Трансфер-матрицы гиббсовских полей с бесконечным пространством спинов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Структура и спектр трансфер-матриц решетчатых моделей с компактным спиновым пространством.

§ I.I. Общая схема исследования структуры и спектра трансфер-матриц.

§ 1.2. Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области.

§ 1.3. Модель Изинга с большим внешним полем.

Глава П. Структура и спектр трансфер-матриц калибровочно-инвариантных решетчатых полей.

§ 2.1. Калибровочно-инвариантная модель Изинга.

§ 2.2. Решетчатые поля Янга-Миллса.

Глава Ш. Старшие ветви спектра некоторых спиновых моделей при низких теше ра ту pax.

§ 3.1. Выбор параметров модели.

§ 3.2. Теорема о кластерном разложении базиса.ТОО

§ 3.3. Оценка матричных элементов трансфер-матрицы и исследование ее спектра.

§ 3.4. Оценки семиинвариантов для модели прямоугольных внешних контуров.

Глава 1У. Протекание в конечной полосе для дискретных и непрерывных систем.

§ 4.1. Дискретные системы.

§ 4.2. Непрерывные системы.

Диссертация посвящена главным образом изучению структуры трансфер-матриц решетчатых моделей статистической физики и квантовой теории поля, а также старших ветвей их спектра. В четвертой главе диссертации рассматривается задача о протекании в конечной полосе для гиббсовских полей.

В последнее время большой интерес вызывает изучение гиббсовских полей, которые возникли при формулировке задач квантовой механики на теоретико-вероятностном языке. Для многих квантовых физических систем можно построить гиббсовское поле (в пространстве большей размерности) так, что трансфер-матрица этого поля совпадает с оператором Q. (точнее, подобна ему), где

Н - гамильтониан физической системы. При этом исследование спектра трансфер-матрицы часто оказывается проще, чем непосредственное исследование спектра Н .

Трансфер-матрица (ненормированная) впервые появилась в работе Л.Онзагера [55] при исследовании двумерной модели Изинга в отсутствии магнитного поля. С общей точки зрения спектральный анализ трансфер-матрицы начат Р.А.Минлосом и Я.Г.Синаем в [25]. В этой работе введена важная конструкция специального ортогонального базиса в "физическом пространстве" и общая схема нахождения спектра трансфер-матрицы, проходящая красной нитью практически через все работы по этой тематике.

Определение мультипликативной кластерной структуры трансфер-матрицы и доказательство такой структуры для случая двумерной модели Изинга впервые было дано в [з].

Существенный вклад в исследование кластерной структуры и спектра трансфер-матриц сделан в работах В.А.Малышева £15-17],

B.А.Малышева и Р.А.Минлоса [I8-I9, 52-53J, а также в работах

C.Лакаева и Р.А.Минлоса [н], Р.А.Минлоса и А.И.Могильнера [2з], Ш.С.Маматова и Р.А.Минлоса [21J, И.А.Кашагова и В.А.Малшева [l2, 50], Ф.Г.Абдулла-Заде [l-2]» В этих статьях изучаются в основном модели в высокотемпературной области. Х.Жолондеком ([ю], гл. I, § 3) показана кластерная структура трансфер-матриц моделей в низкотемпературной области для определенного типа гамильтониана. Изучение спектра трансфер-матриц для моделей квантовой теории поля содержится в работах Дж.Глимма, А.Джаффе [47-48] и

Т.Спенсера [б], Р.Бальяна, Д.М.Друффе и С.Ициксона [44], Д.Когу-та и Д.К.Синклера [5lJ, Рикардо Шора [57], Т.Спенсера и Ф.Цирил-ли [58].

В большинстве этих работ изучение кластерной структуры трансфер-матрицы было сведено к так называемым равномерно сильным кластерным оценкам семиинвариантов гиббсовского поля, что в свою очередь связано с кластерными разложениями. Формальные ряды кластерных разложений используются в физике уже полстолетия. Первое доказательство их сходимости получено Н.Н.Боголюбовым и Б.И.Хацетом в 1947 году в [4]. Примерно двадцать лет спустя началось бурное развитие техники кластерных разложений. Многие новые идеи здесь принадлежали Д.Рюэлю [34], К.Груберу и Н.Кунцу

49 наю Дж.Глимму, А.Джаффе, Т.Спенсеру J" б], Р.А.Минлосу и Я.Г.Си-"25-27], М.Дюно, Л.Яголницеру, Б.Суайру[8, 9, 45], В.А.Малышеву и Р.А.Минлосу [ 18-19, 52-53], Я.Г.Синаю [ 35].

Отметим, что операторы с кластерной структурой являются обобщением (на бесконечночастичный случай) таких важных классов операторов, как, например, многомерных теплицевых операторов или конечночастичных операторов Шредингера.

Наиболее существенные продвижения в диссертации по сравнению с предшествующими работами следующие:

1) в диссертации достаточно полно изучены трансфер-матрицы для случая гиббсовских полей с бесконечным (но компактным) пространством спинов (гл. I). Здесь получается и используется более тонкая оценка семиинвариантов от функционалов гиббсов-ского поля, чем та, что применяется в случае полей с нонечным пространством спинов;

2) для случая калибровочных гиббсовских полей изучена не только вся трансфер-матрица в полном физическом пространстве, но и ее калибровочно-инвариантная часть, что требует уже более изощренных приемов (гл. П);

3) изучена трансфер-матрица гиббсовских полей в низкотемпературной области (гл. Ш). Найдено инвариантное подпространство трансфер-матрицы, разбивающееся либо в счетное число инвариz антных подпространств со спектром порядка JI , либо содержащее конечное число таких подпространств, а в ортогональном дополнении к ним совпадающее с умножением на константу поряд-z ка £ . Здесь также для построения и исследования трансфер-матрицы сделаны существенные технические усовершенствования предыдущих методов. В четвертой главе рассматривается задача о так называемом "протекании" для случайного шля в конечном объеме. А именно, изучается "протекание", т.е. вероятность связного пути из дефектов случайной формы, центры которых образуют случайное гиббсов-ское поле. Эта задача рассмотрена как для дискретных, так и для непрерывных систем. Она решается с помощью кластерных разложений, и этим связана с предыдущими главами. Эта задача возникает в теории старения полимеров (см. [5 ] ) и интересна также с общей точки зрения, поскольку тесно связана с задачей о протекании случайного поля во всем пространстве (см. J^30,3l] ,[4б] и библиографию в [il], § 9.10).

Перейдем теперь к последовательному краткому описанию основных понятий и результатов диссертации.

0.1. Гиббсовское поле. Пусть Е0 - некоторое счетное множество с метрикой , на котором транзитивно действует группа преобразований V (например, группа ). Рассмотрим множество Е = Е0 * 2L* t ось назовем вертикалью. Введем пространство Л - , где X - измеримое пространство с вероятностной мерой , называемое пространством значений спина. Элементами пространства Л являются наборы функций х = [ Х-(^),

J . В Л естественно определяется б" -алгебра • как наименьшая б" -алгебра, относительно которой измеримы все отображения JL —х —, g Е Всякое распределение вероятностей /Ц на (Л-,21) назовем случайным полем на Е со значениями в X .

На е действует группа преобразований v х 2 * = vi/ , ш - (irji) € W и S ; S( г Д ) = ( г, - к) . Определим оператор сдвига в Л : x)(f) = и оператор "обращения времени"

Sx)(f)= x(sty)), feE .

Преобразования Т^ при 1лг = ( 0, h ) или or = (Яг, 0 ) обозначим соответственно через и Т^. •

Поле называется стационарным, если оно инвариантно относительно сдвигов Т^. , Тлге W , т.е. ^ {К) - [т^ А) , где А - измеримое множество в Л. . и

Пусть

Е+={ {(г, It)), И>0, Г.Е0],

Е- ={ l(r,l)}, 1<о, г* Е0}, { {(По)} , ^e£0}

А.

JI* = XE± , Л°= ХЕо

Поле называется марковским, если условные распределения вероятностей на Л и Л , порожденные распределением ^ при условии, что его значения на е0 фиксированы, независимы.

Поле ^а называется инвариантным относительно обращения времени, если оно инвариантно относительно оператора s , т.е. а Гл) = /с (SA), А с Л

Зададим на Л меру ^ = П^ ^ , где - экземпляр меры \)° . Пусть для каждого /\а £ задана функция Фд -= , ^ G A j на Л » измеримая относительно 6 -алгебры

21 д* Набор Ф = f фд J назовем потещиалом. Множество А такое, что Ф^Ф 0 , назовем носителем потенциала, а совокупность всех носителей обозначим через V . Предположим, что oCic^m Д^ Д€ W , равномерно ограничены (в метрике ? $ { (ri ■>

Стандартным образом по потенциалу {Фд } строится предельное гиббсовское поле (см., например, [l5 ] или^32]), т.е. распределение вероятностей в пространстве Л . В дальнейшем будут рассмотрены такие потенциалы, для которых:

I) гиббсовское поле единственно (главы 1-П); а Ф^д (rw3c) = Фл(х);

3) ФА(х)

4) для любого носителя потенциала А е Ц его проекция на ось состоит из одной точки или двух соседних точек.

Очевидно, что соответствующее этому потенциалу гиббсовское поле является стационарным, марковским и инвариантным относительно обращения времени. Ясно, что при этом операторы

Нт^х)

Ч)(х)= filoc) являются унитарными операторами в пространстве L^

0.2. Трансфер-матрица случайного поля. Пусть SL - случайное поле. Физическим гильбертовым пространством назовем X = L z ( X ^, 2И 0 ; /О , ,А ~ A/ZI 0 »

2Г 0 ~ 2-£ • Пусть Р^ - ортогональный проектор на X в Ll(JL72-,/0 * Введем операторы F? в Ж : дге = рж це 9 1>0 .

Из марковости и стационарности поля вытекает, что

Те

Оператор =. будем называть трансфер-матрицей. В силу инвариантности поля относительно "обращения времени" jF - самосопряженный оператор. Для матричных элементов У выполнено равенство: ^^^Jjf = < (иi где ^ • > - среднее по мере ju. , Х1» X .

Константа является собственным вектором трансфер-матрицы с собственным значением, равным единице. Легко видеть, что трансфер-матрица коммутирует с оператором пространственного сдвига

Uу- 7" - J

Трансфер-матрица совпадает со стохастическим оператором J~ таким , что

Tf)(-oс) =< Uif\ = 51>,иж, где ot0 - , 5сеЛ0 , > \ Л > - условное среднее при условии Jb .

0.3. Кластерная структура трансфер-матрицы. Обозначим через ортогональное дополнение в Ж. к константам. Предположим, что в пространстве существует орт©нормированный базис { Уj j , помеченный всеми финитными наборами функций I = { I( г) , г g Е 0 ^ Е0 j , определенными на некотором подмножестве Е0 ^ Е0 и принимающими значения в некотором счетном метрическом пространстве Q. с выделенным элементом 0 и метрикой (финитность функции I означает, что лишь конечное число значений I (г) , f* е Е 0 , отлично от 0 , <Wff [ = { Г : I ( г) * 0 ] . Предположим, что оператор сдвига Ц^ действует в базисе { Yj } по формуле r^j где Т^- преобразование в пространстве финитных функций, порожденное действием преобразования От в Е0,

Пусть с/ ^ , R ^ £ - мощность минимального связного набора { А^ ? г,., Ар } , К носителей потенциала ф , покрывающего множество R ! (У А; ^ Я .

Определение 0.1. Скажем, что трансфер-матрица J~ обладает кластерной структурой относительно базиса { H^j } » если ее матричные элементы

Qi.r = ( т = < Ь Y%r> имеют вид где суммирование по всем разбиениям пары множеств ( J f Wf^ J' )^

T(- cr iAA^p J? T; * <f>, Tt- f] Tj = (p при 1Ф j ; UT( = 1? Tc. Т/ Ф </> 7 TI f\ Tj' = ф при i fj? UT/= iMfp l'} a 2i= J/T; , l! -I'/T; •

Функция uj ( y,^') определена на всевозможных упорядоченных парах [у, у') и удовлетворяет условиям

I) т^') = "(7,У); 00 ( 7? 7 ') ~ °° (?><?) (это условие связано с самосопряженностью ) 3) кластерная оценка i - (7,701 <*?tut't'

З^есь

Т= b»ff }t Т' = tMff у, |?( = Л [?Сг)1,

S^f и эе2 - константы, называемые параметрами кластерности, D< , 0< ^ 1 .

Замечание 0.1. В случае, когда пространство X - конечно, а тем самым, как мы увидим, и пространство Q - конечно, параметр обычно полагается равным единице,

0.4. к - частичное инвариантное подпространство. Будем далее считать, что группа преобразований V изоморфна

-г О группе 2L • Инвариантное подпространство М называется к - частичным подпространством оператора А , действующего в Ж и коммутирующего с группой преобразований сдвига U^ , \ £ » если существует такое унитарное отображение о d где Т - у) - мерный тор, А - лебегова мера на

Т^) ^ , при котором операторы , t £ Z.^ , переходят в операторы Ц^ : и, 0(л) = f, д = (д„ а оператор Л - в оператор А : д/) (а) = й (а)

Здесь <Я(А)- некоторая гладкая функция; очевидно, что множество ее значений совпадает со спектром оператора А в Ц - частичном подпространстве. Поэтому иногда будем называть я (а) спектром оператора а в к - частичном подпространстве, или еще £ - частичной ветвью спектра.

Одночастичное подпространство описывает состояния "частиц" (или "элементарных возбуждений") физической системы, т.е. такие собственные состояния ее гамильтониана (или оператора б^р { ~ Н } )» которые однозначно характеризуются своим квазиимпульсом Де Т^ • При этом функция задает зависимость энергии возбуждения от квазиимпульса Д . Векторы Ц -частичного подпространства описывают систему из £ элементарных возбуждений.

0.5. Общий характер результатов трех первых глав диссертации, Мы рассматриваем здесь ряд моделей статистической физики с потенциалом, зависящим от одного или нескольких параметров (температура, внешнее магнитное поле, константа сильного взаимодействия и т.д.); обозначим этот параметр (или набор параметров) через S . Тогда для определенных областей изменения s (большие или, наоборот, малые температуры, большая константа связи, большое магнитное поле и т.п.):

1) Установлена кластерная структура трансфер-матрицы соответствующего гиббсовского поля относительно специально подобранного базиса { Vj } » причем ее параметры кластерности

- ( и - ЗСz( s) оказываются достаточно малыми (или, в случае конечного пространства X , малым оказывается параметр Xi , см. замечание 0.1).

2) С помощью оценок матричных элементов, вытекающих из оценок п.0.3 и, быть может, некоторых уточнений этих оценок для случая "наименьших" векторов базиса { fj J мы выделяем одно или несколько "старших" одночастичных инвариантных подпространств оператора У . "Старшими" они являются в том смысле, что спектр оператора Т в них больше спектра 7 в ортогональном дополнении. В § I.I дана общая схема исследования структуры и спектра трансфер-матриц.

Опишем модели, рассмотренные в I-Ш главах диссертации.

Модели с компактным спиновым пространством в высокотемпературной области.

0.6. В § 1.2 рассматриваются модели с бесконечным компактным спиновый пространством X на \) -мерной решетке EL . Гамильтониан модели в объеме Л , 1 Л [ ^ , равен при этом потенциал ф допускает представление

Ф fxt, хе) = ZH R. (xt) У£ (Xt,)f (0.2)

L € где суммирование происходит по некоторому конечному множеству индексов Ь t а { У7; (ос)} > - ортонормированная система

J L = о в L^ ( Х,/*0) , такая, что V= 1 , и

- „ m

YiWYjW^zmm . (о.з)

Величины j удовлетворяют оценке

U". < (0.4) где - некоторая константа.

Примеры. I. Модель ротаторов: - [ о^ 2 7с) , 0о -обычная мера Лебега на [ 0 р 2 п) .

Нд ~ { Zm Ол оол 9±< + ^ 0. 4 It-t'l-/ J

2. X = Г^, S ] f ^o" нормированная на единицу мера на

О, g ] , с непрерывной плотностью (весовой функцией) d^o/ol^f ti(x) >о относительно обычной меры Лебега /U0 на [а, &] . В качестве [ V^fe)} можно выбрать ортонормированную по этой мере систему полиномов.

Гамильтониан имеет вид (0.1 - 0.2). Разложение (0.3) и оценку (0.4) см. в[36^ , стр. 20.

Следующий пример хотя формально и не входит в класс моделей, описанных в п.0.6, но имеет структуру, разумно обобщающую (0.2 -0.4). Ыы и опишем его в следующем пункте.

0.7. if - модель с группой S О (У) или £> (Л (yV) . Пусть пространство X есть группа 5 = £0(Д/) (или SW.(A/) ). Известно, что в каждом пространстве R^, где действует какое-нибудь неприводимое унитарное представление ^ —Т^ группы SO (Л/; (или £ М (у\/) ), существует специальный базис, называемый базисом Гельфанда-Цетлина, в котором операторы Т^ записываются наиболее простым образом. Его элементы помечаются таблицами 0 - { j (полу) целых чисел (подробнее см. в [13J , гл. Ш, § 3). Совокупность матричных элементов | (X ^ qz ($) } неприводимых унитарных представлений образуют ортогональный базис в пространстве Lz { ^> » ?( ~ нормированная мера Хаа-ра на группе if . Базис [ (a^q (<j) J также обладает свойством, аналогичным (0.3):

- -р (hbfc) У

-Г ** где ' (ы, 0/0/) " некоторые коэффициенты, суммирование в (0.5) происходит по конечному множеству троек ( fa , зависящему от ( , ), ( 0/, 0/ ) подробнее см. в [1з] , гл. 1У, § I).

Для каждого неприводимого представления ot введем в множестве таблиц J $J , помечающих базис Гельфанда-Цетлина в метрику 0'):

ПО, 9') =2Z I "Чр-m^ I (0-6) и определим с ее помощью метрику ? ■[ ( 0f, 02), ( 0/, б/ )J в множестве пар таких таблиц ;

В § 1.2 рассматривается модель с гамильтонианом вида (0,1), потенциал которой имеет вид oL Ы\ ot. где & - конечное множество индексов 7С = 0f, е

При этом, если представление ск^Ь не эквивалентно контрагре-диентному к нему, то в % входят только либо матричные элементы представления cL , либо контрагредиентного к нему. Для моделей из пунктов 0.6 и 0.7 верна теорема Теорема I. При достаточно малых jl трансфер-матрица

1) обладает кластерной структурой (относительно спещально выбранного базиса Yi ) с параметрами кластерности Ср*1 , = С р*1} где оЦ - -f (1-i) , oLz = г/Ю ко* (i } 9 z ' ie % а С = C(o) - константа, £ - сколь угодно малое фиксированное положительное число;

2) существует |J | одночастичных подпространств оператора s-* и спектры й; (Л) в них имеют вид

MA) = + Hi (X) , l'= М I, (0.9) причем | ^(A)l^ , Ki

В ортогональном дополнении Ж ©.,. ® g [ J норма

У допускает оценку

II < ср^ , (0.10)

Замечание 0.2. Старшие одночастичные ветви спектра трансфер-матрицы моделей § 1.2 были исследованы в [1б] , однако кластерная структура трансфер-матрицы, доказанная в диссертации, позволяет получить и следующие одно-, двух- и т.д. - частичные ветви спектра, имеющие более высокий порядок малости по yS •

0.8. Модель Изинга с большим внешним полем. В § 1.3 рассматривается модель Изинга на ^ -мерной решетке Е. » » гамильтониан которой в объеме Д 2. »

Д|< , имеет вид

H^-lp'ZL'ifi'+t'ZLb], (0Д1) t,i'eA, I i-t'l =1, 6f, e EZ = {±1} = X.

Гамильтониан (O.II) перепишем в виде

Нд - " ti-t^^r i Ц t± + (0eI2,) где Xt = (/" G-t)/Z , R^zR'+Mfi'.

Рассмотрим большие значения ^ > = {(!>) • в этом случае доказана следующая теорема.

Теорема 2. Трансфер-матрица модели Изинга (с гамильтонианом

0.12) при больших fli > обладает кластерной структурой с параметрами кластерности зе* = [с е~* , 3е2 = / , где С - абсолютная константа, не зависящая от , и у нее существует одночастичное инвариантное подпространство со спектром Я ft), имеющим вид а (А) = е'+ g(x), co.is) причем I $ (\) I < eSi * , .

В ортогональном дополнении 7С в Ж^ норма 5" допускает оценку imi^ ем , <$•*>/. (0.14)

Калибровочно-инвариантные модели (Глава П).

Мы изучаем класс моделей, инвариантных относительно калибровочных преобразований. При этом пространство калибровочно-ин-вариантных функционалов от поля оказывается инвариантным подпространством трансфер-матрицы. Во всех моделях второй главы мы изучаем главным образом спектр калибровочно-инвариантной части трансфер-матрицы, интерес к ней оправдан общим физическим принципом калибровочной инвариантности (см. [43 ).

0.9. Калибровочно-инвариантная модель Изинга. В § 2.1 рассматривается трехмерная калибровочно-инвариантная модель Изинга (см. [54 ). Конфигурации поля задаются функциями и j(ejy, , принимающими значения из Z ^ ~ ft-/. - У j и определенными соответственно на точках з з и ребрах ^ Z • Гамильтониан модели равен

Яр)} А где А - конечный объем, js^ , ftp - параметры взаимодействия, означает суммирование по множеству плиток (элементар л ных двумерных граней решетки), a j (р)- произведение j (fr, ft') вдоль граничных ребер плитки Р . Система инвариантна относительно локальных калибровэчных преобразований

Щ) jCbil — rWjCbt'Mt') (0-I6) где £ € Zz ; fy е Z 2 } ~ Финитная Функция на

Z3 • 3

Объявим вертикальное направление на решетке zz осью в и выберем так называемую "радиальную калибровку" (см. [56 ] ), т.е. положим поле jff,^) на всех вертикальных ребрах равным единице. Тогда, если положить E0~Z U& » гДе ^ - множество ребер 0 -мерной решетки, и задать гиббсовское случайное поле yU на Е = Е0 х (со значениями в ) с помощью гамильтониана (0.15), то оно будет стационарным, марковским и инвариантным относительно "обращения времени".

Пусть далее у - калибровочное преобразование вида (0.16), сохраняющее радиационную калибровку (т.е. постоянно вдоль любой вертикали в ), и U^- соответствующее ему преобразование в пространстве L 2 (и у ^ )(х) = , х

• Очевидно, что U^ унитарно, переводит физическое пространство ^ Lt в себя и коммутирует с трансфер-матрицей У калибровочного поля : и^^Кл* (0.1?)

Пусть Ж Ж подпространство всех калибровочно-инвариант-ных функционалов из К. , т.е. таких, что = ^ для всех % . Из (0.I5-0.I7) получим, что Жинвариантно относительно З7 , и мы можем рассматривать часть трансфер-матрицы действующую в УСи\т.е. калибровочно-инвариангную часть трансфер-матрицы) .

Положим в формуле (0.15) уб^ = у£ , fip = Q fl , (X Ф 0. Тогда верна

Теорема 3. При фиксированном (Х=Р0 и достаточно малых p калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы гамильтонианом (0.15) обладает кластерной структурой с параметрами

Х1 = Cfi, = ^ и у нее существует два одночастичных подпространства Ц1 , со спектрами сч(Х)= ap.+ii(\)1

I д / ч \ I Л t- (0.18)

В ортогональном дополнении ж 0 © Г к 1 © Жх] ц гц < c/j*' , 5л >3 .

Теорема 4. При любом фиксированном flp и достаточно больших (ftp) калибРовочно-инваРиантная часть трансфер-матрицы U40 модели с гамильтонианом (0.15) обладает кластерной структурой с параметрами

961 = е2^6 , 9ez = 19 и у нее существует два старших одночастичных подпространства Ж1 » Ж2. 00 спектрами а; а) = (e^Pr-i) ё2/?е + |«£(а)|< с ez*fie, s>i, i-i,z.

В ортогональном дополнении "Ж * ^ © [ с^ ^ © ] цдг«>|| < с е,

0.19)

0.20)

0.10. Калибровочные поля Янга-Миллса (на решетке). В § 2.2 исследуются трансфер-матрицы и их калибровочно-инвари-антные части решетчатых калибровочных полей Янга-Миллса как в общем случае неабелевой группы калибровки, так и специально в случае абелевой группы калибровки (в последнем случае удается получить более сильные утверждения). Конфигурации поля в модели

-7° задаются функциями на ориентированных ребрах решетки • а = { 9ы (bt')e**,n.t'=fn] «о-2»

Гамильтониан модели в объеме А у | Д \ < , равен

Р <=:Д О где Р = [ , , , ^ j ~ и™™3 (двумерная грань 2. ), заданная вместе с некоторым обходом ее границы, HiU НЛь Нч%1 '

Потенциал равен t - конечный набор неприводимых унитарных представлений группы if , - характер соответствующего представления,

Ф 0 . Легко видеть, что при таком выборе потенциала он не зависит от обхода Р .

Очевидно, что гамильтониан и, следовательно, гиббсовское поле, инвариантны отновительно локальных калибровочных преобразований

Г 2 : X}, (0.24) где ft = { 7 fy £ Z^} ~ некоторая финитная функция со значениями в 5 , т.е. лишь на конечном множестве точек

Определим, как и выше, вертикальное направление 2 осью в^ и произведем радиальную калибровку (т.е. положим ^ 6 ). Тогда гиббсовское поле на множестве = -e^-'xjz^ со значениями в ^ будет стационарным, марковским и инвариантным относительно "обращения времени". При этом трансфер-матрица коммутирует с операторами Ы ^, порожденными в физическом пространстве Jf калибровочными преобразованиями ft ( ft выберем сохраняющим радиационную калибровку), и тем самым пространство Ж калибровочно-инвари-антных функций инвариантно относительно У ; часть , действующую в назовем калибровочно-инвариантной частью трансфер-матрицы и обозначим по-прежнему через

Обозначим через число различных плиток в 2L » не

7 О переходящих друг в друга сдвигом на вектор fy- £ , В § 2.2 доказана следующая теорема.

Теорема 5. При достаточно малых 0 < р0 калибровочно-инвариантная часть трансфер-матрицы Ти) моделей с гамильтонианом (0.22-0.23):

1. В случае абелевых групп калибровок обладает кластерной структурой: а) для группы калибровки Z.L элементы базиса индексируются наборами ребер из ^ 1 , в которых к каждой точке подходит четное число ребер, и параметры клас-терности равны ЭС^ = Cjl t / ; б) для группы калибровки U(i) функции I -= { I( r)^ г е 1 * [ о j J , индексирующие базис в определены на совокупности ориентированных ребер решетки ^ , такие, что для любой точки t & / выполнено равенство

2И r(t,t+et.) + i- ei) = D (0.25) и параметры кластерности равны eL1 = 1-i , = , d2 = g//0 m*x f|£ll ie z

2. В случае абелевых групп калибровки » М(/) и неабелевых , S>IA(N) существует одночастичных инвариантных подпространств * - - • » и ^ f | £ | калибро-вочно-инвариантной части , спектр в которых имеет вид

0.26)

В ортогональном дополнении X L G> [ ©. . . © ^п^ \ J ггШ норма jr допускает оценку

11 ?ШН < с/1 > 8, (0.27)

Замечания 0.3. В работе Ф.Г.Абдулла-Заде [i] были исследованы старшие одночастичные подпространства калибровочно-инвари-антной части трансфер-матрицы jF( для полей Янга-Миллса с гамильтонианом (0.22-0,23), группой калибровки \Л{1) при малых

1 , Ф(дР) = SU Х(2р), Х(е<>) = е1> .

Отметим попутно, что в ее работе имеется техническая ошибка в оценке семиинвариантов ( [l] , теорема 2, пункт 26), которая в работе Р.А.Минлоса и автора [29 ] исправлена.

В статье Шора [57] изучается спектр калибровочно-инвариант-ной части трансфер-матрицы для 3-мерной решетчатой модели Янга-Миллса с компактной группой калибровки £/ и гамильтонианом (0.22-0.23) в случае, когда = t(§p) » гДе X - вещественный характер неприводимого унитарного представления группы Ли ^ . Заметим, что результаты диссертации получены независимо от работы [57] и основаны на совершенно других методах исследования.

0.11. Гиббсовские поля при низких температурах. Существует ряд эвристических соображений о том, что в двумерных моделях в области малых температур и при наличии нескольких фаз спектр предельной трансфер-матрицы (построенной по какой-либо из фаз) не содержит одночастичной ветви и начинается сразу с двучастичной (или 3-х, 4-х и т.д. - частичной ветви).

В третьей главе исследуется гиббсовское поле для модели со значениями спина 6^ = -/ в точках решетки 2. » плюсовыми граничными условиями и гамильтонианом в объеме Д , 1 /\\ ^ 00

Н, = fZL Фл + Г 21 , (0.28)

Л ' А с- Д А te д }tJ ' где = 6"t • ФА= ^ ; если А = { Ь1, tz } , I ii - t2 | = / ; = 00 » еоли

A - j iz у , iif и эти точки являются вершинами одной плитки, причем в трех из этих точек поле б= - / , а в одной из них Gj. — + i ; Фд = 0 в остальных случаях.

Для этого поля при достаточно больших £ и специальных значениях Ц *= й детально изучена структура трансферматрицы и установлено, что старшие ветви ее спектра "близки" к двучастичной ветви спектра.

Заметим, что при минусовых граничных условиях является допустимой только конфигурация из всех минусов.

Поле /м. можно редуцировать к следующей контурной модели.

0.12. Модель прямоугольников. Пусть 01е* - совокупность конфигураций всех прямоугольных внешних контуров, составленных л Z Z из ребер двойственной решетки 2- ~ Z- + (f) и являющихся внешними по отношению друг к другу (т.е. прямоугольники не лежат один внутри другого и не имеют общих ребер). Очевидно, что граница конфигурации спинов в модели с гамильтонианом (0.28) (т.е. л z множество ребер из , разделяющих разноименные спины) состоит из конфигурации прямоугольных контуров из 01е*. При этом вероятность каждой конфигурации спинов Х = равна п eifi*\ri\-ztrv(rt)

Р{ xj =-, (о-29' где •[ Г{ j - набор внешних контуров, составляющих границу конфигурации X , произведение берется по всем Г/ , | Г[ ( - число ребер в Гг , a V(Tj) - число плиток, охватываемых контуром Г , - нормирующий множитель,

V - ^- П

- I I е (о.зо)

A eierif* Гбос л

Можно показать, что распределение (0.29) в пределе Л t£ ел сходится к мере -А на пространстве конечных или счетных конА 2фигураций прямоугольных внешних контуров на . Это распределение транслядионно-инвариантно и является марковским в следующем смысле; условные распределения на совокупностях всех конфигураций контуров (или полуконтуров) ниже и выше нулевой горизонтальу 2. ной прямой решетки jL при условии, что фиксирована конфигурация отрезков Д , высекаемых контурами конфигурации с^ в 01 ^ на этой прямой, независимы.

Таким образом, если ввести гильбертово пространство (Oi^^yi) , всех функционалов от конфигураций контуров сК , квадратично суммируемых по мере м , то можно обычным образом определить трансфер-матрицу J- поля "контуров", действующую в пространстве Ж ^^((Л^ук) функвдоналов, зависящих от конфигурации отрезков, высекаемых на нулевой прямой 2LZ. Поскольку конфигурации отрезков находятся во взаимно-однозначном соответствии с конфигурациями спинов на нулевом слое, эта транссг х „ гг фер-матрица J- совпадает с трансфер-матрицеи J- исходного поля.

Основной результат третьей главы заключен в следующей теореме

Теорема 6. При достаточно малых £ и специальном выборе

Г= Г(/5*)

1) трансфер-матрица обладает кластерной структурой с несколько измененной оценками по сравнению с общим определением 0.1;

2) существует инвариантное подпространство Ж трансфер-матрицы 5" . Ограничение З7 на Ж ^ унитарно эквивалентно оператору А : А +

-т-г i«2\ действующему в подпространстве К и ^ [Т 9 d Л ) , таком, что для любого А в R Т (А,, 4/\1 = о , I е жи\

Здесь константа,

При этом норма интегрального оператора в (0.31) не превосходит р .

В ортогональном дополнении Jt+ к норма трансфер-матрицы У удовлетворяет оценке:

1|ЭП|</23 (0.32)

Замечание 0.4. Если ядро интегрального оператора в (0.31) невырождено, то "Ж ^ разбивается в счетную сумму одночастичных

Л 2. подпространств порядка Р> ; если вырождено, то существует лишь пЪ U) конечное число одночастичных подпространств в Д , а в ортогональном дополнении к их сумме - оператор умножения на

Рассмотренная модель является упрощенной по сравнению с моделью Изинга. Если рассмотреть модель с большим разнообразием контуров, то подпространство, построенное нами, будет настоящим двучастичньш подпространством (а в нашем случае главный член вырождается в константу).

0.13. Задачи о протекании. В четвертой главе рассматривается задача о протекании случайного поля в конечной полосе, которая решается с помощью кластерных разложений, и этим тесно связана с предыдущими главами.

Пусть Л$ £ - цилиндр,

Ц - фиксированное число, S ~ конечное множество точек решетки

В А^ ^ определим случайное поле со значениями в X = j + -у J и вероятностной мерой ^и , Множество точек Г а Дс р назовем I - связным, если для любых £' , t"<£ Г * In существует последовательность точек 1I , таких, что

Назовем дефектным контуром I-связное множество Г такое, что = для t & Г vi Хь-1 для всех i 6 "Ъ Г ( ^с/ Г = { As Д : г И существует t^ € Г, удовлетворяющее неравенству ъ< i г= эг).

Скажем, что дефектный контур является контуром протекания конфигурации, если в нем есть точка = /?) верхнего основания и tL- нижнего основания цилиндра Л5 ^ . Обозна чим через Н ( вероятность непротекания в ^ (т.е. вероятность того, что в конфигурации случайного поля нет контуров протекания), и назовем ее надежностью объема А^

В § 4.1 сначала рассматривается независимое поле, для которого распределение является произведением независимых мер \)° в точках t € А £ д ,

0°({xi = -i}) = Р> .

В этом случае доказана следующая теорема

Теорема 7. При достаточно малых р < р0 , фиксированном $ и любом S верно равенство

Н ( SЛ />) = е*^ I SI в * (up ПР, S, 0)}, (0 33,

IV(M,A)|< кг', где р - р/^. , 1 - р ? ^(р, ^ й) - аналитическая функция в круге радиуса р0- р0 /, К j - константа, зависящая лишь от размерности 'О

Для случайного гиббсовского поля, определяемого в Л^ ^ О - мерной моделью Изинга с гамильтонианом (0.11) в низкотемпературной области (большие f>' ), V-0 и плюсовыми граничными условиями доказана теорема.

Теорема 8. При достаточно больших >

Н(М,/0= «fl-i*\(0 34) где jg*=: ^{S; " аналитическая функция переменной р>* при , Qj)- константа, зависящая лишь от размерности О

В формулах (0.33-0.34) легко вычислить следующие коэффициенты при р 7р и т.д., но они уже будут зависеть, вообще говоря, от вида основания £ . Пусть например, Тогда

- [VU-/MM- (0.35) в случае независимого поля, п L в случае модели Изинга.

Рассмотрим теперь ^ = 3 (для простоты) и последовательность объемов f\y\~Ln * такую, что при ft —*»о Дп заполняет бесконечную полоску 2 * ^ • Определим в каждом объеме случайные поля: независимые с параметром р^ и гиббсов-ские (Изинговские) с параметром j*>f , и через Z ^ обозначим число контуров протекания в конфигурации X . Предположим теперь, что предельный переход такой, что А и J Л > \ (в случае независимого

Л поля) и

Пп р п -* Л (в случае гиббсовского поля)

Тогда верна следующая теорема

Теорема 9. Распределение вероятностей Ph ( к - ^ )

PhUh=0 -*" (0.38) сходится к цуасооновскому распределению:

-А

77

Доказана также

Теорема 10. Пусть А - произвольное положительное число. Тогда для моделей этого пункта существует при фиксированном -К- \ р < р0 (соответственно £ ^ Д ) последовательность объемов

A = S * Pi К \ -со к -со такая, что *

В § 4.2 рассматривается задача протекания для непрерывных точечных гиббсовских полей.

Обозначим через СК совокупность конечных подмножеств В о точек С = {xi ]Г=1 ^ е /\<с Л , i = ^^о области Л . В пространстве Сд естественно вводится топология, борелевская б" - алгебра и стандартная мера ytA^ (пуассоновская мера в конечном объеме), определяемая параметром Z . Пусть

- гиббсовская мера в С^ , определяемая плотностью d/*A/d/A0A - ^f {"У® И (с)} (0.39) где И (с) ^ ~ W(*,*),

21л = \ ^ (o.40) С л с

Рассмотрим далее в качестве пространства ох марок в точке

X пространство "дефектов" с центром в точке X , т.е. некоторое конечно-параметрическое семейство S0 ограниченных областей е &(#)} » где параметр у пробегает некоторую область , и "хорошо" (непрерывно, гладко) зависит от у- (мы уточним смысл этого ниже). Пусть теперь s* = {+ .

Мы предположим, что на S0 , или, что одно и то же, на множестве параметров задано распределение вероятностей сО .

Определим теперь маркированное точечное поле, т.е. вероятностную меру на совокупности маркированных подмножеств [с J = С^ , где д = •[ 0Х (у), X б С ? у - функция на С , отображающая каждую точку х € с на соответствующую область 0 & £эс . Распределение вероятностей на множестве {с J такое, что порождаемое им распределение на точечных конфигурациях С совпадает с гиббсовским распределением (0.39), а условные распределения для значений 9Х[%) , при условии, что С фиксировано, независимы и каждое имеет распределение tO ,

Примеры. I. 0(у) - шар радиуса ^ с центром в нуле, £ ^ Л/2 : а) С Z/я ,если ^ ^ 2>/z

М}) = d} <

L 0 ,если у >*^>/2 б) = 8 (у - , cf^ - обычная мера Лебега.

Ч .А. А.

Будем говорить, что подмножество | с: С конфигурации С ,

§ = С (0.41) является контуром, если набор дефектов { J из £ с центрами в точках xt* из cj является связным. Протекание означает, что в конфигурации С нашелся контур, соединяющий верхнее и нижнее основания цилиндра. Такие контуры назовем контурами протекания. Множество контуров протекания в Сд обозначим через £ , а число контуров протекания в конфигурации С через £ (£). В § 4.2 для достаточно малых 2 = £(/$) исследуется вероятность Н0 Стого, что конфигурация не допускает протекания (кратко - вероятность непротекания), а также асимптотика вероятностей

He(SjjZ,fi)=bit г :*(£) = £} С0.42) при некоторых соотношениях между S и 2 .

Доказаны теоремы, аналогичные теоремам из § 4.1. Случай, когда Н(с)вО и дефекты представляют собой шары фиксированного радиуса, подробно рассмотрен в работе Р.А.Минлоса и автора [28].

Теорема 5 главы П для абелевых групп калибровки получена совместно с Р.А.Минлосом, автору принадлежит конструкщя базиса. Теорема 6 третьей главы получена совместно с В.А.Малышевым и Р.А.Минлосом, автором сделаны оценки семиинвариантов.

Все остальные результаты получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации опубликованы в [20, 29, 37-40J.

Автор глубоко благодарен Р.А.Минлосу за полезные обсуждения и внимание к работе.

1. Абдулла-Заде Ф.Г. Инвариантные подпространства трансфер-матрицы калибровочного поля с группой В кн.: Взаимодействующие марковские процессы и их применение в биологии, Пущино, 1979, с. 64-73.

2. Абдулла-Заде Ф.Г., Минлос Р.А., Погосян С.К. Кластерные оценки для гиббсовских случайных полей и некоторые их применения. В кн.: Многокомпонентные случайные системы. М.: Наука, 1978, с. 5-30.

3. Боголюбов Н.Н., Хацзт В.И. 0 некоторых математических вопросах теории статистического равновесия. Докл. АН СССР, 1949, 66, $ 3, с. 321-324.

4. Брагинский Р.П., Гнеденко Б.В., Молчанов С.А., Пешков И.Б., Рыбников К.А. Математические подели старения полимерных изоляционных материалов. Докл. АН СССР, 1983, т. 286, №2,с. 281-284.

5. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля. Общий случай. -Функц. анализ и его приложения, 1969, т. 3, II I, с. 27-35.

6. Дюно М., Суйар Б. Кластерные свойства решетчатых и непрерывных систем. В кн.: Гиббсовские состояния в статистической физике. М.: Мир, 1978, с. 89-106.

7. Дюно М., Суйар Б., Яголницер Д. Убывание корреляций в системах с бесконечным радиусом взаимодействия. В кн.: Гиббсов-ские состояния в статистической физике. М.: Мир, 1978,с. 107-121.

8. Жолондек X. Гиббсовские поля в невырожденном случае и спектр их стохастических операторов. Диссерт. канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ, 1983.

9. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982.

10. Кашапов И.А. Спектр трансфер-матрицы фермионных полей. Усп. математич. наук, 1982, т. 37, J& 2, с, 197-198.

11. Климык А.У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша-Горда-на представлений групп. Киев: Наукова думка, 1979.

12. Лакаев С.Н., Минлос Р.А. О связанных состояниях кластерного оператора. Теоретич. и математич. физика, 1979, т. 39, й I, с. 83-93.

13. Малышев В.А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля. Усп. математ. наук, 1980, т. 35(2), с. 3-53.

14. Малышев В.А. Одночастичные состояния и теория рассеяния марковских процессов. В кн.: Взаимодействующие марковские процессы в биологии. Пущино, 1977, с. 176-196.

15. Малышев В.А. Семиинварианты нелокальных гиббсовских случайных полей. Математ. Заметки, 1983, т. 34, № 3, с. 443-451.

16. Малышев В.А., Минлос,Р.А. Кластерные операторы. Тр.семин. им. И.Г.Петровского, 1983, вып. 9, с. 63-80.

17. Малышев В.А., Минлос F.A. ГиббсоБские случайные поля. М.: Наука, 1985.

18. Малышев В.А., Минлос Р.А., Храпов П.В. Отсутствие одночас-тичных подпространств в спектре трансфер-матрицы некоторыхконтурных моделей. В кн.: Тезисы докладов УТ Международного симпозиума по теории информации, Москва-Ташкент, 1984, т. 3, с. 128-130.

19. Манатов Ш.С., Минлос Р.А. Спектр трехчастичного кластерного рператора. Теорет. и матем. физика, 1984, т. 58, Jfc 3»с.323-328.

20. Минлос Р.А. Лекции по статистической физике. Успехи мате-мат. наук, 1968 г., 23, с. 139.

21. Минлос Р.А., Могильнер А.И. Спектр многочастичных систем. -Из кн.: Тезисы докладов У1 Международного симпозиума по теории информации, Москва-Ташкент, 1984, т. 3, с. 144-146.

22. Минлос Р.А., Погосян С.К. Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных. Теорет. и математ. физика, 1977, т. 31, 1р- 2, с. 199-213.

23. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. -Теорет. и математ. физика, 1970, т. 2, $2, с. 230-243.

24. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Явление "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. I. . Матем. сб., 1967, 18.

25. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Явление "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. П. -Труды Московского математического общества, 1968, т. 19,с. II3-I78.

26. Минлос Р.А., Храпов П.В. О протекании в конечной полосе для непрерывных систем. Вестник МГУ, 1985, № I, с. 56-60.

27. Минлос Р.А., Храпов П.В. Кластерные свойства и связанные состояния трансфер-матрицы модели Янга-Миллса с компактной группой калибровки. I. Теорет. и математ. физика, 1984, т. 61, & 3, с. 460-465.

28. Молчанов С.А., Степанов А.К. Просачивание случайных полей. I. Теоретич. и математ. физика, IS83, т. 55, № 2,с. 246-256.

29. Молчанов С.А., Степанов А.К. Просачивание случайных полей. П. Теоретич. и математ. физики, 1983, т. 55, № 2., с. 419430.

30. Престон К. Гиббсовские состояния на счетных множествах. -Ы.: Мир, 1977.

31. Рнордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. ИЛ, 1963.

32. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. -Ы.: Мир, 1971, 367 с.

33. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты.-М.: Наука, 1980.

34. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

35. Храпов П.В. Кластерное разложение и спектр трансфер-матрицы 2-мерной модели Изинга с большим внешним полем. Теоретич. и математ. физика, 1984, т. 60, $ I, с. 154-155.

36. Храпов П.В. Кластерные свойства и связанные состояния трансфер-матриц решетчатых моделей статистической физики и квантовой теории поля. В кн.: Тезисы докладов У1 МеждунаIродного симпозиума по теории информации, 1984, ч. Ш, с. 222-224.

37. Храпов П.В. О протекании в конечной полосе для дискретных и непрерывных систем. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 13.07.84, № 5061-84 Деп.

38. Храпов П.В. Кластерные свойства и связанные состояния трансфер-матриц решетчатых полей Янга-Миллса. П. Рукопись деп. в ВИНИТИ 13.07.84, & 5060-84 Деп.

39. Цареградский И.П. Просачивание через конечный слой. -Теоретич. и математ. физика, 1983, т. 57, ik I, с.Ю5-П4.

40. K(M&Cup<yv- I. A . oyyui ЖсЛцА&Ллг V. A. Cxymf^te. CtfAbfan ctsnA S^p^cA/ucni, о4 thJLW. H*XA. W., 1 9 23/tfV, 1S1-111.51. \Cl><y/A S^/nX^OUO. Л). K. , A ^Jto tow bYWU}^ c^umstiAaasyv^Схйлчкт^м^^л^г^^ МилЛшх. & ? i 9?114 у ъ.193-Z3S,

41. ЖлЛуА&ллг V. A. (W УШ/пЛоЛ Я. f\. ЛьягаПлуСипАМ^Лл^хлл^ O4 сЯлл^АлПллиь- оряЛлА-оЪ^ . I . ~~ у ' ^taA,МидШ*, 1943,11, Mo. 3? p. ZSi-ZkZ.

42. J\LeJ^J(xAAr V. A . CoW АШ/УХЛОЪ R . A . Jl^nnra/li^>tAHxdA, ЩьА^, 19 11 , $Z, p.ZH -ZZ€ .

43. MoJ\Tbu Ц. я/кЛ MirveceXt We S. OK t&e. SA^xti^A^Utyt o4 ttu, rQ^riArvfiLcsvvt JhwtA, МжсШ. . — (Wm-. ИмАА. BbyA., 191-9,6*, p. ZZ1-Z40 .

44. ОиЛ^^е/i L. CtuaA>OJ. ^Л^ЪЛЛЛААусА . 1 . A two— и. 5Г, р. 11?~ 14 9.

45. Ол^хклАг-аЯсип- К. оук-А Ълл&л. Е. Сх>€ил.^е EUeAA.СУП а. lSCLaaASCJL . — a/fc/кл^1Ю, ЧЧ0-ЧЧ1. '57. Sb^cJbyi R^isca/boLci/V\ Ssbbyruj^M, Co^fltA 1х^ОААЛ<£. Ор^СШу^Л. —Omwг. ЛСлМ. 9Z, 3€3 29Г.

46. S^p^^tn. T.} ЕЛЛАМА F. sA^aAt^ OykA -i^u^nA зАлАлл, iyyx A P ¥) 2, ' — C<yYn>rnwyy- .nuvMl. v. к 9, p.i-ie.