Регулярные матрицы и ленточная размерность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Р Г Б ОД

- | Д[|р '¡У^а На правах рукописи

УДК 512.552

ГОЛОВАЧЕВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА

РЕГУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ И ЛЕНТОЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители — доктор физико-математических

наук, профессор А. В. Михалёв, доктор физико-математических наук, профессор Д. В. Тюкавкин

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор А. А. Туганбаев, кандидат физико-математических наук, доцент И. Б. Кожухов

Ведущая организация — Московский педагогический

государственный университет

Защита диссертации состоится ^^ 1995 г в

16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.Об.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП. Москва. Воробьевы горы. МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан ^1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук.

профессор В. Н. Чубарпков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятия регулярного элемента кольца и регулярного кольца были введены Джоном фон Нейманом в тридцатые годы п играют важную роль в различных областях современной теории колец н математике в целом. Проблема диагонализируемости регулярных матриц и рассмотрение колец, над которыми приводятся к диагональному виду все регулярные матрицы, а также колец, над которыми дпагонализируемы все идемпотентные матрицы (то есть ID-колец), являются важными аспектами в теории регулярных матриц.

Ряд авторов [1,2,3] исследовали матрицы над областями целостности, для которых существует инверсия по Муру-Пенроузу (MP-инверсия). Обобщая эти результаты, Пустьен и Робинсон [4] изучили связи между днагонализн-руемостью регулярных матриц и нахождением МР-инверсий для этих матриц.

Хотя первые результаты в теории коммутативных

1. Batigne L. Integral generalized inverses of integral matrices // Linear Alg. Appl. — 1978. — V. 22 — P. 125-134.

2. LamT. Y. Serre's conjecture // Lecture Notes in Math. — Berlin. Springer-Verlag — 1978. — N.G35.

3. Rao B. On generalized inverses of matrices over integral domains // Linear Multilinear Alg. — 1981. — V. 10. — P. 145-154.

4. Puystjens R., Robinson D. W. The Moore-Penrose inverse of a morphism with factorization // Linear Alg. Appl. — 1981. — V. 10. — P. 129-141.

ID-колец были получены Фостером [5] ужо в 1940 году, начало систематическому изучению этих колец было положено в работе С'тегера [б] в 19GG г оду. В качестве примеров коммутативных ID-колец можно привести артиновы кольца, кольца элементарных делителей, квазиполулокальные кольца. 7г-регулярные кольца, кольца многочленов от одной переменной над кольцами главных идеалов.

В работе [7] к классу ID-колец, над которыми идем-потентно диагонализируемы все регулярные матрицы, были добавлены коммутативные ID-кольца и ID-кольца, в которых 0 и 1 являются единственными идемпотентными элементами. Ван-Гиль и Хилебрук [8], рассматривая задачу эквивалентности регулярных матриц и диагональных идем-потентных матриц над ID-кольцами и ID-областями, выдвинули гипотезу об идемпотентной диагонализируемости над ID-кольцами любых регулярных матриц.

Первая часть настоящей диссертации посвящена зада-

5. Foster A. L. The ideinpotent elements of a commutative ring form a Boolean algebra; ring-duality and transformation theory // Duke Math. J. — 1945. — V. 12. N. 1. — P. 143-152.

6. Steger A. Diagonability of ideinpotent matrices // Pacific J. Math. — 1966. — V. 19, N. 3. — P. 535-542.

7. Huylebrouck D. Equivalence of von Neumann regular and idem-potent matrices ¡J Czech. Math. J. — 1991. — V. 116. N. 41. — P. 44-50.

8. Huylebrouck D.. Van Geel J. Diagoualization of ideinpotent matrices // J. Algebra. — 1987. — V. 105. — P. 19G-206.

че идемпотентной диагонализируемости произвольных регулярных матриц над ID-кольцами. Аналогичные результаты были получены для коммутативных ID-колец [6], артиновых колец и ID-областей [8]. Построены два примера колец , которые опровергают вышеупомянутую гипотезу Ван-Гиля и Хилебрука. Один из этих примеров — алгебра B(F) счет-номерных матриц над полем F, в каждой строке и в каждом столбце которых содержится лишь конечное число отличных от нуля элементов поля F, — представляет самостоятельный интерес благодаря следующему результату Гудерла, Меняла и Монкази [9] (который, впрочем, был отмечен еще в книге Джекобсона [10]): любая счетномерная алгебра с единицей над полем F вкладывается в алгебру B(F).

Д. В. Тюкавкиным было введено в рассмотрение под-кольцо кольца счетномерных матриц над полем F, ненулевые элементы которых отстоят от главной диагонали не более, чем на п мест, то есть лежат внутри области, ограниченной двумя прямыми, параллельными главной диагонали [11]. Опираясь на эту конструкцию, О' Мира и Ханнах [12] ввели

9. Goodearl К. R., Menai P., Moncasi J. Free and residually artiiiian rings //J. Algebra. — 1993. — To appear.

10. Джекобсон H. Строение колец. — M., НЛ, 1961. —495 с.

11. Tuykavkin D. V. Rings all of whose one-sided Ideals are generated by idempotents // Comm. Algebra — 1989. — V. 17, N. 5. — P. 11931198.

12. Hannah J., O'Meara К. C. A new measure of growth for countable-dimensional algebras I // To appear.

функцию ленточной размерности, позволяющую говорить о новом подходе к изучению счетномерных ассоциативных алгебр над полем. В [12] был сформулирован список открытых вопросов, касающихся ленточной размерности ассоциативных алгебр и представляющий собой программу действий в этой области.

Цель работы — указать некоторые классы колец, над которыми будут идемпотентно диагонализируемы произвольные регулярные матрицы, и определить значения функции ленточной размерности на различных кольцах, рассматриваемых как алгебры над полем.

Методы исследования. В диссертации использована техника, развитая Д. В. Тюкавкиным, Меналом, Монка-зи, Ван-Гилем и Хилебруком для решения задач диагонализи-руемости произвольных регулярных матриц над кольцами, а также комбинаторные методы теории колец.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области регулярных колец и ленточной размерности ассоциативных алгебр.

Основные результаты работы:

1. Описан некоторый класс колец, над которыми идемпотентно диагонализируемы все регулярные матрицы; дано отрицательное решение проблемы Ван-Гиля и Хи-лебрука об идемпотентной диагонализируемости над Ю-кольцами любых регулярных матриц.

2. Построены вложения некоторых алгебр (в частности, алгебр косых дифференциальных многочленов) в алгебру нулевого роста, а также построены бесконечномерные матричные представления для ряда алгебр, что дает серию примеров алгебр с нулевой ленточной размерностью.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на б параграфов. Текст диссертации изложен на 69 страницах. Список литературы содержит 25 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе собраны определения и обозначения, используемые в работе: в параграфе 1.1 — определения, связанные с регулярными кольцами и матрицами; в параграфе 1.2 — с функцией ленточной размерности счетномерных ассоциативных алгебр над полем.

Приведем некоторые определения, используемые в автореферате. Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей. Матрица А из кольца Mn(R) квадратных матриц порядка п над кольцом R называется регулярной, если для некоторой матрицы В € Mn(R) выполняется равенство AB А = А. Кольцо R называется идемпотентно диагона-лизируемьш, если для каждой матрицы А из кольца Mn{R) существуют обратимые матрицы P,Q 6 Mn(R) такие, что

PAQ = D = diag(el,e2,...), D2 = D.

Кольцо R называется Ю-кольцом, если каждая идемпотент-ная матрица над R идемпотентно диагонализируема, т. е. для всех матриц Е2 = Е из кольца Mn(R) существуют обратимые матрицы Р, Q £ Mn(R) такие, что

PEQ = diag{ei, е2,..., ег, 0, 0 ,...) = D, D2 = D.

Пусть F — поле, B(F) — алгебра счетномерных матриц над полем F, в каждой строке и в каждом столбце которых содержится лишь конечное число отличных от нуля элементов поля F. Для любой матрицы х из алгебры B(F) функция Фг на множестве натуральных чисел называется кривой роста матрицы х, если для каждого натурального значения п

x(i,n) — x(n,i) =0 для всех номеров i таких,

что i > п + Фх(п).

Если А — подалгебра в B(F) и каждая матрица из А имеет кривую роста вида сФ^гг), где с — положительная постоянная, то говорят, что подалгебра А имеет 0(Фх(п)) —

б

рост. Если Ф(п) = с, то говорят об алгебре нулевого роста. Матрицы с кривой роста вида Ф(п) = спа, где а — некоторое фиксированное значение, a G [0;1], образуют подалгебру, обозначаемую G(а).

Пусть В — счетномерная ассоциативная алгебра над полем F, содержащая единичный элемент. Ленточной размерностью алгебры В называется величина

inf{a G К, а ^ 01 В вкладывается в G(a)}.

Во второй главе содержатся результаты, касающиеся проблемы диагонализируемости регулярных матриц над кольцами. В параграфе 2.1 приводится доказательство основной теоремы, позволяющей свести задачу об эквивалентности идемпотентной диагональной матрице произвольной регулярной матрицы над кольцом R к задаче идемпотентной диагонализируемости регулярной матрицы над фактор-кольцом R/J(R), где J{R) — радикал Джекобсона кольца R. Приведены следствия основной теоремы и результатов Хенриксена [13], Менада и Монкали [14] в следующих случаях: 1) кольцо R/J(R) является it-регулярным; 2) кольцо R/ J{R) является регулярным кольцом ограниченного индекса нильпотентноости.

В параграфе 2.2 построены два примера колец, дающие

13. Henrikseii M. Ои a class of regular rings that are elementary-divisor rings // Arc. der Math. — 1973. — V. 24. — P. 133-141.

14. Menai P., Moncasi J. On regular rings with stable range 2 // J. Pure Appl. Alg. — 1982. — V. 24, N. 1. — P. 25-40.

отрицательный ответ на гипотезу Ван-Гиля и Хилебрука:

если кольцо К является ГО-кольцом, то (*) каждая регулярная матрица над кольцом В, идемпотентно диагоналиэируема.

Первый пример — это кольцо эндоморфизмов счетно-мерного векторного пространства над полем Р, профакто-ризованное по идеалу, состоящему из линейных отображений с конечномерными образами. Доказаны утверждения, показывающие, что это кольцо является ГО-кольцом, и указаны линейные отображения, для которых предположение (*■) не выполняется.

В качестве второго контрпримера к гипотезе (*) рассмотрено подкольцо В(Р) кольца линейных преобразований счетномерного векторного пространства V над полем Р, матрицы которых содержат в каждом столбце и в каждой строке лишь конечное число отличных от нуля элементов поля Р. Для произвольного вектора а из пространства V вводится понятие веса и(а) и доказывается лемма о выборе базиса, существенным образом использующая структуру кольца В (Г). На основе этого доказано, что кольцо В(Р) является ГО-кольцом и получено опровержение гипотезы Ван-Гиля и Хилебрука.

Теорема 2.1.1. Пусть Я — кольцо, — его

радикал Джекобсона и любая регулярная матрица над фактор-кольцом Я/Л^К) идемпотентно диагонализи-руема. Тогда всякая регулярная матрица над кольцом Я идемпотентно диагонализируема.

Лемма 2.2.6 (о выборе базиса). Пусть V/ — счетномерное подпространство линейного векторного пространства V, {¿1, 62,63,...} — базис \У, причем для каждого значения к из множества натуральных чисел количество тех номеров г, для которых 1>(Ь{) = к, конечно. Тогда в подпространстве \У можно выбрать базис {01,02,03,...} так, что последовательность {г/(а;)} монотонно возрастает с ростом номера г.

Предложение 2.2.8. Кольцо В{Р) является Ю -кольцом, то есть для любого элемента р — / £ В(Р), / ф 0, / ф 1, существует обратимый элемент и 6 В(Г) такой, что отображение и-1 /и имеет вид

'1 <л

о]"

Третья глава диссертации посвящена тематике, связанной с ленточной размерностью колец, рассматриваемых как алгебры над полем. Изучаются возможности вложения в алгебру (7(0) нулевого роста различных алгебр. Построено бесконечномерное матричное представление алгебры многочленов от двух переменных над полем ¿^ докалывающее, что рассматриваемая алгебра имеет нулевую ленточную размерность. В случае, когда поле Г состоит из -конечного числа элементов, приводится теорема о невозможности вложения алгебры многочленов от одной переменной х над полем F в матрицы блочно-диагональной структуры из С(0) с ограниченными в совокупности размерами диагональных блоков.

Аналогичный результат, но уже для произвольного поля F, получен для алгебры F[[a;]] формальных степенных рядов над полем F.

Результаты параграфа 3.2 касаются вопроса об изменении ленточной размерности при переходе от основной алгебры А к алгебре А[у, D,(p] косых дифференциальных многочленов над алгеброй А. В частности, затронута следующая проблема: если алгебра А имеет нулевой рост, то есть вкладывается в алгебру <7(0), то верно ли то же самое для алгебры А [г/, D, ср]? Доказаны два утверждения, показывающие, что в некоторых частных случаях ответ на этот вопрос оказывается утвердительным.

Теорема 3.1.2. Алгебра F[x,y\ многочленов от двух переменных над полем F, состоящим из бесконечного числа элементов, вкладывается в алгебру (?(0).

Теорема 3.1.4. Алгебра многочленов от одной переменной х над конечным полем F не вкладывается в матрицы блочно-диагоналъной структуры из алгебры G(0), размеры диагональных блоков которых ограничены в совокупности.

Теорема 3.1.5. Алгебра ^[х] многочленов от переменной х над полем F, состоящим из 0 и I, не вкладывается в подпространство Wi (0).

Теорема 3.1.6. Алгебра формальных степенных рядов от переменной х над произвольным полем не может быть вложена в алгебру G(0) так, что образом

переменной х является блочио-диигопальная матрица с ограниченными в совокупности размерами диагональных блоков.

Теорема 3.2.1. Пусть А — алгебра комплексных чисел и отображение ip действует на Л как операция комплексного сопряжения (т. е. <р[а) = а), дифференцирование D определяется по правилу D(a) = О для любого элемента а £ А. Тогда алгебра косых дифференциальных многочленов А[у, D, ip\ вкладывается в алге-

Предложение 3.2.2. Пусть А — алгебра ^[ж] многочленов от одной переменной х над полем Р, <р — тождественный изоморфизм на А и дифференцирование И является обычным дифференцированием на А, определяемым по правилу

Тогда алгебра дифференциальных многочленов .4[(/, вкладывается в алгебру (7(0).

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою самую искреннюю благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору А. В. Михалёву и доктору физико-математических наук, профессору Д. В. Тюкавкнну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

бру (7(0).

а, G F, г = 1,2,..., п.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Головачева Т. В. О проблеме диагонализируемости матриц над кольцами // Успехи математических наук. — 1992. — Т. 47, N. 6. — С. 207-208.

2. Головачева Т. В. О ленточной размерности конечнопоро-жденных ассоциативных алгебр над полем // Фунд. иприкл. мат. — 1995. — Т. 1, N. 2. — С. 385-391..

3. Головачева Т. В. О диагонализируемости регулярных матриц над кольцами // Фунд. и прикл. мат. — 1996. — Т. 2, N. 1. — С. 103-111.