Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Хамгокова Мадина Мухадиновна

Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ОКТ 2014

Екатеринбург - 2014

005553354

005553354

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук»

Научный руководитель: Махнев Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, член-корр. РАН

Официальные оппоненты: Алеев Рифхат Жаляловнч

доктор физико-математических наук, профессор,

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

Ефимов Константин Сергеевич кандидат физико-математических паук, доцент,

Уральский государственный экономический университет, г.Екатеринбург

Ведущая организация: Уральский федеральный университет

Защита состоится 28 октября 2014 г. в 14 ч. 00 м. па заседании диссертационного совета Д 004.006.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ИММ УрО РАН по адресу: 620990, Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН и на сайте ИММ УрО РАН: http://wmvrus.imm.uran.ru/C16/Diss/dcfault.aspx.

Автореферат разослан «_» сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Белоусов И.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп автоморфизмами конечных геометрий. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [1|.

Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется а - частичной геометрией порядка (s,t), если каждая прямая содержит ровно s + 1 точку, каждая точка лежит ровно на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих L (обозначение pGa(s,t)). Если а = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ(s,t). Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (коллииеарны). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(s,t) сильно регулярен с параметрами: v = (s + 1)(1 + st/a), к = s(t + 1), А = (s - 1) + (а - 1 )i, д = a(t + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел a,s,t называется псевдогеометрическим графом для pGa(s,t).

Задача описания локально GQ(s, £)-графов (графов, в которых окрестности вершин являются точечными графами для GQ(s, t)) является классической и решена для s < 3 (см. [2-4]). При изучении локально GQ(4, ¿)-графов получена классификация для t = 1 [а] и найдены вполне регулярные графы для оставшихся значений t € {2,4,6,8,11,12,16} [6-10,18,20]. Изучение вполне регулярных локально GQ(5, ¿)-графов только начато. Получена классификация для £ = 3,5 [19,11].

Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого г € {0, ...,d} и для любых вершин u,v,x,y, таких что d(u,v) = d(x,y) = i, существует автоморфизм g графа Г такой, что (u,v)'J = (х,у). Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Около половины спорадических групп могут быть представлены как группы автоморфизмов графов ранга 3 [12].

Если вершины u,w находятся на расстоянии г в Г, то через bi(u,w) (через Ci(u, w)) обозначим число вершин в пересечении r,-+i(u) (в пересечении r,_i(?i)) с [«>]. Дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {i»o, &i,..., bd-i]C\,..., са} называется графдиаметра d, в котором параметры Ь{ = Ь{(и, w) и С; = d(u, w) пс зависят от вершин и, и:, а зависят только от расстояния, на котором эти вершины находятся в графе Г для г € {0,1,..., d}.

Поскольку каждый дистанционно регулярный граф является вполне регулярным графом (в частности, реберио регулярным графом), то некоторые ре-

зультаты об этих классах графов могут быть использованы в теории дистанционно регулярных графов.

Цель работы. Изучить расширения некоторых обобщенных четырехугольников и найти автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (322,96,20.32), возникшего при изучении локально GQ(5,3)-графов.

Методы исследований. Основным]! методами исследования являются теоретико - графовые методы и методы теории конечных групп, в частности метод Хигмена (см. [13]) приложения теории характеров к выяснению порядков автоморфизмов дистанционно регулярных графов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

- доказано несуществование вполне регулярных локально GQ{4,4)-графов,

- получено описание вполне регулярных локально GQ(4, 6)-графов,

- получено описание вполне регулярных локально GQ(5,3)-графов,

- найдены возможные автоморфизмы и подграфы их неподвижных точек для сильно регулярного графа с параметрами (322,96,20,32),

- классифицированы дистанционно регулярные локально нсевдо GQ{5, 3)-графы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в геометрии и теории графов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН, а также были представлены на следующих конференциях: "Перспектива Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (2009 г., Нальчик); VIII Международная школа-конференция по теории групп (2010 г. Нальчик); 43 Международная молодежная школа-конферетщня "Современные проблемы математики"(2012 г. Екатеринбург), Международная конференция "Алгебра и комбинаторика посвященная 60-летию A.A. Махнева (2013 г., Екатеринбург), X Международная школа-конф. по теории групп, посвященная 70-летию В.В. Кабанова (2014 г., Нальчик).

Публикации. По теме диссертации имеется 10 публикаций [18—27] (четыре статьи опубликованы в журналах из списка ВАК). Из пяти статей одна написана без соавторов, четыре - тремя авторами (Махпев A.A., Падучих Д.В., Хамго-кова М.М.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 73 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения и обозначения, используемые в диссертации, обсуждается общая мотивировка решаемых задач, сформулированы основные результаты. В главе 1 приведены предварительные сведения. В главе 2 доказано несуществование вполне регулярных локально С(5(4,4)-графов и классифицированы вполне регулярные локально СС}(4,0)-графы. В главе 3 изучены вполне регулярные локально СС}{5,3)-графы и классифицированы дистанционно регулярные локально псевдо £7<3(5,3)-графы. В главе 4 найдены автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (322,96,20,32).

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а. Ь — вершины графа Г, то через д{а, Ь) обозначается расстояние между а и Ь, а через Г;(а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии г от вершины а. Подграф 1\ (а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а1 обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Регулярным графом степени к называется Граф Г, такой что для любой вершины и 6 Г выполняется |Г(ы)| = к. Реберно регулярным графом с параметрами (у, к, Л) называется регулярный граф степени к на ?; вершинах, любое ребро которого лежит точно в Л треугольниках. Вполне регулярным графом с параметрами («, к, Л, ¡1) называется реберно регулярный граф с параметрами (и, к, А), в котором любые две вершины и, го € Г на расстоянии 2 имеют ровно общих соседей. Сильно регулярным графом с параметрами (и, к, Л, /г) называется реберно регулярный граф с параметрами (у, к, А), в котором любые две несмежные вершины и, и,' € Г имеют ровно /I общих соседей.

Заметим, что сильно регулярный граф с ц > 0 является дистанционно регулярным графом диаметра 2, а дистанционно регулярный граф с <1 > 2 — вполне регулярным графом с к = £>0, А = к — — 1 и ц = с2-

Пусть задан класс графов Т. Мы скажем, что граф Г является локально Т-графом, если для любой вершины а € Г имеем Г (а) 6 Т. Можно поставить задачу описания локально ^-графов. Если граф Г вершчино симметричен, то окрестности всех его вершин изоморфны, и граф Г является локально ^-графом, где Т состоит из графов, изоморфных некоторому графу Д. В этом случае назовем Г локально А-графом. В более общем случае Т может быть классом графов, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, класс связных, реберно регулярных графов — это в точности класс связных, локально регулярных графов.

Определим несколько сильно регулярных графов, которые будут фигурировать в диссертации, а также являются примерами локально Д-графов.

Через Кти„

.,гпп обозначим полный п-долъиый граф, с долями порядков т1,...,тп. Если т,1 = ... = тп = то, то соответствующий граф обозначается

через A'nxm (и является локально ЛТ(п_1)Хт-графом). Граф Л'1-П1 называется тп-лапой. Графом Тэйлора называется дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {к, /л, 1; 1. ц, к}.

Пусть М и N—конечные множества порядков m и п, соответственно. Два элемента из AI х N будем считать смежными, если они различаются точно в одной координате. Полученный граф называется m х п-решетпкой-, при m = п он сильно регулярен с параметрами (п2,2(п — 1),п — 2,2).

Треугольным графом Т(п.) называется граф 2-подмножеств множества порядка п, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются в точности по одной точке. Граф Т{п) сильно регулярен и имеет параметры (п(п - 1)/2,2(п - 2), п - 2,4). Окрестность каждой вершины в Т(п) изоморфна 2 х (« - 2)-рсшсткс, т.е. Т(п) — локально 2 х (п — 2)-репгетка. Верно и обратное: связный локально 2 х (п — 2)-граф изоморфен Т(п).

Изучение автоморфизмов дистанционно регулярных графов опирается на метод Хигмена приложения теории характеров конечных групп, представленный в третьей главе монографии Камерона [8]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X.7Z) с d классами, где X — множество вершин графа, — отношение равенства на X и для i > 1 класс Rt состоит из пар (и, и>) таких, что cl(u, w) = i. Для и G Г положим fa = |Г^(и)|, = |Г|. Классу Ri отвечает граф Г,- на множестве вершин X, в котором вершины и, w смежны, если (и, w) € Ri- Пусть А, — матрица смежности графа Г< для / > 0 и Л0 = / — единичная матрица. Тогда AtAj = YIp'ü^i Для подходящих неотрицательных целых называемых числами пересечений графа Г.

Пусть Рг — матрица, в которой па месте (J,l) стоит р\у Тогда собственные значения pi(0),...,pi(d) матрицы PL являются собственными значениями графа Г кратностей тп0 = 1 ,~-,rnd. Матрицы Р и Q, у которых на месте (i,j) стоят стоят pj{i) и gj(i) = mjPi(j)/7ii соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством PQ = QP = \Х\1.

Пусть uj и Wj — левый и правый собственные векторы матрицы Ри отвечающие собственному значению Pi(j) и имеющие первую координату 1. Тогда кратность m.j собственного значения P\{j) равна v/{uj,Wj}. Фактически, Wj являются столбцами матрицы Р и irijUj являются строками матрицы Q.

Подстановочное представление группы G = Aut(r) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы G в GL(n, С). Пространство С" является ортогональной прямой суммой собственных С-иивариант-пых подпространств W0,...,Wd матрицы смежности А = Ai графа Г. Для любого д е G матрица ф(д) перестановочна с А, поэтому подпространство Wi является ?,6(С)-и1тариантпым. Пусть Хг — характер представления фщ. Тогда для д € G получим

d

Xiifj) = v^^QijOtjig), з=о

где — число точек х из X таких, что (ж, хэ) € Щ. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и сели правая часть выражения для \{{д) — число рациональное, то хАд) ~ целое число.

Обобщенные четырехугольники 4, ¿) имеют допустимые параметры при £ € {1,2,4, 6,8,11,12,16}. Существование (7(2(4, ¿) известно при * € {1,2,4, 6,8, 16}. При t £ {11,12} неизвестно существование даже псевдогеомстричсских графов для СС}{АЛ). При t £ {1,2,4,16} существуют единственные С<3(4, ¿) (для Ь = 16 см. [10]).

В главе 2 доказано, что вполне регулярных локально С?<3(4,4)-графов нет (теорема 1) и получено описание вполне регулярных локально 6)-графов.

Подмножество Л обобщенного четырехугольника называется гиперовалом, если любая прямая пересекает Л по 0 или 2 точкам. То есть, гиперовал в — это регулярный подграф без треугольников валентности 1+ 1, имеющий четное число вершин. Известно (см. [14]), что //-подграфы в локально <7<3(8, £)-графах являются гиперовалами. Для гиперовала Д обобщенного четырехугольника прямую Ь назовем секущей, касательной и внешней прямой, если Ь П Д содержит две, одну и ноль вершин соответственно; точку, смежную с ребром Д, назовем реберной.

Теорема 1 [18]. Локально СС](4Л)-граф не является вполне регулярнъш.

Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 имеет следующий результат, полученный с помощью компьютерных вычислений.

Предложение 1 [18]. Пусть Д является гиперовалом в (3(5(4,4), ж; — число вершин вне Д, смежных точно с г вершинами из Д. Тогда и.иеется 16 гиперовалов, попарно несопряо¡сенных относительно группы автоморфизмов СС}{А,А) и выполняется одно из следуюгцих утверждений:

(1) |Д| = 10 и х2 = 75;

(2) |Д| = 16, х0 = 3,х2 = 16, х4 = 48 и х8 = 2;

(3) |Д| = 18 и либо Хо = 2,х2 = 15, х.1 = 30, .Те = 20, либо х0 = 4,х2 = 9, х.1 = 36, х0 = 18;

(4) |Д| = 22 и либо а'о = 2,ж2 = 5,Х4 = 20, .То = 25, ж« = 10. Хщ = 1, либо х2 = 15, хп = 45, XI а = 3;

(5) |Д| = 24 и либо хо = 2,х2 = 4,ж4 = 8,.т0 = 32. же = 11, Хщ = 4, либо Хо = 6,х6 = 40, х8 = 15;

(6) |Д| = 26 и либо хо = 2,х4 = 10, х6 = 20, хз = 20, Хщ = 7, либо х2 = 5, ж6 = 40, хш = 14;

(7) |Д| = 30 и либо хо = 2,хб = 5,х$ = 30, хщ = 18, либо хс, = 25, хю = 30;

(8) | Д| = 32, х0 = 1, же = 20, х10 = 32;

(9) |Д| = 34 и х10 = 51.

Теорема 2 [20]. Пусть Б — связный вполне регулярный локально С<2(4, 6)-граф. Тогда выполняется одно из следуюгцих утверждений:

(1) диаметр Г равен 2, Г имеет параметры (726,125.28,20) и спектр 1251,15225, —7500;

(2) Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {125,96,1; 1,48,125} на 378 вершинах и спектром 1251,542, -I123, -20168;

(3) Г - граф диаметра 3 с це {20,24,25,30,32,40}.

Следствие 1. Пусть Г является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вершины является обобщенным четырехугольником <5(5(4,6). Тогда либо диаметр Г равен 2 и Г имеет параметры (726,125, 28,20), либо Г — граф с массиво.ч пересечений {125, 96,1; 1,48,125}.

В главе 3 начата изучение локально С<2(5, ¿)-графов. Обобщенные четырехугольники ОС)(5Л) имеют допустимые параметры при Ь е {1, 3, 5, 7,10,15,19, 20,25}. Существование С<2(5, Ь) известно при £ 6 {1,3,5,7,25}. При t е {1,3} существуют единственные 02(5,1).

В случае Ь = 1 получаем локально 6 х 6-решеточный граф и известные примеры это граф Джонсона .7(12,6) и его стандартное частное. В диссертации изучены вполне регулярные локально С<5(5,3)-графы.

Теорема 3 ([19]). Пусть Г — связный вполне регулярный локально СС}{5,3)-граф). Тогда выполняется одно из утверждений:

(1) диаметр Г равен 2, Г имеет параметры (322,96,20,32) и спектр 961,4252, —1669;

(2) диаметр Г равен 4 и либо д = 8, либо Г — дистанционно регулярный граф) с массивом пересечений {96, 75,16,1; 1,16,75,96};

(3) диаметр Г равен 3 и/I £ {8,12,16,18,20,24}.

Пусть Г является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вершины является обобщенным четырехугольником 0(^(5,3). В [19, следствие] доказано, что либо

(г) диаметр Г равен 2 н Г имеет параметры (322,96,20,32), либо

(и) Г — граф с массивом пересечений {96,75,16,1; 1,16,75,96} на 644 вершинах, либо

(ггг) Г — граф с массивом пересечений {96,75,24,1; 1,8,75,96} на 1288 вершинах.

Эти результаты существенно уточнен в [22]. Оказалось, что параметр д ис равен 8 и диаметр Г не больше 3.

Теорема 4 [22]. Пусть Г является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вергиины является псевдогеолгетрическим графом для обобщенного четырехугольника (762(5,3). Тогда либо диаметр Г равен 2 и Г имеет параметры (322,96,20,32) или (697,96,20,12), либо Г — граф с лшссивом пересечений {96,75,16,1; 1,16,75,96}.

Следствие 2 [22]. Если Г является дистанционно регулярным графом, в котором окрестность каждой вершины является точечным графом для (3(3(5,3), то диаметр Г равен 2 и Г имеет параметры (322,96,20,32).

В главе 4 изучаются автоморфизмы сильно регулярнго графа с параметрами (322,96,20,32).

Теорема 5 [21]. Пусть Г является сильно регулярным графом с паралкт-рами (322.96,20,32), G = Aut(r), д — элемент прост,ого порядка р из G и П = Fix(<7). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) П — пустой граф, и либо р = 23, ai(g) = 92, либо р = 7. ai(g) € {112,252}, либор = 2, ar(g) € {32, 72,112,152,192,232, 272,312};

(2) ß является и-кликой и либо

(■¿) р = 3, n = lu &i{g) = 60t+ 36 или п = 4 и ai(g) = 60г+108, или п = 7 и «i (g) = 60r, либо

(ii) р = 5, п = 2 и a-i(g) = 100Í + 20 или п = 7 и а\{д) = 100/;

(3) Q является т,-кокликой (2 < т < 46), р = 2 и ai{g) = 20t + 4т + 12;

(4) Q содержит геодезический 2-путь, р <13, и в случае р = 13 имеем (|íí|,ai(flr)) € {(49,156), (75, 52), (88,104)}, если |П| = 49, то подграф П сильно регулярен, с параметрами (49,18,7,6), и каждая вершина из Г — Г2 смежна точно с 14 вершинами из П.

Результаты теоремы 5 уточняются в случае, когда окрестности вершин графа являются точечными графами для GQ(5,3).

Теорема 6 [21]. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (322,96,20,32), в котором окрестности вершин изоморфны точечному графу для GQ(5,3), G = Aut(r), g — элемент простого порядка р из G и Г2 = Fix(r/) — непустой граф. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) П является п-кликой и либо

(г) р = 3, п = 1 и «i(д) = 96 или п = 7 и cii(g) = 0, либо (и) р = 5, п = 2 и ai(g) = 60;

(2) Q является т-кокликой, т > 1, р = 2, т четно, ai(g) = 40г + 4т +112 и либо

(г) d{u,uP) = 1 для некоторой вершины и, смежной с вершиной из Í! и т < 10, либо

(и) ах{д) =0 um 6 {12,22,32}, либо

(iíi) для любой вершины а £ П в графе [а] нет вершин, смежных с их образами под действием g, oi(g) ^ 0 и т < 28;

(3) О. содержит геодезический 2-путь, р = 2 и П является объединением не более 6 изолированных вершин и октаэдра или Кз^-подграфа.

Следствие 3 [21]. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (322,96,20,32), в котором окрестности вершин изоморфны точечному графу для GQ(b,3). Тогда Г не является вершинио симметричиьш.

Доказательство следствия 3 опирается на результаты о группах с несвязным графом Грюпбсрга-Кегеля (см. [15]).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору фи'шко- математических паук, член-корр. РАН Махневу А.А. за поддержку и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brouwer А.Е., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag - 1989.

2. Махнев A.A. Конечные локально С(3(3,3)-графы // Сиб. матем. ж. 1994, т. 35, N б, 1314-1324

3. Махнев А. А. Локально С!Q(3,5)-графы и геометрии с короткими прямыми // Дискр. матем. 1998, т. 10, N 2, 72-86.

4. Махнев А.А., Падучих Д.В. О структуре связных локально С(^(3,9)-графов // Дискр. анализ и иссл. опер., сер. 1 1998, т.5, N 2, 61-77.

5. Blokhuis A., Brouwer А.Е. Locally 4-by-4 grid graphs // J. Graph Theory 1989, v. 13, 229-244.

6. Махнев А. А., Падучих Д.В. Расширения GQ(4,2), вполне регулярный случай /'/ Дискретная математика 2001, т. 13, N 3, 91-109.

7. Махнев А.А., Падучих Д.В. О вполне регулярных локально GQ(4,8)-графах // Доклады академии наук 2012, т. 446, N 2, 127-130.

8. Кагазежева A.M. О локально GQ(4,ll)-rpa4>ax // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.

9. Нирова М.С. Днетаиционпо регулярные локально СС2(4,12)-графы // Сибирские электрон, матем. известия 2013, т. 10, 144-150.

10. Махнев А.А., Падучих Д.В. Обобщенный четырехугольник GQ(4,16) и его расширения // Доклады академии паук 2013, т. 451, N 4, 378-380.

11. Махнев А.А., Падучих Д.В. О вполне регулярных локально GQ(5, 5)-графах // Доклады академии наук 2010, т. 435, N 1, 18-21.

12. Prager С.Е., Soicher L.H. Low rank representations and graphs for sporadic groups. Lecture series 8. Cambridge, University press, 1997.

13. Cameron P.J. Permutation Groups. London Math. Soc. Student Texts .X245. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1999.

14. Cameron P., Hughes D. R,, Pasini A. Extended generalized quadrangles // Geom. Dedic. 1990, v. 35. 193-228.

15. Кондратьев А.С. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы и его приложения // Алгебра и линейная оптимизация. Труды межд. семинара. Екатеринбург 2002, 141-158.

16. Jurisic A., Koolen J. Classification of the family AT4(qs,q,q) of antipodal tight graphs // J. Comb. Theory 2011, v. 118, N 3, 842-852.

17. Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of graphs (course notes), http://ww\v. win.tue.nl/ aeb/

Работы автора по теме диссертации

18. Махпсв A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально GQ(4,4)-rpa4)ax // Доклады академии наук 2010, т. 434, N 5, 583-58С.

19. Махпсв A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально GQ(5,3)-графах /7 Доклады академии паук 2010, т. 435, N 6, 744-747.

20. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально С(3(4,6)-графах // Доклады академии наук 2012, т. 444, N 2, 146-149.

21. Хамгокова М.М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (322,96,20,32) Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 162-170.

22. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. Дистанционно регулярные локально псевдо GQ(5,3)-графы // Доклады академии наук 2014, т. 457, N 5, 518-522.

23. Хамгокова М.М. Локально С<3(4,4)-графы: описание гиперовалов // Перспектива 2009. Материалы межд. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых, т. 8, КБГУ, Нальчик 2009, 124-128.

24. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально С<3(5,3)-графах // Теория групп и ее приложения. Труды восьмой Международной школы-конференции по теории групп. Нальчик 2010, 173-179.

25. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О вполне регулярных локально СО(4,6)-графах // Современные проблемы математики. Тез. докл. 43 Международной молод, конф. Екатеринбург 2012, 66-68.

26. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. О локально GQ(5,3)-графах // Алгебра и комбинаторика. Тез. докл. Международной конф., посвященной 60-летию A.A. Махнева, Екатеринбург 2013, 53-55.

27. Махнев A.A., Падучих Д.В., Хамгокова М.М. Дистанционно регулярные локально псевдо GQ(5,3)-графы /7 Тез. докл. X Международной школы-конферепцни но теории групп, посвященной 70-лстию В.В. Кабанова, Нальчик 2014, 43-45.

Напечатано с готового оригинал-макета. Формат 30x42 1/8. Усл. печ. л1 Бумага офсетная Подписано в печать 10.09.2014 г. Заказ №69. Тираж 100 экз. Типография «Принт-Центр». КБР, г. Нальчик, ул. Шогенцукова, 22.