Самогенерация макроскопических потоков компонент плазмы в токамаке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи

СОРОКИНА Екатерина Алексеевна

САМОГЕНЕРАЦИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ПОТОКОВ КОМПОНЕНТ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ

01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о :

Москва - 2012

005016900

005016900

Работа выполнена в Национальном исследовательском центре "Курчатовский институт" и в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель:

Ильгисонис Виктор Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Брушлинский Константин Владимирович доктор физико-математических наук, профессор заведующий отделом ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Ерохин Николай Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор заведующий отделом ИКИ РАН

Ведущая организация:

Государственный научный центр Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований (ТРИНИТИ)

Защита состоится "_"_2012 г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д.520.009.02 при НИЦ "Курчатовский институт" по адресу: 123182, Москва, пл. Курчатова 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ "Курчатовский институт".

Автореферат разослан "_"_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. В. Демура

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

В диссертационной работе исследуется проблема самогенерации тока и вращения плазмы в магнитных системах типа токамак, имеющая ключевое значение для создания на базе таких систем энергетического термоядерного реактора. Поддержание тороидального электрического тока в плазме необходимо для стационарной работы токамака, поэтому возможность безындукционной самогенерации (без использования внешних источников) тока - бутстрэп-эффект [1] - чрезвычайно важна для достижения экономической эффективности термоядерного реактора на основе токамака. Особое место в теории генерации бутстрэп-тока занимает ток высокоэнергичных а-частиц, рождающихся в центре плазмы токамака в результате протекания термоядерных реакций. При достаточной величине бутстрэп-ток а-частиц может играть роль "затравочного" [2], что потенциально позволяет создать токамак-реактор с полностью самоподдерживающимся током. Применимость неоклассической теории [3), в рамках которой традиционно проводятся расчеты бутстрэп-тока, нарушается в центральной области плазменного шнура. Это диктует необходимость создания новых методов расчета самогенерации тока, одинаково пригодных как для периферии, так и для центра плазменного шнура и позволяющих получить надежную оценку (сксйлинг) плотности бутстрэп-тока во всем объеме плазмы. Наряду с генерацией тока в токамаке может возникать вращение плазмы; этот эффект наблюдается на всех крупных современных установках [4]. Считается, что генерация неоднородного вращения способна приводить к снижению уровня турбулентных флуктуации и улучшению удержания плазмы в токамаке [5]. В настоящее время проблема возникновения самопроизвольного, т. е. появляющегося в отсутствие внешних источников момента импульса, макроскопического вращения плазмы в тороидальных магнитных системах является одной из самых интригующих задач физики управляемого термоядерного синтеза [6]. Помимо указанных термоядерных приложений проблема самогенерации потоков компонент плазмы имеет и очевидное фундаментальное значение, связанное с самопроизвольным возникновением (перераспределением) механического момента импульса в плазменных системах в присутствии электромагнитного поля, которое наблюдается как в лабораторных установках, так и в астрофизических объектах.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является исследование возможных механизмов самогенерации потоков заряженных компонент высокотемпературной плазмы в электромагнитном поле токамака во всем объеме плазменного шнура. Рассмотрено два класса задач, непосредственно относящиеся к проблеме генерации и перераспределения импульса и

момента импульса в неоднородной за-магниченной плазме. Первый класс задач связан со спонтанной анизотропизацией функции распределения заряженных частиц в тороидально-винтовом магнитном и радиальном электрическом полях токамака, способной приводить как к генерации тока, так и к вращению ансамбля частиц плазмы. Два типа задач этого класса рассматриваются в рамках бссстолкновитслыюго кинетического подхода. Второй класс задач связан с генерацией потоков, вызванной развитием низкочастотных гидродинамических неустойчивостей в токамаке. Демонстрируется возможность генерации крупномасштабных зональных течений (ЗТ) [7] и геодезических акустических мод (ГАМ) [8] в результате развития мелкомасштабной низкочастотной магнитогидродинамической (МГД) турбулентности. Задачи данного класса исследуются в рамках идеальной МГД.

Методы исследования

В кинетических исследованиях, положенных в основу настоящей диссертации, автор использует разработанные ею оригинальные компьютерные коды, основанные на численном интегрировании точных трехмерных уравнений движения заряженных частиц. Важной отличительной особенностью такого метода является возможность верификации расчетной процедуры путем проверки сохранения точных интегралов движения. Для отыскания спектра низкочастотных МГД-колсбаний автор применяет стандартные аналитические методы исследования спектральной устойчивости, адаптированные для рассматриваемого случая неоднородно движущейся среды.

Научная новизна

В работах, положенных в основу диссертации, автором получен ряд новых результатов, среди которых можно отметить следующие:

• В диссертации впервые применен альтернативный подход к задаче о генерации бутстрэп-тока, свободный от упрощающих предположений стандартной неоклассической теории (СНТ). Данный подход позволил рассчитать локальные значения функции распределения и генерируемых потоков без традиционного усреднения по магнитным поверхностям, свойственного СНТ. Полученные результаты применимы ко всему объему плазменного шнура, включая магнитную ось.

• Выявлена определяющая роль третьего адиабатического инварианта в формировании характерной зависимости бесстолкновительной функции распределения от косинуса питч-угла.

• Рассчитана амплитуда полоидальных осцилляций плотности тока, самопроизвольно генерируемого в токамаке. Показано, что сильная зависимость плотности тока от полоидального угла связана с отклонением пролетных частиц от магнитных поверхностей.

• Получен обобщенный скейлинг плотности тороидального тока, справедливый во всем объеме плазменного шнура. Скейлинг демонстрирует нелокальную связь плотности генерируемого на магнитной оси тока с

неоднородностью источника.

• Исследовано влияние неоднородности коэффициента запаса устойчивости д на генерацию тока в токамаке. Неоднородность ц оказывается существенной для генерации тока при наличии второй производной у профиля начальной концентрации частиц ансамбля.

• Впервые рассчитана величина макроскопической скорости вращения, генерируемой при релаксации изначально изотропного ансамбля частиц в токамаке в присутствии радиального электрического поля. Показано, что макроскопическая скорость тороидального вращения ансамбля не сводится к локальной скорости электрического дрейфа и направлена в разные стороны на внутренней и внешней сторонах тора. Этот эффект связан с сосуществованием в токамаке подгрупп запертых и пролетных частиц, которые приобретают в радиальном электрическом поле разную добавку к тороидальной скорости.

• Впервые рассчитана неустойчивость ГАМ и ЗТ, вызванная равновесным вращением плазмы.

Автор выносит на защиту:

1. Вывод о том, что в бесстолкповительном режиме функция распределения ансамбля частиц с заданной энергией в токамаке естественно формируется как функция преимущественно третьего адиабатического инварианта, особенно в приосевой области.

2. Обобщенный скейлинг плотности тороидального тока, генерируемого при эволюции первоначально изотропного ансамбля «-частиц с заданным пространственным распределением в магнитном поле токамака, применимый ко всему объему плазменного шнура.

3. Утверждение о том, что скорость тороидального вращения максвсл-ловского ансамбля частиц в радиальном электрическом поле токамака не сводится к локальной скорости электрического дрейфа и направлена в разные стороны на внутренней и внешней сторонах тора, что связано с сосуществованием в токамаке подгрупп пролетных и запертых частиц.

4. Аналитическое выражение для средней тороидальной скорости вращения пролетных частиц в магнитном и радиальном электрическом полях токамака.

5. Обнаруженную неустойчивость сплошного спектра электростатических осесимметричных мод - ГАМ и ЗТ — в плазме токамака с полоидальным и тороидальным вращением.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты имеют важное научное значение для качественного понимания физических механизмов самогенерации потоков плазмы в токамаке и количественных расчетов величин таких потоков. В частности,

• Предложенное выражение для плотности тороидального тока позволяет оценить максимальную величину тока, возникающего в результате взаи-

модействия заданного ансамбля частиц с магнитным полем токамака, в любой точке плазменного шнура.

• Продемонстрированная сильная зависимость плотности самопроизвольно генерируемого тока от полоидалыюго угла указывает на необходимость согласованного рассмотрения задачи о генерации бутстрэп-тока с задачей о равновесии; традиционно проводимое формальное усреднение генерируемого тока по магнитной поверхности представляется недостаточным.

• Выявленная преимущественная зависимость бесстолкновительной функции распределения от третье!« адиабатического инварианта способна заметно упростить поиск приближенных решений при кинетических расчетах ir повысить их качество.

• Обнаруженная неустойчивость мод сплошного спектра ГАМ и ЗТ может быть ответственна за наблюдаемую в современных экспериментах на токамаках низкочастотную МГД активность.

• Отдельное методическое и практическое значение имеют разработанные автором численные коды, снабженные простыми пользовательскими интерфейсами.

Личный вклад автора

По теме диссертации автором опубликовано 5 статей (не считая докладов на конференциях), в том числе 1 статья без соавторов. Все без исключения численные расчеты в диссертационной работе проделаны автором и основаны на оригинальных численных кодах, ею разработанных. Получено два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ. Кроме того, автору принадлежит значительная доля полученных аналитических результатов и сделанных на их основе выводов.

Апробация работы

Полученные автором научные результаты докладывались и обсуждались на семинарах в НИЦ "Курчатовский институт", а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как Конференция-конкурс научных работ в области физики студентов и аспирантов Московского физического общества (Физический институт им. П.Н.Лебедева, Москва, 2010), XXXVIII Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2011), Hamiltonian Approaches of ITER Physics (CIRM, Marseille, Prance,

2009), 52nd Animal Meeting of the APS Division of Plasma Physics (Chicago, USA, 2010), 23rd IAEA Fusion Energy Conference (Daejeon, Republic of Korea,

2010), 38th EPS Conference on Plasma Physics (Strasbourg, France, 2011).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах.

Объем и структура диссертации

Работа изложена на 119 страницах, иллюстрирована 42 рисунками. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 24 параграфа, и Заключения. Каждая глава начинается с небольшой преамбулы, разъясняющей, чему посвящена данная глава, и заканчивается кратким резюме, в котором суммируются полученные в ней результаты. Список цитируемой литературы содержит 87 наименований.

Содержание работы

Во Введении очерчена проблематика диссертации, сформулированы задачи и метод проведенного исследования, обосновывается актуальность диссертационной темы. Дается краткое описание классического подхода CHT к решению задачи о генерации бутстрэп-тока в токамаке. Указаны основные отличия используемого в диссертации метода расчета эволюции функции распределения ансамбля частиц от метода CHT. Во Введении также кратко изложено содержание диссертации и перечислены положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена вопросу самопроизвольной анизотропизации функции распределения / первоначально изотропного ансамбля частиц в электромагнитном поле токамака.

В первом параграфе описан используемый метод расчета бесстолкнови-тельной эволюции функции распределения. Рассматривается задача о бес-столкновительной релаксации изначально изотропного ансамбля частиц в токамаке и присутствии электромагнитного ноля на временах, мною меньших времени столкновений. Такой постановке соответствует кинетическое уравнение с источником S

Здесь <5(б) - дельта-функция от времени, по (г) — начальная концентрация частиц, 70 (у) - начальное распределение частиц по скоростям, остальные обозначения стандартные. Бесстолкновительное кинетическое уравнение интегрируется точно:

0(4) - функция Хевисайда, го = г(£ = 0), = = 0) - начальные положение и скорость частицы. Вид функции распределения в эйлеровых переменных /(г,у, получен путем обратного интегрирования вдоль траекторий, найденных путем численного решения точных уравнений движения заряженных частиц. Функция распределения /(г, V, в каждой точке пространства заведомо нестационарна, т. к. в общем случае не является в начальный момент времени функцией интегралов движения. Для получения стационарной картины на временах, больших нескольких характерных "траекторных" времен системы, проведено временное усреднение функции распределения по правилу:

О, i < о 1 i ^ о

■т

В асимптотике Т —> оо функция распределения /(г, v) = lim < /(г, v, t) > перестает зависеть от времени и определяется только интегралами движения. Используемая процедура расчета применима для любой осесимметртгч-ной конфигурации магнитного и электрического полей. Для иллюстрации эффектов в работе используются простейшая конфигурация тороидально-вложенных концентрических круглых магнитных поверхностей и параболическая радиальная зависимость электрического потенциала Ф = Ецр2/2о, (Б = —УФ), где р е [0, а] - радиус магнитной поверхности, о - малый радиус токамака, Ео > 0 - напряженность электрического ноля на границе плазменного шнура. Большой радиус токамака и величину магнитной индукции на его оси обозначаем через R и Во соответственно. В дальнейшем будем также использовать безразмерный радиус х = р/а и полоидальный угол О, отсчитываемый от экваториальной плоскости токамака.

Во втором параграфе представлен вид функции распределения, устанавливающейся в результате эволюции первоначально изотропного ансамбля частиц в магнитном и радиальном электрическом полях токамака. Рассмотрены два типа источников: моноэнергичный источник а-частиц с -уо(г>2) = S(v2 — v2)/2nva (va - модуль скорости а-частиц) - подпараграф 1.2.1 - и источник тепловых ионов с максвелловским распределением по скоростям 7о(i>2) = (тгг)|.)~3/2ехр — (v/vT)2 (vT - тепловая скорость) - подпараграф 1.2.2. В чисто магнитном поле спонтанная анизотропизация ансамбля частиц происходит лишь при наличии исходной неоднородности его концентрации. При наличии электрического поля анизотропизуется функция распределения и пространственно-однородного ансамбля. Характерная зависимость результирующей функции распределения от косинуса питч-угла в обоих случаях оказывается весьма схожей.

В третьем параграфе исследуется связь функции распределения с интегралами движения. Показано, что R бесстолкновительном режиме функция распределения ансамбля частиц с заданной энергией в токамаке естественно формируется как функция преимущественно третьего адиабатического инварианта J± = f HdS (интегрирование выполняется по сечению дрейфовой поверхности, описываемой центром ларморовской орбиты частицы), особенно в приосевой области. На периферии плазменного шнура в области фазового пространства, где доля запертых частиц ансамбля значительна, становится заметным вклад в функцию распределения тороидальной компоненты канонического импульса/продольного адиабатического инварианта. Сказанное иллюстрируется рис. 1, на котором представлена сравнительная зависимость рассчитанной функции распределения и третьего адиабатического инварианта от нормированной тороидальной скорости в трех точках экваториального сечения токамака.

Четвертый параграф посвящен обсуждению основных результатов главы.

В пятом параграфе дано краткое резюме главы 1.

Рис. 1: Зависимость нормированной функции распределения //у (fx = //пд(7ги^,)_3/2ехр — (v/vt)2) (слева) и величины 1 — Jxn (Jj-N — J±/Bona?) (справа) от нормированной тороидальной скорости в точке (а) х = 0, (б) х = 0.8; в = 180°, (в) х = 0.8; 0 = 0°. Здесь па ~ начальная концентрация частиц ансамбля на магнитной оси, v/vt ~ 1.

Вторая глава диссертации посвящена вопросу самопроизвольной генерации тороидального тока (бутстрэп-тока) в магнитном поле токамака.

В первом параграфе описана процедура расчета плотности генерируемого тороидального тока от первоначально изотропного ансамбля высокоэнергичных а-частиц с неоднородным распределением в пространстве. Стационарное значение плотности тока определено как первый момент функции распределения, усредненной по времени согласно процедуре, описанной в первой главе.

Во втором параграфе приведена краткая сводка известных (полученных в рамках неоклассической теории) сксйлингов плотности бутстрэп-тока а-частиц.

В параграфе три представлено пространственное распределение плотности генерируемого тока во всем сечении плазменного шнура. Демонстрируется сильная неоднородность плотности тока по полоидальпому углу ~ cos б. Амплитуда полоидальных осцилляций плотности тока заметно превосходит его среднее значение на магнитной поверхности, так что направление тока меняет знак при переходе с внешнего обвода тора на внутренний - см. рис. 2. Приведено качественное объяснение зависимости плотности тока от полоидалыгого угла.

Четвертый параграф посвящен расчету плотности тока на магнитной оси токамака. Обсуждается роль эффекта асимметрии границы в фазовом пространстве между пролетными и запертыми частицами в генерации тока вблизи центра плазменного шнура. Представлена связь плотности генерируемого на оси тока с профилем начальной концентрации а-частиц. В отличие от плотности бутстрэп-тока на периферии плазменного шнура, определяемой градиентом по, плотность тока на магнитной оси оказывается пропорциональна первой ненулевой производной концентрации в точке х = 0.

В пятом параграфе путем вариации параметров q, А и рь/а (Я коэффициент запаса устойчивости, А = R/a - аспектное отношение уста-

Jmt/en-lVa о.оз-

0.015-

0

-0.015.

1

xsin8 >-Г" ¿„„о

Рис. 2: Типичное распределение плотности тока в полоидальном сечении.

и

новки, рх, - величина ларморовского радиуса, рассчитанная по полю на магнитной оси) исследуется зависимость величины генерируемого тока от параметра С = 2др^/определяющего меру отклонения траекторий от магнитных поверхностей. Области периферии и центра плазменного шнура рассматриваются отдельно. Вдали от магнитной оси плотность тока линейно связана с градиентом концентрации и пропорциональна первой степени С-Проводится сравнение усредненной по магнитной поверхности плотности тока на периферии плазменного шнура с известными скейлингами бутстрэп-тока. Независящее от цолоидалыюго угла слагаемое функционально совпадает с плотностью тока, полученной Ноцептипи и др. [9|, и превышает его по абсолютной величине приблизительно в 31п(иа/ис) раз, где г>с - зависящая от температуры электронов скорость а-частиц, при которой торможение на электронах в операторе динамического трения сравнивается с торможением на ионах основной плазмы. В центре плазменного шнура величина плотности тока нелокально зависит от распределения источника частиц в пространстве. Функциональная зависимость плотности тока от £ не является универсальной и сама определяется профилем начальной концентрации. Для типичных экспериментальных профилей концентрации П2 = пд(1 — х2)2 и п4 = пд( 1 — а;2)4 предложены следующие скейлин-ги плотности тока на магнитной оси: /о|„0_П2 = —0.15еуаС,2А?(12п/в.х2х_0, что функционально соответствует предсказаниям работы Голобородько и др. [10]; ^|по=гг4 = —0.36еуа£4А4(14п/с1х'1х_0. Построен обобщенный скей-линг плотности тока, одинаково пригодный как для периферии, так и для центра плазменного шнура:

]1ог = ^ехр (=£) - (1 - ехр х

х {Со(г) + Сг(х) сояв + ¿2(2:) соэ20},

где

ад = /|(о.18(1 + 2) -0.245). Сг{х) = 0.68-0.2^,

С2(х) = -0.14(5 +0.02).

Для епшвки аппроксимированной формулы между периферией и центром плазменного шнура использована экспоненциально спадающая функция с полушириной, пропорциональной ширине банановых орбит.

В шестом параграфе обсуждается роль неоднородности коэффициента запаса устойчивости в генерации бутстрэп-тока. Рассмотрены монотонно нарастающие профили </, а также профили д с минимумом в приосевой части плазменного шнура. Показано, что плотность тока зависит от изменения величины д вдоль траекторий заряженных частиц. Наиболее сильный эффект

зависимости от радиальной производной д проявляется в центре плазменного шнура, однако для стандартных профилей д из-за небольшой величины этой производной в центре шнура его количественная роль невелика. Влияние неоднородности д заметно усиливается при наличии второй производной концентрации. Поскольку для обычных параболических профилей коэффициента запаса устойчивости величина с1д/<1х растет к периферии, то и заметные отклонения от скейлингов с подстановкой текущего значения д наблюдаются на краю плазменного шнура и определяются произведением сРп/(1х2(1д/с1х.

Седьмой параграф посвящен обсуждению основных результатов главы.

В восьмом параграфе представлено краткое резюме главы 2.

В третьей главе диссертации рассчитана макроскопическая скорость вращения максвелловского ансамбля частиц, генерируемая в радиальном электрическом поле токамака (бутстрэп-эффект в электрическом поле).

В первом параграфе обсуждается постановка задачи.

Во втором параграфе представлены рассчитанные профили нолоидаль-ной и тороидальной компонент макроскопической скорости вращения для первоначально однородного максвелловского ансамбля частиц. Однородный ансамбль рассматривается с целью отделения "чистого" вращения в электрическом поле от добавочных потоков, индуцированных бутстрэп-эффектом, связанным с пространственной неоднородностью источника (результаты для неоднородного источника приведены в четвертом параграфе главы). Демонстрируется неплохое соответствие профилей полоидалыюй компоненты макроскопической скорости вращения и полоидальной компоненты скорости электрического дрейфа. Профиль скорости тороидального вращения значительно отклоняется как от профиля тороидальной компоненты скорости электрического дрейфа = —сЕрВд/В2, так и от профиля скорости электрического дрейфа, рассчитанной по полоидальному магнитному полю, = —сЕр/Вд (последняя величина представляет собой стандартную неоклассическую оценку тороидальной скорости вращения в электрическом поле [11]) - см. рис. 3. Тороидальная (маркируемая индексом <р) составляющая скорости макроскопического вращения оказывается направленной в разные стороны на внешней и внутренней сторонах тора.

Для объяснения нетривиального характера тороидального вращения ансамбля в третьем параграфе исследованы особенности влияния радиального электрического поля на тороидальное движение отдельных заряженных частиц. Рассчитана добавка А V =< у1р >— < % >е=о (< '-V > (го,у0) = /(Г' ТЬ - период обращения проекции ведущего центра частицы в

полоидалыюм сечении) к средней тороидальной скорости, приобретаемая частицей в радиальном электрическом поле. Такое приращение средней тороидальной скорости ЛУ частиц, стартующих из одной и той же точки пространства с одним и тем же модулем начальной скорости, оказывается неодинаковым для запертых и пролетных частиц. Для запертых частиц добавка к средней тороидальной скорости сводится к скорости электрического

Рис. 3: Радиальное распределение в плоскости z — р sin в = 0 (а) 2-компоненты полои-далыюй Vz и (6) тороидальной скоростей вращения ансамбля частиц с однородным максвелловским источником: 1 - в отсутствие электрического поля (/:'() = 0), 2 — при наличии электрического поля (Ео — 0.6). Скорости нормированы на тепловую скорость.

дрейфа в полоидальном магнитном поле ДУ(г и = —сЕр/Вд. Среднее изменение скорости пролетных частиц оказывается существенно меньшим \сЕр/Вд\ по абсолютной величине и различно по знаку для частиц, стартующих с внешней и внутренней сторон тора - см. рис.4. Получено аналитическое выражение для усредненной по времени тороидальной скорости пролетных частиц в магнитном и радиальном электрическом полях токама-ка:

^ ^ а Ро

< V,„ >= VVQ — oedr eos во ——--Sdr^E COS

qR me

pl ZeB0 ,

'o~5--1"

qR me

jJL + M__

\mR 2qR me

ZeBp \ edr(l + aeE) f J 3pg ZeB0

,v> 1 a o \mR 2qR mc

+

+0(e%) + 0(e2dr).

Здесь индексом ноль обозначены начальные значения радиальной координаты ро, цолоидального угла Оц и тороидальной скорости и^о пролетной частицы и введены малые параметры = VdrqR/р^ь^] и ее = УеодД/ро^о! (Кгг ~ скорость градиентного дрейфа, Упд = сЕрВ^/В2 - полоидаль-ная компонента скорости электрического дрейфа, J — т(Л + pcos9)víp — ZeBop2/2qc — тороидальная компонента канонического импульса, являющая яся инвариантом движения, сг = у^о/|г^>о|). В согласии с результатами численных расчетов добавка к тороидальной скорости пролетной частицы, индуцированная электрическим полем, А.Урая ж ~ее£<1г совв^еВар%/{т.(щК) по абсолютной величине меньше |Д14Г|, не зависит от направления стартовой тороидальной скорости частицы и меняет знак при изменении азимутального положения точки старта частицы соз 0о). Несовпадение тороидальной компоненты макроскопической скорости ансамбля частиц с ве-

AVIvo

0.40.30.20.10.0--0.1н

(a)

" VeJvo It =0.8, e-o"

-1.0

-0.5 0.0 0.5 V«o/ Vo

t.o

AVI va

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1

-1.0

(6)

" Ve!VO\x~I).8,0-18I>°

-0.5 0.0 0.5 Vf0/ VO

1.0

Рис. 4: Зависимость приращения средней тороидальной скорости, приобретаемой частицей в электрическом поле, от нормированной начальной тороидальной скорости в точке (а) х = 0.8; в = 0°, (б) х = 0.8; в - 180°.

личиной У^, таким образом, связано с существованием в плазме токамака большой фракции пролетных частиц, приобретающих в радиальном электрическом поле скорость < |ДУ(Г| ~ |У^|. В заключении параграфа рассмотрена зависимость тороидальной скорости, приобретаемой частицей в радиальном электрическом поле, от массы и заряда. Приращение тороидальной скорости ДУ частицы, рождающейся при значении питч-угла, далекого от границ перехода между запертыми и пролетными частицами, не зависит ни от заряда, ни от массы частицы. Лишь в небольшой области переходных питч-углов ДУ оказывается чувствительна к изменению массы и заряда, причем это влияние заметнее вблизи центра плазменного шнура.

Возможная роль радиального электрического поля в генерации бутстрэп-тока обсуждается в четвертом параграфе. Рассмотрен источник с максвелловским распределением частиц по скоростям и неоднородным профилем начальной концентрации. При заданном неоднородном максвел-ловском источнике в системе возникают как бутстрэп-ток, индуцированный градиентом концентрации, так и вращение, индуцированное электрическим полем. Для разделения двух этих эффектов решена гипотетическая задача: рассчитаны тороидальные потоки от ансамблей положительно (пУ)+ и отрицательно (пУ)_ заряженных частиц с одинаковой массой (см. рис. 5а,б). Разность этих потоков пропорциональна плотности тока 3 = 2Ге((пУ)_|_ — (пУ)_) (см. рис. 5в), а их сумма соответствует вращению (пУ)^ = (пУ)+ + (пУ)_ (см. рис. 5г). Несмотря на то, что электрическое поле изменяет величину плотности тороидального потока каждой из компонент плазмы, на суммарный ток оно влияния не оказывает. Кривые для плотности тока в случаях Е() = 0 и Е0 = 0.6 на рис. 5в совпадают. Добавка в тороидальный поток каждой из компонент связана с индуцированием вращения.

Для верификации результатов кинетических расчетов в пятом парагра-

{пУ)*/плУт

0.03-1

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 (а) ХСО50

-0.5 0.0 0.5 хсоьО

]! Т.£пл'т 0.06-,

(В)

-0.5 0.0 0.5 хсояО

0.00«

. 0.004

0.002

0.000

-0,002

-0.004

-0.006

-0.008

(Г)

-0.5 0.0 0.5 дгсовЭ

Рис. 5: Радиальное распределение плотности тороидального потока ансамбля (а) положительно и (б) отрицательно заряженных частиц, (в) плотности тороидального тока и (г) плотности вращательного потока для неоднородного максвелловского источника в эк-вслчэриалыгой плоскости: 1 — в отсутствие электрического поля (Ео = О), 2 — при наличии электрического поля (Ко = 0.6).

фс проводится проверка удовлетворения полученных макроскопических характеристик ансамбля уравнению баланса сил. Демонстрируется выполнение баланса сил.

В шестом параграфе обсуждаются основные результаты главы.

Резюме главы 3 приведено а параграфе 7.

Четвертая глава посвящена исследованию возможности генерации турбулентных течений в результате развития низкочастотных МГД-иеустойчивосгей. В рамках идеальной МГД рассматривается задача об устойчивости электростатических осесиммстричных мод — ГАМ и ЗТ - в токамаке с полоидальным и тороидальным вращением.

В первом параграфе приведена сводка имеющихся результатов о роли вращения в формировании сплошного спектра ГАМ и ЗТ. Указано, что роль вращения в формировании спектра ГАМ и ЗТ во многом определяется типом исследуемого равновесия.

Второй параграф посвящен описанию используемого формализма: пред-

л,р

Рис. 6: Коэффициент Ае как функция двух переменных Мр и Мт- Области на плоскости (Мр, Мт), где удовлетворяются сделанные предположения, закрашены.

ставлены исходные уравнения идеальной магнитной гидродинамики, выведено общее условие равновесия в токамаке с полоидалъным и тороидальным вращением плазмы, для которого рассчитаны неоднородные (на магнитных поверхностях) составляющие массовой плотности д и давления р плазмы, индуцированные центробежной силой. При этом рамки рассмотрения ограничиваются следующими допущениями:

• рассматривается токамак с большим аспектным отношением Я./а г 1/е > 1;

• плазма низкого давления с малым ¡3 = 8тгр/В2 ~ €2;

• достаточно медленное вращение плазмы, такое что (Пр, Пу) < с3/Я

(Ор - угловая скорость полоидального вращения, От - угловая скорость тороидального вращения, св - скорость звука, с2 = Гр/д, Г - показатель адиабаты) - в таком приближении эффект вращения плазмы не превосходит эффекты, связанные с давлением плазмы;

• магнитные поверхности предполагаются круглыми;

• равновесная энтропия считается функцией магнитной поверхности: р/ег =

Важным параметром задачи является безразмерный параметр Хе, описывающий вызванные центробежным эффектом осцилляции плотности на магнитной поверхности и выражаемый в терминал тороидального Мт = Пт/и>ц = с6/Я) и полоидального Мр = чисел Маха:

_ МД - МрМт + М|/2 е _ 1 — М],

Задача рассматривается в предположении о малости полоидальных осцил-

(¿1, «2

С£П, С® 6

(б)

-12 ,

1.5""

ил

Мт

МР

Рис. 7: Квадраты частот и>\ и и>2 как функции полоидального и тороидального чисел Маха Мр и Мт в области (а) 1 и (б) 2. Частоты нормированы на и>8-

ляций массовой плотности, т .е. в областях, когда Хв невелико:

\\-М%\ >

М1 2

т МрМт + М1

На рис. 6 эти области пронумерованных от 1 до 3.

В третьем параграфе рассмотрены осесимметричные электростатические возмущения предполагаемого равновесия. В подпараграфе 4.3.1 линеаризованные уравнения для МГД-возмущений упрощены для случая то-камака с большим аспектным отношением и относительно медленным вращением. Зависящие от полоидального угла возмущения продольной скорости и массовой плотности плазмы представлены в 4.3.2. Общее дисперсионное уравнение для осесимметричных возмущений получено в подпараграфе 4.3.3. В случае чисто тороидального вращения дисперсионное уравнение сводится к уравнению второго порядка и его единственное решение представляет собой обыкновенную ГАМ с частотой, увеличенной по сравнению с частотой моды в неподвижной плазме за счет тороидального вращения. Если в токамаке присутствует и полоидальное вращение, дисперсионное уравнение является уравнением четвертого порядка. Свойства его спектра анализируются аналитически (в пределе медленного вращения) и численно (в случае более быстрого вращения). В случае, когда частоты и тороидального и полоидального вращения слабо сопоставимы с так что (Мр, Мт) 1, обнаружены две устойчивые ветви сплошного спектра. Первая ветвь - обыкновенная ГАМ, модифицированная вращением плазмы. Вторая мода связан на с полоидальным вращением плазмы (несмотря на слабую зависимость ее частоты от угловой скорости полоидального вращения) и обладает меньшей частотой, близкой к частоте звука т. е. может быть идентифицирована как акустическая мода, индуцированная вращением.

Общее решения дисперсионного уравнения исследовано численно в типичном для плазменной периферии случае д = 3. Отдельно рассмотрены три области, изображенные на рис. 6. Установлено, что при достаточно медленном полоидалыгом вращении плазмы \Мр\ <0.6 (область 1) существуют две устойчивые ветви сплошного спектра — см. рис. 7а. В областях 2 (рис. 76) и 3 полоидальная угловая скорость превосходит ионную звуковую частоту |Г2р| > Сз/^Д. В этом случае мода с частотой и>± остается устойчивой (и>% > 0); мода с и)2 в некотором интервале полоидального и тороидального чисел Маха оказывается апериодически неустойчивой и может быть идентифицирована как неустойчивое зональное течение. Наиболее неустойчивыми являются равновесные течения с Мр ■ Мт < 0. С ростом \Мр\ неустойчивость подавляется и мода с и>2 переходит в устойчивую осциллирующую моду - ГАМ, индуцированную нолоидальным вращением.

Резюме главы 4 представлено в четвертом параграфе.

В Заключении сформулированы выводы и основные результаты диссертации.

Публикации по теме диссертации

1. ИльгисонисВ.И., СорокинаЕ. А., ЮрченкоЭ.И. Бесстолкновительная генеращы тока в центре плазмы токамака изотропным источником альфа-частиц// Физика плазмы. - 2010. - Т. 36. - С. 3-16.

2. SorokinaE. A., Ilgisonis V. I. Collisionless evolution of isotropic alpha-particle distribution in a tokamak// 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejeon, Republic of Korea, October 11-16, 2010. Book of Abstracts. - P. 381.

3. Сорокина E. А., Ильгисонис В. И. Самопроизвольная генерация тока альфа-частиц в замагниченной плазме// Конференция-конкурс молодых физиков, Москва, 19 апреля, 2010. Приложение к журналу "Физическое образование в вузах". - Т. 16. - С. 7.

4. ИльгисонисВ.И., СорокинаЕ. А. Третий адиабатический инвариант и бесстолкновительная функция распределения ансамбля частиц в токамаке// Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94. - С. 742-747.

5. СорокинаЕ. А. Влияние неоднородности коэффициента запаса устойчивости на бесстолкновительную генерацию тока в токамаке// Физика плазмы. - 2011. - Т. 37. - С. 21-29.

6. СорокинаЕ.А., ИльгисонисВ.И. Радиальное электрическое поле и вращение ансамбля частиц плазмы в токамаке// Физика плазмы. - 2012. -Т. 38. - С. 307-317.

7. Sorokina Е. А., Ilgisonis V. I. Radial electric field and kinetics of toroidally rotating tokamak plasma// 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, June 27 - July 1, 2011. Abstract № P5.120.

8. СорокинаЕ.А., ИльгисонисВ.И. Влияние электрического поля на движение заряженных частиц в токамаке// XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011. Тезисы докладов. — С. 44.

9. Ilgisonis V.I., LakhinV.P., Smolyakov A.I., SorokinaE.A. Geodesic acoustic modes and zonal flows in rotating large-aspect-ratio tokamak plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2011. - V. 53. - P. 065008 (1-19).

10. Ilgiso'nisV. I., LakhinV.P., SorokinaE.A., Smolyakov A. I. Geodesic acoustic modes in rotating large aspect ratio tokamak plasmas// 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejeon, Republic of Korea, October 11-16, 2010. Book of Abstracts. - P. 351.

11. SorokinaE. A., Ilgisonis V. I., LakhinV.P., Smolyakov A. I., KhalzovI.V. Global geodesic acoustic modes in tokamak plasmas// 52nd Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics, Chicago, USA, November 8-12, 2010. -Abstract № BP9.133.

12. ИльгисонисВ. И., Лахин В. П., Смоляков А. И., СорокинаЕ. А., ХальзовИ. В. Глобальные геодезические акустические моды в плазме токамака/ / XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011. - Тезисы докладов. - С. 56.

13. Ильгисонис В. И., ЛахинВ.П., Смоляков А. И., СорокинаЕ.А. Теория геодезических акустических мод и зональных течений во вращающейся плазме// XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011. Тезисы докладов. -С. 55.

14. Ilgisonis V.I., Lakhin V.P., Smolyakov A. I., SorokinaE. A. Geodesic acoustic modes in arbitrary rotating tokamak plasma// 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, June 27 - July 1, 2011. Abstract № P2.138.

15. СорокинаЕ.А. EPTrajectory// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611301. Зарегистрировано в Рссстрс программ для ЭВМ 15 февраля 2010.

16. СорокинаЕ.А. Dpoincare// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616806. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 1 сентября 2011.

Цитируемая литература

[1] BickertonR. J., Connor J. W., Taylor J. B. Diffusion driven plasma currents and bootstrap tokamak// Nature Phys. Sci. - 1971. - V. 229. - P. 110-112.

[2] Колесимчеико Я. И., Путинский С. В., Резник С. Н. и др. Токамак-реактор с самоподдерживающимся током// Физика плазмы. - 1981. -Т. 7. - С. 803-809.

[3] ГалеевА. А., СагдеевР. 3. "Неоклассическая" теория диффузии// Вопросы теории плазмы. Вып. 7 / Под ред. М. А. Леонтовича. — М.: Атом-издат. - 1973. - С. 205-298.

[4] DeGrassie J. S., Rice J. Е., BurrellK.H. et al. Intrinsic rotation in DIII-D// Phys. Plasmas. - 2007. - V. 14. - P. 056115.

[5] Biglari H., Diamond P. H., Terry P. W. Influence of sheared poloidal rotation on edge turbulence//Phys. Fluids B. - 1990. - V. 2. - P. 1-4.

[6] RiceJ.E., LeeW.D., MarmarE.S. et al. Observations of anomalous momentum transport in Alcator C-Mod plasmas with no momentum input// Nucl. Fusion. - 2004. - V. 44. - P. 379-386.

[7] DiamondP.H., ItoS.I., ItohK. et al. Zonal flows in plasma - a review// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. - V. 47. - P. R35-R162.

[8] WinsorN., Johnson J. L., Dawson J. M. Geodesic acoustic waves in hydro-magnetic systems// Phys. Fluids. - 1968. - V. 11. - P. 2448-2450.

¡9] Nocentini A., TessarottoM., EngelmannF. Neoclassical theory of collisional transport in the presence of fusion a-particles// Nucl. Fusion. - 1975. -V. 15. - P. 359-370.

[10] Goloborod'ko V. Ya., Kolesnichenko Ya.I.. Yavorskij V. A. Neoclassical theory of alplia-particlc transport in the central region of a tokamak plasma// Nucl. Fusion. - 1983. - V. 23. - P. 399-406.

[11] Kim Y. В., DiamondP. H., GroebnerR. J. Neoclassical poloidal and toroidal rotation in tokamaks// Phys. Fluids B. - 1991. - V. 3. - P. 2050-2060.

61 12-1/1020

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Национальный исследовательский центр "КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ"

На правах рукописи

СОРОКИНА ЕКАТЕРИНА АЛЕКСЕЕВНА

САМОГЕНЕРАЦИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ПОТОКОВ КОМПОНЕНТ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

В. И. ИЛЬГИСОНИС

Москва - 2012

Оглавление

Введение 4

1 Бесстолкновительная эволюция функции

распределения ансамбля частиц в токамаке 20

1.1 Метод интегрирования кинетического уравнения..........20

1.2 Анизотропия функции распределения......................27

1.2.1 Моноэнергичный источник частиц..................28

1.2.2 Максвелловский источник частиц ..................30

1.3 Связь функции распределения с третьим адиабатическим

инвариантом ................................................34

1.4 Обсуждение результатов ....................................39

1.5 Резюме главы 1................................................40

2 Самогенерация тороидального тока в магнитном поле

токамака 41

2.1 Расчет плотности тороидального тока......................41

2.2 Известные скейлинги плотности бутстрэп-тока а-частиц 43

2.3 Полоидальное распределение плотности тока..............45

2.4 Плотность тока на магнитной оси токамака................49

2.5 Обобщенный скейлинг плотности тока......................53

2.6 Влияние неоднородности д на генерацию тока............58

2.7 Обсуждение результатов ....................................64

2.8 Резюме главы 2................................................66

3 Вращение ансамбля частиц в токамаке в присутствии

радиального электрического поля 67

3.1 Расчет макроскопической скорости вращения

ансамбля частиц............................................67

3.2 Профили компонент скорости макроскопического

вращения....................................................68

3.3 Средняя скорость тороидального движения частицы в

электрическом поле ........................................70

3.4 Влияние радиального электрического поля на генерацию

тока..........................................................78

3.5 Макроскопический баланс сил..............................80

3.6 Обсуждение результатов ....................................82

3.7 Резюме главы 3................................................83

4 Генерация течений как результат развития

низкочастотной МГД-неустойчивости 84

4.1 Сводка результатов о роли вращения в формировании

сплошного спектра ГАМ и ЗТ..............................84

4.2 Равновесие с вращением......................................85

4.3 ГАМ и ЗТ во вращающейся плазме........................92

4.3.1 Уравнения для осесимметричных

электростатических возмущений..................92

4.3.2 Возмущения плотности и продольной скорости . . 97

4.3.3 Дисперсионное уравнение и его анализ ............99

4.4 Резюме главы 4........................107

Заключение 108

Литература 111

Введение

Проблема генерации макроскопических потоков компонент плазмы играет весьма важную роль в решении задачи создания энергетического термоядерного реактора на базе тороидальных систем магнитного удержания типа токамак. Сам принцип работы токамака основан на тороидально-винтовой геометрии магнитного поля, обладающей вращательным преобразованием и препятствующей тем самым дрейфовому уходу частиц из установки. Тороидально-винтовая геометрия магнитного поля формируется суперпозицией тороидального магнитного поля, создаваемого внешними катушками, и полоидального магнитного поля, генерируемого за счет тороидального тока, протекающего в плазме. Простейшим способом создания тороидального тока в плазме токамака является индукционный способ: ток возбуждается посредством вихревого электрического поля за счет изменения магнитного потока, пронизывающего отверстие тороида. Другими словами, с точки зрения электротехники, классический токамак представляет собой трансформатор, вторичная обмотка которого состоит из одного плазменного витка. При выключении тока, протекающего по первичной обмотке такого трансформатора, во вторичной обмотке - плазме - возникает ток, стремящийся скомпенсировать своим магнитным полем уменьшение магнитного потока в индукторе трансформатора при выключении тока в первичной обмотке. Очевидно, что токамак, ток в плазме которого возбуждается индукционным способом, может работать только в импульсном режиме. Для стационарной или квазистационарной работы токамака-реактора необходимы другие - неиндукционные - способы поддержания тока. Такие способы в современной физике плазмы известны и активно разрабатываются: ток можно поддерживать инжекцией в токамак пучка быстрых нейтральных атомов, проникающих в плазму и создающих ток в результате ионизации, а также электромагнитными волнами в ВЧ и СВЧ диапазонах частот -см. [1,2]. Поддержание тороидального тока с помощью упомянутых неиндукционных способов неизбежно сопряжено со значительными техническими трудностями. Разработка и интеграция в реактор

мощных стационарных источников высокочастотных полей и нейтральных пучков является отдельной сложной и дорогостоящей инженерной задачей, а их использование значительно увеличивает прогнозируемые энергозатраты на поддержание тороидального тока в термоядерных реакторах.

По современным представлениям не менее важной, наряду с проблемой генерации тороидального тока, является проблема генерации вращения в плазме. Всплеск интереса к данному вопросу связан с получением на установках токамак так называемых "режимов с улучшенным удержанием", к числу которых относятся, в первую очередь, Н-мода и ее разновидности, а также режимы с внутренними транспортными барьерами (ВТБ). Начиная с работы [3], режимы улучшенного удержания стали объектами тщательного экспериментального изучения и получены к настоящему времени практически на всех работающих токамаках. Характерной особенностью этих режимов является возникновение довольно узкого (локализованного по малому радиусу) слоя, в котором резко меняются основные параметры плазмы (температура и/или плотность). Этот слой, именуемый "зоной барьера", может быть расположен как на периферии плазменного шнура ("внешний барьер", типичный для Н-моды), так и внутри "горячей" плазмы (собственно ВТБ). Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного радиального электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы. Именно с возникновением неоднородного вращения часто связывают улучшенное удержание частиц и энергии в плазме с транспортными барьерами: считается [4], что шировое вращение плазмы под действием электрического поля в зоне барьера приводит к декорреляции возмущений, снижению уровня турбулентности и, следовательно, к уменьшению эффективных транспортных коэффициентов (при этом, естественно, предполагается, что транспорт в токамаке аномальный). Возможность уменьшения переносов плазмы за счет индуцирования ширового вращения в настоящее время является предметом широкого обсуждения и исследуется практически на всех ведущих мировых установках. Источником вращения плазмы могут служить несбалансированные пучки нейтральных атомов - см.,

например, [5, 6]. Стоит отметить, что, несмотря на преобладание изложенной концепции, исчерпывающего теоретического объяснения открытый экспериментально эффект улучшенного удержания до сих пор не получил.

Упомянутые выше схемы неиндукционной генерации тока и вращения в токамаке основаны на том, что необходимый импульс передается компонентам плазмы извне от внешних источников энергии. Между тем в системах с электромагнитными полями механический импульс и момент импульса могут возникать и самопроизвольно, без явного привнесения в систему внешнего количества движения. В замкнутой лагранжевой системе, обладающей симметрией по какому-либо направлению, сохраняется соответствующая компонента обобщенного импульса системы Р. Для частицы, движущейся в электромагнитном поле, обобщенный импульс складывается из механической р = т\ и электродинамической ¿ГеА/с составляющих: Р = р + ^еА/с, где е - элементарный заряд, 2 - зарядовый номер частицы, А - векторный потенциал поля, с - скорость света - см., например, [7]. Изменение механического импульса элемента замкнутой системы возможно, таким образом, либо за счет перераспределения между механической и электродинамической составляющими обобщенного импульса самого элемента, либо за счет обмена импульсом с другими элементами системы. В установках магнитного удержания плазмы выделенная компонента плазмы может обмениваться импульсом с другими компонентами плазмы и с самой установкой: стенками установки и управляющими катушкам, получающими противоимпульс через электромагнитное поле. При этом в плазме, как принципиально "коллективной" среде, подобное возникновение/перераспределение механического импульса может происходить как в результате взаимодействия отдельных частиц, так и посредством самосогласованно возникающих в плазме электромагнитных полей. Макроскопически возникновение механического импульса в установках магнитного удержания плазмы проявляется в самопроизвольной генерации потоков различных плазменных компонент: если индуцированное при этом движение положительно и отрицательно заряженных компонент плазмы оказывается направленным в разные стороны, то говорят, что в системе наблюдается самогенерация тока, если же положительно

и отрицательно заряженные компоненты движутся совместно - в системе возникают амбиполярные течения или вращение плазмы.

Самопроизвольное возникновение механического импульса и момента импульса наблюдается как в лабораторных установках, так и в астрофизических объектах и является в настоящее время предметом широкого обсуждения в научном сообществе. Одной из наиболее интригующих астрофизических задач считается проблема переноса момента импульса и генерации магнитного поля в аккреционных дисках. Аккреционный диск - дифференциально вращающаяся структура, формирующаяся вокруг массивного притягивающего центра (нейтронной звезды, белого карлика, черной дыры) в результате постепенного падения (аккреции) вещества на этот центр. Наблюдаемую в природе скорость аккреции вещества, которая не может быть объяснена на основе столкновительной вязкости плазмы, связывают с турбулентностью, вызванной неустойчивостью вращения плазмы в магнитном поле [8].

Хорошо известным и, кроме того, качественно подтвержденным экспериментально примером самопроизвольного возникновения импульса в магнитной системе в результате кинетических процессов является генерация так называемого бутстрэп-тока (bootstrap current). Эффект генерации бутстрэп-тока - тороидального тока, возникающего в неоднородной по малому радиусу плазме токамака при поддержании заданного профиля давления плазмы - был предсказан в начале 1970-ых годов [9] в результате создания неоклассической теории диффузии [10]. Идея естественного поддержания в токамаке тороидального тока за счет бутстрэп-эффекта выглядит чрезвычайно привлекательной для концепции стационарного токамака-реактора [9, 11], поскольку потенциально бутстрэп-ток может заменять собой известные дорогостоящие и энергоемкие способы неиндукционного поддержания тока. В процессе бутстрэп-генерации необходимый тороидальный импульс соответствующая компонента плазмы получает от стационарного магнитного поля, силовые линии которого имеют тороидально-винтовую геометрию. Тем самым, обратный импульс (отдача) в итоге передается обмоткам, создающим тороидальное магнитное поле токамака, и другим частицам плазмы, формирующим в плазме исходный ток, обеспечивающий полоидальную составляющую магнитного поля.

■z

г

Рис. 1: Используемые системы координат: цилиндрическая {r,(p,z}, связанная с геометрическим центром токамака, и полярная {р. ср, в}, связанная с магнитной осью. Точка 0 — геометрический центр токамака.

Начиная с классических работ [12-15], теория бутстрэп-тока интенсивно развивается как аналитически, так и с помощью численных расчетов. Физически бутстрэп-ток возникает из-за самопроизвольной анизотропизации функции распределения частиц с неоднородной концентрацией в магнитном поле токамака, в котором формируются подгруппы "запертых" и "пролетных" частиц. Стандартной иллюстрацией процесса генерации бутстрэп-тока служат следующие качественные соображения. Рассматривается движение двух электронов с одинаковой энергией, выпущенных из некоторой точки {г = р -f R, z = 0} в медианной плоскости токамака с противоположными значениями тороидальной скорости V(p. Здесь стандартным образом введены цилиндрическая система координат {г, ср, z}, связанная с геометрическим центром токамака, и полярная система координат {р, уз, в}, связанная с магнитной осью; pcos9 = г — R, psmO = 2; р = \/(r — R)2 + z2 е [0, a], R, а - большой и малый радиусы токамака - см. рис. 1. В простейшем приближении тороидально вложенных концентрических круглых магнитных поверхностей, которое мы будем активно использовать, тороидальное и полоидальное поля в токамаке равны соответственно

где q = q(p) - коэффициент запаса устойчивости, £ = p/R, Bq = Др|г=д - поле на магнитной оси токамака. На магнитной поверхности е = const магнитное поле (1) модулировано в полоидальном

R _ Bq

р By _ Во £ R q q 1 + е cos в'

(i)

направлении с максимальным значением пробочного отношения П = (1 + е)/(1 — е). При малых значениях косинуса питч-угла %

электроны оказываются запертыми, причем их доля щг/п при изотропном распределении в фазовом пространстве равна cosher (v - скорость частицы, г;ц = v • В¡В - составляющая скорости вдоль направления магнитного поля В, ntr - концентрация запертых частиц, п - полная концентрация частиц). Двигаясь в противоположных по (р направлениях, электроны отклоняются в разные стороны от стартовой магнитной поверхности, поэтому неоднородность профиля концентрации вблизи этой поверхности приводит к возникновению тока запертых электронов jtr ~ —е(г>ц)Д& dritT/dp, где характерная ширина "банановой" орбиты равна Аь ~ v\\/UJBe = mecv^/eBe ~ RC/л/ё (параметр ( = 2qpb/R, обычно выражаемый через величину ларморовского радиуса частицы pl, рассчитанного для поля Во и среднего значения v, определяет меру отклонения частиц от магнитных поверхностей; те - масса электрона). По порядку величины ток запертых частиц jtr ~ — е причем для электронов основной

плазмы в качестве (v) можно взять тепловую скорость. Указанные представления о токе запертых частиц оправданы лишь в случае редких столкновений, между которыми запертая частица успевает описать "банановую" орбиту с характерным периодом ц. Однако даже редкие столкновения увлекают за запертыми и пролетные частицы. Поскольку процесс рассеяния в пространстве скоростей носит диффузионный характер ~ уД), запертой частице с малой продольной скоростью ~ y/E(v) требуется весьма небольшое (по сравнению со временем столкновений rst, отвечающим рассеянию на угол 5х ~ 7г/2) время порядка rst(dv\\/(v))2 ~ srst <С rst, чтобы перейти в разряд пролетных. В стационарном случае этот процесс компенсируется рассеянием на ионах основной плазмы, в результате чего квазистационарная дрейфовая скорость пролетных электронов в е-1 раз больше токовой скорости запертых электронов. Отвечающий этой скорости ток и называют бутстрэп-током. Его плотность равна

Зь « -e(v)R(e-^.

(2)

Более аккуратные расчеты [12-14] по этой схеме проводятся в рамках кинетического подхода и приводят к появлению в правой части (2) числового множителя « 1.4.

Динамика функции распределения ансамбля заряженных частиц в магнитном В(£, г) и электрическом Е(£, г) полях описывается стандартным кинетическим уравнением

где f(r,v,t) - одночастичная функция распределения как функция координаты г, скорости v и времени

- скорость изменения / вдоль фазовых траекторий частиц; е -элементарный заряд, Z - зарядовое число, т - масса частицы ансамбля соответственно; St - оператор столкновений, а в -плотность источников/стоков частиц ансамбля в фазовом объеме. Классическим методом решения кинетического уравнения в случае редких соударений является теория возмущений, применяемая, в частности, для расчета неоклассических коэффициентов переноса. Малым параметром служит отношение характерного времени движения частицы вдоль траектории ко времени столкновений. В нулевом приближении столкновениями пренебрегают, и кинетическое уравнение (3) описывает постоянство функции распределения на траекториях движения частиц ансамбля,

В стационаре для заданного электромагнитного поля решением уравнения (4) является любая функция интегралов движения, поэтому в выборе функции распределения нулевого порядка /о остается большой произвол. Конкретизируют вид /о из условия разрешимости кинетического уравнения (3) в первом порядке теории возмущений - см., например, [16, 17]; при этом в силу интегрального характера условия разрешимости вышеуказанный произвол устраняется не полностью, и выявление преимущественной зависимос