Разработка численно-аналитических методов и решение задач гидродинамической теории аппаратов на воздушной подушке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Численное решение краевых задач.

§1. Формулы для решения смешанной краевой задачи с кусочно-постоянными граничными значениями.

§2. Частные случаи решения краевых задач.

§3. Применение метода Леви-Чивиты для решения задач со сложными граничными условиями.

§4. Алгоритмы решения систем нелинейных уравнений и численного интегрирования.

Глава 2. Модели струйных течений в теории аппаратов на воздушной подушке.

§5. Режимы течения струй в струйных завесах.

§6. Истечение из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана.

§7. Течения в ограждениях аппаратов на воздушной подушке.

Иллюстрации к главе 2.

Глава 3. Обтекание гибких оболочек потоком идеальной жидкости.

§8. Отрывное обтекание оболочки безграничным потоком.

§9. Безотрывное обтекание гибкой оболочки.

§10.Обтекание гибкой оболочки вблизи экрана.

Иллюстрации к главе 3.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов и исследованию конкретных задач гидродинамической теории аппаратов на воздушной подушке (АВП). Воздух считается идеальной несжимаемой и невесомой жидкостью, а течение - плоским потенциальным и стационарным. При указанных допущениях математическая модель АВП строится на основе теории струй идеальной жидкости [13] , [46] и описывается краевыми задачами для аналитических функций в областях с частично неизвестными свободными границами. Поэтому при изучении задач теории АВП можно воспользоваться методами теории струй. Вместе с тем, разработанные в диссертации методы численного анализа АВП, применимы также в общей теории течений со свободными границами.

Практика проектирования АВП выдвигает перед исследователями все новые задачи, связанные с усложненными математическими моделями, изучение которых классическими методами в ряде случаев представляет значительные трудности. Большие возможности содержит в себе вычислительная математика, вооруженная современными ЭВМ.

Развитие вычислительной техники дает возможность не только исполЬ' t зовать ее как дополнение к аналитическим методам, но и выполнять некоторые функции, присущие анализу (например, исследование вопроса о существовании решения). Однако, эффективное применение ЭВМ возможно, как правило, лишь при дополнительных аналитических исследованиях, после приведения расчетных формул к удобному для вычислений виду, и после разработки соответствующих вычислительных алгоритмов. Поэтому в настоящей работе первая глава посвящена вычислительным аспектам математики, связанным с решением краевых задач теории струй, с вычислением особых интегралов и с решением систем сложных функциональных уравнений.

Как известно, многие гидродинамические задачи теории струй идеальной жидкости [ 13 ] эффективно решаются с применением аппарата теории функций комплексного переменного [39] . Выбор конкретного метода решения зависит от вида и сложности граничных условий. В частности, если поток жидкости ограничен только кусочно-прямолинейными стенками и свободными поверхностями ( с постоянным модулем скорости), то общее решение задачи может быть записано в явном виде с помощью известных формул. Например, ряд задач, имеющих применение в теории аппаратов на воздушной подушке, сводится к смешанной краевой задаче с одной свободной поверхностью. Решения таких задач можно построить по известным особенностям [14] или с помощью формулы Шварца [в] ,[э] . Для решения задач с двумя свободными границами применяется аппарат тэта-функций [48] f формула Келдыша-Седова[30],[зз] или формула Кристоффеля-Шварца ex] .

Для задач с числом свободных границ П. 2-5 могут быть применены формулы Келдыша-Седова [44] или Жуковского[тз] . Однако при их исследовании возникает необходимость решения систем нелинейных уравнений, порядок которых растет с увеличением числа /2 , что требует значительного объема вычислений. Как показано в § I настоящей работы, применение формулы Келдыша-Седова приводит к системам уравнений меньшего порядка по сравнению с формулой Жуковского, однако, последняя дает существенное преимущество при двукратном интегрировании.

В связи с этим в §1 дается вывод формулы, позволяющей при численном решении использовать преимущества обоих подходов, а именно, меньший объем вычислений при численном интегрировании и меньший порядок систем уравнений. Насколько известно по имеющимся публикациям, эта формула, с помощью которой определяется peineние смешанной краевой задачи, является новой.

В §2 из общей формулы выводится ряд частных случаев, важных с точки зрения практического применения для решения прикладных задач. Результаты первых двух параграфов используются в главах 2 и 3.

Численные методы решения задач с граничными условиями более общего вида, к которым относятся, например, задачи обтекания препятствий заданной криволинейной формы, гибких оболочек, течение тяжелой жидкости со свободными границами, можно условно разделить на два типа. В первом случае граничное условие записывается в виде интегрального уравнения, удовлетворяется в некотором конечном числе точек и решение уравнения отыскивается с помощью последовательных приближений [7], [37] ,[4б]. Во втором случае неизвестная функция аппроксимируется линейной комбинацией известных функций, а коэффициенты отыскиваются методами коллокаций, наименьших квадратов или Бубнова-Галеркина [37] (путем численного решения систем уравнений).

Следует отметить, что при удачном выборе вида аппроксимирующих функций число коэффициентов оказывается в несколько раз меньшим, чем число узловых точек, в которых необходимо вычислять функцию для решения интегрального уравнения. Поэтому методы, использующие аппроксимацию, требуют значительно меньшего объема вычислений.

В настоящее время известны решения задач с одним участком границы с условиями, заданными в виде интегрального уравнения (например, [7] ,[28] , [2l] ), а также с двумя такими участками[5].

В §3 разработан метод (являющийся обобщением метода Леви--Чивиты [62] ), с помощью которого можно решать задачи с произвольным числом участков границы, на которых выполняются сложные граничные условия. В основе метода заложен процесс поочередного конформного отображения области течения на вспомогательный полукруг. Это позволяет унифицировать алгоритм вычисления неизвестных коэффициентов. Кроме того, в отличие от общепринятого метода проводится более полный учет поведения искомой функции вблизи особых точек, что, в свою очередь, при фиксированной точности позволяет значительно сократить объем вычислений.

Эффективность алгоритмов решения задач существенно зависит от выбора и конкретной алгоритмической реализации численных методов решения систем уравнений и методов численного интегрирования. Поэтому в §4 подробно описаны алгоритмы, используемые при решении задач, рассмотренных в главах 2 и 3. Как известно, при составлении сложных программ, как правило, допускаются ошибки, которые должны быть устранены на первой стадии отладки. Кроме того, численное решение связано с ошибками округления и усечения, что часто приводит к значительной погрешности конечных результатов.

В связи с этим в последнем разделе §4 изложен ряд приемов контроля точности и достоверности решения применительно к решенным задачам. Основой описанных в §4 алгоритмов являются известные методы [37] , однако приведенные способы их реализации на ЭВМ имеют практический интерес, который выходит за рамки совокупности решенных ниже задач.

Главы 2 и 3 посвящены решению конкретных задач теории аппаратов на воздушной подушке и смежным вопросам теории струй идеальной жидкости. Чтобы оценить новизну результатов, полученных при исследовании этих задач, целесообразно дать краткий обзор основных достижений в этой области, известных по литературе.

Родоначальником теории аппаратов на воздушной подушке (АВП) считается К.Э.Циолковский, который в своей работе [55] предложил использовать воздушную подушку С BTI) для увеличения скорости поезда или ракеты при ее разгоне и дал способ расчета ВП, работающей по камерной схеме (когда воздух подается непосредственно в полость ВП, смешивается с воздухом, находящимся в ВП и вытекает наружу через зазор между кромкой ограждения и опорной поверхностью),

Как показал опыт, камерная схема оказалась неустойчивой и малоэффективной. Более перспективной оказалась струйная схема работы ВП, когда повышенное давление в полости ВП поддерживается с помощью струйной завесы, формирующейся по периферии ВП[х].

К настоящему времени достаточно полно был изучен лишь равновесный (или отклоненный) режим работы струйной завесы (рис.1,а). Широкое распространение получили приближенные теории, которые наряду с обычными свойствами идеальной несжимаемой жидкости используют некоторые допущения, упрощающие решение задачи.

Для задачи, теоретический чертеж которой дан на рис. 1,а , можно записать уравнение изменения импульса струи в проекции на ось X:

JlVrf-J^fths-Poh-Dx , где V0 , V/ , Р0 , Pf - скорости и давления, соответственно, справа и слева, JD - плотность, h4 и lie - расстояния от точек А и В до опорной поверхности, § - асимптотическая толщина струи SS' , J - вектор импульса жидкости, вытекающей через срез сопла АВ, D - суммарная сила давления на срезе сопла ( Jx и Dx -- проекции векторов на ось X). Очевидно, что если известно распределение скоростей на срезе, то уравнение изменения импульса (совместно с уравнением неразрывности и уравнением Бернулли) разрешается однозначно.

Общее допущение, применяемое авторами приближенных теорий для сопла с параллельными стенками, заключается в том, что вектор J считается направленным вдоль стенок сопла. Отличием же разных приближенных теорий является вид распределения модулей скоростей на срезе сопла.

Г.Ю.Степановым [46] предложено простое соотношение: UCp = ] [& где Vcp и [»% - средние значения скорости и квадрата скорости на срезе сопла, которые необходимы для замыкания уравнения изменения импульса. Как показывают исследования[33] для сопла с нормальной подрезкой при h^/fi> / (fl - ширина сопла с параллельными стенками) результаты, полученные Г.Ю.Степановым., отличаются от результатов точного решения краевой задачи менее, чем на 10$.

В работе [54] величина средней скорости зависит от подрезки сопла % (Z RAB , рис. 1,а): и л обозначения изменены). Легко видеть, что при нормальной подрезке , т <5/ , / г& = j- ) Z= -g- , и последнее представление совпадает с представлением Г.Ю.Степанова.

Для удаленной стенки ( %- 0 ) в[54] получена простая формула, выражающая величину через коэффициент давления5~р*р~ ( Р*- Pt+рЦ/? - Po+fiV0/2 константа Бернулли струи): ' h 0 {F -6smв, hh где - угол наклона стенок сопла к вертикали. Для $ = эта формула является точной, для fy-O погрешность того же порядка, как и у приближенной формулы Г.Ю.Степанова в случае нормальной подрезки.

В работе [4] предполагалось, что давление в струе на срезе сопла изменяется по линейному закону. При этом отношение л: f j л. л \ 1+6

Из этой формулы следует, что при (f ~Sln 0/) , что имеет смысл только если внутренняя стенка сопла длиннее на-ружнои на величину й-Jo —Qosq •

В.И.Ханжонковым [52] разработана приближенная теория на основе распределения скоростей, которое задается следующим дифференциальным уравнением dv = V Sin %(h Sine,) dx hA+xCo&(%+8i) где X - координата, изменяющаяся вдоль отрезка АВ. Дополнительным допущением этого представления является постоянство модуля импульса жидкости вдоль струи. Результаты, полученные в[52] при некоторых значениях 9^ и % , более близки к теоретическим при hA/j3< / , чем при

Существует еще значительное число различных представлений распределения скоростей по срезу сопла. Подробная библиография и обзор приведены в [52].

В работах [3] ,[4б] и[52] рассматривается также способ создания ВП с помощью двойной струйной завесы. При этом наружная струя работает в режиме подтекания (рис.4 д, д'), пропуская под собой струю, текущую в атмосферу.

Расщепленный режим работы (рис. 16,в ), который совместно с двумя рассмотренными (равновесным и подтеканием) создает систему режимов, с помощью которой в принципе можно описать течение вблизи экрана при любых перепадах давлений, изучается в приближенных теориях относительно редко.

Г.Ю.Степанов для режима расщепления использовал аналогично равновесному режиму условие 1Уср~ №oV} [46] . Однако, как отмечает сам автор, для расщепления это допущение менее оправдано.

В работе [зб] характеристики расщепленного режима определялись с помощью системы двух равновесных струй, между которыми располагалась застойная зона, причем точка разветвления находилась на линии среза сопла. Каждая из этих двух струй рассчитывалась с помощью приближенного метода. Поэтому отличие результатов от точных имеет примерно ту же величину, что и погрешность используемого приближенного метода [33] .

В ряде работ (например,[58] , [59] , [64] , [бб] , [б7] ) для определения характеристик используется метод функций комплексного переменного. Однако для упрощения расчетов авторами были также сделаны некоторые допущения, поэтому эти методы являются промежуточными между приближенными и точными. Например, в[бб] , [67] и[58] принято, что линии тока внутри сопла вплоть до линии среза параллельны стенкам сопла.

Точные численные результаты, как и приближенные, получены в основном для равновесного режима течения [13] , [61] .

Ф.Эрихом [б1] проведены также некоторые расчеты режима расщепления. Однако предположив, что локальный максимум давления по стенкам сопла находится в бесконечно удаленной точке, автор ограничился рассмотрением частного случая. Поэтому результаты не позволяют провести исследование взаимопереходов между режимами или рассчитать характеристики аппарата с переменной величиной зазора по периметру воздушной подушки.

Истечение из сопла с непараллельными стенками рассмотрел также В.В.Кличко [30] . Но, по-видимому,в связи с несовершенством алгоритма и программы автор получил достоверные данные только для течения без экрана (при Р/ ~Ро ). Результаты расчетов равновесного режима [30] существенно отличаются от представленных ниже (до 30 - 50 %), а для режима расщепления отличие еще больше.

В связи со сказанным результаты численных исследований задачи истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана при различных режимах и выводы, представленные в

§6 настоящей работы, являются новыми. Для случая параллельных стенок в §5 дано математическое доказательство непрерывности переходов между режимами течения. Этим также иллюстрируется сложность аналитических исследований реальных задач. Кроме того, в §7 предлагаются более сложные задачи, которые моделируют течения в некоторых типах гибких ограждений. Постановка и результаты исследований этих задач являются также новыми.

Следует отметить, что приближенные методы не дают полной информации о распределении скоростей и давлений по границам и внутри потока, о форме свободных границ (поскольку эти параметры и являются, собственно, предметом упрощающих допущений и других особенностей явления). Однако формулы, получаемые с помощью приближенных теорий, намного проще и их легко можно использовать при инженерных расчетах АВП. Методы же, основанные на точном решении задачи, позволяют провести подробные исследования различных параметров течения, но, в связи со сложностью формул- и расчетных алгоритмов, их непосредственное применение для инженерных расчетов затруднительно. Поэтому для практики программы решения гидродинамических задач должны быть оформлены в виде элемента некоторой системы и приспособлены к массовому повторяющемуся счету [43] •

Возможен следующий подход: аппроксимация результатов точных расчетов и использование в математической модели АВП аппроксима-ционной формулы. Но поскольку в сложных моделях число варьируемых параметров может оказаться большим, то получение аппроксимацион-ных формул из точных оказывается непростой задачей. В ряде случаев, однако, упрощающие допущения и приближенные формулы можно получить на основе результатов численных исследований. Например, для задачи истечения из сопла с удаленной внутренней стенкой полезным является введение в рассмотрение величины силы давления/) стенки сопла на поток, которая, как показывают результаты расчетов, очень слабо меняется при вариации угла наклона стенки сопла. Тогда для равновесного режима эту величину D можно аппроксимировать как функцию одной переменной (коэффициента давлений D = -Ъ(б) ) и затем повторить последовательность действий, как в приближенных методах f 32J . ■

Таким способом на основе результатов точного решения можно создать новую приближенную математическую модель АВП, которая будет лучше согласовываться с точной. В этом проявляется одна из положительных сторон параметрического исследования задачи в точной постановке.

Полученные точными методами числовые результаты, как правило, отличаются от экспериментальных данных. Это связано, прежде всего, с влиянием вязкости, которая способствует отрыву потока от внутренней стенки (см. приложение 2). При построении упрощенного метода различие между теоретическими и экспериментальными данными может быть учтено, если использовать в уравнении изменения импульса как точные теоретические данные, так и экспериментальные данные. Например, в[69] с помощью простых допущений моделируется потеря энергии струи при движении вдоль стенки сопла, а в [46] - потери при движении струи после отрыва от кромок сопла. В силу того, что отличие точных теоретических результатов от экспериментальных не так велико (до 5-20% в зависимости от подрезки сопла), введением такого рода простых поправок на потери можно получить достаточно точные аппроксимационные формулы для использования их в математической модели АВП.

К теории АВП относятся также задачи течения воздуха в гибких ограждениях (ГО). ГО могут иметь различную форму, например, полотнище, наполняемый воздухом баллон или баллон с навесными элементами [41] , и навешиваются по периферии ВП с целью увеличить расстояние от жестких элементов АВП до опорной поверхности (дяя увеличения безопасности полета). Идею использования ГО первым предложил К.Э.Циолковский [56] .

Задачи обтекания гибких (упругих и мягких, т.е. не имеющих изгибной жесткости) оболочек имеют практический интерес также в связи с применением гибких элементов в других конструкциях (паруса, надувные хранилища и т.д.). Этим задачам посвящено большое число работ. Подробный обзор содеруштся, например, в[57] . Здесь мы ограничимся обзором литературы по задачам обтекания мягкой цилиндрической оболочки без отрыва и с отрывом по схеме Кирхгофа.

Первые теоретические работы были посвящены главным образом безотрывному обтеканию пузырьков (наполненных газом оболочек)[27], [28] ,[45] , [63] . Постановка задачи принадлежит Н.Е.Жуковскому [27] , им же получено точное решение задачи в одном из частных случаев движения пузыря в канале. Точное решение было найдено также Мак-Леодом [бз] , который рассмотрел безотрывное обтекание пузыря при одном частном случае его заполнения: давление в пузыре Pg совпадало с полным давлением Р* (константа Бернулли). В работах [28], [40], [45] были предложены различные итерационные методы, основанные на представлении решения в виде ряда по некоторым малым параметрам. Расчеты были проведены для %% Р* О.М.Киселевым [28] и для Р$Ъ0.5Р* В.Э.Леглером [40] .

К другому классу задач относятся задачи о парусе [2], [29], [бо] Давление со стороны оболочки Pj , соответственно, равно давлению на свободной линии тока Pq . Здесь также применяются методы последовательных приближений. Доказана сходимость их методов для некоторого множества значений исходных параметров. В работе [29] проведены числовые расчеты по обтеканию симметричного клина, составленного из оболочек с различными углами при вершине этого клина. В работе[60] рассмотрена задача о парусе (клине с углом при вершине равным Л ) при различных углах атаки. При решении задачи задавалось положение концов паруса и его общая длина.

Наиболее интересными с точки зрения приложения к АВП являются задачи о струйном обтекании замкнутой оболочки, когда отрыв потока происходит с некоторой точки оболочки, и часть оболочки остается несмоченной. В работе [б] решение задачи представляется в виде ряда Фурье, коэффициенты которого определяются путем решения системы линейных уравнений. К сожалению, отсутствие теоретического обоснования сходимости и достаточных численных исследований не позволяет оценить эффективность данного метода. В работах [12], [57] задача решается с помощью представления оболочки в виде совокупности элементов конечной длины. При этом определение точки отрыва основано на расчете ламинарного пограничного слоя методом конечных разностей. В[57] приводится также решение задачи методом Бубнова-Галеркина, исследуется сходимость этого метода, исследование иллюстрируется результатами численного эксперимента.

Необходимо рассмотреть еще один класс задач, имеющих большое значение в теории АВП - задачи об обтекании оболочек ограниченным потоком ( в канале или вблизи экрана). Одна из задач (давление в оболочке равно константе Бернулли струи) рассмотрена в [7] . Дано доказательство метода последовательных приближений для некоторых значений параметров.

Численные результаты, полученные в большинстве упомянутых работ, к сожалению, нельзя назвать обширными, однако некоторые из них (например, приведенные в[13] ,[28] ,[29] ) предоставляют очень ценную информацию для отладки программ.

Следует отметить, что доказательства существования и единственности решения, основанные на принципе сжатых отображений, данные в некоторых из вышеуказанных работ, справедливы лишь для узкого класса решений. Характерным параметром, ограничивающим область применимости этих доказательств, является величина А = g PVhQ. ^ q ^Где jj плотность жидкости, 2Т0 - скорость на свободной линии, Т - натяжение оболочки, Q> 0 - коэффициент, имеющий размерность расхода). Например, в[29] доказана сходимость алгоритма при А<0.08 , в [7] Л<2-г5,й [28] А < у •

Для сравнения укажем, что при выполнении настоящей работы [20] величина Л , как правило, изменялась в пределах (см. приложение I). Для справедливости отметим, что, практически сходимость алгоритмов последовательных приближений наблюдается в более широкой области, чем это следует из доказательства (например, в ["29] при Л < 0.2 -s- 0.8), однако, по-видимому, существуют решения, которые не могут быть получены методом последовательных приближений такого типа. Поэтому при выполнении настоящей работы в качестве базового метода решения систем нелинейных уравнений выбран метод Ньютона, который гарантирует сходимость к решению (если оно существует и якобиан отличен от нуля) хотя бы в некоторой 8 - окрестности. Правда, метод Ньютона требует некоторого дополнительного объема вычислений для обращения матрицы, но при этом он обладает квадратичной сходимостью, менее чувствителен к "овражности" штрафной функции и универсален по отношению к виду уравнений.

Дальнейшее изучение свойств потоков, обтекающих гибкие препятствия, по-видимому, целесообразно проводить с помощью ЭВМ при широком использовании различных способов проверки результатов (п.4.5). В связи с этим в главе 3 на основе разработанных методов проводится подробное численное исследование рассмотренных задач (§§ 8 - 10) при всех возможных соотношениях давлений для оболочки как с одной, так и с двумя закрепленными точками. При этом оказалось, что с теоретической точки зрения наибольший интерес представляет диапазон давлений Ро < Р# < Р * , который ранее почти не рассматривался.Кроме того в § 9 дается постановка и решение задачи с тремя оболочками, являющейся обобщением задачи о безотрывном обтекании оболочки.

При решении задачи обтекания оболочки вблизи экрана следует особо выделить случай малых зазоров между оболочкой и экраном. Поведение функций в этом случае существенно различается в областях течения вблизи точки отрыва и вдали от нее. Это свойство отмечено также в [ 1б] , где авторы применили метод "сращивания" и получили приближенный способ решения задачи с учетом вязкости. В § 10 для решения задачи используется разновидность разработанного в диссертации способа учета особенностей. Решение ищется как сумма двух функций разных аргументов, вид первой из которых совпадает с решением задачи для больших зазоров, а вторая представляет собой степенной ряд. Аргументы выбраны таким образом, что первая функция описывает течение вблизи точки отрыва, а вторая - на всей оставшейся области течения; взаимное влияние при уменьшении зазора исчезающе мало.

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1. Формула для решения смешанной краевой задачи в верхней полуплоскости для произвольного числа свободных границ применительно к числовым расчетам.

2. Метод решения задач со сложными граничными условиями, когда число участков границы, где заданы эти условия, больше одного (обобщение метода Леви-Чивиты).

3. Доказательство существования и единственности решения задачи об истечении из сопла с параллельными стенками вблизи экрана при заданной величине подрезки и различных режимах; непрерывности взаимного перехода от одного режима к другому.

4. Решение задач истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана; сравнительный анализ расходных и высотных характеристик сопел с различными углами раствора и подрезки; полученные упрощающие зависимости.

5. Численное исследование параметров течений с границами, включающими мягкие оболочки, для задач безотрывного и отрывного обтекания оболочки с одной и двумя закрепленными точками, а также отрывного обтекания оболочки вблизи экрана; неоднозначность решений при фиксированных давлениях, волнообразная деформация оболочки.

6. Решение задачи обтекания баллонной оболочки вблизи экрана; сравнение расходных и высотных характеристик при различных отношениях размера отверстия к диаметру баллона.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [18] , [19] и в соавторстве с А.Г.Терентьевым [20], С.С.Комаровым и Т.В.Куреленковой[23] , С.С.Комаровым и Н.Ю.Цвиленевой[24], [25].

Основные результаты диссертации по мере получения докладывались на Всесоюзном научно-техническом симпозиуме по вопросам повышения ходовых и мореходных качеств судов в г.Ленинграде (Кры-ловские чтения 1976г.), XIX и XX научно-технических конференциях ГИИВТ в г.Горьком (1976, 1977 гг), Всесоюзной научно-практической конференции "Применение новых видов транспорта в народном хозяйстве и перспективы их развития" в г. Тюмени (1978г.), УТ-ой и УП-ой Дальневосточной конференции по мягким оболочкам в г. Владивостоке (1979г.), на Всесоюзной школе по гидродинамике больших скоростей в г. Чебоксарах (1980г.), на ХУ1-х чтениях К.Э.Циолковского в г. Калуге (1981г.), на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в г. Алма-Ате (1981г.), а также на итоговых научных конференциях Чувашского государственного университета им. И.Н.Ульянова (1978-1983гг) и Уфимского авиационного института им. С.Орджоникидзе (1976-1983гг).

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Получена формула типа Жуковского, дающая решение смешанной краевой задачи с кусочно-постоянными граничными значениями в классе функций с интегрируемыми особенностями на границе и специальный вид условий ограниченности решений. Показано, что численный метод, использующий эту формулу, позволяет: а) эффективно проводить двух и многократное численное интегрирование, необходимое для расчета физических величин; б) уменьшить порядок системы уравнений ограниченности и построить простой и эффективный алгоритм ее решения.

2. Разработан численный метод решения задач со сложными граничными условиями, в которых число участков границы, где заданы эти условия, больше единицы. Метод основан на поочередном отображении задачи на полукруг (причем каждый раз на полуокружность отображается один из упомянутых участков границы) и определении общего решения задачи в виде суммы функций Леви-Чивиты. Особенности функций учитываются с помощью общего члена, дающего решение задачи с кусочно-постоянными граничными значениями (п.Х), а также с помощью введения дополнительных членов, позволяющих улучшить сходимость рядов.

3. Проведено подробное численное исследование задачи истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана. Рассмотрены режимы: равновесный, расщепление, подтекание, касание. Указаны безразмерные параметры, которые для разных значений углов наклона оси и раствора сопла отличаются друг от друга незначительно. Для режимов равновесного и подтекания найдена простая формула, достаточно хорошо аппроксимирующая расходную характеристику ( это упрощает использование результатов в математической модели АВП). Для сопла с нулевым углом раствора (с параллельными стенками) доказана однозначная разрешимость задачи при заданной величине подрезки сопла и образа одной из точек на действительной оси (дополнительно к трем, определяющим отображение). Кроме того доказано, что изменение режимов и переход к предельным режимам (равновесному, касанию, истечению из-под экрана) происходит непрерывно.

4. Проведено численное исследование задач отрывного и безотрывного обтекания мягкой оболочки безграничным потоком идеальной жидкости, а также отрывного обтекания вблизи экрана. Показано, что основные параметры оболочки: натяжение, высота, а также коэффициенты сопротивления, и подъемной силы имеют экстремальные значения, если выполняется условие Бриллуэна о конечности кривизны свободной линии тока в точке отрыва от оболочки. Показано существование двух основных ветвей решения, одна из которых включает, как предельный случай, обтекание сегмента кругового цилиндра, другая - цилиндрической лунки. При давлениях в оболочке, . близких к давлению; на свободной линии (или на бесконечности, в случае безотрывного обтекания) оболочка волнообразно деформируется, зависимости параметров оболочки от давления имеют колеба- . тельный вид.

5. Исследована статическая устойчивость оболочки на основе определения знака производной объема, заключенного внутри оболочки, по внутреннему давлению.

6. Модификация общего метода, использованная для численного исследования задачи с малыми зазорами между оболочкой и экраном, может служить альтернативой методу "сращивания" для задач, решение которых выражается функциями с существенно различным поведением на разных участках области определения.

Полученные в диссертации результаты могут быть полезными для более полного понимания влияния геометрии сопла на аэродинамические характеристики струйных завес, формообразования оболочки при различных давлениях и зазорах и представляют практический интерес при формировании математической модели АВП. Результаты исследований и численные методы решения задач применяются при выполнении работ по хоздоговорным темам в Уфимском авиационном институте им. С.Орджоникидзе и включены в спецкурсы в Чувашском государственном университете им. И.Н.Ульянова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, заслуженному деятелю наук ЧАССР, доктору физико-математических наук, профессору А.Г.Терентьеву за постоянное внимание и помощь при выполнении работы, а также руководителю.СКБ-I УАИ кандидату технических наук С.С.Комарову за полезные советы при обсуждении результатов.

ЗАКШОЧЕНИЕ

В диссертации разработаны численные методы решения задач гидродинамики со сложными граничными условиями и проведено численное исследование ряда задач, возникающих при проектировании аппаратов на воздушной подушке.

1. БенуаЮ.Ю., Дъяченко В.К., Колызаев Б.А. и др. Основы теории судов на воздушной подушке.-1.:Судостроение, 1970. -456с.

2. БиркгофГ., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны: Пер. с англ. -М.:Мир, 1964. -466с.

3. Вашкевич К.П. Влияние различных параметров соплового устройства на аэродинамические свойства плоской воздушной подушки. -В кн.: Аэрогидродинамика летательных аппаратов на воздушной подушке. -М., 1963, с.51-69 (Труды/Центр, аэрогидродин. ин-т им.

4. Н. Е .Жуковского, вып.889).

5. Вишневский В.А., Котляр JI.M., Терентьев А.Г. Влияние сил тяжести в задачах кавитационного обтекания препятствий. -В кн.: Вопросы прикладной математики и механики, вып. 3.-Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1974, с.9-24.

6. Галина И.Л. Истечение струи из канала с гибким ограждением. -Прикл. мат. и мех., 1979, т.43, вып.1, с.91-98.

7. Галина И.Л. Об одной задаче струйного движения идеальной несжимаемой жидкости. -В кн.: Вопросы прикладной математики имеханики, вш.З.-Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1974,с.66-69.

8. Галина И.Л. Решение одной задачи о струйном движении идеальной несжимаемой жидкости. -В кн.: Вопросы прикладной математики и механики, вып.4.-Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1975, с.40-44.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд., пер. и доп. -М.: Наука, 1977. -640с.

10. Глонти Э.Н. Таблицы корней и квадратурных коэффициентов полиномов Якоби. -М.: изд. ВЦ АН СССР, 1971. -236с.

11. Гулин Б.В., Ридель В.В., Шагидуллин P.P. Отрывное обтекание мягкой оболочки. -6-ая дальневосточная конференция по мягким оболочкам. -Владивосток: изд. Дальневост. высш. инж. морск. уч-ща, 1979, с.123-127.

12. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1979. -536с.

13. Гуревич М.И. Об одной новой схеме течения в теории струй идеальной жидкости. -В кн.: Вопросы прикл. мат.и мех., вып.2. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1972, с.3-8.

14. Гурьянов М.А. Влияние сжимаемости на аэродинамические характеристики воздушной подушки со струйным ограждением. -Изв. ВУЗ. Авиационная техника. Казань, 1975, Ш, с.44-53.

15. Дворянинов В.Г., Сибгатуллин Н.Р., Слезкин Н.А. 0 движении вязкого газа в слое с гибкой границей. -Прикл. мат. и мех., 1977, т.41, вып.2, с.298-306.

16. Житников В.П. К численному методу решения смешаннойкраевой задачи для ограниченных функций. -В кн.: Динамика сплошной среды со свободными поверхностями. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1980, с.61-69.

17. Житников В.П. Численные методы решения задач обтекания гибких оболочек. -В кн.: Динамика сплошной среды с границами раздела. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1982, с.76-87.

18. Житников В.П., Терентьев А.Г. Струйное обтекание гибкой оболочки потоком идеальной жидкости. -Изв. АН СССР. Сер. мех. жидкости и газа, 1982, №6, с.43-48.

19. Житников В.П., Цвиленева Н.Ю. К задаче обтекания гибкой оболочки вблизи экрана. -В кн.: Сообщение ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам, вып.38. -Владивосток: изд. Дальневост. высш. инж. морск. уч-ща, с.121-126j 1980.

20. Житников В.П. и др. Формообразование струйных завес.-В кн.: Нестационарное движение тел в жидкости. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1979, с.42-49.

21. Житников В.П. и др. Истечение из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана. -В кн.: Динамика сплошной среды со свободными поверхностями. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1980, с.70-83.

22. Житников В.П. и др. Исследование обтекания гибкой оболочки вблизи экрана. -В кн.: Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. -Владивосток: изд. Дальневост. высш. инж. морск. уч-ща, 198I, с.102-108.

23. Житникова Н.И., Комаров С.С. Об одном методе численногорешения смешанной краевой задачи. -В кн.: Прочность конструкций. -Уфа, 1973, с.85-90 (Труды/Уфим. авиац. ин-т, вып.7б).

24. Жуковский Н.Е. Определение движения жидкости при каком-нибудь условии, данном на линии тока. -Журнал Русского физико-химического общества, 1891, т.22.

25. Киселев О.М. К задаче о газовом пузыре в плоском потоке идеальной жидкости. -Изв. АН СССР. Сер. мех. жидкости и газа, 1969, Ы, с.13-28.

26. Киселев О.М., Федяев В.Л. О струйном течении жидкости при наличии гибкого ограждения. -Труды семинара по краевым задачам, вып.II. -Казань: изд. Казан, гос. ун-та, 1974, с.73-82.

27. Кличко В.В. Расчет параметров истечения воздуха из элементов гибких ограждений воздушной подушки. -В кн.: Гидроаэромеханика судов с динамическими принципами поддержания. -Л.: Судостроение, 1972, с.221-232 (Труды/НТО судостроительной пр-ти, вып.186).

28. Комаров С.С., Житников В.П. и др. Исследование области существования возможных форм баллонных оболочек. -Уфа, 1979.-30с. Рукопись представлена Уфим. авиац. ин-том. Деп. в ВИНИТИ №927-80.

29. Комаров С.С., Житникова Н.И. Аналитический метод задания аэродинамических характеристик устройств с пристенными струями. -В кн.: Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей, вып.5. -Уфа, 1981, с.71-76 (Межвуз. науч. сборник).

30. Комаров С.С., Житникова Н.И., Житников В.П. Аэродинамические характеристики неравновесных струй. -В кн.: Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей, вып.I.-Уфа, 1977, с.112-119 (Межвуз. науч. сборник).

31. Комаров С.С., Житников В.П. и др. Определение области существования решений задачи истечения идеальной жидкости из сопла вблизи экрана (отчет). -Уфа, 1976. -63с. Рукопись представлена Уфим. авиац. ин-том. Деп. в ВИНИТИ Б552251.

32. Комаров С.С., Житников В.П. и др. Аналитические исследования решений задачи истечения идеальной жидкости из сопла вблизи экрана (отчет). -Уфа, 1977. -119с. Рукопись представлена Уфим. авиац. ин-том. Деп. в ВИНИТИ Б659518.

33. Комаров С.С., Кононов А.С., Пухова Н.М. Статическая устойчивость пневмомеханических систем. -В кн.: Динамическое уравновешивание, колебания и устойчивость движений, J86. -Уфа, 1978, с.31-44 (Межвуз. науч. сборник).

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Пер с 2-го амер. пер. изд. И.Г.Араманови-ча и др. Под общ. ред. И.Г.Арамановича.-М.: Наука, 1973. -832с.

35. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. -М.: Наука, 1967. -500с.

36. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд., испр. -М.: Наука, 1973. -736с.

37. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. -Л.: Судостроение, 1978. -264с.

38. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. Пер. с англ. Б.Н.Казака. Под ред. и с доп. Б.М. Наймарка. 2-е изд., стереотип. -М.: Мир, 1977. -584с.

39. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. -М.: Наука, 1979. -224с.

40. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 2-е изд., испр. -М.: Наука, 1966. -448с.-18145. Слезкин Н.А. Обтекание наполненной газом оболочки плоским потоком идеальной жидкости. -Уч. зап. МГУ, М., 1951, т.З, вып.152, с.61-75.

41. Степанов Г.Ю. Гидродинамическая теория аппаратов на воздушной подушке. -М.: Машгиз, 1963. -95с.

42. Степанов Г.Ю., Арутюнян Д.В. К расчету аппаратов на воздушной подушке с частичной разгрузкой. -"Автомобильная промышленность", 1965, J&9, с.24-27.

43. Терентьев А.Г. Струйное обтекание системы двух препятствий. -Труды семинара по обратным краевым задачам, вып.1. -Казань: изд. Казан, гос. ун-та, 1964, с.ПО-123.

44. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий. -В кн.: Вопросы прикладной математики и механики, вып.1. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1971, с.3-35.

45. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -Изд. 7-е, стереотип. -М.: Наука, 1970, т.Т. -607с.

46. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -Изд. 7-е стереотип. -М.: Наука, 1969, т.2. -800с.

47. Ханжонков В.И. Аэродинамика аппаратов на воздушной подушке. -М.: Машиностроение, 1972. -328с.

48. Цельник Д.С. Об одной модели струйной завесы. -Изв. АН СССР. Сер. мех. жидкости и газа, 1966, ЖЕ, с.96-100.

49. Цельник Д.С. Приближенная теория струйной завесы для случая сопла с удлиненной внешней стенкой. -В кн.: Вопросы прикладной математики и механики. -Чебоксары: изд. Чуваш, гос. ун-та, 1975, вып.4, с.102-110.

50. Циолковский К.Э. Сопротивление воздуха и скорый поезд. -Калуга, 1927. -60с.

51. Циолковский К.Э. Общие условия транспорта. -В кн.: К.Э. Циолковский. Собр. соч., т.1У. -М., 1964, с.345-353.-18257. Шагидуллин P.P. Отрывное обтекание упругого замкнутого-контура. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1979. - 150с.

52. Bligh Т.P. Potential Flow Solutions of Jet Curtains.- The Engineer (Technical Contributors section) 1966, August, pp. 297-303.

53. Cohen M.J. Peripheral Jets in Proximity of the Ground.- Journal of Applied Mechanics Transactions of the A5ME. 1966, Ser. E, December, V.33, N4, pp. 721-727.

54. Dugan J.P. A free streamline model of the two-dimensional sail. Journ. Fluid Mech. - 1970, v.42, N3, pp. 433-446.

55. Ehrich F.F. The Curtain Jet. Journ. of the Aerospace Sciences. - 1961, November, v.28, Nil, pp. 855-860, 871.

56. Levi-Civita. Scie e leggi resistenza. Rendiconti del Cir-kolo Matem. di Palermo. - 1907, t.23.

57. McLeod E.B. The explicit solution of a free boundary problem involving surface tension. Journ. Rat. Mech. Anal. - 1955,v.4, N4.

58. Roche J.T.D. The Peripheral Jet Theory. Applied Mechanics Proceeding of the II-th International Congress of Applied Mechanics.- Munich (Germany), 1964. Berlin and others, 1966, pp. 674-695.

59. Signorini. Sopra un problema al contorno nella teorie della funzioni di variable complessa. Analli di Matematica (3), t.25, 1916, c. 253-273.

60. Strand T. Inviscid Incompressible Flow Theory of Static Two-Dimensional Solid Jets in Proximity to the Ground. - Journ. of the Aerospace Sciences. - 1962, v. 29, N2.

61. Strand T. Inviscid Incompressible Flow Theory of Static Peripheral Jets in Proximity to the Ground. - Journ. of the Aerospa-183ce Sciences. 1961, v.28, N1.

62. Volterra. 5opra alcune condizioni caratterische per le fun-zioni di variabla complessa. Analli di Matematica (2). - 1683, c. 1-35.

63. West A. A. On the Performance of the Hovercraft Single-Wall Skirt. Aeronautic Quaterly. - 1967» v.18, N4, November, pp. 321- 331.1. ПРШКЖЕШЕ I

64. Исследование сходимости решения при увеличении числа сохраняемых членов ряда

65. Для исследования процесса сходимости и сравнения различных способов представления неизвестной функции при решении задач обтекания мягких оболочек ( §8-10 ), рассматривается ряд примеров.

66. Обтекание безграничным потоком с отрывом струи.

67. При использовании разработанного способа возможна оценка погрешности аппроксимации при различных Л/ по невязкам исходного уравнения (8.2):

68. В случае метода Леви-Чивиты уравнение (8.2) в точке б --ft/2 выполняется и величина Л ^ Л0 > О при любом А/ . Для ^ значение Д0 h(/J~1)/2 . Для < вА < Оесли условие (8.25) выполняется, либо Л^-оо , если (8.25) не выполняется.

69. Для возможности использования результатов данной работы длядругих исследований, а также для проверки в табл. 1.3 даны значения переменных, соответствующие упомянутым выше точкам

70. Безотрывное обтекание оболочки безграничным потоком.

71. Значения переменных, соответствующие решениям задачи при двух закрепленных точках, даны в табл. 2.2, при одной закрепленной точке в табл. 2.4.

72. В табл. 2.5.1 и 2.5.2 приведены численные результаты решения задачи обтекания оболочки с вертикальным прямолинейным участком соприкосновения, рассчитанные по формулам (9.20) (9.22), (9.8) (соответственно для JU = 0.3 и дляJU-^-- ).

73. Значения переменных, соответствующие задаче с вертикальным участком соприкосновения, даны в табл. 2.6.

74. Задача обтекания оболочки вблизи экрана.

75. В табл. 3.2. даны параметры единственной точки 8/\ 0 для 0. = O.btL/fo - 1.75= -0.5-, а в табл. 3.3 - значения переменных для всех рассмотренных случаев.

76. Таким образом в данном приложении показано, что решение задач может быть получено с достаточно высокой точностью в большинстве случаев при N = 5 f 20.

77. Применение функции Л , учитывающей поведение функции Жуковского СО вблизи критической точки А позволяет существенно ускорить сходимость решения к предельному при /V4*00 .