Сегментный волновод как направляющая система для вакуумных электронных приборов СВЧ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Грецов Максим Владимирович

Сегментный волновод как направляющая система для вакуумных электронных приборов СВЧ

01.04.04 - Физическая электроника 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОЛГОГРАД-2007

003056674

Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом университете на кафедре физики.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Шеин Александр Георгиевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Байбурин Вил Бариевич.

кандидат физико-математических наук, доцент Аввакумов Владислав Евгеньевич.

Ведущая организация: Волгоградский государственный педагогический

университет

Защита диссертации состоится 27 апреля 2007г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.028.01 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

209

Автореферат разослан марта 2007г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Авдеюк О.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Изучение физических процессов, протекающих в приборах сверхвысоких частот (СВЧ), направленное на создание новых устройств подобного рода, на увеличение мощности и укорочение длины волны генераторов и усилителей и построение моделей таких приборов в современных условиях является одним из приоритетных направлений развития физической электроники в связи с бурным развитием средств коммуникаций, энергетики и радиолокации.

Одно из важных мест среди всех типов СВЧ приборов принадлежит электровакуумным приборам благодаря их высоким техническим и экономическим характеристикам. Это связано с расширением области использования таких устройств в физических исследованиях, с созданием новых типов радиолокаторов миллиметрового диапазона, позволяющих существенно повысить точность определения координат целей и расширить возможности исследования космического пространства, и с рядом других направлений.

Все мощные приборы представляют собой, как правило, вакуумные устройства, в которых рабочим телом является поток заряженных частиц (электронов), в связи с чем система формирования электронного потока и область его транспортировки, где происходит взаимодействие электронного потока с высокочастотными полями (пространство взаимодействия) являются их неотъемлемой и важной частью.

В последние время, в связи с появлением новых областей применения мощных и сверхмощных электровакуумных приборов СВЧ, возрос интерес к изучению особенностей поведения ансамблей заряженных частиц, движущихся в пространстве взаимодействия. Структура электромагнитного поля, в котором распространяется электронный поток, сильно сказывается на условиях его группировки и определяет выходные характеристики устройств. В классических приборах СВЧ в качестве волноведущих структур используются замедляющие системы, в которых фазовая скорость волны уменьшается до скорости, близкой к скорости электронного потока. В современных релятивистских приборах структуру электромагнитного поля формируют волноводы, в связи с чем необходимо ее знать и уметь рассчитывать. Так, например, в ряде приборов, относящихся к лазерам на свободных электронах (убитроне, скаттроне [Л1, Л2]) группировка электронов осуществляется благодаря поперечной неоднородности поля накачки, причем необходимый потенциальный рельеф может быть образован соответствующей структурой волны накачки.

Все это приводит к тому, что необходимо уметь рассчитывать поля в сложных волноводных структурах, поскольку стандартными типами волноводов интерес в промышленности и в науке не ограничивается. В ряде случаев необходимо использование иных видов систем, к которым можно отнести гребневые (Н- и Т - образные) волноводы и волноводы иных форм поперечного сечения.

Сложность геометрии и приближенное решение задачи о собственных числах и собственных функциях таких волноводов делает актуальной задачу элек-

тродинамического моделирования в них структур электромагнитных полей существующих типов волн. Математическое моделирование представляет мощный инструмент анализа распространения волн в волноведущих системах. Такое исследование дает наиболее полную исчерпывающую информацию о параметрах сложной волноводной структуры и характере распространения волн в ней. Одним из представителей таких «нестандартных» типов волноводов является сегментный волновод, представляющий собой усеченный хордой цилиндрический волновод, разработка методики расчета параметров которого является задачей настоящей работы. Его применение связано как с возможностями использования таких систем в релятивистских приборах, так и для создания других типов устройств для канализации электромагнитной энергии.

Целью исследований является разработка методов расчета, создание комплекса программ и анализ на их основе параметров электромагнитного поля в сегментном волноводе как с однородным («пустой»), так и с частичным диэлектрическим заполнением, моделирующем наличие активной среды. При реализации поставленной цели решены следующие задачи:

- С использованием метода коллокации и метода конечных разностей получены дисперсионные уравнения для расчета критических волновых чисел Е- и Я-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением;

- с использованием метода конечных разностей получены дисперсионные уравнения для расчета дисперсионных характеристик гибридных волн в сегментном волноводе с двухслойным диэлектрическим заполнением;

- построены алгоритмы численного решения соответствующих задач и написан комплекс программ расчета;

- произведен расчет собственных чисел однородно заполненного волновода и проанализировано их поведение при изменении размеров системы;

- построены структура полей и распределение мощности Е- и //-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением;

- произведен расчет дисперсионных кривых гибридных волн в сегментном волноводе с двухслойным заполнением;

произведен анализ внутренней сходимости разработанных алгоритмов. Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны программы расчета собственных чисел сегментного волновода и даны способы их реализации.

- Впервые решена задача о построении дисперсионных кривых сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением.

- Впервые решена задача о построении структуры полей и распределения мощности Е- и Н-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением.

- Доказано существование типов волн с различной областью локализации мощности внутри волновода, что позволяет получить любое необходимое распределение мощности.

Практическая ценность заключается в том, что разработанный комплекс программ позволяет рассчитать режим работы сегментного волновода, а также подобрать необходимый режим, исходя из конкретного применения.

Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней» (тема №29.230), НИР «Математическое моделирование многочастотных взаимодействий в скрещенных полях» (№ гос. регистрации 01990010964), «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М - типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653), выполненных в Волгоградском государственном техническом университете в 1999 - 2003 г. по плану фундаментальных и поисковых работ Министерства образования РФ и выполняемых в настоящее время на кафедре физики по планам Агентства по образованию РФ.

Достоверность результатов исследования обусловлена корректной постановкой краевой задачи и ее численной аппроксимацией, использованием корректных вычислительных процедур, строгой аналитической аргументацией полученных теоретических положений с использованием классических физических законов, достаточным количеством результатов, коррелирующих с литературными данными.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Результаты численного анализа постоянных распространения волн сегментного волновода, в том числе исследование структуры полей электромагнитных волн сегментного волновода с однородным заполнением.

2. Комплекс алгоритмов по расчетам электродинамических характеристик сегментных волноводов.

3. Результаты численного анализа дисперсионных кривых сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением.

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на семинарах кафедры Физики ВолгГТУ (2001 - 2005 гг.), на научно-теоретических конференциях ВолгГТУ (2001 - 2005 гг.), на VI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2001г.), на ХН-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (Новосибирск, 2006 г.) и опубликованы в 2 статьях, в том числе - одна в журнале из списка ВАК. Публикации

1. Шеин, А. Г., Распространение электромагнитных волн в сегментных волноводах [Текст] / А. Г Шеин, М. В. Грецов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы-2001 -Т. 4, № 2.-С. 37-41.

2. Грецов. М.В., Распределение полей в сегментных волноводах [Текст] /М.В. Грецов А.Г. Шеин // Вопросы физической метрологии. Научно-техн. сб. Поволжского отд. Метрол. Акад. России - 2004- Вып. 6 - С. 107-116.

3. Грецов, М. В. Дисперсионное уравнение для £-волн в сегментном волноводе и его корни [Текст]/ М.В. Грецов // Тез. докл. смотра-конкурса научн., констр. и технол. работ студ. ВолгГТУ,- Волгоград: Изд. Политехник. - 2000.-С. 12-13.

4. Грецов, М. В. Распространение электромагнитных волн в сегментном волноводе [Текст]/ М.В. Грецов // VI межвузовская конференция студентов и

молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области, г. Волгоград, 13-16 ноября 2001г. Вып. 4: Физика и математика: Тезисы докладов/ ВолГУ и др.-Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2002 - С. 27-28.

5. Грецов, М.В. Полый сегментный волновод [Текст]/ М.В. Грецов // Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск): Материалы конференции, тезисы докладов- Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2006 - С. 634.

Личный вклад автора.

Диссертант полностью самостоятельно выполнил аналитическое и численное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в соавторстве с научным руководителем, профессором Шейным А.Г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии, включает 118 страниц, 21 рисунок и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, определяются цель, задачи и методы исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также формулируются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава является обзором литературы по теме диссертации. В ней-приведены распространенные в настоящее время методы моделирования вол-новедущих структур сложных сечений и примеры их применения. Сформулированы задачи, решению которых посвящена данная работа.

Вторая глава посвящена описанию решения задачи определения постоянных распространения и построения структуры полей электромагнитных волн в сегментном волноводе (рисунок 1), которая сводится к необходимости решения однородного двумерного уравнения Гельмгольца

*2Л+Я2Ег=0, (1а)

У1Нг+§2Н:=0 (16)

с однородными граничными условиями

Я- = 0, (2а)

5Я, _

~ = 0, (26)

сп

заданными на контуре. При этом невозможно подобрать такую ортогональную систему координат, координатных поверхностей которой совпали бы с поверхностью волновода. В этом случае хотя бы на одной из поверхностей граничное условие будет иметь вид функции двух переменных, что делает невозможным полностью аналитическое решение краевой задачи и приводит к необходимости использования численных методов.

Рассмотрим решение краевой задачи (1), (2) с использованием метода кол-локации [ЛЗ, Л4] и метода конечных разностей.

В цилиндрической системе координат уравнения (1) имеют вид:

32£, 1 BE, 1 д2Ег 2г п

—Г +--~~2—f-+S Ez = 0,

дг г дг г д(р

(За)

Рисунок д2Н.

- поперечное сечение сегментного волновода

1 дН +--- + -

+ = 0.

(36)

дг2 г дг

Здесь под Ez и Я, понимаются Е, = E:(r,ip) и Н, = H,(r,c¡>) соответственно.

Решение этих уравнений методом разделения переменных [JT5], приводит к следующим выражениям:

Е= М = T[C,Jm (gr) + D,mNm cos{mq,) + B,m sin(mp)], (4a)

/и=0

H-- p) = £ \fHmJK (gr) + DHKNm (gr)] [Allm eos (m<p) + BHm sin (юр)], (46)

m-0

где J m (gr) - функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода ш-го порядка; Nm(gr) - функция Неймана или цилиндрическая функция второго рода от-го порядка, g - поперечное волновое число.

Из рисунка 1, на котором изображено поперечное сечение сегментного волновода, видно, что его контур состоит из двух частей: дуги радиуса г = а и прямой линии L.

Удовлетворяя граничным условиям (2) на границе г = а и учитывая, что они должны выполняться при любых (р, получим:

'"Л&У

г J"'(gg)

..... '"-км*

Тогда, вводя обозначения

ZKm(gr) = Jm(gr)Nm(ga)-Jm(ga)Nm(gr), (6а)

Z„„(gr) = J<1(gr)K(ga)-./:(gfl)^(e'-). (6б)

получим:

Du

(5а) (56)

(#") [А» С05{тер) + ят(ир)],

(7а)

=Ё Ы 1А» с°з М+^ М] •

(76)

Здесь постоянные C/,m/Nm(ga) и С11т/М'т внесены в коэффициенты и В,,„, Л„„, и В„я соответственно.

Граничные условия (2) на границе I, не могут быть удовлетворены аналитически. Воспользуемся методом коллокации [ЛЗ, Л4], который заключается в следующем: параметры А,.№ и ВПт для £-волн или АНт и ВНт для Н-волн выбираются так, чтобы функции (7а) и (76) точно удовлетворяли граничным условиям (2а) и (26) соответственно в дискретном ряде точек, принадлежащих границе Ь. Тем самым, они будут приближенно выполняться на всей границе Ь.

Методом коллокации для £-волн получены дисперсионные уравнения (8) и (9), решая которые можно получить значения поперечного волнового числа, и, следовательно, критические длины волн.

где: ¿=1,2,...,п - индекс по строке; г-1,2,...,п - индекс по столбцу; п - количество точек на половине границы Ь,

= (9)

где: £=0,1,...,п; г'=0,1,...,п.

Для Н-волн дисперсионные соотношения получены в виде

Получив из решения (10) и (11) значения поперечного волнового числа g, можем найти критические длины волн.

Расчет уравнений (8) и (9), а также (10) и (11), показал, что при увеличении числа точек корни, как правило, сходятся к какому-то определенному значению. Отклонение от этой тенденции наблюдается только при малых значениях гчто, очевидно, связано с сильным возрастанием, по абсолютной величине, функции Неймана при малых значениях аргументов. На рисунках 2 и 3 приведены зависимости корней уравнений (8), (9), (10) и (11) от относительного размера сегментного волновода Г(/а. Экстраполируя графики на область г0/а->0, получаем сходимость решений сегментного волновода к некоторым

(8)

(10)

(И)

решениям круглого волновода [JT6]: для £-волн, корень gc\ асимптотически

приближается к корню Ец-ъолпы (3,832), gt, - к корню Е21 - волны (5,52), а

gc2 - к корню Ец - волны (6,38), a gs2 - к корню E4S - волны (7,588); для Н-

волн, корень gc| асимптотически приближается к корню Нц - волны (3,054),

gc2 - к корню Hoi - волны (3,832), gs] - к корню Нц - волны (1,841), gs2- к корню Нц - волны (4,201).

ft;

¿г / М

/

-Ч-

0 0.1 0,: 0.3 0.4 0.5 06 О.7 го а Рисунок 2 - График зависимостей корней уравнений (8) и (9) от размера сегмента

При увеличении числа узлов в конечно-разностном методе различие корней в сравнении с методом коллокации уменьшается. В отличие от метода кол-локации, оказывающегося сильно неустойчивым при малых Г(/а вследствие больших отрицательных значений функции Неймана малых аргументов, метод конечных разностей позволяет производить расчет вплоть до г</а = 0.

Решение уравнения краевой задачи (1), (2) методом конечных разностей дает сходные результаты. Отличие в прогнозировании сходимости в случае Е-волн обусловлено неизбежными погрешностями экстраполяции.

Выводы

1. Численные эксперименты показали, что метод конечных разностей более применим для проведения расчетов в случае приближения к полукруглому волноводу и дает хорошие результаты по расчету волновых чисел, однако, не позволяет судить о типах волн с точки зрения симметрии их полей.

2. При решении задачи (1) (2) методом коллокации после численного определения волновых чисел и коэффициентов разложения в ряд, на выходе получается аналитическое выражение, являющееся аппроксимацией истинного решения, что является несомненным достоинством метода.

3. Получение аналитического вида формулы более удобно для дальней-

10

8 б 4

"с2

—-=

_

0 0 1 0.2 0.3 0.4 0 ? 0 6 01 10 " Рисунок 3 - График зависимостей корней уравнений от размера сегмента ших расчетов, поскольку для получения все более детального распределения полей и мощности в волноводе, нет необходимости увеличивать число точек, по которым производится решение краевой задачи. Это использовано в следующей главе.

Для практического применения волновода необходимо знать структуру полей в его поперечном сечении и распределение мощности. Это необходимо для правильного размещения возбуждающих, а также приемных элементов, правильного выбора спектра пространственных гармоник, наилучшим образом удовлетворяющего поставленной цели. Третья глава посвящена именно этой задаче.

Решение двумерного уравнения Гельмгольца относительно продольных компонент полей в цилиндрической системе координат для сегментного волновода с учетом условий на дуговой границе выглядит следующим образом [Л6]:

Е- [г'<р) = Л 2Ет {8г)[ЛЕт ж(т<р) + ВЕт вЦ/ир)].

т=О

(12) (13)

Н'- (,Г><р) = £ (8>-)[Лнт С0*{т<Р) + ВНт 8т(и?»)}

т-0

для электрических и магнитных волн, соответственно. Здесь

где Jm(x), 1\',„(х) - цилиндрические функции первого и второго рода; % - поперечное волновое число.

Применение метода коллокации [Л4, Л5] для плоской границы при симметричном выборе точек коллокации приводит к системе однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В: гм(8>ь)ЛЕ0+2Е,иг0)Ла + =0,

гЕ0 (ет) ■АЕ0 + 2п (8П ) ае\ соь-) +... + г£т (яг,) АЕт со¡¡(гм^) = 0,

2£0(«г*)аео + 2е\0„)Аа соз(<р„) + ... + 1Ет) АЕт со%(т<р„) = 0.

и

г Е\(ггг)В^в\п(<р2) + 2 Ег(8г1)В[:1С0?,(2(/>г)+ ... +7 Е1„(^гг) В Е„ сов (т1р2) = О,

(146)

-"°-Л„(г0,«,) + (го.^,) +... + (г0,%) = О,

Л-0(г„Л) + ЫО +... + (г„,Ря) = О,

{^n^<Pnh^fFs2{rn,<pn) +... + Ц™- Пт(гя,ри) = О,

(15а)

(156)

где

к* (г><Р) = со5(т + Щ г2'нт Ы - —гНт ОИ +

+соб(/И -\)<р^ТНт + у 2Ит

/ т \ = в!п(т +1)^1 ¿¿'Нт{&)-—2Нп,№) 1 +

• Число т членов рядов (12) и (13) выбиралось равным числу п точек на половине плоской границы (не считая центральной точки). Приравниванием определителей полученных систем нулю, получены собственные числа (поперечные волновые числа) для соответствующих типов волн [Л6].

Отбрасывая первое уравнение (в каждой системе) и перенося первый столбец в правую часть, можно получить систему неоднородных уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, решения (12) и (13) можно представить в виде суммы Ег (г,(р) = Е7 с05 {г,д>) + Ег 5;п (г,(р), Н, (г,ср) = Н. С05 (г,<р) + Нг „-„ (г,<р),

где

Ех С05 [г,9) = Е 2Ет (ег)Аеп, т= О

Ez sin {r,(p)= £z£m(g/-)5£msin(w^), (166)

m-0

oc

Нг«*{г><Р) = Y,ZHm{sr)AHmcos(m<p), (17a)

m=0

00

Hzsm{r><p) = Sil1 (176)

m=0

В общем случае векторные линии полей в волноводе представляют собой пространственные кривые, описываемые дифференциальными уравнениями Er = Ev =Ez Hr = //„ =Яг dr г d(p dz' dr г dtp dz ' ^^

Однако, в случае однородного заполнения, отношение поперечных компонент не зависит от частоты, что дает возможность строить картину полей для случая критической частоты. Тогда остается только одна поперечная компонента одного поля и продольная и одна поперечная компоненты другого поля [JI7], Это позволяет записать следующие выражения

Hz{r,<p) = const (19)

для электрических линий //-волны и

Ez[r,<p) = const (20)

для магнитных линий £-волпы.

Таким образом, при варьировании значений константы получается семейство векторных линий полей (электрического - для Я-волны, магнитного - для Е-волны) в поперечном сечении волновода.

Приняты следующие обозначения: сЕ, - волна, соответствующая /-му корню системы (14а); sE-, - волна, соответствующая z'-му корню системы (146); cHj - волна, соответствующая ¿-му корню системы (15а); sHt - волна, соответствующая ¿-му корню системы (156). Значения соответствующих корней приведены в [JI5], Прослеживается сходство волны типа сЕ\ с волной Еи, сЕг -> Е}[, sEi Ej\, sEi —>£41, сН\ ~> //'ь сНг —> Нои s"t ~* Ни, sH2 —> H}i. Причем продольные компоненты волн типа сЕ и сН симметричны относительно плоскости симметрии волновода, а волны типа sE и sH - антисимметричны.

Однако можно отметить, что существуют и такие типы волн, имеющие значительные уровни мощности около дуговой границы. Например, такими являются волны сЕ\, сЕг, sEu sE2. Волна сЕ\ имеет максимум мощности в непосредственной близости от середины дуговой границы. При необходимости получения значительных уровней мощности в указанной области, в первую очередь стоит обратить внимание именно на эту волну. Используя волны типов sEr, сЕг, sEi можно получить максимумы мощности около дуговой границы, смещенные от центра. Эти же типы волн и, особенно, волна типа сН2, единственный максимум распределения мощности которой находится в центре, имеют значительные уровни мощности в средней области сечения. Возбуждая все эти

волны можно получить распределение мощности, близкое к равномерному. Многомодовый режим работы волновода можно получить, если взять радиус волновода больший 0,65а, где X - длина волны генератора. Первую £-волну можно возбудить при радиусе волновода не меньшем 1ДЗА.. Поскольку для получения распределенного по сечению, или имеющего максимум около дуговой стенки потока энергии необходимо возбуждать какую-либо из Е-волн, радиус волновода нужно брать не меньшем 1,13^.

Таким образом, использование метода коллокации позволяет рассчитать распределение полей и мощности в поперечном сечении сегментного волновода. Подобие распределения полей сегментного и круглого волноводов является неплохим признаком достоверности полученных результатов и применимости использованного подхода к решению задачи.

Сегментные волноводы позволяют обеспечивать необходимую структуру электромагнитного поля и распределение мощности по сечению для решения практических вопросов (например, использования в качестве направляющей системе в убитроне [Л2]). В данной работе не ставилась цель изучить условия возбуждения того или иного типа волны, поскольку это само по себе- отдельная обширная задача. Однако, зная распределении полей и принимая во внимание, что в сегментных волноводах снимается вырождение волн, имеющее место в цилиндрических системах ввиду их азимутальной симметрии, можно предлагать варианты элементов связи для использования волн различных типов.

В четвертой главе построена модель сегментного волновода, позволяющая учесть двухслойное диэлектрическое заполнение с помощью метода конечных разностей.

Для решения задачи о распространении электромагнитных волн в таком волноводе используется методом частичных областей. Выбор областей осуществлялся таким образом, чтобы каждая из них включала в себя целиком один из слоев (рисунок 4),. В каждой области необходимо решить двумерные уравнения Гельмгольца

дополненные граничными условиями - равенство нулю тангенциальных компонент напряженности электрического поля на металлическом контуре (полагаем проводник идеальным) и непрерывность тангенциальных компонент на-пряженностей электрического и магнитного полей на границе раздела диэлектрических сред. Эти условия можно записать в виде:

Е.х=Е.г, Ел1=Ех2, И х | = Н х 2 при у = а-с1г (226)

Необходимые здесь поперечные компоненты полей £1| 2 и Нх\ 2 могут быть выражены через продольные компоненты Ег и соотношениями

V2Е 4-р2 Е =0 * 1-^:1,2 ¿>1,2 2 " >

^я2и + ^2я2и=о,

(21а) (216)

дЕ , дН.

(ОЕ---П-=

ду дх

дН.

Здесь г - мнимая единица; g - поперечное волновое число (свое для каждой области); со - циклическая частота волны; И - продольное волновое число (одинаково в обеих областях, что следует из необходимости выполнения граничных У\

условий при любом г); е, /л - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответствующей среды.

Как видно из уравнений (23), для выполнения граничных условий (226) необходимы одновременно отличные от нуля компоненты Е, и Нг. То есть, необходимо совместно решать уравнения (21а) и (216) и решение будет иметь вид гибридной волны.

Разделение переменных можно произвести только при записи уравнений в ортогональной системе координат, но невозможно подобрать такую ортогональную систему координат, в которой поверхность волновода совпала бы с ее координатными поверхностями. Вследствие этого аналитическое решение задачи оказывается невозможным и возникает необходимость использования численных методов.

Используем для решения метод конечных разностей. Воспользуемся нерегулярной сеткой, подобной той, которая использовалась для решения задачи в случае однородного заполнения. Разобьем вдоль оси у область II на Л'>2 отрезков, а область I на Л^ отрезков (рисунок 5). Тогда узлы с номерами у = Л',,, имеют координаты у = а-с11 и попадают на границу раздела слоев, что удобно при записи граничных условий.

Конечно-разностная аппроксимация уравнений Гельмгольца для внутренних узлов областей I и II на нерегулярной сетке аналогична полученным во второй главе. Для напряженностей электрического и магнитного полей они будут иметь вид:

О

■V

Рисунок 4 - Поперечное сечение сегментного волновода с двухслойным заполнением

nj2+N.

Рисунок 5 - Сетка и нумерация узлов для разностного метода в случае двухслойного заполнения

*?- 1

е) е:

(24а)

Е F

./+1

я.'

яг-

(хм-х,)(х,-хы) {хм-х,У {у^-уЖугУм) (у,.,-у,) J 1 1 1

Я

я'

ТТI

--Г+ + ,--г + -

Я.'

(246)

■=о,

- в области I;

si-

1

(х^-х,)г (*,♦.-*,)(*,"*,-.) {у^-у,)2 {Уы-уЖУ,-УМ)

Е1

^--0.

(24в)

Я.2

й- 1

1 1 1

(24г)

-в области II.

Здесь //' (& = 1,2)- сеточные функции, соответствующие продольным компонентам напряженности электрического и магнитного поля, индексы 1 и 2

введены для удобства и обозначают область, к которой относятся эти значения сеточной функции; g^¿ - поперечное волновое число в соответствующей области. Для узла (/,_/), лежащего на границе из уравнения ( 22а) можно записать:

£'-2=0, (25а)

на всем контуре поперечного сечения;

Чг

нг — н1

-— ^ О, (256)

на границе ¿2,

rrU _ rrl.2 rrl.2 _ гт 1.2

cos(^,)+ '■'-' sinía, >0. (25в)

к ' У,-У,-,

при дr+у1 --=с!г их> 0;

гг1,3 _ rrl.2 ¡^1,2 _ ¡J 1.2

'■' cos(«,,)+^—^sin(a, ,) = 0. (25г)

при х2 + У = а- ИХ <0.

Здесь ад - угол между ортом внешней нормали к контуру и осью х в узле с номером i,j (рисунок 5). С учетом выбранного, как показано на рисунке начала отсчета, можно записать:

cosía. ,) = —,

V ' " (26)

s!n(a, ,) = —• у а

Используя выражения (25), (26), при записи (24) можно исключить узлы, лежащие на контуре поперечного сечения и границе между слоями.

Для удобства можно перейти к нормированным выражениям для координат, волновых чисел и частоты

— X _ у _ — i-

х,=—, >",=—, g = g-a, h -h-а,

а а

Полагая относительную диэлектрическую проницаемость второй области постоянной и равной единице, можно проследить за изменением дисперсионных кривых (кривых й(®)) при изменении относительной диэлектрической проницаемости первой области. Во-первых, при наличии диэлектрического слоя изгиб дисперсионных кривых становится заметно больше по сравнению с дисперсионными кривыми полого волновода. Во-вторых, в отличие от полого волновода, присутствует пересечение кривых, соответствующих различным типам волн. В-третьих, с ростом диэлектрической проницаемости, наблюдается смещение общей картины дисперсионных кривых в область низких частот. Последний результат, с точки зрения физики процесса, является ожидаемым и позволяет сделать вывод о том, что разработанный алгоритм корректно описывает поставленную задачу и позволяет получить достоверные результаты.

Таким образом, представленная методика расчета сегментного волновода с двухслойным заполнением с использованием метода конечных разностей и разбиением на частичные области позволяет:

1. произвести расчет режима работы волновода;

2. на основании анализа дисперсионных кривых определить фазовую скорость волны;

3. осуществить подбор толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости с целью получения требуемого режима работы.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены полученные результаты и выводы.

Основные научные результаты заключаются в следующем.

1. С помощью метода коллокации на границах аналитически получено дисперсионное уравнение для сегментного волновода с однородным заполнением, распадающееся на два уравнения, снимающее вырождение типов волн, присущее симметричным по азимуту системам.

2. Выполнен численный расчет постоянных распространения однородно заполненного сегментного волновода методами коллокации и конечных разностей (например, низшая волна £-типа имеет при г</а = 0,5 критическое волновое число £=1,\Иа, низшая волна Н-типа имеет при г(/а = 0,5 критическое волновое число Я=2,34/а). Построены графики изменения критических постоянных распространения от размера сегмента.

3. При увеличении отношения г с/а > 0,6 снимается вырождение для низших (наиболее значимых с практической точки зрения) типов волн.

4. Проведена проверка внутренней сходимости методов (при использовании метода коллокации для расчета низших типов волн достаточно брать 7-8 точек и, при этом погрешность не будет превышать 0,001).

5. Рассчитаны методом коллокации структуры полей и распределения мощности сегментного волновода с однородным заполнением. В случае £-волн мощность распределяется по сечению достаточно равномерно, в случае Я-волн мощность, в основном, за исключением волны сНг, локализуется вблизи плоской стенки.

6. Выполнен численный расчет методом конечных разностей дисперсионных характеристик сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением, который показывает, что наличие диэлектрического слоя приводит к вырождению некоторых типов волн.

7. Анализ дисперсионных кривых позволяет определить области параметров, при которых в системе существуют быстрые и медленные волны (быстрые - в случае т>Ь, медленные - при ы<к), что представляется важным для использования сегментного волновода в качестве направляющей системы в электронных приборах СВЧ, осуществить подбор толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости с целью получения требуемого режима работы

Результатом данной работы является вывод дисперсионных уравнений для волн электрического и магнитного типов в сегментном волноводе и нахождение их корней.

Сходящиеся к некоторым решениям для круглого волновода (при предельном переходе от сегмента к полукругу) корни дисперсионных уравнений свидетельствуют о возможности использования приведенных методов для расчета однородно заполненного сегментного волновода.

Полученная точность вполне достаточна для практических расчетов. При необходимости использования более точных значений может быть применен созданный в процессе работы алгоритм.

Разработанная методика применима для расчета характеристик волноводов при поперечном заполнении их двухслойным диэлектриком.

Цитируемая литература: Л1 Phyllips R.N. Hystory of the Ubitron//Nuclea Instruments and Methods of Physics Research, 1988. V.A.272. P.l.

Л2 Трубецков Д.И., Храмов A.E. Лекции по СВЧ электронике для физиков, [текст]/ В 2-х т. Т.2 - М.: Физматлит. 2004. - 648 с.

ЛЗ Волков, Е. А. Численные методы/ Е. А. Волков. [Текст] - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-248 с.

Л4 Корн Г., Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы/ Перевод со 2-го американского изд. под общ. ред. И. Г. Арамановича / Г. Корн, Т.Корн- 5-е изд.- М.: Наука, 1988.- 831 с. Л5 Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: Учеб. пособие - 3-е изд., испр., доп. [Текст] / А. Н Тихонов, А. А.Самарский,- М.: Наука, 1966 - 724 с Л6 Шеин, А. Г., Распространение электромагнитных волн в сегментных волноводах [Текст] / А. Г Шеин, М. В. Грецов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2001 - Т. 4, № 2 - С. 37-41.

Л7 Заргано Г.Ф., Земляков В.В., Синявский Г.Г1. Электродинамическое моделирование электромагнитных полей в четырехгребневом прямоугольном волноводе // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2003- Т. 6, №4,-С. 19-24.

Основные результаты исследования отражены в публикациях:

1. Шеин, А. Г., Распространение электромагнитных волн в сегментны волноводах [Текст] / А. Г Шеин, М. В. Грецов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2001.- Т. 4, № 2 - С. 37-41.

2. Грецов. М.В., Распределение полей в сегментных волноводах [Текст] /М.В. Грецов А.Г. Шеин // Вопросы физической метрологии. Научно-техн. сб. Поволжского отд. Метрол. Акад. России - 2004 - Вып. 6,- С. 107-116.

3. Грецов, М. В. Дисперсионное уравнение для £-волн в сегментном волноводе и его корни [Текст]/ М.В. Грецов // Тез. докл. смотра-конкурса научн., консгр. и технол. работ студ. ВолгГТУ- Волгоград: Изд. Политехник. - 2000-С. 12-13.

4. Грецов, М. В. Распространение электромагнитных волн в сегментном волноводе [Текст]/ М.В. Грецов // VI межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области, г. Волгоград, 13-16 ноября 2001г. Вып. 4: Физика и математика: Тезисы докладов/ ВолГУ и др.- Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2002 - С. 27-28.

5. Грецов, М.В. Полый сегментный волновод [Текст]/ М.В. Грецов // Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск): Материалы конференции, тезисы докладов - Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2006 - С. 634.

Подписано в печать 2 У.03.2007 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №24?.

Типография РПК «Политехник» Волгоградского Государственного Технического Университета.

400131, г. Волгоград, ул. Советская, 35

Введение.

1. Вопросы математического моделирования процессов в волноводе с неоднородным заполнением.

1.1. Общая постановка задачи

1.2. Прямые методы получения интегральных характеристик волноводов сложных сечений.

1.3. Численные методы решения уравнения Гельмгольца.

2. Критические волновые числа сегментного волновода с однородным заполнением.

2.1. Дисперсионные уравнения Е-иН- волн.

2.2. Получение дисперсионных уравнений методом конечных разностей.

2.3. Анализ результатов численных расчетов.

3. Структура полей и распределение мощности в поперечном сечении сегментного волновода.

3.1. Структура полей в поперечном сечении сегментного волновода

3.2. Распределение мощности в сегментном волноводе.

4. Критические волновые числа сегментного волновода с двухслойным продольно-однородным заполнением.

Актуальность исследования. Изучение физических процессов, протекающих в приборах сверхвысоких частот (СВЧ), направленное на создание новых устройств подобного рода, на увеличение мощности и укорочение длины волны генераторов и усилителей и построение моделей таких приборов в современных условиях является одним из приоритетных направлений развития физической электроники в связи с бурным развитием средств коммуникаций, энергетики и радиолокации.

Одно из важных мест среди всех типов СВЧ приборов принадлежит электровакуумным приборам благодаря их высоким техническим и экономическим характеристикам. Это связано с расширением области использования таких устройств в физических исследованиях, с созданием новых типов радиолокаторов миллиметрового диапазона, позволяющих существенно повысить точность определения координат целей и расширить возможности исследования космического пространства, и с рядом других направлений.

Все мощные приборы представляют собой, как правило, вакуумные устройства, в которых рабочим телом является поток заряженных частиц (электронов), в связи с чем система формирования электронного потока и область его транспортировки, где происходит взаимодействие электронного потока с высокочастотными полями (пространство взаимодействия) являются их неотъемлемой и важной частью.

В последние время, в связи с появлением новых областей применения мощных и сверхмощных электровакуумных приборов СВЧ, возрос интерес к изучению особенностей поведения ансамблей заряженных частиц, движущихся в пространстве взаимодействия. Структура электромагнитного поля, в котором распространяется электронный поток, сильно сказывается на условиях его группировки и определяет выходные характеристики устройств. В классических приборах СВЧ в качестве волноведущих структур используются замедляющие системы, в которых фазовая скорость волны уменьшается до скорости, близкой к скорости электронного потока. В современных релятивистских приборах структуру электромагнитного поля формируют волноводы, в связи с чем необходимо ее знать и уметь рассчитывать. Так, например, в ряде приборов, относящихся к лазерам на свободных электронах (убитроне, скаттроне [1, 2]) группировка электронов осуществляется благодаря поперечной неоднородности поля накачки, причем необходимый потенциальный рельеф может быть образован соответствующей структурой волны накачки.

Все это приводит к тому, что необходимо уметь рассчитывать поля в сложных волноводных структурах, поскольку стандартными типами волноводов интерес в промышленности и в науке не ограничивается. В ряде случаев необходимо использование иных видов систем, к которым можно отнести гребневые (Н- и Т - образные) волноводы и волноводы иных форм поперечного сечения.

Сложность геометрии и приближенное решение задачи о собственных числах и собственных функциях таких волноводов делает актуальной задачу электродинамического моделирования в них структур электромагнитных полей существующих типов волн. Математическое моделирование представляет мощный инструмент анализа распространения волн в волноведущих системах. Такое исследование дает наиболее полную исчерпывающую информацию о параметрах сложной волноводной структуры и характере распространения волн в ней. Одним из представителей таких «нестандартных» типов волноводов является сегментный волновод, представляющий собой усеченный хордой цилиндрический волновод, разработка методики расчета параметров которого является задачей настоящей работы. Его применение связано как с возможностями использования таких систем в релятивистских приборах, так и для создания других типов устройств для канализации электромагнитной энергии.

Целью исследований является разработка методов расчета, создание комплекса программ и анализ на их основе параметров электромагнитного поля в сегментном волноводе как с однородным («пустой»), так и с частичным диэлектрическим заполнением, моделирующем наличие активной среды.

При реализации поставленной цели решены следующие задачи:

- С использованием метода коллокации и метода конечных разностей получены дисперсионные уравнения для расчета критических волновых чисел Е- и Я-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением; с использованием метода конечных разностей получены дисперсионные уравнения для расчета дисперсионных характеристик гибридных волн в сегментном волноводе с двухслойным диэлектрическим заполнением;

- построены алгоритмы численного решения соответствующих задач и написан комплекс программ расчета;

- произведен расчет собственных чисел однородно заполненного волновода и проанализировано их поведение при изменении размеров системы;

- построены структура полей и распределение мощности Е- и Я-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением;

- произведен расчет дисперсионных кривых гибридных волн в сегментном волноводе с двухслойным заполнением;

- произведен анализ внутренней сходимости разработанных алгоритмов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны программы расчета собственных чисел сегментного волновода и даны способы их реализации.

Впервые решена задача о построении дисперсионных кривых сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением.

- Впервые решена задача о построении структуры полей и распределения мощности Е- и Я-волн в сегментном волноводе с однородным заполнением.

- Доказано существование типов волн с различной областью локализации мощности внутри волновода, что позволяет получить любое необходимое распределение мощности.

Практическая ценность заключается в том, что разработанный комплекс программ позволяет рассчитать режим работы сегментного волновода, а также подобрать необходимый режим, исходя из конкретного применения.

Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней» (тема №29.230), НИР «Математическое моделирование многочастотных взаимодействий в скрещенных полях» (№ гос. регистрации 01990010964), «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М -типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653), выполненных в Волгоградском государственном техническом университете в 1999 - 2003 г. по плану фундаментальных и поисковых работ Министерства образования РФ и выполняемых в настоящее время на кафедре физики по планам Агентства по образованию РФ.

Достоверность результатов исследования обусловлена корректной постановкой краевой задачи и ее численной аппроксимацией, использованием корректных вычислительных процедур, строгой аналитической аргументацией полученных теоретических положений с использованием классических физических законов, достаточным количеством результатов, коррелирующих с литературными данными.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Результаты численного анализа постоянных распространения волн сегментного волновода, в том числе исследование структуры полей электромагнитных волн сегментного волновода с однородным заполнением.

2. Комплекс алгоритмов для расчета электродинамических характеристик сегментных волноводов.

3. Результаты численного анализа дисперсионных кривых сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением. Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на семинарах кафедры Физики ВолгГТУ (2001 - 2005 гг.), на научно-теоретических конференциях ВолгГТУ (2001 - 2005 гг.), на VI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2001г.), на ХП-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (Новосибирск, 2006 г.) и опубликованы в 2 статьях, в том числе - одна в журнале из списка ВАК.

Публикации

1. Шеин, А. Г., Распространение электромагнитных волн в сегментных волноводах [Текст] / А. Г Шеин, М. В. Грецов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2001.- Т. 4, № 2 - С. 37-41.

2. Грецов. М.В., Распределение полей в сегментных волноводах [Текст] /М.В. Грецов А.Г. Шеин // Вопросы физической метрологии. Научно-техн. сб. Поволжского отд. Метрол. Акад. России - 2004 - Вып. 6 - С. 107-116.

3. Грецов, М. В. Дисперсионное уравнение для £-волн в сегментном волноводе и его корни [Текст]/ М.В. Грецов // Тез. докл. смотра-конкурса на-учн., констр. и технол. работ студ. ВолгГТУ - Волгоград: Изд. Политехник. -2000,-С. 12-13.

4. Грецов, М. В. Распространение электромагнитных волн в сегментном волноводе [Текст]/ М.В. Грецов // VI межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области, г. Волгоград, 13-16 ноября 2001г. Вып. 4: Физика и математика: Тезисы докладов/ ВолГУ и др-Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2002.- С. 27-28.

5. Грецов, М.В. Полый сегментный волновод [Текст]/ М.В. Грецов // Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск): Материалы конференции, тезисы докладов- Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2006 - С. 634. Личный вклад автора.

Диссертант полностью самостоятельно выполнил аналитическое и численное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в соавторстве с научным руководителем профессором Шейным А.Г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии, включает 118 страниц, 21 рисунок и 11 таблиц.

Заключение

В результате исследования получены следующие основные научные результаты.

1. С помощью метода коллокации на границах аналитически получено дисперсионное уравнение для сегментного волновода с однородным заполнением, распадающееся на два уравнения, снимающее вырождение типов волн, присущее симметричным по азимуту системам.

2. Выполнен численный расчет постоянных распространения однородно заполненного сегментного волновода методами коллокации и конечных разностей (например, низшая волна Е-типа имеет при Г(/а = 0,5 критическое волновое число £=7,12/а, низшая волна Я-типа имеет при г^а = 0,5 критическое волновое число #=2,34/а). Построены графики изменения критических постоянных распространения от размера сегмента.

3. При увеличении отношения г о/а > 0,6 снимается вырождение для низших (наиболее значимых с практической точки зрения) типов волн.

4. Проведена проверка внутренней сходимости методов (при использовании метода коллокации для расчета низших типов волн достаточно брать 7-8 точек и, при этом погрешность не будет превышать 0,001).

5. Рассчитаны методом коллокации структуры полей и распределения мощности сегментного волновода с однородным заполнением. В случае Е-волн мощность распределяется по сечению достаточно равномерно, в случае Я-волн мощность, в основном, за исключением волны сН2, локализуется вблизи плоской стенки.

6. Выполнен численный расчет методом конечных разностей дисперсионных характеристик сегментного волновода с двухслойным диэлектрическим заполнением, который показывает, что наличие диэлектрического слоя приводит к вырождению некоторых типов волн.

7. Анализ дисперсионных кривых позволяет определить области параметров, при которых в системе существуют быстрые и медленные волны (быстрые - в случае со>И, медленные - при 3<й), что представляется важным для использования сегментного волновода в качестве направляющей системы в электронных приборах СВЧ, осуществить подбор толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости с целью получения требуемого режима работы

Результатом данной работы является вывод дисперсионных уравнений для волн электрического и магнитного типов в сегментном волноводе и нахождение их корней.

Сходящиеся к некоторым решениям для круглого волновода (при предельном переходе от сегмента к полукругу) корни дисперсионных уравнений свидетельствуют о возможности использования приведенных методов для расчета однородно заполненного сегментного волновода.

Полученная точность вполне достаточна для практических расчетов. При необходимости использования более точных значений может быть применен созданный в процессе работы алгоритм.

Разработанная методика применима для расчета характеристик волноводов при поперечном заполнении их двухслойным диэлектриком.

1. Phyllips R.N. Hystory of the Ubitron //Nuclea 1.struments and Methods of Physics Research, 1988. V.A.272. P.l.

2. Трубецков Д.И., Храмов A.E. Лекции по СВЧ электронике для физиков, текст./ В 2-х т. Т.2 М.: Физматлит. 2004. - 648 с.

3. Баскаков, С. И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов по спец. "Радиотехника" Текст.- М.: Высш. шк., 1992.-416 с.

4. Григорьев, А. Д. Электродинамика и техника СВЧ: Учеб. для вузов по спец. "Электронные приборы и устройства".Текст.- М.: Высш. шк., 1990.-335 с.

5. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн/ В.В.Никольский, Т. И. Никольская Текст.- М.: Наука, 1989 544 с.

6. Раевский, А. С. К вопросу о формулировке краевых задач ./ А. С. Раевский Текст.//Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 2002 №2.- С 37-44

7. Никольский, В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики/ В. В. Никольский Текст.- М.: Наука, 1967 460 с.

8. Волноводы с поперечным сечением сложной формы/ под ред. В. М.Седых Текст.-Харьков: Вища школа, 1979 128 с.

9. Вычислительные методы в электродинамике /под. ред. Р. Митры Текст.-М.: Мир, 1977.-485с.

10. Ю.Волков, Е. А. Численные методы/ Е. А. Волков. Текст. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-248 с.

11. Майстренко, В. К. О расчете дисперсии поверхностных волн прямоугольного диэлектрического волновода/ А. В. Назаров, С. Б. Раевский Текст.// Физика волновых процессов и радиотехнические системы 2001.- №2 С. 46

12. Егоров, Ю. В. Частично заполненные прямоугольные волноводы/ Ю. В. ЕгоровТекст. М. Сов. Радио 1967 216 с.

13. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике/ С. Г. Михлин Текст.-2-е изд., перераб. и доп. -М.- Наука.-1970.-512с с илл.

14. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики /Г. И. Марчук Текст. -М.: Наука, 1989.-423С.

15. Самарский, А. А. Численные методы/ А. А. Самарский, А. В. Гулин Текст. М.: Наука, 1989.-420 с.

16. Сильвестер, П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков/ П. Сильвестер, Р. Феррари Текст.- М.: Мир, 1986 229 с.

17. Корн Г., Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы/ Перевод со 2-го американского изд. под общ. ред. И. Г. Арамановича / Г. Корн, Т.Корн- 5-е изд.-М.: Наука, 1988.-831 с.

18. Тихонов, А. Н., Уравнения математической физики: Учеб. пособие 3-е изд., испр., доп.А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Текст. - М.: Наука, 1966.- 724 с.

19. Шеин, А. Г., Распространение электромагнитных волн в сегментных волноводах Текст. / А. Г Шеин, М. В. Грецов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы 2001 - Т. 4, № 2 - С. 37-41.

20. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / перевод с французского под общ. ред. К.С. Шифрина. Текст.- М.: "Наука", Главная редакция физико-математической литературы, 1965 780 стр. с илл-(Физико-математическая библиотека инженера).