Разделимые статистики и моменты остановки в обобщенной урновой схеме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ИВАНОВ АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

РАЗДЕЛИМЫЕ СТАТИСТИКИ И МОМЕНТЫ ОСТАНОВКИ В ОБОБЩЁННОЙ УРНОВОЙ СХЕМЕ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

- г -

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей математической статистики Московского государственного институт электроники и математики (технического унирерситета).

Научный руководитель : доктор физико-математических наук

профессор Г.И.Ивченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Грушо

кандидат Физико-математических наук доцент А.М.Протасов

Ведущая организация : Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Защита состоится " 1998 г. в 1600 часов }

заседании Диссертационного Совета К 063.68.05 в Московскс государственном институте электроники и математики по адрес} 109028, Москва, Большой Трехсвятительский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан " & " 1997

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 063.68.05 МГИЭМ

кандидат физико-математических наук,

доцент П.В.Шнурю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Настоящая работа посвящена исследованию произвольных разделимых статистик в обратных задачах для обобщенной урновой схемы со случайньми уровнями. Получено интегральное представление для характеристической функции произвольной разделимой статистики, интегральное представление для характеристической функции разделимой статистики в симметрической схеме, а также полный спектр предельных распределений разделимых статистик в симметрической обобщенной урновой схеме Маркова-Пойа со случайными уровнями.

Актуальность темы исследования.

Определим модель обобщённой урновой схемы (ОУС). Пусть

имеется урна, содержащая шары N различных цветов А!.....Ан,

причем первоначальное число шаров цвета А3 в урне равно а30,

а30>О, 3=1.....N. так что

; н

а = I а30

есть общее число шаров в урне в начальный момент. Шары последовательно и по одному случайно извлекаются из урны так, что при каждом извлечении любой из находящихся в урне шаров может быть извлечён с одинаковой вероятностью. После извлечения очередного шара фиксируется его цвет, а содержимое урны изменяется следующим образом: если шар цвета А^ извлекается в п-й раз, то число шаров цвета к3 в урне изменяется от ал_п_! до аЛп,

где {адп, п>0, 3=1.....Ш - заданный набор целых неотрицательных

чисел, являющихся параметрами схемы.

Таким образом, если после п испытаний уже было извлечено

про шаров цвета к3, 3=1.....N. то вероятности извлечения при

(п+1)-м испытании шаров соответствующих цветов задаются вектором

( " И м м

(а1п .....анп,,) 2 алп , 2 а3п > 0. I п3 = п. (1)

4 = 1 1 3 = 1 3 = 1

Описанной ОУС можно сопоставить схему размещения частиц по

ячейкам, занумерованным числами 1.....N. А именно, пусть в

начальный момент все ячейки пусты. Если в момент п+1,

п=0,1.2..... из урны извлекается шар цвета А1, то (п+1)-я частица

помещается в ячейку с номером 1. Таким образом, вероятности того, что (п+1)-я частица попадет в соответствующие ячейки, задаётся

вектором (1), где .....пн - содержимое соответствующих ячеек

после размещения п частиц.

Важным частным случаем ОУС является обобщенная урновая схема Маркова-Пойа (ОУС МП) 1). В ОУС МП а3п = таа;(а-)0+сп, 0), где се{-1,о,1,...}. В этом случае после извлечения очередного шара он возвращается в урну с добавлением с шаров одного с ним цвета. В частности, при с=-1 получаем схему случайного выбора без возвращения, и в этом случае число испытаний не превышает а -содержимого урны в начальный момент, а при с=0 - схему случайного выбора с возвращением и в данном случае состав урны не изменяется. При с>1 эта схема обладает важным эффектом последействия: если извлекается шар какого-то цвета, то вероятность извлечь шар того же цвета при следующем извлечении возрастает. В дальнейшем ОУС МП при с>1 будет называться схемой

1} Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Об урновой схеме Маркова-Пойа: от 1917 г. до наших дней. "Обозрение прикл. и промышл. матем.", сер. дискреты, матем., (1996) 3, вып. 4, с.484 - 511.

Маркова-Пойа, или МП-схемой.

Обозначим через т^ (п) частоту (число) извлечений шаров цвета А3 после п испытаний. Предположим, что до начала испытаний для 0-го цвета установлен некоторый уровень V;,, где ,..., -целочисленные неотрицательные независимые в совокупности случайные величины (с. в.). Будем говорить, что частота цвета А3

достигла соответствующего уровня 1>3 в момент п, п=0.1,2..... если

П3(п)^3. Т13(0)=0. ¿=1.....N.

Пусть задано целое к, 1<к<Ы. Определим с. в.

г(И,к) = тгп/п: I I(Пд (п) »V-,) > к]. (2)

^ 3 = 1 >

называемую временем ожидания, или моментом остановки в ОУС со случайными уровнями (здесь и далее через 1(-) обозначается индикатор).

Обозначим через т\3=т13 (гШ,к)) частоту извлечений шаров цвета

А., в момент остановки v(N,к) (2) и рассмотрим произвольную

разделимую статистику (РС) от частот соответствующих цветов

111,...,% в момент остановки иШ,к), т.е. с.в. вида

л

ЬМК = ^ Е3(п3). (3)

3 = 1

гдед3(х), о'=1,..., N. - заданные функции целочисленного аргумента.

Задачи, связанные с изучением характеристик типа (3) в момент остановки V(Ы.к), носят название обратных задач для урновых схем.

Одним из наиболее важных в практических приложениях случаев общей модели является симметрическая ОУС. Схема называется симметрической, если для неё выполнены следующие условия:

1) параметры а3п не зависят от 3. т.е. а3п=ап для всех 3=1.....N. п=0.1.2____; '

2) уровни .....являются независимыми в совокупности

копиями некоторой целочисленной неотрицательной с.в. V с р=Р(г=0)<1;

3) функции й-, не зависят от индекса 3В симметрическом случае РС ЬИк (3) принимает следующий вид

к

Ьик - 2 в(Ц;|). (4)

3 = 1

Л. Холстом и Ю.Хюслером 2) было получено интегральное представление для характеристической функции (х.ф.) РС ЬН1с (3) в ОУС с вырожденными уровнями, т.е. когда Р(г.,=ш.,)=1 для некоторых

Шд>1, 3=1.....N. а также описан класс предельных распределений

РС ЬНк (4) в симметрической ОУС МП с вырожденным уровнем при И-*» и к=к(Ы). Теорема об интегральном представлении для х.ф. произвольной РС ЬНк вида (3) в схеме выбора с возвращением со случайными уровнями впервые была доказана Г.И.Ивченко 3'. В этой же работе описан класс предельных распределений РС Ь„к (4) в симметрической схеме выбора с возвращением со случайными уровнями при И->«> и к=к(Ю. Однако общая модель со случайными уровнями является до сих пор мало изученной.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является изучение разделимых статистик в обратных задачах для ОУС со случайными уровнями. В ней получено замкнутое интегральное представление для х.ф. РС ЬМк (3) в ОУС, а также описан класс

2) Hoist L., Husler J. Sequential urn schemes and birth processes. Adv. Appl. Probab. (1985) 17, pp. 257-279.

3) Ивченко Г.И. Разделимые статистики в обратной задаче о размещении. Дискретная математика (1989) 1, вып. 1, с. 60-73.

предельных распределений ЬНк (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями при N-^0 и к=кШ). Тем самым, в диссертационной работе с единых позиций, в терминах произвольных разделимых статистик и моментов остановки, изучена ОУС со случайными уровнями, включающая в себя ряд важных конкретных схем, представляющих собой и самостоятельный интерес, наиболее популярными из которых являются схемы выбора с возвращением и без возвращения и схема Маркова-Пойа, которым посвящено большое число работ по данной тематике.

Методы исследования. Для вывода х.ф. РС ЬЫк (3) в ОУС со случайными уровнями использовался метод вложения изучаемой ОУС в подходящий марковский процесс с непрерывным временем, а также метод условных характеристических функций с использованием аппарата суммирования условно независимых случайных величин и смесей вероятностных распределений.

Научная новизна. В работе

- получено интегральное представление для х.ф. произвольной РС ЬИк (3) в ОУС со случайными уровнями;

- получено интегральное представление для х.ф. РС Ь„к (4) в симметрической ОУС со случайными уровнями;

- получен полный спектр асимптотических распределений РС Ь„к (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями при N-»«1 и к=к(Ю;

- получен полный спектр асимптотических распределений времени ожидания гШ, к) в ОУС МП со случайными уровнями при N->00 и к=к(Ю.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. однако полученные результаты (в частности, результаты о предельных распределениях времени ожидания в ОУС МП) могут быть использованы в различных конкретных приложениях.

Апробация результатов. Результаты настоящей работы докладывались на научной конференции-конкурсе студентов, аспирантов и молодых специалистов (Москва, апрель, 1994), научном семинаре в Математичеком институте им. В.А.Стеклова РАН (Москва, июнь, 1995), Четвертой Петрозаводской конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" (Петрозаводск, июнь, 1996), а также в виде тезисов на Второй всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995) и Третьей всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Туапсе, 1996).

Публикации. Материалы диссертации послужили основой для написания 9 публикаций, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 наименования. Полный текст диссертации занимает 114 страниц.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Григорию Ивановичу Ивченко за постоянное внимание и поддержку при работе над диссертационными материалами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе вводится модель ОУС, а также рассматриваются важнейшие её конкретизации (схемы выбора с возвращением и без возвращения, МП-схема, время ожидания и т.д.). Методом вложения исследуемой урновой схемы в подходящий К-мерный марковский случайный процесс с непрерывным временем получено интегральное представление для х.ф. РС ЬМк (3).

Пусть а-,п - число шаров цвета А3 в урне после того, как уже было извлечено п-. шаров цвета . Введем независимые процессы

чистого размножения А1,с интенсивностями {аЛп,п=С,1,2____}

для процесса Л3, 3=1,...,N. Тогда И-мерный процесс Л={А1.....Л„)

есть марковский процесс с непрерывным временем, состояниями которого являются векторы п=(п1,...,п„) с целыми неотрицательными компонентами, означающими числа рождений в соответствующих процессах А3; при этом вектор вероятностей перехода из состояния п в состояние следующего рождения даётся выражением (1).

Пусть - с.в., равная числу рождений в процессе за

время I, г>0, £,.] (0) =0, и

В третьем параграфе первой главы получено интегральное представление для х.ф. произвольной РС ЬНк вида (3) в ОУС со случайными уровнями.

Теорема 1.3.1.

Для х. ф. РС Ь„к в обобщённой урновой схеме со случайными уровнями имеет место представление

п=0,1,2..... 3=1.....N.

* f f » itgi(n) >

+ Ï 2 lie ax „_! Pi n_i(t) P(vj =n) x

s=l.....k-l o

K-lfco iTgj (n) 1 /■ » iTgj(n) \

хП Xe ь Pjsn(t)P(vJs<n)InjI Z e p3n(t)P(v.,>n)|dt.

8=1 Vo J ^n-0 J

где nj обозначает произведение no всем J^l,.....Jk-i-

Одной из важных как в прикладном, так и в теоретическом аспектах конкретизации изучаемой урновой схемы является симметрическая ОУС. Напомним, что в симметрической ОУС параметры {aJn} и функции {g]} не зависят от индекса J, а уровни Vj,..., vN являются независимыми в совокупности копиями некоторой целочисленной неотрицательной с.в. v с p=l-q=P(v=0)<l. Итак, пусть для всех j=l____N, п=0,1,2____ aJn=an, g3=g.

Введём с.в. имеющую распределение {pn(t)} ( в

симметрической схеме все £j(t), 3=1.....N, являются независимыми

в совокупности копиями с.в. l(t)) и определим функцию

— ОЭ

H(t)=l-H(t)=P(C(t)>v)= X pn(t)P(v<n). (6)

11 = 0

Заметим, что H(0)=P(v=0)=p, т.е. при р>0 функция H(t) имеет в нуле скачок величины р, а при t>0 существует производная

H"(t)= Z an.1pn.1(t)P(v=n)>0.

n = 1

Таким образом, H(t) строго монотонно возрастает от р до 1, следовательно, определена обратная к ней функция

t(x)=H_1(x). х£[р,1].

Введём с.в. ti(t) и t,2(t) с распределениями P(ti (t)-n) = pn(t)P_(v<n)/H(t), P(t2(t)=n) = Рв(t)P(V>n)/ H(t). n-o.1.2.....

- и -

а также с.в. с распределением

P(t0(t)=n) = an.1pn.1(t)P(v=n)/H,(t), n=l,2,3.....

и соответствующие х. ф.

fа (т; t)=Eeccp|iTg(t,3 (t) ) j, J=0,1,2.

Через ß(x;k,N-k+1) обозначим плотность ß-распределения с параметрами к и N-k+1:

/N-Ь

ß(x;k,N-k+1) = Ni Ix^1 (l-x)N_k, x£[0,1].

\K-1J

Для x. ф. PC LHk (4) в симметрической ОУС верен следующий результат.

Теорема 1.4.1.

В симметрической ОУС со случайными уровнями для х.ф. PC LNk (4) справедливо представление 1tLh

Ее

где

JMk ri ( \

= |l(x<p)+I(x>p)fNk(t; t(x))|ß(x;k,N-k+l)dx, (7) Jo V )

fNk (т; t) = f0 (т; t) f/"1 (t; t)f2N"k (т; t)

и t(x) - обратная функция к функции H(t), определённой в (6).

В качестве важного частного случая выделим схему с вырожденным уровнем, т.е. когда P(v=m)=l для некоторого целого т>1. В этом случае представление (7) принимает вид

1iLnk (N-1a lTg(m)fl/co ltg(r) ïk-1

s = N| le Ile pr(tm(x))l >

ut-i J Jovr=cl J

( m"1 lTg(r) V

x I le pr (tm (x) ) I dx,

^ Г = 0 ^

где tm(x) - обратная функция к функции

оэ

Hm(t) = P(£.(t) = I pr(t) (см. (6)).

r = m

lTg(r) ^N-k

Это представление для симметрической схемы выбора с возвращением с вырожденным уровнем было получено Л.Холстом 4).

Для схемы выбора с возвращением со случайными уровнями теорема 1.4.1. впервые была доказана Г.И.Ивченко 5).

В четвертом параграфе первой главы рассматриваются различные частные случаи симметрической ОУС, среди которых - симметрическая ОУС с вырожденными уровнями, время ожидания, симметрическая ОУС МП, схемы с выделенными исходами и т.п.

Во второй главе проведён анализ асимптотических распределений PC L^ (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями при N-»oo и различном характере поведения параметра k=k(N). Выделяются три области изменения параметра к:

1) k=const>l (левая область изменения параметра к);

2) s=N-k+l=const)l (правая область изменения параметра к);

3) k=XN+o(N1/2), Х=1-ХЕ(0,1) (средняя область изменения параметра к).

Во втором параграфе второй главы рассматривается левая область изменения параметра к. Определим здесь целые ш, I соотношениями

т=тгп|п>1: P(v=n)>oj, 1=тгп|г>1: gCD^oj и a=l-a=P(v=m)

(при с=-1 дополнительно предполагается, что ш<а0).

Оказывается, что асимптотическое поведение PC LHk (4) определяется в левой области лишь этими локальными характеристиками.

4) Holst L. On sequential occupancy problems. J. Appl. Probab. (1981) 18, № 2, pp. 435-442.

5) Ивченко Г.И. Разделимые статистики в обратной задаче о размещении. Дискретная математика (1989) 1, вып. 1. с. 60-73.

Обозначим

a0n n'1 f сЗ ч

bc(n)=—— П |l + — I, с£{-1,0,1,...}.

n! J=0 V a0 )

Теорема II.2.1.

Если a k=const>l, то:

1) при l>m LNk ^ О;

2) при l=m Kg"1 (m)LMk-k) - Bi(k,cc);

3) при Km

f dc(l,m) \ f 1/m\ L - L„k - L L ,

где с. в. Xk имеет Y-распределение Г(1,Ю с плотностью jrk_j (х)=х*-*е-х/(к-1) /, х>0. и dc(l,m) = (abc(m))1/ra/(g(l)bcU)).

(Напомним, что с.в. ( имеет отрицательное биномиальное

распределение В1(п,8) с параметрами п>0 и 9^(0,1), если

- т+г-1\

P(t=r) = br(n,8) =1 I 8Г (l-9)n, r=0,1,2,...). V r J

В третьем параграфе второй главы доказана теорема о предельных распределениях PC LMk (4) в правой области изменения параметра к. Пусть N-*» и s=N-k+l=const)l. При с=-1 и с=0 положим

m=max{n: P(v=n)>0}<», p=l-|3=P(v=m) (при с=-1 дополнительно предполагается, что ш<а0).

Пусть также в МП-схеме распределение уровня v таково, что сходится ряд

И /•а0/С+П-1'\ I nI |P(v>n).

n«0 v n J

Теорема 11.3.1.

Пусть N->0, з=Ы-к+1=сопз01 и функция (п) такова, что: 1) существует и конечен предел

Ит N | Ее N->00 V

!Ее - 1| = а1(г;х).

)

где 1„=ги(х)=Н'1 (1-х/Ю. х>0 (см. (6));

2) для любого п>0 существует конечный предел

Пусть также

в(п) = Ш (п). N"»00

а2 (г;х) = ■

х|е

1тё(т-1)

-О

т-:1 ' 1т£(п) \ га0/с+п-1

при с=-1. О,

>

2 |е -1| I 1 Р(г>п) при сМ.

Ч 11 = 0

Д п )

^а0/с+п-1

Ас= I | |Р

п = сЛ п )

Тогда распределение РС ЬИ1с (4) сходится к распределению вероятностей, определяемому х. ф. следующего вида:

lx{g(m)+(s-í)s{m-í))

оо а(т;х)

е яв_1(х)(1х при с=-1 и с=0.

Ее [Ее I

« а(г;х) е (х)йх при с>1,

где с.в. з=0,2, имеют распределения

|,а0/с+п-1'| V п )

/■а0 /с+п-йл

Р(10-п+1) - (а0+пс)I Р(у=п+1)/ Ас, п=0.1.2.....

Р(£г=П) = I |Р(Г>п)/Ас. п=0,1,2.....

^ п ) /

х

и

га0/с+п-Ц

Ас = I (а0+сп)| |Р(т=п+1) - нормирующий

п ;

множитель.

п = о

В последнем параграфе второй главы рассматривается средняя область изменения параметра к. Пусть II-*», к=М1+о(М1,/2). Х=1-Х£(0,1). Показано, что асимптотическое поведение РС Ь„к (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями существенно различается для случаев Х>р и Х=р>0 (напомним, что р=Р(г>=0)). Для случая \>р характерна асимптотическая нормальность РС ЬН1с (4).

Теорема 11.4.1.

Если N. к->с° так, что К=№о(М1/2), \=1-\Е(0,1), \>р, и функция g такова, что для всех t>0 существует дисперсия Dg(i(t)), то

где Мх=Е8'(Ы, ). б*=о£(Ц). g(i)=g(4)-dc (g)I(t>v),

ас(g)-cov(g(£x).i\)Ь'(Х)/Ье(Х) и

(

Наконец, "граничные" эффекты для случая К-»«, к=рИ+о(Г11/2), р>0, описываются следующим образом. Положим

т=тгп|п>1: Р(г=п)>о|. 1=тгп|г>1: ё(г)-о|, а=1-а=Р(г=т)

(напомним, что при с=-1 требуется выполнение условия т<а0).

Ис (X)

ИХ)

с=0.

"О

Ьс(п)= - П |1 + — |, СЕ{-1,0, 1____},

п! 3=0 V а0 )

я п Ч- 1 г Эп I

I. аЬс (т) )

Пусть также Е(х) есть функция вырожденного в нуле распределения, a F(x) - функцию распределения модуля стандартной нормальной с.в.

Теорема II.4.2.

Если p=?(v=0)>0 и так, что k=pN+o(fJ1/2), то:

1) при 1>2т PC LNk асимптотически вырождается в 0;

2) при 1=2т с. в. g~1(2m) Lнк имеет в пределе дискретное распределение {рг, г=0,1,2.....}, где

1

Po = - (l+(l+2vc(m))"1/z),

(2r)!(l+2vc(m))_1/z t 2vc(ш) \r

p = - |-1 _

(r!)222r+1 Vl+2vc(m);

3) при l<2m

pfw;1(t.m)K(1-2m)/(2B,LHk<xl [e(x)+F(xra/1)), x>0.

V /21 J

Эти асимптотические результаты для симметрической схемы выбора с возвращением впервые были получены Г.И.Ивченко 6), а для случая симметрической ОУС МП с вырожденным уровнем - Л.Холстом и Ю.Хюслером 7'.

В третьей главе исследуются предельные распределения времени ожидания v(N,к) (2) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями. В частности, удалось прояснить влияние "управляющего" параметра с на асимптотические свойства этой характеристики симметрической ОУС МП.

Для левой области изменения параметра к доказана

6> Ивченко Г.И. Разделимые статистики в обратной задаче о

размещении. Дискретная математика (1989) 1, вып. 1, с. 60-73.

7) Hoist L., Husler J. Sequential urn schemes and birth processes. Adv. Appl. Probab. (1985) 17, pp. 257-279.

Теорема III.1.

Если М-*», а к=соп8Ь>1, то при т=1

Кг (И. к)-к) - В1(к,а), а при т>1 (и при ш<а0 в случае с=-1)

мМип) ч Г(„1/»Л Ц———V Ш,к -1Хк V н1-1/п ) V )

где с. в. Хк имеет ^-распределение Г(1,к) с плотностью яК_1(х),

х>0, и

/а "1-1 , с-] ,,1/т йс(1.ш) = | — П |1 + — 11 .

^ т! 3.0 V а0 И

В правой области изменения параметра к поведение времени

ожидания наиболее специфично. Пусть распределение уровня V

таково, что сходится ряд

« /•а„/с+п-1

I пI |P(v>n).

п=0 ^ П ) Теорема III.2.

Пусть N-«o, s=N-k+l=const)l. Тогда, если с=-1 и т=а0, то

i.fNa0-s+l-v(N,k)j Bl(s, ß); если с=-1 и т<а0, то

а0-и 1/(а0-ш+1)

М а°1)

V lm-Ш

(a0-ra)/(a0-m+l) ^ a0N

fNa0-v(N,k)]

L|XS

ixl/(a0-m+l)];

если с=0, то

ГУ Ш. к) ) Ь----Вн - Ь(-тхя);

v N )

если с>1, то

/•cv(Ы. К) -с/а0 -1-с/а0 г -с/а0\

ь\-АС ы - ь\хв I:

V а0 I К )

здесь с. в. Х3 имеет у-распределение Га.э) с плотносШью жа.1(х).

х>0 и Вм = ШЧт-1Нп1пИ-1п((т-1) !/р),

и /■а0/с+п-1-\ Ас= I | |Р(г>п).

п = <Л П )

Наконец, для средних значений параметра к получен вид асимптотических распределений времени ожидания для случаев к=ХМ+о(Ы1/2), Х=1-Х£(0,1), Х>р и к=рИ+о(Ы1/2), р>0. Теорема III.3.

Если так, что К=М+ о(М1/2), \=1-\£(0,1). \>р, то

I ; к )

где

2 снх) г - сих) 2 -,

бх = е а0 |ХХе а0 (г (X)) -Ьса)_|.

( сИХ) \ ,

|е -1с'1. с£{-1, 1, 2,...}, ПС(Х) = V )

г(Х) , с=0.

Теорема 111.4.

Если р=Р(м=0)>0 и так, что К=рН+о(Р/г), то

р!^1 (1,т)№"2т>/<2тЧ(^к)<х) -- Ге(х) (хт) 1, х>0 ^ ) 2 V )

" ' П II + —

(1,т) =

т!(РЧ)1/2 з = Л ао а

Подчеркнём некоторые важные обстоятельства. Так, из приводимых здесь теорем следует, что при N-*» в зонах "малых" (k=const) и "средних" (k=XN+o(N1/2), хе(0.1)) значений к асимптотическое поведение с.в. v(N,k) для любых с£{-1,0.1,...} единообразно (с точностью до нормирующих констант в соответствующих теоремах). Однако, при значениях к. близких к N (N-k=cons£), поведение v(N,к) для случаев с=-1, с=0 и сМ существенно различается, т.е. в этой зоне значения с=-1 и с=0 являются, так сказать, "особыми точками", и здесь нет "непрерывности" по параметру с. Для схемы выбора с возвращением со случайными уровнями асимптотические распределения времени ожидания впервые исследовались В.А.Ивановым 8). Результаты этой работы могут быть получены как следствия из приводимых в настоящей диссертации теорем.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Иванов A.B. Разделимые статистики в обратных урновых задачах. Тезисы докладов научно-технической конференции-конкурса студентов, аспирантов и молодых специалистов, 27-29 апреля 1994 ,М., 1994, с. 25.

2. Иванов А.В., Ивченко Г.И. Разделимые статистики и моменты остановки в схеме бесповторного выбора. Дискретная математика (1997) 9, ВЫП. 1, с. 43-58.

3. Ивченко Г.И., Иванов A.B. Разделимые статистики в обратных урновых задачах. Дискретная математика (1995) 7, вып. 2, с. 103-117.

Иванов В.А. Предельные теоремы в схеме размещения со случайными уровнями. Матем. заметки (1982) 31, вып. 4, с. 619-631.

4. Ивченко Г.И., Иванов А.В. Разделимые статистики и моменты остановки в обобщенной урновой схеме. В сб. " Вторая всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим • методам в Йошкар-Оле (тезисы докладов)". М.: "ТВП", 1995, с. 57-59.

5. Ивченко Г.И., Иванов А.В. Предельные теоремы для времени ожидания в урновой схеме Маркова-Пойа. В сб. " Третья всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам в Туапсе (тезисы докладов)", М.: "ТВП", 1996, с. 65-66.

6. Ivanov А.V. Decomposable statistics and waiting time in Markov-Polya urn scheme. Probabilistic Methods in Discrete Mathematics. VSP, Utrext, The Netherlands. 1997, pp. 237-252.

7. Ivanov A.V.. Ivchenko G.I. Decomposable statistics and stopping times in sampling without replacement. Discrete mathematics and applications, v. 7, № 2. 1997, pp. 47 - 63.

8. Ivchenko G.I., Ivanov A.V. Decomposable statistics in inverse urn problems. Discrete mathematics and applications, v. 5, № 2, 1995, pp. 159-173.

9.. Ivchenko G. I., Ivanov A. V. On waiting time in Markov-Polya urn scheme. Journal of Mathematical Sciences. Stability Problems for Stochastic Models: Proceedings of the Seminar. "Plenum-Press", New-York - London (to appear).

иШг