Симметрия теории солитонов и их применение тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

на правах рукописи

Орлов Александр Юрьевич СИММЕТРИИ ТЕОРИИ С0ЛИТ0Н0В И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

РГ6 од

■; О —: С.

Специальность 01.04. 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Институте автоматики и электрометрии СО АН СССР и в Институте океанологии им. П. П. Ширшова РАН

Научный руководитель:

академик РАН,

доктор физ.-мат. наук, профессор

В. Е. Захаров

Официальные оппоненты:

доктор физ. -мат. наук доктор физ. -мат. наук

А. В. Михайлов И. В. Тютин

Ведущая организация - Математический институт им. В. А. Стеклова

0-002-41-01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау (142432, пос.Черноголовка, Ногинского района Московской области, Институтский проспект, 12)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау

Автореферат разослан "11-" М^А 1994 г.

ученого секретаря специализированного совета

д. ф. -м. н. ' вед. н. с. Л. А. Фальковский

РАН

Защита состоится " ' " 1994 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

Характерной чертой современных физических теорий. является существенно нелинейный характер взаимодействий. Любая классическая задача, будь то описание турбулентности или проблема конфайманта, упирается в невозможность описать поведение существенно нелинейной системы, когда стандартные методы теории возмущений не работают. Поэтому мохно сказать, что изучение нелинейности является важнейшей задачей современной физики.

Вот тут на помощь могут прийти симметрии физических моделей. Мы верим, что мир устроен красиво, а симметрии лежат в самой основе понятия красоты. Симметрии, коль скоро они есть, позволяют упростить исследуемую модель, иногда в некотором смысле решить ее полностью.

Появившийся в конце 60-х начале 70-х г. г. .метод обратной задачи теории рассеяния позволил найти целый ряд уравнений, которые стали называть солитонными или интегрируемыми.' Несмотря на то, что мера их среди всех возможных уравнений равна нулю, в этот класс попали очень многие универсальные модели. Это дало возможность Ф. Калоджеро написать статью "Почему все интересные уравнения интегрируемы". Интегрируемые уравнения имеют много неожиданных применений, и это подтверждает мысль о том, что мир устроен красиво.

Характерной чертой солитониых уравнений явлется наличие бесконечного числа коммутативных симметрий и соответствующих им зарядов.

Большую роль в теории солитонов сыграли инвариантные решения этих абелевых симметрий, которые позволили по произвольным (в случае уравнения Кадомцева-Петвиашвили) римановым поверхнос-

* * I

тям конечного рода строить многопериодические решения в терминах тэта-функций Римана. В свою очередь, это позволило связать теорию солитонов и теорию релятивистской струны.

В настоящей работе открыты дополнительные симметрии в теории интегрируемых уравнений, соответствующие алгебре Вирасоро и ъа симметриям. (Название Ии появилось позже в другом

контексте). Эти дополнительные симметрии действуют повышающими или понижающими сдвигами на интегралы движения интегрируемых систем и на модули римановых поверхностей, меняя их комплексную структуру. Часть w^ разрушает конечнозонность решения. В работе вычислено действие w^ симметрии на тау-функцию уравнения КП и на другие 'объекты теории солитонов.

Инвариантные решения новых симметрии нашли применение в так называемых матричных моделях двумерной квантовой гравитации. Это согласовано с тем, что после интегрирования по римановым поверхностям ответ не должен зависеть от дополнительных симметрии, меняющих комплексную структуру.

Совместно с А.Ю.Морозовым, А.Герасимовым, А. Маршаковым, А. Мироновым было показано, что матричные модели являются специальными решениями некоторых интегрируемых систем типа тодовских цепочек. Эти решения инвариантны относительно действия дополнительных симметрии (Virasoro constraints).

Можно изобразить связи теории солитонов с некоторыми современными моделями теории поля:

fw-гравитация|

| Chern-Simons,WZNYi -

топологические теории

\ /

матричные модели 2D квантовой гравитации

4 солитоны

| конформные теории

квантовые солитоны!

Отметим, что симметрии играют роль во всех этих связях. Можно сравнить теорию солитонов с функциональным интегрированием, которое о помощью замен переменных позволяет сравнивать разные теории. Приведение статсуммы какой-нибудь модели к тау-функции и использование внутренних связей в теории солитонов помогают установить связь между разными моделями. В качестве примера можно привести эквивалентность одноматричной модели и

модели Концевича (квантовой и топологической гравитации). "Заменой переменных" является преобразование Мивы. Поэтому развитие теории солитонов и изучение внутренних связей (которое инициируется соображениями полноты и красоты самой теории) способствует созданию единой и универсальной картины.

В диссертацию вошли также некоторые дополнительные вопросы, связанные с явлением волнового коллапса в интегрируемых системах, описанием поведения солитонов в сложных системах с редукциями, и гидродинамическими "переменными Лагранжа" в теории КдФ.

Цели работы:

1. Найти дополнительные симметрии 1+1 мерных интегрируемых систем и исследовать их действие на переменные действие-угол.

2. Описать инвариантные решения этих симметрии.

3. Найти дополнительные симметрии Зо мерных интегрируемых систем и описать регулярные методы их построения и исследования. Доказать, что вместе с известными абелевыми симметриями, они исчерпывают все симметрии.

4. Описать редукции и струнные уравнения.

5. Найти аналог вариационного тождества Гельфанда-Дикого для резольвент ь операторов уравнений КП, Дэви-Стьюартсона, трех волн.

6. Описать действие дополнительных симметрии на объекты теории солитонов.

В том числе: на комплексную структуру римановых поверхностей и на пространство флагов, соответствующих римановым поверхностям с двумя отмеченными точками, на тау-функцию Сегала-Вилсона.

7. Построить новые иерархии интегрируемых уравнений.

8. Обобщить иерархии симметрии на суперслучай.

9. Описать матричные модели как интегрируемые системы.

10. Описать различные типы взаимодействия солитонов и исследовать коллапс солитонов.

11. Описать смысл гидродинамических переменных Лагранжа в теории КдФ.

Научная новизна.

1. Найдены и описаны конформные симметрии в теории солито-

нов. Эти дополнительные симметрии действуют сдвигами на интегралы двихения.

2. Найдены . и описаны симметрии, соответствующие алгебре псевдодифференциальных операторов на окружности (позднее название Ни). Предложены регулярные методы их построения для Зо интегрируемых системы в разных подходах к интегрируемым системам (каковы: Захарова-Набата, Гельфанда-Дикого, Кричевера-Новикова,

Сато, Сегала-Вилсона, а-задачи Абловица-Захарова-Манакова. (На

языке а-задачи впервые получены новые уравнения на ядро ти,а): интегродифференциальные уравнения по спектральному параметру)). Лучше понята связь между разными подходами.

3. Тем самым предложены новые способы построения интегрируемых иерархий и их редукций к уравнениям в пространстве меньшей размерности Зб-2о-1 б. Так, в частности, были получены уравнения, названные позднее "струнными".

4. Введены .(-формы Бейнера-Ахиезера и пространство флагов, связанное с римановыми поверхностями с двумя отмеченными точками. Получена формула =б]2-б]+1 для действия алгебры Вирасоро на тау-функцию.

5. Показано, что групповые времена дополнительных симметрии задаст координаты на пространстве модулей римановых поверхностей.

6. . Предложена супериерархия КП, отличная от супер КП .Манина-Радула, и впервые описаны супер симметрии.

7. Показано, что статсуммы матричных моделей являются тау-функциями тодовских цепочек, подчиненными условиям связей, тем самым найдено приложение полученным ранее "струнным уравнениям".

. 8. Показано, что во многих моделях типичным является появление сингулярных солитонов в солитонных реакциях. В отличии от неинтегрируемых систем коллапс солитонов в интегрируемых моделях не сопровождается.излучением волн.

9. Показано, что гидродинамические переменные Лагранжа в теории волн на воде КдФ являются аналогом переменных Дарбу .для третьей гамильтоновой структуры (для первой структуры таковыми являются переменные Эйлера). Эти переменные совпадают с

переменными в функциональном интеграле теории 20 квантовой гравитации.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы и используются для установления связей между теорией солитонов и моделями теории поля. В первую очередь, это относится к моделям, имеющим отношение к теории релятивистской струны, матричным, топологическим моделям. Так же .результаты могут быть использованы для построения новых решений интегрируемых уравнений. Представляла бы большой интерес попытка описания всех инвариантных решений Ит симметрии и соответствующего им пространства модулей "кривых", обобщающих римановы поверхности конечного рода. (Для "кривых", соответствующих струнным уравнениям Ю. И. Маниным предложено название "квантовых римановых поверхностей"). Этим кривым соответствовали бы некоторые обобщения уравнений Пенлеве, параметризуемые четырьмя числами. Эти уравнения, без сомнения, должны найти применения во многих областях физики. Укажем также на возможность применять симметрии к построению возмущений интегрируемых систем. Дополнительные симметрии могут быть использованы при решении задач об устойчивости и для нахождения собственных функций линеаризованной задачи.

Явление волнового коллапса играет важную роль в нелинейной физике, в частности в физике плазмы. Коллапс сопровождается излучением волн и выгоранием энергии в областях образования' каверн, что может качественно изменить физическую картину. Вблизи момента образования особенности перестают выполнятся те приближения, которые допускались при построении модельнрго уравнения, (и в этом смысле модели, допускающие образование особенности за конечное время, попадают в особый класс).

Апробация работы. Результаты работы многократно докладывались на международных и отечественных конференциях и школах (конференции по теории солитонов: Юрмала, 1986; Черноголовка, 1987,- Ленинград, ЛОМИ, 1988; международные конференции: Киев, 1987, 1989; Потсдам (США), 1991; Дубна, 1990, 1992; Галлиполи (Италия), 1991, 1993; Москва, .1987; школы по теории поля: Алушта, 1989; Рахов, 1990; Киев, 1992; Кортонэ

(Италия), 1993), на семинарах и в университетах (семинар

B.С.Львова и Е. А. Кузнецова (Новосибирск) 1933, 1984, 1985, 1986; семинар Серебрякова (Новосибирск) 1987; семинар В.Е.Захарова (МФТИ) 1984, 1985, 1986, 1989; семинар С.П.Новикова (МГУ) 1986, 1988; ИТФ им. Л.Д.Ландау 1989; семинар К. Вафы (Гарвардский университет), 1992; Корнельский университет, 1989, 1991, 1992; "Karcher Seminar" в университете Оклахомы 1992; Римский университет, 1991, 1993; Миланский университет, 1993 и др. ).

Публикации. Часть результатов по данной тематике опубликована в виде препринтов (5), часть в виде опубликованных докладов на конференциях, в сборниках (Springer, scientific World) (8), а также в . журналах (10): теоретическая и математическая физика, письма в ЖЭТФ, Nuclear Physics В, Physics Letters A, Letters in Mathematical Physics, Physica D, Функциональный анализ и его приложения, Modern Physics Letters А. Написан один обзор.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Объем диссертации 101 страниц, список литературы содержит 102 наименований.

Автор благодарен С. И. Анисимову, С. В. Манакову, А. В. Михайлову, Е. А. Кузнецову и особенно В. Е. Захарову и А. Ю. Морозову за поддержку работы. Автору приятно выразить благодарность своим соавторам и друзьям: Е. И. Шульману, П. Г. Гриневичу, В. Рубцову, а также А. Герасимову, А. Забродину, Д. Лебедеву, А. Маршакову, А. Миронову, М. Ольшанецкому, С. Пакуляку,

C. Харчову, . П. Винтернитцу, С. Войцехойскому, В. Энрикесу за то удовольствие, которое мне доставили совместная работа и многочисленные обсуждения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования и кратко излагается содержание работы.

Первая гдар? посвящена описанию конформных симметрии в 1+1 мерных моделях. Эти симметрии соответствуют конформным преобразованиям спектрального параметра - некоторого аналога волнового вектора в теории солитонов.

В пункте 1.1 предложен регулярный метод получения явно зависящих отх и с симметрии нелинейного уравнения Шредингера и ь-а пар для них. Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) имеет вид:

^ = 2|ь2|ь "

Мы будем называть "симметрией" любое дифференциальное или интегродифференциальное совместное с исходным уравнение :

а ь = тг(ь,-х.,м) , в

где Р - функция ь и конечного числа ее производных и интегралов вида а~кь, а вд обозначает производную по групповому времени з. Правую часть группового уравнения ^ тоже будем называть .симметрией. Совместность означает равенство смешанных производных: з.^ь = а1э.ь •

Как .известно, нелинейное уравнение Шредингера обладает бесконечным числом интегралов движения, находящихся в инволюции относительно скобки Пуассона. Если считать их гамильтонианами, они порождают коммутирующие потоки - высшие уравнения Шредингера:

ьъ/ах. = к [Ь] ,

п в

где к [Ь] - дифференциальные полиномы от ь и ъ* , то есть п * *

полиномы от ъ и ь и от конечного числа производных от ь и ъ . Само уравнение Шредингера содержится в этой иерархии и Нами найдены дополнительные симметрии' аь/дт ц т [Ы ,

п п

где тп [Ь] уже, вообще говоря, не являются дифференциальными полиномами от ь и ь , и кроме того это не нетеровы симметрии, то есть им, вообще говоря, не соответствуют законы сохранения и

гамильтонианы. Алгебра симметрии представляет собой полупрямую сумму алгебры токов и конформной алгебры: [т , т ] - (п - ш) т

п*а

[к , т ] - ПК , [к , к ] = о .

о ■ п+а ' п я

Центральное расширение появляется при действии симметрии на

тат-функцию. Выпишем первые четыре симметрии:

«

- Ьх = 2гьх + 1хЬ + Е кьккк 4 ,

О п»3

00

то - ьт » 2ЬЬь + хЪх+ Ъ + т к^кк ,

1 п=3

X

Т1 - Ъх - -2t(bxxx + 6ЬЬЬХ) + хЬ^ - 21ЬХ - 21ь| ЬМх ,

тг= Ьх - 2Ч(ЪХХХХ+ 6ЪЬ2Х+ 4ььгь% ЪЬЬЬХХ +

+ гь2ь*х+ бь3(ь*)г) - хеь^ + бъь'ьх)-зьхх - 6ЬгЬ* -- 2Ь_ ГыЛ1х + 4Ь Гьь*с1х + I кС К

^ J * „ок к;2

Первые две симметрии описывают преобразование Галилея и масштабное преобразование. Конформные симметрии порождаются конформными преобразованиями л-плоскости, симметрия тп порождается векторным полем х"*1э/эл . Первые три симметрии описывают инфинитезимальные дробно-линейные преобразования. Конформные симметрии могут быть получены действием рекурсионного оператора на галилеевскую симметрию т . Конечное преобразований х-плоскости: А->х(1 + пт^"*1 )",/п при п » 0 , А->А/т0 при п = 0. Первые три преобразования п = -1,0,1 образуют подгруппу дробно-линейных преобразований полной конформной группы, что соответствует исчезновению корня в преобразовании х-плоскости.

Обсуждается тензорное поведение разных объектов солитонной теории при конформных преобразованиях. Матрица сопряжения в задаче Римана и переменные действия п(Л) являются ноль-формами, углы в(А) - квази ноль-формами. Обычные к-симметрии сдвигают функции по гиперповерхности фиксированных интегралов движения (действий) и меняют только фазы (углы), т-симметрии действуют

сдвигами на интегралы движения:

31 /ах = -(n + т ) I

n m n+m

Полоса а , задающие солитоны, "плывут" под действием симметрий:

ах /ах =

1 п ]

С каждой точкой ¿.-плоскости можно связать полубесконечную иерархию коммутирующих операторов и, как следствие, коммутативных симметрий НУШ. Каждая такая иерархия будет связана с уравнением магнетика Гейзенберга. Это позволяет с каждой точкой связать полубесконечный набор 'отрицательных' времен: Ъ = Ы..., t , t0, t = х, t = t, ...). Пара точек «• , позволяет построить базис векторных полей с номерами, пробегающими от -» до +» . Конформные симметрии с номерами -» < п < +« можно интерпретировать как нелинейные преобразования высших времен:

а t= (m - n)t + i(n + 1)5 + (n - т)ф x

X m m-n m, n 1 n-m

n

*[e(n - m - l)e(m)+ e(-m - l)e(m - n) ] ,

где e (m - n)= 1,0, если го £ л, m<n, а фп = J Pol(b), где Pol плотности интегралов движения НУШ.

В пункте 1.2 описана общая схема построения l-а пар для конформных симметрий 1+1 мерных интегрируемых систем, допускающих представление Захарова-Шабата. Для построения производящих функций для l-a пар используются решения 3G вспомогательного уравнения:

[а - L, 6G] = [а - а , 5G] = о .

X tn п

Задается произвольный контур г и решается задача Римана о скачке:

5* U, X, t ) = 5* (Л, X, t ) + 5GU, X, t ) , Лег.

+ п - п п

Если 5G задает диффеоморфизм у, то х, t^) и х, tn)

будут производящими функциями для а операторов конформных симметрий. Отметим, что для алгебра инфинитезимальных одеваний, не связанных с диффеоморфизмами, исчерпывающе рассмотрена М. А. Семеновым-Тян-Шанским.

В пункте 1.3 показано, что инвариантные решения конформных симметрий связаны с решением задачи о изомонодромных преобразованиях. Каждая интегрируемая система порождает иерархию обыкновенных дифференциальных уравнений - "высших уравнений Пенлеве"

или "струнных уравнений". Уровень струнного уравнения внутри иерархии задается номером конформной симметрии п. Кроме того, порядок дифференциального уравнения зависит от номера р выбранного последнего ненулевого времени: tk=o, k>p. Например, для НУШ струнное уравнение (-1,2) таково:

3t b + 2tb, + ixb = 0 . з t x

Его решение имеет вид

Ь = exp j-iirt2/3t3 + 2it23/ 27 t32| C(n) , 7) = х - t/'/З^ .

Функция с удовлетворяет уравнению с - r)C/3t3+ 2|с|гс = о, являющемуся частным случаем уравнения Пенлеве и.

Инвариантные решения связаны со спектральными данными, постоянными на орбите соответствующего конформного преобразования. Сюда относятся кусочно-постоянные на заданных контурах спектральные данные. В нулях векторного поля могут быть разрывы и сингулярности в данных рассеяния. К числу инвариантных решений относятся и конечнозонные решения и их вырождения: солитонные и рациональные решения. Векторные поля, описывающие инфинитезимальные конформные преобразования, должны иметь нули на концах зон. Сюда входят векторные поля Кричевера-Новикова, не меняющие комплексной структуры римановых поверхностей. Можно показать, что для рациональных решений алгеброй симметрии является w^ , включающая конформную симметрию в качестве подалгебры.

Во второй главе описаны дополнительные симметрии 2+1 мерных интегрируемых уравнений. Алгебра этих симметрии связана с алгеброй псевдодифференциальных операторов на окружности.

В пункте 2.1 описана простая, но полезная теорема 1, которая может быть положена в основу построения интегрируемых иерархий. Пусть А - некоторая алгебра, разлагающаяся в прямую сумму двух подалгебр а^ и а_. Пусть существует набор троек а1, Ь1, с'е А , i = 1.....N, таких, ЧТО

р± а1 = а' р± ,

а1 = Ь1 + с1 , ♦ -

где р+ - проектор из а в а, . Тогда

а'а' = (Ь'Ь')^ + , a1+aJ = + (с'+с')_

Отсюда естественно строятся расширенные иерархии, включавшие дополнительные симметрии, и для дискретных систем, и в суперслучаа.

В пунктах 2.2 описана общая иерархия потоков, включающих в

себя обычную иерархию КП. Находятся N симметрии уравнения Кадомцева-Петвиашвили:

ы - 6 VI VI -VI = 3 ы

I XXX XXX X у у

Используеться алгебра псевдодифференциальных операторов (ПДО)

I 1-1 со Ь -п

одной переменной. к = а0 + ,х)э° + 2 Кп(ьо,х)а°

п=2 П

- формальное одевание Захарова-Шабата. Введенную переменную ь мы назызаем нулевым временем, она понадобится нам для конструирования пространства флагов в главе 3. Рассмотрим отображение из алгебры ПДО в алгебру векторных полей,

действующих на к :

1

которое зададим с помощью следующей формулы

г а ,

к =--, к =-ска'к-1) к

I- ^ -I

Теорема 2. Коммутатор векторных полей удовлетворяет

эл1 ал'

[V ,У ] К= -(КГ0 К-1 ) К , Р1'1 = [л1, л^ + — - — .

' \ 1 Таким образом, описанное отображение алгебры ПДО в алгебру

векторных полей не является гомоморфизмом.

Иерархия высших уравнений Кадомцева-Петвиашвили

ак

- = -(■кэ"к"1,)_к

а ь

включается в более общую иерархию. Выберем псевдо-дифференциа'льные операторы следующего вида:

А -» V

V

X = S kt a1""1, n, 'm e Z

к = 1 к

и рассмотрим отбражение с^- v^ :

v„k ■ К ' К]= -(к к")_к-

Из теоремы 2 следует, что

(а а - а а )к = о

вп к к пп

V <-* Хпдп , n € Z, n о ; V «-► а4 - а" , л = О, вп вп i X

в

[v , V , ,1 = Г а , а , , 1 Г 1 ,

I шп ■п||шпип|— I I

П * 0 , л' * О

[v»n ' v«'n'] = 0 ' если хотя 0ы одно из п, п' равно о.

Эта алгебра и называется wn алгеброй, появившейся несколько позднее в ином контексте. На решениях КП действие w^ симметрии задается формулами

Э w = 2 res, (К ÍVk"1) ,

mn О

a>U)

3 w .= 2 res. Л" - œ (А) .

"" л ал" -

Точечные симметрии самого КП получаются так: надо занулить все высшие времена, начиная с четвертого и выбрать следующие серии индексов: m=i-2n, 2-2n, з-2п , nez. Описаны точечные симметрии любого уравнения из иерархии КП. В них всегда входят конформные симметрии, отвечающие репараметризациям времени.

Представление Лакса для симметрии строется при помощи операторов

03

L = как"1 , м = к( s kt а""1 )к"1 , [l,m] = i .

с = х а

Между алгеброй ПДО и алгеброй вершинных операторов

XU) = exp| t^lnA + E Xktk j exp|

£ - Э

к = i kXk "

(добавлена нулевая мода ьо1па - эо), действующих на тау-функцию, соответствие устанавливает следующая теорема 3 в п. 2. 3:

л а" - с = х"аm

А mn х

VAfjr = Х(Л)Х [ß)z - V\MW = 2<р(\)<р (ц)

а x(A) . ' а ?

Э г = resk"-X (Л) г - Э w = 2resAm-m

ЭА" m" ЗА"

Доказывается теорема:

(¡f* (M,t)0(A,t) = (T_1(t) X*tM,t)X(A,t)T(t))!(

Рассматриваются- генераторы симметрии на языке свободных фермионов в подходе Сато. Симметрии порождаются квадратичными гамильтонианами Ь(\)с(ц).

В п. 2.4 описано действие симметрии на языке а задачи. Симметрии задают преобразование ядра t(a,ä):

V Т (А, Ä) = (А"Э" - <*) )Т(А,А)

пш А

В пункте 2.5 описана лагранжева форма записи w^ симметрии для КП и для других уравнений. Производящий лагранжиан в случае КП имеет вид:

6 = s £ dxdyd/3 , >„ = 2ü(3 - а2 -, w )u + w3aw/3xa/3 .

у х

В,пункте 2. 7 выводится вариационное тождество, связывающее вариационную .производную от диагонали резольвенту R(Е,v) с производной этой диагонали по сумме входящих в' резольвенту спектральных параметров:

(З/е Е - g <Е) ) R (Е, V) = s R(E,i>)dxdy

X

Это тождество обобщает известное вариационное тождество Гельфанда-Дикого на случай нестационарного оператора Шредингера.

а

Это тождество удалось доказать лишь для быстроубывающих потенциалов. Вариационные тождества позволяют доказать

гамильтоновость Wo симметрия для КП и для уравнений с матричными L-A парами: для уравнения трех волн и уравнения Дэви-Стюардсона.

В пункте 2.8 с помощью теоремы 1 построена супериерархия уравнений КП, отличающаяся от известной супериерархии Манина-Радула. Построен супераналог wa симметрия и, в частности, суперконформная подалгебра, отвечающая преобразованиям супераналога спектрального параметра.

Пункт 2.9 посвящен высшим гамильтоновым структурам КдФ. Выписана компактная производящая функция для фундаментальных

скобок Пуассона через функции Бейкера v>U,x):

* * 2 {w(x),w(z)}^ = (р(х)(р (z) - tp (x)<p(z)) sign(x - z) .

Все нелокальные члены при разложении по х."1 имеют простой вид.

Для третьей гамильтоновой структуры существуют переменные, в которых эта структура выглядит особенно просто - это лагранжевы гидродинамические переменные f(x,t), описывающие смрьэние "частицы жидкости" как функции ее начальной координаты причем

df (x,t) /dt = u(f (x,t) ,t) . Естественная гамильтоновая структура

{f(Xj),f(хг)} = sign(xi - x2)

является третьей гамильтоновой структурой КдФ, ограниченной на орбиту коприсоединенного действия алгебры Вирасоро. Показана связь этих переменных с переменными функционального интегрирования в 2d квантовой гравитации в формулировке Полякова.

В главе 3 мы рассматриваем действие алгебры Вирасоро на пространстве флагов, соответствующем римановым поверхностям с двумя отмеченными точками и на тау-функцию Сегала-Вилсона. Эта глава основана на работах, выполненых совместно с П. Г. Гриневичем. . Грассманиан Сегала-Вилсона соответствует римановой поверхности с одной отмеченной точкой. Однако более естественно рассматривать риманову поверхность с. несколькими отмеченными точками. В простейшем случае у нас есть две отмеченные точки, соответствующие in и out состояниям струны.

Конформная теория на таких поверхностях была построена И. М. Кричевером и С. П. Новиковым. Они ввели правильный аналог лорановского базиса для тензоров на таких поверхностях. Мы показываем, что подходящим аналогом грассманиана в этом случае является пространство флагов. В конформных теориях центральную роль играют алгебра векторных полей на окружности и ее центральное расширение - алгебра Вирасоро. В этой главе рассматривается следующий объект: риманова поверхность Г, с двумя отмеченными точками р0 и » и дивизором г1,...,гд ■ Точки Рп и оо играют разную роль в нашем подходе. Рассмотрим малый контур э вокруг » , и пространство £ (э > набора из элементов из где м(со' состоит из функций,

мероморфных везде, кроме » с дивизором ¡:0р0 -з^-...-гд , яи0+1) с и), где и={и{с0) } - элемент пространства флагов. Если все расположены в точках Р0 и • , то в этом случае

vl<.t0) порождаются элементами базиса Кричевера-Новикова. Зафиксируем локальный параметр г в » . Конструкция Кричевера позволяет строить решения уравнения КП с помощью указанных данных, к которым дополнительно можно добавить новый параметр В теории КП переменная ^ играет роль дискретной переменной в объединенной иерархии, содержащей иерархию КП и иерархию тодовской цепочки. В теории струн играет роль

импульса. Изучается действие алгебры Вирасоро на римановых поверхностях и индуцированное действие на объекты теории КП. Основным рабочим инструментом является ядро

Коши-Бейкера-Ахиезера, которое обращает оператор а действующий на сечениях некоторого расслоения в.. (ь0,?,п) . С помощью этого ядра Коши мы получаем конструкцию Сегала-Вилсона в явном виде. Действие алгебры Вирасоро на решениях КП задает действие дополнительных неизоспектральных симметрии. Времена в этих уравнениях задают деформации римановых поверхностей и тем самым - координаты на пространстве модулей. Мы вычисляем действие на функциях Бейкера-Ахиезера. В этом случае центральное расширение не появляется. Центральное расширение возникает при действии на тау-функцию.

В пункте 3.1 задача о вариации комплексной структуры сводит-

ся к задаче Римана на римановой поверхности: Д' - Л' = ß l л ,

+ V ■

где Л^ и Д^ граничные значения Л' на контуре s, Lv производная Ли вдоль заданного на вилсоновском контуре векторного поля v; выписывается действие векторных полей на матрицу периодов.

В пункте 3.2 приводится простая формула, описывающая сдвиг точек ветвления при действии дополнительных симметрии в случае уравнения КдФ:

ЭЕк^т " Ек+1 •

В' частности, потоки SEk/aß_1=i,aEk/sß0=Ek, 3Ek/aß1=Ek , которые задают дробно-линейные преобразования плоскости е, соответствуют симметриям:

au/aß_1= 5tsut + 3tu^+ 2 (преобразование Галилея) du/dß0= 3tuc + xux + 2u (масштабное преобразование),

au/^1=3t(uxxxx-10uuxx-5u2+10u3)x+xut-2u2+uxx-ux4) "Va •

На РП с двумя отмеченными точками вводятся j тензора Бейкера-Ахиезера:

^<т.«:0.£) - ч(т) #1/2(r.t0,£), i1/2(T,t0,t)-

Е(т,Р0)

E(7,»)E(e#P0)dz(«>)

t.-i е(Й(г)+?) 7

-—— ехр(/ I nkt ) ,

е(С)Е(т,«.)i/dz (») кы

?=(2j-UÜ +£ nkÄ(rk) + t0ö0 + Е tkük+? . Соответствующая тау-функция такова:

r,(t0+l,i) = ехр{ ( I Q.kt±tk + g2t2Q + 2t0 Ё (Оок^ок'Ч '/2

Используется формула для функции Грина полученная в [8].

Предложена конструкция Сегала-Вилсона для пространства

+

флагов. Предъявлена явная формула для оператора А(ь0) -=р_ (ь0) р"1 (ь0) в теории Сегала-Вилсона. Доказывается следующая формула

X.. ЫХ* (и)-т.. «:0,£) - -2л1и. (г, и, ^,2) т.. (Ь0, £) .

В пункте 3.3 рассматривается действие алгебры Вирасоро на объекты теории КП. Устанавливается соответствие между конформными симметриями КП и вариациями комплексной структуры. Вариация тау-функции задаются с помощью

Э1пт.. (и0,£)/эр = ^2ni)'1fs ьл/.<А)и"' (л,дл0,£) 1Х=Д .

Наивная вариация аеьа.. на расслоении в.. (ь0,п) по отношению к изменению комплексной структуры дает тот же ответ.

в 1п ае^ = « 1п ,

ах.1ь0Л)/врт - ь1^ («:„.£> . где время Эт соответствует векторному полю у=а <3/<ЗА . Приведен явный вид генераторов Вирасоро в терминах высших времен КП:

Ьга= £ <^кЭк+т+1/2 (вкЭт-к>> + + < * (т+1> » аш • « > ° •

Ь^- 2 к^ак + (Ь0-2])2/2 + (з-1/2) {Ь0-2 ]) ,

2(^как+т+ к(т-к) Ь_2) -41(1:^-2] + (]-1/2) (ш+1)) т< 0.

Операторы ь3 образуют алгебру Вирасоро с центральным зарядом

2

с^ = 6] -63+1 , играет роль старшего веса.

В пункте 3.4 с помощью функций Бейкера-Ахиезера вводится базис фермионов на римановых поверхностях.

В четвертой главе вводятся и регулярно используются

вольтерровы операторы определенного вида ("ранга Iм):

а - и а"1 и 1 к 1 к к 1 '

для построения ь-А пар различных 'уравнений. При определенных

условиях на коэффициенты и они образуют подалгебру в алгебре

интегральных операторов:

и э"'и • и а"1и = и и а"*и - и а" 1и и , к 1 к 1 к к \ к- ^ к1 и к ^к к1 . I.) ^ к '

где по повторяющимся индексам нет суммирования. Эти операторы обобщают на трехмерный случай ь-а пары с рациональной зависи-

мостью от спектрального параметра, который к тому же может явно зависеть от координат, как в уравнениях Захарова-Белинского, описывающих сферически и цилиндрически симметричные решения уравнений Эйнштейна. Эти вольтерровы операторы появились в связи с изучением симметрий и инфинитезимальных одеваний.

Поэтому уравнения, имеющие подобное представление Лакса, автоматически оказываются в одной "обобщенной" иерархии с уравнением КП. Таковы, например, уравнения 3 волн,

д u = u и ,

k 1 J I к kj

допускающие следующее представление Лакса:

[а - u a"1 u , а - и а'1 и ] = о ,

1 klk k1 ' J к J к J к '

причем в роли волн выступают волновые функциии КП. Отметим роль этих уравнений в так называемых системах гидродинамического типа.

Уравнение Лиувилля также оказываются в иерархии КП - оно соответствует однопараметрическому потоку, который возникает при действии на тау-функцию уравнения КП вершинными операторами.

Рассмотрены редукции к 1+1 уравнениям. Нелинейное уравнение Шредингера и другие уравнения АКНС оказываются стационарной точкой "вольтерровской" симметрии КП. Таким образом, симметрии играют объединяющую роль, позволяя сократить число исследуемых уравнений.

Вводятся в рассмотрение также дискретный и супераналоги вольтерровских операторов и соответствующие версии системы трех воли и уравнения Лиувилля.

Для конечномерных систем Гарнье, Ньюмана и систем типа "restriction flows" (все эти системы описывают связанные частицы, подчиненные уравнениям Ньютона) получено представление Лакса, рассмотрены преобразования Бэклунда, которые рождают новые степени свободы в этих системах; построены новые интегрируемые конечномерные системы, описывающие частицы с взаимодействием, зависящем от скорости. Новые системы соответствуют изомонодромным задачам, в то время как системы типа "restriction flows" соответствуют конечнозонному интегрированию. Все эти системы описывают стационарные точки "вольтерровской" симметрии КдФ.

В пятой главе описывается связь матричных моделей с теорией солитонов. Одноматричная модель 2Д квантовой гравитации описывается статсуммой

г = Г сам ехр (-Мг + дМ3) , п Л>

где м - эрмитова матрица п х п. Идея состоит в том, чтооы ввести в этот интеграл зависимость от дополнительных параметров, "времен" ь :

г = Г ам ехрЦпнм) + г[м))

п J 2г

г (м) = т. ь м к = 1 к

и некоторую, почти произвольную, функцию Как известно, задача о вычислении матричного интеграла сводится к задаче о построении системы ортогональных полиномов:

Г £(Л)р с А)р (Л) ехр С(А) ах = 5 ехр ф ,

J д п т пт п

причем в нашем случае весовая функция зависит от введенных параметров с . Ключевой момент состоит в сведении задачи о построении системы ортогональных полиномов к задаче факторизации

тт = л С ,

которая, как это известно из теории солитонов, связана с уравнениями тодовской цепочки:

д2ф

-- = ехр (ф - ф ) - ехр (ф - ф ) ,

_ 2 Г п+1 п ^ ^п п-1

ОС

1

причем ъсовпадает с тау-функцией этой цепочки:

г = det л = ехр ф ' ... ' ехо ф = 1 .

п + о - п п

Ортогональные полиномы являются функциями Бейкера и зад?«т точку в пространстве флагов. В качестве высших времен выступают константы связи матричной модели.

Выбор ИЛ) = 1 эквивалентен условию инвариантности решения относительно действия конформных симметрий:

ь т = О

Модели унитарных и модель комплексных матриц также сводятся

к интегрируемой дифференциально-разностным системам с условием конформной инвариантности. Матричные модели могут быть переформулированны на фермионном языке в подходе киотской школы.

В главе 6 рассмотрена ы-солитонная задача модели киральных полей на грассмановых многообразиях и описаны разновидности солитонов и бризеров и их взаимодействий. Описаны, например, возбуждение внутренних колебаний солитона в результате столкновения с другим солитоном, образование долгоживущих "резонансов", или обмен "виртуальным" солитоном. Анализировать солитонные решения удобно с помощью удобных картинок - фазовых диаграмм.

Для уравнения Буссинеска и некоторых других уравнений описаны неустойчивость и коллапс солитонов. Для уравнения Буссинеска особенность в решении может появиться и при столкновении солитонов, если их скорости лежат в определенной области параметров, и при распаде короткоживущего резонанса, и при распаде тяжелого солитона, который в зависимости от знака малого возмущения либо распадается на два солитона, либо коллапсирует.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1: Предложены регулярные .способы построения дополнительных симметрий и аналог представления Лакса для них. Показано, что в дополнение к коммутативным симметриям Кп в теории солитонов Всегда существуют конформные симметрии т • Их полупрямая сумма является типичной алгеброй симметрий в случае. В Зи случае добавляются высшие симметрии , соответствующие алгебре операторов из "я . Выделены точечные симметрии, среди них симметрии, соответствующие конформным преобразованиям времени.

2. а. Симметрии описываются норыми интегрируемыми уравнениями с коэффициентами, явно зависящими от координат и времер. Эта зависимость линейна в 2о случае и задается произвольной функцией в Зо случае.

б. Инвариантные .решения для конформных симметрий описываются "струнными уравнениями", решение которых сводится к решению задачи о изомонодромии. Струнное уравнение, получаемое из КП иерархии, задается двумя произвольными функциями одной переменной: "энергией" е(а) и векторным полем v(е) , а также выбором отличны нуля высших времен КП, т. е. выбором вектора £ .

в. Инвариантные решения для симметрий в общем случае описываются обобщенным струнным уравнением, которое задается произвольными функциями е(а), \*(е,ае) и 1:

3. Кроме коммутативной иерархии высших КП возникают иные, новые интегрируемые абелевы иерархии (см. главу 2, пункт 2). С ними также связаны свои редукции к 2п и далее к 1 в системам. Редукция к 2о задается выбором с , то есть двумя числами, или, точнее, выбором одной функции двух переменных 1»/(а, э^). Редукция к 1п потребует задания еще одной функции Е(£). В этом случае струнное уравнение задается V* и е. Указан самый общий случай обобщенного струнного уравнения, задаваемого двумя функциями двух переменных (х, а^) и "2(х, эх).

4. В отличие от 2в случая и симметрии являются нетеровыми, и им соответствуют некоммутативные заряды. Доказаны вариационные тождества, обобщающие вариационные тождества Гельфанда-Дикого на Зб случай.

5. Изучено действие симметрий на все объекты солито'нной теории . Новые симметрии рассмотрены в разных подходах к интегрируемым системам: Захарова-Шабата, Гельфанда-Дикого,

Кричевера-Новикова, Сато, Сегала-Вилсона, а-задачи

Абловица-Захарова-Манакова. На ядре а задачи симметрии действуют интегродифференциальными по спектральному параметру операторами. Показано, что одевание Захарова-Шабата можно рассматривать как производящую функцию для двупараметрической иерархии а операторов симметрий, первоначально полученных нами в подходе Гельфанда-Дикого. Описана прямая связь между одеванием Захарова-Шабата и действием вершинного оператора на тау-функцию. Описаны гамильтонианы симметрий на языке свободных фермионов. Вычислено действие симметрий на грассманиане.

6. ' Центральное, расширение появляется при действии на

тау-функцию. Введена зависимость тау-функции от двух дополнительных параметров t и j , определяющих представление алгебры Вирасоро, cj = 6jz-6j + i, tQ - старший вес представления, j - тензорный вес форм Бейкера-Ахиезера.

7. Изучено изменение комплексной структуры римановой поверхности под действием симметрии и доказано, что вариация тау-функции Сегала-Вилсона совпадает с вариацией detSj. В теорию КП введено пространство флагов, обобщающих грассманиан Сегала-Вилсона. Предложено выражение для функции Грина оператора Дирака на римановой поверхности в терминах функции Бейкера-Ахиезера.

8. Показано, что задача о вычислении матричного интеграла в модели 2D квантовой гравитации, связана с задачей факторизации (задачей Римана), которая лежит в основе построения ряда интегрируемых систем типа тодовских цепочек. При этом сам матричный интеграл является тау-функцией тодовской цепочки. Задание весовой функции в матричном интеграле задает вид струнного уравнения, которое, как было показано, эквивалентно заданию условию Вирасоровой инвариантности на тау-функцию.

9. Для построения l-а пар предложены вольтеровские операторы. Этот подход удобен для установления связей между уравнениями (уравнения КП, Дэви-Стюардсона, трех волн, Лиувилля, АКНС, цепочки Тоды) и интерпретацию этих связей в терминах преобразований Бэклунда. Предложены дискретные и супер версии. Рассмотрены новые конечномерные системы и l-a пары для систем типа "restriction flows" и их преобразования Бэклунда.

10. Исследованы различные типы взаимодействий и поведения частицеподобных решений - солитонов, для сложных систем с редукциями и появления сингулярных солитонов, описывающих явление волнового коллапса в интегрируемых системах. Коллапс

'рактеризуется отсутствием излучения.

11. Выяснен смысл лагранжевых гидродинамических переменных для волн на воде в приближении КдФ как естественных переменных в третьей гамильтоновой структуре.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. A.Yu.Orlov, E.I.Schulman "Conformal symmetries of the one-dimensional integrable equations", Preprint IAiE No 217, Novosibirsk (1984)

2. A.Yu.Orlov, E.I.Schulman "Additional symmetries of the two-dimensional integrable systems and the representation of the algebra of the differential operators on the line", Preprint IAiE No 277 (1985)

3. А.Ю.Орлов, E. и.Шульман "О дополнительных симмётриях нелинейного уравнения Шредингера", Теоретическая и математическая физика, Т. 64 No 2, 323-328 (1985)

4. A.Yu.Orlov, E.I.Schulman, "Additional Symmetries for Integrable Equations and Conforraal Algebra Representation", Letters in Mathemat.Physics, 12, 171-179 (1986)

5. A.Yu.Orlov, "Variational identities, Lagrangian and Hamilto-nian formalism of 2+1 dimensional integrable systems", Proc. Ill international workshop "Nonlinear and turbulent processes in physics" ed. by V.G.Bar'yakhtar, M.S.Erokhin, V.E.Zakharov, A.G.Sitenko, V.M.Cherncusenko, Kiev Naukova Duraka 198S.

6. A.Yu.Orlov, "Vertex operators, я bar problem, symmetries, Hamiltonian and Lagrangian formalism of 2+1 integrable sybiems", Proc. Ill international workshop "Nonlinear and turbulent processes in physics", ed. V.G.Bar'yakhtar, World Sci Pub, Singapore 19S4

7. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov "Virasoro a-tion on Riemann surfaces, Grass'rar.r.iar.s, detó and Seaai-Wiiscn т function", 86-1C6, "г.: Problems cf ~oc¡ern quantum field theory", ed. A.A.Belavin, A.'J. Klimuk, A . В . Zamolodchi '-.ov, Springer, 1989

8. П.Г.Гриневич, А.Ю.Орлов, "Вариации комплексной структуры римановых поверхностей с помокью векторных полей на окружности и объекты теории КП"., Функциональный анализ и его приложения,

Т. .24, 1, 72-74 :93С •

Э. Р. G. Grir.evi , A.Yu.Crlc, "F.ag .-»рас« ir. КР theory and

Virasoro action on det 3^" Cornell Univ. preprint CLNF 89/945 1989.

10. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, "A Virasoro action on modules of Riemann surfaces" in: Geometry, Topology and Applications, ed.V.V.Fedorchuk, Yu.A.Burov, A.N.V'ibornov, Moscow, 1990

11. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, "Wilson T-function and detS", .242-245, in: "Nonlinear World", Proc. IV international workshop

"Nonlinear and turbulent processes in physics", ed. by V.E.Zakharov, A.G.Sitenko, V.M. Chernousenko, Kiev Naukova Dumka 1989

12. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, "Vector fields action on Riemann surface in KP theory. The Krichever-Novikov problem", 246-249, in: "Nonlinear World", Proc. IV international workshop "Nonlinear and turbulent processes in physics" ed. by V.E.Zakharov, A.G.Sitenko, V.M.Chernousenko, Kiev Naukova Dumka

1989

13. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, "Higher (Non-isospectral) Symmetries of the Kadomtsev-Petviashvili Equation and the Virasoro Action on Riemann Surfaces", 165-169 ed. S.Carillo, O.Ragnisco, Springer-Verlag 1990 -

14. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, "Vector Fields Action on Riemann Surfaces and KP Theory. The Krichever-Novikov problem", in: Proceed....Dubna 1989, ed. V.Makhankov, World Sci, Singapore

1990

15. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, A.Orlov, "Matrix Models of 2D Gravity and Toda Theory", Nuclear Physics B 357, 565-618 (1991)

16. A.Gerasimov, A.Marshakov, Yu.Makeenko, A.Mironov, A.Morozov, A.Orlov, "Matrix Models as Integrable Systems: From Integrability to Geometrodynamical Principle of the String Theory", Modern Physics Letters A, vol. 6, No 33, 3079-3090 (1991)

17. S.Khajrchov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Orlov,- A.Zabrodin "Matrix models among integrable theories: forced hierarchies and operator formalism", Nuclear Physics B 366, 569-601 (1991)

18. D.Lebedev, A.Orlov, S.Pakuliak, A.Zabrodin, "Nonlocal

Integrable Equations as Reductions of the Toda Hierarchy", Physics Letters, A 160, 166-172 (1991)

19 A.Yu Orlov, "Volterra Operator Algebra for Zero Curvature Representation. Universality of KP", in: Nonlinear Proc. in Physics, ed. A.Fokas, D.Kaup, A.Newell, V.E.Zakharov, pp. 126-131, Springer seria in nonlinear dynamic 1991.

20. P.G.Grinevich, A.Yu.Orlov, E.I.Schulman, "On the Symmetries of the Integrable Systems" in:"Important Development in Soliton Theory: 1980-1990", ed. A.Fokas, V.E.Zakharov, Springer-Verlag 1992

21. Б.Энрикес, А.Орлов, В.Рубцов "Высшие гамильтоновы структуры (случай si (2) ) , Письма В ЮТФ, Т. 58, 8, стр. 677-683

22. A.Yu.Orlov, S.Rauch-Wojciechowski, "Dressing method, Darboux transformation and generalied restricted flows for the KdV hierarchy" Physica D 69 (1993) 77-84

23. A.Yu.Orlov ,P.Winternitz "Loop algebra symmetries and commuting flows for the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy" CRM-1936 January 1994, послана В Physical Review Letters

241 А. Ю. Орлов "Коллапс солитонов в интегрируемых моделях" Препринт ИАиЭ No 221, Новосибирск: ИАиЭ, 1983 25. А. Ю. Орлов "N-солитонное решение киральных полей на грассмановых многообразиях (сг-модель)", Теоретическая и математическая физика, Т. 61 No 2, 214-225 (1984)