Эффекты конечных размеров в моделях статистической механики с дальнодействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-90-290

БРАНКОВ Йордан Георгиев

УДК 531.19

ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ В МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ С ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕМ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1990

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник

доктор физико-математических наук профессор

Р.З.БАРИЕВ

Р.А.МИНЛОС

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник'

А.С.ШУМОВСКИЙ

Ведущая организация -

Институт проблем передачи информации АН СССР, Москва

Автореферат разослан "_"_1990 г.

Защита диссертации состоится "_"_1990 г. на заседании Специализированного совета Д 047.01.01 Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна, Моско! ской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Ученый секретарь Совета кандидат физико-математических наук

В.И.ЖУРАВЛЕВ

1,,, ; , ,, ,: ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'"-'-АктуаЬ ьност ь теш

Реальные физические системы имеют конечные размеры и содержат конечное число частиц. Поэтому статистико-механическим функциям, которые их описывают, присущи некоторые конечноразмерные эффекты. При определенных условиях - обычно в непосредственной окрестности точки фазового перехода - эти эффекты могут существенным образом сказаться на поведении макроскопической системы. Адекватное описание эффектов конечного размера выходит за рамки традиционной статистической термодинамики.

Основная идея эвристической теории конечноразмерного подобия была высказана М.Е.Фишером в 1970 году. Согласно гипотезе М.Е.Фишера, эффекты конечных размеров для системы в сосуде в форме куба с ребром 1_ 1 /в единицах некоторого характерного микроскопического масштаба/ определяются отношением корреляционной длины соответствующей бесконечной системы к линейному размеру . Если при стремлении температуры т к критическому значению тс корреляционная длина имеет характерную расходимость вида ^(Ь) ~ , где = (Т-Тс)/Тс и у > 0 критический показатель, то эффекты конечного размера становятся существенными, когда ~ Ь » т.е. при |1:| ~ |_Г1/У • Таким образом теоретическое описание законов ко-яечноразмерного подобия включает в себя изменение термодинамических параметров ансамбля Гиббса в окрестности точки фазового перехода эдновременно с изменением конечных размеров статистико-механичесной зистемы при сохранении формы сосуда и граничных условий.

Модельные системы с дальнодействием представляют особый интерес для теории, так как в этом случае возникают проблемы, связанные з определением корреляционной длины для бесконечной системы. Это понятие, как мы видели, играет фундаментальную роль в теории конечно-размерного подобия. Рассмотрение эффектов конечного размера в системах с дальнодействием вызывает интерес и с точки зрения их теоретического обоснования методом ренормализационной группы. Известно, что предсказания этого метода основаны на определенных предположениях об аналитическом поведении функций подобия в окрестности неподвижной точки. С другой стороны, известны точно решаемые модели, которые показывают, что в системах с дальнодействием это поведение может модифицироваться .

Б диссертации исследуются три основные типа модельных систем с дальнодействием:

1. Модельные системы со взаимодействием эквивалентных соседей, допускающие точное в термодинамическом пределе решение.

2. Средняя сферическая модель с двучастичным потенциалом взаимодействия Зст(*~) ферромагнитного типа, убывающим на больших расстояниях Y* как г-*" , где (L - размерность пространства, сг >о параметр. Форма образца в общем случае имеет вид цилиндра с гиперкубическим сечением > бесконечного в ¿!> О измерениях. Вдоль d-d измерений, по которым система конечна, накладываются периодические граничные условия.

3. Модельные системы со взаимодействием исключенного объема, порождающим дальнодействующие корреляции между частицами.

Особенность первого типа моделей заключается в отсутствии естественной пространственной структуры: системе можно приписать произвольную пространственную размерность d > а следовательно, и ' произвольный линейный размер l, при заданном числе частиц N ~ l Это обстоятельство приводит к определенным затруднениям при обоснова нии законов конечноразмерного подобия для такого типа систем методом ренормализационной группы.

В качестве основной модели с дальнодействием рассмотрена средняя сферическая модель, которая допускает точное решение при любой пространственной размерности. Если параметр сг спадания парного потенциала взаимодействия на больших расстояниях принимает значения О < сг < 2 , то двучастичная корреляционная функция в системе убывает с расстоянием не по экспоненциальному, а по степенному закону. Этот случай дальнодействия выдвигает на передний план проблему определения эффективной корреляционной длины, по отношению к которой можно сформулировать законы конечноразмерного подобия. Следует отметить , что при d —0 предел сг 0+ в этой модели приводит к взг имодействгоо эквивалентных соседей, а сг2." соответствует взаимодействию ближайших соседей.

Наконец, основным представителем третьего типа моделей является модель димеров, плотно покрывающих узлы плоской квадратной решетки. Условия плотной упаковки и исключенного объема приводят к появлению димер-димерных корреляций, убывающих с расстоянием по степенному закону.

Целью работы является изучение эффектов конечного размера на термодинамические и корреляционные функции статистико-механических систем с дальнодействием, развитие строгих методов построения теории конечноразмерного подобия для таких систем.

Научная новизна и практическая ценность работы

Предложены новые методы для строгого исследования эффектов конечного размера в моделях статистической механики с дальнодействием.

Сформулированы новые гипотезы о виде законов конечноразмерного подобия в п-векторных моделях /при п »1 / в среднеполевом критическом режиме и в режиме фазового перехода первого рода.

Впервые предложена стохастическая динамика для системы из плотно упакованных димеров на квадратной решетке и доказана ее эргодичность.

Методом Монте-Карло исследован необычный фазовый переход в модели взаимодействующих димеров на квадратной решетке, когда корреляции в неупорядоченной фазе убывают степенным образом, а не спадают экспоненциально, как это имеет место в известных моделях с близко-действием.

Впервые получен точный результат для избыточной поверхностной свободной энергии в двумерной модели биомембраны.

Практическая ценность результатов диссертации определяется, в основном, тем, что:

1. Необходимо количественное описание сглаживания и смещения сингулярностей в термодинамических функциях, которые доступны для экспериментального наблюдения при некоторых специальных геометриях образца: в гонких адсорбционных слоях, в системах из малых ферромагнитных частиц в диамагнитной матрице, в случае гелия в порах и др.

2. Теория конечноразмерных эффектов приложима для описания квантовых систем с критическим поведением при нулевой абсолютной температуре: в этом случае роль конечного размера играет обратная температура.

3. Теорию конечноразмерного подобия можно использовать в качестве надежного инструмента для определения критического поведения, путем экстраполяции свойств соответствующих конечных систем на термодинамический предел. Это в равной мере относится к результатам исследования конечных систем как методами Монте-Карло и молекулярной динамики, так и с помощью трансфер-матрицы.

Для защиты выдвигаются следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1. Предложен новый метод изучения структуры предельных гиббсоз ских случайных полей, основанный на исследовании корреляционных или характеристических функций при выключении внешних полей, нарушающих симметрию гамильтониана, одновременно с переходом к термодинамическому пределу.

2. Предложен новый метод вычисления функций конечноразмерного подобия, основанный на построении автомодельных вероятностных распределений для блочных динамических переменных при устремлении терм динамических параметров к их критическим значениям одновременно с переходом к термодинамическому пределу.

3. Предложен новый метод Монте-Карло для системы из плотно уп кованных взаимодействующих димеров.. Доказана эргодичность марковско цепи, генерирующей конфигурации на квадратной решетке со свободными границами.

4. Предложена новая аналитическая техника, основанная на инте тральных преобразованиях с функциями ¡/мттаг-Леффпера, позволяющая исследовать асимптотическое поведение термодинамических и корреляцу онных функций в конечных та -векторных моделях при П »1 . С ее помощью впервые получена конечноразмерная асимптотика для парной корреляционной функции средней сферической модели со степенным даль нодействием и произвольной цилиндрической геометрией образца.

5. Построена теория конечноразмерного подобия для моделей стг тистической механики с дальнодействием, основанная на понятии об эффективной корреляционной длине.

6. Впервые доказано, что средняя сферическая модель выходит I класса конформной инвариантности гауссовской модели при любом далы действующем потенциале взаимодействия.

7. Построена теория конечноразмерного подобия для моделей стг тистической механики со взаимодействием эквивалентных соседей, осн< ванная на понятии о числе скоррелированных частиц.

8. Построена теория конечноразмерного подобия для моделей ст. тистической механики со взаимодействием эквивалентных соседей, осн( ванная на изучении автомодельных решений дифференциального уравнен; в частных производных для параметра порядка.

9. Впервые получено точное решение для димерной задачи на кв ратной решетке с линейным дефектом.

10. Методом Монте-Карло исследован фазовый переход в двумерной решеточной модели взаимодействующих димеров, характеризуемой степенным спаданием корреляций в высокотемпературной фазе. На основе конеч-норазмерного анализа результатов для удельной теплоемкости получены оценки для критических показателей и обнаружено нарушение соотношения гиперскейлинга.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, Отдела статистической механики Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, Лаборатории уравнений состояния Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР /Новосибирск/, Института механики и биомеханики /София/ и Института математики /София/ Болгарской академии наук, а также на I и II Семинарах по математическим проблемам статистической механики /Дубна, 1988 и 1989/, I Национальном конгрессе болгарских физиков /София, 1983/, VI Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике /Варна, 1989/, XXI Международной конференции стран-членов СЭВ по физике и технике низких температур /Варна, 1983/, IV и V Международном симпозиуме по избранным проблемам статистической механики /Дубна, 1987 и 1989/, IV Международной летней школе по теории вероятностей и математической статистике /Варна, 1988/, Международной школе по численным методам Монте-Карло и параллельным алгоритмам /НРБ, При-морско, 1989/.

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 20 статей, 1 обзор и 1 монография.

Объем работы

Диссертация состоит из предисловия, введения, трех частей, разделенных на 16 глав, раздела "основные результаты" и списка литературы. Полный объем работы составляет 320 страниц и включает 10 рисунков и список литературы из 275 наименований .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В предисловии изложена суть законов конечноразмерного подобия и дано обоснование актуальности и важности рассматриваемых в диссер тации проблем.

Во введении кратко прослежено развитие теории кснечноразмерно го подобия. Особое внимание уделено вопросам обоснования гипотез ко нечноразмерного подобия методом.ренормализационной группы, в разных ее вариантах. Отмечено, что для класса решеточных димерных моделей на квадратной решетке пока неизвестно как применять идеи ренормализационной группы.

Первая часть посвящена изучению моделей со взаимодействием э* вивалентных соседей. Она состоит из шести глав.

В первой главе определен класс моделей со взаимодействием эк! валентных соседей, который характеризуется гамильтонианом вида

z . /1/

Здесь D > О константа взаимодействия, Н É R"1 внешнее магнитно! поле, U число частиц в системе, сп , ¿-1, — ,Л/, - динамические переменные, плотность совместного вероятностного распределения kotí рых задается конечной гиббсовской перестройкой цл свободной меры |U0 с помощью гамильтониана /1/:

/4(áx4J...;¿xJK,k,,p) - iZJK.k./O]"1*

ы ч и /2/

I 1Ы l-i i-i

Здесь "z^ ( к, - статистическая сумма, которая определяется условием нормировки вероятностной меры /2/ на IR'" , К-3/квТ_ безразмерный параметр взаимодействия, кв - константа Больцмана, = Н/квТ- безразмерное внешнее поле. Выбор свободной меры jn0 определяет конкретную модель со взаимодействием эквивалентных сосе дей. Например, если

N

1 i=i

то при

р(с1х) = р1(Лх) + /4/

получаем модель Хускми-Темперли-Изинга, при

1 __

, , к г '

где параметр 5 >0 фиксирован - гауссовскую модель, а если параметр 5 в /Б/ определяется из так называемого среднего сферичесного условия

] (/V-4 ¿хП/иМх^-.^КЛ,/";) = г, /6/

к" [=<

получаем среднюю сферическую модель типа Хускмк-Темперли /со средним радиусом {г >0 /. Сферической модели Берлина-Када /радиуса {г /. со взаимодействием эквивалентных соседей соответствует свободная мера вида

I 1=4 1='!

где - мера Лебега на К1 .

Теорию конечноразмерного подобия для систем со взаимодействием эквивалентных соседей можно построить как предельный случай соответствующей теории для систем с нормальной пространственной структурой. Так например, нами доказано, что гамильтониан сферической модели Хусими-Темперли для системы из конечного числа частиц является даль-нодействующим пределом 0~ 0+ для гамильтониана сферической модели со степенным законом убывания потенциала взаимодействия вида

^(Г) - ОгЗ^Г) ~ СГ г'*'0' ( Г ^ оо) з /8/

при наличии периодических граничных условий. Отсюда, с учетом того, что верхняя критическая размерность для моделей с дальнодейству-ющим потенциалом 7^-(г)равна 2сг /нижняя критическая размерность равна с(н = сг /, следуют важные выводы, что: а/ при любой фиксированной размерности Л >0 в пределе сг 0+ система входит в режим среднего поля, с1 >с1^-2сг, когда в теории появляются так называемые "опасные несущественные переменные", которые нарушают

соотношение гиперскейлкнга ¿У = 2- / »С - критический показатель для теплоемкости/ и модифицируют законы конечноразмерного подобия; б/ область размерностей пространства ¿1 6 (сг, 2<т) , для которых флуктуации существенным образом сказываются на фазовый переход, сужается в точку Л. - О при сг -»• 0+ ; ъ1 обычное определение расходимости корреляционной длины бесконечной системы, ^.и) , теряет смысл, так как и — Л /сг -«- оо При сг 0+ .

Нами введена новая характерная длина для системы конечного раз-

где , к) - эффективная корреляционная длина для системы с

парным потенциалом /8/ при О^сг^Ы/2 , ^ , Т~ кри-

тический показатель для магнитной восприимчивости, - критический показатель для параметра порядка. Для характерной длины /9/ получен закон конечноразмерного подобия вида

^ (1,К) - N г.уу/ к) л /10/

где д.^ (х,, -некоторая универсальная функция переменных )<иХг • В термодинамическом пределе и -» , при фиксированных 1: ^ О и [х/±л , из /20/ получаем +

(к/О пи

оо а а ,а- '

* < \

где - некоторая универсальная функция термодинамического

подобия в окрестности критической точки к-О . Теперь ха-

рактерную длину для системы со взаимодействием эквивалентных соседей, как при конечном размере системы, так и в термодинамическом пределе, можно определить предельным переходом о~ -»• О4" в выражениях /10/ и /11/, соответственно. Б последнем случае мы получим длину, эквивалентную термодинамической длине К.Биндера и др. /1985/. Интересно отметить, что в критической точке ведущая асимптотика характерной длины /9/ в пределе сг — О совпадает с геометрическим размером системы и • Введенное в работе Р.Боте, Р-Шюллиена и П.Пфюти /1982/ число скоррелированных частиц для бесконечной системы приобретает теперь смысл числа частиц в характерном объеме

Во второй главе изучены предельные гиббсовские состояния для одели Хусими-Темперли-Изинга. Для этой цели использована прямая вязь между согласованным семейством конечномерных вероятностных рас-ределений для спиновых конфигураций и системой предельных корреля-.ионных функций, которые удается ^ычислить в явном виде с помощью ме-ода квазисредних. Пусть Д с 2 ^является конечным подмножеством з |А1 узлов с(. -мерной решетки Ж • Поскольку нас интересует опи-ание всех предельных гиббсовских состояний в нулевом внешнем поле, \ = О , то мы рассматриваем все возможные термодинамические пределы ля корреляционных функций при пространственно неоднородных конфигу-ациях поля , таких, что

тлхКг(л) — 0, 2 1Мл)г- о (ЛТг4*). /13/ |' ьА [ел

сновная^ео^ема^ Все предельные гиббсовские распределения р(-одели /1/ траксляционно-инвариантны и: 1/ для к ^ кс предельное иббсовское распределение единственно; 2/ для к > кс они являются инейной выпуклой комбинацией двух эргодических компонент /чистых сос-ояний/:

р ( -1 к, о) = л р( - |к, о+) +о-Д)Р('1к,о-;. /14/

десь крайние точки р(' | к, О*) являются вероятностными распределе-иями, которые определяются с помощью системы корреляционных функций, ычисленных в смысле квазисредних Н.Н.Боголюбова /при к-* 0~ , соот-етственно, после совершения термодинамического предельного перехода/.

Все возможные термодинамические пределы для корреляционных ункций можно получить, ограничиваясь только пространственно однород-ыми полями к(А) = Ь0|Д| . При о^ •= \ получаем смешанное состоя-ие /14/ с коэффициентами Д , зависящими от параметра взаимодей-твия к и амплитуды поля к0 :

Д ^ ^р[к0Тп0(К)]/2ок[к0Уп0(К)] . /15/

десь тп0(К) - спонтанная намагниченность.

В третьей главе рассмотрены некоторые точно решаемые квантово-татистические обобщения моделей со взаимодействием типа эквивалентах соседей, в частности, модель сверхпроводника с ферромагнитными римесями и модель металла со структурной неустойчивостью типа удвое-га периода.

В четвертой главе изучены конечноразмерные эффекты в ансамбле Гиббса, соответствующем аппроксимирующему гамильтониану для модели из конечного числа частиц со взаимодействием эквивалентных соседей. Метод аппроксимирующего тамильтониана, получивший свое математически строгое обоснование и развитие прежде всего в работах Н.Н.Воголк бова /мл./, позволяет получить точное в смысле вычисления предельных плотностей термодинамических функций решение для рассматриваемого класса систем. Наше исследование мотивировано замечанием Э.Бр< зена /1982/ о том, что теория среднего поля, которая становится пр] менимой при е1 > рС^ , предсказывает резкий фазовый переход /наличие сингулярности в термодинамических функциях/ для любых размерно стей системы, притом как для бесконечных, так и для конечных сис тем. Первую из отмеченных особенностей можно объяснить тем, что те рия среднего поля является точной в термодинамическом пределе для моделей со взаимодействием эквивалентных соседей. Эти модели, в св очередь, можно рассматривать как предельный случай систем с дально действующим потенциалом вида /8/ при сг С+ , когда верхняя кри ческая размерность с1| = 2<г становится ниже любой фиксированной размерности пространства с1 > 0 . Нами найдено объяснение и вторе особенности - появления сингулярностей в статистико-механических § кциях конечных систем. На примере сферической модели Хусими-Темпе] показано, что плотность аппроксимирующей свободной энергии для ко* ной системы имеет асимптотический /при N 1 / вид

3/Л

где -тл Х^Л/

сеИО

Ведущий член в /16/ формально соответствует предсказанию теории к нечноразмерного подобия, однако при Хд - 0 имеет сингулярное по . поведение в точке Хг- О . Причина неаналитичности термодшамиче ких функций при конечном числе частиц заключается в искусственно« игнорировании множества существенных конфигураций, соответствующе /в термодинамическом пределе/ одной из чистых низкотемпературных Нами предложена модификация аппроксимирующего ансамбля, которая } тывает вклад от всех тех /локальных/ минимумов плотности вариацис

свободной энергии, которые в термодинамическом пределе превращаются в глобальные минимумы максимального типа. Это позволяет получить точные функции кснечнораамерного подобия в окрестности точки фазового перехода первого рода.

В пятой главе показано, что удельная намагниченность ^ для класса моделей с гамильтонианом вида /1/ и вероятностной мерой вида /2/ при любом числе частиц /V удовлетворяет некоторому тождеству в частных производных. Если ввести формальные переменные "время" t ~К~КС и "пространственная координата" X--к , тоЮг^^х) оказывается решением эволюционного уравнения Бвргерса

а <

— т ■+ т. — т — т /18/

Эх гы Эх1 /ао/

с диффузионным коэффициентом . На этой основе проведена ана-

логия между развитием фазового перехода первого рода по магнитному полю в термодинамическом пределе, при температурах ниже критической, и образованием ударной волны в момент времени 17-0 , когда диффузионный член в /18/ равен нулю. В диссертации изучена связь между автомодельными решениями уравнения Ягргерса и конечноразмерным подобием в окрестности точки фазового перехода. Получено, что с уравнением Бюргерса /18/ совместимо однопараметрическос семейство законов конечноразмерного подобия для удельной намагниченности:

= ,0<р<{, /19/

где функция 1\Г(х()Хг) является решением уравнения

Э ь „ А Ьг

— ТлГ + Тл/ — -иг = — , ЭХ-, 2 Эх*

Из условия существования термодинамического предела, для плотности намагниченности при любом фиксированном следует, что

1лГ ,Х2) ^ /21/

и параметр р в /19/ определяется однозначным образом: р .

В шестой главе установлена связь между теорией конечноразмер-ного подобия и автомодельными вероятностными распределениями для блочных спинов вида

- 2 <Г:(р„) /гг/

ТлГ + ТЛ/ — Одг = -I- — ОлГ. /20/

Здесь предполагается, что совместное вероятностное распределение дл* спиновых переменных СТ^ ,1 = 1,...,// , определяется мерой /V , которая зависит от термодинамических параметров . При атсм.

одновременно с термодинамическим пределом N°° , параметры Ь1г-~ ¿р устремляются к своим критическим значениям , например

с

+ ^^ , <к>0 , /23/

Действительно, рассмотрим случай системы взаимодействующих сп нов | (Г- в гиперкубической области Д Сконечного объема

|А| — • Предположим, что при с(е(о(н справедлива гипотез

конечноразмерного подобия В.Привмана и К.Е.Фишера /1984/. Тогда для сингулярной части плотности свободной энергии в окрестности критиче кой точки имеем

(^П^Л) - С^п , /24/

где С^ , Сг - некоторые зависящие от модели коэффициенты, Х('>~) универсальная функция подобия. Дифференцируя /24/ по магнитному по; н , для удельной намагниченности получим

где Х^ (-»-) обозначает производную функции X (* *) по второму аргументу. Здесь учтено, что - Д+уЗ . С другой стороны, исходя из статистического определения К) можем записать

УПи{Ь,к) = ЕА[С"1о-сИЛ], '2б

¿ел

где А] обозначает среднее значение в каноническом ансамбле

термодинамическими параметрами í к к •'Сравнивая /25/ и /26/ пол чаем

еа[с;1 ^ 1<т.\г,к] ь-кил":^^"),

Следовательно, если положить в /27/ t ,

и перейти к термодинамическому пределу получим, что среднее значеь блочного спина

^ ел1С№

оо бел л Ч

алогичное рассмотрение для второй производной от выражения /24/ по гнлтному полю Н , тлеющей смысл удельной магнитной восприимчивости, называет, что предельная дисперсия блочного спина

дп I)Чс I ¿.°1 |т-|_ , 7- 1_ ] = /29/

-*оо Л ¡¿л ^

16Л

ляется универсальной функцией амплитуд ^ и Х2 » не имеющей особен-стей в точке ¿ц = О . В силу известных соотношений между кри-ческими показателями

= (Ау + П/** = , /30/

/28/ и /29/ участвует один и тот же блочный спин со степенным пока-¡телеМ'С^^/^-Н) нормировочного коэффициента В|Д| ~ (Д!^"1 , где = ^ , см. /22/.

Аналогичным образом исследован и случай конечноразмерного подо-[я в окрестности точки фазового перехода первого рода.

Установлено, что сферическая и средняя сферическая модели, яв-1ясь термодинамически эквивалентными, имеют различные невырожденные 5едельные распределения для блочных спинов и, соответственно, различие функции конечноразмерного подобия как в окрестности критической >чки, так и вблизи фазового перехода первого рода.

Вторая часть посвящена изучению средней сферической модели со репейным потенциалом взаимодействия Г) ~ Г~ при Г-» оо . та состоит из шести глав.

В седьмой главе обсуждается теория конечноразмерного подобия 1Я систем со степенным дальнодействием. На примере задачи об опре-элении энергии основного состояния системы диполей на плоской ром-теской решетке продемонстрирована зависимость результатов от ради-за обрезания взаимодействия и от угла ромбичности. Поэтому дальней-ее рассмотрение ограничивается случаем изотропного парного потенци-яа ферромагнитного типа.

В случае, когда область /\ имеет форму ¿-мерного параллеле-ипеда с ребрами , к =1,г>[ , при наличии периодических гра-ичных условий статистическая сумма (К,К,5) средней сферичее-ой модели

ависит от фурье-образа потенциала эффективного взаимодей-

ствия

л г- -iyt d z 4/2

VT-^W1 ~~ ,5/J=Z^([IIVI-kU] ), /з;

где, при нечетных целых числах L^ , К = 1,—, <L ,

¿^к-2хпк/LK , nke{-(Lk-i)/2, ,..,£),... »(Lh-1)} . /3•

В интересующих нас областях значений термодинамических параметров окрестность критической точки или фазового перехода первого рода -решение S = SA(K,k) среднего сферического условия стремится све{ к значению i к » где к=э(°)двт , при L.k-»¿>o , Поэтому асимптотическое поведение статистической суммы /31/ опред< ется длинноволновой асимптотикой фурье-образа: а л г тыст,*]

* ÜW\4-f<r И\ ] (fr>o) . /Ъ

Вводя параметр ф -Zs/K-l , для плотности свободной энергии ср< ней сферической модели получаем выражение

(KBT)"VAÍK,M = -T^Wl >

Л ф

где

Точная верхняя грань по ф в /35/ достигается на решении уравнения

flIAl \ ' /3

Приведем еще выражение для парной корреляционной функции в длинно волновом приближении:

Далее в этой главе проанализирован случай наличия опасной существенной переменной / cr < d/z / и на примере средней сфериче кой модели получена модификация законов конечноразмерного подобия Результаты обобщены в виде гипотезы для п-векторных моделей.

Восьмая глава посвящена изучению предельных гиббсовских состо-лй для сферической и средней сферической моделей. Мспсльзуется ме-ц выключения однородного магнитного поля К Г А) = /г0 |А| » > 0 » повременно с переходом к термодинамическому пределу |Л I -*•00 • При -1 и К>КС получено однопараметрическое обобщение, зависящее от плитуды Кс £ К1 , вероятностного ядра IX. К.Каца и К.Дж.Томпсона 977/, которое выражает предельные гиббсовскне состояния едпей сферической модели радиуса г^2 = 4 через предельные гиббсов-у.е состояния Е5[-1К,К,Г'] сферической модели радиуса (г'У/2>0 :

ЕтзС-1К,оиЗ = 1Ж'\К,о/)Е&[-\К,о,г'№г' /39/

К1

я обобщенного ядра перехода в тбрмсдгксмичеснск пределе получено: а/ В высокотемпературной ооласги К<£КС

л™ Яа{Г'\К,К\А\~о£,1) = Я(г'-1) . /40/

б/ В низкотемпературной области к >кс

, -М2

де

Имея явный вид ядра перехода ^Х. и вычисляя характеристические ункиии

, Ас/\ , /42/

ля средней сферической модели, мы затем разрешаем интегральное урав-ение /39/ относительно характеристических функций для сферической одели. Таким^образом мы находим структуру предельных гиббсовских рас-ределений Р ' ('1К,0>г) для сферической и средней сферической оделей радиуса Г1/2 > о •

В девятой главе предложена новая аналитическая техника, основан-

/41/

ная на интегральных преобразованиях с функциями Миттаг-Леффлера, которая позволяет свести исследование асимптотики с( -кратных сумм в выражениях /36/-/38/ к эффективной одномерной задаче. Основная идея состоит в замене тождеств

-х

/43/

(из)и=ихе е" , ^1(1+5) = )— »

о 0 2

которые при 5 = />2.1^1 позволяют факторизовать указанные суммА

в случае близкодействия ! сг~ 2 /, на более общие тождества

(4 + 5*Г'-!«** <fSVH E^f-O,

о /44,

со — <У ^ л/

о

Здесь lE-ct^pii) - функции типа Миттаг-Леффлера, которые определяют' ся для любого pi > 0 и любого комплексного 6 (L абсолютно сход щимся рядом

. et-a ¿t

Общий случай цилиндрической геометрии вида |_ * 00 легх получается, если положить •••■=]_=. L и перейти к пределу

i ->oo,k-d-d'+i •

К

jj десятой главе исследовано конечноразмерное подобие для ура нения состояния-/37/, которое может быть записано либо как уравнен для удельной намагниченности,

wk,m-fk(kbt,-\<a)= ^ -

либо как уравнение для эффективной корреляционной длины

- -4! о-

\(к,М«1А<к,к)] , /4Г

где ф-ф/рОпределение /47/ для эффективной корреляционной длш следует из асимптотического вида парной корреляционной функции /3? при (j> -> £7 и ЖI » 1 :

z^^R.r^g , /4.

L ~ . 1Rl«* e-

це ХЧК) = Оо-Ю , ^ (• » •) - некоторая функция подобия, ко-орая зависит от геометрии системы.

Получены представления для уравнения состояния с учетом эффек-ов конечного размера, которые обобщают соответствующие результаты •Сингха и Р.К.Патриа /1985/ и М.Е.Фишера и В.Привмана /1986/.

Показано, что в высокотемпературной области /Т>ТС/ поправки эффективной корреляционной длине в случае дальнодействия являются тепенными и имеют порядок величины ®{1_-о1'~сг).

Продемонстрирована применимость 8-разложения для изучения ффектов конечного размера как в окрестности критических размерно-тей, <£—(г+£ ис(.= 2сг-£ , так и в характерном конечноразмерном слу-ае Л'^сг + е » где £ -г 0+ •

Получены новые представления для конечноразмерного подобия для ффективной корреляционной длины и удельной намагниченности в обла-ти фазового перехода первого рода при 0^. Ж <<г , О < сг < 2 : (¿-¿У(сг-Л)

/49/

1/и.

■^(КД) — с2х2 [У^Мих,)]^

де I = 1 - К/Кс <0 ^с. , С2 = (/о-К )

*г = СА /50/

. функция подобия у. = У^ £ сг( ' * является решением уравнения

'становлено, что для полностью конечной системы, — О , функция юнечноразмерного подобия для намагниченности не зависит от скорости 'бывания потенциала взаимодействия с расстоянием. Следует отметить, [то переменная в /49/-/51/ имеет смысл отношения магнитной энер-'ии в корреляционном объеме |_ ^ | ** (К,к] к тепловой энергии на ¡тепень свободы.

В одиннадцатой главе изучено конечноразмерное подобие для плот-гости свободной энергии. Одним из важнейших следствий гипотезы уни-¡ерсальности В.Привмана и М.Е.Фишера /1984/ является универсальность сритической амплитуды для сингулярной части плотности свободной энер-

гии при размерностях пространства , .С другой стороны,

конформная теория предсказывает, что в случае двумерной цилиндричес кой геометрии 1_ X оо ,

Ь^(КсО) - XV /52/

где С - центральный заряд алгебры Вирасоро. Этот результат дает вс можность "измерить" величину с для данной модели. Заметим, что об ласть универсального подобия с1б (о~,2сг) при с£- 2 соответствует случаю дальнодействия с (Г£ (1,1) • ПрисГ-»2~ из уравнения состояния для средней сферической модели мы получаем )^1()!\С10)-\-/7с(2-< что согласуется с предсказанием конформной теории, если учесть, чтс критический показатель ^ = 2-ст. Для критической амплитуды плотнс сти свободной энергии при достаточно малом 2-сг>0 мы получаем

= 11-Я2-<г) + 0[Г2-<г;*]} , /53/

т.е. средняя сферическая модель с дальнодействием выходит из класса конформной универсальности гауссовской модели, для которого с - 1

В двенадцатой главе получено следующее общее представление дл функции конечноразмерного подобия для парной корреляционной функции

гдеГ^К/^К» .¿^/^(КД) и^^,..^^ ,

г • • •» К л \ ' кРоме того введена функция

чг. (ю= цнчт'г* е^-ло. /55/

-,СГ О

Более простые асимптотические выражения получены в некоторых предел ных случаях. В частности, обобщена на случай дальнодействия теореме С.Сингха и Р.К.Патриа /1987/ о факторизации парной корреляционной функции в области фазового перехода первого рода при Я ^ : •

^ (е>к,°)- 1- т/

Третья часть посвящена изучению эффектов конечного размера в щелях со сложным конфигурационным пространством. В таких моделях, ¡пример, в случае модели димеров /двуатомных молекул/, плотно упако-1нных на плоской квадратной решетке, степенные корреляции между час-щами могут порождаться взаимодействием исключенного объема. Эта 1сгь состоит из четырех глав.

В тринадцатой главе рассматриваются модель льда /шестивершин-ш модель/ и предложенная П.В.Кастелейном /1963/ модель димеров на жсагональной решетке с анизотропным распределением активностей ре-;р /X-модель/. Изучается вопрос о влиянии ориентации решетки по гноиению к границам системы на поправки от конечного размера. Поставка вопроса связана с тем, что статистические суммы для рассматри-1емых систем на бесконечной полосе шириной зависят от ориента-!И решетки: всегда можно указать конфигурацию модели, возможную при щой ориентации и невозможную при другой. Нами показано, что в соот-зтствии с предсказанием теории конформной инвариантности, поправки :рядка к плотности свободной энергии для естественной ори-

!тацки решетки /когда ее столбцы параллельны границам полосы/ и для эвернутой на угол 9Г/4 решетки совпадают. В случае СК -модели ],алось обнаружить, что различие ориентации сказывается на поправки гаядка - Рассматривались периодические граничные условия.

В четырнадцатой главе методом случайных блужданий получен точ-Ш результат для избыточной поверхностой свободной энергии СГ в зумерной модели биомембраны, предложенной Дж.Ф.Нейглом /1973/. В од-)родном случае эта модель эквивалентна модели димеров на квадратной зшетке с шахматным распределением активностей 14. и V вертикальных збер и одинаковыми активностями 2 всех горизонтальных ребер. Добав-;ние границы /линейного дефекта/ означает изменение активностей и и Г на ^ и 1| в одной строке. Нами показано, что между статистичес-)й суммой такой модели и статистической суммой однородной модели ливров /и. — хг/ с таким же дефектом существует взаимооднозначное со-гветствие. Приведем результат при и. ^ V : 7Г(НД1)

7Г1А1

}есь параметр Л выражается линейно через плотность полимеров р , ^ = , и зависит только от объемных активностей и , V и г •

В пятнадцатой главе нами предложен алгоритм Монте-Карло для системы из плотно упакованных димеров на квадратной решетке. Ранее известные алгоритмы не применимы к такой системе, так как из-за взаимодействия исключенного объема в ней нельзя изменить состояние какого-либо одного димера не затронув при этом его окружение. Нами доказано, что на квадратной решетке из М строк и Н столбцов со свободными границами всегда можно построить случайное блуждание на множестве [ С ] конфигураций системы путем случайного выбора пары димеров, расположенных на противоположных сторонах одного элементарного квадрата, и ее поворота на угол 1Г/2 , превращая горизонтальную пару в вертикальную и наоборот.- Совершая эту процедуру многократно, мы получим марковскую цепь из димерных конфигураций. Предложенный метод является математически обоснованным, поскольку нами доказана неприводимость этой марковской цепи.

В шестнадцатой главе описанный выше алгоритм применен для исследования системы взаимодействующих димеров, для которой энергия Е(С) любой конфигурации С пропорциональна числу пар димеров А/(С) , расположенных на противоположных сторонах элементарного квадрата, т. Е.(С)=-1Н(С) ,3>0 • Здесь мы сталкиваемся с необычной ситуацией, когда корреляции вне точки фазового перехода убывают степенным образом с расстоянием, а не спадают экспоненциально, как это имеет место в известных моделях с близкодействующим потенциалом взаимодействия.

Анализ численных результатов для удельной теплоемкости С|_(К) решетки 1_ X I- с 1_ от 10 до 40 проводился в рамках гипотезы критического конечноразмерного подобия. Так как вид особенности удельной теплоемкости для бесконечной системы неизвестен, то рассматривались два варианта: степенной и логарифмической особенности при1=К-Кс-*0 /К-У/к%Т/' Было обнаружено, что значение ) в точке мак-

симума к = хорошо согласуется с гипотезой

с,(К) = * X i:\lt)

и к-о

где а ■> О и а - константы, Х(') ~ неизвестная функция подобия, ^ , к = 0,1,2 , регулярные при t - О функции. В отличии от предположения В.Привмана и Дж.рудника /1586/ здесь мы допускаем нарушение гиперскейлинга. Результаты показывают, что К^ах с ростом !_ стремится к предельному значению 1,77. Закон убывания к^**- к, подбирался в виде $ » где I - константа, причем наилучшее

согласие получено при значениях у = 0,33 т 0,5.

Результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в следующих

ботах:

. Боголюбов /мл./ Н.Н., Бранков Й.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.M., Тончев Н.С. Метод аппроксимирующего гамильтониана в статистической физике /монография/. Изд-во Болг. акад. наук, София, 1981, 245 с.

. Боголюбов /мл./ Н.Н.', Бранков Й.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.M., Тончев Н.С. Некоторые классы точно решаемых модельных задач квантовой статистической механики: Метод аппроксимирующего гамильтониана.- УШ, 1984, 39, вып. 6, 3-45.

. Бранков й.Г., Загребнов В.А., Тончев Н.С. Описание предельных гиббсовских состояний для модели Кюри-Вейсса-Изинга.- ТМФ, 1986, 66, № 1, 109-120.

. Бранков Й.Г., Приезжев В.Б. Ротационные свойства поправок от конечного размера в двумерных решеточных моделях. Дубна, 1989, 8 с. /Сообщ. Объед. ин-та ядер, исслед.: Р17-89-505/.

. Бранков Й.Г. Конечноразмерные эффекты в методе аппроксимирующего гамильтониана. Дубна, 1990, 21 с. /Препринт Объед. ин-та ядер, исслед.: Р17-90-73/.

. Бранков й.Г. Вывод конечноразмерного подобия для среднеполевых моделей из уравнения Бюргерса. Дубна, 1990, 16 с. /Препринт Объед. ин-та ядер, исслед.: Р17-90-243/.

. Бранков Й.Г., Величков В.Б., Приезжев В.Б. Фазовый переход в модели димеров со взаимодействием. Дубна, 1990, 13 с. /Препринт Объед. ин-та ядер, исслед.: Р17-90-267/. Принято в J.Mol.Liquids.

. Tonchev N.S., Brankov J.G. On. the з-d model of coexistence of ferromagnetism and superconductivity.- Fhy3,stat.sol. (b), 1980, 102, N1, 179-187.

. Brankov J.G., Tonchev N.S. Bicritical and tetracritical behaviour in a model with superconducting and ferromagnetic orderings.-Phyeica, 1981, 108A, N 2/3, 459-472.

. Brankov J.G., Peeheva N.Ch. On the metal-insulator phase transition in two exactly solvable models.- Fhysica, 1983, 122A, N 1/2, 231-251.

. Brankov J.G., Zagrebnov V.A. On the description of the phase transition in the Husimi-Temperley model.- J. Phys. A, 1983, A16, N 10, 2217-2224.

. Brankov J.G., Pesheva N.Ch. On the mean-field theory of the metal-insulator phase transition.- Physica, 1985, 129A, N2, 423-437.

13. Brankov J.G., Danchev D.1I. Ground atate of an infinite two-dimensional system of dipoles on a lattice with arbitrary rhombicity angle.- Physica, 1986, 144A, N1, 128-139.

14. Brankov J.G., Danchev D.M. On the limit Oibbs states of the spherical model.- J. Phys., 1987, A20, N 14, 4901-4913.

15. Brankov J.G., Tonchev N.S. On the finite-size scaling equatio • for the spherical model.- J.Stat.Phys., 1988, 52, N1/2, 143-1

16. Brankov «J.G. Finite-size scaling for the mean spherical model with inverse power law interaction.- J.Stat.Phys., 1989, 56, N3/4, 309-330.

17. Brankov J.G., Danchev D.M. A probabilistic view on finite-siz scaling in infinitely coordinated spherical models.- Physica 1989, A158, N3, 842-863.

18. Brankov J.G., Priezzhev V.B. Finite-size effects in a dimer e del of crystallization.- Physica, 1989, A159, N3, 386-406.

19. Brankov J.G., Tonchev N.S. An investigation of finite-size scaling for systems with long-range interaction: The spherics model.- J. Stat. Phya., 1990, 59, N 5/6.

20. Brankov J.G., Tonchev N.S. On finite-size scaling in the presence of dangerous irrelevant variables.- J. Stat. Phys., 19! 60, N 3/4.

21. Brankov J.G., Karamikhova R.A. A Monte Carlo study of a syst< of close-packed interacting dimers.- Physica, 1990, A162, N2. 298-315.

22. Brankov J.G., Priezzhev V.B. Excess surface free energy in a two-dimensional aodel of a biomembrane.- J. Phy3,, 1990,A23,

Рукопись поступила в издательский отдел 25 апреля 1990 года.