Разделенная алгебра Брауэра и простые блуждания по градуированным графам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах

НИКИТИН Павел Павлович

РАЗДЕЛЕННАЯ АЛГЕБРА БРАУЭРА И ПРОСТЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ГРАДУИРОВАННЫМ ГРАФАМ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006 г.

Работа выполнена в лаборатории теории представлений и вычислительной математики Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор ВЕРШИК Анатолий Моисеевич.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор КУЛИШ Петр Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент КАРПУШЕВ Сергей Иванович.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится "_"_ 2006 года в_часов на

заседании диссертационного совета Д.002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_"_ 2006

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

. А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию одного класса локально-полупростых алгебр — алгебр Брауэра и близких к ним — возникших в теории классических групп и в современных исследованиях квантовых групп.

История возникновения этих алгебр такова. Пусть классическая группа (GLn(C), Оп(С), Spn(C)) действует в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим диагональное действие этой группы в тензорном произведении , определяемое формулой:

А ■ (i>i ® ... ® Vf) = Av\ <8>... ® Avf.

Рассмотрим действие симметрической группы 5/ в этом же пространстве,

а • (ы ® ... ® Vf) = (vff(i) ® ... ® îV(/)), сг G Sf. Заметим, что в теории алгебр Брауэра принято буквой п обозначать параметр алгебры (размерность пространства V), а число тензорных сомножителей — буквой /. Поэтому для симметрической группы используется несколько непривычное обозначение Sf.

Несложно проверить, что построенные действия групп GLn{С) и 5/ коммутируют На самом деле справедливо намного более сильное утверждение, именно, как доказал в в 1901 году И. Шур в своей диссертации, эти действия порождают коммутанты друг друга. Этот факт носит название двойственности Шура-Вейля и является одним из центральных фактов теории представлений обеих групп.

Например, вопрос о разложении диагонального действия полной линейной группы в End(V®^) на неприводимые компоненты сводится к описанию коммутанта Cf(Gln(С)) образа этого действия. Соответственно, тот же вопрос для ортогональной группы приводит нас к рассмотрению алгебры Cf(On(C)). Однако, по выражению Г. Вейля, эта последняя алгебра является "несколько загадочной", что вынудило его прибегнуть при исследовании действия ортогональной группы к другим методам.

Для изучения коммутанта Cf(On(С)) Р. Брауэр [5] в 1937 году ввел ассоциативную алгебру диаграмм Вг/(п) и гомоморфизм

Ьг : Вту(п) и- С/(0„(С)).

Определение алгебры Brf(n) (алгебры Брауэра) имеет смысл при любом п£С, причем при достаточно больших по модулю числах п G Z

алгебра не является полупростой. Сравнительно дптттгпг^прпитт иг утя,-валось ни доказать, что алгебра является полупростой

С.-Петербург оэ

построить описание факторалгебры по радикалу при пей. Частичные результаты были получены в 1956 году Брауном, однако полное описание неприводимых представлений и ветвления для семейства алгебр {Brf(n)} было получено только в 1988 году X. Венцлем [10] при помощи условных ожиданий и основной конструкции В. Джонса [6].

Открытие В. Джонсом и Л. Кауффманом полиномиальных инвариантов узлов, а также исследования квантовых групп позволили обобщить эти алгебры. Дж. Бирман и X. Венцль в 1989 году построили двухпа-раметрическую алгебру Сп(1,т) (алгебру Бирман-Венцля), частным случаем которой оказалась алгебра Брауэра (см. [4]). Обобщение построенных инвариантов привело В. Г. Тураева к введению в том же году в работе [2] алгебр Я^Дх, у), описывающих инварианты связок. При соответствующем выборе параметров Н^1{х{п),у{п)) = Я^Дп) с Вг^+^п).

Полученные алгебры #^¡(71), разделенные алгебры Брауэра, являются основным предметом изучения первой главы настоящей диссертации, предложенное описание ее свойств может быть использовано в дальнейшем в теории представлений и топологии.

Вторая глава диссертации посвящена изучению бесконечномерных алгебр Брауэра с точки зрения теории локально-полупростых (л.п.п.) алгебр. Л.п.п. алгебры, как и их С*-оболочки, аппроксимативно-конечные (АР) алгебры, полностью определяются своим графом ветвления (диаграммой Браттели). Мы используем соответствующие построения диаграмм Браттели для алгебр Брауэра (X. Венцль), алгебр разбиений (П. Мартин) и разделенных алгебр Брауэра (глава 1 настоящей диссертации). Задача о нахождении характеров АР-алгебры, как показано А. М. Вершиком и С. В. Керовым (см. [1]), есть задача об инвариантных (центральных) мерах на пространстве путей графа ветвления, которая может быть решена при помощи эргодического метода, включающего метод конечномерных приближений. Этот метод применяется в диссертации для описания следов рассматриваемых л.п.п. алгебр.

Полным инвариантом АР-алгебры А является тройка (Ко(А), К£(А), е), где К0{А) —Группа Гротендика АР-алгебры, изоморфная группе размерностей любой диаграммы Браттели этой алгебры, К£(А) — конус истинных модулей и е — порядковая единица в Кд(А). Мы приводим описание группы размерностей для бесконечномерных алгебр Брауэра и разделенных алгебр Брауэра.

В приложении к данной работе описывается реализация представлений симметрической группы 5/, отвечающих двустрочечным диаграммам. Эта тема входит в программу намеченного А. М. Вершиком но-

вого подхода к теории представлений симметрических групп. Случай двустрочечных диаграмм является весьма специальным, и предлагаемая реализация проще классических "модулей Шпехта"; она может быть использована при изучении индуцированных представлений бесконечной симметрической группы.

Цель работы. Основной целью данной работы является описание семейства конечномерных разделенных алгебр Брауэра, построение теории представлений этих алгебр, а также реализация аппроксимативно-конечномерного подхода к описанию конечных следов на АР-алгебрах, отвечающих простым блужданиям по градуированным графам и, в частности, описание конечных следов для индуктивных пределов алгебр Брауэра, разделенных алгебр Брауэра и алгебр разбиений.

Общая методика работы. В работе использовались как классические методы теории представлений и анализа (вычисления характеров, использование явной реализации представлений, асимптотика), так и специфические методы теории локально полупростых алгебр. Особенно стоит отметить эргодический метод в теории л.п.п. алгебр, предложенный А. М. Вершиком, и метод "основной конструкции Джонса", являющийся, после работы X. Венцля, базовым инструментом в исследовании семейств конечномерных алгебр, подобных рассматриваемым в диссертации.

Основные результаты работы и их научная новизна. Бблыпая часть положений диссертации, выносимых на защиту, являются новыми. На завершающей стадии написания диссертации было обнаружено, что исследуемая в первой главе диссертации разделенная алгебра Брауэра была независимо от работы В. Г. Тураева введена К. Койке ([8]), и изучалась в работах Дж. Бенкарт, Т. Халверсона и Р. Ледука ([3]). Основные достижения первой главы диссертации:

— получено описание разделенной алгебры Брауэра через образующие и соотношения и как коммутанта диагонального действия полной линейной группы в смешанных тензорах, построена теория представлений введенной алгебры (эта часть работы была независимо доказана указанными выше авторами);

— построена новая реализация представлений рассматриваемой алгебры, для алгебры Брауэра и разделенной алгебры Брауэра приведено новое, более естественное доказательство формул для характеров;

Результаты второй главы являются новыми; формулировка частного случая теоремы о следах (для алгебр Брауэра) была приведена без доказательств и пояснений в работе С. В. Керова. Основными достижениями второй главы диссертации можно считать следующие:

— Введена операция паскализации графа (построение по &+-градуиро-ванному графу Г графа простого блуждания по Г). Показано, что при некоторых условиях на граф ветвления всякая центральная мера на паскализованном графе сосредоточена на исходном графе как подграфе паскализованного, и, тем самым, совпадает с некоторой центральной мерой на самом графе; полученный результат применяется для описания центральных мер на графах ветвления семейств алгебр Брауэра, разделенных алгебр Брауэра и алгебр разбиений;

— для алгебр Брауэра и разделенных алгебр Брауэра приведено необходимое и достаточное условие на путь для существования построенного по этому пути предельного характера, дано описание этого характера.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в различных областях математики и приложений, использующих алгебры Брауэра и алгебры разбиений, а также при изучении индуктивных семейств алгебр. Перспективным направлением исследования является также перенесение результатов, полученных во второй главе работы, на неполупростой случай, в том числе и при рассмотрении деформаций алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в четырех работах [И, 12, 13, 14], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и дополнения, разбитых на параграфы. Нумерация утверждений (лемм, предложений, теорем) ведется совместно, отдельно для каждого параграфа. Текст диссертации изложен на 87 страницах. Список литературы содержит 49 наименований.

содержание работы

В первой главе диссертации изучаются конечномерная алгебра Брау-эра Вг/(п) и ее важная подалгебра (разделенная алгебра Брауэра) Я^(п) Показано, что алгебра #*Дп) для общего значения параметра п может быть определена как коммутант алгебры, порожденной диагональным действием группы С1п(С) в смешанных тензорах; доказано задание алгебры #*,/(п) через образующие и соотношения. Доказано, что эта алгебра является полупростой при п ^ Ъ, для полупростого случая найден список неприводимых представлений, построен граф ветвления, найдена реализация представлений и предложен новый способ доказательства формул для характеров.

В первом параграфе дается принадлежащее Р. Брауэру определение С(х)-алгебры Брауэра Вгона порождается как векторное пространство диаграммами вида

еВг6

с естественным умножением,

-!_) 1_' ■ ■» I-> Т '-1=1—'

Аналогично задается С-алгебра Брауэра Вг/(п), п е С, с заменой всех вхождений переменной х на число п.

Образующие алгебры Брауэра <т, и е„ 1 < г < / - 1, выглядят следующим образом:

I »+1 » «+1

Следующий классический результат ([5]) является отправной точкой всей теории:

Теорема (1.1.2). Существует гомоморфизм Ьг : Вг}(п) н* Епс1(1/'®^) алгебры Брауэра на коммутант С/(Оп(С)) ортогональной группы Оп(С)

Замечание (1.1.3). Гомоморфизм Ьг инъективен при п ^ /.

Во втором параграфе определяется основной объект изучения: алгебры, введенные В. Г. Тураевым ([2]). Назовем (/, д)-связкой, ¡,д е одномерное гладкое компактное подмногообразие Ь многообразия Е2 х [0,1], для которого

ЭЬ = М2 х{0,1}) = {(г, 0,0)|г - 1,2,..., />и{(;, 0,1)1; = 1,2,..., д},

причем в точках края многообразие Ь ортогонально плоскостям К2 х О и I2 х 1. Можно ввести (частично определенную) композицию связок, аналогично композиции в группе кос. Далее, аналогично многочленам Джонса-Конвея и Кауффмана, можно ввести изотопический инвариант связок; при некотором выборе параметров мы тем самым приходим к алгебре при этом Я*Дп) С Вгк+1{п).

Мы вводим равносильное определение следующим образом. Введем в алгебре Вгк+1{п) линейное отображение Ф^;, задаваемое на диаграмме переменой мест последних I точек в верхнем и нижнем рядах диаграммы (удобно представлять себе "поворот" левой части диаграммы):

Предложение (1.2.3). Алгебра Нк,1(п) как векторное пространство имеет базис из элементов вида ф^дсг), о 6 Як+1 с Вгк+1(п).

Можно представить себе следующее описание диаграмм, порождающих эту алгебру представим себе "стенку", соединяющую точку между к-й и (к + 1)-й точками верхнего ряда с аналогичной точкой нижнего ряда:

Тогда любая дуга, принадлежащая диаграмме d € Hkti(n), будет соединять точки из разных рядов, если она не пересекает стенку, и из одного ряда, если пересекает. Это позволяет назвать алгебру Hk,i(n) разделенной алгеброй Врауэра (walled Brauer algebra), см. [3].

Третий параграф посвящен описанию алгебры Hk,i{n) как коммутанта. Рассмотрим диагональное действие группы GLn(С) в смешанных тензорах

А-(г>1®.. .®vk®v*k+1®.. .<gw£+/) = A-ui®...®A-Vk®A-v*k+i. .®A-v*k+l.

Используя изоморфизм V и V*, мы можем записать изоморфное действие в тензорном произведении V®k+l:

. .®Vk®Vk+1®.. -®Vfc+¡) = A-vi®.. .<8>A-vk®A'-Vk+i®.. .®Ä-Vk+i, где А! = (Л4)"1.

Теорема (1.3.4). Образ Ьг(Нк,1(п)) изоморфен коммутанту алгебры, порожденной диагональным действием группы СЬп(С) в смешанных тензорах V®* (3) V*®'. При п ^ к+1 отображение Ьг переводит алгебру Нк,1{п) на образ Ьг(Нк,1(п)) изоморфно.

Четвертый параграф содержит задание алгебры через обра-

зующие и соотношения:

Теорема (1.4.1). Я^Дп) есть подалгебра алгебры Вг^^п), порожденная образующими ста,..., (Хк-ъ &к+г, • • •, &к+1-1, и определяющими соотношениями

а? = 1, гфк\ {агаш)3 = 1, 1ф к - 1,к + 1; (1.4)

е*<7, = г ф к - 1, к + 1; (1.5)

е\ = пек, екСк-\ек = екак+1 ек = ек, (1.6)

ек0к-1<?к+1ек = ек-1<Гк+1ек<7к-1&к+1ек', (1-7) НкМ) = • • ■, °к-1, ек, (Тк+ь • • •, <Тк+1-1 | (1-4)—(1.7))

В пятом параграфе для двух полупростых С-алгебр А С В определяются конструкция Джонса и условное ожидание, сохраняющее след. Пусть ^ : В н-> С — след на алгебре В, невырожденный как на самой алгебре, так и на подалгебре А, тогда условное ожидание, сохраняющее след, задается, как единственное отображение ел '■ В к» А, для которого

1}г(Ь-)|л = <;г(ел(&)-)|4, Для любого Ье В.

Замечание (1.5.1). Можно ввести другое определение условного ожидания ел, не использующее след (см. [9]), положив по определению

ед^Ьа?) = а^^аг, для а^аг £ А, Ь £ В; ед(Ь*) = ед(&)*, Ь £ В.

В этом случае ядро Кеггл будет двусторонним идеалом относительно А, в то время как для введенного выше определения Кегед есть ортогональное дополнение к Л (в смысле следа). Для введенного таким образом ожидания также справедлив аналог конструкции Джонса. В теории С*-алгебр принято накладывать на ожидание условие положительности: ожидание Р : В А называется положительным, если для любого 6 £ В значение Р(ЬЬ*) положительно, те., лежит в конусе, порожденном элементами вида аа*, а £ А; иногда накладывается более строгое условие полной положительности. В работе [9] показывается, что полезно также рассматривать неположительные (или обобщенные) ожидания. Это не отмечено X. Венцлем, но введенное им ожидание 6/ : Вг/ I—>• (см. ниже) не является положительным; неположительно уже его сужение на симметрическую группу, виртуальная проекция, см. [9].

Понятие условного ожидания являлось ключевым для построения в 1988 году X. Венцлем теории представлений алгебр Брауэра. Именно,

рассмотрим левое регулярное представление алгебры В, при этом алгебру В, рассматриваемую как векторное пространство, будем обозначать через В{, а соответствующие элементы алгебры — через Ь^. Пусть алгебра С = Епс1(В^) есть алгебра всех линейных преобразований пространства и рассмотрим элемент ед € ЕпсЦ-В^), едЬ^ — е(Ь){. Обозначим через (В, ел) алгебру, порожденную В и ед.

Предложение (1.5.2, [6, 10]). 1. Для полупростых алгебр А и В, невырожденного следа ^ и условного ожидания алгебра {В, ед) изоморфна коммутанту алгебры А в Еп<1(В^). В частности, эта алгебра полупроста.

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между простыми компонентами алгебр А и (В, ел), при этом минимальному идемпотенту р £ Л; отвечает минимальный идемпотент ре а 6 {В,еА)г. При этом соответствии диаграмма Браттели для алгебр В с (В,ед) есть отражение диаграммы Браттели для алгебр

Алгебру (В,ел), описанную в предложении, как и процесс ее построения, называют (основной) конструкцией Дснсонса.

X. Венцль ([10]) ввел условные ожидания е/ : Вг](п) Вг}-\{п), что позволило ему построить диаграмму Браттели для семейства алгебр Брауэра при п Ъ (см. рис. 1).

Для применения конструкции Джонса к построению графа ветвления для семейства разделенных алгебр Брауэра, по аналогии с работой [10], в шестом параграфе задается некоторое семейство полиномов {Ра,м(п)}> значения каждого из которых для достаточно больших п £ N будет отвечать размерности представления специального вида группы ОЬпС.

Седьмой параграф посвящен непосредственно построению теории представлений алгебр Нк,1(п). Именно, вводятся условные ожидания £к,1-\ ■ Нк,1{п) Ям^(п), что приводит к следующему результату.

Ас В. 3. (В,еА) = ВеАВ.

Рис. !• Диаграмма Браттели для семейства алгебр Брауэра.

Обозначим через Г^^ множество всех пар диаграмм Юнга (Л, р), для которых |А| < к, \р\ < I, |Л| - |/х| = к - I. Мы будем писать р /■ у! (соответственно, д \ д'), если диаграмма р! получается из диаграммы \х добавлением (соответственно, удалением) одной клетки.

Теорема (1.7.6). 1. С(х)-алгебра Нщ полупроста. Она раскладывается в прямую сумму полных матричных алгебр H^f, при (Л, р) £ Tkti. Неприводимое представление (к, I, Л, р), отвечающее алгебре Нк f, при сужении на Hk~\ti раскладывается в прямую сумму

где сумма берется по всем парам диаграмм (//, А'), таким что либо А' = А и р /* р!, либо А \ А' и р' ~ р. Веса следа т задаются вектором (РХф{х)/хш)МеГк1

2. Пусть алгебры Hk-ij-i(n) и Hk,i-\(n) полупросты. Если след тп — невырожден на Hk,i-1, то алгебра Hk,i{n) полупроста. В этом случае Hkii(n)®C(x) = Hk,i, и веса следа тп па Hk,i(n) задаются вектором {Р\,р{п)/nk+l)(\tli)zrkl; ветвление для алгебр Hk,i-i(n) с Hk,i{n) совпадает с ветвлением для Hk-i,i-i с Hkj-i-

Следствие (1.7.7). Если п ^ N, то алгебра Hk,i{n) полупроста и след тп невырожден для любых k,l N.

Для произвольного fco мы можем рассмотреть цепочку алгебр

где /-я алгебра в этой цепочке равна £)/ = Я^+[у/2],[(/+1)/2](")- Доказанная теорема позволяет построить граф Браттели для такой цепочки при п$.Ъ. Например, диаграмма Браттели для ко = 0 изображена на рис. 2.

Рис. 2 Диаграмма Браттели для семейства {JSf[//а),ц/+1>/2](")}/^о-

ва__

0Д

Далее в восьмом и десятом параграфах строятся реализации всех неприводимых представлений алгебр Вг/(п) и Я^(п) как скрещенного произведения простейшего представления соответствующей алгебры и

(MAm) = ®(*-UAV)

С [S*,] s Hbflin) с H^in) с Hh+lil(n) с • • • с Df с ..

• J

некоторого представления групповой алгебры симметрической группы С[55] (или групповой алгебры С[5Р х 5д]). Для алгебры Брауэра эта реализация была предложена без доказательств С. В. Керовым.

В девятом и одиннадцатом параграфах предлагается новый, более естественный способ подсчета характеров алгебр Вг/(п) и Нк^{п). Характеры представлений алгебры Брауэра приведены С. В. Керовым (без доказательства) и, позднее, А. Рамом. Подсчет характеров, принадлежащий А. Раму, опирается на соотношения между симметрическими полиномами, описанные Литтлвудом. В конечной формуле характер неприводимого представления алгебры Брауэра описывается суммой характеров неприводимых представлений симметрической группы с коэффициентами, равными числам Литтлвуда-Ричардсона. Это позволяет предположить, что возможен вывод формул для характеров алгебры Брауэра посредством использования индуцированных представлений симметрической группы (эта возможность не отражена в рассматриваемой работе). В девятом параграфе представлен такой вывод, существенно упрощающий выкладки (схема такого вычисления характеров алгебры Брауэра была предложена С. В. Керовым еще в 1987 году). В одиннадцатом параграфе проведено подобное вычисление для разделенной алгебры Брауэра (характеры представлений разделенной алгебры Брауэра впервые подсчитаны в 1996 году Т. Халверсоном).

Теорема (1.9.4). Пусть <1 е Вг/(п), £ £/-2/» тогда

Теорема (1.11.4). Пусть <1 € Я^Дп), ш{д) е Як-н х $1-11 тогда

Вторая глава посвящена индуктивным пределам семейств алгебр, изучавшихся в главе 1, и возникающим обобщениям.

В первом параграфе даются основные определения и используемые теоремы Основным объектом изучения являются локально полупростые (л.п.п.) алгебры — счетные индуктивные пределы конечномерных полупростых алгебр и их С*-оболочки, аппроксимативно-конечные (АР-) С*-алгебры. Вводятся понятия диаграммы Браттели (графа ветвления) индуктивного семейства алгебр, (эргодических) центральных мер, (конечных, неразложимых, нормированных) следов, Ко-функтора, описываются их свойства; описываются факты

из теории представлений AF-алгебры C^S«,) = C*(u^i0C[5/]). Основная теорема второй главы диссертации опирается на эргодический метод нахождения центральных мер (см. [1]):

Теорема (2.1.3). Рассмотрим произвольный Z+-градуированный граф и произвольную эргодическую центральную меру ß на нем. Тогда множество путей вида s = (so si • • • /■ Sf /■ ...) таких, что для всех вершин d выполняется

= Ит dim(rf) • dim(d; Sf)

/-►oo dims/

имеет полную меру.

Напомним, что диаграмма Браттели групповой алгебры бесконечной симметрической группы есть граф Юнга ¥(см., например, [1]). Описание характеров для бесконечномерных алгебр Брауэра основано на описании характеров алгебры С*(Goo):

Теорема (2.1.8, [1]). Следующие условия на путь равносильны

1 для любого т Ji 2 существует предел

Km *Д/(7т) , lim ——— = sm,

/—юо dim А/

2. для любого к = 1,2,... существуют пределы

Г /*(л/) г 9k(bf) о

lim у = ак, lim = ßk.

/->00 / /-+00 }

Если эти условия выполняются, то sm — аТ + l)m+1 ßk-

Во втором параграфе вводится определение паскализации графа Пусть Г есть Z+-градуированный локально-конечный граф с единственной начальной вершиной без висящих вершин, пусть Г* — множество вершин к-того этажа, к £ Z+. Мы будем писать |А| = г, если А € Г,, и А и (соотв. А \ и), если вершина v следует за вершиной А (соотв. предшествует вершине А). Определим новый 2+-градуированный граф П(Г), у которого множество вершин fc-того этажа П(Г)^ есть объединение множества Г/с и множества вершин всех предшествующих этажей графа Г той же четности. Обозначим вершины fc-ro этажа П(Г)* графа П(Г) через (к, А), где А е Г,, i < к, к — г = 0(mod2). Ребра графа П(Г) зададим следующим образом:

(А;, А) (Л+ l,i/) А / V или А \ v.

Операцию перехода от графа Г к графу П(Г) будем называть паскали-зацией, а граф П(Г) — паскализованным графом. Несложно проверить, что следующее определение равносильно: для получения k-то этажа графа П(Г) мы отражаем (к — 2)-й этаж этого графа относительно (.к - 1)-го (вместе с соответствующими ребрами) и затем к полученному отражению добавляем к-й этаж Г* графа Г, вместе с ребрами, характеризующими включение с Г*.

Диаграммы Браттели для алгебр Брауэра Вгж = Ип^Вг/, разделенных алгебр Брауэра Вгх<00 = Hnjt#jy и алгебр разбиений Partoo = ljiti Partj описываются в терминах паскализации. Именно, переформулируя в удобных нам терминах результаты X. Венцля, П. Мартина и результат главы 1 настоящей диссертации мы получим, что диаграмма Браттели алгебры Брауэра Вг^ есть паскализация графа Юнга, диаграмма Браттели разделенной алгебры Брауэра Вгж сс и и диаграмма Браттели алгебры разбиений Partoo есть паскализации графов Y, Y, где графы Y и Y получаются несложным образом из графа Юнга:

Г(Вгоо) = n(Y), Г(5г00,00) = П(¥), V(Partoo) = П(¥).

В третьем параграфе изучаются центральные меры на паскализа-циях графов. Оказывается, при некоторых условиях на граф ветвления всякая центральная мера на паскализованном графе сосредоточена на исходном графе как подграфе паскализованного, и, тем самым, совпадает с центральной мерой на самом графе. В основе доказательства лежит следующая лемма:

Лемма (2.3.1). Если для вершин графа П(Г) выполняется условие

lim max —,. ,, ..— = О, /•чоо а, |а|</ dim(/, А)

тогда для любой центральной эргодической меры ц на графе П(Г) и любой вершины (/о, A) G П(Г)/0, |А| < /о, будет выполняться а)) = 0.

Назовем стабильным ^-градуированный граф, удовлетворяющий условию леммы. Для произвольного индуктивного семейства алгебр

А, а С С Аг С • • • С Ах С ...,

положим ai+i = [dim Ai+i/dim Ai], I £ Z+, где dim A; — размерность алгебры. Назовем граф ветвления Г, отвечающий семейству алгебр

А0 S С С А! с • • ■ С Аг С ...,

почти стабильным, если для произвольного числа I €Е Z+ и представления Л 6 Г; выполняется

dim(lndj+l А) = aj+i dim А.

Лемма (2.3.3). Для почти стабильного графа ветвления отношение размерностей dim(/, A)/ dim А зависит только от номера этажа f и от номера этажа исходного графа |А|. Иначе говоря, существуют числа M(f, I), для I ^ f, f — I = 0(mod2), такие что

dim(/, А) = М(/, |А|) dim А,

для любого представления (/, А) € П(Г)/. Числа M(f,l) задаются по индукции соотношениями

M(f,f) = 1; М(2/ -f 2,0) = М(2/ + 1,1), / = 0,1,2,...;

М(/, 1) = M{f -l,l-l) + at+1M(f -1,1 + 1), 0 <Kf, / = 0,1,2,.

Теорема (2.3.10). Почти стабильный граф ветвления является стабильным тогда и только тогда, когда

sup{a¿ = [dimA//dim A¡-i}} = оо. i

Мы получили критерий сохранения центральных мер при паскализа-ции графа. Если условия теоремы 2.3.10 выполнены, тогда

1. всякая центральная мера на графе П(Г) сосредоточена на подграфе Г С П(Г), и, таким образом, совпадает с центральной мерой на Г;

2. следовательно, существует естественная биекция между множествами центральных мер Cent(r) Cent(II(r)) и вытекающая из нее биекция между следами на соответствующих алгебрах.

Теорема (2.3.11). Для каждой из алгебр Вгх, Вгх,х, Partoo диаграмма Браттели есть паскализация П(Г) некоторого графа Г. При этом центральные меры графа П(Г) сосредоточены на подграфе Г С П(Г), они находятся во взаимно-однозначном соответствии с центральными мерами графа Г.

Полученные результаты о центральных мерах переносятся на деформации алгебр Брауэра (алгебры Бирман-Венцля) и деформации разделенных алгебр Брауэра для общих значений параметров.

В четвертом параграфе описано необходимое и достаточное условие на путь для существования предельного характера и описание этого характера, в духе теоремы 2.1.8. Ответ дается следующими теоремами.

Теорема (2.4.3). Следующие условия на путь {A/}^L0 в графе ветвления семейства {Br¡(n)} равносильны

1. для любого m ^ 2 существует предел

у хЛ/Ы /-+О0 dim А/

2 для любого к = 1,2,... существуют пределы

}шЩй = ак, lim

/->оо / /->оо /

Предельный характер отвечает характеру симметрической группы Ха,в ■ Для алгебр Hk,i{n) выполняется следующее.

Теорема (2.4.6). Существование предела характеров

Iim

/->оо dim(fc,/, А/, /х/) для пути {{k(f),l(f),\f,iif)}fL0 равносильно существованию пределов

шЩ = ар! шЯМ-ъ

/-+00 к /-»00 к

/->00 I У /-+00 I И

Предельный характер отвечает характеру Ха,0 х Х«',^' группы ©оо х б „о.

Пятый параграф посвящен ^о-функтору. Результаты здесь пока предварительные, основной факт следующий:

Теорема (2.5.1).

ЧВГоо)/1 * К0(С[6„]), K0(BroOiOO)/I S /Г0(С[воо х ©J), ЩРаНж)/1 = ^o(C[6oo]).

Приложение содержит описание реализаций двустрочечных представлений симметрической группы 5/ и представлений в форме "крюка".

Пусть Aftk — векторное пространство бесквадратных симметричных k-линейных форм от / переменных, и пусть А°к — подпространство пространства A¡¿, задающееся уравнениями вида "сумма по любому одномерному направлению равна нулю", т. е.

A°f k = c¡x¡ е Aftk\ У: c¡ij = 0 для любого /'}. №

В пространстве A¡ ¡¡ есть естественное действие симметрической группы Sf:

а ■ °ixi - ColXl' а е Sf'

подпространство А°^к, очевидно, инвариантно относительно этого действия. Обозначим соответствующие представления группы S/ через TT/,* и n°j k. Будем обозначать модуль Шпехта, отвечающий диаграмме Л, через vx.

Теорема (А.1.1). тг°Л =* !/</-*■*>; nf¿ = £*=0 i/'-'A

Для пространства Л/,* описано явное разложение на инвариантные подпространства; также описано разложения на инвариантные подпространства пространства А°^к, при сужении построенного неприводимого представления на подгруппу S¡-\.

Для рассмотрения диаграмм в форме крюка введем аналогично B/¿ — векторное пространство кососимметричных к-линейных форм от / переменных, и В®к — подпространство пространства B¡:k, задающееся уравнениями вида "сумма по любому одномерному направлению равна нулю"

Теорема (А.3.1). Щк * ^ s „(/-M*) $ ^(/-fc+U*-1).

Для этого случая также описаны явные разложения на инвариантные подпространства пространств B¡¿ и Bfk.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору A. M Вершику за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Вершик A.M., Керов C.B. Асимптотическая теория характеров симметрической группы. // Функ. ан. и прил. 1981. Т. 15. Вып. 4. С. 15-27.

[2] Тураев В. Г. Операторные инварианты связок и R-матрицы. Ц Известия АН СССР, сер. матем. 1989. Т. 53. Вып. 5. С. 1073-1107.

[31 Benkart G., Chakrabarti M., Halverson T., Leduc R., Lee C. and Stroomer J. Tensor product representations of general linear groups and their connections with Brauer algebras. // J. Algebra. 1994. V. 166. N. 3. P. 529-567.

[4] Birman J. S., Wenzl H. Braids, link polynomials and a new algebra. // Trans. AMS. 1989. V. 313. N. 1. P. 249-274.

[5] Brauer R. On algebras which are connected with the semistmple continuous groups. Ann. of Math. 1937. V. 38. N. 4. P. 854-872.

[6] Jones V. F. R. Index for subfactors. // Inv. Math. 1983. V. 72. P. 1-25.

[7] Kerov S. V. Characters of Hecke and Birman-Wenzl algebras. // (in Quantum Groups, Proc. Workshops Euler Int. Math. Inst., Leningrad, USSR). Lect. Notes in Math. 1991, V. 1510, P. 335-340.

[8] Koike K. On the decomposition of tensor products of the representations of classical groups: By means of universal characters. // Adv. in Math. 1989. V. 74. P. 57-86.

[9] Vershik A. M. Gelfand-Tsetlin algebras, expectations, inverse limits, Fourier analysis. // in "Unity of Mathematics. In Honor of the Ninetieth Birthday of I.M.Gelfand". Progr. Math 244, Birkhauser. 2005.

[10] Wenzl H. On the structure of Brauer's centralizer algebras. // Annals of Mathematics. 1988. V. 129. N. 1. P. 173-193.

Публикации автора по теме диссертации

[11] Никитин П. П. Реализация неприводимых двустрочечных представлений Sn в бесквадратных симметрических формах. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. Т. 301. С. 212-218.

[12] Никитин П П. Теория представлений и граф ветвления семейства алгебр Тураева {Я^"}^. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 325. С. 171-180.

[13] Вершик А. М, Никитин П. П. Следы на бесконечных алгебрах Брау-эра. // Функ. ан. и прил.. 2006. Вып. 3.

[14] Никитин П. П. Описание коммутанта действия группы GLn{С) в смешанных тензорах. // Препринт ПОМИ 08/2006.

Подписано в печать 03.05.2006. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ №1/305. П. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес юр.: 194017, Санкт-Петербург, Скобелевский пр., д. 16. Адрес факт.: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812)327 5098

¿MP6/Í i //ййГ

Введение

1 Конечномерные алгебры Брауэра

1.1 Определение алгебр Брауэра.

1.2 Определение алгебр Тураева.

1.3 Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра

1.4 Образующие и соотношения для алгебры H/.ti(n).

1.5 Конструкция Джонса, теория представлений алгебр Брауэра

1.6 Построение полинома размерностей.

1.7 Описание представлений и ветвления для алгебр

1.8 Реализация неприводимых представлений алгебры Брауэра

1.9 Характеры неприводимых представлений алгебры Брауэра

1.10 Реализация неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра.

1.11 Характеры неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра.

2 Бесконечномерные алгебры Брауэра

2.1 Определения и теоремы из теории л.п.п. алгебр.

2.2 Паскализация графов и л.п.п. алгебры Вг^, Вг^оо, Partoo

2.3 Теорема о центральных мерах на паскализованном графе

2.4 Описание характеров алгебр Брауэра.

2.4.1 Характеры алгебры Вгоо.

2.4.2 Характеры алгебры Br00i00.

2.5 Замечания о -Й^-функторе.

2.5.1 Группа инфинитезимальных элементов.

2.5.2 Группа размерностей Ко(Вгоо ).

2.5.3 Группа размерностей Kq^Bt^oo)

А Реализация некоторых представлений группы S/

А.1 Двустрочечные диаграммы.

А.2 Доказательства.

А.З Диаграммы в форме крюка.

Диссертация посвящена исследованию одного класса локально-полупростых алгебр — алгебр Брауэра и близких к ним — возникших в теории классических групп и в современных исследованиях квантовых групп.

История возникновения этих алгебр такова. Пусть классическая группа (GLn(С), Оп(С), Spn(С)) действует в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим диагональное действие этой группы в тензорном произведении V®^, определяемое формулой

А • (ui ® . ® Vf) = Avi <g>. ® Avf.

Если мы рассмотрим действие симметрической группы1 Sf в этом же пространстве, о ■ (ы ® . ® vf) = (va(i) ® . ® va(f)), a е Sf, то несложно проверить, что построенные действия групп GLn(С) и Sf коммутируют. На самом деле справедливо намного более сильное утверждение, именно, как доказал в в 1901 году И. Шур в своей диссертации [39], эти действия порождают коммутанты друг друга. Этот факт носит название двойственности Шура-Вейля и является одним из центральных фактов теории представлений обеих групп.

Например, вопрос о разложении диагонального действия полной линейной группы в End(V®^) на неприводимые компоненты сводится к описанию коммутанта Cf(Gln(С)) образа этого действия [1]. Соответственно, тот же вопрос для ортогональной группы приводит нас к рассмотрению алгебры С/(Оп(С)). Однако, по выражению Г. Вейля, эта последняя алгебра является "несколько загадочной", что вынудило его прибегнуть при исследовании действия ортогональной группы к другим методам.

Для изучения коммутанта Cf(On(С)) Р. Брауэр [15] в 1937 году ввел ассоциативную алгебру диаграмм Бг/(п) и гомоморфизм

Ьг : Brf(n) Cf(On(С)).

Определение алгебры Brf(n) (алгебры Брауэра) имеет смысл при любом пвС, причем при достаточно больших по модулю числах п £ Z гВ теории алгебр Брауэра принято буквой п обозначать параметр алгебры (размерность пространства V), а число тензорных сомножителей — буквой /. Поэтому для симметрической группы используется несколько непривычное обозначение 5/. алгебра не является полупростой. Сравнительно долгое время не удавалось ни доказать, что алгебра является полупростой при п £ Z, ни построить описание факторалгебры по радикалу при п € Z. Частичные результаты были получены в 1956 году Брауном [13, 14], однако полное описание неприводимых представлений и ветвления для семейства алгебр {Вг/(тг)} было получено только в 1988 году X. Венцлем [45] при помощи условных ожиданий и основной конструкции В. Джонса.

Открытие В. Джонсом и JL Кауффманом полиномиальных инвариантов узлов (см. [25, 26]), а также исследования квантовых групп позволили обобщить эти алгебры. Дж. Бирман и X. Венцль в 1989 году построили двухпараметрическую алгебру Сп(1, т) (алгебру Бирман-Венцля), частным случаем которой оказалась алгебра Брауэра (см. [17, 35]). Обобщение построенных инвариантов привело В. Г. Тураева к введению в том же году в работе [11] алгебр Hk,i(x, у), описывающих инварианты связок. При соответствующем выборе параметров Hkti(x(n),y(n)) = Hk,i(ri) С Brk+i(n).

Разделенные алгебры Брауэра Hkti(n) являются предметом изучения первой главы настоящей диссертации. Основные результаты: показано, что эта алгебра для общего значения параметра п может быть определена как коммутант алгебры, порожденной диагональным действием группы Gln(С) в смешанных тензорах; доказано задание алгебры Н^п) через образующие и соотношения. Доказано, что эта алгебра является полупростой при п £ Z, для полупростого случая найден список неприводимых представлений, построен граф ветвления, найдена реализация представлений и предложен новый способ доказательства формул для характеров.

Вторая глава диссертации посвящена изучению бесконечномерных алгебр Брауэра с точки зрения теории локально-полупростых (л.п.п.) алгебр. Л.п.п. алгебры, как и их С*-оболочки, аппроксимативно-конечные (AF) алгебры, полностью определяются своим графом ветвления (диаграммой Браттели). Мы используем соответствующие построения диаграмм Браттели для алгебр Брауэра (X. Венцль, [45]), алгебр разбиений (П. Мартин, [34]) и разделенных алгебр Брауэра (§1.7). Задача о нахождении характеров AF-алгебры, как показано А. М. Вер-шиком и С. В. Керовым (см. [4, 5]), есть задача об инвариантных (центральных) мерах на пространстве путей графа ветвления, которая может быть решена при помощи эргодического метода, включающего метод конечномерных приближений. Этот метод применяется в диссертации для описания следов рассматриваемых л.п.п. алгебр.

Полным инвариантом AF-алгебры А является тройка {Kq{A), Kq(A), е), где К0(А) —Группа Гротендика AF-алгебры, изоморфная группе размерностей любой диаграммы Браттели этой алгебры, К$(А) — конус истинных модулей и е — порядковая единица в Kq(A) (см. работы Г. Эллиотта [19], Э. Эффроса, Д. Хандельмана, К. Шена [18]). Мы приводим описание группы размерностей для бесконечномерных алгебр Брауэра и разделенных алгебр Брауэра.

Работа построена следующим образом: в параграфах §1.1 и §1.2 даются определения алгебры Брауэра Brj(n) и алгебры Hk,i(n), введенной В. Г. Тураевым. В параграфе §1.3 показывается, что если рассмотреть действие группы GLn(C) в смешанных тензорах V®k (g)V*®1 и обозначить через Ck,i(GLnС) коммутант алгебры, порожденной этим действием, то выполняется

Ьг(Нкг1(п)) C^iGLnC), (1) при отождествлении V®k (££) V*®1 = V®k+l (здесь br — отображение, введенное Р. Брауэром, см. выше). Далее в параграфе §1.4 алгебра Н^п) задается через образующие и соотношения. В параграфах §1.5 и §1.6 мы вводим понятие основной конструкции Джонса и подсчитываем некоторые размерности представлений GLnС, необходимые для описания в параграфе §1.7 неприводимых представлений и графа ветвления для семейства алгебр (Ям(п)}. При подготовке работы к публикации выяснилось, что алгебра Hk,i{n) была также введена К. Койке в работе [31], и утверждения настоящей диссертации частично доказаны в работах [16, 33, 32] (см. также [22]). Различие наших подходов в том, что в указанных работах в определение положено свойство (1), в то время как в настоящей диссертации алгебра Hk,i(n) вводится как подалгебра алгебры Брауэра, а соответствующее свойство становится теоремой.

Далее в параграфах §§1.8, 1.10 строятся реализации представлений алгебры Brf(n) и Hk,i(ri), что позволяет предложить новый, более естественный способ подсчета характеров этих алгебр в параграфах §1.9, 1.11.

Параграф §2.1 содержит необходимые определения и формулировки теории локально-полупростых алгебр, в параграфе §2.2 вводится операция паскализации графа (построение по градуированному графу Г графа простого блуждания по Г) и задаются л.п.п. алгебры. Параграф §2.3 содержит основной результат второй главы: при некоторых уеловиях на граф ветвления всякая центральная мера на паскализованном графе сосредоточена на исходном графе как подграфе паскализованного, и, тем самым, совпадает с некоторой центральной мерой на самом графе. В качестве следствия описаны центральные меры и конечные следы на бесконечномерных алгебре Брауэра, разделенной алгебре Брауэра и алгебре разбиений. Параграф §2.4 содержит более подробное описание следов на этих алгебрах, в §2.5 изучается их -К"0-функтор.

В приложении к данной работе описывается реализация представлений симметрической группы Sf, отвечающих двустрочечным диаграммам. Эта тема входит в программу намеченного А. М. Вершиком нового подхода к теории представлений симметрических групп ([7, 2]). Случай двустрочечных диаграмм является весьма специальным, и предлагаемая реализация проще классических "модулей Шпехта"; она может быть использована при изучении индуцированных представлений бесконечной симметрической группы (см. [41], [42]). Параграф §А.1 содержит формулировки полученных результатов, параграф §А.2 — доказательства. В параграфе §А.З приведены аналогичные утверждения для представлений, отвечающих диаграммам в форме "крюка".

Автор глубоко благодарен А. М. Вершику за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Вейль Г. Классические группы. Москва, 1947.

2. Вершик А. М. Индуктивное доказательство правила Юнга. Ц Моск. мат. журнал. Вып. 6. 2006.

3. Вершик А. М., Цилевич Н. В. О преобразовании Фурье на бесконечной симметрической группе. // Зап. науч. сем. ПОМИ. Т. 325. С. 61-82. 2006.

4. Вершик A.M., Керов С.В. Асимптотическая теория характеров симметрической группы. // Функ. ан. и прил. Т. 15. Вып. 4. С. 15-27. 1981.

5. Вершик А. М., Керов С. В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Ко-функтор. // Соврем, проблемы матем., ВИНИТИ АН СССР. Т. 26. С. 3-56. 1985.

6. Вершик А. М., Кохась К. П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2,k)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле. // Алгебра и анализ. Т. 2. Вып. 6. С. 98-106. 1990.

7. Вершик А. М., Окуньков А. Ю. Новый подход к теории представлений симметрических групп. II. // Зап. Науч. Сем. ПОМИ. Т. 307. С. 57-98. 2004.

8. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М., "Мир", 1982.

9. Клячко А. А. Централизаторы инволюций и модели симметрической и полной линейной групп. // Исследования по теории чисел.7. Саратов. С. 59-64. 1978.

10. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М., "Мир", 1985.

11. Тураев В. Г. Операторные инварианты связок и R-матрицы. // Известия АН СССР, сер. матем. Т. 53. Вып. 5. С. 1073-1107. 1989.

12. Bratteli О. Inductive limits of finite dimensional c*-algebras. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 171. P. 195-234. 1972.

13. Brown Wm. P. An algebra related to the orthogonal group. // Michigan Math. J. V. 3. N. 1. P. 1-22. 1955-1956.

14. Brown Wm. P. The semisimplicity of и1}. // Ann. of Math. V. 63. P. 324-335. 1956.

15. Brauer R. On algebras which are connected with the semisimple continious groups. // Ann. of Math. V. 38. N. 4. P. 854-872. 1937.

16. Benkart G., Chakrabarti M., Halverson Т., Leduc R., Lee C. and Stroomer J. Tensor product representations of general linear groups and their connections with Brauer algebras. // J. Algebra. V. 166. N. 3. P. 529-567. 1994.

17. Birman J. S., Wenzl H. Braids, link polynomials and a new algebra. // Trans. AMS. V. 313. N. 1. P. 249-274. 1989.

18. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations. // Amer. J. Math. V. 102. N. 3. P. 385-407. 1980.

19. Elliott G. On classification of inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras. // J. Algebra V. 38. P. 29-44. 1976.

20. Fulton W. Young Tableaux. Cambridge University Press, 1997.

21. Goodman F. M., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter Graphs and Towers fo Algebras, volume 14 of Math. Sci. Research. Inst. Publ. Springer-Verlag, 1989.

22. Halverson T. Characters of the centralizer algebras of mixed tensor representations of gl(r, C) and the quantum group Uq(gl(r, C)). // Pacific J. of Math. V. 174. N. 2. P. 359-410. 1996.

23. Halverson Т., Ram. A. Partition Algebras. // European J. Combin. V. 26. N. 6. P. 869-921. 2005.

24. James G. and Kerber A. The Representation Jheory of the Symmetric Group. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 16, Addison-Wesley, 1981.

25. Jones V. F. R. Index for subfactors. // Inv. Math. V. 72. P. 1-25. 1983.

26. Kauffman L. H. An invariant of regular isotopy. Preprint, 1986.

27. Kerov S. V. Реализации представлений полугруппы Брауэра. Зап. Науч. Сем. ПОМИ. Т. 164. С. 189-193. 1987.

28. Kerov S. V. Characters of Неске and Birman- Wenzl algebras. // (in Quantum Groups, Proc. Workshops Euler Int. Math. Inst., Leningrad, USSR). Lect. Notes in Math. V. 1510, P. 335-340. 1991.

29. S. V. Kerov, G. I. Olshansky, A. M.Vershik. Harmonic analysis on the infinite symmetric group. A deformation of the regular representation. // Comptes Rendus Acad.Sci.Paris Эёг I. V. 316. P. 773-778. 1993.

30. S. V. Kerov, G. I. Olshansky, A. M.Vershik. Harmonic analysis on the infinite symmetric group. //Inv. Math. V. 158. N. 3. P. 551-642. 2004.

31. Koike K. On the decomposition of tensor products of the representations of classical groups: By means of universal characters. // Adv. in Math. V. 74. P. 57-86. 1989.

32. Murakami J. Kosuda M. Centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group uq(gl(m, C)). // Osaka J. Math. V. 30. P. 475-507. 1993.

33. Leduc R. A two-parameter version of the centralizer algebra of mixed tensor representations of quantum GL(r). // PhD thesis, University of Wisconsin-Madison, 1994.

34. Martin P. The partition algebra and the potts model transfer matrix spectrum in high dimensions. // J. Phys. A:Math. Gen. V. 33. P. 36693695. 2000.

35. Murakami J. The kauffman polynomial of links and the representation theory. // Osaka J. Math. V. 24. P. 745-758. 1987.

36. Nazarov M. Young's orthogonal form for Brauer's centralizer algebras. // J. Algebra. V. 182. N. 3. P. 664-693. 1996.

37. Ram A. Characters of brauer centralizer algebras. // Pacific J. Math. V. 169. N. 1. P 173-200. 1995.

38. Ram A., Wenzl H. Matrix units for centralizer algebras. // J. Algebra. V. 145. N. 2. P. 378-395. 1992.

39. Schur I. Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen. // PhD thesis, 1901.

40. Thoma E. Die unzerlegbarren, positiv-definen Klassenfunktionen der abzahlbar unendlichen, symmetrischen Gruppe. // Math. Z. V. 85. P. 40-61. 1964.

41. Tsilevich N. V., Vershik A. M. Markov measures on Young tableaux and induced representations of the infinite symmetric group. // Prob. Theory Appl. V. 51. N. 1. P. 47-63. 2006.

42. Tsilevich N. V., Vershik A. M. On different nideks if representations of the infinite symmetric group. // to appear in Adv. Appl. Math.

43. Vershik A. M. Gelfand-Tsetlin algebras, expectations, inverse limits, Fourier analysis. // in "Unity of Mathematics. In Honor of the Ninetieth Birthday of I.M.Gelfand". Progr. Math. 244, Birkhauser. 2005.

44. Voiculescu D., StrStilS S. Representations of AF-algebras and of the group U{oo). // Lect. Notes Math. V. 486. P. 1-169. 1975.

45. Wenzl H. On the structure of Brauer's centralizer algebras. // Annals of Mathematics. V. 129. N. 1. P. 173-193. 1988.Публикации автора по теме диссертации

46. Никитин П. П. Реализация неприводимых двустрочечных представлений Sn в бесквадратных симметрических формах. // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 301. С. 212-218. 2003.

47. Никитин П. П. Теория представлений и граф ветвления семейства алгебр Тураева // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 325. С. 171-180. 2005.

48. Вершик А. М, Никитин П. П. Следы на бесконечных алгебрах Брауэра. // Функ. ан. и прил. Т. 40. Вып. 3. 2006.

49. Никитин П. П. Описание коммутанта действия группы GLn(С) в смешанных тензорах. // Препринт ПОМИ 08/2006.