So-множества и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ч

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн

8о-множества и их приложения

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2013

О 5 СЕН 2013

005532665

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов» на кафедре высшей математики.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор

Клюшин Владимир Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Геворкян Павел Самвелович (Образовательное

учреждение профсоюзов ВПО «Академия труда н

социальных отношений, заведующий кафедрой) кандидат физико-математических наук, доцент Перегудов Станислав Александрович (ФГБОУ

ВПО «Государственный университет управления»).

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Защита диссертации состоится 27 сентября 2013 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: РФ,119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ имени . М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 27 августа 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теоретико-множественная топология есть прежде всего теория топологических пространств и непрерывных отображений. Классификация топологических пространств основана, как известно, на возможности вписать в произвольное открытое покрытие покрытий того или иного типа, состоящих из открытых множеств, а непрерывность отображения характеризуется тем, что прообраз открытого множества открыт. Интересные и содержательные обобщения известных и хорошо изученных пространств и отображений возможны, в частности, если заменять открытые множества обобщенно-открытыми множествами того или иного типа.

В диссертации изучается понятие просто-открытого множества и основанные на нем обобщения основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Понятие просто-открытого множества (simply-open set) ввел Н.Бисвас'. В данной работе мы для краткости называем такие множества so-множествами. Подмножество топологического пространства называется во-множеством, если оно есть объединение открытого и нигде не плотного множеств. Ранее Н.Левин2 ввел понятие полуоткрытого множества - это множество, содержащее открытое множество и содержащееся в замыкании этого открнытого множества. Очевидно, всякое полуоткрытое множество является so-множеством.

'Biswas N. On some mappings in topological spaces. Bull. Cal. Math. Soc. 61(1969). 127-135. " Levine N. Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces. Amer. Math. Monthly. 70(1963), 36-41.

Ряд интересных результатов об БС-отображениях3, основанных на яо-множествах и квазинепрерывных отображениях4, основанных на полуоткрытых множествах получила А. Нойбруннова.

В последнее время регулярно появляются работы, посвященные обобщениям наиболее важных классов пространств, основанным на полуоткрытых множествах. Это, в частности, работы К. Аль-Зуби5, Лии Сонга6, а также Хип ве 7. В данной работе рассматриваются дальнейшие обобщения, основанные на го-множествах.

Цель работы. Работа посвящена изучению понятия просто-открытого множества (яо-мноожества) и основанных на этом понятии обобщении основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Установлены связи между яо-множествами и другими обобщениями открытых множеств, доказано, что свойства йо-множеств сохраняются при топологическом удвоении пространств, найдены условия, при которых семейство яо-множеств образует топологию, совместимую с исходной.

• Введен и исследован класс яо-паракомпактных пространств. Доказано, что секвенциально компактное яо-паракомпактное пространство бикомпакт-

3 Neubrunnova A. On transfinite sequences of certain types of functions. Acta F.R.N. Univ. Comen. - Mathematica XXX, 1975.

4 Neubrunnova A. On certain generalizations of the notion of continuity. Matematicky Casopis.vol. 23(1973), №4, 374-380.

5 Al-Zoubi K.Y. S-paracompact spaces.Acta Math. Hungar. 110(1-2) (2006), 165-174.

6Li P.-Y., Song Y.-K. Some remarks on S-paracompact spaces. Acta Math. Hungar., 118(4) (2008), 345-355.

7 Xun Ge. Mappings on S-paracompact spaces. Acta universitatis apulensis. №19/2009.

но. Доказано, что произведение яо-паракомпактного и бикомпактного пространств Бо-паракомпактно.

• Исследованы топологические дубликаты во-паракомпактных пространств. Доказано, что при топологическом удвоении свойства этих пространств сохраняются (а в отдельных случаях усиливаются).

• Получены примеры во-паракомпактного не паракомпактного пространства и йо-паракомпактного не 5-паракомпакгного пространства.

• Получены характеристики Бо-непрерывных отображений и их продолжений на дубликат пространства. Доказано, что экстремально несвязное пространство есть паракомпакт тогда и только тогда, когда для всякого его открытого покрытия ю существует квазинепрерывное со-отображение на некоторое метрическое пространство.

Методы исследования. В работе применяются методы общей терии топологических пространств, их непрерывных отображений и дескриптивной теории множеств.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теоретико-множественной топологии.

Апробация работы. Результаты диссериации докладывались

- на 3-ей международной конференции Багдадского университета (24-26 марта 2009г., г. Багдад, Ирак),

-на Международной конференции по топологии и ее приложениям (2010г., г. Месолонги, Греция),

- на семинаре имени П.С.Александрова (неоднократно),

- на Международной топологической конференции «Александровские чтения» (21-25 мая 2012г., Москва),

-на Международной конференции, посвященной 90-летию Л.Д.Кудрявцева (25-29 марта 2013г., г. Москва).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-6].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и 9 параграфов основной части и списка литературы. Текст диссертации содержит 73 страницы, библиография включает 74 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе изучается понятие просто-открытого множества и основанные на нем обобщения основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Подмножество А пространства X называется просто-открытым (или яо-множеством), если Л = 0^¡N, где О открыто, а N нигде не плотно (п\ус1). При этом не исключается, что любое из множеств О, или N может быть пустым. Напомним, что множество N называется нигде не плотным, если внутренность замыкания этого множества пусто: ¡т[л']=^. (Всюду в данной работе замыкание множества обозначается квадратными скобками). Эо-множество называеься ББО-множеством, если оно содержит непустое открытое множество.

Следует заметить, что подмножество пространства X является просто-открьгтым тогда и только тогда, когда его граница нигде не плотна в X.

Отображение / ■. X —> ¥ топологического пространства X в топологическое пространство У называется просто-непрерывным, если прообраз /"'(V) любого открытого множества V е у просто-открыт в х .

Как уже отмечалось, понятие просто-открытого множества и основанное на нем понятие просто-непрерывного отображения ввел 1Ч.В1Б\л'а5. Просто-непрерывные отображения будем называть также вс-отображениями. Ранее

Н.Левин (М.Ьсушс) ввел понятия полуоткрытого множества и полунепрерывного отображения.

Подмножество л пространства X называется полуоткрытым, если существует такое открытое множество О, что 0сАс[о]. Полузамкнутое множество определяется как дополнение к полуоткрытому.

Отображение называется полунепрерывным, если прообраз всякого открытого множества есть полуоткрытое множество.

Целью работы является систематическое изучение просто-открытых и в частности, полуоткрытых множеств, а также основанных на них обобщений основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы научного исследования, вводятся основные понятия и излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов

В первом параграфе изучаются и систематизируются свойства просто-открытых множеств и операций над ними. В частности, те свойства, совокупность которых позволяет утверждать, что семейство всех просто-открытых множеств является полем. Упомянем также следующие утверждения.

Предложение 1.1.11. Произведение двух хо-множеств есть бо-множество.

Предложение 1.1.18. Пусть Б - подмножество пространства (Х,Т). Тогда следующие условия эквивалентны:

(а) Б есть Бо-множество

(ЬОЩБ] с [ий^)].

Предложение 1.1.22. Каждое просто-открытое множество обладает свойством Бэра.

Njastad8 ввел понятие а-множества. Подмножество S пространства (Х,Т) называется а-множеством если S eint [int S] . Семейства а-множеств в (Х,Т), будут обозначаться через Т°. Njastad показал, что Т" есть топология на X со следующими свойствами: Т сТа , (Т")" = Т° и Se Т1 тогда и только тогда, когда всякое nwd-множество в (Х,Т) замкнуто.

Andrijevic'' заметил, что SO(X,T)=SO(X,T°) и что NcX есть nwd в (Х,Т" ) тогда и только тогда, когда N есть nwd в (Х,Т). Таким образом, мы имеем следующее предложение:

Если S есть просто-открытое подмножество пространства (Х,Т), то X является просто-открытым в пространстве (Х,Т " ).

Доказательство основано на упомянутом выше результате Andrijevic.

Во втором параграфе исследуются соотношения между SO- множествами и другими обобщениями открытых множеств. Установлены связи просто-открытых множеств с регулярно-открытыми, локально-замкнутыми, полуоткрытыми множествами, ß-множествами и др.

Подмножество А пространства (Х,Т) называется ß-открытым если Ас [int [А]].

Очевидно, что что всякое полуоткрытое множество является so-множеством. Следующее утверждение отвечает на вопрос, при каких условиях so-множество есть полуоткрытое множество.

Для подмножества А пространства (Х.Т), следующие условия эквивалентны:

(]) А so-множество и ß- открытое множество.

(2) А полуоткрыто.

sNjastad О. On some classes of nearly open sets. Pacific J. Math., 15 (1965), 961-970.

9Andrijevic D. Some properties of the topology of a-sets. Mat. Vesnik, Vol. 36(1984), 1-10

В разное время в литературе появлялось много различных обобщений открытых и замкнутых множеств - обобщений, основанных не различных комбинациях замыканий, внутренностей и дополнений. В связи с этим появлялись и новые термины для этих множеств. Результаты второго параграфа первой главы позволяют исключить из употребления некоторые из этих терминов (в частности, КОВ-множества, (3-множества, полу-локально замкнутые множества), так как классы множеств, обозначаемые этими терминами совпадают с классом просто-открытых множеств.

В параграфе третьем первой главы рассматриваются топологические удвоения 8о-множеств.

Хорошо известен пример бикомпактного топологического пространства «двойная окружность Александрова». В разное время разные авторы (прежде всего Р. Энгелькинг) рассматривали всевозможные обобщения этого примера.

Здесь мы рассматриваем удвоение топологических пространств по методу П.С.Александрова и изучаем поведение зо-множеств при этой операции. Доказано, что свойство множества быть просто-открытым множеством не только сохраняется, но, более того, усиливается.

Предложение 1.3.2. Дубликат яо-множества есть ЯБО-множество.

Предложение 1.3.4. Дубликат полуоткрытого множества есть полуоткрытое множество.

В четвертом параграфе первой главы мы выясняем, при каких условиях семейство всех просто-открытых множеств образует топологию, и как эта топология связана с исходной.

Семейство всех просто-открытых множеств (Бо-множеств) пространства (х,7") обозначается через т*°.

Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА1.4.1. Если семейство Т:'" локально конечно, то Тю есть топология на X.

Доказательство этой теоремы основано на том, что объединение локально конечного семейства Бо-множеств есть во-множество.

Подмножество А топологического пространства X называется а-открытым, или а-множеством, если А с тЦнп Л]. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 1.4.9. Для всякого топологического пространства (Х,Т) мы имеем ТсТвсТ5°.

Вторая глава состоит из трех параграфов

В первом параграфе рассматриваются С-компактные и СБО- компактные пространства.

Пространство X называется С-компактным, если для всякого его замкнутого подпространства и всякого открытого покрытия этого подпространства существует такая подсистема элементов этого покрытия, что замыкания элементов этой подсистемы покрывают X. Справедливо утверждение:

Уплотнение С-компактного пространства в хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм.

Центральное место в Главе 2 занимают яо-паракомпактные пространства и их различные модификации: Б-паракомпактные, вво-паракомпактные, почти паракомпактные пространства.

во-паракомпактные пространства исследуются во втором параграфе.

Пространство X называется просто-паракомпактным, или во-параком-пактным, если во всякое открытое покрытие X можно вписать локально конечное покрытие просто-открытыми множествами.

Очевидно, в классе регулярных пространств просто-паракомпактные пространства совпадают (в силу известного результата Э.Майкла) с паракомпактами. Поэтому все результаты, полученные для просто паракомпактных пространств, представляют интерес только для

нерегулярных пространств.

Дан пример просто-паракомпактного пространства, не являющегося паракомпактным. Доказаны следующие утверждения

Предложение 2.2.8. Всякое замкнутое подпространство во-паракомпактного пространства яо-паракомпактно.

ТЕОРЕМА 2.2.16. Полурегулярное пространство яо-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие (состоящее из любых множеств).

ТЕОРЕМА 2.2.22. Всякое секвенциально компактное Бо-паракомпактное пространство бикомпактно.

Аналогичное утверждение верно и для счетно компактных во-паракомпактных пространств: Всякое Бо-паракомпактное счетно-компактное пространство X бикомпактно.

Усилением понятия во-паракомпактного пространства является понятие яя-паракомпактного пространства.

Пространство называется Бя-паракомпактным, если во всякое его покрытие можно вписать локально-конечное покрытие, состоящее из яэо-множеств.

ТЕОРЕМА 2.2.26. Дубликат А(Х) просто-паракомпактного пространства является ББ-паракомпактным пространством.

Этот результат является одним из центральных во второй главе.

М.К.8шда1 и З.Р.Агуа1" ввели понятие почти паракомпактного пространства. Пространство X называется почти паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечную систему открытых множеств, плотную в X. Доказана ТЕОРЕМА 2.2.28. Всякое ВБ-паракомпактное пространство почти паракомпактно.

"Ътда! М.К.,Агуа Э.Р. Оп М-рагасотрай ьрасех. МаЛ. Апп. 181(1969)Д29-133

К.У.А1-5!оиЫ5 ввел понятие Б-паракомпактного пространства. Пространство называется Б-паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из полуоткрытых множеств. Нами доказана

ТЕОРЕМА 2.2.33. Дубликат Б-паракомпактного пространства есть Б-паракомпактное пространство.

Даны следующие примеры:

Пример почти паракомпактного не Б-паракомпактного пространства.

Пример Бо-паракомпактного не Б-паракомпактного пространства.

Примеры счетно компактных не Бо-паракомпактных пространств.

Пример секвенциально компактного псевдо-паракомпактного не зо-паракомпактного пространства.

Рассмотрены топологические произведения, где одним из сомножителей является Бо-паракомпактное пространство. Показано, что не только произведение двух во-паракомпактных пространств может не быть зо-паракомпактным, но даже произведение двух паракомпакгов может не быть Бо-паракомпактным.

Отметим еще следующий результат в §2 главы 2.

ТЕОРЕМА 2.2.39. Если X есть яо-паракомпактное пространство, а У бикомпактно, то произведение ХхУ есть Бо-паракомпактное пространство.

В третьем параграфе главы 2 рассматриваются сзо-паракомпактные пространства, являющиеся обобщениями счетно паракомпактных пространств. Пространство называется сБо-паракомпактным, если во всякое его счетное открытое покрытие можно вписать счетное локально конечное покрытие, состоящее из просто-открытых множеств.

Получена следующая характеристика сво-паракомпактного пространства

ТЕОРЕМА 2.3.2. Топологическое пространство X сво-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать

локально конечное покрытие, состоящее из дизъюнктных просто-открытых множеств.

Третья глава состоит из двух параграфов

В первом параграфе изучаются so-непрерывные отображения.

Понятие просто-непрерывного, или so-непрерывного отображения, основанное на понятии просто-открытого множества ввел также N.Biswas в упомянутой ранее работе.

Отображение / : X -» Y топологического пространства X в топологическое пространство Y называется просто-непрерывным, или sc-отображением, если прообраз всякого открытого в Y множества есть so-множество. Отображение называется сильно просто-непрерывным, или ssc-отображением, если прообраз всякого открытого множества есть sso-множество.

Справедливы следующие простые утверждения

Пусть X и Y - два топологических пространства. Функция f: X —>Y просто-непрерывна тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого в Y подмножества В его прообраз f (Y) просто-замкнут в X.

Пусть отображение / :Х —> У просто-непрерывно и U открыто в X , Тогда сужение //и просто- непрерывно.

Отображение / : X У называется полунепрерывным (N.Levine), если прообраз всякого открытого множества полуоткрыт.

Существуют простые примеры просто-непрерывных отображений (т.е., sc-отображений), не являющихся полунепрерывными. Один из таких примеров (пример 3.1.3) приводится в §1 главы 3.

Задолго до понятия полунепрерывного отображения С.Кемписти11 ввел понятие квазинепрерывного отображения.

" Kempisty S. Sur les fonctions quasicontinues. Fund. Math. 19(1932), 184-197.

Отображение /: X -»Уназывается квазинепрерывным в точке хе X, если для любых таких открытых множеств и и V, что хе и, /{х)е V существует непустое открытое множество С с и, удовлетворяющее условию /(с)сУ.

А.ЫеиЬгиппоуа12 доказала, что отображение является полунепрерывным тогда и только тогда, когда оно квазинепрерывно. Поэтому из двух упомянутых выше эквивалентных терминов естественно выбрать один -«квазинепрерывное отображение».

Рассматриваются также множества точек разрыва кс-отображений и, в частности, квазинепрерывных отображений.

Нестрого говоря, в общей топологии нигде не плотные множества и множества первой категории играют роль множеств меры нуль.

Справедлива

ТЕОРЕМА 3.1.8. Если /: X У - действительная функция, определенная на отрезке, являющаяся БС-отображением, то в предположении СН множество точек разрыва функции эквивалентно множеству меры нуль.

Эта теорема не является нашим результатом, она следует из рассуждений М.Ьеуте, М.ЕНзууаБ и их предшественников, но нам не удалось найти ее сформулированной в явном виде.

Следует заметить, что эта теорема и теорема А.Нойбрунновой о поточечной сходимости трансфинитной последовательности йс-функций к зс-функции побудили нас заняться яо-множествами и основанными на них отображениями.

В §2 главы 3 рассматриваются квазинепрерывные ю-отображения и продолжения вс-отображений на дубликаты пространств.

Полуокрестностью точки называется любое полуоткрытое множество, содержащее эту точку.

Система множеств называется в-локально конечной (К.У. А1-2оиЫ 5),

12 Neubrunnova A. On certain generalizations of the notion of continuity. Mat. Cas.,23(1973), 374-380.

если для каждой точки существует полуокрестность этой точки, пересекающаяся не более чем с конечным числом элементов этой системы. Системы, являющиеся s-локально конечными, связаны с квазинепрерывными ш-отображениями.

В §2 главы 3 доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.4. Экстремально нресвязное пространство X паракомпактно тогда и только тогда, когда для всякого его открытого покрытия со существует квазинепрерывное аз-отображение на некоторое метрическое пространство.

Всякое отображение /: X -» Y естественно продолжается на дубликат пространства X. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.9. Если пространство Y есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, S-паракомпактного so-паракомпактного) пространства при sc-отображении, то Y есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, S-паракомпактного, sso-паракомпактного пространства при ssc-отображении.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Клюшина Владимира Леонидовича за постановку задачи и и поддержку.

Автор выражает благодарность участникам семинара имени П.С.Александрова за внимание.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Jalal Hatem Hussein. On SO-continuous function. Proceedings of 3-rd Scientific conference of College of science. University of Baghdad, 24-26, 2009.

[2] Джелал Хатем Хуссейн Аль-Баяти. Некоторые результаты о просто-непрерывных функциях Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика. 1(2012), 9-13.

[3] Jalal Hatem Hussein. Weak and strong forms of so-continuous functions. Selected papers of the International Conference on Topology and its Applications. Technological Education Institute of Messolonghi. 2010, 86-91.

[4] Клюшин B.JI., Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн. О просто-открытых множествах. Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика, №(2011), 34-38. (В.Л.Клюшину принадлежит постановка задачи и редакция текста введения, Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейну принадлежит содержание пп. 2 и 3.)

[5] AI Bayati Jalal Hatem Hussein. On simply paracompact spaces. Alexandroff Readings International Topological Conference. Moscow (Russia) May 21-25, 2012. Сборник тезисов Alexandroff Readings, с. 9.

[6] Клюшин В.Л., Аль-Баяти Джелал Хатем Хуссейн. Топологическое удвоение so-множеств и продолжение отображений. Тезисы Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.Д.Кудрявцева. Москва, 2013, с. 346-347. (Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейну принадлежит теорема 1 и первоначальный вариант теоремы 2, усиленной затем В.Л.Клюшиным.)

Подписано в печать 25.08.2013г.

Усл.п.л. - 1.0 Заказ №15952 Тираж: 100 экз.

Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 ] 07023, Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр. 12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

Российский университет дружбы народов

На правах рукописи УДК 514.765

Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн

04201451671 БО-МНОЖЕСТВА

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (01.01.04 геометрия и топология)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор В.Л.Клюшин

Москва 2013

Оглавление

Введение.............................................................................. 3

Глава 1. БО-множества........................................................... 14

§1. Свойства 80-множеств................................................... 14

§2. Соотношения между 80- множествами и другими обобщениями

открытых множеств............................................................... 23

§3 Топологическое удвоение 80-множеств.............................. 26

§4. Топология, порожденная 80-множествами......................... 29

Глава 2. Приложения 80-множеств....................................................................................33

§1. С-компактные и С80-компактные пространства..................................33

§2. 80-паракомпактные пространства..................................... 34

§3. С80-паракомпактные пространства....................................................................53

Глава 3. Слабые и сильные формы БО-непрерывных отображений... 56

§1. Просто-непрерывные отображения.................................... 56

§2. Продолжение зс-отображений.......................................... 63

Список литературы............................................................... 67

Работы автора, опубликованные по теме диссертации................... 72

ВВЕДЕНИЕ

В работе изучается понятие просто-открытого множества и основанные на нем обобщения основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Подмножество А пространства X называется просто-открытым (или Бо-множеством), если А = о и N, где О открыто, а N нигде не плотно (гшс1). При этом не исключается, что любое из множеств О, или N может быть пустым. Напомним, что множество N называется нигде не плотным, если внутренность замыкания этого множества пусто: . (Всюду в

данной работе замыкание множества обозначается квадратными скобками).

Следует заметить, что подмножество пространства X является просто-открытым тогда и только тогда, когда его граница нигде не плотна в X.

Отображение /: x у топологического пространства X в топологическое пространство У называется просто-непрерывным, если прообраз /"'(К) любого открытого множества v е у просто-открыт в x.

Понятие просто-открытого множества и основанное на нем понятие просто-непрерывного отображения ввел Ы^БЛУаз в [24]. Просто-непрерывные отображения будем называть также эс-отображениями.

Ранее Н.Левин (Ы.Ьеуте) в [43] ввел понятия полуоткрытого множества и полунепрерывного отображения.

Подмножество а пространства x называется полуоткрытым, если существует такое открытое множество О, что о с а с [о]. Полузамкнутое множество определяется как дополнение к полуоткрытому.

Отображение называется полунепрерывным, если прообраз всякого открытого множества есть полуоткрытое множество.

Целью работы является систематическое изучение просто-открытых и в частности, полуоткрытых множеств, а также основанных на них обобщений основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Первая глава состоит из четырех параграфов

В первом параграфе изучаются и систематизируются свойства просто-открытых множеств и операций над ними. В частности, те свойства, совокупность которых позволяет утверждать, что семейство всех просто-открытых множеств является полем. Упомянем также следующие утверждения.

Предложение 1.1.11. Произведение двух so-множеств есть so-множество.

ТЕОРЕМА 1.1.18. Пусть S - подмножество пространства (Х,Т). Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) S есть просто-открытое множество

(b) Int[S] c[int(S)].

ТЕОРЕМА 1.1.22. Каждое просто-открытое множество обладает свойством Бэра.

О. Njastad в [57] ввел понятие а-множества. Подмножество S пространства (Х,Т) называется а-множеством если Sc int [int S] . Семейства а-множеств в (Х,Т), будут обозначаться через Та . Njastad [57] показал, что Та есть топология на X со следующими свойствами: Т еТ° , (Та)а = Та и S б Та тогда и только тогда, когда всякое nwd-множество в (Х,Т) замкнуто.

Andrijevic заметил, что SO(X,T)=SO(X,T°) и что NcX есть nwd в (Х,Т") тогда и только тогда, когда N есть nwd в (Х,Т). Таким образом, мы имеем следующее предложение:

Если S есть просто-открытое подмножество пространства (Х,Т), то S является просто-открытым в пространстве (Х,Т°).

Доказательство основано на упомянутом выше результате Andrijevic.

Во втором параграфе исследуются соотношения между so-множествами и другими обобщениями открытых множеств. Установлены связи просто-открытых множеств с регулярно-открытыми, локально-замкнутыми, полуоткрытыми множествами, ß-множествами и др.

Подмножество А пространства (Х,Т) называется ß-открытым если Ас [int [А]].

Очевидно, что что всякое полуоткрытое множество является so-множеством. Следующее утверждение отвечает на вопрос, при каких условиях so-множество есть полуоткрытое множество.

Для подмножества А пространства (Х,Т), следующие условия эквивалентны:

(1) А so-множество и ß-открытое множество.

(2) А полуоткрыто.

Предложение 1.2.5. Для пространства ( Х,Т) и точки х Е X следующие условия эквивалентны:

(a) [r}F.™<%7),

(b) (х) или открыто, или nwd,

(c) [хj или полуоткрыто, или полузамкнуто.

Отметим еще следующее утверждение второго параграфа, доказанное непосредственно:

Множество S является so-множеством тогда и только тогда, когда оно есть 5-множество.

В разное время в литературе появлялось много различных обобщений открытых и замкнутых множеств - обобщений, основанных на различных комбинациях замыканий, внутренностей и дополнений. В связи с этим появлялись и новые термины для этих множеств. Результаты второго параграфа первой главы позволяют исключить из употребления некоторые

из этих терминов (в частности, КБВ-множества, р-множества, полулокально замкнутые множества), так как классы множеств, обозначаемые этими терминами совпадают с классом просто-открытых множеств.

В параграфе третьем первой главы рассматриваются топологические удвоения Бо-множеств.

Хорошо известен пример бикомпактного топологического пространства «двойная окружность Александрова». В разное время разные авторы (прежде всего Р. Энгелькинг) рассматривали всевозможные обобщения этого примера.

Здесь мы рассматриваем удвоение топологических пространств по методу П.С.Александрова и изучаем поведение Бо-множеств при этой операции. Доказано, что свойство множества быть просто-открытым множеством не только сохраняется, но, более того, усиливается.

Предложение 1.3.2. Дубликат зо-множества есть ззо-множество.

Предложение 1.3.4. Дубликат полуоткрытого множества есть полуоткрытое множество.

В четвертом параграфе первой главы мы выясняем, при каких условиях семейство всех просто-открытых множеств образует топологию, и как эта топология связана с исходной.

Семейство всех просто-открытых множеств (го-множеств) пространства (х,т) обозначается через тю.

Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 1.4.1. Если тю локально конечно, то тю есть топология наХ.

Доказательство этой теоремы основано на том, что объединение локально конечного семейства Бо-множеств есть го-множество.

Подмножество а топологического пространства x называется а-открытым, или а-множеством (см. 1^аз1ас1 О. [57]), если ЛстфпМ]. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 1.4.9. Для всякого топологического пространства (Х,Т) мы имеем ТсгТ" сТда.

Вторая глава состоит из трех параграфов

В первом параграфе рассматриваются С-компактные и СБО-компактные пространства.

Пространство X называется С-компактным, если для всякого его замкнутого подпространства и всякого открытого покрытия этого подпространства существует такая подсистема элементов этого покрытия, что замыкания элементов этой подсистемы покрывают X. Справедливо утверждение:

Уплотнение С-компактного пространства в хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм.

Центральное место в Главе 2 занимают эо-паракомпактные пространства и их различные модификации: 8-паракомпактные, Бво-паракомпактные, почти паракомпактные пространства.

эо-паракомпактные пространства исследуются во втором параграфе.

Пространство X называется просто-паракомпактным, или зо-паракомпактным, если во всякое открытое покрытие X можно вписать локально конечное покрытие просто-открытыми множествами.

Очевидно, в классе регулярных пространств просто-паракомпактные пространства совпадают (в силу известного результата Э.Майкла) с паракомпактами. Поэтому все результаты, полученные для просто-паракомпактных пространств, представляют интерес только для нерегулярных пространств.

Дан пример просто-паракомпактного пространства, не являющегося паракомпактным.

Доказаны следующие утверждения

Предложение 2.2.8. Всякое замкнутое подпространство во-паракомпактного пространства эо-паракомпактно.

ТЕОРЕМА 2.2.16. Полурегулярное пространство го-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие (состоящее из любых множеств).

ТЕОРЕМА 2.2.22. Всякое секвенциально компактное зо-паракомпактное пространство бикомпактно.

Аналогичное утверждение верно и для счетно компактных бо-паракомпактных пространств:

Предложение. Всякое просто-паракомпактное счетно-компактное пространство X бикомпактно.

Усилением понятия Бо-паракомпактного пространства является понятие эз-паракомпактного пространства.

Пространство называется зз-паракомпактным, если во всякое его покрытие можно вписать локально-конечное покрытие, состоящее из вво-множеств.

ТЕОРЕМА 2.2.26. Дубликат А(Х) просто-паракомпактного пространства является зз-паракомпактным пространством.

Этот результат является одним из центральных во второй главе.

М.К.8и^а1 и Б.Р.Агуа в [61] ввели понятие почти паракомпактного пространства. Пространство X называется почти паракомпактным, если

во всякое его открытое покрытие можно вписать такую локально конечную систему открытых множеств, что семейство их замыканий является покрытием пространства X. Доказана

ТЕОРЕМА 2.2.28. Всякое ээ-паракомпактное пространство почти паракомпактно.

К.У.А1-2оиЫ в [18] ввел понятие 8-паракомпактного пространства. Пространство называется Б-паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из полуоткрытых множеств. Нами доказана

ТЕОРЕМА 2.2.33. Дубликат 8-паракомпактного пространства есть 8-паракомпактное пространство.

Даны следующие примеры:

Пример почти паракомпактного не 8-паракомпактного пространства.

Пример Бо-паракомпактного не 8-паракомпактного пространства.

Примеры счетно компактных не эо-паракомпактных пространств.

Пример секвенциально компактного псевдо-паракомпактного не бо-паракомпактного пространства.

Рассмотрены топологические произведения, где одним из сомножителей является эо-паракомпактное пространство. Показано, что не только произведение двух эо-паракомпактных пространств может не быть эо-паракомпактным, но даже произведение двух паракомпактов может не быть эо-паракомпактным.

Отметим еще следующий результат в §2 главы 2.

ТЕОРЕМА 2.2.39. Если X есть зо-паракомпактное пространство, а У бикомпактно, то произведение ХхУ есть Бо-паракомпактное пространство.

В третьем параграфе главы 2 рассматриваются сэо-паракомпактные пространства, являющиеся обобщениями счетно паракомпактных

пространств. Пространство называется сго-паракомпактным, если во всякое его счетное открытое покрытие можно вписать счетное локально конечное покрытие, состоящее из просто-открытых множеств.

Получена следующая характеристика сго-паракомпактного пространства

ТЕОРЕМА 2.3.2. Топологическое пространство X сго-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из дизъюнктных просто-открытых множеств.

Третья глава состоит из двух параграфов

В первом параграфе изучаются го-непрерывные отображения.

Понятие просто-непрерывного, или го-непрерывного отображения, основанное на понятии просто-открытого множества ввел также 1чГ.В1г'\¥аг в упомянутой ранее работе [24].

Отображение /: x у топологического пространства x в топологическое пространство у называется просто-непрерывным, или зс-отображением, если прообраз всякого открытого в У множества есть го-множество. Отображение называется сильно просто-непрерывным, или ггс-отображением, если прообраз всякого го-множества есть го-множество.

Справедливы следующие простые утверждения

Пусть X и У - два топологических пространства. Функция £ X —»У просто-непрерывна тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого в у подмножества В его прообраз £ 1 (У) есть го-множество в X.

Пусть отображение /: x -> у просто-непрерывно и и открыто в x. Тогда сужение //и просто- непрерывно.

Отображение /: x у называется полунепрерывным (ТЧХеуше [43]), если прообраз всякого открытого множества полуоткрыт.

Существуют простые примеры просто-непрерывных отображений (т.е., эс-отображений), не являющихся полунепрерывными. Один из таких примеров (пример 3.1.3) приводится в §1 главы 3. Приводится также пример псевдо-непрерывного отображения, не являющегося бс-отображением.

Задолго до понятия полунепрерывного отображения 8.Кетр1з1у в [42] ввел понятие квазинепрерывного отображения

Отображение /: X -> 7называется квазинепрерывным в точке хеХ, если для любых таких открытых множеств и и V, что хеи, /(х)е v существует непустое открытое множество о с и,

удовлетворяющее условию /(с) с V.

А.ЫеиЬгиппоуа [53] доказала, что отображение является полунепрерывным тогда и только тогда, когда оно квазинепрерывно. Поэтому из двух упомянутых выше эквивалентных терминов естественно выбрать один - «квазинепрерывное отображение».

Рассматриваются также множества точек разрыва зс-отображений и, в частности, квазинепрерывных отображений.

Нестрого говоря, в общей топологии нигде не плотные множества и множества первой категории играют роль множеств меры нуль.

Справедлива

ТЕОРЕМА 3.1.8. Если действительная функция,

определенная на отрезке, являющаяся эс-отображениемдо в предположении СН множество точек разрыва функции эквивалентно множеству меры нуль.

Эта теорема не является нашим результатом, она следует из рассуждений К.Ьеуте, ТМ-ЕНэшаг и их предшественников, но нам не удалось найти ее сформулированной в явном виде.

Следует заметить, что эта теорема и теорема А.Нойбрунновой о поточечной сходимости трансфинитной последовательности гс-функций к Бс-функции побудили нас заняться го-множествами и основанными на них отображениями. (Теорема А.Нойбрунновой цитируется нами в тексте диссертации. Это - теорема 3.1.4.).

В §2 рассматриваются квазинепрерывные (»-отображения и продолжения гс-отображений.

Полуокрестностью точки называется любое полуоткрытое множество, содержащее эту точку.

Система множеств называется з-локально конечной (см.К.У.А1^оиЫ [18]), если для каждой точки существует полуокрестность этой точки, пересекающаяся не более чем с конечным числом элементов этой системы. Системы, являющиеся г-локально конечными, связаны с квазинепрерывными ю-отображениями.

В §2 главы 3 доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.4. Экстремально несвязное пространство X паракомпактно тогда и только тогда, когда для всякого его открытого покрытия со существует квазинепрерывное со-отображение /: x у пространства X на некоторое метрическое пространство У.

В §2 главы 3 рассматриваются также усиления и ослабления понятия гс-отображения и продолжения отображений на дубликаты пространств.

Напомним, что го-множество, содержащее непустое открытое множество, называется гго-множеством.

Отображение называется ггс-отображением, если прообраз всякого открытого множества есть гго-множество.

Всякое отображение /: x у естественно продолжается на дубликат л(х) пространства X. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.9. Если пространство У есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, 8-паракомпактного Бо-паракомпактного) пространства при эс-отображении, то У есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, 8-паракомпактного, эзо-паракомпактного пространства при ззс-отображении.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Владимира Леонидовича Клюшина за помощь в выборе темы исследования и постоянное внимание к работе.

ГЛАВА 1.

SO-множества

§1. Свойства просто-открытых множеств

Пусть (Х,Т) - топологическое пространство. Для подмножества S с X

замыкание, внутренность и дополнение множества S по отношению к

р

(Х,Т) будем обозначать через [S], int S и S соответственно. Иногда, чтобы не возникло недоразумений, мы будем также обозначать замыкание множества S через cl(S).

Напомним понятие просто-открытого множества.

Определение 1.1.1. (N. Biswas [24]). Подмножество S пространства (Х,Т) называется просто-открытым (simply-open), если S=Ou N, где О открыто а N нигде н