Распространение померона в ядре и петлевые вклады в амплитуду рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

005005633

На правах рукописи $

ТАРАСОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОМЕРОНА В ЯДРЕ И ПЕТЛЕВЫЕ ВКЛАДЫ В АМПЛИТУДУ РАССЕЯНИЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

Санкт-Петербург 2011

005005633

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Браун Михаил Александрович зав. каф. Физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Рыскин Михаил Григорьевич старший научный сотрудник, ПИЯФ им. Б.П. Константинова

доктор физ.-мат. наук Боресков Константин Георгиевич ведущий научный сотрудник, ИТЭФ им. А.И. Алиханова

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

Политехнический университет

Защита состоится г2А ^.нее^пЪС._2011 года в 15 часов 00 минут на

заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан___2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м.н. Аксенова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование петлевых вкладов померона в амплитуду рассеяния имеет большое значение при изучении реакций адрон-ядерного рассеяния. В настоящий момент эти процессы довольно подробно изучены на древесном уровне. Хорошо известное уравнение Балитского-Ковчегова (БК) суммирует все веерные диаграммы БФКЛ (Балитский-Фадин-Кураев-Липатов) померона. Для больших ядер решение этого уравнения дает основной вклад в амплитуду рассеяния. Однако при очень больших энергиях это уже не так, и в процессе рассеяния начинают играть роль петлевые вклады, которые необходимо найти. Основная проблема здесь связана с тем, что вследствие экспоненциального роста пропагатора померона не работает пертурбативный метод решения задачи. Для того, чтобы получить правильный ответ, строго говоря, следует просуммировать петлевые вклады во всех порядках теории возмущения. В последнее время было сделано несколько попыток сделать это в рамках так называемой реакционно-диффузионной модели, которая имеет аналогию со статистической физикой. К сожалению, конкретные результаты удалось получить только при очень грубых приближениях для взаимодействия БФКЛ померона и стохастического шума в статистической формулировке. Выводы разных групп противоречат друг другу и неполны. В диссертации предложен новый метод вычисления петлевого вклада померона, который позволяет остаться в рамках теории возмущения. Для этого автор предлагает учесть тот факт, что при адрон-ядерном рассеянии померон распространяется не в вакууме, а в поле массивной ядерной мишени. Оказывается, что если учесть взаимодействие с ядром, то пропагатор померона эффективно убывает с ростом быстроты и пертурбативный подход начинает работать. Это интересное явление открывает новые возможности для изучения реакций рассеяния при высоких энергиях. Справедливость метода рассматривается на примере двух моделей: локальной Реджеонной теории поля и модели нелокального БФКЛ померона, которая была получена в рамках пертурбативной квантовой хромодинамики (КХД).

Цель работы. Основной целью диссертации является исследование распространения померона (локальный и нелокальный случай) в поле ядра, а также расчет простейших петлевых поправок в Реджеонной теории поля.

Методы исследования. В диссертации задача рассматривается в рамках эффективных теорий поля. Для локального померона в случае бесконечного равномерного распределения ядерной материи решение получается с помощью точных аналитических вычислений. Для случая реального ядра используется квази-локальное приближение, которое соответствует малому наклону померонной траектории. Петлевой вклад удается получить в результате прямых расчетов. Для более сложной задачи с нелокальным БФКЛ помероном основной метод состоит в исследовании уравнений на пропагатор и внешнее поле с помощью численных методов.

Основные результаты.

1. Проведено полное теоретическое обоснование предложенного метода для локальной Реджеонной теории поля при постоянной функции плотности ядерной материи. Получено выражение для простейших петель померона.

2. Проведено полное теоретическое обоснование предложенного метода для локальной Реджеонной теории поля для случая реального ядра в квазилокальном приближении при малом наклоне померенной траектории. Получено выражение для простейших петель.

3. Получено численное решение уравнения для свернутого пропагатора нелокального БФКЛ померона во внешнем поле ядра. Показано, что при начальных условиях достаточно общего вида этот пропагатор убывает с ростом быстроты.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Достоверность полученных результатов обоснована строгостью математических выкладок и корректностью численного анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Практическая значимость работы вытекает из того, что в ней предложен и обоснован оригинальный метод вычисления петлевых поправок. В диссертации это было сделано на примере локального померона, для которого удалось найти выражение для простейших петель. В более общем плане, работа может стать основой для построения численных алгоритмов и приближенных схем вычисления петель нелокального БФКЛ померона. С теоретической точки зрения, впервые удалось обнаружить замечательное свойство сверхкритического померона эффективно переходить в подкритическое состояние во внешнем поле ядра. Также следует отметить, что в настоящий момент на основе КХД удалось построить несколько приближений, которые описывают реакции адрон (ядро)-ядерного рассеяния. Формализм этих моделей сильно отличается друг от друга, поэтому считается верным тот результат, который удалось получить независимо в каждом из этих подходов. Примером может служить уравнение Балитского-Ковчегова, которое суммирует все диаграммы древесного типа. Для петлевого вклада в амплитуду рассеяния такой результат еще не получен. В этом смысле предложенный в диссертации метод имеет большое значение, так как предлагает независимую схему расчетов, результаты которых можно будет сравнить с результатами, которые будут получены в рамках других подходов.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры Физики высоких энергий и элементарных частиц Физического факультета СПбГУ, на семинарах отделения теоретической физики университета г. Лунда (Швеция) и на трех международных конференциях: в Испании («Low-Х workshop - 2011»), Португалии («QCD at High Density and High Energy - 2010») и Израиле («Seminar at Tel-Aviv University (Levin's 70th birthday) - 2011»),

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4]. Личный вклад соискателя составляет в среднем 60%.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Объем работы 108 страниц. Диссертация содержит 26 рисунков. Список литературы состоит из 136 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность темы исследования. Сформулированы основные проблемы. Дано описание предложенных методов решения. Приводится общая структура работы с кратким содержанием ее глав.

Первая глава является обзорной. В ней содержатся общие сведения об области изучения и месте настоящей работы в потоке исследований.

Теория комплексного углового момента описывает рассеяние при больших энергиях в системе центра масс в кинематике Редже в » |£| исходя из общих свойств 5 -матрицы. До появления КХД она была фактически единственной теорией сильного взаимодействия, а на ее основе удалось построить эффективную модель (Реджеонную теорию поля), которая, будучи феноменологической по своей сути, довольно хорошо описывает экспериментальные данные.

Свойства Реджеонной теории поля со сверхкритическим помероном, для которого интерсепт оо = 1 + с > 1 , удается исследовать только в рамках определенных приближений, при этом результаты часто противоречат друг другу. Один из способов решить эту проблему состоит в том, чтобы исследовать структуру теории для случая адрон-ядерного рассеяния. До сих пор этот анализ сделан только на древесном уровне.

Можно показать, что древесные диаграммы дают основной вклад в амплитуду при энергиях, которые удовлетворяют условию АЛ1/3 ехр(еу) ~ 1, в котором А - константа связи трехпомеронного взаимодействия. При больших быстротах у петлевые диаграммы уже нельзя отбрасывать и следует понять их роль в поведении амплитуды рассеяния. Основная сложность здесь связана с тем, что из-за экспоненциального вида пропагатора померона растут и дают существенный вклад петли всех порядков, поэтому в общем случае пертурбативный подход для решения этой задачи не подходит.

Известно, что моделью померона в КХД в приближении главного логарифма является сумма лестничных диаграмм с эффективными вершинами и реджеизованными глюонами в качестве вертикальных линий, вдоль которых не происходит передача цвета. Для этого померона можно построить аналог Реджеонной теории поля. В такой эффективной теории поля сильное взаимодействие при высоких энергиях можно описать как обмен БФКЛ померонами, которые взаимодействуют через свое слияние и расщепление. Для

случая адрон-ядерных реакций рассеяния соответствующие древесные (веерные) диаграммы можно просуммировать в квази-классическом приближении с помощью уравнения эволюции БК.

Однако этот подход содержит в себе ряд допущений. Во-первых, речь идет о модели с бесконечно большим количеством цветов ЛГС . Во-вторых, предполагается, что константа связи КХД а3 есть фиксированная малая величина. И в-третьих, что особенно важно, петлевые диаграммы в данном приближении не рассматриваются. Однако с ростом быстроты у петлевой вклад растет и его необходимо учитывать несмотря на то, что вклад древесных диаграмм эффективно усилен большим множителем 41/3. Здесь мы имеем полную аналогию с Реджеонной теорией поля.

В последнее время было сделано несколько попыток выйти за рамки древесного приближения, однако результаты носят весьма предварительный характер. Таким образом, расчет петлевого вклада БФКЛ померона представляет открытую и нетривиальную проблему КХД.

Во второй главе исследуются петли в Реджеонной теории поля для адрон-ядерного рассеяния при бесконечном равномерном распределении ядерной материи.

Рассмотрим локальную Реджеонную теорию поля (ЛРТП) в терминах двух померонных полей ф(у,Ь) и Ь) , зависящих от быстроты у и прицельного параметра Ь, и плотностью лагранжиана

С = <рЗф + \ф*ф{ф + ф*)+дрф. (1)

В свободную часть лагранжиана входит оператор

+ (2)

где а' - наклон померонной траектории, а е - интерсепт без единицы.

Будем рассматривать сверхкритический померон, для которого е > 0 и А<0.

Внешний источник/о описывает взаимодействие померона с ядром и имеет вид р — АТ(Ь)5(у), где А - число нуклонов (массовое число), а Т(Ь) -профильная функция ядра.

Сумма всех древесных диаграмм соответствует классическим уравнениям движения. Решение этих уравнений хорошо известно. Для поля ф* обозначим его как £(у,Ь\аф = 0.

Для того чтобы выйти за рамки древесного приближения, рассмотрим структуру модели в окружении ядерной материи. Для этого сделаем сдвиг в поле ф* следующим образом:

ФЧу,Ь) = Ф\{У,Ь) + £(У,Ь). (3)

и перепишем лагранжиан ЛРТП в терминах ф и нового поля ф\. В результате, плотность лагранжиана принимает вид:

С = ф\ (5 + 2А С)Ф + ЧФ2 + Ч\Ф{Ф\ + Ф). (4)

Эта плотность соответствует теории в вакууме с пропагатором померона во внешнем поле/(у, Ь) = 2\£(у,Ь) . Теория содержит как стандартное трехпомеронное взаимодействие, так и дополнительное, которое определяет член А£ф2. Этот новый тип взаимодействия можно описать как переход пары померонов в вакуум в точке (у, Ь) с вершиной АЬ).

Если говорить о петлевом вкладе в функцию Грина, то он может быть образован как стандартным, так и новым типом взаимодействия. В последнем случае в выражение также входят по крайней мере две вершины стандартного типа (вершины трехпомеронного взаимодействия). Простейшие диаграммы с петлями для функции Грина приведены на Рис. 1.

Подчеркнем, что петли в новой модели образует функция Грина С^р (у, Ь\у', Ь'), в которой поле померона взаимодействует с внешним полем /.

Эта функция удовлетворяет уравнению

¿сЧ\уЪ\у',У) = (е + ь') + /(2/, Ь)С(р(у, ь\у\ Ь') (5)

¿у 1 1

с ¿-образным начальным условием.

В общем случае, решение (5) (как и внешнее поле /(у, Ь)) можно найти

только численно. Аналитическое решение (5) можно найти, если профильная функция ядра постоянна во всем поперечном пространстве. В этом случае классическое решение £ и внешнее поле / = 2А£ не зависят от 6, а решение (5) в импульсном пространстве имеет вид

С?4у,у\к) = е(у-у'^2^. (6)

Здесь р{у) = 1 + а(ехр(еу) - 1) и а = -ХдАТ(Ь)/е > 0. Пропагатор померона в поле ядра (6) убывает при росте быстроты у.

С помощью (6) легко найти вклад простейшей петли (Рис. 1а) в поле ядра в функцию Грина

С?)(у,0,к) = !йу^у2С^){у,уът1{у1,у2,к)С{р{у2М, (7)

где функцию Грина определяет выражение (6), а£х есть

перенормированная собственная масса померона в поле ядра во втором порядке теории возмущения. В работе был найден явный вид £1, который зависит от

7

о

а Ь е й

Рис. 1. Простейшие диаграммы для функции Грина померона в поле ядра, содержащие петли

произвольной конечной константа перенормировки сд . В результате, не представляет труда найти <3^ (т/,0, к).

Как было отмечено выше, для модели в поле ядра существует новый вид взаимодействия в виде аннигиляции двух померонов в вакуум. Он приводит к дополнительному типу петли, который показан на Рис. 1Ь. Формально такая петля имеет порядок X3, однако новое взаимодействие пропорционально АТ{Ь).

Этот множитель в комбинации с Л дает характеристический параметр а , который нельзя считать малой величиной. Таким образом мы получаем, что петля с новым типом взаимодействия имеет тот же порядок, что и простейшая петля (Рис. 1а).

Вклад в собственную массу померона нового типа петли имеет вид

/»Уз л »2 г

с® (У2,Уик1)С{р (г/з, 2/1, (г/1). (8)

Явный вид £2 легко найти с помощью (6) и функции £. Оказывается, что выражение Ег конечно, и, следовательно, перенормировка петли с вершиной аннигиляции не требуется.

С помощью Ех и Е2 легко найти вид петлевого вклада в амплитуду адрон-ядерного рассеяния. Амплитуда рассеяния вперед во втором порядке теории возмущения

т^2)(у) = I «/ух^г/гС/ (у, уь 0) Е! (г/1, г/2,0)Г(0) (г/2, Ь). (9)

Здесь Т^ - амплитуда в низшем порядке теории возмущения для модели конечного ядра с равномерным распределением ядерной материи. Прямой расчет позволяет найти явный вид Т^ (у).

8

Аналогичным образом можно рассмотреть полную амплитуду рассеяния вперед в третьем порядке теории возмущения:

тм(у) = *я2а I <1у2с1тСг(у,у2,0)Е2(у2,Уз,0)Т(0\у3,Ь). (10)

В диссертации удалось показать, что отношение суммы вкладов второго и третьего порядка теории возмущения (Рис. 1а, Ь) к амплитуде в нулевом порядке имеет асимптотику (здесь Се - постоянная Эйлера) при у -¥ оо

г(у) = г™(у) + гЩу) = (ь ^ + 1 -СЕ). (11)

Выражение в скобках не зависит от быстроты, поэтому мы можем приравнять его к нулю и тем самым зафиксировать константу перенормировки, т.е. собственную массу померона:

1п^-СЕ + 1 = 0, ся = 2ее°в~1. (12)

Это означает, что при выборе (12) петлевые поправки вплоть до третьего порядка включительно исчезают в пределе у оо.

В общем случае просуммировать все простейшие петлевые вставки в амплитуду рассеяния Т(у) в поле ядра можно с помощью решения уравнения

Дайсона

Т(у) = г(0)Ы+

I*¿У1 (1у2С(р(у,у\,0)(Ех(2/1,2/2,0) + ЫУиУ2,0))т(у2), (13)

в котором и Е2 - рассмотренные выше вклады второго и третьего порядка в собственную массу померона.

В общем случае решение уравнения (13) можно найти только численно. В работе приведены соответствующие результаты. Для параметров е, а', А и д были взяты стандартные значения:

6 = 0.08, а' = 0.2 веУ~2, А =-0.48<7е7-1, д = 5.94 веУ-1. (14)

Была рассмотрена модель конечного ядра радиуса Яа — А1/3 х 1.15/т с постоянной функцией распределения ядерной материи.

На Рис. 2 показано отношение г(у) решения (13) к амплитуде в низшем порядке теории возмущения как функция быстроты у для двух значений массового числа А = 64 и 207. Мы видим, что при низких быстротах функция растет, достигая в максимуме значений порядка 2.2 2.3 в зависимости от А, а потом быстро убывает к единице, что диктуется выбором значения сд согласно

9

(12). Легко видеть, что зависимость от А практически отсутствует и обе кривые находятся достаточно близко друг к другу. Довольно большая величина отношения при промежуточных быстротах означает, что при выбранных значениях параметров петлевой вклад не так уж и мал. Таким образом, сила трехпомеронного взаимодействия относительно высока, хотя с ростом быстроты она и убывает.

В третьей главе рассматривается петлевой вклад в Реджеонной теории поля для случая реального ядра. Для того чтобы перейти к задаче рассеяния на реальном ядре с профильной функцией Т(Ь), которая зависит от прицельного параметра Ь и убывает при Ь —> оо, необходимо решить классическое уравнение движения, которое описывает внешнее поле /(у, Ь) , и уравнение (5) для пропагатора померона в поле ядра. К сожалению, оба решения могут быть получены только численно, что значительно усложняет анализ петлевого вклада для случая реального ядра.

Чтобы остаться в рамках аналитических расчетов, предлагается воспользоваться некоторым приближенным решением уравнения (5), которое можно получить, если учесть, что функция Т(Ь) слабо меняется в пространстве прицельного параметра в окрестности фиксированного Ь . Это эквивалентно приближению малого наклона траектории а' , который определяет распространение померона в поперечном пространстве.

Более того, а' можно положить равным нулю везде, где это возможно. В частности, в качестве решения для пропагатора можно взять:

С/(у,Ь\у',Ь') = 52(Ъ-Ь')С0(у,у',Ь),

Со = (15)

Р2(у,Ь)

где переменная Ь учитывает зависимость профильной функции Т{Ь) от

координаты в поперечном пространстве. Однако, таким приближением для пропагатора нельзя пользоваться в петлях, в которых возникает квадрат (15), расходящийся при а' 0.

Для пропагатора в петлях а' нужно рассматривать как малую, но конечную величину. Очевидно, что такое приближение соответствует слабо меняющемуся в поперечном пространстве полю ядра. В этом случае пропагатор померона имеет вид

С помощью приближения (16) можно рассчитать простейшие петли, которые появляются в теории, обращая особое внимание на их зависимость от Ь . В работе удалось получить явный вид простейших петлевых вкладов (Рис. 2а, Ь).

Рис. 2. Отношение г{у) амплитуда рассеяния вперед к ее

значению в низшем порядке для ядер меди Сии свинца РЬ

В приближении а' —¥ О интегрирования по промежуточным прицельным параметрам можно выполнить с помощью <5 -функций. Это означает, что при фиксированном прицельном параметре Ь амплитуда рассеяния Т(у, Ь) представляет из себя многократный интеграл по промежуточным быстротам, поэтому вся картина рассеяния померона на ядре локальна по Ь.

Дня нас важно, что пропагатор во внешнем поле ядра (16) убывает с ростом быстроты как

0/(у,у',Ь)\ ^е-е(У-у')/(2ДЬ). (П)

ЧУ-У

Это означает, что интегрирование по промежуточным быстротам не приводит к вкладам, которые растут быстрее, чем член низшего порядка ряда теории возмущения. Таким образом, пертурбативное разложение сходится при достаточно малых Л.

Петлевой вклад в амплитуду Т можно получить с помощью решения уравнения Дайсона аналогичного (13). Как и раньше, константу перенормировки сд можно зафиксировать так, что при больших быстротах простейший петлевой вклад исчезает.

Однако для разных значений Ъ полученными результатами следует пользоваться с некоторой степенью осторожности. Действительно, функция Грина б/(у, у', Ь) убывать с момента, когда начинает расти функция р(у, Ь), что происходит если а(Ь)ееу » 1. Это означает, что при очень малых значениях а(Ь) пропагатор начинает убывать при сверхбольших быстротах у. Если а(Ь)ееу ~ 1,

300

Си

280

РЬ

180

30

35

40

0

5

10

15

20 У

25

Рис. 3. Полное сечение рассеяния рРЪ и рСи для случая сферического ядра. Осциллирующие (монотонные) кривые соответствуют присутствию (отсутствию) померенных петель. Сечение рассеяния рСи приведено с дополнительным множителем 2.55

то пропагагор имеет порядок 1 /а(Ъ). Другими словами, при малых а(Ь) можно ожидать, что отношение г(у,Ь) будет расти с быстротой от единицы до

большого числа 1 /а(Ь) при еу = уо--1п(а(Ь)) и после этого упадет до нуля

при у » уо. Обозначим максимальное значение отношения петлевого вклада к вкладу низшего порядка как

С помощью численного решения уравнения Дайсона можно получить полное сечение адрон-ядерного рассеяния, которое имеет вид

В диссертации это сделано для двух моделей пространственной структуры ядра. В простейшей их них ядро представляет из себя сферу с постоянной плотностью ядерной материи. Эта модель ядра подходит наилучшим образом, потому что она исключает область очень малых ядерных плотностей вне ядра, где С имеет большие значения, и пертурбативный подход неприменим. Для этого случая полное сечение адрон-ядерного рассеяния показана на Рис. 3 как функция быстроты у. Как можно увидеть, петлевой вклад имеет существенное значение и приводит к осцилляциям в сечении рассеяния.

(18)

В качестве второй модели распределения ядерной материи было взято стандартное распределение Вудса-Саксона.

В четвертой главе рассматривается описанный выше метод учета петлевых поправок для случая теории взаимодействующих БФКЛ померонов. По своей структуре эта теория аналогична локальной Реджеонной теории поля. Однако померон в этом случае, наряду с зависимостью от прицельного параметра Ъ, зависит от расстояния г между двумя реджеизованными глюонами, из которых он состоит. Аналогично ЛРТП, БФКЛ померон можно описать с ПОМОЩЬЮ двух полей Ф(у,Г1,Г2) И &(у,Гх,Г2), зависящих от быстроты у и поперечных координат реджеизованных глюонов п и г2 ■ Лагранжиан теории имеет структуру аналогичную (1).

Основная идея состоит в том, чтобы для теории БФКЛ померона повторить процедуру, описанную в первой главе. В результате пропагатор БФКЛ померона в поле ядра Р(у, гг, г2; у', г[, г'2) удовлетворяет уравнению

дР{у,гъг2) ^ а 2-х

ду 2тг У г23г%3

(Р(У ,П,Гз) +Р(у,г2,г3) -Р(у,П,Г2) - Ф(у,Г1,Г3)Р(у,Г2,Г3)-

Цу,г2,г3)Р(у,г1,г3)У (19)

где а — а„.Ыс/тг. Здесь явно не указаны три координаты у', г^ и г2, от которых

уравнение (19) не зависит. Зависимость от этих переменных возникает из начального условия:

Р{у = у'^г^у'У^) = УГ2У2-2<52(п - г;)<52(г2 - г'2). (20)

Функция Ф(у,г1,г2) в (19) есть решение уравнения БК для суммы всех древесных диаграмм.

Как и прежде, был рассмотрен простейший случай, когда распределение ядерной материи ТА(Ь) = Т0 не зависит от параметра Ь. В этом случае функция Ф зависит только от относительного расстояния между глюонами Цу,Г1,г2) - ф(у,г12).

К сожалению, даже в таком простом случае удается найти только численное решение уравнения (19), что очевидно не предполагает сингулярное начальное условие (20). Поэтому следует перейти к свертке пропагатора Р(у, Г1,Г2', у', г[,г2) с произвольной функцией ?МФ(гъ г2):

Р(у,Г1,г2) = I а2ги2г'2 Р(у,г1,г2-у\г[У2)ЧМгР(г'1У2).(21)

Рис. 4. Пропагатор Р(у, Г1 = Г2, ф = п/2) как функция У при начальном условии (28) и а = 10, а = 2. Кривые справа налево соответствуют У = 2, 4, б, 8,10

Эта свертка удовлетворяет уравнению (19) на пропагатор померона во внешнем поле, но начальное условие при у = у' имеет вид

Р{у = у',г1,г2) = ф{гиг2). (22)

Свойства пропагатора померона в поле ядра можно определить, если найти функцию (21) для полного набора произвольных ^(Тъ1^)-

Расчеты имеют особенно простой вид в случае, когда не только Ф, но и свернутый пропагатор Р зависит только от относительного расстояния между глюонами в помероне.

При численном анализе, уравнение (19) удобно рассматривать в импульсном пространстве. Если ввести новые обозначения

Ф (у,х) . Р{у,х) „

Ф(у,х) = 2 ', р(у,х)= 2 , (23)

X ж

а затем перейти в импульсное пространство, то для функций ф(у, к) и р(у, к) получаются следующие уравнения:

= _а (НврмФ{у, к) + Ф2{у, к)) (24)

= -й {НВРКЬ + Щу,к))р{у,к), (25)

где Нвркь - БФКЛ гамильтониан.

Чтобы найти пропагатор р во внешнем поле ф , нужно решить пару уравнений (24) и (25) с начальными условиями в виде некоторым образом фиксированной функцией ф0 и полным набором произвольных функций ро(к).

В диссертации приводится численное решение уравнений (24) и (25), полученное методом Рунге-Кутта. В качестве начального условия для уравнения БК была выбрана функция

ф0{к) = — (1/2)Е1(—&2/0.3657). (26)

В качестве интервала для импульса был взят интервал Ю-8 < к < 108, который был поделен на 1600 точек.

Чтобы воспроизвести БФКЛ эволюцию во внешнем поле ф, в качестве начального условия ро(к) брался достаточно большой набор функций. Во всех случаях поведение р(у, к)имеет общий вид. При больших быстротах у решение перестает зависеть от к2 вплоть до некоторого (у), начиная с которого стремится к нулю. Приближенно можно считать

Р(у,к)~А(уЩк1ах-к2). (27)

С ростом быстроты А(у) стремится к нулю, а - к бесконечности/ Таким

образом, решение убывает в пределе у оо, но как функция х стремится к 62(х).

Для вычисления петлевого вклада требуется пропагатор, который зависит не только от относительного расстояния между глюонами, но и от координаты центра масс. Свернутый пропагатор Р (у, т^гг) в этом случае удовлетворяет уравнению (19) с начальным условием (22). Что касается поля ядра Ф(у,Г1,Г2),

то, как и прежде, его можно взять в направлении вперед и пренебречь небольшим импульсом ядра, переданным глюонам.

Пропагатор Р(2/,Г1,Г2) зависит как от у, так и от трех переменных, в качестве которых можно взять г2, г| и угол ф между г\ и г2 ■ Для численного анализа была введена решетка по переменным 1п г2,1п г| и ф, которая разбила интервал по первым двум переменным на точек, а по ф на ЛГ2 точек.

В диссертации приводится решение (19), полученное методом Рунге-Кутга при N1 — N2 = 80. Как и прежде, для г берется интервал Ю-8 < г < 108. В качестве начального условия (22) для свернутого пропагатора при у' = 0 можно взять

Р(У = О.гх.гз) = 1 - ехр[ - с1Г212е-ь2^], (28)

15

где b= (гi + г2)/2 . Были рассмотрены девять комбинаций ci = 0.1, 1, 10 и с2 = 0.2, 2, 20. Во всех случаях результаты оказались довольно схожи.

В процессе вычислений была получена трехмерная решетка значений Р{у,г\,Г2,ф). Ответ можно представить в разной форме. На Рис. 4 приведено значение Р(у, г\, г%, ф) при ci = 10, с2 = 2, п = г2 иф = к/2 для разных быстрот у.

Поведение Р(у,= г2,Ф) при разных^ и разных значениях параметров а и С2 в (28) совпадает, но быстрота У, при которой решение начинает убывать, несколько отличается в зависимости от выбранных начальных условий.

В заключении дано краткое описание полученных результатов, основным из которых является вывод о том, что пропагатор померона в поле ядра убывает с ростом быстроты. Этот факт открывает возможность для пертурбативного учета петлевых поправок.

Работы автора по теме диссертации

1. Braun М.А., Tarasov A.N., Loops in the reggeon model for hA scattering II Eur. Phys. J. С., 2008, Vol. 58, Pp. 383-394.

2. Braun M.A., Tarasov A., Hadron-nucleus scattering in the local reggeon model with pomeron loops for realistic nuclei II Eur. Phys. J. C., 2010, Vol. 69, Pp. 75-83.

3. Braun M.A., Tarasov A.N., BFKL pomeron propagator in the external field of the nucleus //Nucl. Phys. В., 2011, Vol. 851, Pp. 533-550.

4. Браун M.A., Тарасов A.H., Учет ненулевого наклона померенной траектории в модели Швиммера И Вестник Санкт-Петербургского Университета, 2009, Сер. 4, Вып. 1, С. 46-54.

Подписано к печати 18.11.11. Формат 60 х 84 %. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5297._'

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043,428-6919

61 12-1/254

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физики высоких энергий и элементарных частиц

На правах рукописи

Тарасов Андрей Николаевич РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОМЕРОНА В ЯДРЕ И ПЕТЛЕВЫЕ ВКЛАДЫ В АМПЛИТУДУ РАССЕЯНИЯ (01.04.02 - теоретическая физика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор М.А. Браун

Санкт-Петербург - 2011

Введение 3

Глава 1. Помероны в теории сильных взаимодействий 10

1.1 Реджеонная теория поля 10

1.2 БФКЛ померон 24

Глава 2. Петли в Реджеонной теории поля для адрон-ядерного

рассеяния 34

2.1 Реджеонная теория поля для адрон-ядерного рассеяния 34

2.2 Пропагатор померона в поле ядра 36

2.3 Померонные петли низшего порядка 41

2.4 Амплитуда рассеяния в модели померона в поля ядра 48

2.5 Приближение случайной фазы 53

2.6 Численный анализ 60

Глава 3. Петлевой вклад в локальной Реджеонной теории поля для

случая реального ядра 63

3.1 Случай реального ядра 63

3.2 Амплитуда при фиксированном значении прицельного параметра 67

3.3 Численный анализ 71 Глава 4. Пропагатор БФКЛ померона во внешнем поле ядра 76

4.1 Взаимодействующие БФКЛ помероны 76

4.2 Случай пропагатора вперед 79

4.3 Численный анализ в импульсном пространстве 81

4.4 Численный анализ в координатном пространстве 87

4.5 Общий случай 90 Заключение 95 Список литературы 99

Введение

Одним из основных направлений исследования в квантовой хромодинамике (КХД) является изучении реакций адрон-ядерного рассеяния при высоких энергиях. Как известно, с помощью КХД удается хорошо описать жесткую область динамики сильного взаимодействия. Однако значительно сложнее дело обстоит с мягкими процессами, которые дают основной вклад в полное сечение рассеяния. Чтобы описать эти явления, можно воспользоваться померонной моделью, полученой в рамках пертурбативной КХД.

В КХД сильное взаимодействие при высоких энергиях (малых х ) можно описать как обмен БФКЛ (Балитский-Фадин-Кураев-Липатов) померонами, которые взаимодействуют через свое слияние и расщепление. Для случая адрон-ядерных реакций рассеяния соответствующие древесные (веерные) диаграммы можно просуммировать в квази-классическом приближении с помощью уравнения эволюции Балитского-Ковчегова (БК) [1-4].

Однако этот подход содержит в себе ряд допущений. Во-первых, речь идет о модели с бесконечно большим количеством цветов Мс. Во-вторых,

предполагается, что константа связи КХД а8 есть фиксированная малая

величина. И в-третьих, что особенно важно, петлевые диаграммы в данном приближении не рассматриваются. Последнее справедливо, если параметр 7 = а3ехрАу, в котором у - быстрота, а А - интерсепт померона, мал. Это

означает, что для больших ядер, таких что ~ 1, древесные диаграммы

действительно дают основной вклад и петли могут быть отброшены. Однако с ростом быстроты у петлевой вклад растет и его необходимо учитывать

несмотря на то, что вклад древесных диаграмм эффективно усилен большим множителем А1/3.

Полный расчет петлевого вклада для нелокального БФКЛ померона представляет сложную задачу. Простейшие петли для случая адрон-

3

адронного рассеяния были рассмотрены в работах [5-7]. Так, в работе [7] было показано, что петля низшего порядка дает основной вклад в функцию Грина померона уже при быстротах порядка 10 — 15 • Она смещает полюс померона в комплексную плоскости, что приводит к появлению осцилляций в сечениях рассеяния. Однако такое рассмотрение является неполным, так как с ростом энергии начинают расти и давать существенный вклад петли следующих порядках теории возмущении. Поэтому, строго говоря, все они должны быть просуммированы.

Было сделано несколько попыток сделать это в рамках так называемой реакционно-диффузионной модели динамики КХД, которая имеет аналогию со статистической физикой [8-13]. К сожалению, конкретные результаты удалось получить только при очень грубых приближениях для взаимодействия БФКЛ померонов и стохастического шума в статистической формулировке. Выводы разных групп противоречат друг другу и неполны. Так, в работе [13] утверждается, что если учесть петли, то геометрический скейлинг, который следует из БК уравнения, сохраняется. При этом скорость, с которой достигается предел абсолютно черного диска становится значительно меньше. Полностью противоречат этим результатам выводы, полученые из аналогии со статистической физикой [12, 14]. Они говорят о том, что БК скейлинг меняется на так называемый диффузионный скейлинг с дополнительным л/у в знаменателе аргумента, а предел абсолютно черного

диска достигается с обычной скоростью.

Таким образом, на сегодняшний день петлевой вклад для случая нелокального БФКЛ померона не найден. В настоящей диссертации предлагается новый метод его вычисления. Как было отмечено выше, при расчете померонных петель пертурбативный подход неприменим. А именно, в разложении по количеству петель в пределе больших энергий существенный вклад дают все члены ряда. Это происходит вследствие экспоненциального роста пропагатора померона. В настоящем исследовании удалось установить, что существует способ «исправить» такое поведение.

Для этого следует рассматривать не чисто адронное взаимодействие, а рассеяние адрона на ядре. В этом случае померон распространяется в поле массивной ядерной мишени. Как удалось установить, поле ядра эффективно переводит померон из сверхкритического в подкритическое состояние, и пропагатор меняет свое поведение с роста на убывание при у —»• оо .

Следовательно, в этом случае справедлив пертурбативный подход и однопетлевой вклад дает первую поправку к древесному приближению. Таким образом, основная цель данного исследования состоит в том, чтобы подтвердить факт убывания пропагатора померона в поле ядра.

Исследование нелокального БФКЛ померона само по себе представляет сложную задачу, поэтому анализ предложенного метода уместно начать с более простой локальной Реджеонной теории поля (ЛРТП) со сверхкритическим помероном. Такое исследование, наряду с результатами, которые могут быть полезны для КХД, имеет и свое собственное значение. Долгое время ЛРТП являлась основным формализмом для анализа сильных взаимодействий. При феноменологически подобранных параметрах ЛРТП достаточно хорошо описывает мягкую динамику при высоких энергиях и до сих пор остается полезным инструментом исследования. Более того, во многих случаях она работает лучше чем пертурбативная КХД. Это связано с тем, что интерсепт БФКЛ померона имеет большую величину, которую сложно сопоставить с экспериментальными данными. Как и в случае КХД, адрон-ядерные [15] и ядро-ядерные [16] столкновения в ЛРТП были рассмотрены без учета вклада петлевых диаграмм.

Особый случай представляет задача с нулевым наклона померонной

траектории а' = 0 , когда теория эффективно соответствует нулевой

размерности пространства прицельного параметра и допускает точное

аналитическое решение. Вклад петлевых диаграмм в случае нулевой

размерности поперечного пространства был довольно давно изучен

теоретически [17, 18], а численное решение получено относительно недавно

[19]. Как удалось установить, этот вклад существенно влияет на асимптотику

при высоких энергиях и эффективно меняет сверхкритический померон на

5

слабый подкритический с эффективным интерсептом ос —ехр( 1/Л2), где Л -

малая константа связи трехпомеронного взаимодействия.

К сожалению, обобщить эти замечательные результаты на реальный случай двухмерного поперечного пространства довольно сложно. Во-первых, нужно рассматривать случай ненулевого наклона померонной траектории, иначе петлевой вклад будет расходиться по переменной прицельного параметра. Однако даже в древесном приближении, при а! 0 возможно

только численное решение. Во-вторых, при размерности поперечного пространства ¿т = 2 требуется перенормировка ультрафиолетовых

расходимостей. И наконец самое важное, метод решения при с1т = 0 , неприменим для случая йт = 2, прежде всего, потому что вместо обычных дифференциальных уравнений возникают уравнения с функциональными производными.

Суммирование всех петлевых вкладов в ¿т = 2, эквивалентно полному

решению соответствующей квантовой теории поля. Эта задача выглядит практически невыполнимой, поэтому в лучшем случае удается получить некоторые частные результаты, которые помогают понять свойства модели с учетом петель в целом.

Было сделано несколько попыток рассмотреть высокоэнергетическое поведение ЛРТП со сверхкритическим помероном при ¿т = 2 в рамках

различных приближений. Все они привели к противоречивым результатам. Например, в работе [20] утверждается, что фазовый переход происходит при всех значениях перенормированного интерсепта померона бО) = оХ'г) — 1 > 0- Это приводит к теории с нарушением симметрии между мишенью и снарядом, что представляет противоречие с физической точки зрения. С другой стороны, в [21] фазовый переход происходит только при

значениях больших некоторой критической величины ес ) • При е(т) < €с') теория соответствует случаю подкритического померона, и сечения рассеяния убывают при высоких энергиях. При е(г) > ¿с ] сечение рассеяния

С\

растет как log s . При этом в работе не удалось обнаружить нарушение

симметрии между мишенью и снарядом.

Разработанный в настоящей диссертации подход позволяет преодолеть многие трудности расчета померонных петель в dT = 2. Еще раз подчеркнем,

что, вместо того чтобы решать задачу для чисто адронного рассеяния, в подходе рассматривается адрон-ядерное рассеяние и процесс распространения померона в массивной ядерной мишени. Чтобы избежать необходимость пользоваться численным решением для вклада древесных диаграмм с учетом распространения померонного каскада в пространстве прицельного параметра, был рассмотрен случай постоянной в поперечном пространстве плотности ядерной материи, в котором все результаты удалось получить в аналитическом виде. При этом удалось установить, что поле ядра меняет сверхкритический померон с интерсептом с > 0 на подкритический с интерсептом — е . В результате, разрезы Редже, которые соответствуют петлевым диаграммам, начинаются в точках ветвления левее полюса померона, и их вклад дает всего лишь поправку к вкладу веерных диаграмм при высоких энергиях.

Это свойство было показано для случая простейших петель, которые дают основной вклад в поправку к древесному приближению при малом значении константы связи Л. Так как пропагатор померона стремится к нулю с ростом быстроты экспоненциальным образом, то кажется очевидным, что более сложные петлевые диаграммы также убывают с быстротой и дают следующий вклад в поправку при Л —> оо. Таким образом, теория обладает свойствами стандартной Реджеонной теории поля с подкритическим помероном, в рамках которой применим пертурбативный подход.

Напомним, что эти результаты были получены для случая постоянного распределения ядерной материи в пространстве прицельного параметра. Это приближение выглядит довольно грубо. Более того, оно не позволяет получить убедительные результаты для физических сечений рассеяния.

В целом, обобщение результатов на случай реального ядра с убывающей плотностью ядерной материи подразумевает сложные численные расчеты. Чтобы остаться в рамках аналитических вычислений, было получено некоторое приближенное решение уравнений модели для случая реального ядра, которое занимает неограниченный объем в пространстве. Это дало возможность оценить петлевой вклад в полное сечении рассеяния и провести анализ возможности пертурбативного подходом в адрон-ядерном рассеянии с учетом померонных петель.

Как удалось установить, результаты зависят от поведения профильной функции ядра Т(Ъ) при больших значениях прицельного параметра Ь. Для

конечного ядра с Т{Ь) = 0 при Ъ > Яа все выводы, сделанные для случая

постоянной Т(Ь) , остаются справедливы и для анализа петлевого вклада

можно пользоваться пертурбативным подходом. Однако для случая бесконечного ядра, для которого Т{Ъ) убывает при больших Ъ как экспонента,

но не равна нулю при любом конечном Ь , петлевой вклад можно

рассматривать с пертурбативной точки зрения только внутри ядра при малом

прицельном параметре Ъ . При очень больших Ь , когда взаимодействие

происходит вне основной части ядра, петлевой вклад начинает доминировать

над веерными диаграммами и сечения рассеяния становятся

непертурбативными.

Наиболее интересной частью настоящей работы является расширение

полученых результатов на случай нелокального БФКЛ померона. Как и в

локальном случае, основная идея состоит в том, что поле ядра эффективно

переводит БФКЛ померон в подкритическое состояние. В диссертации

приводятся аргументы в пользу такого поведения. Для этого рассматривается

численное решение уравнения на пропагатор БФКЛ померона в поле ядра.

Для последнего удалось обнаружить убывание при больших быстротах.

Однако в настоящий момент нельзя дать исчерпывающее доказательство

такого поведения, так как исследование основано на численных расчетах. Это

означает, что для пропагатора померона берется относительно небольшой

8

набор начальных условий в уравнениях эволюции на пропагатор и древесный вклад.

Однако при выбранных начальных условиях БФКЛ пропагатор в поле ядра убывает. Таким образом, петли БФКЛ померона можно рассматривать в рамках пертурбативного подхода, и однопетлевой вклад должен давать первую поправку к древесному вкладу БФКЛ померона (решению уравнения БК). Таким образом, настоящее исследование может стать отправной точкой в решении проблемы расчета петель БФКЛ померона в адрон-ядерном рассеянии.

Текст диссертации состоит из четырех глав. В первой главе дается общее описание области исследования и ставится основная проблема -исследование петлевого вклада померонов в процессах адрон-ядерного рассеяния. Во второй главе предлагается метод учета петель, в котором, на примере локальной Реджеонной теории поля, рассматривается распространение померона в поле ядра. Приведен анализ простейших петель и дана оценка их вклада в полное сечение адрон-ядерного рассеяния. В третьей главе аналогичные результаты получены для случая реального ядра. В четвертой главе предложенный метод рассматривается для случая нелокального БФКЛ померона. С помощью численного анализа уравнения на пропагатор БФКЛ померона в поле ядра удается показать, что последний с ростом быстроты убывает. В заключении приведены основные результаты работы. Диссертация имеет список литературы из 136 источников.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю М.А. Брауну, без которого эта работа не была бы возможна. А также благодарность Г.А. Феофилову, В.В. Вечернину, М.В. Иоффе и всем другим сотрудникам кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета.

Глава 1. Помероны в теории сильных взаимодействий

1.1 Реджеонная теория поля

Теория комплексного углового момента [22-24] занимает особое место в физики элементарных частиц. Она описывает рассеяние при больших энергиях в системе центра масс в кинематике Редже в Щ исходя из общих

свойств 5-матрицы. До появления КХД она была фактически единственной теорией сильного взаимодействия, а на ее основе удалось построить эффективную модель (Реджеонную теорию поля), которая, будучи феноменологической по своей сути, довольно хорошо описывает экспериментальные данные.

Благодаря тому, что в основе теории лежат фундаментальные принципы, такие как унитарность, аналитичность и т.д., полученые выводы носят весьма общий характер и не зависят от конкретного выбора микроскопической теории сильного взаимодействия. Поэтому сегодня формализм теории Грибова-Редже нашел широкое применение в рамках КХД, в которой удалось обнаружить многие аналогичные структуры.

Основная идея теории состоит в том, что поведение амплитуды рассеяния при высоких энергиях связано со структурой особенностей парциальной амплитуды аЦ. в плоскости комплексного углового момента

3. В кинематике Редже в основной вклад в амплитуду дает

сингулярность расположенная правее всех других особенностей в плоскости 3. В простейшем случае такой сингулярностью является простой полюс [25],

расположенный в точке с координатой а{€) . В этом случае амплитуда

рассеяния 2 —2 имеет следующую асимптотику при в —^ оо:

— 31п(7га(£))

где £ = ±1 сигнатура полюса. Такая амплитуда соответствует обмену

полюсом в ¿-канале, который можно сопоставить с квазичастицей реджеоном. Взаимодействие последнего с внешними частицами описывает функция 7(¿).

В смысле предсказательной силы, эффективность такой карти