Совместимая информация как инструмент анализа квантовых информационных каналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сыч Денис Васильевич

Совместимая информация как инструмент анализа квантовых информационных каналов

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

кандидат физико-математических наук, доцент Виктор Николаевич Задков,

доктор физико-математических наук, профессор Дмитрий Васильевич Куприянов,

доктор физико-математических наук профессор Фарид Явдатович Халили,

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " (3 " 2005 г в на заседании дис-

сертационного совета К 501 001 17 в МГУ им М В Ломоносова по адресу 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория С?ЯРА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им М В Ломоносова

Автореферат разослан " СХН. р^А^2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета К 501 001 17 доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая оргнизация

Петр Александрович Поляков

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Одним из наиболее значительных научных событий XX века в области физики стало, несомненно, создание квантовой теории Основные ее положения настолько сильно отличаются от привычных представлений о мире что вызывали не только споры у ОСНОВОПОЛОЖНИКОВ квантовой теории (достаточно вспомнить известную дискуссию Эйнштейн Бор), но и все новые и новые попытки интерпретации ее оснований, продолжающиеся до сих пор Другим значительным научным событием XX века стало создание теории информации На стыке квантовой теории и теории информации в последнее время начала активно развиваться теория квантовой информации, которая, возможно, станет одной из самых интересных областей науки XXI века Ее предметом является создание, передача и обработка информации, с той особенностью что носителями информации выступают не классические, а сугубо квантовые объекты с присущей им квантовой спецификой

Первые теоретические исследования в данном направлении были ты еще в 60-70-х годах прошлого века, но настоящий всплеск интереса к теории квантовой информации начался в 90-е годы и был связан, с одной стороны, с открытием практически важных приложений теории (квантовые вычисления квантовая криптография, квантовая тслепоргация), и с другой стороны, — с возросшими возможностями экспериментальных методов в таких областях, как квантовая оптика, атомная физика, физика твердого тела с помощью которых уже экспериментально продемонстрированы новые возможности практическою использования специфических особенностей квантовой информации

Особый интерес научного сообщества к теории квантовой информации обуславливает тот факт, что классическая теория информации находится с теорией квантовой информации приблизительно в том же соотношении, что и классическая ньютоновская механика с квантовой — некоторые объекты и результаты квантовой теории в частном случае дают классическую теорию, а некоторые совсем не имеют классического аналога, и, помимо интереснейших фундаментальных результатов, дают принципиально новые возможности решения важных прикладных задач Так, например, в квантовых вычислени-

ях переход к квантовому носителю информации — кубиту (от английского qubit — quantum bit) дает возможность построения квантовых алгоритмов, решающих некоторые математические задачи за значительно меньшее число шагов чем лучшие классические алгоритмы В квантовой криптографии появляется возможность абсолютно секретной передачи данных по квантовым каналам, в то время как секретность передачи информации по классическим каналам не абсолютна, а основана лишь на сложности решения ряда математических задач В квантовой телепортации с использованием перепутанных состояний можно мгновенно передавать произвольное квантовое состояние с одного объекта на другой

Несмотря на значительные как теоретические так и экспериментальные успехи различных приложений общая теория квантовой информации пока не создана С фундаментальной точки зрения одной из центральных проблем в тсории информации является определение количественной меры информации и связанной с ней пропускной способности информационного канала В классической теории объем информации определяется информационным функционалом Шеннона, имеющим смысл логарифма числа сообщений, передаваемых безошибочно при оптимальном кодировании в асимптотическом пределе больших последовательностей сообщений По сравнению с теорией информации Шеннона в приложении к физике роль квантовой информации представляется значительно более существенной, не позволяющей выделить ее в качестве независимой от физики чисто математической дисциплины В отличие от классических систем, в квантовом случае проблема введения ко личественной меры квантовой информации не допускает единого решения, а зависит от физического содержания квантового информационного канала

Наиболее общее деление типов квантовых каналов и соответствующих информационных мер основано на коммутативности/некоммутативности проекторов-индикаторов событий на входе и выходе информационного канала или другими словами, внутренней и взаимной совместимости/несовместимости элементарных событий на входе и выходе информаци онного канала В результате такого деления можно выделить четыре основных типа информационных каналов

• классический (элементарные события на входе и выходе канала внутренне и взаимно совместимы),

• полуклассический (элементарные события на входе канала внутренне

совместимы и автоматически взаимно совместимы с элементарными событиями на выходе канала, но, в отличие от предыдущего случая, элементарные события на выходе канала внутренне несовместимы),

• некоммутативный (элементарные события на входе и выходе канала внутренне и взаимно несовместимы),

• коммутативный (элементарные события на входе и выходе канала внутренне несовместимы, но, в отличие от предыдущего случая, взаимно совместимы)

В то время как три первых типа информационных каналов и соответству ющих им информационных мер хорошо известны и в той или иной степени исследованы, коммутативный канал как особый тип квантового канала и его информационная мера совместимая информация - в явной форме введены лишь относительно недавно В связи с этим представляется весьма актуальным анализ общих свойств совместимой информации, разработка математических методов информационного анализа коммутативных каналов и применение анализа, основанного на расчете совместимой информации, к общеупотребительным моделям реальных физических систем

1.2. Цель работы

Цель диссертации состоит в анализе общих свойств совместимой информации и применении разработаного формализма к информационному анализу ряда важных типов коммутативных информационных каналов

1.3. Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые проведен систематический анализ общих свойств совместимой информации Детально проанализированы информационные свойства наиболее важных двухчастичных состояний Исследованы возможности применения совместимой информации к анализу фундаментальных процессов передачи информации на квантовом уровне в реальных физических задачах Показана ее эффективность для анализа проблем, связанных с таким практически важным приложением теории квантовой информации, как квантовая криптография

1.4. Практическая ценность работы

Полученные теоретические результаты и методы наряду с комплексом написанных программ могут быть использованы для исследования различных коммутативных информационных каналов Результаты анализа совместимой информации в задаче Дике представляют интерес для физического обсуждения процессов передачи информации на уровне отдельных атомов и могут быть использованы например, в задачах физической реализации квантовых вычислений Предложенные в работе протоколы квантовой криптографии обеспечивают больший уровень помехозащищенности, чем существовавшие ранее протоколы, и могут быть реализованы в реальных системах квантовой криптографии

1.5. Защищаемые положения

1 На ряде практически важных квантовых информационных каналов продемонстрирована эффективность использования понятия совместимой информации как адекватной информационной меры

2 Показано, что максимально перепутанные двухчастичные состояния О6ЕСПЕчивают большую информативность чем любые другие двухчастичные состояния Выявлено соответствие между энтропией чистого квантового состояния в N мерном гильбертовом пространстве и энтропией классической системы с N элементарными событиями Выявлена качественная специфика описания динамики физических систем на языке совместимой и когерентной информации

3 Выявлено соответствие между неклонирурмостью квантовых состояний и некопируемостью квантовой информации Предложены и проанализированы несколько протоколов квантовой криптографии, алфавиты которых образуют правильные многогранники на сфере Блоха Показано, что они могут обеспечивать больший уровень помехозащищенности, чем существовавшие раннее протоколы с двумерными алфавитами Рассчитана верхняя оценка помехозащищенности для протоколов квантовой крипты рафии с многомерными алфавитами Показана принципиальная возможность создания секретного сообщения при произвольном уровне помех в квантовом канале связи

1.6. Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и семинарах

1 Международная конференция "International Quantum Electronics Conference - 2002", 22 27 июня 2002 г, Москва, Россия

2 Международная конференция "Quantum Informatics 2002" 1-4 октября 2002 г Звенигород, Россия

3 Санкт-Петербургский городской семинар по квантовой оптике 18 декабря 2002 г Санкт-Петербург Россия

4 Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов 2003" 15 — 18 апреля 2003 г , Москва, Россия

5 Московский городской семинар по квантовой оптике, 23 апреля 2003 г Москва, Россия

6 Международная конференция "8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations" 9—13 июня 2003 г, Puebla, Mexico

7 Международная конференция "International Symposium on Optical Science and Technology, SPIE's 48th Annual Meeting" 3 8 августа 2003 г, San Diego, USA

8 Международная конференция "Micro- and nanoelectronics 2003" 6 10 октября 2003 г , Звенигород, Россия

9 Международная конференция "304 WE-Hcraeus Seminar Elementary Quantum Processors", 13 — 15 октября 2003 г, Physikzentrum Bad Honnef, Germany

10 Международная конференция "2nd Asia-Pacific Workshop on Quantum Information Science", 15 - 19 декабря 2003 г , Singapore

11 Международная научная конференция студентов аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2004", 12 — 15 апреля 2004 г, Москва, Россия

12 Международная конференция 'X International Conference on Quantum Optics — 2004", 30 мая — 3 июня 2004 г, Минск, Беларусь

13 Международная конференция "IV International Symposium on Modern Problems of Laser Physics", 22 — 27 августа 2004 г, Новосибирск, Россия

14 Международная конференция "Quantum informatics — 2004" 4 - 8 октября 2004 г , Москва, Россия

По теме диссертации опубликовано 18 работ, список которых приведен в конце настоящего автореферата

1.7. Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения трех частей заключения, двух приложений и списка литературы Диссертация содержит 115 страниц текста 13 рисунков и 4 таблицы Список литературы содержит 97 наименований

1.8. Личный вклад автора

Автор внес определяющий вклад в исследования по теме диссератции Все результаты выносимые как защищаемые положения получены лично автором

2. Краткое содержание диссертации

Во введении дан исторический и литературный обзор работ по теории кван говой информации Обсуждена проблема определения количественной меры квантовой информации, осложненная по сравнению с классическим случаем наличием классически несовместимых квантовых событий Обоснована актуальность изучения совместимой информации, связанной с множествами совместимых событий на входе и выходе квантового канала Сформулированы цели диссертационной работы

В первой главе "Передача классической информации по квантовым каналам" изучены базовые понятия и соотношения теории квантовой информации, введено понятие совместимой информации, изучены общие

свойства совместимой информации и проанализированы абстрактные двух-кубитные каналы

В первом параграфе обсуждаются такие базовые понятия квантовой теории как состояние квантовой системы и элементарное квантовое событие Обосновывается необходимость рассмотрения квантовой логики событий Показана естественность разделения всех наборов элементарных событий на два класса совместимые (подчиняющиеся законам классической логики и отображаемые ортогональным набором волновых функций) и несовместимые (не подчиняющиеся законам классической логики и отображаемые неортогональным набором волновых функций) Раскрывается физическое содержание обобщенного измерения, математически описываемого неортогональным разложением единичного оператора или, другими словами ПОМ (положительно определенной операторозначной мерой)

к

Во втором параграфе рассматривается классическая шенноновская информация как основа для введения количественной меры совместимой информации

где Ях энтропия распределения вероятностей Р(х) элементарных событий X в системе X Конкретизируется качественный смысл таких базовых понятий, как энтропия и количество взаимной информации На простом классическом примере угадывания игроком выпадения двусторонней монеты на ту или иную сторону продемонстрирован метод расчета количества взаимной информации в классических системах

В третьем параграфе выявлено соотношение между энтропией классической системы с N элементарными событиями и энтропией квантового состояния в ¡У-мерном гильбертовом пространстве Показано, что если в классической системе вероятности ее элементарных событий априори не известны, то средняя энтропия такой системы равна априорной энтропии квантового состояния

(1)

1ав = за + зв - зав,

(2)

1=2

N

Еа=1

В дальнейшем показывается, что это соотношение тесно связано с борновской вероятностной интерпретацией волновой функции

В четвертом параграфе вводится формализм совместимой информации Определяются два предельных типа совместимой информации — селектированная и неселектированная Селектированная информация

(4)

отражает информационную связь систем А и В посредством двух класси-чсских индексов а и В ортогональных информационных базисов {|а) = |а) = и {\Р) = — Здесь составные континуальные

индексы а и В определяют ортогональные базисы, а дискретные двузначные индексы = 1,2 нумеруют в этих базисах состояния Совместное

распределение вероятностей есть

рев ав

(5)

Селектированную информацию можно качественно интерпретировать как информацию о состояниях в базисе а системы А, содержащуюся в состояниях базиса В системы В

Неселектированная информация

1ав = iiрлв{(1а, лц) 1о-2

а р

Рлв№,й13) РА[да)Рв{МЭ)

(6)

отражает информационный обмен сразу через все равноправно задействован ные квантовые состояния систем с учетом их внутренней квантовой неопределенности без селекции каких либо конкретных базисов Совместное распределение вероятностей задано на элементах дифференциала объема (1Уа, гильбертовых пространств Аи В

(7)

где

Выявлено базовое соотношение между селектированной и неселсктиро-ванной информацией неселектированная информация равна селектированной, усредненной по всем ориентациям ее информационных базисов

В последнем параграфе первой главы дается развернутый информационный анализ наиболее важных типов двухкубитных каналов, образованных парами кубитов, находящихся в чистых максимально перепутанных и сепа-рабельных состояниях Показано, что максимально перепутанные состояния обеспечивают наибольший уровень информативности среди всех остальных двухчастичных состояний Рассчитан объем неселектированной информации для максимально перепутанных и сепа-

рабельных состояний

Результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работе [8] Во второй главе "Информационный анализ двухкубитного канала в модели Дике" показан пример анализа динамики реальной физической системы на языке неселектированной совместимой информации Рассматри вается система из двух двухуровневых атомов, взаимодействующих посредством диполь-дипольного взаимодействия включающего обмен излучаемыми фотонами

В первом параграфе дается математическая модель рассматриваемой физической системы Решение задачи зависит от ряда безразмерных параметров расстояния между атомами <р = кг, ГДР к — модуль волнового вектора, соответствующего частою перехода изолированного атома, а г расстояние между атомами, времени взаимодействия — скорость радиационного

распада изолированного атома, а — время взаимодействия атомов, начального состояния атомов, заданного начальной разностью населенностей и каждого атома

Во втором параграфе матрица плотности рассматриваемой двухчастичной системы, зависящая от этих параметров, анализируется в терминах несе-лектированной совместимой информации Сначала изучается зависимость неселектированной информации I от времени взаимодействия и расстояния между атомами при их фиксированном начальном состоянии Эта зависимость, приведенная на рис 1, качественно аналогична зависимости разности населенностей атомов и отражает динамику процесса излучения одного атома в присутствии другого Количественно она отражает тип двухчастичного возбуждения системы Так, при малых межатомных расстояниях и больших временах взаимодействия основной вклад в информацию вносит долгоживу-щее антисимметричное состояние

Далее изучается зависимость неселектированной информации от началь-

. 0,20

' 0,15

0,10

0,05

. 0,00 0,4

0,25

Рис 1 Зависимость неселектированной информации / в двухатомной системе от безразмерных времени взаимодействия атомов ^ и межатомного расстояния 1р

ного состояния атомов при фиксированном межатомном расстоянии и времени взаимодействии Показано, что в общем случае эта зависимость немонотонна Так, например, при максимально возбужденных атомах неселектиро-ванная информация не достигает своей максимальной величины Максимум неселектированной информации зависит также и от характера начального возбуждения атома при чистом начальном состоянии он несколько больше, чем при некотерентном возбуждении той же разности населенностей

Результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работах [1,7] В третьей главе "Информационный анализ квантовых каналов в задачах квантовой криптографии" выполняется исследование протоколов квантовой криптографии на основе анализа совместимой информации Основной результат главы состоит в получении зависимости критического уровня ошибок протоколов квантовой криптографии от квантового алфавита, выбранною для кодирования информации в квантовом канале связи

В первом параграфе обсуждаегся принцип неклонируемости квантовых состояний, играющий ключевую роль в квантовой криптографии Этот принцип заключается в том, что нельзя создагь точную копию произвольного заранее неизвестного квантового состояния, те произвольное квантовое состояние нельзя клонировать Показано, что этот принцип может быть усилен и выражен в принципе некопируемости квантовой информации, состоящем в том, что точную информационную копию квантового состояния не только

нельзя создать, но она вообще не существует

Во втором параграфе излагаются основные понятия квантовой криптогра фии (получение сырого ключа, согласование базисов, усиление безопасности, коррекция ошибок, квантовый алфавит, критический уровень ошибок) раскрывается используемая далее терминология (Алиса — передатчик информации, Боб — приемник, Ева — подслушивающая сторона) Вводятся в рассмотрение двумерные квантовые алфавиты, буквы которых в представлении на сфере Блоха образуют вершины правильных многогранников тетраэдр октаэдр куб, икосаэдр и додекаэдр (имеющих 4, 6, 8, 12 и 20 вершин соответственно), и, как предельный случай многогранника с бесконечным числом вершин — континуальный алфавит Протоколы использующие такие алфавиты повторяют все шаги стандартных протоколов квантовой криптографии

В третьем параграфе рассматривается особенность континуального алфа-вига связанная с иевозможнос1ью буквальною использования стандартной процедуры согласования базисов Вместо точного согласования базисов для про юкола с континуальным алфавитом предлагается использовать прибли зительное согласование базисов Для этого сфера Блоха разбивается на конечное число одинаковых областей и базисы считаются совпавшими, если они попали в одну область Понятно, что такая процедура вносит дополнительные (по сравнению с точным согласованием базисов) ошибки в передаваемое сообщение зависящие от конкретного способа разбивки и размера области Чем меньше размер одной области, и, соогветсгвенно, больше общее число областей, тем меньше буду: эти ошибки В работе предложены два варианта разбивки и рассчитано соответствующее им количество информации в одном сообщении

Вторая особенность континуального алфавита состоит в неадекватности использования меры ошибок QBER (от англ "quantum bit error rate"), равной Q — 1 — N/Nmaj,, где N — число правильно переданных букв а Nmax — об щее число переданных букв, как количественной меры подслушивания, т к в случае приблизительного согласования базисов она дает ненулевой уровень ошибок даже при отсутствии подслушивания Вместо нее предлагается использовать меру ошибок MIER (от англ "mutual information error rate"), равную — реально переданное количсство совмести-

мой информации в одном бите, — максимально возможное количе

ство совместимой информации в одном бите при отсутствии подслушивания

МШИ. адекватно описывает уровень подслушивания для всех рассматриваемых в работе протоколов

В четвертом параграфе рассчитывается уровень ошибок для всех рассматриваемых протоколов, вызванный стратегией подслушивания типа перехвата-пересылки Это самая простая стратегия, состоящая в прямом измерении Евой передаваемого состояния в случайном базисе с последующей пересылкой Бобу результата своего измерения Уровень ошибок, вызванный такой стратегией, дает верхнюю границу потенциально возможного критического уровня ошибок при любой стратегии подслушивания Результаты расчетов приведены в табл 1

Таблица 1 Уровень ошибок Q вызванный стратегией подслушивания типа перехвата-пересылки

В пятом параграфе аналогичный анализ выполняется для стратегии оптимального подслушивания при индивидуальных атаках Такая стратегия подразумевает, что Ева может выполнять любые преобразования над каждым отдельно передаваемым кубитом, извлекая максимум информации при заданном уровне ошибок, или, другими словами, при извлечении заданного объема информации создает минимальные ошибки в подслушиваемом сообщении Рассчитан уровень ошибок до и после согласования базисов Рассматривался случаи безопасною согласования базисов, когда (читается, что Ева не получает никакой дополнительной информации из процедуры открытого согласования базисов Результаты расчета приведены в табл 2

Таблица 2 Критический уровень ошибок ро до согласования базисов

Буквы тетраэдрального алфавита ортогональных пар не образуют, поэтому

процедура согласования базисов для него не выполняется, и соответствующего результата в табл 2 нет

В шестом параграфе рассматриваются особенности протоколов квантовой криптографии с бесконечномерными алфавитами Показано что стратегия подслушивания типа перехвата пересылки для многомерных алфавитов, состоящих из взаимно-несмещенных базисов, в пределе бесконечной размерности вызывает уровень ошибок Q — 1, т е принципиальных запретов на увели чение критического уровня ошибок с увеличением размерности пространства состояний алфавита нет Для про юкола с многомерным континуальным алфавитом показано, что при любых стратегиях подслушивания критический уровень ошибок после безопасного согласования базисов с ростом размерности алфавита может быть сколь угодно близким к 1, те с использованием многомерного континуального алфавита в принципе можно осуществить секретную связь при любом наперед заданном уровне ошибок в квантовом канале связи

В последнем параграфе третьей главы предлагается экспериментальная схема реализации рассмотренных двумерных протоколов с кодированием информации в поляризационной степени свободы фотона Произвольные двумерные алфавиты могут быть реализованы единообразно на одной экспериментальной установке за счет выбора соответствующего набора углов поворота поляризации с помощью ячеек Поккельса

Результаты представленные в этой главе, опубликованы в работах [2 6 9 18]

В заключении обсуждаются результаты работы делаются выводы и формулируются защищаемые положения, приведенные в пункте 1 5 настоящего автореферата

В приложении А дано описание представления состояния кубита вектором на сфере Блоха В приложении Б приведена программа на языке МаШешаИса для расчета основных полученных в работе величин

Список публикаций по теме диссертации

[1] Гришанин Б А , Сыч Д В Совместимая квантовая информация в задаче Дике// Вестник Московского Университета Серия 3 Физика Астрономия 2002 - 4 - с 37-42

[2] Sych D V , Grishanin В А , Zadkov V N Quantum key distribution with continuous alphabet// Laser Physics — 2004 — 14 — 10 — p 1314

[3] Gnshanin В A , Sych D V , Zadkov V N Unselected information as an effective tool for quantum cryptography// SPIE Proc 5161 Eds Ronald E Meyers and Yanhua Shih 2004 - p 341 - 351

[4] Gnshanin В A , Sych D V , Zadkov V N Noise-resistant quantum key distribution protocol// Proc SPIE 5401 Eds Kamil A Vahev, Alexander A Orhkovsky 2004 - p 714-724

[5| Sych D V , Grishanin В A, Zadkov V N Critical error rate of QKD protocols versus the size and dimensionality of the quantum alphabet// Phys Rev A 2004 - 70 - 052331

[6] Сыч Д В , Гришанин Б А , Задков В H Анализ предельно возможных информационных характеристик протоколов квантовой криптографии// Квантовая Электроника 2005 - 35 — 1 — с 80 84

[7] Denib V Sych, Boris A Gnshanin, Victor N Zadkov Compatible Information Properties and application to physical problems// тезисы международной конференции "International Quantum Electronics Conference" - 22 27 июня 2002 — Москва, Россия

[8] D V Sych, В A Gnshanin, V N Zadkov Some applications of compatible information to physical problems// тезисы международной конференции "Quantum Informatics — 2002" — 1 — 4 октября 2002 — Звенигород Рос сия

[9] Д В Сыч, Б А Гришанин, В H Задков Квантовая криптография с неселектированной информацией// тезисы международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2003" - 15 18 апреля 2003 - Москва, Россия

[10] В A Gnshanin, D V Sych, V N Zadkov Unselected quantum information as an effective tool for quantum cryptography// тезисы международной конференции "International Symposium on Optical Science and Technology SPIE's 48th Annual Meeting" - 3-8 августа 2003 - San Diego, USA

[11] D Sych, В Gnshanin, V Zadkov, A Chirkin Noise-threshold-free quantum cryptography// тезисы международной конференции "8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations' — 9 — 13 июня

2003 - Puebla, Mexico

[12] D V Sych, В A Gnshanin, V N Zadkov Noise-resistant quantum key distribution protocol// тезисы международной конференции "Micro and nanoelectronies 2003" — 6 — 10 октября 2003 — Звенигород Россия

[13] D V Sych, В A Gnshanin V N Zadkov Information analysis of the quantum key distribution protocols// тезисы международной конференции "304 WE Heraeus-Seminar Elementary Quantum Processors' 13 15 октября 2003 — Physikzentrum Bad Honnef Germany

[14] Denis Sych Quantum Cryptography with unselected information// тезисы международной конференции "2nd Asia-Pacific Workshop on Quantum Information Science" — 15 19 декабря 2003 — Singapore

[15] Д В Сыч Б А Гришанин, В Н Задков Исследование зависимости эффективности протоколов квантовой криптографии от параметров кван-товою алфавита// тезисы международной научной конференции студен тов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2004" 12 — 15 апреля

2004 — Москва, Россия

[16] D V Sych В A Grishanin V N Zadkov Comparative characteristics of quantum key distribution protocols with alphabets corresponding to the regular polyhedrons on the Bloch sphere// тезисы международной кон ференции "X International Conference on Quantum Optics 2004"

30 мая — 3 июня, 2004 — Минск Беларусь

[17] D V Sych, В A Grishanin, V N Zadkov Six-state protocol critical error rate can be exceeded// тезисы международной конференции "IV International Symposium on Modern Problems of Laser Physics" — 22 — 27 августа, 2004 — Новосибирск Россия

[18] D V Sych, В A Grishanin, V N Zadkov Optimal alphabets for noisc-resistant quantum cryptography// тезисы международной конференции "Quantum informatics — 2004" — 4 — 8 октября 2004 — Москва, Россия

Принято к исполнению 11/04/2005 Исполнено 12/04/2005

Заказ № 760 Тираж 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)747-64-70 (095) 318-40-68 www autoreferat ru

OlOtf

" 881

Введение

1 Передача классической информации по квантовым каналам

1.1 Информационное содержание основных положений квантовой теории.

1.2 Классическая взаимная информация.

1.3 Небайесовское количество взаимной информации

1.4 Квантовая совместимая информация.

1.5 Информационный анализ максимально перепутанных и се-парабельных двухкубитных каналов.

2 Информационный анализ двухкубитного канала в модели Дике

2.1 Математическое описание модели

2.2 Анализ соотношения между информационными характеристиками и физическими наблюдаемыми величинами

3 Информационный анализ квантовых каналов в задачах квантовой криптографии

3.1 Принцип некопируемости квантовой информации.

3.2 Основные принципы квантовой криптографии.

3.3 Специфика протокола с континуальным алфавитом

3.4 Стратегия перехвата-пересылки

3.5 Стратегия оптимального подслушивания.

3.6 Многомерные протоколы квантовой криптографии.

3.7 Экспериментальная схема реализации протоколов квантовой криптографии с произвольными алфавитами.

Одним из наиболее значительных научных событий XX века в области физики стало, несомненно, создание квантовой теории. Основные ее положения настолько сильно отличаются от привычных представлений о мире, что вызывали не только споры у основоположников квантовой теории (достаточно вспомнить известную дискуссию Эйнштейн — Бор [1,2]), но и все новые и новые попытки интерпретации её оснований, продолжающиеся до сих пор [3]. Другим значительным научным событием XX века стало создание теории информации. Если квантовая теория явилась продуктом коллективного творчества целого ряда ученых, то основные положения теории информации были сформулированы в работе Шеннона [4].

На стыке квантовой теории и теории информации в последнее время начала активно развиваться теория квантовой информации, которая, возможно, станет одной из самых интересных областей науки XXI века. Ее предметом является создание, передача и обработка информации, с той особенностью, что носителями информации выступают не классические, а сугубо квантовые объекты, с присущей им квантовой спецификой.

Переход к квантовому характеру носителей информации первоначально стимулировался необходимостью учёта ограничений, накладываемых квантовым характером устройств преобразования информации, например, в задачах обработки электромагнитных сигналов. В грубой форме их учёт может быть выполнен и без использования явных математических обобщений соответствующих понятий классической теории, что является достаточным для многих практических приложений [5]. Тем не менее, необходимость таких обобщений является очевидной вследствие их важности для более глубокого понимания самой физики процессов в квантовых каналах, потребности в явном и математически экономном описании множества преобразований, физически возможных в квантовых системах, а также в установлении точных пределов качества функционирования квантовых информационных систем. Активные исследования в этом направлении были начаты в 60-70-х г. г. прошлого века.

Из наиболее ранних работ в этом направлении можно отметить исследования информационной пропускной способности квантовых информационных каналов, выполненные Гордоном, Лебедевым, Левитиным и Стратоновичем [5-10]. Начало исследований проблемы квантового обобщения классической теории оптимального обнаружения сигналов и оценивания параметров может быть связано с работами Хелстрома и других авторов в конце 60-х — начале 70-х годов (более детальный список соответствующих литературных ссылок содержится в монографии [11]).

Наиболее общей для данного круга задач является терминология, использующая вместо относительно более частного понятия оценки Л неизвестного параметра (параметров) Л понятия оптимального решения, которое в теории принятия оптимальных решений [12] в общем случае описывается статистической (рандомизированной) решающей функцией — распределением вероятностей ¡i{d\) (в теории обнаружения и измерения оптимум достигается на нерандомизированных решениях, поэтому во многих случаях рассмотрение рандомизации не обязательно). В работах Гришанина [13,14] было показано, что адекватным сокращённым математическим представлением квантовой процедуры принятия решения, иначе, обобщённого измерения, является его представление в форме неортогонального разложения E(d\) > 0 единичного оператора, удовлетворяющего условию нормировки j E{dX) = /. В настоящее время это разложение более известно под названием положительной операторной меры (ПОМ), или POVM (positive operator-valued measure). В работе Холево [15] была установлена — как было показано впоследствии, физически достижимая [16,17] — верхняя граница для количества информации в квантовом канале с классическим входом, известная в настоящее время как информация Холево. Обобщённое изложение некоторых математических результатов исследований данного периода содержится в монографии Холево [18], а современное состояние — в монографии [19].

Можно сказать, что сегодня теория квантовой информации переживает свое второе рождение. Бурное развитие современных теоретических исследований в этой области во многом обусловлено возросшими возможностями экспериментальных методов в таких областях, как квантовая оптика, атомная физика, физика твердого тела. Если раньше роль экспериментатора ограничивалась контролем макроскопических параметров системы, то теперь стало возможным создание, манипулирование и измерение индивидуальных квантовых состояний объектов на микроскопическом уровне, что открывает новые горизонты во многих фундаментальных вопросах.

Особенный интерес научного сообщества к теории квантовой информации представляет и тот факт, что классическая теория информации находится с теорией квантовой информации приблизительно в том же соотношении, что и классическая ньютоновская механика с квантовой — некоторые объекты и результаты квантовой теории в частном случае дают классическую теорию, а некоторые совсем не имеют классического аналога, и, помимо интереснейших фундаментальных результатов, дают принципиально новые возможности решения важных прикладных задач. К последнему случаю относятся такие разделы теории квантовой информации, как квантовые вычисления, квантовая криптография, квантовая телепортация, в которых уже экспериментально продемонстрированы новые возможности практического использования специфических особенностей квантовой информации.

Так, например, в квантовых вычислениях переход к квантовому носителю информации — кубиту (от английского qubit — quantum bit) дает возможность построения квантовых алгоритмов, решающих некоторые математические задачи за меньшее число шагов, чем лучшие классические алгоритмы. На это впервые указал Фейнман [20], предложивший использовать квантовые компьютеры (т.е. такие компьютеры, носителями информации в которых являются кубиты) для моделирования динамики квантовых систем. Тогда еще было не ясно, могут ли квантовые компьютеры ускорить решение каких-либо других задач, но сейчас для ряда практически важных проблем квантовые алгоритмы уже найдены: разложение п-значного числа на простые множители — пожалуй, самая важная на сегодняшний день задача для прикладной криптографии, решается классическими алгоритмами за число шагов порядка е^™, а квантовый алгоритм Шора выполняет эту же задачу за число шагов порядка п2 [21]; поиск элемента в несортированной базе данных объемом N элементов выполняется классическим компьютером за число шагов порядка ТУ, а квантовый алгоритм Гровера решает эту задачу за число шагов порядка у/Ы [22]. На сегодняшний день уже известен целый ряд задач, решаемых на квантовом компьютере асимптотически быстрее, чем на классическом, и проблема экспериментального создания квантового компьютера интенсивно разрабатывается во многих лабораториях мира. Уже достигнут значительный прогресс в данной области, и можно сказать, что проблема экспериментального создания полноценного квантового компьютера — это лишь вопрос времени [23,24].

Другая сфера практического применения теории квантовой информации, гораздо более успешная в плане экспериментальной реализации — это квантовая криптография. Центральная идея квантовой криптографии — идея некопируемости квантовой информации — была осознана в конце 70-х — начале 80-х годов и выражена в принципе неклонируе-мости квантовых состояний [25-27], который обсуждается в разделе 3.1.

Суть этого принципа состоит в том, что для произвольного неизвестного заранее квантового состояния нельзя создать его точную копию, не изменив при этом само копируемое состояние, т.е. неизвестное заранее квантовое состояние нельзя клонировать. Такое свойство квантовых состояний используется в процедуре квантового распределения ключа — передаче небольшого сообщения, которое служит паролем для дальнейшего шифрования больших объемов данных средствами классической криптографии.

Отметим, что процедура классического распределения ключа теоретически не является абсолютно секретной, т.к. основана на математической сложности решения ряда задач (например задачи разложения большого числа на простые множители). Обоснованием секретности служит лишь большое время решения этих задач, в среднем существенно превосходящее разумное время, в течение которого имеет значение секретность шифруемой информации. Процедура квантового распределения ключа, напротив, обеспечивает абсолютно секретную передачу информации, т.к. обоснованием секретности служат уже физические законы.

В 1984 году в работе [28] был предложен первый протокол квантовой криптографии, названный в честь его создателей ВВ84 (от первых букв в фамилиях Bennet и Brassard), а спустя три года он уже был реализован экспериментально [29]. Позже было предложено еще несколько протоколов квантовой криптографии [30-33]. К настоящему времени экспериментальные схемы, реализующие протоколы квантовой криптографии, уже выпускаются как коммерческие продукты [34,35].

Детальное обсуждение проявлений квантовой специфики физических систем, лежащей в основе перечисленных приложений, можно найти в современных обзорах [23,36-42] и монографиях [24,43-46]. Несмотря на все многообразие эффектов и необычность приложений теории квантовой информации, все они связаны тесно связаны между собой и могут быть описаны единым образом как процессы передачи и обработки квантовой информации, посредством квантовых информационных каналов. В общем случае преобразование информации в информационном канале М. можно определить как некоторое преобразование состояний на входе канала А в состояния на выходе В: м

А-► В. (1)

Отметим, что вход и выход информационного канала, да и сам канал могут иметь совершенно различный характер: это может быть как специально созданный канал для целенаправленной передачи данных, например, в классических линиях связи или в квантовой криптографии, так и канал, спонтанно реализованный в природе, например, в результате временной эволюции одной физической системы, где входом и выходом канала являются разновременные состояния этой системы, или в результате взаимодействия двух физических систем, представляющих вход и выход некоторого абстрактного канала связи. С этой точки зрения любые физические взаимодействия в принципе можно рассматривать как процессы обмена информацией. Подобное информационное описание взаимодействия физических систем будет давать более абстрактную картину по сравнению с описанием взаимодействия в терминах выбранных конкретных динамических переменных.

С фундаментальной точки зрения одной из центральных проблем в теории информации является определение количественной меры информации и связанной с ней пропускной способностью информационного канала. В классической теории объем информации определяется информационным функционалом Шеннона, имеющим смысл логарифма числа сообщений, передаваемых безошибочно при оптимальном кодировании в асимптотическом пределе больших последовательностей сообщений [4].

По сравнению с теорией информации Шеннона в приложении к физике роль квантовой информации представляется значительно более существенной, не позволяющей выделить её в качестве независимой от физики чисто математической дисциплины [47,48]. В отличие от классических систем, в квантовом случае проблема введения количественной меры квантовой информации не допускает единого решения, а зависит от физического содержания квантового информационного канала.

Качественное отличие квантовых систем от классических состоит в некоммутативности квантовых переменных, которая эквивалентна неортогональности их собственных квантовых состояний и связанной с этим невозможности рассмотрения произвольного набора квантовых событий в рамках классической логики — т. н. несовместимости элементарных квантовых событий, проявляющейся в возникновении специфической квантовой неопределенности, что будет подробно рассмотрено в разделе 1.1 главы 1.

С учетом этого факта наиболее общее деление типов квантовых каналов и соответствующих информационных мер основано на внутренней и взаимной коммутативности/некоммутативности проекторов индикаторов событий на входе и выходе информационного канала, или, другими словами, внутренней и взаимной совместимости или несовместимости элементарных событий на входе и выходе информационного канала [48].

В результате можно выделить следующие четыре основных типа информационных каналов:

• Классический канал — элементарные события на входе и выходе канала внутренне и взаимно совместимы. В исходной форме теории информации Шеннона "по умолчанию" рассматриваются именно такие классические состояния [4,49]. Классический канал задаётся условным распределением вероятностей р{у\х) состояний выхода у при фиксированных состояниях входа х. Отметим, однако, что классическая информация всегда может быть передана по квантовому каналу и также представляет определённый интерес в квантовой физике. Адекватной количественной мерой классического канала является классическая взаимная информация Шеннона.

• Полуклассический канал — элементарные события на входе канала внутренне совместимы и автоматически взаимно совместимы с элементарными событиями на выходе канала, но, в отличие от предыдущего случая, элементарные события на выходе канала внутренне несовместимы. Полуклассический канал в общем случае описывается ансамблем смешанных квантовых состояний выхода /5д, зависящих от классического параметра Л на входе [14,15,50]. Состояния на входе канала задаются классическими параметрами Л, которые эквивалентны входным переменным х в классическом канале; состояния на выходе задаются множеством всех волновых функций фЕН, аналогичным переменным у\ матрица плотности р\ аналогична условному распределению вероятностей р(у\х) классического канала. Адекватной количественной мерой полуклассического канала является информация Холево, представляемая как обобщение классического информационный функционала Шеннона с использованием для энтропии её квантового обобщения в форме

ЗД = -Тгр^р.

Некоммутативный канал — элементарные события на входе и выходе канала внутренне и взаимно несовместимы. Некоммутативный канал описывается суперонератором канала А/", преобразующим матрицу плотности входа в матрицу плотности выхода: рв = МрА [51,52]. Преобразование N определяет поток квантово несовместимых состояний от входа канала к его выходу и является полностью квантовым аналогом классического условного распределения р(у\х), которое осуществляет аналогичное линейное преобразование классического входного распределения вероятностей р(х) в выходное распределение р(у). Адекватной количественной мерой некоммутативного канала является объем когерентной информации [51]. Физически некоммутативный канал реализуется, например, при временной эволюции динамически замкнутой квантовой системы, которая в начальный момент времени играет роль входа, а в конечный — роль выхода информационного канала.

• Коммутативный канал — элементарные события на входе и выходе канала внутренне несовместимы, но, в отличие от предыдущего случая, взаимно совместимы. Коммутативный канал, вообще говоря, реализуется в случае, когда пространство состояний канала Пав представимо в виде тензорного произведения пространств состояний входа и выхода (Hab — На®Нв), и существует совместная матрица плотности входа и выхода рав- Такая ситуация появляется, например, при рассмотрении одновременных состояний двух различных нерелятивистских физических систем, играющих роль входа и выхода информационного канала.

В то время как три первых типа информационных каналов и соответствующих им информационных мер хорошо известны и в той или иной степени изучены, совместимая информация как особый тип информационной меры коммутативного канала в явной форме введена лишь относительно недавно [53]. В связи с этим представляется весьма актуальным анализ общих свойств совместимой информации, разработка математических методов информационного анализа коммутативных каналов и применение анализа, основанного на расчете совместимой информации, к общеупотребительным моделям реальных физических систем.

Совместимая информация связана с возникновением корреляций в состояниях входа и выхода канала, проявляющихся в форме совместного распределения вероятностей Рав(х,у) результатов двух независимых обобщенных измерений, выполняемых на входе А и выходе В квантового канала. Естественной количественной мерой совместимой информации является классический информационный функционал Шеннона. Отметим, что совместимую информацию можно рассматривать и безотносительно процесса измерения, как потенциально заложенную меру классического "знания" выхода канала о состоянии входа.

С точки зрения качественного содержания совместимая информация является обобщением классической взаимной информации на случай квантовых систем, т.к. учитывает как чисто классические, так и специфически квантовые корреляции состояний входа и выхода. Она характеризует информационную связь между входом и выходом в декванто-ванной, классической форме, допускающей копирование, в отличие от когерентной информации, которая должна быть уничтожена в одной физической системе, чтобы быть переданной в другую.

Цель данной диссертации состоит в анализе общих свойств совместимой информации и применение разработанного формализма к информационному анализу некоторых важных типов совместимых информационных каналов, что имеет существенное значение для теории квантовой информации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка ли

Основные результаты диссертации доложены на научных семинарах и международных конференциях в России и за рубежом в 2002—2004 годах и опубликованы в работах [80-97].

В заключение выражаю искреннюю благодарность моим научным руководителям — Виктору Николаевичу Задкову за постоянное внимание к работе и Борису Андреевичу Гришанину за постановку задач и неоценимую помощь в освоении методов их решения. Я также глубоко благодарен своей семье за понимание и поддержку в процессе всей работы над диссертацией.

Заключение

В заключение просуммируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

В ней рассмотрен важный тип квантовой информации — совместимая информация. Изучены ее свойства на примере информационного анализа как абстрактных двухкубитных квантовых каналов, так и каналов, образованных в реальных системах — двухатомной задаче Дике и в системе Алиса-Ева-Боб в задачах квантовой криптографии. В результате можно сделать вывод об эффективности использования информационного анализа, основанного на расчете совместимой информации, для решения целого ряда задач.

По результатам анализа общих свойств совместимой информации, проведенного в главе 1, в первую очередь можно сделать вывод о практической ценности информационного подхода в квантовой теории. Обсуждение основных объектов квантовой теории в информационных терминах дает не только новую физическую картину, что уже само по себе интересно, но и помогает глубже осознать основы теории. Так, например, в параграфе 1.3 при рассмотрении, казалось бы, достаточно отвлеченной задачи из классической теории информации, довольно неожиданно проявляется вероятностная интерпретация волновой функции.

При обсуждении различных двухчастичных состояний как потенциальных информационных каналов для передачи классической информации становится очевидной роль максимально перепутанных двухчастичных состояний. Именно такие состояния обеспечивают максимальную информационную связанность. Как показано в параграфе 1.5, величина неселектированной информации для квантовокоррелированных максимально перепутанных состояний в несколько раз больше величины неселектированной информации для квазиклассических сепарабельных состояний. Это следует учитывать при использовании информационной специфики распределенных перепутанных систем. Например, в схемах квантовой телепортации центральное место всегда занимает именно распределенная перепутанная пара. С учетом возможного применения телепортации как процедуры в алгоритмах квантовых вычислений результаты приведенного в параграфе 1.5 анализа представляются достаточно актуальными.

Результаты главы 2 позволяют сделать вывод о том, что наиболее естественным объектом анализа в терминах совместимой информации являются кинематически независимые системы, например, два различных взаимодействующих объекта. Анализ в терминах совместимой информации по сравнению с анализом в терминах избранных динамических переменных дает, с одной стороны, более абстрактную картину, с другой — наилучшим образом описывает именно информационные аспекты взаимодействия. Так, например, результаты информационного анализа двухатомного взаимодействия представляют интерес для физического обсуждения фундаментальных процессов передачи информации на уровне отдельных атомов. Если представить отдельные атомы как минимальные носители информации, то становится понятной актуальность подобного анализа в будущем.

1. Einstein A., Podolsky В, and Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. — 1935. - 47. - p.777 - 780.

2. Bohr N. H. D. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. - 48. — p.696 - 702.

3. Proceedings of the Conference "Quantum Theory: Reconsideration of Foundations", Vâxjô: Vaxjô University Press, 2001.

4. Shannon С. E. A mathematical theory of communication // Bell Syst. Tech. Journal. 1948. - 27. - p. 379 - 423 and 623 - 656.

5. Курикша А. А. Квантовая оптика и оптическая локация //M: Советское радио, 1973.

6. Gordon J. P. Quantum effects in communication systems // Proc. IRE. 1962. - 50. - 9. - c. 1898 - 1908.

7. Лебедев Д. С., Левитин Л. Б. Максимальное количество информации, переносимое электромагнитным полем // Докл. АН СССР. —1963. 169. 6. - с. 1299 - 1302.

8. Лебедев Д. С., Левитин Л. Б. Перенос информации электромагнитным полем // сборник "Теория передачи информации", М: Наука,1964. с. 5 20.

9. Стратонович Р. Л. Количество информации, передаваемое квантовым каналом связи I, II // Изв. высш. учебн. завед. Радиофизика. —1965. 8. - 1. - с. 116 - 141.

10. Стратонович Р. Л. Скорость передачи информации в некоторых квантовых каналах связи // Проблемы передачи информации. —1966. 2. - 1. - с. 45 - 57.

11. Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания // М: Мир, 1979.

12. Вальд А. Статистические решающие функции // сборник "Позиционные игры", М: Наука, 1967.

13. Гришанин Б. А. Некоторые методы и результаты квантовой теории решений // Труды V конф. по теории кодирования и передачи информации. — 1972. — Горький. с. 103.

14. Гришанин Б. А. Некоторые методы решения квантовых задач обнаружения и измерения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1973. — 11. — 5. — с. 127 — 137. См. также перевод на англ. quant-ph/0301159.

15. А. С. Холево, Пробл. передачи информ. 9, 31 (1973).

16. Hausladen P., Jozsa R. // Phys. Rev. А. 1996. - 54. - p. 1869.

17. Holevo A. S. // IEEE Trans. Inf. Theory. 1998. IT 44. - p. 269.

18. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории // М: Наука, 1980.

19. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации// М: МУН-МО, 2002.

20. Feynman R. P. Simulating physics with computers // Int. J. Theor. Phys. 1982. - 21. - p. 467 - 488.

21. Shor P. W. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // Proc. of the 35th Ann. Symp. of the Foundations of Computer Science. (Ed. S. Goldwasser). — Los Alamitos, CA: IEEE Computer Society, 1994. p. 124 - 134.

22. Grover L. K. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack // Phys. Rev. Lett. 1997. - 79. - p. 4709.

23. Steane A. Quantum computing // Rep. Prog. Phys. — 1998. — 61. — 2. p. 117 - 173.

24. Боумейстер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации // М.: Постмаркет, 2002.

25. Clauser J. F., Shimony A. Bell's theorem: Experimental tests and implications // Rep. Prog. Phys. 1978. - 41. p. 1881 - 1927.

26. Wootters W.K. and Zurek W.H. A single quantum cannot be cloned // Nature. 1982. - 299. - p. 802 - 803.

27. Dieks D. Communication by EPR devices // Phys. Lett. A. 1982. -92. - p. 271 - 272.

28. Bennett Ch.H. and Brassard G. Quantum key distribution and coin tossing // Proc. of IEEE Int. Conf. on Computers, Systems, and Signal Processing (Bangalore, India). — 1984. — p. 175 — 179. E, New York, 1984, p. 175).

29. Bennett Ch.H. and Brassard G. The dawn of a new era for quantum cryptography: The experimental prototype is working! // Special Interest Group on Automata and Computability Theory News. — 1989. 20. - p. 78 - 82.

30. Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. - 67. - 6. - p. 661 - 663.

31. Bennett Ch. H. Quantum cryptography using any two nonorthogonal states // Phys. Rev. Lett. 1992. - 68. - 21. - p. 3121 - 3124.

32. Bruss D. Optimal eavesdropping in quantum cryptography with six states // Phys. Rev. Lett. 1998. - 81. - 14. - p. 3018 - 3021.

33. Grosshans F. and Grangier P. Continuous variable quantum cryptography using coherent states // Phys. Rev. Lett. — 2002. 88. — 5. - 057902.34. http://www.magiq.com/35. http://www.idquantique.com/

34. Gisin N., Ribordy G., Tittel W., and Zbinden H. Quantum cryptography // Rev. Mod. Phys. 2002. - 74. - p. 145 - 195.

35. Whitaker M. A. B. Theory and experiment in the foundations of quantum theory // Prog. Quantum Electron. — 2000. — 24. — p. 1 106.

36. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация // УФН. — 1994. — 164. — 5. с. 449 - 530.

37. Клышко Д. Н. Основные понятия квантовой физики с операциональной точки зрения Аннотация // УФН. — 1998. — 168. — 9. — с. 975 1015.

38. Килин С. Я. Квантовая информация // УФН. 1999. 169. — 5. — с. 507 - 527.

39. Менский М. Б. Квантовая механика: новые эксперименты, новые