Регулярная и хаотическая динамика многомодовой лазерной генерации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВИКТОРОВ Евгений Анатольевич

РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА МНОГОМОДОВОЙ ЛАЗЕРНОЙ ГЕНЕРАЦИИ

Специальности О[.04.21 - лазерная физика, 01.04.05 - оптика

АФТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте физики Санкт-Петербургского Государственного университета и Научном Центре "Государственыи Оптический Институт им. С.И.Вавилова".

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор ФРАДКИН Э.Е. кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Соколов В.Л.

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор Пахомов Л.Н. кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Малышев В.А.

Ведущая организация:

Институт прикладной физики АН (Нижний Новгород).

Защита диссертации состоится "^2/'" еУ^Ъ?*^^ _1992 г.

и _час. на заседании специализированного совета

К 063.57.10 по присуждению ученой степени кандидата наук в

Санкт-Петербургском университете по адресу;

199034. Санкт-Петербург. Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СПб ГУ. Автореферат разослан " _1ддд г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук Тимофеев Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема создания лазеров со стабильными характеристиками генерации относится к числу традиционных задач квантовой электроники. Для газовых лазеров эта проблема была решена достаточно быстро, тогда как специфика параметров и. в частности, особая чувствительность в области т.н. релаксационных колебаний определяют сложность ее решения для твердотельных лазеров. В первую очередь это относится к пичковому характеру генерации /I/. Выяснение механизма возбуждения пичков позволило снизить амплитудные флуктуации до естественного уровня, обусловленного спонтанным излучением. В тоже время вопросы неустойчивости спектра многомодовой генерации, известные уже давно /2/, остаются недостаточно изученными. Подобная неустойчивость проявляется в том. что в излучении отдельных мод возникают низкочастотные пульсации имеющие как регулярный, так и хаотический характер, в то время как суммарная интенсивность генерации остается относительно постоянной. Данное явление тесно связано с вопросами устойчивости режима самосинхронизации мод /3/, возможность которого определена комбинационным взаимодействием. Необходимо отметить, что одной из причин интереса к проблеме низкочастотной нестабильности спектра многомодовой генерации является также вопрос о предельной чувствительности методов внутрирезонаторной лазерной спектроскопии /4/. В рамках этого вопроса в работе /<5Г/ была предпринята попытка учесть комбинационное взаимодействие мод при анализе динамики многомодового лазера на красителе. Однако источник возникающих пульсаций в излучении отдельных мод, характер потери устойчивости режимом самосинхронизации не были определены. Оставались открытыми также вопросы хаотизации излучения спектра многомодовой генерации, причины и пути возникновения хаотического поведения. Решение этих вопросов представляет также самостоятельный интерес, так как анализ динамических процессов спектра многомодовой генерации относится к классу задач нелинейной динамики систем с большим числом степеней свободы. изученных до настоящего времени

относительно слабо.

Другой важной задачей является проблема стабилизации выходного излучения твердотельного лазера при внутрирезонаторной генерации второй гармоники (Т.Н. "green problem" /&). Неустойчивый характер генерации проявляется в данном случае как в виде пульсаций интенсивностей отдельных мод. так и суммарной интенсивности генерации. Частота пульсаций близка к релаксационной частоте твердотельного лазера. Попытки решения "green problem" в рамках балансного подхода исключают возможность самосинхронизации мод. продемонстрированной в /5/. и не отражают всей совокупности экспериментальных результатов.

Определяющая роль комбинационного взаимодействия при самосинхронизации мод твердотельного лазера указывает на необходимость учета данного механизма при анализе устойчивости режимов стационарной генерации как в режиме генерации на основной частоте, так и в режиме внутрирезонаторной, генерации второй гармоники.

Все это создает предпосылки для детального изучения влияния комбинационного взаимодействия на стационарные и динамические процессы в многомодовом твердотельном лазере. ,Таким образом актуальность работы определена как прикладным значением исследования устойчивости стационарных режимов генерации, имеющим целью повышение амплитудной стабильности выходного излучения, так и фундаментальными вопросами нелинейной динамики систем с большим числом степеней свободы, природы возникновения и развития динамического хаоса.

Целью работы является исследование стационарных и динамических процессов в многомодовом твердотельном, лазере, включая случай внутрирезонаторной генерации второй гармоники. В круг рассматриваемых вопросов входят;

1. Устойчивость стационарной многомодовой генерации ири учете пространственной конкуренции мод и комбинационного взаимодействия. Влияние неэквидистантности модовой структуры на характер потери устойчивости.

2. Характер возникновения и пути развития автостохастических процессов в многомодовом излучении при генерации на частоте основной гармоники. Возможные особенности динамических процессов.

3. Устойчивость режима самосинхронизации мод при внутрирезонаторной генерации второй гармоники. Поиск внутренних истичников нарушения устойчивости.

4. Особенности динамических процессов при объединении двух механизмов модового взаимодействия: нелинейного взаимодействия мод при преобразовании излучения во вторую гармонику и комбинационного взаимодействия мод. Детальное исследование возникновения хаотического поведения излучения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что неэквидистантность многомодового спектра генерации на частоте основной гармоники приводит к нарушению устойчивости режима стационарной генерации и жесткому возбуждению периодических пульсаций в интенсивностях отдельных мод на относительно низких частотах. Построены и проанализированы соответствующие бифуркационные кривые. Бифуркация возникновения периодических пульсаций носит седло-узловой характер или соответствует жесткой бифуркации Андронова-Хопфа.

2. Установлено. что пульсации интенсивностей многомодовой генерации на основной частоте носят противофазный характер. Суммарная интенсивность генерации остается относительно постоянной. Продемонстрировано, что пульсации могут носить периодический, кратнопериодический и хаотический характер. Проведен расчет динамических характеристик хаотического режима генерации.

3. Показано.что неэквидистантность многомодового спектра при внутрирезонаторной генерации второй гармоники вызывает нарушение устойчивости стационарного режима и появление пульсаций близких к релаксационной'частоте. Пульсации проявляются как в интенсивностях итдельных мод, так и в суммарной интенсивности и носят нескомпенсированный характер.

4. Установлено, что характер пульсаций при внутрирезонаторной многомодовой генерации второй гармоники в условиях' не эквидистантности частотного спектра генерации отражает нелинейное взаимодействие мод при преобразовании излучения во вторую гармонику в виде быстрых биений несущей частота и комбинационное взаимодействие мод в виде медленной огибающей.

Показано.что квазипериодический характер колебаний разрушается с образованием странного аттрактора и переходом к режиму хаотических пульсаций. Продемонстрировано, что при переходе к хаосу возникает явление перемежаемости второго рода, связанное с неравномерностью прохождения траектории в окрестности седло-фокуса.

"Практическая ценность работы заключается в том, что результаты исследования роли комбинационного взаимодействия мод на стационарные и динамические характеристики твердотельного лазера могут быть использованы при разработке высокостабильных лазеров, работающих как в режиме генерации на основной частоте, так и в режиме генерации второй гармоники. Кроме того полученные в диссертации результаты могут быть использованы при анализе вопросов предельной чувствительности методов внутрирезонаторной лазерной спектроскопии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2 Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов "Теоретическая и прикладная оптика" (Ленинград, 1986). 9 Вавиловской конференции по нелинейной оптике (Новосибирск. 1987). 2 Европейской конференции по квантовой электронике (Дрезден, 1989), 6 Всесоюзной конференции "Оптика лазеров" (Ленинград. 1990), Международной конференции "Нелинейная динамика в оптических системах" (Афтон, США, 1990), 2 Всесоюзном совещании по нелинейным и когерентным эффектам во внутрирезонаторной лазерной спектроскопии (Ленинград, 1991), 14 Международной конференции "Когерентная и нелинейная оптика" (Санкт-Петербург, 1991).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять работ, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

введения, четырех глав й заключения. Работа изложена на 128

страницах машинописного текста. Список литературы содержит 123 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, формулируется цель исследования, указана новизна научных результатов, кратко изложено основное содержание диссертации и приводятся основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. В ней сформулированы основные направления теории многомодовоп генерации твердотельного лазера. дан краткий обзор современного состояния вопросов нелинейной динамики лазерных систем, определены основные понятия и принципы методов математического анализа теории нелинейных колебаний и детерминированного хаоса.

В теории твердотельного лазера при анализе как стационарных, так и динамических характеристик многомодового излучения наибольшей популярностью пользутся т.н. балансная модель. К преимуществам данной модели в первую очередь относятся ясность формулировки и относительная простота решения. Однако, нгзсмотрй на т. что с помощью балансной модели был решен достаточно большой класс задач (устойчивость стационарных решений. характер динамического отклика на внешнее воздействие, спектральное распределение шумов многомодового излучения), некоторые вопросы ¡'иприи многомодовой генерации принципиально не поддаются балансному описанию. В первую очередь это относится к задачам, связанным с синхронизацией многомодонса о излучения. В /3,7/ показана определяющая роль комбинационного взаимодействия при работе в режиме самосинхронизации как для генерации на основной частоте, так и при внутрирезонаторной генерации второй гармоники. Это относится не только к расчету устойчивости стационарных режимов генерации, но и к правильному описанию динамических прицессов. Так только учет фазовой связи мод через комбинационное взаимодействие дает правильное соответствие -динамических характеристик излучения, полученных в теории и эксперименте при исследовании лазеров на красителе /5/ .

Исследование динамики лазерных систем связано не только с Фундаментальными проблемами физики нелинейных процессов. но находит также значительные приложения. К ним относятся как задачи амплитудной и частотной стабилизации излучения, гак и возможные

применения в модуляционной лазерной спектроскопии, внутрирезонаторной лазерной спектроскопии, процессах нелинейного преобразования излучения и генерации высших гармоник. Это связано как с высокой эффективностью внутрирезонаторных взаимодействий, так и с принципиально новыми эффектами, использование которых

может дать новые приложения^ _ Возможность_появления

мультистабильных состояний вызывает интерес для использования в системах оптической обработки и передачи информации.

Развитие лазерной динамики неразрывно связано с общими достижениями в качественном понимании нелинейных процессов. Более того, использование лазеров является черезвычано перспективным при экспериментальной проверке явлений. предсказываемых теорией нелинейных динамических систем. Основным результатом, определившим концепцию детерминированного хаоса, явилось определение хаотического поведения как наличие в фазовом пространстве динамической системы притягивающей области, характеризующейся режимом установившихся непериодических- автоколебаний и получившей название странного аттрактора. Странный аттрактор образуется через реализацию конкретного механизма перехода от регулярных колебаний к хаотическим. К подобным механизмам относится образование каскада субгармоник, разрушение режима квазипериодических колебаний, перемежаемость (чередование регулярных и хаотических пульсаций).

Необходимость идентификации хаотических режимов привела к определению понятия ляпуновских экспонент ( наличие экспоненциальной расходимости траекторий, т.е. положительность хотя бы одного показателя Ляпунова явл/итея критерием стохастичности процесса) и колмогоровской энтропии. Являясь усредненной по фазовому пространству сумме положительных показателей Ляпунова, колмогоровская ' энтропия - фундаментальная величина, характеризующая хаотическое движение. Странный аттрактор мижет быть определен как аттрактор с положительной энтропией. Данные характеристики вместе с размерностью странного аттрактора полностью определяют хаотическое поведение динамической системы.

Во второй главе на основе полуклассическои теории формулируется самосогласованная модель многомодовой генерации твердотельного лазера, учитывающая пространтвенную конкуренцию мод и их комбинационное взаимодействие. Проводится обоснование сделанных приближений.

В рамках полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений исследованы стационарные режимы трехмодовой генерации, как наиболее простого случая, учитывающего все виды многомодового взаимодействия. Ключевым параметром при анализе устойчивости стационарных решений являлась неэквидистантность модовой структуры генерации. Показано, что результаты исследования стационарных решении при эквидистантном спектре хорошо согласуются с полученными ранее при исследовании задачи в балансном приближении и известными из экспериментов. Нарушение симметрии структуры генерации, т.е. появление частотной неэквидистантности многомодового спектра, приводит к появлению разности в амплитудах боковых мод. С увеличением неэквидистантности система теряет устойчивость с возбуждением периодических колебаний. Бифуркация потери устойчивости стационарным режимом генерации носит 1.едло-узловои характер или соответствует жесткой бифуркации Андронова-Хопфа. Построены семейства бифуркационных кривых для бифуркации возникновеия предельного цикла.

При седло-узловой бифуркации образование предельного цикла происходит следующим образом. Стационарное решение теряет устойчивость с образованием седловой особой точки. Одна из выходящих сепаратрис седловой особой точки возвращается обратно в это седло, образуя петлю, т.е. особое решение системы в виде двоякоасимптотической к особой точки траектории. Показано, что разрушение петли сепаратрисы в случае генерации с не эквидистантным трехмодовым спектром происходит с жестким образованием единственного предельного цикла. Временная зависимость для цикла вблизи петли сепаратрисы выглядит как последовательность "угловатых" импульсов с периодом, стремящимся к бесконечности при подходе к критической точке. При дальнейшем увеличении параметра ит критического период колебаний уменьшается как т Анализ бифуркации Андронова-Хопфа показал, что первая ляпуновская величина, определяющая характер бифуркации, является положительной, т.е. возникающий предельный цикл образуется жестко. Амплитуда колебаний сравнима с разностью интенсивностей стационарного режима генерации вблизи точки бифуркации. Возникающие колебания обладают еще одним интересным свойством -суммарная интенсивность генерации остается постоянной. т.е. колебания для боковых мод являются противофазными.

В третьей главе исследуется влияние комбинационного взаимодействия мод в условиях неэквидистаности спектра генерации на возникновение и развитие сложных динамических процессов в твердотельных лазерах. При этом анализируется более сложная модель четырехмодовой генерации.

Противофазный характер пульсаций в интенсивностях отдельных

та_вызывает—особый—интересу связанный с возможной высокой

мультистабильностыо решений. Для симметричной системы N взаимодействующих осцилляторов существование некоторого вектора решений означает существование, решения составленного из любых перестановок составляющих. В случае синфазного решения эти N1 векторов описывают одинаковую орбиту в фазовом пространстве и н? представляют особого интереса. При противофазных решениях каждая перестановка дает отдельный предельный цикл. Таким образом появление единственного противофазного состояния означает существование как минимум (N-1)! периодических орбит. Подобная факториальная зависимость означает стремительное увели1ение числа возможных предельных циклов в зависимости от роста N. Значительное увеличение числа аттракторов в фазовом пространстве приводит к тому, что расстояние между ними стремительно уменьшается. Возникающая мультистабильность получила название ситуации "толкающихся аттракторов", отражающее особую чувствительность к внешним источникам шума, даже предельно низкий уровень которых может вызывать перескоки между сосуществующими аттракторами.

Численное моделирование процессов четырехмодовой генерации показывает, что симметрия возникающего предельного цикла разрушается. Образуется несимметричный цикл. Проведенный однопараметрический анализ выявил существование решений, связанных с возникновением субгармоник (бифуркации удвоения несимметричного цикла) и образованием странного аттрактора. При этом как в случае кратнопериодических колебаний, так и в случае хаотического поведения системы сохраняется противофазный характер пульсаций интенсивностей отдельных мод. Суммарная интенсивность генерации сохраняется приблизительно постоянной.

Образование странного аттрактора происходит через реализацию • т.н. метастабильного состояния хаоса, впервые зарегистрированного в уравнениях Лоренца /8/. Метастабилыюсть проявляется при однопараметрическом анализе перехода к хаосу и связана с

постепенным увеличением длительности переходных процессов при образовании устойчивого предельного цикла. За состоянием метастабильности, как и в случае аттрактора Лоренца, следует окно периодичности несимметричного предельного цикла.

Однипараметрический анализ, проведенный выше зоны странного аттрактора, показывает, что его разрушение происходит с образованием несимметричного цикла другой структуры. Возникновение зоны метастабильного хаоса связано с жестким характером седловых бифуркаций, характерных для комбинационного взаимодействия в условиях неэквидистантности спектра генерации, и возможными явлениями гистерезиса, соответствующими подобному жесткому возбуждению. Анализ временной реализации, соответствующей странному аттрактору, показывает, что в ней четко отражена характерная форма кратнопериодических колебаний. Это объясняется близостью аттракторов в фазовом пространстве и возможными перескоками между ними (о возможности таких процессов для ситуации "толкающихся аттракторов" уже говорилось выше). Отображения Пуанкаре для зоны странного аттрактора указывают на четко выраженную фрактальную структуру, что подтверждает данное предположение.

При исследовании динамически характеристшс хаоса использовалось 100000 точек временной серии, отражающей поведение во времени одной из генерирующих мод. Построено семейство корреляционных сумм для п-мерного реконструируемого пространства. Показана положительность колмогоровскои энтропии, произведен расчет корреляционной размерности странного аттрактора

(с!г=2. 905+0.005) .

В четвертой главе формулируется задача о нестабильности многомодового излучения твердотельного лазера при

ВНутриреЗОНЭТОрНОЙ Генерации ВТОРОЙ ГарМОНИКИ ("цгееп ргоЫепГ).

Рассматривается модель трехмодовой генерации. включающая пространственную конкуренцию мод, комбинационное взаимодействие и механизм дополнительных нелинейных потерь на внутрирезонаторное преобразование излучения во вторую гармонику.

Анализ стационарных решений данной модели показал, что режим самосинхронизации мод является устойчивым при эквидистантном спектре генерации. Появление неэквидистантности медовой структуры приводит к потере устойчивости стационарным режимом и образованию

седловой особой точки. Однако, в отличие от случая многомодовой генерации на основной частоте, особая точка образуется не в результате слияния седла и узла, а в результате слияния седла и фокуса, мнимые части которого соответствуют частоте релаксационных колебаний твердотельного лазера. Таким образом проявляется объединение двух типов взаимодействия - нелинейного преобразования -во—вторую—гармонику и комбинационного взаимодействия мбдГ * Построены семейства бифуркационных кривых соответствующих потери устойчивости стационарным режимом генерации.

С помощью численного интегрирования показано, что в решениях рассматриваемой модели присутствуют как быстрые процессы (на частоте близкой к релаксационной), отражающие преобразование во вторую гармонику, так и медленнные процессы, возникающие в результате комбинационного взаимодействия мод. Последовательным объединением двух типов взаимодействия продемонстрировано, что возникающий квазипериодический характер решений разрушается с образованием странного аттрактора.

При образовании странного аттрактора возникает перемежаемость, проявляющаяся в чередовании зон регулярного и хаотического поведения. Показано, что в исследуемой модели реализуется перемежаемость второго рода, связанная с неравномерностью прохождения траекторий вблизи седло-фокуса. С помощью отображения Пуанкаре продемонстрировано проявление взаимодействия бифуркации Хопфа (отклик системы на преобразование излучения во вторую гармонику) и глобальной гомоклинической бифуркации (результат комбинационного взаимодействия мод). Явление раскручивания спирали, характерное для типа-2 перемежаемости ( и связанного с бифуркацией Хопфа), объединяется с явлением гомоклинической реинжекции , т.е. постоянной возвращаемостью траектории в окрестность неустойчивого седло-фокуса (центр спирали). Наличие гомоклинической реинжекции подтверждается англиз^ спегтрг млцности отобьажения, выявившим функциональную зависимость 1/гг в низко-частотной области. Вычисленное значение 2=о 7±о.1 является хорошим приближением для предсказанной в работе /1|/ степенной зависимости 1/с/г в случае одномерного моделирования механизма гомоклинической реинжекции.

Кроме явления перемежаемости в системе регистрируется также жесткий переход к стохастичности, также еншзанный с чередованием

зон регулярного и хаотического поведения. Жесткий переход к стохастичности проанализирован с помощью диаграммы Ламерея.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах;

I. Викторов Е.А., Соколов В.А. Теория многомодового твердотельного лазера с модулированной добротностью // Теоретическая и прикладная интика: Тез. докл. II Всес. конф. мол. ученых. Л.. 1986, стр.22.

Викторов Е.А., Соколов В.А.. Устюгов В.И., Халеев М.М. Динамическая стохастизация при многомодовой генерации твердотельного лазера. Материалы IX Вавиловской конференции по нелинейной оптике, 1987.

3. Викторов Е.А., Соколов В.А., Ткаченко Е.В., Устюгов .В.И..Нарушение стабильности и хаотизация спектра излучения твердотельных лазеров из-за частотной неэквидистантности мод. Оптика и спектроскопия, т.68, вып.4, стр.920-923. 1990.

4. Викторов Е.А., Витрищак И.Б., Новиков Т.Е., Орлов О.А., Поликарпов П.В., Устюгов В.И., Халеев М.М. Нестабильности и хаос в многомодовых твердотельных лазерах с внутрирезонаторной генерацией второй гармоники. Тезисы докладов 6 Всесоюзной конференции "Оптика лазеров". Ленинград. 1990.стр.8.

Ь. Е. A. Viktorov, I. В. Vltrishchak, G.E.Novlkov, O.A.Orlov, А.А.Мак.V.1.Ustyugov, V.A.Khaleev. Instabilities and Chaos in Sol id-State Lasers as a Result of mode Coupling. Technical Digest on Nonlinear Dynamics In Optical Systems. OSA. Washington. D. C. 1990..p349-351.

d. Викторов E.A., Витрищак И.Б., Новиков Т.Е.. Орлов О.А., Поликарпов П.В., Устюгов В.И., Халеев М.М. Нестабильности и хаос в многомодовых твердотельных лазерах с внутрирезонаторной генерацией второй гармоники.Известия АН СССР, сер.физ.. т.54, IFI2, стр. 2388-2392. 1990.

7. Е. A. Viktorov, I. В. Vltrishchak, C.E.Novikov, O.A.Orlov, А. А. Мак, V.1.Ustyugov, V.A.Khaleev. Instabilities and Chaos in Solid-State Lasers as a Result of Mode Coupling" in Nonlinear Dynamics in Optical Systems, edited by N.B. Abraham, E. Garni re and P. Mandel Optical Society of America. Washington. DC. 1991. p.410-414.

8. Викторов Е.А., Витрищак И.Б., Кунин А.Ю., Орлов О.А.. Соколов В.А.. Устюгов В.И. Динамика генерации многомодовых твердотельных лазеров и предельная чувствительность BP спектроскопии.//Тез. докл. 2 Всес. сов. по нелинейным и когерентным эффектам во внутрирезонаторной лазерной спектроскопии Л.. 1991. стр.3-4.

9. Ya. I. Khanin, I. V. Koryukln, A.A.Mak, O.A.Orlov, V. 1. Ustyugov, E. A. Viktorov, "Dynamics of multimode lasers (dye and solid-state): amplitude noise, Instabilities and chaos". Invited paper, IKINO-91, St.-Petersburg, 1991.

Цитированная литература:

1. McCumber D. E. Intensity fluctuations in the output of CW-laser oscillators. Phys.Rev. 1966. v.141. №l. p.306-322.

2. Draegart D. .Selection and stabilization of longitudinal modes by spacing of laser cavity components. IEEE JQE. 1974. QE-10. N 5. p. 476-479.

3. Гусев А.А.. Кружалов С.В., Львов Б.В.. Пахомов Л.Н.. Петрунькин В.Ю. Самосинхронизация продольных мод в линейном непрерывном АИГ лазере. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции "Оптика лазеров".Л. 1980. с.186.

4. Пахомычева А.А.. Свириденков Э.А., Сучков А.Ф., Титова- Л.В.. Чурилов С.С. Линейчатая структура спектров генерации ОКГ с неоднородным уширением линии усиления. Письма в ШЭТФ.1970. т. 12. с.60-64.

5. Гусев А.А.. Кружалов С.В.. Львов Б.В.. Пахомов Л.Н.. Петрунькин В.Ю. Генерация второй гармоники в АИГ-лазере с самосинхронизацией продольных мод. Квантовая электроника. 1983. t.IO. №3. с.547-557.

Б. МсMackin I., Radzewicz С., Beck M., Raymer M.G. Instabilities and Chaos In a Multimode Standing-Wave CW Dye Laser. Phys.Rev. A. 1988. v. 38. Ц2. p. 820-832.

7. Forrest C.T. Diode-pumped solid-state lasers have become a mainstream technology. Laser Focus. 1987. No.11. P.62-74. 8 Lorenz E.N. Deterministic nonperlodlc flow. J. Atmos.Sci. 1963. v. 20. №l. p. 130-141.

9. A. Ben-Mizrachi, I.Procaccla, N. Rosenberg, A.Schmidt, H.G.Schuster. Real and apparent divergencies in low-frequency spectra of nonlinear dynamical systems. Phys.Rev. A31. 1085. W®3. p.1831-1840.

8. Викторов Е.А.. Витрищак И.Б., Кунин А.Ю., Орлов ОЛ.. Соколов .В.А.. Устюгов В.И. Динамика генерации многомодовых/ твердотельных лазеров и предельная чувствительность BP спе/гроскопии.//Тез. докл. 2 Всес. сов. по нелинейным и когерентным эффектам во ьнутрирезонаторной лазерной спектроскопии Л.,/Í9SI, стр.3-4.

М. Ya.l.Khanin, I. V. Koryukin, А. А.Мак, О. A. OrUiv,/ V. 1. Ostyugov, Ь.A,Viktorov,"Dynamics of multimode lasers (dye aya solid-state): amplitude noise, instabilities and chaos", I/wited paper-RWB2, IKINO-91, St.-Petersburg, 1991.

Цитированная литература;

1. McCumber D. E. Intensity fluctuations /in the output of CW-laser oscillators. Phys.Rev. 1966. v.141. tfl / p. 306-322.

2. Draegart D..Selection and stabilization of longitudinal modes by spacing of laser cavity componeros. IEEE JQE. 1974. QE-10. N 5. p. 476-479.

3. Гусев А.А., Кружалов С.В/, Львов Б.В.. Пахомов Л.Н., Петрунькин В.Ю. Самосинхронизация продольных мод в линейном непрерывном АИГ лазере. Тезисы докладов; II Всесоюзной конференции "Оптика лазеров".Л. I98G. с.18б/

4. Нахомычева А.А., Свнриденков Э.А., Сучков А.Ф., Титова Л.В., Чурилов С.С. Линейчатая структура спектров генерации ОКГ с неоднородным уширерем линии усиления. Письма в ШЭТФ.1970. т. 12. L.t;u-t>i.

ia Гусев А.А., Кйужалов С.В., Львов Б.В.. Пахомов Л.Н., Петрунькин В.Ю. Генерация ¿второй гармоники в АИГ-лазере с самосинхронизацией нридольных мо¡у. Квантовая электроника. 1983. т.1С. ií3. с.547-557.

6. МсMack in I. ./Radzewicz С., Beck M. , Raymer M. С. Instabilities and Chaos in i* Multimode Standing-Wave CW Dye Laser. Phys.Rev. A. 1988. v.38. /Г2. p.820-832.

7. Forrest /с. T. Diode-pumped solid-state lasers. have become a mainstream technology. Laser Focus. 1987. No.11. P.62-74.

8. Loreuz E.N. Deterministic nonperiodlc flow. J. Atmos.Sci. 1963. 2U Jfl. p. 130-141.

fk Bun-Mizrachi, I.Procaccia, N. Rosenberg, A.Schmldl,

C/Schuster. Real and apparent divergencies in low-frequency ap/'ctru of nonlinear dynamical systems. Phys.Rev. A31. 1385. №3. 1831-1841).