Распространение упругих волн в полуплоскости, имеющей преграду тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Распространение плоских упругих волн в полуплоскости с цилиндрической преградой

§ I. Постановка задачи

§ 2. Решение задачи

§ 3. Частные случаи

§ 4. Численные результаты.

ГЛАВА П. Распространение волн в упругих двукомпонентных средах, имеющих преграду

§ I. Исходные соотношения и управления для двукомпонентных сред.

§ 2. Распространение волн в упругих двукомпонентных пространствах, имеющих преграду

§ 3. Частные случаи.

§ 4. Распространение волн в пористых плоскостях, насыщенных кидкостью

§ 5. Частные случаи

§ 6. Численные результаты

ГЛАВА Ш.

§ I. Распространение волн в упругих двукомпонентных полупространствах при наличии преграды.

§ 2. Частные случаи.

§ 3. Решение задачи о дифракции плоской волны в двукомпонентном пористом полупространстве с преградсй.

§ Частные случаи

§ 5. Численные результаты.

ГЛАВА ГУ". Распространение волн в двукомпонентной полуплоскости с двумя преградами.

§ I. Распространение волн в двукомпонентных упругих средах

§ 2. Частные случаи.

§ 3. Распространение волн в пористых средах

§ 4. Частные случаи.

§ 5. Численные результаты

Волновой процесс - это одна из важнейших форм движения материи, в той или иной мере волновые движения присущи всем без исключения объектам материального мира.

Задачи распространения волн, в особенности дифракции, представляют собой сложнейшие задачи математической физики и относятся к разделу динамики сплошных сред. Волновая динамика и ее разделы, как теория распространения волн в различных средах и взаимодействия волн с препятствиями, являются давно сложившимися ветвями математической физики. Сложность изучения волновых процессов в различных неоднороднос-тях, обусловлена сложностью математической постановки задач динамики сплошных сжимаемых тел.

При упрощении математической постановки задач дифракции берутся различные модели деформируемых тел. К ним относятся природные среды, моделируемые как акустические среды, линейно упругие среды, многокомпонентные и двукомпонентные среды и т.д. При решении задач дифракции волн в моделях акустической среды линейно-упругой среды не всегда удовлетворяют в зависимости от поставленных задач потребностям теории и практики.

В этих случаях необходимо решить задачи распространения волн и ее взаимодействии на различные преграды в моделях сплошной среды достаточно близко описывающие напряженно-деформированного состояния в рассматриваемых средах. В практике часто сталкиваются с задачами дифракции в грунтовых средах. Модели грунтовых сред описаны в обзорной статье

С.С.Григоряна и В.А.Иоселевича [26] . Грунтовую среду можно моделировать как среду, состоящую из нескольких упругих континиумов и каждая точка среды занята всеми составляющими, находящимися во взаимном относительном движении. Такая модель приведена например, в работе [4] . В работе [38] описана модель среды, состоящзй из двух упругих континиумов. Но очень многие типы грунтовых сред, используемые в инженерных строительствах, являются пористыми, содержащими в себе жидкость. Модель таких сред описана в работе м.Л.Био ¡36,37].

К числу наиболее сложных и актуальных, с точки зрения приложений, проблем динамики деформируемых тел, относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неодно-родностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородностей (включение, полость, вырез и т.д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей.

В последнее время задачи дифракции, учитывающие неоднородности среды, становится более актуальными и привлекают внимание многочисленных исследователей. Настоящая работа посвящена изучению определенных актуальных задач дифракции возле неоднородностей типа преграды.

Исследование задачи дифракции волн на препятствии типа полости или инородного включения исследованы многочисленными исследователями. Разработка проблемы напряженного состояния около отверстия была исследована отечественными учеными: А.Н.Гузь, Г.А.Савин, В.Д.Кубенко, В.Т.Головчан

3,9,17-19] ; И.Ю.Бабич [8] ; Я.У.Саатов СЗО] ; И.Г.Филипов, М.Ш.Исраилов и др., а также зарубежные в работах Пао-йи-Син [5] , У.Н.Рао [34,35] , С.С.Мау [б] , Чень [Ю] и др.

Одной из основных целей при исследовании задач дифракции упругих волн на неоднородностях является получение не только формального математического решения, а такого, с помощью которого можно было бы эффективно определить дифракционные поля деформации напряжений вблизи неоднородностей. В последние годы с применением ЭВМ проводятся исследования задач дифракции упругих волн на неоднородностях. При этом развиваются два направления. Первое направление связано с развитием численных методов при соответствующей дискретизации задач и с применением ЭВМ на всех этапах решения задач (МКЭ, метод крупных частиц, разностные методы и т.д.). Второе направление связано на первом этапе решения задач с применением аналитических методов и на заключительных этапах решения - с применением ЭВМ. В этом направлении в настоящее время исследованы широкие классы задач.

При динамическом нагружении действие внешней силы не передается немедленно и равномерно на всей части упругого тела. Деформация и соответствующие напряжения, вызванные от таких сил , распространяются в тепе волнообразно. Встречая какую-либо преграду, эти волны отражаются и преломляются, т.е. рассеиваются и явление динамической концентрации напряжений может, в основном, рассматриваться, как явление рассеивания волн напряжений.

Рассеивание волн было предметом многих исследований в различных областях механики и физики. Наиболее широкий круг дифракционных задач рассмотрен для установившихся волн.

Ограничиваясь установившимися волновыми движениями, получаем возможность отделить одну из независимых переменных Ь путем выделения экспоненциального множителя (си ~ круговая частота), что упрощает решение задачи. В то же время исследование установившихся волн является важным для многих конкретных прикладных проблем. Более того, если удается вычислить реакцию упругой среды не установившиеся возмущения в широком диапазоне частот, то это дает возможность изучать переходные процессы, применяя математический аппарат интегрального преобразования Фурье.

В классе установившихся волновых задач были исследованы дифракции упругих волн на цилиндрическом препятствии. Когда геометрические очертания препятствий не цилиндрические или цилиндрические, заполненные жидкостью, исследование задач дифракции можно найти в работах В.Д.Кубенко, Л.П.Шварца и др.

В работах В.Д.Дыбенко исследовано взаимодействие слабых ударных волн с тонкостенными элементами конструкции и развит подход к вопросам приводнения деформируемых тел в случае сжимаемой жидкости.

В работе [5] исследована дифракция плоской упругой волны расширения около кругового отверстия в безграничной тонкой пластине в условиях обобщенного напряженного состояния. Автором определено напряженное состояние в окрестности контура полости и исследована динамическая концентрация напряжений. Установлено, в частности, что коэффициент динамических напряжений в некотором диапазоне частот превышает статический примерно на 10&. Распределение напряжений по контуру отверстия существенно зависит от частоты и ее изменением напряжения может резко изменяется. Исследованы предельные случаи коротких и длинных волн, а также стоячие волны. В работе [б] аналогичная задача решена для плоской гармонической волны сдвига. Установлено, что динамическая напряжения превышает свое статическое значение примерно на 20%,

В работе 187 рассмотрено распространение поверхностных волн в предварительно напряженном теле с цилиндрической полостью. На основе общих решений линеаризованных уравнений теории упругости исследуется распространение поверхностных волн в предварительно напряженном теле с цилиндрической полостью, расположенной вдоль оси ох Получено дисперсионное уравнение для поверхностных волн, а также проведено асимптотическое исследование в случае распространения длинных и коротких волн.

В работе 193 исследована задача волн сдвига в твердой бесконечно протяженной среде, пронизанной рядом цилиндрических полостей. Решена задача о свободных стационарных волнах сдвига в твердой среде, содержащей бесконечный ряд одинаковых цилиндрических полостей с параллельными (лежащими в одной плоскости) осями. Приведена амплитуда, которая убывает до нуля в направлении, перпендикулярном указанном плоскости.

Наиболее сложные задачи о круговых включениях рассмотрены многими авторами. Если в отверстие впаяна обсолютно жесткая шайба, могут рассмотрены два граничных условия. Простейшей из них состоит в отсутствии перемещений включения. Решение этой задачи, полученное У.Н.Ра о, С. С.May [341 показывает, что при устремлении частот к нулю, сила, удержи» вающая включение неподвижным, долина безгранично возрастать. Более естественной является постановка задачи, согласно которой включение монет двигаться вместе со средой и его движение определяется из уравнения Ньютона. При этом сила, действующая на включение, задается напряженным состоянием окрестности полости. Действие плоской гармонической волны, падающей под некоторым углом к оси круговой цилиндрической полости в упругой среде, исследовались в работе Г57] . Решения задач упругих волн в многосвязанных телах были получены с применением теории Словения специальных функций, входящих в решение типа

Есть два варианта решения многосвязанных задач. Первый метод, рассматриваемый А.Н.Гузем [3,15,161 и В.Д.Ку"-бенко, В.Т.Головчаном, приводит решение задачи к радению бесконечных систем; второй, применяемый в [20] и других работах иностранных авторов. Этот метод многократных отражений. Он является частным случаем первого метода и сводится к решению бесконечной системы методом последовательных приближений 1ц] . Одними из первых были получены решения задачи дифракции упругих волн в пластине с конечным числом круговых отверстий, загруженных гармоническим давлением [17,18].

В работе [19] решена задача дифракции плоской продольной волны на круговых отверстиях в бесконечной пластине. Задача дифракции плоской волны расширения на нескольких цилиндрах получена в 1.20] . Решение задачи 1191 было решено в [21] методом многократных отражений.

В работе 156] определено напряженное состояние упругого тела с несколькими упругими включениями круговой цилиндрической формы при падении на них цилиндрической волны, генерируемой гармоническим! источником, расположенным на некотором удалении от включений. В работе Цо] приводится исследование нестационарного напряженного состояния вблизи полости или упругого включения, упругие постоянные которого отличны от упругих постоянных окружающей среды.

Волны в неоднородной среде исследовались многими исследователями. В частности, в работе 153,54] исследовалось распространение нестационарных волн расширения от цилиндрической полости в цилиндрически анизотропной неоднородной упругой среде.

В работе 112] рассмотрен вопрос дифракции продольных волн в ряде упругих круговых включений. Решение задач дифракции продольных волн на ряде упругих волокон с помошыо теоремы сложения цилиндрических включений сведено к решению бесконечных систем алгебраических уравнений. Обоснована возможность приближенного решения таких систем методом редукции. Исследовано поле напряжений около ряда одинаковых равностоящих включений. Рассмотрено несколько случаев различных упругих свойств включений. Обнаружены явления особенности,характерных для рассматриваемых объектов.

Кроме того, задачам дифракции и взаимодействии преград с окружающей средой, посвящены исследования Т.Р.Раши-дова, Б.Мардонова, В.Т.Рассказовского, Г.Х.Хокметова, А.Абдуганиева, Т.Г.Рахмонова, Д.Ф.Бахрамова и других.

Задачи дифракции волн в многокомпонентных средах, при наличии полости или деформируемого включения имеют определенные значения в народном хозяйстве.

Задачи распространения волн в двукомпонентной среде с препятствиями рассмотрены И.Г.Филиповым, В.Г.Чебаном, Я.У.Саатовым и их учениками.

Настоящая работа посвящена изучению следующих вопросов:

- исследованию задач дифракции волн в конструкциях, имеющих неоднородности (на примере кругового препятствия, имеющей значительную толщину);

- рассмотрению новых задач дифракции волн в полуплоскости, имеющей цилиндрическое препятствие;

- исследованию задачи дифракции волн в двукомпонентной плоскости и в полуплоскости, имеющей цилиндрическое препятствие с применением теорем сложения специальных функций;

- исследован!® с помощью разработанной методики дифракции волн в двукомпонентной полуплоскости, имеющей два цилиндрических препятствия;

- рассмотрению некоторых частных случаев, вытекающих из поставленных задач.

Многие исследователи рассматривали задачи дифракции на преграде типа полости или инородного включения. В отличие от этих исследователей, было рассмотрено проникание распространяющих волн во внутрь препятствия. Преграда состоит из деформируемой среды, ограниченной двумя концентрическими круговыми цилиндрами. Упругие параметры полуплоскости и преграды считаются различными. Постановка задач в данной работе такова, что в полуплоскости (и в плоскости) волна, распространяясь, будет сталкиваться с преградой и отражаться от нее. Но часть волны будет преломляться. Преломленная волна, распространяясь в препятствие, сталкивается со свободной границей полости и отражается от нее. Учет внутренних отражений волн приводит к дополнительным граничным условиям, которые усложнят решения задачи. При решении поставленной задачи используется метод фиктивных координат и метод теорем сложения бесселевых функций, предложенный в работе [3 ] , и широко использованный в работе [28] . Использование этого метода приводит к решению бесконечных систем алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, которые зависят от геометрических и физических параметров полуплоскости и преград.

Сформулируем далее основное содержание диссертации.

В первой главе настоящей работы рассмотрены задачи распространения волн в полуплоскости, имеющей преграду в форме круглого поперечного сечения. Распространяющая волна не только отражается от преграды, но и преломляется. Учитывая эти факторы, получаем сложные граничные условия. Решение этой задачи проводится методом фиктивных координат и сложения бесселевых функций. Для иллюстрации результатов вычислений приводятся графики перемещений и напряжений на преграде при различных углах падения падающей продольной волны для конкретных упругих изотропных материалов. Рассмотрены некоторые частные случаи, получающиеся из основной поставленной здесь задачи. В частности, рассмотрен случай, когда упругие свойства преграды и полуплоскости одинаковы, В этом случае получается полость в полуплоскости, формальное решение которого совпадает с решением, приведенным в работе £зJ . Рассмотрены также случаи, когда толщина преграды стремится к нулю и случай, когда толщина преграды стремится к величине внешнего радиуса преграды.

Вторая глава посвящается исследованию дифракции волн в плоскости, имеющей преграду. Плоскость и круговая преграда, имеющая толщину, предполагается состоящим из двукомпо-нентной упругой изотропной средой с различными двукомпо-нентными упругими свойствами. Рассматриваются конкретные случаи двукомпонентных сред, т.е. двукомпонентнке среды, состоящие из двух упругих материалов "упруго-упругий" случай и случай "упругой среды, насыщенной жидкостью". Также рассматриваются частные случаи, получающиеся из результатов исновных поставленных задач; эти частные случаи следующие:

I) преграда, состоящая из двукомпонентных упругих материалов, имеет одинаковые упругие характеристики с материалами плоскости. В этом случае получаем полость, внедренную к плоскости;

2) толщина преграды стремится к нулю, а также случай, когда внутренний радиус преграды стремится к нулю. Б этих предположениях получаются полость и деформируемое двукомпонентное включение соответственно. Приводится числовой пример для конкретной двукомпонентной упругой изотропной среды-, материал который считается упругой средой, насыщенный жидкостью. Приводятся некоторые выводы, полученные из анализа числовых примеров.

Третья глава диссертации посвящается исследованию распространения волн в двукомпонентной полуплоскости, имеющей двукомпонентную круговую преграду. Рассмотрены случаи, когда полуплоскость и преграда состоят из различных "упруго-упругий" и упругой среды, насыщенной жидкостью. Исследован случай, когда материалы полуплоскости и преграды состоят из одинаковых двукомпонентных сред. Изучена задача в случаях, когда толщина преграды стремится к нулю и в случае, когда внутренний радиус преграды обращается в нуль. С целью иллюстрации приведены числовые результаты для упругих сред, насыщенных жидкостью. Эти результаты приведены в виде графиков.

Четвертая глава посвящается исследованию отражения и преломления падающей продольной волны в двукомпонентных полуплоскостях при наличии двух круговых двукомпонентных преград. Обе преграды и полуплоскость считаются состоящими из различных двукомпонентных материалов. При решении задач дифракции учтено взаимное влияние двух преград. Исследована точность вычислений для различных расстояний между преградами. Рассматриваются частные случаи, получаю- • щиеся из основных задач: случай, когда среда и преграда состоят из одинаковых упругих сред насыщенной кидкостью; случай, когда преграда и полуплоскость состоят из одинаковых материалов; случай, когда толщина преграды стремится к нулю. Надо отметить, что при решении задач, радиусы преград считаются в общем случае не одинаковыми. В случае равных радиусов преград приведены численные результаты в виде графиков при различных углах падения и частот падающих волн.

В заключении работы приводятся основные выводы, при-лонение и список литературы.

В приложении приводятся: графический материал, тексты программ и инструкции к ним, которые мокно .использовать в пакете научных программ для решения задач, поставленных в настоящей работе. Эти программы написаны на языке Р1/х и ФОРТРАН 1У для машины типа ЕС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключений сформулируем основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту.

I. Исследована задача дифракции упругих волн в полуплоскости при наличии круглой преграды и проанализированы различные частные случаи. Сопоставлены формальные исследования с работами других авторов. Проведен соответствующий численный анализ решения и анализ на основе разработанных программ. при различных значениях исходных независимых переменных. Показано, что с увеличением расстояния от свободной границы полуплоскости до преграды, значения напряжений в преграде и около нее уменьшаются и максимальные значения этих напряжений достигаются вблизи контакта преграды с полуплоскостью. С увеличением угла падения е все компоненты напряжений в преграде уменьшаются. Вычисления показывают, что значения напряжений и <3^ в преграде уменьшаются быстрее,, чем 6*ее с увеличением угла падения.

2. Изучена задача об отражении и преломлении волн от круглой двукомпонентаой преграды в моделях сплошной среды Стилля и Био. Анализированы различные частные случаи и числовые результаты. Анализ числовых результатов показал, что в пористых средах, насыщенных жидкостью, все компоненты напряжения будут максимальны, когда длина падающей волны близка к веншнему радиусу преграды. Кроме того, все компоненты напряжений достигают свеего максимального значения на границе контакта преграды и полуплоскости. Численные значения напряжений, когда внутренний радиус преграды стремится к нулью, всегда меньше чем значения напряжений, когда преграда имеет определенную толыцину.

3. Изучена задача дифракции волн в двукомпонентной полуплоскости, имеющей двукомпонентную преграду. Проанализиро«* ваны различные частные случаи и числевые результаты. Численные результаты показали, что выводы, приведенные в п.п.1 остаются в силе. Кроме того, числовые значения напряжений в пористых средах будут больше, чем напряжений ^ и в однокомпонентном случав.

Решена задача дифракции волн в двукомпонентной полуплоскости, имеющей две круглые преграды. При этом среды полуплоскости и преграды считались состоящими из двух упругих континиумов или нз прристых сред, насыщенных жидкостью. Проанализированы различные частные случаи и составлены программа, вычисляющая перемещения и напряжения в преградах, вызванных от падающей стационарной волны. Полученные результаты показали, что с увеличением угла падения исходной падающей волны перемещения в преградах увеличиваются. С увеличением расстояния от свободной поверхности до преграды напряжения (У^ и уменьшаются.

1. Гиря М.Г., головчан Ь.Т. Волны сдвига в твердойбесконечно-протяженной среде, пронизанной рядом цилиндрических полостей, "Акустический журнал", 1970, 24, № 4, 498-503 с.

2. Чень Анализ методом интегральных уравнений нестационарного напряженного состояния около включения при прохождении волн. "Добоку гиккой ромбун хококую".

3. Черевко М.А. и методе многократных отражений теориидифракции, дай УССР, сер. А 1975, № 9,с.184-167. 12.4еревко М.А. дифракция продольных волн на ряде упругих круговых включений. "Ирикл. мех.", 1988, № 2. с.6?-7?

4. Кубенко В.Д. Труды первой республиканской конференции. молодых ученых. К., Госкомитет при СМ УССР, 1964.

5. Кубенко В.Д. Динамическая концентрация напряженийоколо отверстия. ПМ, 19оь, ч. II15. 1'узь А.Н. О решении второй плоской динамической задачи теории упругости многосвязанных областей. "Прикл. механика", 1966, 2, № 8.

6. Об основных уравнениях динамики грунта. ПМ ТФ, 1963, й 2.26 . Григорян С.С., Иоселевич В.А. Механика грунтов.

7. Рахмонкулов Р. Распространение волн в упругой двукомпонентной полуплоскости, имеющей преграду. Всесоюзная конференция по механике сплошных сред. Ташкент, 16-16 мая 1979 г. Аннотация докладов.1. Фан", 1979, с.61.

8. Рахмонкулов Р. Распространение волн в двукомпонентной полуплоскости с двумя круглыми преградами ^случай среды с двух упругих компонентов;.Сб. научн. тр. ТашГУ, № 621, I960, с. 64-71.

9. Абдуганиев А,, Саатов Я.У. Дифракция на круговых.отверстиях двукомпонентной плоскости. ДАН УзОСР. 1983 г. №5, с. 13-15.

10. Абдуганиев А. Сообщение задачи дифракции в плоскости сдвумя отверстиями. ДАН УзССР. №7, 1983 г. с. Х6-Г/.

11. Mapдонов Ь. и некоторых одномерных задач динамикидвукомпонентных сред насышанных вязкой жидкостью. Изв. АН Уза;? сер. тех. н. l9b-> №1, с.эЬ-5У.

12. Кубенко В.Д. Распространение упругой волны расширения от кругового отверстия в цилиндрически анизотропной неоднородной пластине. Концентрация напряжений: Вып.1, к.,"Науково думка", 1965. с.16^173

13. Кубенко В.Д. Распространение упругих волн от круговогоотверстия в анизотропной неоднородной пластине. ПМ. 1965. №2, с. 25-33.

14. Whihe R-M- £&i*tLc. wane loaitezcny out а смвспоСъса? ducjoh.ilпи¿ty œn a -io-ùd. 1. of AcüuZÍ. Soc. o{. Агпъъ. ¡9SZ . 30. л/S. p. 934-939.

15. SeinueS Ç-. ÔG^antan. ^Onfi^mcLiion of 8ioi's•ihecbv. Appt Phy*. 57- fit. /920. р.зяг-аяч.

16. ThomQl J-> Ptona. ОвъъцусиЬСоп of a second6U€K comptetlionoP wave» in a potoui medium at utt'cctfonLc feefueneiet. AppZ Phvs. l9to. *)36.4.р.г5Э-<

17. Jain V.L., kanwQ-P P.P. se&tteïhg ef e&Lsiic wqïqs.gy o4e¿nd>UcQe f&w^ a^ct in elusions,

18. AppÇ. Phvs. /979. so. ,/e. p. *об7-<//оъ.