионных кривых.

В этой же главе рассмотрено нелинейное трехволновое взаимодействие волн. Проведено подробное исследование трехволнового взаимодействия для канала со ступенчатым профилем дна. Показано, что в таком канале могут существовать тройки волн с некратными частотами, удовлетворяющие условию резонанса. Получены явные выражения для коэффициентов уравнений, описывающих трехволновое взаимодействие в канале со ступенчатым дном.

С помощью численного исследования получены следующие выводы о поведении амплитуд волн при их нелинейном взаимодействии.

Взрывная неустойчивость не наблюдается. Амплитуды всех волн изменяются периодически. Волна с наибольшей частотой возбуждает волны низших мод (волна накачки), то есть волны с высшими частотами являются распадно неустойчивыми. Таким образом при наличии фонового волнения далее малой амплитуды, волны высших мод, вообще говоря, распадаются на волны более низких мод, передавая им свою энергию. В свою очередь, эти более низкие моды передают свою энергию еще более низким модам. Только волны, соответствующие нулевой и первой нечетной модам, практически не меняют амплитуду при взаимодействии с малыми возмущениями в виде остальных волн. В этом смысле волны высших мод могут быть названы распадно неустойчивыми, а волны, соответствующие нулевой четной и первой нечетной модам - устойчивыми.

В четвертой главе рассматриваются нелинейные волны малой амплитуды в широких горизонтальных каналах. Получена новая форма двумерного уравнения Буссинеска, в котором в качестве искомой функции выступает потенциал скорости на невозмущенной поверхности. Рассмотрено распространение солитона вдоль неровности дна в бассейне, имеющем форму канала, то есть при наличии двух берегов. При этом глубина канала является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты то есть Н = Hq + ah(y), Щ = const, <j < 1.

Наличие неровности дна и берегов приводит к тому, что в хвостовой части уединенной волны образуется система двумерных синусоидальных волн. Фазовая скорость хвостовых волн в направлении канала совпадает со скоростью солитона, а групповая скорость - меньше скорости солитона. Таким образом неровность дна канала в поперечном

- 12 направлении и наличие берегов приводят к потере солитоном энергии за счет излучения хвостовых волн, и его затуханию.

Исследована зависимость длины и амплитуды излучаемых волн от ширины канала и амплитуды солитона. При увеличении ширины канала или амплитуды солитона длина хвостовых волн увеличивается. Для канала заданной ширины амплитуда хвостовых волн зависит от амплитуды солитона немонотонно, достигая максимума при некотором ее значении.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Выведены одномерные уравнения, приближенно описывающие длинные волны на поверхности идеальной жидкости в каналах произвольного сечения, учитывающие дисперсию волн (уравнения типа Бусси-неска). При выводе этих уравнений малость амплитуды не предполагалась. Для ряда конкретных форм поперечного сечения уравнения получены в явном виде.

2. Предложена модель типа Буссинеска для описания длинных волн, распространяющихся по текущей жидкости в наклонных каналах, с учетом трения.

3. С помощью уравнений этой модели проведено исследование устойчивости однородных течений жидкости в наклонных каналах. Показано, что учет дисперсионных членов приводит к расширению области неустойчивости в пространстве параметров потока.

4. Изучены бегущие волны в канале с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно. Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка. Задача о бегущих волнах сводится к исследованию интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки, соответствующие однородным потокам. Определены типы особых точек в зависимости от параметров потока и скорости волны.

5. Исследованы решения, описывающие структуру кинематических разрывов. Указаны в явном виде ситуации, когда при заданном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Проведено численное исследование структуры кинематических волн в русле с сечением в виде изломанного треугольника. В таком русле могут существовать волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов, соединяют две ближайшие особые точки.

6. Исследована структура гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых гидравлический прыжок имеет колебательную структуру.

7. С использованием уравнений теории мелкой воды исследовано распространение двумерных волн в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Подробно изучены линейные волны в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Найдены зависимости и (к) для различных типов волн, демонстрирующие наличие дисперсии. Выявлены отличия волн в таких каналах от волн на шельфе и от волн в каналах прямоугольного поперечного сечения.

8. Исследовано нелинейное взаимодействие троек волн малой амплитуды в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Показано, что в каналах со ступенчатым профилем дна может существовать резонансное взаимодействие волн с некратными частотами. При этом происходит распад волн высших мод на волны низших мод.

9. Выведена новая форма двумерного уравнения Буссинеска для канала с неровным дном. Полученное уравнения представляет собой уравнение для потенциала скорости на невозмущенной поверхности.

- 119

10. Найдены хвостовые волны, порождаемые движением солитона малой амплитуды в канале с неровным дном. Фазовая скорость этих волн совпадает со скоростью солитона, а их групповая скорость меньше скорости солитона. Исследована зависимость длины и амплитуды хвостовых волн от ширины канала, амплитуды солитона и степени неровности дна. Оценены потери энергии солитона, связанные с излучением хвостовых волн.

1. Агроскин И. И., Дмитриев Г. Т., Пикалов Ф. И. Гидравлика. М. -Л. , М.-Л.: Энергия, 1964.

2. Бахолдин И. Б. Разрыв переменных, характеризующих распространение уединенных волн в слое жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 3. С. 87-93.

3. Биченков Е. И., Гарипов Р. М. Распространение волн на поверхности тяжелой жидкости в бассейне с неровным дном. // ПМТФ. 1969 N 2. С. 21-26.

4. Вильхельмссон X., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. М.: Энергоиздат, 1981. 223 с.

5. Гарипов Р. М. Неустановившиеся волны над подводным хребтом // ДАН СССР. 1965. Т. 161. N 3. С. 547-550.

6. Гарипов Р. М. Об асимптотике волн в жидкости конечной глубины,вызванных произвольным начальным возвышением свободной поверхности // ДАН СССР. 1962. Т. 147. N 6. С. 1306-1309.

7. Грушевский М. С. Волны попусков и паводков в реках. Л.: Гидро-метеоиздат, 1969.

8. Дроздова Ю. А. , Куликовский А. Г. Об описании длинных нелинейных волн в каналах // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. N 5. С. 136 145.

9. Дроздова Ю. А. Трехволновое взаимодействие волн в канале со ступенчатым профилем поперечного сечения // Материалы Всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". Москва. 1997. С. 29.

10. Дроздова Ю. А. Гравитационные волны в канале со ступенчатым дном // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С.196.

11. Дроздова Ю. А. Нелинейное взаимодействие волн в каналах. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. N5. С. 137-144.

12. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. Т. 167 N11. С. 1137-1167.

13. Каган Б. А. Гидродинамические модели приливных движений в море. Л.:Гидрометеоиздат, 1968. 220 с.

14. Караушев A.B. Речная гидравлика. Л.гГидрометеоиздат, 1969.

15. Кучмент JI. С. , Демидов В. Н., Мотовилов Ю. Г. Формирование речного стока. Физико математические модели. М.:Наука, 1983.

16. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 598 с.

17. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации // ПММ. 1968. Т.32. Вып. 6. С. 1125-1131. С. 1349-1352.

18. Куликовский А. Г. Реутов В. А. Распространение нелинейных волн над полубесконечными подводными впадинами и хребтами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. N 2. С. 53-61.

19. Куликовский А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов// ДАН СССР. 1984. Т. 275 N 6. С. 1349-1352

20. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 261-291.21 22 [23242829 30

21. Лакомб А. Физическая океанография. М.:Мир, 1974. 495 с.

22. Ламб Г. Гидродинамика. М.:Гостехиздат, 1947. 928 с.

23. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 351 с.

24. Марченко А. В. Резонансные взаимодействия волн в ледовом канале. // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 6. С. 963-974.

25. Рабинович А. Б. Длинные гравитационные волны в океане. СПб.: Гидрометеоиздат, 1993. 325 с.

26. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

27. Селезов И. Т. Распространение нелинейных неустановившихся поверхностных гравитационных волн над неровныы дном // Прикладная гидромеханика. 1999. Т. 1. С. 102-109.

28. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

29. Стокер Д. Д. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 617 с. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

30. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965. 238 с.

31. Христианович С. А. Неустановившееся движение в реках и каналах // Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.:Изд-во АН СССР, 1938.

32. Эглит М.Э. Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. М.: Изд-во МГУ, 1986. 95 с.

33. Ball F. К. Energy transfer between external and internal gravity waves// J. Fluid Mech. 1964. V. 19. Pt 3. P.465-478.

34. Benilov E. S. On the surface waves in a shallow channel with an uneven bottom // Studies in Appl. Math. 1992. V. 87. P. 1-14.

35. Bretherton F. P. Resonant interactions between waves. The case of discrete oscillations// J.Fluid Mech. 1964. V. 20. Pt 3. P. 457-479.

36. Bona J. L. , Chen M. A Boussinesq system for two-way propagation of nonlinear dispersiv waves // Phisica D Nonlinear Phenomena. 1998. V. 116. P. 191-224.

37. Craik A. D. Wave interactions and fluid flows. N. Y.:Cambridge Univ. Press, 1985. 322 p.

38. Davis R.E., Acrivos A. The stability of oscillatory internal waves. // J.Fluid Mech. 1967. V. 30. Pt 4. P. 723-736.

39. Drozdova Julia A. Nonlinear interaction of waves in a channel with a step wise bottom // Proceedings of the Fourth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Golden, Colorado, USA, 1998. P.688- 690.

40. Drozdova Julia Nonlinear interaction of waves in a channel with arbitrary cross-section // Proceedings of the Fourth International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, Scotland, 1999. P. 255.

41. Fenton J. D. Cnoidal waves and bores in uniform channels of arbitrary cross-section //J. Fluid Mech. 1973. V. 58 Pt 3. P. 417-424.

42. Grimshaw R. The solitary wave in water of variable depth // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. Pt 3. P. 639-656.

43. Grimshaw R. The solitary wave in water of variable depth Pt 2. // J. Fluid Mech. 1971. V. 46. Pt 3. P. 611-622.

44. Grimshaw R. Nonlinear aspects of long shelf waves// Geophys. Astro-phys. Fluid Dynamics. 1977. V. 8 P. 3-16.

45. Groves M. D. Hamiltonian long wave theory for water waves in a channel // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1994. V. 47. Pt 3. P. 367-404.

46. Groves M. D. Theoretical aspects of gravity-capillary waves in non-rectangular channels //J. Fluid Mech. 1995. V. 290. P. 377-404.

47. Hasselmann K. A criterion for nonlinear wave stability. // J.Fluid Mech. 1967. V. 30. Pt 4. P. 737-739.

48. Johnson R. S. A two-dimentional Boussinesq equation for water waves and some of its solutions //J. Fluid Mech. 1996. V. 323. P. 65-78 .

49. Kaup D. J. The three-wave interaction a nondispersive phenomenon // Studies in Appl. Math. 1976. V. 55. N1. P. 9-44.

50. Korteweg D. G., De Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel and on a new type of long stationary waves // Philos. Mag. 1895. V. 39. P. 422-443.

51. Longguet-Higgins M. S., Phillips O. M. Phase velocity effects in tertiary wave interaction // J. Fluid Mech. 1962. V.12. P. 333-336.

52. Madsen P. A., Sorensen O. R. Bound waves and triad interaction in shallow water // Ocean Engng. 1993. V. 20. N 4. P. 359-388.

53. Martin S., Simmons W., Wusch C. The excitation of resonant triads by single internal waves //J. Fluid. Mech. 1972. V. 53. Pt 1. P. 17-44.

54. Mathew J., Akylas T. R. On three-dimentional long water waves in a channel with sloping sidewalls //J. Fluid Mech. 1990. V. 215. P. 289-307.

55. Miles J. W. Surface wave scattering matrix for a shelf // J. Fluid Mech. 1967. V. 28. Pt 4 P. 755-767.

56. Miles J. On gravity-wave scattering by non-secular changes in depth // J. Fluid Mech. 1998. Y. 376. P. 53-60.

57. Mei C. C., Le Mehaute B. Note on the equations of long waves over an uneven bottom // J. Geophys. Res. 1966. V. 71. P. 393-400.

58. Mei C. C., Unluata U. Harmonic generation in shallow water waves//Waves on Beaches. N. Y.: Academic Press, 1972. P. 181-202.

59. Mei C. C. The applied dynamics of ocean surface waves. Singapore: World Scientific, 1989. 740 p.

60. Peregrine D. H. Long waves on a beach// J. Fluid Mech. 1967. V. 27. Pt. 4. P. 815-827.

61. Peregrine D. H. Long waves in a uniform channel of arbitrary cross-section// J. Fluid Mech. 1968. V. 32. Pt 2. P. 353-365.

62. Peregrine D. H. "Solytary waves in trapezoidal channels"// J- Fluid Mech. 1969. V. 35. Pt 1. P. 1-6.

63. Peregrine D. H. Interaction of water waves and currents //J. Adv. Appl. Mech. 1976. V. 16. P. 10-117.

64. Shi A. ,Teng M. H. , WTu T. Y. Propagation of solitary waves through significantly curved shallow water channel //J. Fluid Mech. 1998. V. 362. P. 157-176.

65. Smith R. Nonlinear Kelvin and continental-shelf waves// J. Fluid Mech. 1972. V. 52. Pt 2. P. 379-391.

66. Teng M. H. , Wu T. Y. Nonlinear water waves in channels of arbitrary shape // J. Fluid. Mech. 1992. V. 242. P. 211-233.

67. Teng M. H. , Wu T. Y. Evolution of long water waves in variable channels // J. Fluid Mech. 1994. V. 266. P. 303-317.