Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред

Дмитриев, Иван Алексеевич

Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Дмитриев, Иван Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред»

Автореферат диссертации на тему "Развитие методов эквивалентных зарядов и зеркальных изображений для расчета электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред"

На правах рукописи

ДМИТРИЕВ Иван Алексеевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗАРЯДОВ И ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ

РЕАЛЬНЫХ СРЕД

Специальность: 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Казань-2013

005544000

Работа выполнена на кафедре радиофизики Института физики ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Белашов Василий Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Институт физики, профессор кафедры радиофизики

Седельников Юрий Евгеньевич доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО КНИТУ им. А.Н. Туполева - КАИ, Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций, профессор кафедры радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Наумов Анатолий Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет, зав. кафедрой «Теоретические основы электротехники»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреж-

дение науки Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН

Защита состоится 30 декабря 2013 г. в 14 час 30 мин на заседании Диссертационного совета Д 212.081.18 в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 16а, Институт физики, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан 29 ноября 2013 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Учёный секретарь диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук Л Акчурин А.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одним из этапов разработки радиотехнического и электротехнического оборудования является расчет электромагнитного поля (ЭМП) и оптимизация на его основе полеобразующей системы. Такие расчеты наглядно показывают влияние какого-либо фактора среды или объекта на результирующую напряжённость поля в данной точке пространства в данный момент времени. На основании расчетных оценок значительно проще далее выполнить анализ и предпринять уже на этапе проектирования необходимые меры по устранению будущих проблем. Помимо этого, оценка характера влияния ЭМП на биологические объекты, а это связано с вопросами безопасности жизнедеятельности, возможна во многом благодаря выполняемым расчётам, поскольку прямые измерения в таких случаях не всегда возможны и/или целесообразны. В известных и широко распространенных методах расчета, таких, например, как стандартные метод эквивалентных зарядов (МЭЗ) и метод зеркальных изображений (МЗИ) существуют весьма сильные ограничения на рассматриваемые классы задач, более того, в них отсутствуют возможности расчета ЭМП в широком частотном диапазоне и учета электрических и магнитных свойств реальных сред, которые в определенном смысле рассматриваются как идеальные. Использование прямых методов решения граничных задач на основе полной системы уравнений Максвелла представляет для реальных объектов и физических сред существенные трудности и весьма затратно, что чаще всего совершенно неоправданно. Все это определяет актуальность развития методов расчета ЭМП, как аналитических, так и численных, в том числе и путем модификации известных методов. Успешной реализации таких методов способствует и то, что широкое распространение вычислительной техники и наличие современных компьютерных технологий способствуют тому, что такие расчёты будут оперативными.

Анализ результатов всех предшествующих исследований показывает, что наиболее перспективным методом расчета электрических полей был и остается метод эквивалентных зарядов. Он выигрывает у наиболее распространенного метода расчета — метода конечных элементов, как по быстродействию, так и потребности в оперативной памяти компьютера. Однако МЭЗ, в контексте рассматриваемой проблематики, имеет существенный недостаток: он не пригоден для расчета магнитных полей. В связи с этим актуальной является задача разработки модификации МЭЗ, пригодной для расчета как электрических, так и стационарных магнитных полей. Идея расчета магнитных полей методом эквивалентных зарядов была выдвинута ещё в начале 80-х годов прошлого века [1], когда была предпринята первая попытка создания "алгоритма расчёта, аналогичного применяемому в методе эквивалентных зарядов" [2]. Основную трудность на этом пути представлял тот факт, что в природе не существует магнитных зарядов и в качестве вторичных источников поля было предложено использовать магнитные диполи [3], а интенсивность поля этих диполей находить из граничных условий. Однако область применения такого подхода оказалась

весьма узкой: стационарные электрические и магнитные поля, и переменное ЭМП в ближней зоне. Для выхода из данной ситуации в работе [4] было предложено использовать в качестве вторичных источников 7 элементов, расположенных в бесконечно малом объеме: переменный электрический заряд, 3 элементарных электрических вибратора и 3 элементарных магнитных вибратора. Однако получить граничные условия для вычисления параметров этих элементов оказалось невозможным в силу того, что МЗИ, на основе которого получаются эти условия, имеет ограничения: он позволяет рассчитывать только переменные ЭМП на границах раздела «вакуум - идеальный проводник». Как следствие, актуальной стала задача модификации МЗИ, при помощи которой было бы возможно рассчитывать ЭМП во всем диапазоне частот, учитывая электрические и магнитные свойства сред: диэлектрическую и магнитную проницаемости, и электропроводность. Далее актуальным стало бы распространение результатов модификации МЗИ и на область стационарных ЭМП, что позволило бы установить сходимость метода с уже известными решениями и получить новые зависимости для расчета полей в реальных средах.

Представленные соображения обусловили предпринятый в диссертации подход к разработке методов расчета ЭМП.

Объектом исследования являются ЭМП широкого диапазона частот (от О Гц до верхней границы радиочастот) в реальных физических средах.

Предметом исследования являются методы расчета стационарных и переменных ЭМП в широком диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств сред.

Целью работы является развитие методов расчета ЭМП в широком диапазоне частот на основе модификации и обобщения МЭЗ и МЗИ с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред.

Решаемые задачи:

1. Разработка модифицированного МЭЗ для расчета стационарных магнитных полей и переменных магнитных полей в ближней зоне.

2. Модификация и развитие МЗИ для обеспечения возможности расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред.

3. Разработка алгоритма вычисления поля, созданного отрезком проводника с током во всем диапазоне частот, ориентированного произвольно к границе раздела сред, и решение на его основе задачи вычисления поля и диаграммы направленности Х-образной антенны.

4. Адаптация разработанного модифицированного МЗИ на случай <о-»0 для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

Научная новизна выполненных исследований заключается в следующем:

1. Разработан модифицированный метод эквивалентных зарядов, позволяющий в отличие от известного МЭЗ, рассчитывать стационарные магнитные поля и переменные магнитные поля в ближней зоне. Особенностью метода является использование трехмерного вторичного источника поля. Разработана

новая методика размещения вторичных источников, основанная на их равномерном распределении вдоль границ раздела сред. Для массива вторичных источников получены аналитические интегральные зависимости, что позволило существенно уменьшить время расчета.

2. Разработана модификация МЗИ для обеспечения возможности расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред, особенностью которой является отсутствие точной геометрической привязки фиктивного тока (заряда), определяющего поле преломленной волны. Выполнена адаптация модифицированного МЗИ для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

3. С помощью разработанного модифицированного МЗИ получены уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей для сферической волны разной поляризации, созданной произвольно расположенным по отношению к границе раздела сред отрезком проводника с током.

4. Разработан алгоритм вычисления поля, созданного отрезком проводника с током во всем диапазоне частот, ориентированного произвольно к границе раздела сред.

Практическая значимость. Разработанный алгоритм численного расчета стационарных МП и переменных МП в ближней зоне позволяет создавать программное обеспечение, предназначенное для расчёта стационарных ЭМП и переменных ЭМП в ближней зоне различной конфигурации: плоскопараллельных и трёхмерных, в открытых и закрытых областях. Полученные уравнения «преломления - отражения» для сферической волны на плоской границе раздела сред с произвольными электрическими и магнитными свойствами позволяют получать точные аналитические решения для всех частот, включая ш=0. Кроме этого, в будущем становится возможным развить МЭЗ для расчета переменных ЭМП во всем диапазоне частот для реальных физических сред.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модифицированный МЭЗ для расчета стационарных магнитных полей и переменных магнитных полей в ближней зоне.

2. Модифицированный МЗИ с возможностью расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

3. Уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей для сферической волны разной поляризации на плоской границе раздела сред.

4. Модификация МЗИ для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов диссертационной работы обеспечивается совпадением полученных в работе результатов с результатами известных теоретических и численно-модельных исследований других авторов для конкретных частных случаев. Достоверность также подтверждается использованием корректных, апробированных матема-

тических методов электродинамики.

Апробация работы. Основные результаты работы были опубликованы в российских реферируемых научных журналах, докладывались и обсуждались на 12-м Межвузовском научно-техническом семинаре научно-исследовательской лаборатории им. A.C. Фигурнова (Казань, 2000); конференции "Проблемы энергетики", посвященной 80-летию плана ГОЭЛРО и созданию Казанского государственного энергетического университета (Казань, 2000); 13-й, 14-й Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Внутрикамер-ные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика, экология" (Казань, 2001, 2002); Российском национальном симпозиуме по энергетике. (Казань, 2001), 1-м форуме молодых ученых и специалистов республики Татарстан (Казань, 2001); Республиканском конкурсе научных работ студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского. (Казань, 2002); 3-й Волжской региональной молодежной научной конференция «Радиофизические исследования природных сред и информационные системы» (Зеле-нодольск, 2010); XVII, XVIII региональных конференциях "Распространение радиоволн" (С.-Петербург, 2011, 2012); XXIII Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн» (Йошкар-Ола, 2011); VII Всероссийской научно-технической конференции «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства» (Ижевск, 2011).

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы были внедрены в учебный процесс в Казанском государственном энергетическом университете, что подтверждено актом внедрения.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 24 научных публикациях, включая 9 статей в ведущих научных изданиях, входящих в перечень ВАК, 2 материалов докладов международных конференций, 6 материалов докладов всероссийских конференций и 7 материалов докладов региональных конференций.

Личный вклад автора работы. Результаты, представленные в диссертации и публикациях, получены при непосредственном участии автора работы. Автор принимал участие в разработке модифицированных методов МЭЗ и МЗИ, разработках алгоритмов вычисления ЭМП на основе этих методов и их приложений к расчетам стационарных полей; в подготовке и написании статей и представлении докладов на конференциях. Уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей для сферической волны разной поляризации на плоской границе раздела сред получены непосредственно автором.

Соответствие диссертации научной специальности.

Диссертация соответствует специальности 01.04.03 - Радиофизика. Представленные в ней результаты соответствуют п. 2 «Изучение линейных и нелинейных процессов излучения, распространения, дифракции, рассеяния, взаимодействия и трансформации волн в естественных и искусственных средах», п. 7 «Разработка теоретических и технических основ новых методов и систем связи, навигационных, активных и пассивных локационных систем, основанных на

использовании излучения и приема волновых полей различной физической природы и освоении новых частотных диапазонов».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, содержит 148 страниц машинописного текста, 68 рисунков, 97 наименований использованной литературы, в том числе 24 наименования работ автора, опубликованных по теме диссертации.

Сокращения. ЭМП - электромагнитное поле; ЭП - электрическое поле; МП - магнитное поле; МКР - метод конечных разностей; МЗИ - метод зеркальных изображений; МКЭ - метод конечных элементов; МЭЗ - метод эквивалентных зарядов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, формулируются цель и задачи, научная новизна и практическая значимость проведенных исследований, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе приведен обзор литературы по аналитическим подходам и численным методам расчета ЭМП. Даны краткие описания МКР, МКЭ, МЭЗ, методов интегральных уравнений, контурных токов, волновой и геометрической оптики. Показаны преимущества и выявлены недостатки этих методов для различных задач расчета ЭМП. В частности установлено, что выбор того или иного метода основан на информации о соотношении длины волны ЭМП и размерах полеобразуюшей системы; дополнительные допущения, вводимые при этом в базовые методики с целью расширения их областей применения, приводят к росту неконтролируемой погрешности расчета. Сделан вывод о несомненных преимуществах МЭЗ перед всеми остальными методами расчета, поскольку он менее требователен к ресурсам вычислительной техники, а значит, с его помощью возможен расчет более сложных полеобразующих систем.

Во второй главе описывается разработанный в диссертации модифицированный МЭЗ для расчёта стационарных (пп. 2.1-2.4) и переменных МП в ближней зоне (п. 2.5).

Идея модификации МЭЗ применительно к расчету МП заключается в следующем: каждая область, в пределах которой среда однородна, рассматривается изолированно, а влияние объектов, искажающих поле в ней, как и источников поля, находящихся в других областях пространства, учитывается при помощи вторичных источников МП, расположенных вдоль границ раздела сред. Интенсивность поля, создаваемого вторичными источниками, определяется, исходя из граничных условий.

Выбору вида и положения вторичных источников в МЭЗ уделяется большое внимание, поскольку от этого зависит размер матрицы, потребной для решения системы линейных уравнений, и точность расчета. Предложен следующий механизм размещения этих источников: под участком поверхности раздела сред выбирается плоскость таким образом, чтобы нормаль к ней совпадала с нормалью к выбранному участку границы, который проецируется на плоскость. В дальнейшем эта проекция называется "эквивалентной площадкой".

Силовая характеристика эквивалентной площадки получается следующим образом. За границей раздела рассматриваемого области выделяется бесконечно малый объём - куб со сторонами Лх,Лу,Л2, содержащий вторичный источник МП. Поле этого источника аппроксимируется полем трех взаимно перпендикулярных контуров с током. Компоненты вектора напряженности МП, создаваемого в пространстве системой однотипных контуров с током, вычисляются интегрированием вдоль поверхности площадки градиента скалярного потенциала контура с током. В зависимости от заданных пределов интегрирования получаются либо решения в плоскопараллельных полях х є (- со,+оо), либо (если пределы интегрирования заданы константами) в трёхмерных полях. Окончательно, напряженность МП эквивалентной площадки определяется как

Н = Н(пх)+Н(пу)+Н(пг). (1)

Получены силовые характеристики эквивалентной площадки при следующих условиях:

1) в плоскопараллельном поле для:

— кусочно-линейной аппроксимации токов по координатам: / = /0 + (ді/ду)у;

— кусочно-постоянной аппроксимации токов по координатам;

— кусочно-линейной аппроксимации токов по координатам вида (рисунок 1):

і = (ді/ду)у, при у є (О,Л/2), і = (ді/ду)0,5Й - (ді/ду)у, ^ є (А/2,й);

2) в трехмерном поле для кусочно-постоянной аппроксимации токов по координатам.

В разработанном методе, вторичные источники разделены на два типа. С помощью вторичных источников типа "5 " учитывается искажение поля в данной области, вносимое границей раздела сред. С помощью /-источников учитывается влияние на рассматриваемую область пространства источников поля, расположенных в соседней области. Граничные условия для вторичных источников поля получены при помощи метода зеркальных изображений. Для л-источников, принадлежащих /^-области пространства и размещенных на границе раздела с /-областью они выглядят следующим образом:

/ \

Рисунок 1 - Кусочно-линейная аппроксимация контурных токов от координат. 1 - эпюра токов в пределах /-Й площадки. 2 - результирующая эпюра. 3,4- Распределение токов соседних площадок

ІП Пі

"•р 1Р "у

5>т(/ї)+ I

;=1 /=1 1=1

у=1 1=1

при

І=1

Ир- М/

"•р 'р "у , ч

І=1

при р

где НТ,Н„ —касательные и нормальные к рассматриваемому участку границы раздела "р-Г' сред компоненты вектора Н, р — рассматриваемая область, тр -число первичных источников поля р-области, 1р — число соседних областей с р-областью, пр — число вторичных источников поля на границе раздела "р-Г сред, п} — число вторичных источников поля на границе раздела "р-/' сред. Аналогично выглядят граничные условия для вторичных источников типа принадлежащих / -области и размещенных на границе раздела с /^-областью:

іхЦ=

т„ ір п}

м м

Г.рир

Рі+Рр

ГПр 1р л.

2ХС/-Д + І

Ы /=1 1=1

при)*р

(4)

(5)

Алгоритм расчёта модифицированным МЭЗ заключается в следующем:

1) задаются первичные источники поля, т.е. положение проводников в пространстве и протекающие по ним токи; напряжённость МП, создаваемого проводником с током, определяется по закону Био-Савара-Лапласа;

2) вдоль границ раздела размещаются эквивалентные площадки, поле площадок определяется выражениями вида: Н = /(х,у, гД 5 2 //дхду);

3) интенсивность поля эквивалентных площадок находится из граничных условий (2)-(5) над геометрическими центрами площадок;

4) в итоге, поле определяется как суперпозиция полей всех источников, принадлежащих данной области.

В п. 2.6 работы приведены результаты тестирования методики в плоскопараллельном поле. Полученные результаты сравнивались с аналипгческим решением МЗИ [5]. Относительная погрешность не превысила 3 %.

В п. 2.7 диссертации приведено описание метода расчета переменного МП, основанного на выполненной модификации МЭЗ и предназначенного для проведения радио- и электротехнических

ферромагнетик

Рисунок 2 - Примерный вид силовой линии МП. а) стационарное МП (учет полных граничных условий - базовая методика расчета МП); б) квазистационарное МП (неполные граничные условия - экономичная методика расчета МП)

расчетов в ближней зоне. Изменения в алгоритме коснулись граничных условий и силовой характеристики эквивалентной площадки. Предполагалось:

1. Магнитная проницаемость неферромагнетиков слабо отличается от единицы, потому наличие таких объектов не учитывалось, если это не проводники с током, а интенсивность вторичных источников находилась из упрощенных граничных условий (см. рисунок 2,6): Нх= 0.

2. При получении силовой характеристики эквивалентной площадки было принято, что силовые линии МП в ферромагнетике параллельны поверхности раздела (рисунок 2,6). Соответственно ток в контуре, плоскость которого параллельна границе раздела сред, равен нулю, а силовая характеристика эквивалентной площадки (1) примет вид: Н = Н(пх ) + н(пу ).

Приведены результаты тестирования методики в плоскопараллельном поле. Полученные результаты сравнивались с результатами, полученными МЗИ в [5]. Относительная погрешность не превысила 10 %. Здесь же приведены результаты исследования влияния вида аппроксимации контурных токов в пределах площадки (кусочно-линейная и кусочно-постоянная) на точность расчета. Анализ не выявил кардинальных преимуществ какой-то одной из них.

В третьей главе описан разработанный в диссертации оригинальный модифицированный МЗИ, на основе которого рассчитывается ЭМП элемента тока расположенного над границей раздела сред с заданными электрическими и магнитными характеристиками. При формулировании основных положений метода показана неприменимость геометрических построений, принятых в стандартном МЗИ для расчета переменных ЭМП.

В п. 3.1 получены уравнения «отражения - преломления» для сферической горизонтально поляризованной волны (см. рисунок 3):

Уггз=т\ (6)

sin ф/sm Фз = У2/У1; (7)

/- \ ^гсобф-^содфз ч 20% eos<р . \ .„ Ев\1уг)=—---Ев{1 х), Ев{1 3)=---"-Ер.I/,,. ,(7)

W2COSf+W,COS93 у COSCp+ffj СОБфз

где fV¡ = д/Hal/^ai И fV2= VHa2/%2 - волновые сопротивления сред. Из (8) следует, что

/ -г W2 cosy-^! COS(p3 . . 2Щ eosф у? .

yl W2 С08ф + ^ СОБфз у1' у3 ~ w2 COSф + СОЭфз yl' ^

Как видно, зависимости (7) и (8) полностью совпадают с законами Снеллиуса и формулами Френеля. Далее в работе приводятся результаты тестового расчета.

В п. 3.2 получены зависимости для сферической вертикально-поляризованной волны (рисунок 4):

sin а / sin а3 = (sa2 / са1 )(^22 /Wuy, (9)

й(1х2)=Лe[i )= Ticosa-É{ )

Wxi cosa + W%2cosa3 v xi' Wn cosa + WZ2cosa3 V xV '

геомспрвческое

J ТОЧКА

у наблюдения

£а2 Да2

б)

Рисунок 3 - Горизонтально поляризованная волна: а) верхнее полупространство, б) нижнее полупространство

где Wlx

„> _ \Ьс(ё20(1 + гт+ гу,Г] -^ _ ^4с182е3(1 + /уй)2 +(| + г/|П -у^ _

соотношения между электрической и магнитной компонентами поля соответственно верхнего и нижнего полупространства, г3 -находится согласно (2). Из (11) следует что

fFjiCosa-f^cosc^ .

Wz¡ cosa + WZ2 cosa3

2WU cosa

cosa + cosa3 sin©3 y2 21

Из (6) легко найти: y, cos© = у2 cos03.

Множитель W^/Wjn в (10) следует трактовать как коэффициент, вносящий поправку в закон Снеллиуса на сферичность волны. Отметим, что в дальней зоне соотношение между электрической и магнитной компонентами поля W£ становится равным волновому сопротивлению среды -Jixa/ea и, как следствие из (10), получим второй закон Снеллиуса:

sin a/sin a3 =у2/У\, (12)

а зависимости (11) становятся тождественными формулам Френеля для вертикально-поляризованной волны.

В п. 3.3 работы исследуется ЭМП на оси симметрии полеобразующей системы. Показана сходимость зависимостей полученных для горизонтально-поляризованной и вертикально-поляризованной волн на оси симметрии системы. Получены формулы для расчета тока проводимости, возникающего в проводнике с током при его взаимодействия с границей раздела.

В п. 3.5 представлено решение для случая ЭМП, созданного элементом то-

ка, ориентированного нормально к плоскости раздела сред (см. рисунок 5). Показано, что здесь также выполняется равенство фаз (2) и соотношения между

геометрическое место диполя

. От-

аЕз \

"з

Рисунок 4 - Решение для случая вертикально поляризованной волны а) верхнее полупространство, б) нижнее полупространство

Рисунок 5 - Решение для случая диполя расположенного нормально к границе раздела сред, а) верхнее полупространство, б) нижнее полупространство

токами (12). Угол 03 легко находится из квадратного уравнения:

asin2 ©з +¿>sin03 +с = 0, (13)

где a = (з(1 + /у, г,) - rfl2 Ь si" ®. ^ = -(sin2 в(з(1 + jyxrx)- у ¡7j2)- 2(l + /у ¡r, , c=-2(l + /y,^)y2sm©.

Для всех рассмотренных случаев в главе приводятся результаты тестовых расчетов с визуализацией картин напряженностей ЭМП.

В п. 3.6 приведена разработанная в рамках модифицированного МЗИ методика расчета ЭМП элемента тока, ориентированного произвольно к границе раздела сред. В соответствии с данным подходом, исходный электрический диполь представляется как суперпозиция трех таких взаимно перпендикулярных диполей, так что ось первого ix направлена на точку наблюдения и параллельна плоскости раздела сред, ось второго lz нормальна к плоскости раздела сред, а ось третьего образует с \х и 1, правую тройку векторов. Длины этих диполей и токи в них находятся как

^=/008(1,,!), =/008(1^,1), lz =/C0s(lz,l), Ix=iy=iz=il.

За границей раздела, зеркально, располагаются фиктивные электрические диполи, параметры которых находятся следующим образом:

1) диполь ix на границе раздела создает вертикально-поляризованную волну (см. рисунок 4); как следствие, расчет поля проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в п. 3.2;

2) диполь 1у создает горизонтально-поляризованную волну (см. п. 3.1):

3) диполь Iz расположен нормально к границе раздела сред (см. п. 3.5).

Как пример использования алгоритма, проведен расчет диаграммы направленности Х-образной антенны с четырьмя наклонными лучами, расположенной в непосредственной близости от земли (см. рисунок 6, а) для частоты 15 МГц.

Суммарный ток проводимости, возникающий в антенной системе, находится из решения системы линейных уравнений:

A =he~m +áníx +ál2í2 + ...+ áxJ„ , h =he"n +á2lA +a22Í2 +...+ á2nIn ,

A = V"0""" + ánÍx +ái2¡2 +...+ á¡nIn ,

А. =А)е ™-Г" + а„х1х + ап212 +... + апп1п ,

где ¿¡у - ток проводимости /-го элемента, созданный полем единичного тока ]-го элемента провода, /0 - сила стороннего тока. Токи проводимости, возникающие в отрезке провода, вычисляются с учетом равенства касательных ком-

б)

Рисунок 7-а) распределение потенциалов ЭП, б) мгновенные значения поля |Е |

понент внешнего поля Ет и поля тока на поверхности проводника:

Ё =Ёп Ї-Е /Ю'а1АПГ"Р

^Т 1пр — ^х

__V

+ іГпр

где гпр —радиус проводника. На рисунке 6, б приведен результат расчета диаграммы направленности антенны.

Рисунок 6 - а) геометрия антенной системы, частота ЭМП 15 МГц; 6) диаграмма направленности антенны в вертикальной плоскости при И = 3 м

В п. 3.8 приведено решение задачи расчета ЭМП при ненулевом потенциале проводника (см. рисунок 7). Доказана справедливость геометрических соотношений (2), (13) и получены выражения для зарядов:

= 5Л1 сова - еа2у 2 соваз ^ _ 2ео2у2со8а у?

2 сова + еа2у2 соэсХз 1 3 ел,у,со8а + еа2у2со8а3 '' . __47ГЕ01_.

V + ес2у2 2Й

На рисунке 7 приведены результаты тестового расчета. Принято: тонкий про-

—18

водник находится в воздухе (е = 1,000536, ц = 1, уэ = 10 См/м) на высоте 10 м над поверхностью земли 8 = 1,000536, ц = 1, уэ =0,01 См/м). Разность потенциалов между проводом и землей 1 кВ. Частота 15 МГц.

В главе 4 выполнена адаптация разработанного модифицированного МЗИ для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред. Исходное предположение состоит в том, что для ЭМП, достаточно медленно изменяющегося с периодом Т, при измерении какого-либо параметра этого поля в течение промежутка t « Т, можно считать с необходимой степенью точности поле стационарным, и для его анализа могут быть использованы законы электро- и магнитостатики. Следовательно, используя расчетные схемы и граничные условия, представленные в главе 3, и переходя в соотношениях к мгновенным значениям, полагая при этом ю = 0, получим зависимости для стационарных полей.

С использованием данного подхода в работе получены выражения, определяющие поле элемента постоянного тока:

Яф =-(47tr2)-1/3/sin0,£r =(у32ти-3) 7э/со8Э,£-0 = (y,47ir3r'/3/sin©. Скалярный потенциал и напряжённость поля заряда определяются как q> = q/4v£ar, Er -q/4uzar2 . Далее, в соответствии с алгоритмом модифицированного МЗИ, получаем Re (yj /у2)] =Q = ±^43\\xa\h32\ia2 и, в результате,

геометрические соотношения для горизонтально-поляризованного поля приобретают вид:

г\!гъ =л/Уэ2Н«2 h3\V-ai > sin ф / sin Фз = ^/у э2ца2 / у э1ца1 , (14) а соотношения между токами:

■ _ Л/(Цо2/£а2)С08ф-Л/(Цд1/Ба1)С08фз . _

а! 1 еа2 ) cos Ф + 4(Hal 1 eol) cos Фз

j i £д\) собф_ уэ1ца|

л/(Ha2 / ео2) COS Ф + ^ / ) COS Фз Уэ2Иа2 ^ ' Установлено, что если ток протекает по проводнику, в Ё = (/coearot Н при получении силовой характеристики следует рассматривать параметры материала проводника, а не окружающей среды, т.е

■ I^Icos© / . ч E^e'^Vcos©. , imi:anp2nr 2nr

■ 1эе-*1 sine/ . 2 2\ ETe-iyrySm©[ 2 2\

E0 --[l + ryr-yVJ=-i---ll + гу/-~yr I

meanp4nr 4 nr*

где Er =U - напряжение; V - объём проводника. При со = 0 будем иметь: Ег = = (2яг 3 EXV cos® = (у ЭИр 2яг3 )' /э/ cos©; = (4яг3 )"' £tF sin© = (у эп/,4яг3 х х/э/ sin©, что вполне согласуется с классическими представлениями. Соотношение между электрической и магнитной компонентами изменилось:

Щ =-[і + гуг - у2г2^[тгапрг{\ + гуг)], соответственно изменились соотношения между токами (9):

і У 2 СОБф-Yi совфз -

' у2 =-7у1> 73

2yt совф

Уі

у2 С05ф + У! совфз ' у2 СОвф + у, СОБфз у^

Как следствие, зависимости для стационарного ЭМП примут вид:

■\/Тэ2^а2 с0!>ф ~-у/Уэ1Ца1 СОБфз 2Л/у^^С08ф

'у2 =

-/Уэ2^а2 СОЗф + т/уэ!^] СОвфз 3 у]уэ2^а2 СОЯф + С0«ФЗ Уэ2И02

Геометрические соотношения (15) остаются прежними. На рисунке 8 приведены результаты визуализации соответствующего расчета.

УзіНйІ

« і» -я -1«

Рисунок 8 - Горизонтально поляризованное поле. Верхнее полупространство - воздух

(е = 1,000536, ц = 1, уэ =10"18 См/м),нижнее-земля(е = 1,000536, ц = 1, у, =10"2 См/м); ток / , = 1 А течет на высоте 10 м над поверхностью земли: а) |Е|, б) |Н|

В п. 4.3 представлено решение для вертикально-поляризованного поля. Получены соотношения между токами при ю = 0 для диполя Герца:

7 лМд1 /'Yaï~^^/4ctg20 + 1 со^а ~ /Уд2 ^с1ё2®з + 1 СОБССз ^

л/иа1 /Уа! л/4с1ё2® + 1 со!іа + 4^аіЬа2 + 1 СОвСХз

віп© Узі^аі

л/Маї/УзІ 2-^4 ctg2©+ 1 cosa

/д-3 =--" == ""-:-І --:--

л/Маї/їзі -^4с1ё2©, +1со8а + >а2/уэ274с1ё2©з +1со5а3 5т03 Уз2Ца2 и соотношения между компонентами поля:

= (узі г3) ' V4ctg2©3 +1. Геометрические соотношения имеют вид:

3C0S©3 COS© Г]

3 cos©

sma = — -; sma3

V4ctg2 ©3+1 cos®3 гз V Узі^аі

Уэ2^а2

. (15)

74с1ё2 © + 1

При учете электрических и магнитных характеристик материала проводника с током выражения (16) не изменятся. Трансформируются только соотношения между электрической и магнитной компонентами поля и между токами:

=(y3npn)"V4ctg2©1+l, ^2=(уэ„^З^А/4С»820З+1;

л/Уэ1М01 V4ctg2© + 1 cosa + ^Jy32na2 ^4ctg2©3 +1 cosa3

__2л/Уэ1МД12V4ctg2© +1 cosa_ sin© уэ1цй|

Выполненные тестовые расчеты оказались полностью соответствующими результатам, полученным другими авторами для отдельных частных случаев.

В п. 4.4 получены соотношения для вычисления поля, созданного элементом тока, расположенного нормально к границе раздела сред. Они полностью совпали с соотношениями, полученными для вертикально-поляризованной волны, кроме уравнения для вычисления угла 03: asín2 ©3 + /jsin03 +с = 0, где a = 3 + /3y1r-y2r2;6 = -(sin2©(3 + /3y1r-y2r2)-2(l + ry1r)):yi/y2 sm0); c=-2(l + ^). При учете материала проводника эти коэффициенты изменятся:

В п. 4.7 получены зависимости для электростатического поля: 4l=_ 4гео1 , _cos«3

1 , Ед1 л/УЖ^ - еа2 л/Уэ2Ма2 1 "Р eal VУэ|На| COSa + £„2 7r,2|Ja2 cosa3 '

гпр еа1 vy3ihai + ea2-Jy32iia2 2h

дъ=_ 2еа2л/Уэ2Ма2 cosa Уя|Ця1 _cosa_ _ /-1 _ Iуэ2ца2

eal-\/y3l^oi с05а + Еа2л/уэ2ца2 cosa3 Уэ2Ца2 cosa3 /-3 \ уэ1ца, '

Показана сходимость с результатами, получаемыми стандартным МЗИ [5] в случае, если электропроводность и магнитная проницаемость обеих сред одинакова.

Для всех разработанных методов и алгоритмов вычисления поля приведены результаты тестовых расчетов с оценками абсолютной и относительной погрешности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан модифицированный метод эквивалентных зарядов, позволяющий в отличие от известного МЭЗ, рассчитывать стационарные МП и переменные МП в ближней зоне, основанный на использовании трехмерных вторичных источников поля. Предложена методика равномерного распределения таких источников вдоль границ раздела сред и получены соответствующие аналитические интегральные зависимости, что позволило существенно уменьшить время расчета. Предложенные алгоритмы открывают новые возможности по созданию программного обеспечения для расчёта стационарных ЭМП различной конфигурации: плоскопараллельных и трёхмерных, в открытых и закрытых областях. Результаты расчетов сравнивались с полученными методом зеркальных изображений [5]. Относительная погрешность численного расчета не пре-

высила 10 %. Результаты внедрены в учебный процесс в Казанском государственном энергетическом университете.

2. Разработан модифицированный метод зеркальных изображений для обеспечения возможности расчета ЭМП во всем диапазоне частот с учетом электрических и магнитных свойств физических сред, особенностью которой является отсутствие точной геометрической привязки фиктивного тока (заряда), определяющего поле преломленной волны. Получены точные решения для сферической волны разной поляризации, созданной произвольно расположенным по отношению к границе раздела сред отрезком проводника с током в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемостей. Особенностью решения является то, что оно действительно в диапазоне от 0 Гц до верхней границы радиочастот и учитывает одновременно электрические и магнитные свойства сред. Показана сходимость полученных аналитически соотношений в предельных случаях с формулами Френеля и законами Снеллиуса. Выполнен расчет поля и диаграммы направленности X-образной антенной системы с наклонными лучами. Предложенный подход расширяет класс задач электродинамики, для которых могут быть получены точные решения.

3. Выполнена адаптация разработанного модифицированного метода зеркальных изображений и получены точные аналитические выражения для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных физических сред. Результаты могут быть полезными в практических приложениях при вычислении ЭМП, создаваемых сложными конфигурациями проводников с током, когда генерируемые ими поля допустимо считать стационарными, например, при решении задач электромагнитной совместимости электрооборудования и элементов электроэнергетических систем. В предельном случае электростатического поля продемонстрировано соответствие полученных аналитических выражений известным формулам стандартного метода зеркальных изображений [5].

Цитируемая литература

1. Бобиков В.Е. Инженерные аспекты применения метода эквивалентных зарядов в расчетах электрических полей высоковольтного оборудования. Авто-реф. дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. М.: Изд-во МЭИ, 1984.16 с.

2. Дьяков А.Ф., Никитин O.A., Максимов Б.К., Верещагин И.П., Белоглов-ский A.A., Бурмистров М.М., Винокуров В.Н. Методики и программа расчета электрических и магнитных полей промышленной частоты вблизи электроэнергетических объектов. Вестник МЭИ. 1997. № 1. С. 91-100.

3. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Оценочный расчет магнитных полей промышленной частоты. И Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 1-2, с. 69-77.

4. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Расчет переменного электромагнитного поля // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 7-8. С. 75-80.

5. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1973.752 с.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин B.JI., Вакатов A.C., Мануйлов Ю.Е., Максимов В.Н., Никонов A.C. Оценка электромагнитной обстановки в электрораспределительных системах. // Изв. Вузов. Проблемы энергетики 2001. № 11-12. С. 80-86.

2. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Оценочный расчет магнитных полей промышленной частоты. И Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 1-2. С. 69-77.

3. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Расчет стационарных магнитных полей // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. № 5-6. С. 70-77.

5. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2009. № 7-8. С. 82-93.

6. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2009. № 9-10. С. 71-81.

7. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Расчет стационарных электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств полупроводящих сред // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2010. № 9-10. С. 72-80.

8. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к полупроводящей плоскости // Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2012. № 11-12. С. 87-93.

9. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А. Расчет диаграммы направленности антенны над полупроводящей плоскостью модифицированным методом зеркальных изображений // Изв. вузов. Радиофизика, 2013. Т. LVI. № 10. С. 722-729.

10. Дмитриев И.А., Матухин B.JI. Экономичная методика численного расчета мгновенных значений параметров трёхмерных магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. 12-го Межвуз. постоянно действующего научно-техн. семинара научно-исслед. лаборатории им. A.C. Фигурнова, Казань, 17-18 мая 2000 г. Казань: КФВАУ, с. 301.

11. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин В.Л. Численная оценка магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. 13-и Всеросс. межвуз. научно-техн. конфер. "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", Казань, 15-17 мая 2001 г. Казань: КФВАУ. Т. 2. С. 300.

12. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Оценка магнитных полей промышленной частоты // Матер, докл. Российского нац. симп. по энергетике, Казань, 10-14 сентября 2001 г. Казань: КГЭУ, 2001. Т. 5. С. 135-138.

13. Дмитриев И.А., Килеев А.И., Матухин В.Л., Вакатов A.C., Мануйлов Ю.Е., Максимов В.Н., Никонов A.C. Оценка электромагнитной обстановки на энергообъектах // Матер, докл. Российского нац. симп. по энергетике, Казань, 10-14 сентября 2001 г. Казань: КГЭУ, 2001. Т. 3. С. 99-101.

14. Дмитриев И. А., Газеева Е.В., Мануйлов Ю.Е. Электромагнитная обстановка в электрораспределительных системах // Матер, докл. "I форума молодых ученых и специалистов республики Татарстан", Казань, 11-12 декабря 2001 г.

Казань: Мастер Лайн, 2001. С. 97.

15. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Методика расчета переменного электромагнитного поля. Матер, докл. "I форума молодых ученых и специалистов республики Татарстан", Казань, 11-12 декабря, 2001 г. Казань: Мастер Лайн, 2001. С. 87-89.

16. Дмитриев И.А. Численный расчет электромагнитного поля // Матер, докл. "Республиканского конкурса научных работ студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского", Казань, 1-2 марта 2002 г. Казань: КГУ, 2002. С. 56-57.

17. Дмитриев И. А., Матухин В Л. Электромагнитные поля объектов энергетики // Матер, докл. конф. "Проблемы энергетики", посвященной 80-летию плана ГОЭЛРО и созданию Казанского государственного энергетического университета. Казань: КГЭУ, 2002, с. 115.

18. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Универсальный алгоритм расчета переменного электромагнитного поля // Матер, докл. XIV Всеросс. межвуз. научно-техн. конф. "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", Казань, 14-16 мая 2002 г. Казань: КФВАУ, Т. 2, с. 190-193.

19. Дмитриев И.А., Газеева Е.В., Килеев А.И. Решение задачи "провод с переменным током над проводящей плоскостью" методом зеркальных изображений // Матер, докл. XIV Всеросс. межвуз. научно-техн. конф. "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология", г. Казань 14-16 мая 2002 г. Казань: КФВАУ, Т. 2. с. 193-196.

20. Дмитриев И.А., Газеева Е.В. Разработка методики и программы расчета переменных электромагнитных полей //Матер, докл. Всеросс. конф. "Студенты и аспиранты - малому наукоемкому бизнесу - 2002", Барнаул, 2-6 октября 2002 г. Барнаул: АлтГТУ, с. 23-25.

21. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А. Расчет- стационарных электромагнитных полей в полупроводящих средах // [Электронный ресурс]: сб. докл. III Волжской регион, молод, научн. конф., Филиал КФУ в г. Зеленодольск, 2010 г. Казань: КФУ, с. 18-21.

22. Дмитриев И.А., Белашов В.Ю., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого элементом тока ориентированного нормально к полупроводящей плоскости // Матер, докл. УП Всеросс. научно-техн. конф. с междунар. участием «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства», г. Ижевск, 15-17 ноября 2011 г. Ижевск: ИжГТУ, 2011, с. 140-141.

23. Дмитриев И.А., Белашов В.Ю, Килеев А.И. Поле отрезка провода вблизи границы раздела сред при наличии разности потенциалов // Сб. трудов регион. XVII конф. «Распространение радиоволн», г. С.-Петербург, 2011 г. СПб.: СПбГУ, с. 130-132.

24. Белашов В.Ю, Дмитриев И.А. Точное решение задач вычисления стационарных и нестационарных ЭМ полей с учетом электрических и магнитных свойств полупроводящих сред // Матер, докл. ХХ1П Всеросс. научн. конф. «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 22-25 мая 2011 г. Йошкар-Ола: МарГТУ, с. 75-77.

Подписано к печати Гарнитура «Times» Физ. печ. л. 1,2 Тираж 100 экз.

26.11.2013 Вид печати Riso Усл. печ. л. 1,06 Заказ №20652

Формат 60x80/16 Бумага «Снежинка» Уч.-изд, л. 1,2

Отпечатано в ООО «ШнП» г. Казань, ул. Декабристов, 186. тел.: (843) 555-11-11, www.5551lll.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Дмитриев, Иван Алексеевич, Казань

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Дмитриев Иван Алексеевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗАРЯДОВ И ЗЕРКАЛЬНЫХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ РЕАЛЬНЫХ

СРЕД

Специальность: 01.04.03 - Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Белашов В.Ю.

Казань-2013

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ...................................................... 4

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 5

1 АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА..................................................................... 12

1.1 Численные методы расчёта стационарных электромагнитных полей........13

1.2 Методы расчета полей в квазистационарной области..................................26

1.3 Расчет поля в дальней зоне..............................................................................29

1.4 Выводы...............................................................................................................32

2 РАСЧЁТ СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ

ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗАРЯДОВ........................................................................... 34

2.1 Граничные условия...........................................................................................37

2.1 Поле эквивалентной площадки в плоскопараллельном поле.......................39

2.2 Поле эквивалентной площадки в трёхмерном случае...................................52

2.3 Алгоритм и результаты расчета.......................................................................59

2.4 Расчет переменных магнитных полей в ближней зоне.................................64

2.5 Выводы...............................................................................................................69

3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТОМ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА РЕАЛЬНЫХ СРЕД, МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.................................................... 71

3.1 Уравнения «отражения - преломления» на плоской границе раздела сред для сферической горизонтально-поляризованной волны.............................75

3.2 Уравнения «отражения - преломления» на плоской границе раздела сред для сферической вертикально поляризованной волны.................................82

3.3 Электромагнитное поле на оси симметрии системы....................................88

3.4 Вычисление электромагнитного поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к плоской границе раздела реальных сред. 91

3.5 Поля проводника с током, ориентированного произвольно к границе

раздела сред.......................................................................................................96

3.6 Вычисление диаграммы направленности антенны.......................................98

3.7 Поле при ненулевом потенциале проводника..............................................103

3.8 Выводы.............................................................................................................109

4 МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПРЕДНАЗНАЧЕННАЯ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, ОБРАЗОВАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ПОЛЯ, РАСПОЛОЖЕННЫХ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА

РЕАЛЬНЫХ СРЕД..................................................................................................111

4.1 Горизонтально-поляризованная поле...........................................................112

4.2 Обсуждение результатов и модель тонкого проводника с током, учитывающая материал проводника.............................................................117

4.3 Вертикально-поляризованное поле...............................................................121

4.4 Вычисление поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к границе раздела реальных сред...............................................126

4.5 Электростатическое поле...............................................................................130

4.6 Выводы.............................................................................................................133

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................134

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................136

ПРИЛОЖЕНИЕ А.......................................................................................................147

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

МЗИ - метод зеркальных изображений; МИУ - метод интегральных уравнений; МП - магнитное поле; МКР - метод конечных разностей; МКЭ - метод конечных элементов; МЭЗ - метод эквивалентных зарядов; ЭП - электрическое поле; ЭМП - электромагнитное поле;

ф — скалярный потенциал электромагнитного поля, В; А — векторный потенциал электромагнитного поля, Вб/м; Е-вектор напряженности электрического поля, В/м; Н — вектор напряженности магнитного поля, А/м; у = Юд/ц^Д^ - комплексный коэффициент распространения, рад/м;

г — расстояние до точки наблюдения, м; / - сила электрического тока, А;

га = га—гуэ/оо— комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м;

(1а - абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м; У э — удельная электропроводность, См/м; (О - круговая частота колебаний, рад/с;

* О

] ~ плотность электрического тока, А/м ;

_< о

Характеристики воздуха: 8 = 1,000536, р. = 1, уэ = 10 См/м; Характеристики земли: 8 = 3, ц = 1, уэ= Ю-2 См/м.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из этапов разработки электротехнического и радиотехнического оборудования является расчет электромагнитного поля и оптимизация на его основе полеобразующей системы. Такие расчеты наглядно показывают влияние какого-либо фактора среды или объекта на результирующую напряжённость поля в данной точке пространства в данный момент времени. На основании расчетных оценок значительно проще выполнить анализ и уже на этапе проектирования устранить будущие проблемы. Помимо этого, оценка характера влияния ЭМП на биологические объекты, а это связано с вопросами безопасности жизнедеятельности, возможна во многом благодаря выполняемым расчётам, поскольку прямые измерения в таких случаях не всегда возможны и/или целесообразны [1 - 7]. В известных и широко распространенных методах расчета, таких, например, как стандартные метод эквивалентных зарядов и метод зеркальных изображений существуют ограничения на рассматриваемые классы задач, более того, в них отсутствуют возможности расчета ЭМП в широком частотном диапазоне и учет электрических и магнитных свойств реальных сред, которые рассматриваются как идеальные. Использование прямых методов решения граничных задач на основе полной системы уравнений Максвелла представляет для реальных объектов и физических сред существенные трудности и весьма затратно, что чаще всего совершенно неоправданно. Все это определяет актуальность развития методов расчета ЭМП, как аналитических, так и численных, в том числе и путем модификации известных методов. Кроме того, широкое распространение вычислительной техники и наличие современных компьютерных технологий способствуют тому, что такие расчёты будут оперативными.

Анализ результатов всех предшествующих исследований [26] показывает, что наиболее перспективным методом расчета электрических полей был и остается метод эквивалентных зарядов. Он выигрывает у наиболее распространенного метода расчета - метода конечных элементов, как по быстродействию, так и по-

требности в оперативной памяти компьютера. Однако МЭЗ, в контексте рассматриваемой проблематики, имеет существенный недостаток: он не пригоден для расчета магнитных полей. В связи с этим актуальной является задача разработки модификации МЭЗ, пригодной для расчета как электрических, так и стационарных магнитных полей. Идея расчета магнитных полей методом эквивалентных зарядов была выдвинута ещё в начале 80-х годов прошлого века [8], когда была предпринята первая попытка создания "алгоритма расчёта, аналогичного применяемому в методе эквивалентных зарядов" [9 -16]. Основную трудность на этом пути представлял тот факт, что в природе не существует магнитных зарядов, и в качестве вторичных источников поля было предложено использовать магнитные диполи [17, 18], а интенсивность поля этих диполей находить из граничных условий. Однако область применения такого подхода оказалась весьма узкой: стационарные электрические и магнитные поля, и переменное ЭМП в ближней зоне. Для выхода из данной ситуации в [19 - 22] было предложено использовать в качестве вторичных источников 7 элементов, расположенных в бесконечно малом объеме: переменный электрический заряд, 3 элементарных электрических вибратора и 3 элементарных магнитных вибратора. Однако получить граничные условия для вычисления параметров этих элементов оказалось невозможным в силу того, что МЗИ, на основе которого получаются эти условия, имеет ограничения: он позволяет рассчитывать только переменные ЭМП на границах раздела «вакуум - идеальный проводник». Как следствие, актуальной стала задача модификации МЗИ, при помощи которой стало бы возможным получить точное решение задачи о преломлении сферической волны на плоской границе раздела сред. Далее актуальным стало бы распространение результатов модификации МЗИ и на область стационарных ЭМП, что позволило бы установить сходимость метода с уже известными решениями и получить новые зависимости для расчета полей в реальных средах.

Представленные соображения обусловили предпринятый в диссертации подход к разработке методов расчета ЭМП.

Объектом исследования являются ЭМП широкого диапазона частот (от 0 Гц до верхней границы радиочастот) в реальных физических средах.

Решаемые задачи.

4. Адаптация разработанного модифицированного МЗИ на случай со—>0 для расчета стационарных электрических и магнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств реальных сред.

Научная новизна выполненных исследований заключается в следующем:

лении вдоль границ раздела сред. Для массива вторичных источников получены аналитические интегральные зависимости, что позволило существенно уменьшить время расчета.

На защиту выносятся следующие положения:

Апробация работы. Основные результаты работы были опубликованы в российских реферируемых научных журналах, докладывались и обсуждались на 12-м Межвузовском научно-техническом семинаре научно-исследовательской лаборатории им. A.C. Фигурнова (Казань, 2000); конференции "Проблемы энергетики", посвященной 80-летию плана ГОЭЛРО и созданию Казанского государственного энергетического университета (Казань, 2000); 13-й, 14-й Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика, экология" (Казань, 2001, 2002); Российском национальном симпозиуме по энергетике (Казань, 2001), 1-м форуме молодых ученых и специалистов республики Татарстан (Казань, 2001); Республиканском конкурсе научных работ студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); 3-й Волжской региональной молодежной научной конференция «Радиофизические исследования природных

сред и информационные системы» (Зеленодольск, 2010); XVII, XVIII региональных конференциях "Распространение радиоволн" (С.-Петербург, 2011, 2012); XXIII Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн» (Йошкар-Ола, 2011); VII Всероссийской научно-технической конференции «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства» (Ижевск, 2011).

Личный вклад автора работы. Результаты, представленные в диссертации и публикациях, получены при непосредственном участии автора работы. Автор принимал участие в разработке модифицированных методов МЭЗ и МЗИ, разработках алгоритмов вычисления ЭМП на основе этих методов и их приложений к расчетам стационарных полей; в подготовке и написании статей и представлении докладов на конференциях. Уравнения «преломления - отражения» в средах с произвольными значениями проводимости, диэлектрической и магнитной прони-цаемостей для сферической волны разной поляризации на плоской границе раздела сред получены непосредственно автором.

Соответствие диссертации научной специальности.

ционных, активных и пассивных локационных систем, основанных на использовании излучения и приема волновых полей различной физической природы и освоении новых частотных диапазонов».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, содержит 148 страниц машинописного текс