Соотношения о среднем и их приложения к алгоритмам метода Монте-Карло в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи УДК 519.245:519.63

Шалимова Ирина Александровна

СООТНОШЕНИЯ О СРЕДНЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АЛГОРИТМАМ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученрй степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения РАН, г.Новосибирск

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор К.К.Сабельфельд

Официальные оппоненты! доктор физико-математических наук

профессор Б.Д.Аннин; кандидат физико-математических наук С.Е.Макаров

Ведущая организация - Институт Геофизики СО РАН,

г.Новосибирск

Защита состоится 1994г. в мин. на

заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Вычислилельном центре СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск-90, пр. Академика Лаврентьева, 6. Автореферат разослан "¡Лн^-^-ук 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

\

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Хорошо известно, какую роль играют теоремы о среднем как в качественном исследовании дифференциальных уравнений, так и в численном их анализе. Особое значение приобретают соотношения о среднем в построении и обосновании алгоритмов "блуждания по сферам". Действительно, на основе соотношения о сферическом среднем для уравнения диффузии Г.А.Михайлову и его ученикам удалось .применить общую теорию методов Монте-Карло для решения интегральных уравнений с обобщенным ядром. Это позволило сформулировать единый подход к построению и обоснованию алгоритмов "блуждания по сферам" для скалярных эллиптических уравнений второго порядка. В теории дифференциальных уравнений теоремы о среднем дают априорные оценки решения и его производных, в численном анализе сумматорные схемы. Для систем уравнений и" уравнений более высокого порядка К.К.Сабельфельд использовал принцип выметания и предложил эквивалентную формулировку в виде локальной системы интегральных уравнений, реализовав эту схему на примере метагармонических уравнений и системы уравнений Ламе.

Эти работы привлекли внимание к построению векторных алгоритмов метода Монте-Карло и стимулировали совместные с автором диссертации работы по выводу новых соотношений о среднем для задач теории упругости.

Следует подчеркнуть что эти соотношения позволяют судить о решении "в целом", что имеет существенное преимущество по сравнению с разностными схемами. Кроме того, они весьма полезны 1ри решении краевых задач со стохастическими параметрами.

Безусловно, развитие даного метода еще далеко от фазы даже тредварительной теории сколько-нибудь 'завершенного вида, эднако, актуальность работ в данном направлении подтверждается зсе возрастающим интересом к поиску эффективных численных «ётодов, допускающих параллельную реализацию с помощью ;овременных многопроцессорных ЭВМ.

Делыо данной диссертационной работы. является вывод соотношений о сферическом среднем для ряда задач теории упругости и построение на их основе алгоритмов "бдуждания по сферам", обоснование сходимости и оценка трудоемкости этих алгоритмов для специального класса областей.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые получены соотношения о среднем для ряда задач теории упругости. Для регулярных значений спектрального параметра получена теорема о среднем для уравнения 'Д и. - гЦ. > что позволило использовать эквивалентную векторную интегральную формулировку

К.К.Сабельфельда.

Теоремы о среднем для системы уравнений псевдоколебаний получены двумя независимыми методами, имеющими самостоятельный | интерес. Построенные алгоритмы "бдуждания по сферам" просты в реализации и могут использоваться для решения задач теории упругости для достаточно широкого класса трехмерных областей. Полученный явный вид соотношений о среднем также представляет интерес при построении априорных оценок и изучении спектральных свойств уравнения Ламе.

апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН (Новосибирск), на Всесоюзной школе-семинаре "Методы Монте-Карло и их приложения" (Алма-Ата, 1987), на конкурсе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1992), на семинаре профессора Б.Д.Аннина института Гидродинамики СО РАН (Новосибирск, 1993).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Содержание работы.

Во введении проведен краткий анализ диссертационной работы, обоснована актуальность темы исследования, изложено содержание

диссертации и перечислены основные результаты.

В первой главе описан алгоритм "блуждания по сферам" для решения краевых задач теории упругости на примере бигармонической задачи. Даются известные определения, простейшие свойства и соотношения. Так, общую схему можно сформулировать, следующим образом:

а). переход от исходной дифференциальной задачи к системе интегральных уравнений второго рода с обобщенным ядром (построение соотношения о среднем);

б). исследование спектрального радиуса интегрального оператора как возможность применения алгоритма "блуждания по сферам";

в), оценка дисперсии и трудоемкости алгоритма.

В разделе 1.1 рассмотрен также вопрос о применении методов Монте-Карло к решению систем интегральных уравнений для случаев, когда интегральный оператор не является сжимающим, то есть вопрос об аналитическом продолжении ряда Неймана.

Во втором параграфе в рамках описанного алгоритма для системы уравнений установившихся псевдоколебаний однородных изотропных упругих сред доказывается теорема о среднем. Под теоремой о среднем понимается интегральное соотношение, связывающее значение функции в центре шара с ее значениями на сфере. В основе построения подобных представлений лежит обобщенная формула Пицегти, требующая от функции аналитичности. Будем предполагать, что это условие выполнено.

Рассматривается ограниченная однородная изотропная среда £5 с границей Г , для которой известно уравнение псевдоколебательного состояния в перемещениях с нулевой массовой силой

д*и - ¡) а = о

а)

*

где Д - оператор Ламе,

¿\ - Д + Оь+^суюЫ. ¿¿1г (2)

К

и = (и1} и*, иъ) _ вектор смещений , И; - действительные регулярные функции О С(Р), ^ - произвольное

действительное число, Р > О , X , уЦ. - коэффициенты Ламе, в данном слечае - константы.

Теорема 1. Произвольное решение системы уравнений (1) удовлетворяет соотношению о среднем

Шх) =

и - кую*) <3>

Здесь д

К/, - (<-а) +3р{ - \

г/ и,г. Г I (¡¿А) г)]

// , г/ ^ - операторы усреднения на единичной сфере 5(х,1)л соответственно по равномерной мере е>!Л и мере сС ^ ¡_ .

А] «.¿Г* И^с/Л

* (4)

(О л

д/^) = ) «¿^эГ* Тд)

^¿^ - символ Кронекера, - 1-ый направляющий косинус

вектора у , у е Б (я, в).

Из формулы (3), в частности, при 1)~>0 вытекает известное соотношение о среднем для системы уравнений Ламе (Л Ч. = О ) ,

В третьем параграфе аналогичная теорема доказана для системы уравнений термоупругой статики с нулевыми массовыми силами без тепловых источников.

д 9 = О (7)

где 1Л- - Уг, ) - смещения, 0 - изменение температуры, 11; , в - действительные регулярные функции,

$ = С^/и. ■* ЗХ.)оС

оС - коэффициент линейного теплового расширения. Теорема 2. Решение

(и, 9) системы уравнений (6, 7) удовлетворяет соотноиению о среднем

1лТб

3

и(Х) - л/С\)(х) - ¿г ] б»

О

9Ы

,(1)

где /V , Л/ определены выше.

В разделе 1.4 указывается область применения алгоритмов метода Монте-Карло для решения задачи (1). Несложно показать, что при

»>> {г =

интегральный оператор, выписанный -на основе (3) и соответствующий системе дифференциальных уравнений (1), является сжимающим. Тем самым, в данной области выполнены условия сходимости и конечности дисперсии алгоритма "блуждания по сферам".

Вторая глава посвящена решению задачи Дирихле для системы уравнений Ламе в областях, составленных из объединения двух шаров с ненулевым пересечением. Специальный вид области позволяет организовать "блуждание" по уже имеющимся сферам, то есть строить итерационный процесс, подобный альтернирующему методу Шварца.

Для этого выведено соотношение о среднем, связывающее произвольную внутреннюю точку шара со значениями на

сфере 5 СО, £) (аналог классической интегральной формулы Пуассона для гармонических функций). В разделе 2.1 рассматривается плоский случай, в 2.3 - приведенный ниже пространственный. В диссертации оба доказательства приведены полностью, поскольку пространственный вариант не просто технически усложняется из-за увеличения размерности, но и качественно отличается от плоского.

Теооеиа 3. Для любой аналитической вектор-функции И, , являющейся решением системы уравнений Ламе,

* л

A ÍL=0.

Выполняется соотношение о среднем в любой точке "X £

0-зг)/гг

к.

(г- О /г г

(<- ¡ r)/¿r к-

(}r~i)/¿r Wé

р л О '

U4 * - z-td, } , U1 = С04(ех,

- символ Кронеккера. В ходе доказательства теоремы 3 получено еще одно соотношение о среднем в нецентральной точке для бигармонических Функций, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема 4. Пусть имеется бигармоническая в шаре 111(0,2) функция К,(Х), ЭСёН^О/Р). Известно также, что на границе

Тогда значения функции У (X) в любой внутренней точке х . <Р) выражается через (р) как

ЪС0,О ч* ) ^

где г

-л

Ус Н Иг- , *1*и>4 (ОХ, згу\

Заметим, что если в формулах (8), (9) перейти к пределу при , то получатся известные соотношения о среднем для центра

сферы.

Во втором параграфе на основе указанного выше алгоритма блуждания по сферам специального вида выписывается оценка решения системы интегральных уравнений (8). Численные эксперименты позволяют сделать предположение, что интегральный опреатор является сжимающим, обеспечивая тем самым сходимость ряда Неймана. Здесь же приведены численные результаты решения одной модельной краевой задачи.

Третья глава посвящена построению интегральных соотношений о среднем для производных от решения (деформации, напряжения) системы (1). Доказательство теорем о среднем в данной главе основывается на формулах Остроградского-Гаусса. Тем самым

предположение об аналитичности решения ослаблено до предположения Щв С Ъ(ъ) (1 С (Ъ VГ).

В первом параграфе для системы уравнений (1) выводится интегральное соотношение, уже полученное ранее (Теорема 1). Тем самым, с одной стороны, демонстрируются единые приемы построения, используемые вдальнейшем для напряжений и деформаций, с другой - подтверждается верность соотношения (3). Заметим, что теорема о среднем построена в предположении регулярности И- , в отличие от более жестких условий на смещения в главе 1.

Во втором параграфе строится соотношение о среднем, связывающее компоненты тензора деформации ¿¿^ в центре шара Ш(0,е) со смещениями 1С на сфере %(0, ¡?).

Теорема 5. Компоненты тензора деформации

е.. = 1 /Ж: + М/ \

г V -ф-^- * тз-1 )

в центре шара ?? выражается через интегралы от

смещений как

, Ш~1кр}г3г .. г Л (

"= ^ГТе, ) * ** £ ' и Ш )и' V *л ^

г б

+ ¿-л I** + 1 (Ш

* ^(и.-Хь + и* х{) оГл,

где 3

л = а* Ю } - (*/>}

г

¿¡К - символ Крокекера, 7„ <7 *-О - Ч -ая бесселева функция.

Третий параграф посвящен аналогичной теореме о среднем для

тензора напряжений '¡Г,- • , а

Ту = уК <£\у + С\ сО т и. .

Теорема В. Средневзвешенное значение по поверхности

любой сферы ";>(£>,&), целиком лежащей в области ^ , равняется значению ^ в центре сферы то есть

г Vo>MÍ^>>íг>^г,t¿l-

-б}«-

¿/и**а + ' ¿>:А

4 ре * А

■гное* + с(л.

В четвертом параграфе доказана

Творяма 7. Если "Ху - вещественные регулярные функции

гу € с3{ъ)лссг),

то напряжения в центре сферы бСо, Я) выражаются через внешние напряжения как

(о) . - — ,( гк1 ^ ад ^ 5

4 - Л

_ Г^ г, Те с* Б

где •

А, - /♦ (гч + в1^)-

3., =-(£-¡3 *

С,

Аь* гвЧкг)-V* вг -¿я^}'.Л^/з

2., г .

Г - - / Сг +

Заключение.

Основные результаты диссертации:

1. Получены в явной форме интегральные соотношения о

среднем, связывающие вектор решения 'Ы- системы уравнения Ламе

■¥ —» „ А и. - О

в произвольной внутренней точке шара (круга) со значениями на сфере (окружности) - обобщение интегральной формулы Пуассона.

2. На основе полученного в п.1 соотношения о среднем построен и численно исследован алгоритм "блуждания по сферам" для класса областей, состоящих из объединения двух пересекающихся шаров.

3. Для системы уравнений установившихся упругих псевдоколебаний — —

А и. ~ »и- =°

получены интегральные соотношения о среднем, связывающие

- смещения в центре шара со смещениями на сфере;

- деформации и напряжения в центре иара со смещениями на сфере;

- напряжения в центре вара с напряжениями на сфере; Построенные интегральные соотношения позволяют вычислять напряжения на тех же траекториях процесса "блуждания по сферам", что и при нахождении вектора смещений.

4. Получено интегральное соотношение о среднем для системы уравнений термоупругой статики

А *и. - 9 =О

лежащее в основе векторного расширения алгоритма "блуждания по

сферам" из п.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

- Сабельфельд К.К., Шалимова И.А. Применение способов аналитического продолжения для вычисления первых собственных чисел интегральных и дифференциальных уравнений методом Монте-Карло// VII Всесоюзное совещание по методам Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике, Новосибирск, 1985., с.12 - 17.

- Сабельфельд К.К., Шалимова H.A. Векторная теорема о среднем для систем дифференциальных уравнений и векторные алгоритмы блуждания по сферам// Методы статистического моделирования.-Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - с.78-85. •

- Сабельфельд К.К., Шалимова И.А. Теорема о сферическом среднем для систем эллиптических уравнений и уравнения термоупругих колебаний// Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. - с.88-94.

- Шалимова. И.А. Теорема о среднем для системы уравнений Ламе в нецентральной точке// Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1989. - с.135-146.

- Шалимова И.А. Теорема о сферическом среднем для системы уравнений Ламе в нецентральной точке// Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1989.

- Шалимова И.А. Теоремы о среднем в теории уупругости// ВЦ СО РАН, серия Вычислительная математика, вып.1, 1993, - с.85-106.

- Sabelfeld К.К., Shalimova I.A. Mean value theorems in Monte Carlo methods// Soviet Journal Numerical Analysis and Math. Modelling- 1988. - Vol.3, N 3. - p.132-154.

- Shalimova I.A. Spherical mean-value theorem at a noncentral point for the system- of Lame's equations and its use for constructing Monte Carlo algorithms// Russian Journal Numerical Analysis and Math. Modelling. - 1993. - Vol.8, N 4. - p.327-340.