Статистические свойства собственных функций случайных одночастичных гамильтониинов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ8 О

2 ! ПАР 19:)''*

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИ КИ имени Б.П.Константипопа

На иралал рукот ФЕДОРОВ Ян Валерьевич

УДК 539.2 1:Гк!7.1

СТАТИ СТИЧРХЖИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОДНОЧАСТИЧНЫХ ГАМИЛЬТОИИАНОГ

(01.04.02 -• теоретическая фнз^

Диссертация ь форме научного доклада на, соискание ученой слепенч доктора физчко-математических наук

Санкч-ИегерОур! 1991

Работа выполнена в Петербургском институте ядерной физики им. Б.Г1.Константинова РАН,

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.Г. АРОНОВ

доктор физико-математических наук Е.И.ГОЛОВЕНЧИЦ академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Л.А.ПАСТУР.

Ведущая организация: Институт ядерной физики им. Г.И Будкер

часов на заседании специализированного совета Д 002.71.01 по присуждению ученых степеней в Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН по адресу: 188350, г. Гатчина, Ленинградская область.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ПИЯФ РАН.

Автореферат разослан 199 ^ г.

специализированного совета ' И.А. МИТРОПОЛЬСКИЙ

СО РАН.

Защита диссертации состоится

Учений секретарь

1 ВВЕДЕНИЕ

Исследование статистических свойств решений уравнении Шре-диигера, описывающего движение квантовой частицы в случайном потенциале:

НФ-- Д ф + и (г)ф = Еф (1)

2т

или его дискретного аналога

Нф{п) = иаф(п) + J2 '«шФ{т) = Еф(п) (2)

является одной из хруднейпшх проблем современной физики неупорядоченных систем, интерес к которой не ослабевает со промен основополагающей работы Андерсона (Anderson P.W.,1958) [l], в которой били приведены аргументы в пользу того, что при достаточно сильных флуктуациях потенциала U(r) в (1) или матричных элементов «„,<пт в (2) типичная волновая фу!!кипя V'(r) оказывается сконцентрированной в конечной области размером даже если размер системы L бесконечен; а вне этой области значение ф(г) оказывается экспоненциально малым. Такие локализованные состояния коренным образом отличны от блохочеких фунтики, Т1П1ИЧ17ЫХ для упорядоченного кристалла и имеюылх один и тот же порядок величины во всем объеме образца, и » го отличие приводит к необычным кинетическим характеристикам системы. В частности, если уровень Ферми ¿V л о ант в области локализованных состояний, то при кулевой температуре когзффи

цшшт диффузии Т> (и, соответственно, статическая проводимость а ос V) оказываются равными нулю (см. [2]).

В пространстве произвольной размерности d детальное исследование свойств решений уравнений (1,2) оказывается чрезвычайно сложной задачей, нерешенной в настоящее время. Каче-ствеиное понимание эффекта локализации основывается па скей-шпи-овой гипотезе ( Abrahams Е. et.al., 1979) [3], предсказывающей с ростом беспорядка переход металл-диэлектрик при размерности пространства d > 2.

В определенном смысле особенной является чисто одномерная ситуслия d = 1. Как было предположено уже в работе Мотта и Туза (Mott. N-Б'., Twose W.0, 1961)[4] , показало на физическом уровне. строгости Березинским (1973) [5] и строго доказано в работах Гольдшейдта и др. (1977), а также Пастура и Фиго-тина (1978) [С], в бесконечном одномерном образце все собственные функции оказываются локализованными уже при сколь угодно слабом беспорядке. В случае одномерного уравнения (1) с потенциалом тина "белый шум" возможно весьма детальное исследование статистических свойств системы с использованием техники Березинского [5] или эквивалентных подходов (см. работы Абрикосова и Рыжкина (1976,1978) [7] и Колоколова (1993) [8]) , или метода трансфер-матрицы (Mello, 1987) [9].

Одпако попытка применить эти методы к реальным проволокам с конечным поперечным сечением S наталкивается на серьезные трудности. В то же время свойства таких (квазиодномер-

ных) систем могут существенно отличаться от свойств идеальных, чисто одномерных, цепочек, особенно для проволок конечной длины, являющихся объектом исследования бурно ралдтза-ющейся мезоскопической физики [10]. Дело в том, что в чисто одномерных цепочках длина локализации £ оказывается всегда порядка длины свободного пробега / и, следовательно, в таких системах нет места так называемому диффузионному режиму, при котором квантовая частица, испытывает много актов рассеяния на примесях, прежде чем квантовые интерференционные эффекты приводят к ее локализации. Такому режиму соответствуют образцы длиной 1 <С L (. В реальной же, достаточно толстой, проволоке локализационная длина С оказывается параметрически больше длины свободного пробега I (Дорохов,1982 [11]; Weiler et.ai [12],19S2; Ефетов и Ларкин, 1Э83[14]), что приводит к диффузии на малых пространственных или временных масштабах.

Случай проволоки конечной толщины S и бесконечной длины L —> оо был рассмотрен в работах [11-14]. Наибольший прогресс был достигнут в вышеупомянутой работе Бфетова и Ларкина, где проблема при услозшгх kpl 1; krFS 1 была сведена к исследованию одномерной теоретико-полевой модели взаимодействующих суперыатркц Q - так называемой супермэ.тричной нелилейной ог-мсдели (НСМ). На этом пути удалось вычислить среднее значение проводимости такой проволоки при Г, Однако, как хорошо известно, эта и подобные величины не являются само-усредияющимися ( в противоположность их логарифму), так что

объектом исследования должна быть вся функция распределения. Кроме того, не был исследован прнпшпщальао важный случай образца конечной длины.

В последние несколько лет интерес к квазиодшшерцьш неупорядоченным системам был сильно стимулировал исследованиями поведения гамильтояовых систем, подверженных периодическому ьпеазпему возмуцечию. Выл обнаружен целый класс моделей, де-' мояетриругощкх неограниченную хаотическую диффузию в фазовом пространстве, если их рассматривать классически (си. обзор Чирикова., 1979) [15], и оказывающихся локализова1шыш1 б конечной области фазового пространства., если принять во впн-иаш'.е квантовые интерференционные эффекты, подобно тому как беспорядок приводит к локализации квантовой частицы (КзЬтап е4.л.1., 1982) [16]. Эффекты такой I чамн че с кой локализации" оказываются важными для описания экспериментов по ионизации атомов, помещенных в высокочастотное электромагнитное тюле, см. обзор Са£а(,1 е(;.а1, 1987 [17].

Основной моделью систем такого класса является так называемый квантовый ротатор с толчками (КРТ) (см. обзор Израи-лева,1990) [18]. Выло показано, что оператор и, описывающий эволюцию такой системы за один период внешнего возыущешгя, имеет структуру большой (псевдо)случайпой матриц!,I, у которой все ненулевые элементы сконцентрированы в широкой полосе шириной 6 1 вокруг главпоК диагонали. Нетрудно заметить, ч го подобный же вид имеет и гамильтониан, соответствующий

уравнению (2) в вдето одномерной системе, если мы позволим квантовой частице прыгать не только на ДЕа ближайших соседа, как обычно, ко на Ь ближайших соседей.

Это наблюдение симулировало значительный интерес к ансамблю случайных матриц вышеупомянутого вида, которые принято называть "случайными ленточными матрицами" { random banded matrices) и которые (с другими цел mm) рассматривались в ранних работах Вигнера (W5gncr,1955,1957) и других авторов, см. [19]. Выло обнаружено, что все собственные вектора таких матриц локализованы с длиной локализации £ ос Ir 1 (Casati et.а! ,1990; Feingold et.al., 199i)[2(J, 21]). Соотвстстзенно, на масштабах 1 < L < { поведение системы с гамильтонианом "ленточного" типа оказывается диффузионным, что сближает такие, системы с обсуждавппшся выше случаем толстых проволок. Дальнейшие численные исследования выявили целый ряд интересных скейлин-говых соотношении, управляющих статистическим» свойствами таких систем в образцах конечной длины и требующих соответствующего теоретического объяснения[20, 21, 22, 23, 24].

Летальное аналитическое исследование систем такого типа и является первой и основной задачей настоящей работы.

Возвращаясь к случаю пространственной размерности d > 2, необход[гмо отметить, что большинство результатов вблизи порога подвижности Е — Ес, отделяющего область локализованных состояний от области делокэлизсъакных состояний, было получено в рамках теоретико-полевого подхода с использованием

КСМ, подобной упоминавшейся выше, которая может быть при определенных условиях выведена из исходных микроскопических уравнении (1,2) (см. Wegner F. ,1979; Schäfer L.,Wegner F., 1980; Ефетов К.Б. и др., 19S0; Piuisken A.A.M, Schäfer L.,1982) [25]. Анализ таких HCM оказывается возможным с помощью «-разложения в размерности d, — 2 4- с и приводит к степенному критическому поведению, в согласии с предсказаниями скейлинговой теории. Этот результат, однако, был поставлен под сомнение в результате исследования суперматричной НСМ на решетке Бете, интерпретированной как решетка бесконечной размерности (Ефетов К.В., 1985;19S7; Zimbauer M.R., 198S)[26, 27]. В частности, было обнаружено необычное нестепенкое поведение коэффициента диффузии при Е —Ес.

Другой особенностью а—модельного подхода является трудность описания перехода металл-диэлектрик в таких, общепринятых в теории критических явлений, терминах, как спопгэ.нное нарушение симметрии и параметр порядка. Выло предположено (Zirnbauer M.R. ,1986; Efetov К.В.,1990) [27, 28], что в качестве параметра порядка необходимо выбрать некоторую функцию, действующую па фактор-пространстве соответствующей НСМ. Физический смысл такой функции оставался, однако, совершенно неясным.

В пастояшей работе рассмотрена проблема андерсоновской локализации в модели случайных разреженных матриц, которая Оказываемся эквивалентной модели (2) на решетке Бете со случай-

ным ветвлением и, следовательно, эффективно соответствует про • странству бесконечной размерности.

Исследование поведения решения уравнения (2) в ел стенах, соотвзтствукщих бесконечной размерности с! = оо, выявление физической сущности параметра порядка и построение картины критического поведения вблизи порога подвижности является второй задачей настоящей работы.

2 СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ К8А-

ЗИОЛНОМЕРНЫХ СИСТЕМ.

В втой части мы изучим статистические свойства собственных функций случайных гамильтонианов в зазиодномерных образцах конечной длшш. С этой целью удобно х ар актер 11 з о в ат l каждую такую собственную фупкцию фа величиной, известной в литературе (см., например, работу Wegner F.,1080[29j) как "inverse participation ratio" (IPR):

Pa= <

EJ<Mn)j4 Для дискретной модели (2)

(2)

Jv \'J>i,(r)\*dr для непрерывной модели (1)

'такая пеличина является удобной мерой " о о с р е д ото ч е; i:; о ст и'' волновой функции: ее среднее значение обратно пропорционально типичному числу узлов решетки, на которых волнении! функчш

существенно отлична от нуля, а флуктуации IPR являются отражением флуктуаций обратного размера волцовых функций, отвечающих разным уровням в узкой полосе энергий при некоторой фиксированной реализации случайного потенциала, или вызванных различными микроскопическими реализациями беспорядка в системе. Б дальнейшем мы сосредоточим наше внимание на случае дискретного уравнения (2).

Полезно также ввести высшие IPR:

IÜ-ooi*. (4)

т.

Это позволяет исследовать распределение амплитуды волновой функции \фа(п)\2 в данной точке образца, равно как и найти распределение локальной плотности состояний

р(п, £) = £ Шп)\г6(Е- Еа). (5)

а

которая тесно связана с такой экспериментально измеримой величиной, как форма линии ЯМР (сдвиг Найта) (см., например,[30]).

Важная информация о пространственной структуре волновой функции может быть также извлечена из следующего коррелятора:

R*(r,r') = \фа{г)-фа(г')\г. (6)

В частности, асимптотическое поведение Ra(r,r') при (г — г'| —♦ оо определяет показатель экспоненциального убывания (показатель Ляпунова).

Обозначая чертой сверху усреднение по беспорядку, а угловыми скобками (...) усреднению в узком окне энергий вокруг данной точки спектра и вводя обозначения

"Ч - {РЛя)); д, - <Й(гы,)> ; Мы = <Р*> , (7)

т„ = , ДН 1^(2,)'— £ ПУ, Я = 1 + ™,

удается выразить такие средние через произведение нескольких функций Грива, например,

гп

г» — ■■ - ......

4 1ър{Е)Я (1 + тп- 2)!

(*)

где

К,,„М = (п|— (9)

ЕЛ-п)- Н Е-1Т) ~ Н

Здесь Я обозначает гамильтониан из (2), N- полпое число узлов

в системе, р(Е\- среднее значение плотности состояний: Схожие,

но несколько более громоздкие представления возможны и для

Щ,Мк.

Рассмотрим теперь случай ленточного гамильтониана, который представляет из себя случайную матрицу размером N х N ^ 1)- вещественную симметричную или эрмитову-с независимыми элементами //,*• = Нц, распределенными нормальному залону с нулевым средним и дисперсией II~ а{Н -Л). Функция а(г), определяющая форму "леяты", предполагается экспоненциально (или быстрее) убывающей, если расстояние от главной диагонали г становится существенно Солыпе "ширины ленты" Ь, которая, в свою очередь, считается большой: Ь 1.

Удобно наложить нормировочное уело вне а(1 г [) <оо

которое просто означает, что собственные значения матрицы II сосредоточены на интервале порядка единицы при 6 -+ оо. В качестве а(г) часто бывает удобно выбрать функцию вида:

= ¿exp(-r/ft) ; г > О (10)

Можно, однако, показать, что нате рассмотрение верно для любой функции я(г), удовлетворяющей перечисленным выше требованиям, в частности, для функции а{т) = 1/2b ; 0 < г < b и air) — С з противоположном случае, которые! соответствует "истинно ленточной" форме случайной матрицы. В дальнейшем все выражения будут приведены для случая эрмитовых матриц, что физически соответствует образцу в достаточно сильном магнитном поле. Случай симметричных матриц может быть исследован аналогично, но выражения становятся существенно более громоздкими.

Общая процедура вычисления средних от произведения функций Грина заключается в следующем. Необходимо, следуя метолу, предложенному Ефетовым (Efetov К.В. 1983) [31}, представить соответствующие корреляторы в виде гауссовых интегралов по сунернолям, например

>>) = Ш nili ЩЮПКп АпУММ'"- х + WW, ~ Hh\LV4j},

где сунервекторы Ф/" = (<;>*,, Х*,,;^';,,» X*,,) имеют две коммутирую-

щие компоненты ф и две грассмановы (антикоммутирующие) компоненты х', и введено обозначение Ь — <Иад(1,1,-1,-1). Теперь усреднение по распределению случашшх элементов //,_, может быть легко выполнено, но в результате в экспоненте под интегралом появится член четвертой степени по полю Ф,- , т.е. интеграл перестанет быть гауссовым. Эту трудность удается обойти с помощью так называемого преобразования Хаббарда-Стратоновича., вводя вспомогательное интегрирование но матричному полю которое по трансформационным свойствам сопряжено 4x4 суперматрице Л; ; г = 1,..., N с элементами

Л?=(1}1А ; «,£=1,2,3,4. (12)

\ ' аа ' /ДО

В- результате, интегрирование по полю Ф,- может быть вынол-нено точно, а оставшееся интегрирование по может быть частично выполнено методом перевала, оправданного в натаем случае двумя большими параметрами: 6 > 1 и ¡V > 1. В результате, получаются выражения вида:

Мм) = М,+л У П (13)

где - Е; а лей-

ствие дается следующем выражением:

N N

£¡<21 = Ч^Х^гаЛ, (14)

^ 1=1. ¿=1

где параметры т и ( выражаются через функции формы лени.:

следующим образом:

е = 1 = \{.кр?Вг ; *р = ¿-(2Во - Е3)1'2 ; (15)

I Во

и введено обозначение Вк = п*а('1)> а матрицы <3 являются

элементами фактор-пространства € 1/(1,1/2)/Г/(1/1)х(/{1/1), явный вид которых был найден Ефетовым (ЕГе1оу К.В., 2983)[31, 271:

й(а) = ехр

'о »Л

\ ьМ2\Ц 1 »1>Л/;2г> 1

¿(/3) = ехр 1

/ \ О Р'

9 о у

Ые'#1 О О <|/1а|е-'*»

\

Мл

а О /А, о\

V

(16)

О Л- у

/

где а,л*,/?,/}* грассмановы переменные, А1 € (1, оо) ; Аа € (-1,1),

€ (0,2зг) и А]^ связаны с р^а соотношениями А? — = 1 и XI + = 1. Соответствующая инвариантная мера равна:

(А] - А2)2

Нижний индекс рр',ЬЬ обозначает " бозон-бозонную" комноненту соответствующей 2x2 матрицы (¿р?> ,р,р' — 1,2.

Действие (14) является дискретным вариантом действия одномерной суверматричной нелинейной а- модели, выведенной Ефетовым и Ларкиным из уравнения (1) в случае толстой проволоки

[14, 31], что является доказательством адекватности исходной "ленточной" дискретной модели задаче о локализации в квазиодномерных системах [32] . Параметр 7 оказывается пропорциональным локализациокной длине

Чисто одномерный характер взаимодействия матриц Q, в (14) делает возможным явное вычисление соответствующего интегра ла методом трансфер-матрицы. Необходимо подчеркнуть, однако, что в общем случае вычисления величии Rq и Мг предэкспояента типа выражения (13) оказывается "нелокальной" , т.е. зависящей от суперматриц Q(v) с разными пространственными индексами п. Этот факт, вместе со сложной параметризацией матриц Q, см. выражение (16), делает промежуточные выражения чрезвычайно громоздкими. Однако использование того факта, что в (5) нам требуется знать только наиболее сингулярный член в выражении для Ki:m(n, т/) при >7 —> 0 , а также учитывая, что f <х ft2 1, оказывается возможным написать замкнутые выражения для интересующих нас величин:

w<= d,J у1" [ * - т>Jr- *17>

#5(rj = 27 л; г2 = 2у(тi + г,)) = dp * - г, - r2)wP(y; r2. r,),

Mk - ; /ь(*) = dy /; dr, JJ'"1 dr,...

... Г'"""4-1 dnWpiy, x - Zl, T.)Wi%r, n,.Г,),

(18)

(19)

причем функции удовлетворяют уравнениям:

...........п) •<»)

с начальными условиями

W;'4v;r. = 0;т,_х,...,т1) = ; г, = 0) = 1,

(21)

где мы ввели обозначение я — N/2y для скейлкнгового параметра отношения размера матрицы N к локализационной длине £ ос -у.

Решение уравнений (20,21) для s ~ 1 удается выразить через интегралы ог функций Макдональда с шпшьши индексами:

я Jo 1 +v 2

(22)

а при s > 1 такое решение может быть найдено с помощью рекуррентного соотношения:

f-duxSKi^wt^ - 1.....Г,)

В случае произвольного х зависимости т,(ж), Mk(x) легко

могут быть найдены из (16-23) численно, а при i « 1 ( i > 1), соответствующих случаю полной делокализалии (локализации), и аналитически. Однако величину то3 = Mi, определяющую среднее значение inverse participation ratio, удается вычислить при произвольном соотношешш между длиной локализации и размером

образца[33]. Для получения этого результата удобцо ввести величину = и рассмотреть ее Лапласов образ: ]и{р) — / <]'мг~рт111(х)(1х, что ввиду уравнения (20) легко сводится к

ш- (2-1)

где Й^^у;^) = г)с1т. Используя выражелте (22),

W"<r.V) « 1 + (25)

Р Jo 1 + 11

J0

несложно показать, что

Г,.....(л + 1)+«а(д-1)

1 +и2

где ц ~ (1 -!-4р)'/2. Подставляя (25) в (24) и используя взаимную ортогональность функций Бесселя:

Г° 1

/ dttJv(iv)J„{tv) ~ -¿(и- v), (2в)

Ja v

мы немедленно находим 1\(р) — ^ + ¿¡р, что и дает требуемое выражение после обратного преобразования Лапласа:

Так как среднее значение "inverse participation ratio'' обратно пропорционально размеру волновой функции, имеет смысл определить длину £ipii(N,7) = l/Mi. Тогда выражение (27) может быть записано в виде:

___1_____\_____1___

hpfl(N, 7) £ipn[N,oo) Орл( оо.т)' Интересно отметить, что по существу такое же выражение для скейошнговой зависимости средней "эгггроаиГшой" логалтаппоп-

ной длины £е = ехр{—К,;а(«)|2 In \фс{п)]'} было предложено ранее в работах Caeati G. ci.al (1990) [20], а также Izrailcv P.M. (1990)

[18] на основе результатов численного моделирования случайных неточных матриц и киаптового ротатора с толчками.

Вводя для удобства безразмерные величины 0ч(х) — и /ц(з;) = (Л1/2)кМк, нетрудно из (16) вывести выражение для функции распределения нормированных локальных амплитуд у = Л'j </'(«) через функцию WW(y;r):

Vx{y) = Г drWVfr х - г). (29)

£ °У Jo х х

Я иные выражения удается найти в двух физически интересных

предельных случаях [34] коротких образцов х <?С 1:

*>,«(*) - (\-¡9 + ¡V2) - ¡V + ^ - §у» + I/) }

(30)

и асимптотически длинных образцов i » I:

V*>Áy) *-AKltts/ф) + Kli2sA¡]l)} ; х —* оо; (31) х'

а также восстановить распределение локальных плотностей состояний [37], см. (3), которое мы приведем для случая длинного образца, слабого относительного утирения уровней Г ос (с/Ey)kf.£S <1 ив области асимптотически больших р:

V(p/p » Г"1) ос Г5/4 ехр - у/Гф. (32)

Сравнение этого выражения с аналогичным, полученным для чисто одномерной системы Альтшулером и Пригодиным, 1989 [30]. покапывает, что флуктуации локальной плотности состояний в

квазиодномерном случае гораздо сильнее, чем в чисто одномерном, где закон убывания оказывается Т(р) <х е~ср вместо , как в (32).

Используя распределения (30,31), легко найти соответствующие выражения для моментов в обоих предельных случаях[35]. Для короткого образца х < 1 имеем:

/л

_ _

'« тС1'Е

и для "энтропийной" локализационной длины:

& = N ! с1уу\путх{у)} ; = 1 - + ¿х2 -I-..., (34)

причем — где С = 0.577... так называемая постоянная

Эйлера.

В противоположном случае длинного образца г 1: Рч~~ (г.,-1 у. + !,

(35)

т^тг I ехр{1 + С} _

Сравнение (33,35) с феноменологическим скейлинговым законом, предложенным на основе численного моделирования в работах Са ваЧ С. '.•Д.а1(1990) [20] а тд;сжо !<_>;щКе]ои Ь\М., Еояштои Е. (1991) [22]:

1п [Д, - 1] = «т.«(<») + 1» Т, (36)

покалыиает, что, формально говоря, такой закон верен тол:.км для д — 2, когда (30) есть просто другая запись (27). Однако отличие

(36) от истинной кривой ¡îq{x)t которая может быть посчитана для произвольного х с использованием (16-21),оказывается чрезвычайно малшл при любом q — 3,4,...,00 [341.

Используя выражения (20) - (23), можно также найти выраже-Ш1Я для моментов inverse participation ratio /i*(x) [36]. При г, -С 1 получаем:

, . , к к(к- 1) , l*k{x) = 1 + -х + V 10 V + ..., (37)

а при г —со соответственно имеем

где | Вгк | обозначаю! так называемые числа Верпулли. Используя первое из этих выражений, мы легко убеждаемся, что при I < 1 функция распределения IPR близка по форме к узкому пику со средним Ра = 2¡N и относительной шириной ¿(ж) = (р1 ~ К2)1'2/Ра = -¿fex + Ois1) <С 1, т.е. флуктуации IPR в этом случае малы.

В противоположном предельном случае z 1 мы легко находим из (38) ô = 1 /SE m 0.45, что означает конечную, порядка единицы, ширину соответствующей функции распределения IPR и, соответственно, сильные флуктуации размера волновых функций. Для произвольного г ~ 1 зависимость 6(х) может быть найдена численно с использованием (16-23) /36/.Соответственно,може быть найдена зависимость среднеквадратичного отклонения (Р2 — P'Y^N/2 от среднего значения безразмерного IPR = (N/2)P. Оказывается, что в большом диапазоне параметров эта зависи-

мость с хорошей точностью может быть аппроксимирована линейным законом. Это позволяет объяснить наблюденный в работе Л.гусгктзк! е{.а1. (1992) [24] факт пропорциональности пш-рипы распределения обратной локэлнзационной длины в модели случайных ленточных матриц среднему значению этой величины.

Кроме того, при г -+ оо удается восстановить всю функцию распределения 1РЯ.[36];

= 27Ра) = ^.^"(^г*4 - 3к^е-**2"*'

(39)

Первая форма этого выражения может быть использована для извлечения асимптотическою поведения функции "Р{г) при г > 1, в то время как вторая дает поведение при малых значениях аргумента г -С 1:

16ж*ге~2*** , г > 1

■ (40)

Что же касается функции распределения коррелятора, введенного в (б), опа может быть явно найдена при произвольном х ~ 1, если точки г и г' соответствуют левому и правому краям образца [35]. Для безразмерной величины V = 4угЕ(г = 0,г' = Ь) получаем:

ЛОО *<Х>

рх(9) = ~ / АпвгвЬ л-1/е-(1+"5)'/4 / ац-лКа{г)Кй,{1)Кй{ % х /о Уа

—' (41)

В предельных случаях г < 1 н х > 1 соответственно имеем:

Тх>1{~ 1и«)« ^^т^ехр^^Сг + Ьу)2}.

Первое из этих выражений показывает, что амплитуды волновых функций в коротком образце независимы и распределены но за-копу (30), в то время как второе означает, что скорость экспоненциального убывания амплитуды волновой функции в длинном образце флуктуирует вокруг среднего значения (иоказателя Ляпунова) А = —(1в v)¡N = ~ но нормальному закону с отшэситель-ной шириной раснределения, убывающей с ростом длины образца как (2/х)1/3 (для чисто одномерной системы подобные выражения для функции распределения сопротивлений были впервые получены в [38, 39]). Интересно отметить, что при этом скорость экспоненциального убывания всех положительных моментов и* распределения (41) оказывается в четыре раза меньше, чем среднее значение - 1п I» = ж ввиду соотношения к* ос которое легко

может быть получено из (41).

Заметим, что флукгуации собственных функций в экспоненциальных "хвостах" определяют асимптотическое поведение та кнх физических величин, как вероятность квантовой частице оказаться на расстоянии г » £ от начальной точки ее иижокции в систему но прошествии бесконечного промежутка времени, а также проводимость асимиючически длинных образцов. Первая из этих величин численно изучалась для подели квантового ротатора с

толчками о работах Чирикона и Шепелянского, 198С( а также Шепелянского (О.БЬере^апвку, 1987) [40], в то время как вторая и связанные с ней величины в многочисленных моделированиях, обзор которых можно найти в недавней- работе Р.Магко8,В.Кгатег (1993) [41]. Параметры лог-пормальных распределений соответствующих величин, найденные в згих работах, находятся в хорошем согласии с выражением (42).

3 АНЛЕРСОНОВСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

В этой части мы изучим локализацию, используя модель случай-пых разреженных матриц. Лля этого рассмотрим модель (2) на (I-мерной решетке, в которой диагональные матричные элементы ип распределены независимо с плотностью вероятности 7(")> а недиагоналыше эле; ¡енты = имеют вероятность рбыть отличными, от нуля ( и, соответственно, тождественно равны нулю с вероятностью 1 - р,;) , причем = ра(\ г, - г} |)/<Го, где о0 ~

1 , 0 <) г ]< г0 ^ I) и а(г) — 1 а параметр г0 играет

0 , I г |> г0 роль эффективной длипы прыжка.

Стартуя опять с суперсимметричного представления для произведения функций Грина 01), проводя усреднение по распределению матричных элементов, и используя функциональное пре-

образование X аб б ар да- С т р ато цо ни ча, проблема может быть сведена к изучению аффективной теории поля с действием [42]:

(43)

где </,(Ф)~ поля, зависящие от пространственного илдекса: = 1,2,..., N и супервектора Ф, а Г~'(Ф, Ф) - ядро интегрального оператора, обратного к оператору с ядром Г(Ф+ЬФ), где Г(х) = 1п{1+^(Л^(г)-1)}, а Ьр(х) обозначает фурье-образ функции распределения тех недиагоналышх матричных элементов которые отличны от нуля , и

Р(Ф) = ^ ¿иу(и)ехр{1ф+{1(Е-и)-Ьгф}, (44)

Полученная таким образом теоретико-нолевая модель может быть изучена в приближении стационарной фазы, которое становится точным в пределе бесконечного радиуса прыжка г0 —* ос. Возможны, однако, несколько разные ситуации л зависимости от соотношения между г« и размером системы Ь.

Если Го ос Ь —> оо, то модель оказывается точно эквивалентной модели (2) на бескояе-чном "дереве" (решетке Бете) со случайной петвис.тостью [43]. Ввиду такой эквивалентности естественно сначала исследовать модель Андерсона на регулярной решетке Бете с диагональным беспорядком в рамках суперсишлетричного подхода [45, 40]. Оказывается, что локалиЗациокныЙ переход л такой модели цроязляется как спонтанное нарушение симметрии

решения уравнения самосогласования

ЬхФ) = У^Ф] J а!а7(и)ехр{-1'Ф+/,Ф+^Ф4'((£:-и)Ь+»??]Ф}^т(Ф), (45)

где т обозначает ветвистость дереьй, 7(и), как и прежде, обозначает распределение узельных анергий щ, а параметр ц > 0 связал, как и в (42), с мнимой частью у анергий в функциях Грина, см. (5).

В общем случае, (при произвольном г)) решение этого уравнения зависит от двух инвариантов: д{Ф) = д,(х,у); х — Ф+Ф; у — Ф+£Ф, так как полная группа симметрии уравнения (45) есть 0 (1/1 )х и(1/1) (как и прежде, мы предполагаем симметрию по отношению к обращению времени нарушенной сильным магнитным нолем). В пределе гу —^ 0 симметрия уравнения повышается до Г7(1,1/1,1) , и единственным инвариантом такой группы является у = Ф+£Ф. Таким образом, если симметрия не нарушена спонтанно, то Нтп~,о£Г.От У) = За (у)- Оказывается, что эта ситуация имеет место в локализованной фазе. Если же, напротив, даже при г) —+ 0 зависимость д.(х,у) от переменной х сохраняется, то симметрия является спонтанно нарушенной, что на микроскопическом уровне связано с делокализацией собственных функций системы.

Как несложно видеть, уравнение на седловую точку действия (43) тлеет вид, лишь незначительно отличающийся от (45), причем это отличие связано только с пуассоповскими флуктуаднями ветвистости тп в каждом узле решетки [43]. Приведегшая сыте картина спонтанного нарушения симметрии легко распространя-

стоя и на этот случай, с незначительными модификациями [44]. Необходимо отметить, что в обычной теории фазовых переходов уравнение на седловую точку эффективного действия приводит к уравнению на параметр порядка. Поэтому кажется естественным и в пашем случае интерпретировать функцию о(Ф) в качестве параметра порядка для перехода Андерсона. Введенный таким образом параметр порядка имеет ясный физический смысл ввиду доказанного в работе соотношения [44, 45, 46J:

/оо у-оо •

dU J dVf{U,V)exp{-5(l/y+«V«)}, (46)

связывающего g¿{x,у) с функцией распределения f(U,V) действительной U и мнимой V частей локальной функции Грина Gnn(E) — (п | (Е-щ—Н)-1 | п). Это соотношение позволяет связать картону спонтанною нарушения симметрии с общепринятым механизмом ан дер ооновского перехода (Andersoa P.W.,1958; ThorJess D.,1974) [1, 47]. Именно, как несложно понять, распределение мнимых частей функций Грина в локализованной фазе стремится к S(V) при г} 0, что, ввиду (46), приводит к независимости функционального параметра порядка от переменной х. В проводящей же фазе функции Грина имеют конечную мнимую часть ^ связанную с конечной вероятностью ухода, частицы из образца, что приводит к нетривиальному виду д,(х,у).

Картина перехода Андерсона к.ак явления спонтанного нарушения симметрии, развитая выше, оказывается чрезвычайно полезной при изучении критического поведения системы вблизи порога

подвижности. На этом пути удается не только воспроизвести выражение для порога подвижности, полученное ранее другими авторами [48], но и вычислить критическое поведение, среднего inverse participation ratio, см. (3), и коэффициента диффузии 0(E) при Е —» Ее. Найденное поведение в модели Андерсона (как на регулярной решетке Бете, так и в модели с большой длиной прыжка) имеет нестепенной характер:

D(E) ocl Ее - Е I"3'2 ехр{—const \ Ес- Е |~1/2}

(47)

Р ос jjexç{const I Ее - Е Г1/2};

где N обозначает полное число узлов в такой системе. Выражения (47) справедливы при приближении к порогу подвижности со стороны делокаллзованньпе состояний. Со стороны же локализованных состояний inverse participation ratio стремится к конечному пределу при Е Ес в бесконечном образце. Такое критическое поведение н?годится в согласии с результатами, полученными Ефетовыы (Efetov К.В.,1985,1987) [26] и Цирнбауаром (Zir-nbauer M.R,1986) [27] в рамках нелинейной сг—модели на решетке Бете. Этот факт доказывает, что подобное нестепенное наведение нз связано с приближениями, использованными при выводе нелинейной а--модели из исходных микроскопических уравнений (1-2), но, по-видимому, является неотъемлемой чертой лока-лизатгонного перехода в пространстве бесконечной размерности, которому эффективно соответствует решетка Бдте.

Необходимо также отметить, что в случае r0 ~ £ гамильтониан

системы имеет вид большой случайной матрицы размером N х М, в которой каждый элемент отличен от нуля с вероятностью p/N, так что в каждой строке (столбце) имеется в среднем только р ненулевых элементов. Такие матрицы естественно назвать разреженными. Если р < оо при N —* со, ансамбль таких матриц может существенным образом отличаться от классических гаус-совских ансамблей. Использование суперсимметричного подхода позволяет вычислить парный коррелятор собственных значений таких матриц, который являегся одним из самых важных объектов теории случайных матриц, важный для ее многочисленных применений в физике. Оказывается, что везде в делокализованной фазе такой коррелятор имеет стандартный дайсоповский вид [43], известный из классической теории случайных матриц. Такая универсальность оказывается прямым следствием спонтанного нарушения симметрии, и связана с аналитическими свойствами функционального параметра порядка, обсуждавшегося выше. В локализованной же фазе коррелятор оказывается равным нулю, в соответствии с общепринятым представлением о пуассоновском характере спектра, типичном для такой фазы. Численные эксперименты, проведенные в работах Евангелоу и Экономоу (Еуйл-£еЬи Б .БсопошЬц Е., 1992) [49], подтвердили эти аналитические результаты.

В случае, когда радиус прыжка. г0, стремясь к бесконечности, остается все же мяого меньше размера системы Б —► со, мы опять можем исследовать модель в приближении стационарной фазы,

2А

но должны также учесть и флуктуация вокруг перевального решения. Если размерность системы при этом велика (а —► оо), то достаточно учесть только гауссовские флуктуации. Полученная таким образом модель естественно сазьгааетея во всех основных чертах эквивалентной рассмотренным выше моделям на решетке Бете, по с несколько иным критическим индексом у локализаци-ошгой длины [42].

В локализованной фазе сингулярная часть коррелятора шютность-длотность К {г), определяющая вероятность частице уйти на расстояние г от начального узла за бесконечное время, экспоненциально убывает на больших расстояниях:

Где £-локализационная длина, имеющая вблизи порога следующее критическое поведение: £ ос| Е — Ес ¡-)'2. Вблизи порога можно рассматривать таю*--ч область г « в которой находим

Критическое поведение коэффициента диффузии и inverse participation ratio оказывается таким же, как и на решетке Бете, т.е. дается выражением (46) в делокализовашюй фазе, a inverse participation ratio скачком возрастает до конечного значения, на исчезающего в термодинамическом пределе N —» оо везде в области Е < К:.

А' (г) ос ç-Wr~W-1 ехр - г/( : г » £.

(48)

ВДэсг"'-1 ; г«£.

(49)

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение. сформулируем основные научные результаты, полученные в настоящей работе:

1) Показана математическая эквивалентность модели случайных ленточных матриц и модели квазиодномерного проводника со случайными рассеивателями путем сведения модели случайных ленточных матриц в пределе большой ширины лепты к одномерной нелинейной суперматричной а—модели, использованной ранее для описания свойств квазиодномерного проводника.

2) В модели случайных ленточных матриц найдены:

2а) распределение обратных размеров волновых функций, измеряемых с помощью inverse participation ratio в случае образцов бесконечной длины, а для конечных образцов также скейлинговая зависимость ширины этой функции распределения от отношения х — Г;/£ размера образца L к длине локализации -

26) явное выражение для распределения амплитуд волновой функции в данной точке для длинных и коротких образцов, и найдена функция распределения локальных плотностей состояний для случая слабого уширешш уровней в длинном образце,

2в) аналитическое выражение для распределения коррелятора значений амилитуд волновых функций вблизи противоположных концов образца, пользуясь которым выведено лог-нормальное распределение скорости экспоненциального убывания собственных функций в асимптотически длинном образце,

2г) аналитическое выражение для скейлггнговой зависимости среднего inverse participation ratio в образцах конечной длины.

3) Исследована модель случайных разреженных матриц. Выведен теоретико-нолевой лагранжиг такой модели. Показана эквивалентность такой модели в приближении стационарной фазы варианту модели Андерсона па решетке Бете. Найдено критическое поведение коэффициента диффузии, размера волновой фунх-ции и корреляционной длины вблизи порога повдижаости Е — Ef_ для обеих моделей и выведено уравнение, определяющее положение порога подвижности.

4) Предложен функциональный параметр порядка, связанный " с возможностью описания перехода Андерсона а рамках схемы спонтанного нарушения симметрии, и вскрыта связь такого параметра порядка с флуктуациями локальной функции Грина.

5) Вычислен парный коррелятор собственных значений разреженных случайных матриц.

Основные результаты, представляемые к защите, опубликованы в работах:

1. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. On the density of states of sparse random matrices // J.Phys.A: Math.Gen.,1991,v.24,p.22!9-2223.

2. Mirlin A.D., Fyodorov Y.V. Universality of level correlation function of sparse random matrices // J.I'hys.A:Math.GeD.,1991, v.21,p.2273-228ß.

3. Fyodorov Y.V., MirLin A.D. Localization in Ensemble of Sparse Random Matrices // Phys.Rev.Lett,, 1991, v.67, p.2049-2052.

4. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. Scaling properties of localization in random band matrices: a a--model approach // Phys.Rev.Lett.., 1991,

v.67, p.2405-2409.

5. Mirlin A.D., Fyodorov Y.V. Localization transition in the Anderson model on the Bethe lattice: spontaneous symmetry breaking and correlation functions // Nucl.Phys>B, 1991, v.36'6, p.507-532.

6. Mirlin A.D, Fyodorov Y.V. Localization in the Anderson model on thf; Bethe lattice // Proc. of the Int. Conf. in high Tc superconductors and localization phenomena, Ser.:Progress in high Tc superconductivity. (World Scientific, Singapoure), 1992, v.32, p.84-98.

7. Fyodorov Y.V,, Mirlin A.D., Sommers H.-J. A novel field-theoretical approach to the Anderson localization: sparse random hopping model // J.Phys.I France, 1992, v.2, p.1571-1605.

8. Fycdoiov Y.V., Mirlin A.D. Analytical derivation of the scaling law for the inverse participation ratio in finite quasi one-diinensional di-soidered systems // Phys.Rev.Lett., 1992, v.69, p. 1033-1090.

9. A.D.Mirliu, Y.V .'Fyodorov The statistics of eigenvector components of random band matrices: analytical results // J.Phys.A: Math.Gen.,

1993 , v.20, L55I-L558 .

10. Y.V.Fyodorov, A.D.Mirlin Level-to-level fluctuations of the inverse participation ratio in finite quasi Id disordered systems // Pbya.Rev.Lett., 199-3, v.71, p.412-415..

11. Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. Distribution of exponential decay rates of localized eigenfunctions in finite quasi 3d disordered systems // Письма в ЖЭТФ, 1993, v.58, c.636-639.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] P.W.Aixlejson // Phys.Rev.,l№, 109,1492.

[2] И.М.Лифтииц, С.Гредескуд, Л.А.Пастур Введение в теорию неупорядоченных систем // Москва, Наука, 1982.

¡3] E.Abrahams, P.W.Anderson, D.C. Licciardello, T.V.IImivaltii r>lir an// Phys.Rev.Lett, 1979,42 673.

¡4) N.F.Mott , W.O.Twose // Adv.Phys.JMl, 10,107.

[5j В.Л.Верезинский// ЖЭТФ,1973, 65, 125.

{6j И.Я.Гольдшейдт, С.А.Молчаиов, Л.А.Пастур// Фуикц. Ан. и нрнл.,1977,11,1; Л.А.Пастур, А.Л.Фиготил// ТМФ,1978,35, 193.

¡7} A.A.Abrikosov , I.A.llyzlik'm// Adv. Ркуз., 1978, 27, 146

¡8] К.В.Колоколов// ЖЭТФ,1993,103, 2196.

[Щ P.A.Mellc // Phys.Rev.B,mi, 35, 1082.

[Iflj Мesoncopic Phenomena in Solids, edited by B.L.Altshuler, P.A .Lee and R.A.Webb (North-Holland, Amsterdam, 1991).

[11] О.II.Дорохов, ЖЭТФ.,1983, 85,1040 .

[52] W.Welles, V.N.Prigodm, Y.A.Firsov// Plnjs.St.So!.,19Я2, 110, 143 .

(Klj lUoLnst«», Ji.Kuiu// .!.Phtj.i.C,m3, 16, 3895 . .

¡14j К.В.Ефетов, А.И.Ларкин// ЖЭТФ ,ШЗ, 85 , 764 [ir' B.V.Chiiikoy// Phys.Äep,1979, 52 263.

¡16] S.FisImian, D.R.Grempeï, R.E.PronfV/ Phys. Rev. Le ti.,1932, 49, 5G9.

(17] G. Casati, B.V. Chirikov, T. Guarnen, D.L.Shepeîyansky// Phys.Rep.JdS7, 154, 77 .

[18] F.M. fzraiJev // Phy». Rep., 1990, 129, 299 .

[19; E.P.Wigner ,// Ann.Malh.,1955,82,648 and «7.^,1957,05 203 ; T.ÏÏ.Seiigman, JJ M.Verbaaradaot, M.R.Zirnbaner// J.Phys.A: Math.Üen.,mS., IS, 2751 ;

[20] G .Oasati, L Molinari, F.M Jztaiîev// Phys. Rev.Lett.,1900, C4, 16 ; J.Phy;-.A:Maih. Gen., 1991, 24, 4755 .

[21] M.Feingold, D.M.Leitner, M.Wiikinson// Phys.Rev.Lett.,1Ш, 00, 986.

[22] S.N.Evangelon, E.N.Economo«// Phys. Lett,1Ш, A 151, 345

[23] T.ProKcn, M.Robnick //

Phye.Rcv.Lett., 1993, 20, 11C5 ; G.Casatî.B.V.Chiiikov, Ï.Guaineri, F.M.Izrailev // Phys.Rev.E,l993, 48, R1613 ; M.Feingold, A.Gioletta. F.M.Izrailev, L.Molinari// Phys.Rev.Lett ,1993, 70, 2Э36.

[24] K.Zyczkowski, M.Lewenstein, M.Kus, F.M.Izrailev// Phys.RevA,1992, 45, 811 .

[25) F.Wegner//

Phys.Rep.,1980, 67, 15 ; L.Shafer, F.Wegner// Z.Phya.B,mü, 38, 113 ; A.A.M.Pruisken, L.Schafer// NuclPhys.B ,1982, 200 (FS4), 20 . К.В.Ефетов, А.И.Ларкин, Д.Е.Хмельницкий ЖЭТФД980, 79,1120.

[26 [27

í28 [29 [3ü [31 [32 [33 [34 [3, [36 ¡37 [38

К.В.Ефетов// ЖЭТФД985, 88, 1032 ; ЖЭТФД987, 92 638 .

M.R.Zirnbauer // Nucl.Phys.Btim, 205 , 375 ; Phys.Rev.B¿m, 34, 6394 .

K.B.Efetov,// f%«c<i ЛД990, 167 119. F.Wegner // Z.P/iyj.B,1980, 36, 209 .

Б.Л.Альтшулер, В.Н.Пригодин //.ЖЭТФД989, 95, 348, K.B.Efetov // Adv.Pkys.,im3, 32, 53 . Y.F. Fyodorov, A. D. Mirlin // Phyi.Rev.Lett., 1991, 67,2405 . Y.V.Fyodorov, A.D.Mirlin // Phys.Rev.Lett.,\992, 68,1093 . A.D.MjjUd, Y.V.Fyodorov // J.Phys.A: АШН.йстфдЗ, 26, L551 . Y.V.Fyoilcrov, A.D.Mirlin // Письма в ЖЭТФ ,1993, 58, 636 . Y.V.Fyodoiov, A.D. Mirlin// Phys.Rev.LcM.,1993, 71. 412 .

A.D.Mirlin , Y.V.Fyodorov // accepted fot publication in Europh.Lett.

B.И.Мельников // Письма в ЖЭТФД980, 32, 244

[39] A.A.Abrikosov// Sol.St.Comm.,19U, 37, 997.

[4'} B.B.MwpitKou, H. JI. IlleneJiHHckhö // Pa.gno<jm3KKa,1986, 29, 1041 ; D.L.Shepelyaisky // Physica D,1987., 28, 103 .

[41] P.Markos, B.Kramer// /Inn. Physik,1993, 2, 339 .

[42] Fyodorov Y.V., Mirlin A.D., Sommers H.-J.// .Phys.I France., 1992, 2, 1571.

[13] Mirlin A.D., Fyodorov Y.V.// J.Phys.A:Math.Gtn., m\, 24, 2273. ¡44] Fyodorov Y.V., Mirlin A.D. // // Phys.Rev.LeU., 1991, ß7, 2049.

[45] Mirlin A.D., Fyodorov Y.V. // NuclPhys.D, 1991, 306, 507.

[46] Mirlin A.D, Fyodorov Y.V.// Progress in Ai yh Tc superconductors and localization phenomena, Ser. .-Progress in high Tc supetvonductivity. (World Scientific, Singapoure), 1992, 32, 84.

[47] D.Tbouless// Phys.Rep.1974,13, 93.

[48] R.Abou-Chacra, P.W.Anderson, D.Tbouless// J.Phys.C,!973, 0, 1734; H.Kunz, B.Soulliard// J.tie Phys.LeUcrs,]9H3, 44, L411.

[49] S.N.Evmgelou, E.N.Economou // Phys. Rev. Lett. ,1992, 68, 361.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ..................................................................... с.З

2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

СЛУЧАЙНЫХ КВАЗИОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ.......... с.9

3. АНДЕРСОНОВСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ.... с.23

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................ с.30

5. ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА....................................... <;.34

РГП ГОМФ, зах. 89 ,тир. 100, уч.~изд.л.1,7;2?/П-1994г

Бесплатно