Спектр связанных состояний трансфер-матрицы случайного гиббсовского поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.7

Лакштанов Евгений Леонидович

СПЕКТР СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ СЛУЧАЙНОГО ГИББСОВСКОГО ПОЛЯ

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители доктор физико-математических наук,

профессор Р. А. Минлос доктор физико-математических наук, профессор А. М. Огепин

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор В. А. Малышев кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Пирогов

Ведущая организация Объединенный Институт

Ядерных Исследований

Защита диссертации состоится 17 декабря 2004 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан 17 ноября 2004 г.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию спектра стохастического оператора высокотемпературного гиббсовско-го поля.

Гиббсовские случайные поля являются общепринятой моделью большого числа стационарных решетчатых систем статистической физики и квантовой теории поля. Одним из важнейших изучаемых объектов, характеризующих это поле является его трансфер-матрица (стохастический оператор). Классические результаты, связанные с этим объектом, восходят к Г. Онзагеру, Б. Кауфману, А.Бете, М. Солпитеру, В. Рюэлю, Р. Добрушину, В. А. Малышеву, Р. А. Минлосу, Я. Г. Синаю,и другим исследователям математической статистической физики.

Изучению спектра связанных состояний операторов многочастичных систем посвящены работы, выполненные как в России, так и за рубежом. Новым результатам, связанным с этими вопросами уделено внимание в монографиях В. Малышева, Р. Минлоса1,2, Дж. Глимма и А. Джафф€?, Б. Сай-

4

мона и других.

В настоящей диссертации получено полное описание дискретного спектра трансфер-матрицы высокотемпературного гиббсовского поля с компактным спиновым пространством в ее двухчастичном подпространстве. Ранее проводились исследования более простых случаев, а именно: случая двухточечного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей (модель Изинга) Г. Онзагером и Б. Кауфманом5, случая компактного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей Р. А. Минлосом, Е. А. Жижиной6, Р. С. Шором, М. О'Кэроллом (случай некомпактного пространства спинов)7, а также в случае произвольного взаимодействия «общего положения» проведенного в случае двухточечного спинового пространства Р. А. Минлосом и Ш. С. Маматовым*.

1 Малышев В. А, Минлос Р.АЛ Линейные операторы в бесконечно-частичных системах // Наука,

2 Малышев В. А, Минлос Р. АГиббсовские случайные поля // Наука, Москва, 1985. 3Глим Док, Докаффе АМатематические методы квантовой физики // Меркурий Пресс, Москва, 2000.

* Саймон БМодель Р{<р)ч евклидовой квантовой теории поля // Мир, Москва, 1976. *Отиадег LKaufman В., Crystal statistics, // Phys. Rev., v.76, p.232, 1949.

eMinlos R. A, Zhizhina E, Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems., // Journal of Stat. Phys.,v.lO8, p.885-904, 2002.

7Schor R.S., O'Carrol M., Transfer matrix spectrum and bound states for the lattice classical ferromagnetic spin systems at high temperature, // Journal of Stat. Phys., 99(6/6): 1265-1279, 2000.

8 Маматов Ш. С, Минлос Р. А, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, //

1992.

.'ОС. НАЦИОНАЛЬНА

библиотека

Цель работы. Описать дискретный спектр трансфер-матрицы случайного гиббсовского поля в ее двухчастичном подпространстве.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Результаты второй главы получены автором самостоятельно. В первой главе теорема о существовании «уединенного» уровня получена совместно с Р. А. Мин-лосом.

— Доказано существование изолированного «уединенного уровня», находящегося на расстоянии порядка от края непрерывного спектра, при каждом значении полного «квазиимпульса» системы.

— Доказано отсутствие двухчастичных связанных состояний в модели «общего положения» и физической размерности пространства что является полным описанием двухчастичной области этой модели. В случаях пространств размерности v = 1 или 2 показано, что двухчастичные связанные состояния могут возникать лишь вблизи особых значений полного квазиимпульса Л € Т". При v = 1 также приведены условия того, что эти собственные значения на самом деле возникают.

— Описан спектр связанных состояний при v — 1,2,3 в случае взаимодействия ближайших соседей, причем рассмотрен также, не рассматривавшийся в литературе случай описание двухчастичной области является полным.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории интегральных уравнений, случайных процессов и теории особенностей.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты заключаются в описании дискретного спектра действия трансфер-матрицы гиббсовского случайного поля в ее двухчастичном пространстве, однако развитые методы могут быть использованы в других многочастичных системах, а также в теории евклидовых квантовых полей.

Апробация диссертации. Результаты автором докладывались в 20012004 годах на научно-исследовательском семинаре «теория рассеяния и статистическая механика» под руководством Р.АМинлоса. Результаты автора

Теор. и Мат. Физика, т.79(2): 163-1,1989.

были представлены на международных конференциях: по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004г.), по математической физике (Беловеже, Польша, 2004г.)

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 81 странице и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 21 наименование.

Основное содержание диссертации.

Определим объект исследования диссертации: Мы предполагаем, что формальный гамильтониан гиббсовского поля имеет вид

Я(а)=/?Х>0г-у)<7(х)сг(2/), (1)

где а = {сг(х),х е х Z} (г"-«пространство», Ъ - «время») - конфигурация поля, принимающая значения в некотором компактном, симметричном относительно нуля подмножестве 5 Е К1, содержащем более двух элементов.

Здесь Р = ^ - обратная температура, (которая в дальнейшем предполагается достаточно малой). Далее Ф(г) финитный потенциал взаимодействия, отличный от нуля только для векторов вида г — (г, ¿о) £ х 21, у которых «временная» координата < 1 (это условие и позволяет рассматривать наше гиббсовское поле как марковское вдоль направления «времени»). При этом мы, как обычно, рассматриваем более узкий класс потенциалов Ф(г): их носители состоят либо из векторов (1,0), либо векторов

(0,г0),Ы = 1.

Как обычно, предполагается, что задано некоторое, симметричное относительно нуля, четное распределение вероятностей и на множестве 5, с помощью которой задается «свободная» мера /хо — в простран-

стве Г2 = 52"+1 всех конфигураций поля. Гиббсовское полецр определяется стандартным образом с помощью гамильтониана (1) и свободной меры ¡М). Относительно меры V мы предположим, что

< <г4 >„ф 3 < а1 >„, (2)

где < сг* >ь= $5ак(1у(сг) - к-ый момент распределениям. Пусть

Ук = {х = (®ь • • •, хи+1) € : хи+1 = к} С (3)

есть к-ый «временной слой», к е 2. Произвольную конфигурацию ег е П можно записать как последовательность

где а к =■ сг\ук £ = По - сужение <т на слой У*. Теперь это распределение стационарной марковской цепи (4) с пространством состояний По и инвариантной мерой Ур = где Ео это а—алгебра в По. Стохастический оператор Т этой марковской цепи называется трансфер-матрицей системы. Оператор Т действует на гильбертовом пространстве "И. = ¿2(По, У/з) С ¿2(П, рцз) функций, зависящих только от конфигураций <7о € По- Матричные элементы Т могут быть записаны как

Поскольку мера инвариантна относительно пространственных сдвигов поля, в пространстве Н определена также унитарная группа {Щ, £ € пространственных трансляций, коммутирующая с Тр.

При высокой температуре трансфер-матрица Тр обладает, так называемой, корпускулярной структурой спектра. Это означает возможность выделения одночастичного, двухчастичного, трехчастичного и, более общих, к—частичных инвариантных подпространств, отвечающих за совместное поведение, и в частности, рассеяние соответствующего числа квазичастиц. Если спектр в одночастичном подпространстве описывается сравнительно легко, то изучение этого спектра уже в двухчастичном подпространстве является непростой задачей из-за наличия так называемых «связанных состояний». Чисто аналитически эта задача состоит в нахождении собственных значений некоторого семейства операторов фридрихсовского типа.

Подробно о выделении инвариантных подпространств и вычислении матричных коэффициентов написано во второй главе, в которой разбирается конкретный случай взаимодействия ближайших соседей. В первой же главе рассматривается случай, потенциалов «общего положения». Для таких потенциалов свойства соответствующего фридрихсовского семейства операторов сохраняются при малых «возмущениях» потенциала или - что одно и тоже - при малых изменениях «символа» этого семейства. Потенциалы взаимодействия, приводящие к исключительным «символам», образуют гиперповерхность конечной коразмерности в пространстве всех потенциалов.

(7 = {... ,СГ_1,СГо,СГ1,0-2. •••}

(4)

(5)

Следует отметить, что часто рассматриваемый случай взаимодействия ближайших соседей приводит к символам уже не общего положения и в этом случае картина спектра отличается от той, которая описана в первой главе.

Напомним далее основную схему построения одночастичного и двухчастичного инвариантных пространств трансфер-матрицы(и трупы трансляций Ut). В качестве исходного приближения к одночастичному пространству выбирается линейная оболочка функций {h°(a) = а(х),х 6 Z"}, и затем, с помощью некоторого приема теории возмущений (см. работы1,9), строится истинное инвариантное подпространство И\ вместе с ортонорми-рованным базисом {hXtx G Z"}, в котором операторы трансляций Щ-Hi = Uf^ действуют циклически U^hx = hx+t, t, х 6 Z", а трансфер-матрица Tß\-Hj = Tß^ с помощью свертки

Tßhx = o-x-yhy, (6)

y€Ci

с некоторой экспоненциально-убывающей функцией {az, z е Z"}. После преобразования Фурье

Wi:Wi —LsCT.dA), (Wift,)(A) = е^, А € T",

где Т" = [0,2ж]" -¡/-мерный тор, a d\ - нормирования мера Хаара наТ", операторы U^ и Т^ перейдут в операторы умножения на функции

($1}Л(А) = (^(1)/)(А) = а(А)/(А),

/el2(TVA), AeT.tez",

где а(А) = Yhz - преобразование Фурье функции а.

Замечание. Согласно физической интерпретации, оператор

объявляется гамильтонианом соответствующего решетчатого поля, пространство Л\ пространством состояний его «квазичастицы» (с наименьшей массой), причем А - квазиимпульс этой квазичастицы, а —j In с?(А) энергия «квазичастицы» с квазиимпульсом А.

"Malyshcv У. A, Minlos R.A, Invariant subepacea of clustering operators. // J.of Stat. Phys. 21(3): 231-242 (1979); П.,Commun. Math. Phys. 82: 211-226,1981.

В силу того, что функция ах убывает экспоненциально, с большим показателем экспоненты, функцияа(А) аналитична в некоторой комплексной окрестности тора Т":

= {А е С72" : |/тА«| < А, { = 1,...,и}, (8)

где значение А = А{/3) достаточно велико при малых ¡3 (через С/Ъ" обозначено фактор-пространство относительно действия группы Ъ" в С : г —► г + п, г 6 С, п 6 Ъ" ). Кроме того, а(Х) аналитически зависит от ¡3, и при малых /? допускает представление

а(Х)=13а0 + 132а1(Х) + а2{Х,Р), где О2(Х,0) ~ 0(/?2),

а ао т^ 0 - константа, и ах (А) - функция, обе не зависящие от ¡3. Здесь и в дальнейшем обозначение 0(/Зк) означает, что соответствующая величина допускает оценку С0к с константой С > 0, не зависящей от 0 (и возможно других переменных).

Двухчастичное пространство оператора Тр строится подобным же образом: в качестве приближения к нему выбирается пространство, порожденное векторами {<т(х)сг(у), (х, у) € ТУ х Ъ", а'фу, а2(х),х € и затем, применяя упомянутый выше прием из теории возмущений, мы получаем инвариантное относительно Тр и {£/*} подпространство Нг вместе с некоторым специальным базисом в нем

{/£>,* е 2", Л®)»

Замечание. В случае модели Изинга а2 = 1 и поэтому в отсутствует часть базиса {Ъ?х, х € 2"}.

В построенном базисе оператор ив имеет вид

ГГЛ(2)_Л(2) тт 1.(2) _ . (2)

а матричные элементы Т^ записываются в виде:

(^й*. = а^а*.« + а.^^ + а™^}, где коэффициенты {аг,г € 2"} те же, что и в (6). Обозначим также

[Т^ Л?>) = ет. /£>) = а™?

Выполнены следующие оценки:

В\,~С\ числа, не зависящие от /3.

Действие операторов 17® = Щн2 и Т^ = Тр\щ удобнее описать после «преобразования Фурье»: рассмотрим унитарное отображение

ЪУ2 : Н2 ^(Г х Т, = Й2, (9)

действующее по формулам

№£2))(Л) = е'(1-А> б ¿А)

(иуО(а,,А2)= (10)

= + е<(Л.#)-Н(А>^)^ £ х Т", ¿А^Аз).

Под действием этого отображения оператор Т^ переходит в оператор

(Т^/КХи Аа) = а(А1)о(А2)/(А1, А2) + (11) А2; ц2)5(А1 + А2 - щ - /¿2)/(/*1,

/ е ¿^""(Т" х Т"; (1Хх<1Х2)) ядро С(А1, А2; ц\, ц2) определено на многообразии {Ах + А2 = + /х2} С (Т")4 и является достаточно гладкой функцией. Это ядро можно записать в виде

<2(А1,А2;/11,//2) = К^+^Хми),

где К\1+\г{Х\,ц{) - гладкая функция переменных Аь А2,Цх € Т". После перехода к переменным Л = Аг+А2; к = Ах, мы видим из (11), что оператор представляется в виде прямого интеграла

Г^Гл.Л.

Оператор 7л действует на пространстве с Ь2{Т"; (¿"А;), функций инвариантных по отношению к преобразованию тора к А — к, к € Т", по формуле

Ш)(к)=ил(к)/(к)+ / КА(к,ц)/М<1ц. (12)

/ /

УТ" Ут

Здесь ш\(к) = а(к)а(А — к) = ß"*uo + ß3ui(k, А —к, ß), функция и>г(к, Л — к, ß) является ограниченной по ß, a константой. Ядро K\(k,ß) задается формулой:

Кк{к,ц) = -[wA(fc)+шЛ(/х)] + №)+bA(ß)]+SA(kt /i) +7(Л) + í ujA(k)dk,

J T"

где функции b\(k),SA(k,fi),j(A) с помощью обозначения

-¿(fc.íO+iíA-fc.íj) I pi(fc,32)+i(A-fc,Si)

"Г'М = ---, 5b 52 € Z", 5! ^ 52; /Z e T",

представляются в виде:

SA(k, л) = £ ^S?^?' w = (13)

«ллбР'лЛл' О

Ьл(*) = £ = (14)

7(A) = £ a^V^ = /327о + Oí/?4), (15)

seZ"

где 7о не зависит от /0.

Вся изложенная здесь вкратце схема, касающаяся построения одно- и двухчастичных инвариантных подпространств трансфер-матрицы, а также ее вид в этих подпространствах описаны в книге1 и статьях6,10, а также во второй главе диссертации, где подробно разбирается случай взаимодействия ближайших соседей.

Итак, мы пришли к задаче изучения спектра семейства операторов {7Á, Л € Т"} вида (12). Операторы ТА представляют собой некоторое обобщение операторов Фридрихса (см. работы11,12) и известно, что при наших условиях относительно входящих в (12) функций каждый оператор ТА имеет отрезок непрерывного (лебеговского) спектра

[min* и;А(к),тпвхк и еще, быть может, конечное число изолирован-

ных собственных значений, лежащих как вне непрерывного спектра, так и,

í0AbduHacv J., Minios R. Á„ An extension of the Ising Model, // Advances in Soviet Mathematics, Vol. 20: 1-20, AMS Providensce, 1994.

nAbdullaev Zh.L, Lakaev S.lf., On spectral properties of the matrix-valued Friedrichs model. // Advances in Sov. Math. Vol. S. Ed. R.A.Minlos, AMS, Providence, p.1-37, 1991. w Яфаев Д. P., Теория рассеяния // Изд-во СПб. Ун-та, 1996.

быть может, на непрерывном спектре. Последний случай возникает редко и требует отдельного рассмотрения. Таким образом, цель этой работы - изучить поведение собственных значений (при малых значениях параметра/?) у семейства операторов лежащих вне их непрерывного спектра.

Собственные значения £»(Л), оператора 7д, лежащие вне непрерывного спектра, непрерывно меняясь при изменении Л, «живут» в целой области Gi С Т" значений Л. (то есть г* (Л) существует только, если Л принадлежит некоторой области (?,). В случае, когда £?,• ф Т", то на границе dG{ области Gi собственное значение ei (Л) «сливается» с краем непрерывного спектра и поглощается им.

Можно показать (см. например работь^'7), что условие (2) влечет за собой условие

7о Ф wo, (16)

из которого, в частности следует, что при малых ß при каждом Л значение 7(Л) лежит вне непрерывного спектра 7д.

Теорема. У оператора Т\ при всех А существует единственное собственное значение £ь(А) имеющее вид

е4(Л) = 7о/32 + 0(/34).

Замечание. В силу условий (13), (14), (15) собственное значение £ь(Л) находится на конечном расстоянии порядка/32 от непрерывного спектра 7л, то есть

min |еь(Л) — > rß2 > О,

A,ext=mm,max

где г > 0 не зависит от ß, Л, а Тд1', ext = max, min означает максимальное или минимальное значения

Замечание. Обозначим через R\ С Н\ одномерное подпространство Тд с собственным значением £б(Л) и пусть

Hi = [ R\dA JT»

подпространство Нч, которое можно отождествить с пространством L2(T",dA). Очевидно, что это подпространство инвариантно относительно оператора Т и группы Ut, которые действуют по формулам

(ГЛ(Л) = еь(Л)ДЛ), (Utf)(A) = е^ДЛ) (17)

Таким образом, Нх имеет структуру одночастичного подпространства, то есть является пространством состояний некоторой новой «квазичастицы» поля с энергией — 1п |е&(Л)|.

Отметим, что существование пространства Нх для спиновых систем с пространством спинов 5 содержащим более двух точек, было установлено в работах6,7 (частный случай рассмотрен в статье11).

Остальные собственные значения оператора 7д, лежащие вне его непрерывного спектра, как мы увидим, могут находиться лишь поблизости от одного из его краев - т™" или Тд"™, то есть на расстоянии порядка /3°, а > 2 от одного из них. Все эти собственные значения условимся называть «прилегающими уровнями».

1. В первой главе разбирается случай произвольного финитного взаимодействия (1), задаваемого потенциалом {Ф(г), г € 2"} находящемся в «общем» положении. Это означает, что определяемое этим потенциалом семейство функций и\(к) является семейством функций, находящимся в «общем» положении (см. книгу13). То есть наши результаты верны для всех потенциалов {Ф(г),г € 2"}, за исключением тех, которые принадлежат некоторому (конечному) набору гиперповерхностей в пространстве потенциалов.

В случае размерности и = 3 доказано, что при произвольном Л £ Т3 оператор Т\ не имеет прилегающих уровней, то есть собственное значение еь(Л) является единственным собственным значением оператора 7д.

В случае малой размерности V = 1 показано, что могут существовать связанные состояния, но лишь в малой (по ¡3) окрестности некоторых специальный значений параметра Л, а именно таких значений, при которых функция (к) принимает свое минимальное или максимальное значение в двух точках (случай «общего» положения). В диссертации вычислены размеры и вид этих окрестностей, а также приведены условия, когда на самом деле возникают эти связанные состояния. Также разобран случай каустических значений параметра Л (при которых о>л(&) обладает вырожденным экстремумом) могущих вызывать появление связанных состояний при сильных вырождениях. В частности, этот эффект можно увидеть во второй главе, когда при Л = тг, функция и>л(&) вырождается в констан-

13 Арнольд Д. И. Варченхо А. Н. ГусеИн-Заде С. Л/п Особенности дифференцируемых отображений // Наука, Москва, 1984.

ту. Доказано, что типы вырождения допустимые для семейств «общего» положения не вызывают связанных состояний.

2. Во второй главе рассмотрен случай взаимодействия лишь ближайших соседей, то есть формальный гамильтониан поля имеет вид

н(сr)=ß £ ФМу). (18)

Обозначим,

т2 =< сг2 >„, d2 =< (а2 - т2)2 >„= т4 - т\ > 0 т.к. #5 > 2. Нами вычислена функция а(А) вплоть до второго порядка по ß

v

а(А) = -miß + 2mlß2J2C0S^i) + 0(А i=1

и следовательно, функция

шА (к) = miß2 - ~ *») +

i=i z 1

В случае < сг4 3 < а2 >v (или, что то же ^ Ф ml), верны следующие утверждения:

Теорема. При любой размерности v и при условии, что & ф ту оператора 7д при любом К G Т" существует собственное значение£ь(Л), лежащее вне непрерывного спектра, и такое, что

где оценка 0(ßi) равномерна относительно всех К € Т" и функция £ь (Л) непрерывно зависит от Л.

Существует такая константа С (не зависящая от ß), что если Л = (Лх,...,Л„) € Т" таково, что |Л; - ж\ > Cß,i = l,...,v, то собственное значение £ь{Л) единственно.

В случае размерности v = 1 также полностью описаны прилегающие уровни:

Теорема. Пусть v = \ и^фгг^. Кроме того,

—+ (1 — а)2 + (о - 1)(3а 4-1) < О, 1 — а

где а = Тогда существует окрестность, порядка 0, Д~(тг) точки Л = тг, такая, что для всех Л G Д~(7г) у оператора 7д существует, причем единственное, собственное значение е3_, отличное от £ь и расположенное левее точки причем

- е». < С/?4,

где величина С не зависит от /3. При этом у оператора не существует других собственных значений кроме и £ь, т.е. если Л ^ Д_(7г) собственное значение £ь(Л) является единственным собственным значением оператора Т\. В случае, когда

„з

О < + (1 - а)2 + (о - 1)(Зо+ 1) < 1, 1 — а

у оператора 7д мет собственных значений, кроме еь-Если же 3

-2—+ (1-а)2 + (а-1)(За+1) > 1,

1 — а

то существует окрестность, также порядка /3, Д+(тг) точки А — ir, такая, что для всех Л G Д+(7г) у оператора Зд существует, причем единственное, собственное значениеei+, отличное omet, и расположенное правее точки т^1ах, причем

где величина С не зависит от /?. При этом у оператора 7д не существует других собственных значений кроме е„+ и еь, т.е. если Л £ Д+(7г) собственное значение вь{А) является единственным собственным значением оператора Т\.

В случае < a4 >v= 3 < ст2 >„ (или, что то же ^ = mj), верны следующие утверждения:

Теорема. 1. Пусть ^ = т\ и и = 1,2.

Для каждого значения Л 6 Т, существуют ровно два собственных значения £±(Л) находящихся по разные стороны интервала т^] на расстоянии порядка /З3 от его концов:

е±(А) = тп2ф2 ± ш(Л)/?3 + 0((3% (19)

где величина т(Л) > 4т3 1со5(^)| ^ 0 не зависит от (3. В случае и = 1 не существует других связанных состояний оператора 7д. В случае и = 2 существует такая константа С (не зависящая от ¡3), что не существует других собственных значений, если К — (Л^Лг) такое, что |Л,- — тг| > С¡3,1 = 1,2.

2. Пусть = т! и V = 3. Обозначим

(£¿=1 - соз{щУ)) ¿кйц

(Т')2 (уо - Еы1 соз(^)соз/а)(у0 - Е<=1 сюф)сов/ц) (20)

10уо<1к _ 18

/(Л) = [ J^1

1т>

/т> уо - £-=1 СО«(^)сОвЪ где уо = £?=11«ЦЛ</2)|.

Пусть А принадлежит области <7о = {А : /(Л) < 0} С Т3, тогда оператор Т\ не имеет собственных значений.

Если же Л принадлежит области С/ = {Л : /(Л) > 0} С Т3, то существуют два собственных значения е±(А) вида (19) по обе стороны от отрезка [т^^т^^. Причем существует такая константа С > 0, что если Л лежит в окрестности

в, = {Л = (Ль Л2, Лз) € Т3: |Л,- - > С0, г = 1,2,3} П

то оператор 7д не имеет других собственных значений кроме е±(А).

Замечание. Несложно увидеть, что если значение |сов(Л{/2)| —► 0, то /(Л) —► +оо. Это означает, что область G^ содержит некоторую, не зависящую от /?, окрестность точки (7г,7г,тг). Используя численные методы, также выяснено, что область Со не является пустой, а именно точка

(0,0,0) е<70-

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору Р. А. Минлосу и профессору А. М. Степину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации.

Лакштанов Е. Л. Старшие ветви спектра трансфер-матрицы для общих спиновых моделей с взаимодействием на один шаг / / Вестник Московского Университета, Вып.6. с.3-7, 2004.

Лакштанов Е.Л., Двухчастичные связанные состояния в модели квантовой жидкости // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, 2004, тезисы докладов, стр. 98-99.

Лакштанов Е. Л., Минлос Р.А Спектр двухчастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. Уединенный уровень // Функ. Анализ и его Прил, т.38, (3), стр. 52-69, 2004.

В этой работе теорема 2.1 получена Р.А.Минлосом, теорема 3.1 получена Е.Л.Лакштановым.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 08 11 04 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 41

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

»24045

Введение

Глава 1. Связанные состояния в моделях «общего положения»

1.1 Построение одночастичных и двухчастичных подпространств.

1.2 Уединенное собственное значение 7д.

1.3 Остутствие прилегающих уровней вдали от особых значений Л.

Диссертация подготовлена на кафедре теории функций и функционального анализа Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов относящихся к спектральному анализу линейных операторов в моделях статистической физики.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию спектра стохастического оператора высокотемпературного гиббсовского поля.

Гиббсовские случайные поля являются общепринятой моделью большого числа стационарных решетчатых систем статистической физики и квантовой теории поля. Одним из важнейших изучаемых объектов, характеризующих это поле является его трансфер-матрица (стохастический оператор). Классические результаты задач, связанных с этим объектом, восходят к Г. Онзагеру, Б. Кауфману, А.Бете, М. Содпитеру, В. Рюэлю, Р. Добрушину, В. А. Малышеву, Р. А. Минлосу, Я. Г. Синаю,и другим классикам математической статистической физики.

Исследованию спектра связанных состояний операторов многочастичных систем посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами уделено внимание в монографиях В.Малышева, Р. Минлоса [2], [6], Дж.Глимма и А. Джаффе [7], Б. Саймона [8] и других.

В настоящей диссертации получено полное описание дискретного спектра трансфер-матрицы высокотемпературного гиббсовского поля с компактным спиновым пространством в ее двухчастичном подпространстве, аналогичное многочисленным исследованиям более простых случаев, а именно: случая двухточечного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей (модель Изинга) Г.Онзагером и Б. Кауфманом [3], случая компактного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей Р. А. Минлосом, Е.А. Жижиной [11], Р. С. Шуром, М.О'Кэроллом [13] (случай некомпактного пространства спинов), а также в случае произвольного взаимодействия «общего положения» проведенного в случае двухточечного спинового пространства Р. А. Минлосом и Ш. С. Маматовым [5].

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Результаты второй главы получены автором самостоятельно. В первой главе теорема о существовании «уединенного» уровня получена совместно с Р А. Минлосом.

Замечание. В случае модели Изинга = 1 и поэтому в Ti2 отсутствует часть базиса {hl,x eZ"}.

В построенном базисе оператор U8 имеег вид

ТТ 1,(2) 1,(2) гг й(2) 1,(2) а матричные элементы ' записываются в виде:

О - + + где коэффициенты {az, z € Z"} те же, что и в (0.6). Обозначим также

PfAffi. ftp») = ает. < W. ft?)=

Выполнены следующие оценки:

В\,С\ числа, не зависящие от f3.

Действие операторов U^ = Ut\n2 и = Т/з\-н2 удобнее описать после «преобразования Фурье»: рассмотрим унитарное отображение

W2:H2^> L?r(V х Т", dXxdX2) = Я2, (0.9) действующее по формулам

W2hf){X) = ei(x'A) <Е L2(V, dX)

0.10)

Под действием этого отображения оператор Т^ переходит в оператор

2)Л(Ль А2) = а(А1)а(А2)/(А1, А2) 4- (0.11) G(Ab А2; /l»I, ц2)5(Ах + А2 - /л - //2)/(/л, /и2)фхф2, /

•/Т" ./т*

Т*' «/Т" G L^CF х d\id\2), ядро (7(Ai, А2; /л, /г2) определено на многообразии {Ai + А2 = /л + fi2} С (Т")4 и является достаточно гладкой функцией. Это ядро можно записать в виде

G(Xi, А2; /Л, р2) = KXl+X2{Xu pi), где Т" = [0,2тг]1/ -1/-мерный тор, a d\ - нормирования мера Хаара на Т", операторы U^ и Т^ перейдут в операторы умножения на функции

Ull)f){ А) = А), (Г,(1)/)(Л) = а(Л)/(Л),

0.7) где а(Л) = Ylz ' - преобразование Фурье функции а.

Замечание. Согласно физической интерпретации, оператор объявляется гамильтонианом соответствующего решетчатого поля, пространство Tii пространством состояний его «квазичастицы» (с наименьшей массой), причем А - квазиимпульс этой квазичастицы, а — | lna^A) энергия «квазичастицы» с квазиимпульсом А.

В силу того, что функция ах убывает экспоненциально, с большим показателем экспоненты, функция а(А) аналитична в некоторой комплексной окрестности тора Т" :

WA = {A G C/Z" : |/mA(i)| < А, г = 1,., и}, (0.8) где значение А = А(/3) достаточно велико при малых /3 (через С?/7/ обозначено фактор-пространство относительно действия группы Z" в С" : z —► z + n, z € С, n G Z" ). Кроме того, а(А) аналитически зависит от и при малых (3 допускает представление а(А) = (Зсю + /32а1(\) + а2(А, /?), где а2(А, 0) ~ 0(Р2), а а0 ф 0 - константа, и ai(A) - функция, обе не зависящие от (3. Здесь и в дальнейшем обозначение 0{(Зк) означает, что соответствующая величина допускает оценку С(Зк с константой С > 0, не зависящей от (и возможно других переменных).

Двухчастичное пространство оператора Тр строится подобным же образом: в качестве приближения к нему выбирается пространство, натянутое на векторы {a{x)cr(y)% (х%у) eZ"x Z",rr ^ у\ о2(х),х € Z"}, и затем, применяя упомянутый выше прием из теории возмущений, мы получаем инвариантное относительно и {Ut} подпространство Ti2 вместе с некоторым специальным базисом в нем е 1У, л®,, (x,y)ez^xz^x^y} 8

При высокой температуре трансфер-матрица обладает, так называемой, корпускулярной структурой спектра. Это означает возможность выделения одночастичного, двухчастичного, трехчастичного и так далее А;—частичных инвариантных подпространств, отвечающих за поведение, и в частности, рассеяние соответствующего числа квазичастиц. Если спектр в одночастичном подпространстве описывается сравнительно легко, то изучение этого спектра уже в двухчастичном подпространстве является непростой задачей из-за наличия так называемых «связанных состояний». Чисто аналитически эта задача состоит в нахождении собственных значений некоторого семейства операторов фридрихсовского типа.

Подробно о выделении инвариантных подпространств и вычислении матричных коэффициентов написано во второй главе, в которой разбирается конкретный случай взаимодействия ближайших соседей- В первой же главе будет рассматриваться наиболее общий случай, позволяющий дать наиболее полное представление о модели, а именно в данной работе, рассматриваются лишь потенциалы «общего положения». Для таких потенциалов свойства соответствующего фридрихсовского семейства операторов сохраняются при малых «шевелениях» потенциала или - что одно и тоже - при малых шевелениях «символа» этого семейства (то есть энергии двух «квази-частиц» в состоянии рассеяния, как функции их квазиимпульсов). Потенциалы взаимодействия, приводящие к исключительным «символам», образуют гиперповерхность конечной коразмерности в пространстве всех потенциалов. Следует отметить, что часто рассматриваемый случай взаимодействия ближайших соседей приводит к символам уже не общего положения и в этом случае картина спектра отличается от той, которая описана в первой главе.

Напомним далее основную схему построения одночастичного и двухчаг стичного инвариантных пространств трансфер-матрицы 7/j (и групы трансляций Ut). В качестве исходного приближения к одночастичному пространству выбирается линейная оболочка функций {/^(а) = а(х),х Е Z"}, и затем, с помощью некоторого приема теории возмущений (см. [1],[2]), строится истинное инвариантное подпространство Tii вместе с ортонормированным базисом {hx, х € Z"}, в котором операторы трансляций Ut\nx = U^ действует циклически U^hx = hx+t, t,x G Z", а трансфер-матрица %з\нх — с помощью свертки

Tphx = Ox-yhy, (0.6) i/eCi с некоторой экспоненциально-убывающей функцией {az, z £ Z"}.

После унитарного отображения («преобразования Фурье»)

Wi:Hi-> L2(V, dX), {Wxhx){А) = ei(A'*\ Л € Г,

V> ВИД

H{a) = pYI ф(х - УМхМУ)> (О-.Г) где о = {а(х),х £ Z" х Z} ^"-«пространство», Z - «время») - конфигурация поля, принимающая значения в некотором компактном, симметричном относительно нуля подмножестве S € R1, причем #5 > 2.

Здесь /3 = y ~ обратная температура, (которая в дальнейшем предполагается достаточно малой). Далее Ф (г) финитный потенциал взаимодействия, отличный от нуля только для векторов вида z = (z,Zq) eZ"x Z1, у которых «временная» координата \zq\ ^ 1 (это условие и позволяет рассматривать наше гиббсовское поле как марковское вдоль направления «времени»). При этом мы, как обычно, рассматриваем более узкий класс потенциалов Ф(г); их носители состоят либо из векторов (z, 0), либо векторов (0, Zq), \zq\ = 1".

Как обычно, предполагается, что задано некоторое, сииметричное относительно нуля, четное распределение вероятностейv на множестве S, с помощью которой задается «свободная» мера/^о = в пространстве П = всех конфигураций поля. Гиббсовское поле/х^ определяется стандартным образом с помощью гамильтониана (0.1) и свободной меры /хо• (подробности, например, в [6]). Относительно меры v мы предположим, что а4 >ьф 3 < а2 >„, (0.2) где < crk >v= fgO^dvfo) - к—ый момент распределения v. Пусть ц Yk = {x = {xu.,хи+1) е Z"+1: Xv+A = к} С Zv+1 (0.3) есть fc-ый «временной слой», к € Z. Произвольную конфигурацию <г € П можно записать как последовательность

Т - {.,<71,<Т0,<71,<72,.} (0.4) где сг^ = er[yfc Е S'2" = По - сужение сг на слой У^. Теперь /х^ это распределение стационарной марковской цепи (0.4) с пространством состояний По и инвариантной мерой ^ = гДе £о это а— алгебра в По. Стохастический оператор Т этой марковской цепи называется трансфер-матрицей системы. Оператор Т действует на гильбертовом пространстве Н = 1/2(По, vp) С 1/2(П, /X/?) функций, зависящих только от конфигураций Go G По. Матричные элементы Т могут быть записаны как

Г/, (?) =< /(<п),^Ы /, Р 6 И. (0.5)

Поскольку мера Цр инвариантна относительно пространственных сдвигов поля, в пространстве 7i определена также унитарная группа {Ut, t € Z,"} пространственных трансляций, коммутирующая с 7р (подробнее см. [2]). Доказано существование изолированного «уединенного уровня», находящегося на расстоянии порядка 1/Т2 от края непрерывного спектра, при каждом значении полного «квазиимпульса» системы.

Доказано отсутствие двухчастичных связанных состояний в модели «общего положения» и размерности пространства (у = 3), что является полным описанием дискретного спектра двухчастичной области этой модели. В случаях меньших размерностей показано, что двухчастичные связанные состояния могут возникать лишь вблизи особых значений полного квазиимпульса Л € Т". При и = 1 также приведены условия того, что эти собственные значения на самом деле возникают.

Описан спектр связанных состояний в каждой размерности и = 1,2,3 в случае взаимодействия ближайших соседей, причем рассмотрен также не изучавшийся в литературе случай < а4 >= 3 < а2 >. В случае v — I описание двухчастичной области является полным.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории функций комлексного переменного, теории интегральных уравнений, случайных процессов, а также методы теории особенностей.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты заключаются в описании дискретного спектра действия трансфер-матрицы гиббсовского случайного поля в ее двухчастичном пространстве, однако развитые методы могут быть использованы в других многочастичных системах, а также в теории евклидовых квантовых полей.

Апробация работы. Результаты автором докладывались на научно-исследовательский семинаре «терии рассеяния и статистическая механика» под руководством Р.А.Минлоса. Также автор выступал с докладом на международных конференциях: по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004г.), по математической физике (Беловеже, Польша, 2004г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [19}, [20], [21].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 81 странице и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 21 наименование.

1. Malyshev V. А, Minlos R. А, Invariant subspaces of clustering operators. / / J.of Stat. Phys. 21(3): 231-242 (1979); ir.,Commun. Math. Phys. 82: 211-226, 1981.

2. Малышев В. A, Минлос P. A., Линейные операторы в бесконечно- частичных системах / / Наука, 1992.

3. Onzager L., Kaufman В., Crystal statistics, / / Phys. Rev., v.76, p.232, 1949.

4. Минлос P. A. Синай Я. Г., Изучение спектра стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа, / / Теор. и Мат. Физ. т.2 230-243, 1970.

5. Маматов Ш. С, Минлос Р. А, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, / / Теор. и Мат. Физика, т.79(2): 163-1, 1989.

6. Малышев В. А, Минлос Р. А., Гиббсовские случайные поля / / Наука, Москва, 1985.

7. Глим Дэю, Джаффе А., Матемамтические методы квантовой физики / / Меркурий Пресс, Москва, 2000.

8. Рид М, Саймон Б.у Современные методы математической физики. т.З. Теория рассеяния. / / Мир, Москва, 1982.

9. Саймон В., Модель Р{(р)2 эвклидовой квантовой теории поля / / Мир, Москва, 1976.

10. Abdullaev Zh. I., Lakaev S. N., On spectral properties of the matrix-valued Friedrichs model. / / Advances in Sov. Math. Vol. 5. Ed. R.A.Minlos, AMS, Providence, p. 1-37, 1991,

11. Minlos R.A, Zhizhina Д Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems., / / Journal of Stat. Phys.,v.l08, p.885-904, 2002.

12. Abdullaev J., Minlos R.A„ An extension of the Ising Model, / / Advemces in Soviet Mathematics, Vol. 20: 1-20, AMS Providensce, 1994.

13. Schor R. S., O'Carrol M., Transfer matrix spectrum and bound states for the lattice classical ferromagnetic spin systems at high temperature, / / Journal of Stat. Phys., 99(6/6): 1265-1279, 2000. 4Ф

14. Бирман М.Ш., Соломян М. ^ Спектральная теория самоспоряженных операторов в гильбертовом пространстве. / / Изд-во Ленинградского У-та, Ленинград, 1980.

15. Яфаев Д. Р., Теория рассеяния / / Изд-во СПб, Ун-та, 1996.

16. Левин Б.Я.у Распределение корней целый функций, / / Гостехиздат, Москва, 1956.

17. Арнольд Д. И. Варченко А. Н. Гусейн-Заде М, Особенности дифференцируемых отображений / / Наука, Москва, 1984.

18. Маркуимввич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, / / ГосТехиздат, Москва, 1957. Работы автора по теме диссертации.

19. Лакштанов Е. Л. Старшие ветви спектра трансфер-матрицы для общих спиновых моделей с взаимодействием на один шаг / / Вестник Московского Университета, Вып.6. с.3-7, 2004.

20. Лакштанов Е. Л., Двухчастичные связанные состояния в модели квантовой жидкости / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, 2004, тезисы докладов, стр. 98-99.

21. Лакштанов Е. Л., Минлос Р. А^ Спектр двухчастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. Уединенный уровень / / Функ. Анализ и его Прил, т.38, (3), стр. 52-69, 2004. ^i 4i 81