Спектр спиновых и упругих волн в периодических мультислойных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

07-7 1450

На правах рукописи

Лалетин Олег Николаевич

/

СПЕКТР СПИНОВЫХ И УПРУГИХ волн В ПЕРИОДИЧЕСКИХ МУЛЬТИСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2007

Работа выполнена в Институте физики им. J1.B. Киренского СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Игнатченко В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

члсн-корреспондент РАН Никитов С.А. (Институт радиотехники и электроники РАН, г. Москва),

кандидат физико-математических наук, доцент Булгаков E.H. (Институт физики им. JI.B. Киренского СО РАН, г. Красноярск).

Ведушая организация: Институт физики металлов УрО РАН

(г. Екатеринбург).

Защита состоится « » декабря 2007 г. в час. на заседании диссертационного совета Д 003.055.02 при Институте физики им. Л.В. Киренского СО РАЯ по адресу: 660036. г. Красноярск, Академгородок, Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института физики им. Л.В. Киренского СО РАН.

Автореферат разослан « » ноября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, // /7

доктор физико-математических наук Втюрин А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В последние десятилетия как теоретически, так и экспериментально активно исследуются сверхрешетки - искусственно созданные мультислойные структуры (МС), в которых периодически изменяется какой-либо материальный параметр (диэлектрическая проницаемость для электромагнитных волн, плотность вещества для упругих волн и т.д.). а период модуляции такого параметра намного больше периода кристаллической структуры вещества. Так как спектр волн в МС имеет зонную структуру, аналогичную спектру волн в кристаллах, то МС часто называют фотонными, магнонными, фотонными кристаллами и т.д.. в зависимости от физической природы периодически неоднородного параметра. Дчя исследования в данной диссертационной работе были выбраны следующие актуальные задачи теории волнового спектра в МС: спектр спиновых, упругих и электромагнитных волн в МС с конечной толщиной границы между слоями и спектр маг-нитоупругих (МУ) волн в периодических МС с учетом эффектов, обусловленных статическими МУ и термоупругим взаимодействиями между слоями.

Постановка первой задачи обусловлена тем, что в работе [1] было теоретически показано, что ширины нечетных запрещенных зон в спектре спиновых волн, за исключением первой зоны, существенно зависят от толщины границы между слоями МС. В этой же работе было предложено использовать эти зависимости как теоретическую основу для измерения границ между слоями спектральными методами. Для реализации этой возможности требуется развитие теории в нескольких направлениях. В работе [ 1 ] расчет был проведен для спектра стоячих волн, в экспериментах с которыми исследуется непосредственно захон дисперсии волн. В экспериментах с бегущими волнами измеряются другие параметры - коэффициенты отражения и прохождения. Поэтому необходимо изучение случая распространяющихся волн. Кроме того, исследование в работе [1] было ограничено случаем нечетных запрещенных зон в спектре спиновых волн. Поэтому актуальными являются задачи исследования зависимостей ширин запрещенных зон - как четных, так и нечетных - в спектре спиновых, упругих и электромагнитных как стоячих, так и бегущих волн.

Постановка второй задачи обусловлена тем, что подавляющее большинство теоретических работ, рассматривающих распространение МУ волн в МС, посвящено поверхностным волнам, распространяющимся параллельно плоскости границ между слоями [2]. Теория распространения объемных МУ волн перпендикулярно слоям МС тойысо начинает формироваться [3]. В работе [3] впервые показано, что в спектре МУ волн в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик должны возникать МУ резонансы. соответствующие пересечению дисперсионной кривой упругих волн с локальными частотами спин-волнового резонанса в ферромагнитном слое МС. Дальнейшее развитие теории таких объемных волн представляется также весьма актуальным.

Следует отметить, что во всех работах, посвященных исследованию спектра как поверхностных, так и объемных МУ волн, рассматривается распространение волн на фоне только первоначально созданной периодически-неоднородной структуры материальных параметров без учета статических периодических упругих напряжений, обусловленных спонтанным МУ основным состоянием. Поэтому является актуальным исследование спонтанного периодически-неоднородного МУ основного состояния, возникающего благодаря МУ и термоупругому взаимодействиям между слоями МС.

Цель работы: развитие теории спектра волн в МС с произвольной толщиной границы между слоями и развитие теории спектра объемных МУ волн в МС, намагниченной перпендикулярно плоскости слоев.

Для достижения этой цели решались следующие задачи;

1. Расчет зависимости ширин запрещенных зон и их положений в волновом спектре МС от толщины границы между слоями и номера зоны.

2. Исследование спонтанного периодически-неоднородного МУ основного состояния, возникающего благодаря МУ и термоупругому взаимодействиям между слоями МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик.

3. Исследование закона дисперсии объемных МУ волн, распространяющихся в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик, намаг-

ниченной перпендикулярно плоскости слоев. Исследование влияния МУ основного состояния на закон дисперсии.

4. Исследование закона дисперсии объемных МУ волн, распространяющихся в МС, состоящей из чередующихся слоев двух различных ферромагнетиков, намагниченных перпендикулярно плоскости слоев.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней

• рассчитаны зависимости ширин запрещенных зон и их положений в спектре спиновых, упр\тих и электромагнитных волн в МС с произвольной толщиной границы между слоями от толщины q:>aницы и номера зоны как для нечетных, так и для четных зон (для случая нечетных номеров зон ширины зон в спектре спиновых волн были получены ранее в работе [1]);

• предложен оригинальный вывод закона дисперсии в виде ряда по степеням амплитуды периодического возмущения;

• исследовано МУ основное состояние, которое возникает благодаря МУ и термоупругому взаимодействиям между слоями МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик;

« исследован закон дисперсии объемных МУ волн в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик, намагниченной перпендикулярно плоскости слоев, с учетом найденного МУ основного состояния:

• исследован закон дисперсии объемных МУ волн в МС ферромагнетик - ферромагнетик, намагниченной перпендикулярно поверхности слоев.

Научная и практическая ценность представленных в диссертации результатов определяется тем, что

• теоретическое исследование ширин запрещенных зон в МС с произвольной толщиной границы между слоями обобщает теорию, развитую ранее [1] для нечетных зон в спектре спиновых волн в магнон-ных кристаллах, как на случай четных зон в спектре спиновых волн в магнонных кристаллах, так и на случай зон любой четности в спектре упругих волн в фононных кристаллах и электромагнитных волн в фотонных кристаллах. Полученные результаты являются теоретиче-

ским обоснованием возможности измерений толщины границы между слоями МС в магнонных, фононных и фотонных кристаллах спектральными методами;

• развитая в работе теория МУ основного состояния, благодаря которому в эффективной магнитной энергии возникают три новых члена анизотропии, обусловленных МУ и термоупругим взаимодействиями между слоями МС, приводит к существенно новым зависимостям как квазистатических (коэрцитивная сила, поле насыщения), так и динамических (частота ФМР, эффективная спин-волновая жесткость и др.) характеристик МС от ее параметров и температуры. Поэтому рассчитанное в работе МУ основное состояние необходимо учитывать в последующих исследованиях как процессов намагничивания МС, так и процессов распространения волн в МУ МС;

• в процессе теоретического исследования спектра объемных МУ волн рассчитан ряд новых эффектов (перенормировка параметров спектра, обусловленная влиянием МУ основного состояния, расширение локальной частоты спиновых волн в узкую зону при совмещении МУ щели со щелью на границе зоны Бриллюэна МС, появление последовательности МУ щелей в МС ферромагнетик - ферромагнетик), которые могли бы стимулировать постановку соответствующих экспериментов.

Достоверность результатов определяется корректностью использования математического аппарата, контролируемостью применяемых приближений, а также правильностью предельных переходов к известным результатам. Результаты второй главы качественно подтверждены в последующих работах [4,5].

Положения, выносимые на защиту:

1. Развитие теории спектра волн различной физической природы (спиновых, упругих, электромагнитных) для модели МС с произвольной толщиной границы между слоями.

2. Исследование МУ основного состояния в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик.

3. Развитие теории спектра объемных МУ волн, распространяющихся в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик, а также в МС, со-

ставленной из чередующихся слоев двух различных ферромагнетиков, для случая МС. намагниченных перпендикулярно плоскости слоев.

Апробация работы. Основные результаты данной работы были доложены и опубликованы в трудах конференций: Euro-Asian Symposium «Trends in Magnetism» (Krasnoyarsk, 2004), 11-я Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых (Екатеринбург, 2005), Moscow International Symposium on Magnetism (Moscow, 2005), International Symposium «Spin Waves 2007» (St. Petersburg. 2007). Euro-Asian Symposium «Magnetism on a Nanoscale» (Kazan, 2007), а также докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых КНЦ СО РАН (Красноярск, 2007) и научных семинарах Института физики им. JIB, Киренского СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в б печатных работах.

Отдельные этапы работы выполнялись при поддержке РФФИ (грант N. 04-02-16174), фонда некоммерческих программ «Династия», ККФН (гранты N. 12F0013C, I5G110, 16G073), а'также Президента Российской Федерации (грант по программе «Государственная поддержка научных исследований, проводимых ведущими научными школами Российской Федерации», 6612.2006.3), ФЦНТП (гос. контракт N. 02.513.11.3259).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содержание работы изложено на 106 страницах, включая 14 рисунков и списка литературы из 84 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе представлен обзор теоретических работ, посвященных теории спектра спиновых, упругих, электромагнитных и МУ волн в периодических МС. В последнем параграфе первой главы приводится постановка задачи.

Во второй главе рассчитываются зависимости ширин запрещенных зон и их положений в волновом спектре на границах зон Бршлюэна

от толщины границы между слоями МС, в которой периодическая модуляция р(г) какого-либо материального параметра А(г)=А[ 1-ур(г)], где А и у - постоянная составляющая и относительная среднеквадратичная модуляция этого параметра, соответственно, пропорциональна эллиптическому синусу Якоби [1]:

р(2) = к^К /(К - Е) 311(71 г / 24 (1)

где ¿¡= к //8 К - толщина границы между слоями МС, I - период МС (1/2 -й- толщина слоя), К и Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно, к - модуль этих интегралов. В зависимости от величины модуля к эта функция описывает как предельные случаи прямоугольного профиля (к = 1, с!И = 0) и синусоидального профиля (к = 0, с!П = 1/4), так и все промежуточные значения с///. В работе предполагается малость амплитуды периодического возмущения. Волновое уравнение записывается в виде

£/2ц./^2+^-прО)] = 0, (2)

где выражения для переменной |д. и параметров V и г| различны для волн различной физической природы (V се со - ш0, где <в0 - частота ФМР, для

спиновых волн, V ос а2 для электромагнитных и упругих волн, параметр пропорционален глубине модуляции профиля МС у). Расчет положений и ширин зон выполнен двумя различными методами: приближенным аналитическим методом из частотной зависимости коэффициента отражения для распространяющихся волн и методом теории возмущений из точного выражения для закона дисперсии волн.

Первый подход основывается на анализе частотной зависимости коэффициента отражения К(со) электромагнитной волны от полубесконечной МС в отсутствии в ней затухания. Для такой ситуации существование на дисперсионных кривых запрещенных зон проявляется в появлении полосы частот полного отражения с Я - 1 вблизи частот, дня которых длина волны удовлетворяет условию Брэгга: о>еш/с = тд/2, где е - диэлектрическая проницаемость, ({ = 2%И, т = 0, 1, 2, ... - номер брэгговского резонанса. Используя метод модифицированной теории связанных волн (МТСВ) [6] для описания распространения волн, из условия Я = 1 найдены выражения для частот со*, ограничивающих т-ю

запрещенную зону в спектре электромагнитных (или упругих) волн, с точностью до у3 для произвольной периодической модуляции р(г):

ш*

тд

2 3

1

1

УРт + У

т

16

\

I

/ \ п+р* О

Рт-»Рн . ..3

--у

/

р +5

л ¿шшI и г т-пгп т Ч „ У1

(3)

где р„ - коэффициенты ряда Фурье периодической функции р(г).

= 1Р„Р,,Р^■■р(т~2"У^" + Р) + Т,РпРРРт-п~Лтг /8ИР + 1/12).

Второй подход к определению ширин зон и их положений основывается на рассмотрении закона дисперсии у(/с). В работе предложен оригинальный вывод закона дисперсии в виде ряда по степеням амплитуды периодического возмущения. В результате получено уравнение

> Ря-/1, Р"|-п 3 V""1 V"* Рц-п,Рп1-п2Рп2-п

= 0.

(4)

-^Т I

где V„ = (к - пд)2, к - волновое число. Уравнение (4) было получено ранее в работе [7] другим методом, однако при этом была допущена неточность, связанная с неучетом в суммах запретов вида щ Ф Методом теории возмущений из точного выражения для закона дисперсии (4) были рассчитаны частоты у*, ограничивающие т-ю запрещенную зону в спектре спиновых волн на границах зон Бриллюэна (к = тд/2), с точностью до ту3 для произвольной периодической модуляции р(г):

+ |Р„

-II

Р-пРПрРр

Р-пР„

ЛРт +Т|21

Рт-пР п

(

+ 1"

+1 р„, 11, ''"'-"'^ + X I , ч

Р,„-„Р„

Рш-пРп-рРр

(5)

Используя выражения для коэффициентов р„ ряда Фурье функции (1), зависящие от толщины границы между слоями с1, с помощью (3) были

рассчитаны зависимости ширин зон Дат = ш* - со" от dll в спектре электромагнитных (или упругих) волн (рис. 1). Зависимости Avm = v* - v~ от dll, соответствующие спиновым волнам, приведены на

рис. 2. На обоих графиках ширины щелей нормированы к ширине первой запрещенной зоны MC с синусоидальным профилем. Качественный характер зависимостей Да>и(аГ) и Дvm(d) совпадает: ширины щелей первых двух зон практически не зависят от d к резко уменьшаются с ростом d для всех последующих зон (для случая нечетных зон подобная закономерность в спектре спиновых волн была получена ранее в работе [1]). Из сравнения рис. 1 и 2 видно, что имеется качественно различный характер зависимостей ширин щелей от номера зоны m для случаев электромагнитных и спиновых волн, который проявляется наиболее резко для прямоугольного профиля модуляции. Ширина нечетных зон при dll = 0 для электромагнитных (и, соответственно, упругих) волн слабо убывает с ростом m (рис. 1а). Ширина нечетных зон для спиновых волн с ростом m резко уменьшается (как Ihn при пренебрежении эффектами порядка т)3, см. рис. 2а). Еще более значительны различия между зависимостями от m ширин четных зон. Если для спиновых волн Avm убывает с ростом m как 1 /да2 (рис. 2Ь), то для электромагнитных волн Дсй,„ возрастает пропорционально m (рис. 1Ъ).

Рис. 1. Зависимости ширин щелей Дсот на краю т-й зоны Бриллюэна от dll доя нечетных (а) и четных (Ъ) зон при у = 0.15. Значения т указаны у соответствующих кривых. Пунктиром на рис.1Ь показана ширина щели первой зоны.

(а)

(Ъ)

Рис. 2. Зависимости ширин щелей Ду,„ на краю /?г-Й зоны Бриллюэна от сШ для нечетных (а) и четных (Ь) зон при т)/^" = 0.1. Значения т указаны у соответствующих кривых. Обращаем внимание на отличие масштабов оси ординат рисунков 2а и 2Ь.

Рассчитанные в диссертации зависимости ширин как четных, так и нечетных зон и их положений в спектре от толщины границы для спиновых, упругих и электромагнитных волн существенно расширяют теоретическое обоснование возможности развития экспериментальных методов измерения толщины границы в МС спектральными методами (идея такой возможности была впервые высказана в работе [1]).

В третьей главе исследуется МУ основное состояние, которое спонтанно возникает благодаря МУ и термоупругому взаимодействиям между слоями МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик. Под термином «магнитоупругое основное состояние» мы будем понимать здесь равновесные значения спонтанных статических упругих напряжений, которые возникают благодаря МУ и термоупругому взаимодействиям между слоями МС, и соответствующую этим напряжениям равновесную ориентацию вектора намагниченности Мо при заданной ориентации магнитного поля Н и заданной температуре Т. Мы принимаем, что метод изготовления МС соответствует ситуации отсутствия упругих напряжений, обусловленных взаимодействием между слоями МС при температуре Т = То + АТ и однородной ориентации векторов намагниченности М в плоскости магнитных слоев. Исследование или использование МС проводится во внешнем магнитном поле Н при температуре

Т, отличных от поля и температуры изготовления Го.

В результате решения статической МУ задачи получено, что в магнитной части энергии МС спонтанно возникают три новых члена эффективной магнитной анизотропии. Соответствующее эффективное магнитное поле имеет вид

Но' = Н + Н0|в

2(Х,+щ)5,Щ/2 2 2 (£0-2Л¿ц,/,)^/ , 2 2укЛТ

ЗАГ.м-, ° ^¡Я 0г 3

м0

-^гЧ I (б)

Здесь Но™ " размагничивающее поле, у - параметр МУ связи. /, и /2 -толщины магнитного и немагнитного слоев (/ = /]+1% - период МС), Х„ и ¡1„ - упругие параметры магнитного (и = 1) и немагнитного (и = 2) слоев, Дк - разность коэффициентов теплового расширения слоев, £"0, К\, Кг, к,(1 - величины, сложным образом зависящие от параметров МС, ¡.

1 - орты координатных осей. Четвертое и пятое слагаемые в этом выражении обусловлены МУ взаимодействием между слоями МС и представляют собой анизотропию типа легкая плоскость хг и анизотропию типа легкая плоскость ху, соответственно. Шестой член обусловлен термомагнитным взаимодействием между слоями МС и представляет собой анизотропию с осью вдоль оси г. Эта анизотропия может иметь как положительный, так и отрицательный знак в зависимости от знаков Дк. ДГ и у. Все три члена анизотропии зависят от соотношения между толщинами слоев.

Полученное МУ основное состояние обладает следующими свойствами. При перемагничивании МС однородным вращением магнитного момента в магнитном поле Н, лежащем в плоскости слоев вдоль оси х, проекция Мох(Н) обладает прямоугольной петлей гистерезиса с коэрцитивной силой Нс. определяемой выражением:

Яс^12/2уХ№ (7)

При наложении Н в плоскости слоев вдоль оси у проекция Моу(Н) изменяется по безгистерезисной кривой намагничивания Мо/Ма = ШН„!У). где поле магнитного насыщения Н,,^'1 совпадает по величине с Нс. При

наложении поля вдоль оси 2 проекция Мог изменяется по нелинейной безгистерезисной кривой намагничивания. Поле магнитного насыщения Н/> отличается в этом случае от АжМог на величину суммы полей МУ и термоупругой эффективных анизотропий. Оценки показывают, что обе эти эффективные анизотропии могут бьпъ величинами одного порядка.

В четвертой главе развивается теория спектра объемных МУ волн, распространяющихся в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик, а также в МС, составленной из чередующихся слоев двух различных ферромагнетиков. Исследуется случай магнитного поля, равновесной ориентации вектора намагниченности и волнового вектора, ориентированных перпендикулярно плоскости слоев. Для нахождения закона дисперсии используется метод, основанный на теореме Флоке.

В первом параграфе четвертой главы получен аналитически закон дисперсии объемных МУ волн, распространяющихся в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик на фоне МУ основного состояния, рассчитанного в третьей главе, в виде

где К- волновое число МУ волн, распространяющихся в МС, Р, иРо - многочлены относительно всех параметров МС, зависящие от частоты ш, но не содержащие волновое число К. В целом выражение (8) содержит несколько тысяч слагаемых. Численное исследование закона дисперсии показывает, что общий вид волнового спектра и его основные особенности - возникновение серии МУ резонансов - качественно соответствуют результатам, впервые полученным для этой ситуации в работе [3], и не меняются как при учете МУ основного состояния, так и без такого учета. Однако, проведенный нами учет МУ основного состояния привел к существенно другим зависимостям коэффициентов в законе дисперсии МУ волн и в формуле для частоты ФМР от толщин слоев МС, материальных параметров этих слоев и температуры. Например, частота ФМР, следующая из общего закона дисперсии при К = О, имеет вид

Р2 сой2 К1 + Р1 созК1+Р0 = О,

(8)

/

УХУЛ , б^АкАТМ

М.,((х2/1 + |.ц/2) 50

и0 =£ Я-4тсМ0 +

уМ(

/

у2М0У, у1М1(28] -¿>0)щ/, | 6К:К21 М-1 (И-аА + М-Л)

х Н-4кМ0 +

(9)

Частота ФМР содержит в общем случае как все три новых члена эффективной магнитной анизотропии, обусловленных МУ основным состоянием, так и перенормированный изотропный МУ член, существующий также и в однородном ферромагнетике [8].

Впервые рассмотрена ситуация совмещения какого-либо из МУ резонансов со щелью на границе зоны Бриллюэна МС. В этом случае МУ взаимодействие приводит как к модификации дисперсионного закона на краях запрещенной зоны, так и к расширению локализованного спин-волнового уровня в разрешенную зону, лежащую внутри запрещенной зоны (рис. 3). Для больших длин волн в окрестности первого МУ резонанса уравнение для закона дисперсии принимает простую форму, аналогичную уравнению для закона дисперсии связанных маг-нитостатических и упругих волн в однородном ферромагнетике, однако входящие в него параметры - эффективная частота ФМР, эффехсгивная скорость звука и параметр МУ связи - зависят теперь от магнитных, упругих и геометрических характеристик обоих типов слоев; дисперсия, обусловленная обменным взаимодействием, в МУ волнах в МС ферромагнетик - немагнитный диэлектрик отсутствует.

Во втором параграфе четвертой главы рассмотрена МС,

ю/со.

Рис. 3. Модификация закона дисперсии МУ волн (сплошная кривая) при совмещении частоты первой спин-волновой моды (пприхпунктирная прямая) с запрещенной зоной, соответствующей границе первой зоны Бриллюэна. Закон дисперсии упругих волн в МС при отсутствии МУ* взаимодействия показан штриховой кривой.

я

К1 - 14-

К1

Рис. 4. Закон дисперсии МУ волн в МС, состоящей из чередующихся слоев двух ферромагнетиков, в схеме расширенных зон (сплошные кривые). Стрелками показаны щели в спектре, обусловленные совместным действием МУ связи и периодичности системы. Пунктирными линиями изображены вспомогательные ветви закона дисперсии; штриховые кривые соответствуют мнимым компонентам волнового числа К.

о

4

8 12 16 20 ш/со„

состоящая из чередующихся слоев двух различных ферромагнетиков, изотропных по отношению к упругим и МУ свойствам. Оси легкого намагничивания в каждом слое направлены перпендикулярно плоскости слоев. В аналитическом виде получен закон дисперсии МУ волн в такой структуре в виде (8), но с другими значениями коэффициентов Р2, Л и Рц. Результат численного расчета закона дисперсии К{со) представлен на рис. 4 в схеме расширенных зон. Видно, что наряду с обычными щелями в спектре на границах зон Бриллюэна, обусловленными периодичностью системы, и щелью в первой зоне Бриллюэна, обусловленной МУ связью, должны наблюдаться щели нового типа во всех последующих зонах Бриллюэна, обязанные своим происхождением МУ взаимодействию и периодичности системы. Рассмотрен ряд случаев, в которых выражение для закона дисперсии записывается в простом аналитическом виде: случай длинных волн, сжуация отсутствия МУ связи (когда МС представляет собой, по существу, две независимые МС, магнитную и упругую) и т.д.

1. Теоретически исследованы коэффициенты отражения и прохождения и законы дисперсии спиновых, упругих и электромагнитных волн в мультислойной структуре с произвольной толщиной границы между слоями. Для расчета коэффициентов отражения и прохождения волн

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

использован приближенный метод модифицированной теории связанных волн (МТСВ), для вывода закона дисперсии предложен оригинальный метод. Сравнение результатов двух методов позволило оценить точность метода МТСВ.

2. Рассчитаны зависимости ширин запрещенных зон и их положений в волновом спектре мультислойной структуры от толщины границы между слоями и номера зоны для спиновых, упругих и электромагнитных волн. Показано, что для первой и второй зон ширины зон слабо зависят от толщины границы, тогда как для всех последующих зон ширины зон уменьшаются с возрастанием толщины границы как для нечетных, так и для четных номеров зон (для случая нечетных номеров зон в спектре спиновых волн подобная закономерность была получена ранее в работе [ 1 ]). Рассчитанные в диссертации зависимости ширин зон от толщины границы существенно расширяют теоретическое обоснование возможности развития экспериментальных методов измерения толщины границы в мультислойной структуре спектральными методами.

3. Впервые исследовано периодическое магнитоупругое основное состояние, которое возникает благодаря магнитоупругому и термоупругому взаимодействиям между слоями мультислойной структуры ферромагнетик - немагнитный диэлектрик. Показано, что эти взаимодействия приводят к возникновению в эффективной магнитной энергии мультислойной структуры трех новых членов магнитоупру-гой и термоупругой анизотропии. Исследованы процессы перемаг-ничивания мультислойной структуры, получены выражения для коэрцитивной силы и поля магнитного насыщения как функции соотношений между толщинами слоев, материальных параметров этих слоев и температуры.

4. Исследован аналитически и численно закон дисперсии объемных магнитоупругих волн в мультислойной структуре ферромагнетик -немагнитный диэлектрик. Показано, что учет магнитоупругого основного состояния приводит к существенно новым зависимостям коэффициентов в этом законе от толщин слоев мультислойной структуры, материальных параметров этих слоев и температуры. В частности, в формуле для частоты ферромагнитного резонанса появляют-

ся члены, обусловленные магнитоупругой и термоупругой анизотропией, а также перенормируется известный ранее [8] изотропный маг-нитоупругий член.

5. Показано, что при совмещении какого-либо из магнитоупругих резо-нансов со щелью на границе зоны Бриллюэна мультислойной структуры магнитоупругое взаимодействие приводит как к модификации дисперсионного закона на краях запрещенной зоны, так и к расширению локализованного спин-волнового уровня в разрешенную зону, лежащую внутри запрещенной зоны.

6. Исследован аналитически и численно закон дисперсии объемных магнитоупругих волн в мультислойной структуре, состоящей из чередующихся слоев двух различных ферромагнетиков. Показано, что наряду с обычными щелями в спектре на границах зон Бриллюэна, обусловленными периодичностью системы, и щелью в первой зоне Бриллюэна, обусловленной магнитоупругой связью, должны наблюдаться щели нового типа, обязанные своим происхождением совместному действию двух факторов: магкитоупругому взаимодействию и периодичности системы.

7. Исследован ряд предельных случаев: переход от мультислойной структуры ферромагнетик - ферромагнетик к структуре ферромагнетик - немагнитный диэлектрик, предел отсутствия магнитоупругой связи, длинноволновой предел. Показано, что в длинноволновом пределе закон дисперсии для случая мультислойной структуры ферромагнетик - немагнитный диэлектрик имеет форму, аналогичную закону дисперсии связанных магнитостатических и упругих волн в однородном ферромагнетике: дисперсия, обусловленная обменным взаимодействием, отсутствует, а для случая структуры двух ферромагнетиков - форму, аналогичную закону дисперсии связанных спиновых и упругих волн. Входящие в эти законы параметры - эффективная частота ферромагнитного резонанса, эффективный параметр обменной жесткости и эффективная скорость упругих волн - зависят как от материальных, таге и геометрических характеристик слоев.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Ignatchenko V.A. and Laletin O.N. Magnetoelastic Ground State and Waves in Ferromagnet - Nonmagnetic Dielectric Multilayer Structure// Phys. Rev. B.-2007.-V. 76, N. 10.-P. 104419-1-104419-11.

2. Игнатченко B.A.. Лалетин O.H. Магнитоупругие волны в многослойных структурах// Укр. физ. журн. - 2005. - Т. 50, Вып. 8А. -С. А150-А158.

3. Ignatchenko V.A., Laletin O.N. The Spectrum of Magnetoelastic Waves in Multilayer Structures// Phys. Met. Metallogr. - 2005. - V. 100, Suppl. l.-P. S66-S68.

4. Игнатченко В.А.. Лалетин O.H. Волны в сверхрешетке с произвольной толщиной границы между слоями// ФТТ. - 2004. - Т. 46, Вып. 12.-С. 2216-2223.

5. Игнатченко В.А., Лалетин О.Н. Закон дисперсии волн в сверхрешетках с произвольной толщиной границы между слоями// Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. - 2004. - Вып. 5. - С. 21-30.

6. Игнатченко В.А., Лалетин О.Н. Распространение электромагнитных волн в одномерных сверхрешетках// Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. - 2003. - Вып. 3. - С. 9-17.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Wave spectrum of multilayers with finite thicknesses of interfaces// Phys. Rev. B. - 2000. -V. 62,N. 3. -P. 2181-2184.

2. Гуляев Ю.В., Дикштейн И.Е., Шавров В.Г. Поверхностные магни-тоакустические волны в магнитных кристаллах в области ориента-ционных фазовых переходов// УФН.-1997.-Т.167,Вып.7.-С.735-750.

3. Беспятых Ю.И., Дикштейн И.Е., Мальцев В.П., Василевский В., Ни-китов С.А. Зонная структура спектра магнитоупругих волн в периодической системе магнитоупругих и упругих немагнитных слоев// Радиотехника и электроника. - 2003. - Т. 48, Вып. 9. - С. 1145-1152.

4. Кучко А.Н., Ткаченко B.C. Влияние структуры межслойных границ на спектр спиновых, волн в магнонном кристалле// Металлофизика и новейшие технологии. - 2005. - Т. 27, Вып. 9. - С. 1157-1167.

5. Tkachenko V.S., Kruglyak V.V., Kuchko A.N. Spin waves in a magnon-ic crystal witli sine-like interfaces// JMMM.-2006.-V.307,N. 1 -P.48-52.

6. Мартынов H.H., Столяров C.H. К теории распространения волн в периодических структурах// КЭ.-1978.-Т.5,Вып.8.-С.1853-1855.

7. Карпов С.Ю., Константинов О.В., Райх М.Э. Модифицированная теория возмущений дня расчета зонной структуры в одномерном периодическом потенциале//ФТТ.-1980.-Т.22,ВыпЛ 1.-С.3402-3407.

8. Туров Е.А., Шавров В.Г. Об энергетической щели в ферро- и ангоферромагнетиках, связанной с магнитоупругой энергией// ФТТ. - 1965. - Т. 7, Вып. 1. - С. 217-226.

Подписано в печать 06.11.2007. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1. ,Усл. печ. л. 1. Тираж 70. Заказ № 53.

Отпечатано в типографии Инстшута физики СО РАН. 660036, Красноярск, Академгородок, ИФ СО РАН.

»26811

f(>73

2007510792

Введение

Глава 1. Спектр волн в мультислойной структуре. Обзор

1.1 Волны в мультислойной структуре с произвольной толщиной границы между слоями.

1.2 Магнитоупругие волны в мультислойной структуре . И

1.3 Постановка задачи.

Глава 2. Спектр волн в мультислойной структуре с произвольной толщиной границы между слоями

2.1 Введение: модель и методы.

2.2 Распространение волн.

2.3 Закон дисперсии волн.

2.4 Выводы.

Глава 3. Магнитоупругое основное состояние в мультислойной структуре ферромагнетик - немагнитный диэлектрик

3.1 Модель

3.2 Основное состояние

3.3 Выводы.

Глава 4. Спектр магнитоупругих волн в мультислойной струк

4.1 Введение.

4.2 Магнитоупругие волны в мультислойной структуре ферромагнетик - немагнитный диэлектрик.

4.3 Магнитоупругие волны в мультислойной структуре ферромагнетик - ферромагнетик.

4.3.1 Общий случай.

4.3.2 Закон дисперсии в приближении длинных волн

4.3.3 Закон дисперсии в мультислойной структуре ферромагнетик - немагнитный диэлектрик без учета магнитоупругого основного состояния.

4.3.4 Закон дисперсии в отсутствии магнитоупругой связи

4.3.5 Эффективный перенос магнитных возбуждений через немагнитные слои.

4.4 Выводы.

В последние десятилетия как теоретически, так и экспериментально активно исследуются композиционные материалы - многофазные материалы, состоящие из двух или более компонентов. Повышенный интерес к изучению таких материалов объясняется, например, возможностью объединения полезных свойств отдельных компонент и возможностью получения новых свойств, не характерных для тех же компонент, что, в свою очередь, приводит к широкому применению композиционных материалов в уже известных высокотехнологичных устройствах, а также созданию новых устройств на их основе, появляется возможность миниатюризации самих устройств.

Одним из видов композиционных материалов являются сверхрешетки - искусственно созданные структуры, в которых периодически изменяется какой-либо материальный параметр (диэлектрическая проницаемость для электромагнитных волн, плотность вещества для упругих волн и т.д.), а период модуляции такого параметра намного больше периода кристаллической структуры вещества. Так как взаимодействие распространяющихся в сверхрешетках волн с периодической структурой, приводит к тому, что спектр этих волн приобретает зонную структуру, аналогичную спектру волн в кристаллах, то сверхрешетки часто называют кристаллами (фотонными, магнонны-ми, фононными кристаллами и т.д. - в зависимости от физической природы периодически неоднородного параметра). Одним из главных свойств таких структур является наличие запрещенной зоны (щели) в спектре, внутри которой распространение волн запрещено, при этом появляется возможность эффективно управлять положением и величиной этой щели с помощью материальных и геометрических характеристик сверхрешетки.

Наиболее простым случаем сверхрешетки, как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения, является периодическая мультислойная структура. В идеальном случае, это структура, составленная из периодически повторяющихся слоев различных материалов с бесконечно тонкой границей между слоями, спектр волн в которой хорошо изучен. В реальности, имеется переходной слой между слоями, обусловленный технологией напыления, последующей после изготовления диффузией на границе между слоями и т.д. В связи с развитием технологии изготовления мультислойных структур возникает потребность в изучении влияния переходного слоя в таких структурах на характеристики изготовленных материалов, в том числе, становятся актуальными исследования волнового спектра мультислойных структур с размытыми межслойными границами.

В последнее время растет количество работ, связанных с исследованием все более и более сложных явлений как в однородной среде, так и в сверхрешетках. К таким явлениям относится, в частности, магнитоупругое взаимодействие - взаимное влияние намагниченности и упругих деформаций среды (связь спиновой подсистемы кристалла с кристаллической решеткой). Однако, к настоящему времени недостаточно развита теория объемных маг-нитоупругих волн в мультислойных структурах, намагниченных перпендикулярно плоскости слоев. Между тем, именно эта ситуация соответствует условиям спин-волнового резонанса в тонких магнитных пленках и связанной с этим возможностью возбуждения спиновых и упругих волн СВЧ-магнитным полем в линейном режиме. Поэтому является актуальным развитие теории спектра объемных магнитоупругих волн для такой ситуации.

Следует отметить, что для теоретического описания в данном исследовании выбраны одномерные мультислойные структуры, так как одномерная задача всегда служит отправной точкой ввиду своей простоты с математической точки зрения. Более того, результаты, полученные в ходе исследования одномерной модели, могут оказаться весьма полезными для качественного понимания процессов, происходящих в средах сложной структуры.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Содержание работы изложено на 106 страницах, включая 14 рисунков и списка литературы из 84 наименований.

Основные результаты данного диссертационного исследования опубликованы в работах [61,68,69,72,78,79], были доложены и опубликованы в трудах конференций: Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" (Krasnoyarsk, 2004) [80], Одиннадцатая Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых "ВНКСФ-И" (Екатеринбург, 2005) [81], Moscow International Symposium on Magnetism (Moscow, 2005) [82], International Symposium "Spin Waves 2007" (St. Petersburg, 2007) [83], Euro-Asian Symposium "Magnetism on a Nanoscale" (Kazan, 2007) [84], а также доложены на конференции молодых ученых КНЦ СО РАН (Красноярск, 2007) и научных семинарах Института физики им. J1.B. Киренского СО РАН.

В заключении автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вальтеру Алексеевичу Игнатченко за неоценимую помощь во всем процессе обучения в аспирантуре.

Автор благодарен сотрудникам лаборатории теоретической физики и участникам теоретических семинаров Института физики им. JI.B. Киренского СО РАН за полезные дискуссии при обсуждении работ, послуживших основной данной диссертации.

Отдельные этапы работы выполнялись при поддержке РФФИ (грант N. 04-02-16174), фонда некоммерческих программ "Династия". ККФН (гранты N. 12F0013C, 15G110, 16G073), а также Президента Российской Федерации (грант по программе "Государственная поддержка научных исследований, проводимых ведущими научными школами Российской Федерации", 6612.2006.3), ФЦНТП (гос. контракт N. 02.513.11.3259).

Заключение.

1. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. - М.: ИЛ, 1959. - 457 с.

2. Бреховских Л.М. Во лны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

3. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры. М.: Наука, 1988. - 256 с.

4. Басс Ф.Г., Булгаков А.А., Тетервов А.П. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками. М.: Наука, 1989. - 286 с.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. - 855 с.

6. Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах// ТИИЭР. 1976. - Т. 64, Вып. 12. - С. 22-57.

7. Карпов С.Ю., Столяров С.Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью// УФН. 1993. - Т. 163, Вып. 1. - С. 63-89.

8. Yeh P., Yariv A., and Hong C.-S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. I. General theory// J. Opt. Soc. Am. 1977. - V. 67, N. 4. - P. 423-437.

9. Yariv A., Yeh P. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. II. Birefringence, phase matching, and x-ray lasers// J. Opt. Soc. Am. -1977. V. 67, N. 4. - P. 438-447.

10. Бебенин Н.Г. Электромагнитные колебания в периодической структуре металл диэлектрик// ЖЭТФ. - 1993. - Т. 103, Вып. 6. - С. 2154-2161.

11. Elmzughi F.G., Constantinou N.C., and Tilley D.R. Theory of electromagnetic modes of a magnetic superlattice in a transverse magnetic field: An effective-medium approach// Phys. Rev. B. 1995. - V. 51, N. 17. - P. 11515-11520.

12. Erdos P., Liviotti E., Herndon R.C. Wave transmission through lattices, superlattices and layered media// J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. - V. 30, N. 3. - P. 338-345.

13. Вогульский И.О., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Электромагнитные волны в неограниченных и конечных сверхрешетках// Оптика и спектроскопия. 1998. - Т. 84, Вып. 5. - С. 823-828.

14. Савин В.Г., Шульга Н.А. Фазовые и групповые скорости поверхностной волны Лява в слоистой среде// Акуст. журн. 1975. - Т. 21, Вып. 2. -С. 260-263.

15. Савин В.Г., Шульга Н.А. Волны Рэлея в изотропной регулярной слоистой среде// Акуст. журн. 1975. - Т. 21, Вып. 3. - С. 448-451.

16. Djafari-Rouhani В., Dobrzynski L., Duparc О.Н., Camley R.E., Maradudin A.A. Sagittal elastic waves in infinite and semi-infinite superlattices// Phys. Rev. B. 1983. - V. 28, N. 4. - P. 1711-1720.

17. Djafari-Rouhani В., Maradudin A.A., Wallis R.F. Rayleigh waves on a superlattice stratified normal to the surface// Phys. Rev. B. 1984. - V. 29, N. 12. - P. 6454-6462.

18. Mendialdua J., Szwacka Т., Rodriguez A., Dobrzynski L. Surface transverse elastic waves in N-layer superlattices// Phys. Rev. B. 1989. - V. -39, N. 15. - P. 10674-10681.

19. Ветров С.Я., Шабанов В.Ф. Сдвиговые поверхностные акустические волны на границе слоистой среды с вязкой средой// Письма в ЖТФ. -1991. Т. 17, Вып. 5. - С. 34-38.

20. Grtinberg P., Mika К. Magnetostatic spin-wave modes of a ferromagnetic multilayer// Phys. Rev. B. 1983. - V. 27, N. 5. - P. 2955-2963.

21. Camley R.E., Rahman T.S., Mills D.L. Magnetic excitations in layered media: Spin waves and the light-scattering spectrum// Phys. Rev. B. -1983. V. 27, N. 1. - P. 261-277.

22. Vayhinger K., Kronmuller H. Propagating spin waves in ferromagnetic multilayers// JMMM. 1986. - V. 62, N. 2-3. - P. 159-168.

23. Грибкова Ю.В., Каганов М.И. Зонный магнитодипольный спектр ферромагнитной сверхрешетки// Письма в ЖЭТФ. 1988. - Т. 47, Вып. И. - С. 588-591.

24. Hillebrands В. Spin-wave calculations for multilayered structures// Phys. Rev. B. 1990. - V. 41, N. 1. - P. 530-540.

25. Camley R.E., Stamps R.L. Magnetic multilayers: spin configurations, excitations and giant magnetoresistance// J. Phvs.: Condens. Matter. -1993. V. 5, N. 23. - P. 3727-3786.

26. Горобец Ю.И., Кучко А.Н., Решетняк С.А. Отражение спиновых волн в мультислойных материалах с модулированными магнитными параметрами// ФТТ. 1996. - Т. 38, Вып. 2. - С. 575Ц580.

27. Кругляк В.В., Кучко А.Н. Влияние модуляции магнитной вязкости на затухание спиновых волн в мультислойных магнитных системах// ФММ. 2001. - Т. 92, Вып. 3. - С. 3-6.

28. Cochran J.F. Brillouin light scattering from periodic multilayers composed of very thin magnetic films// Phys. Rev. B. 2001. - V. 64, N. 13. - P. 134406-1-134406-13.

29. Krawczyk M., Levy J.-C., Mercier D., Puszkarski H. Forbidden frequency gaps in magnonic spectra of ferromagnetic layered composites// Phys. Lett. A. 2001. -V. 282, N. 3. - P. 186-194.

30. Kruglyak V.V., Kuchko A.N. Spectrum of spin waves propagating in a periodic magnetic structure// Physica B. 2003. - V. 339, N. 2-3. - P. 130-133.

31. Кругляк В.В., Кучко А.Н., Финохин В.И. Спектр спиновых волн в идеальном мультислойном магнетике при модуляции всех параметров уравнения Ландау-Лифшица// ФТТ. 2004. - Т. 46, Вып. 4. - С. 842-845.

32. Tamir Т., Wang Н.С., Oliner A.A. Wave Propagation in Sinusoidally Stratified Dielectric Media// IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1964. - V. 12, N. 3. - P. 323-335.

33. Yeh C., Casey K.F., Kaprielian Z.A. Transverse Magnetic Wave Propagation in Sinusoidally Stratified Dielectric Media// IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1965. - V. 13, N. 3. - P. 297-302.

34. Горобец Ю.И., Зюбанов А.Е., Кучко А.Н., Шеджури К.Д. Спектр спиновых волн в магнетиках с периодически модулированной анизотропией// ФТТ. 1992. - Т. 34, Вып. 5. - С. 1486-1490.

35. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Wave spectrum of multilayers with finite thicknesses of interfaces// Phys. Rev. B. 2000. - V. 62, N. 3. - P. 2181-2184.

36. Кучко A.H., Ткаченко B.C. Влияние структуры межслойных границ на спектр спиновых волн в магнонном кристалле// Металлофизика и новейшие технологии. 2005. - Т. 27, Вып. 9. - С. 1157-1167.

37. Tkachenko V.S., Kruglyak V.V., Kuchko A.N. Spin waves in a magnonic crystal with sine-like interfaces// JMMM. 2006. - V. 307, N. 1. - P. 48-52.

38. Туров E.A., Ирхин Ю.П. О спектре колебаний ферромагнитной упругой среды// ФММ. 1956. - Т. 3, Вып. 1. - С. 15-17.

39. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Связанные магнитоупругие волны в ферромагнетиках и ферроакустический резонанс// ЖЭТФ. 1958. - Т. 35, Вып. 7. - С. 228-239.

40. Kittel С. Interaction of spin waves and ultrasonic waves in ferromagnetic crystals// Phys. Rev. 1958. - V. 110, N. 4. - P. 836-841.

41. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Каганов М.И. Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках I// УФН. 1960. - Т. 71, Вып. 4. -С. 533-579.

42. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Каганов М.И. Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках II// УФН. 1960. - Т. 72, Вып. 1. - С. 3-32.

43. Ахиезер А.И,, Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. -М.: Наука, 1967. 368 с.

44. Ле Кроу Р., Комсток Р. Магнитоупругие взаимодействия в ферромагнитных диэлектриках// Физическая акустика. Под ред. Мэзона У.М. -М.: Мир, 1968. Т. 3, Часть Б. - Гл. 4. - С. 156-243.

45. Штраусе В. Магнитоупругие свойства иттриевого феррита-граната// Физическая акустика. Под ред. Мэзона У.М. М.: Мир, 1970. - Т. 4, Часть Б. - Гл. 5. - С. 247-316.

46. Леманов В/В. Магнитоупругие взаимодействия// Физика магнитных диэлектриков. Под ред. Смоленского Г.А. Л.: Наука, 1974. - Гл. 4. - С. 284-355.

47. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физ-матлит, 1994. - 464 с.

48. Гуляев К).В., Дикштейн И.Е., Шавров В.Г. Поверхностные магнитоакустические волны в магнитных кристаллах в области ориентационных фазовых переходов// УФН. 1997. - Т. 167, Вып. 7. - С. 735-750.

49. Шульга Н.А. Распространение связанных волн в периодически-неоднородных средах при взаимодействии с электромагнитным полем// Приклад, механика. 2003. - Т. 39, Вып. 10. - С. 38-68.

50. Шульга Н.А., Левченко В.В., Ратушняк Т.В. Поверхностные маг-нитоупругие волны сдвига в периодических феррит-диэлектрических регулярно-слоистых структурах// Приклад, механика. 2003. - Т. 39, Вып. И. - С. 81-86.

51. Левченко В.В. Поверхностные волны Лява в слое на регулярно-слоистой подложке// Приклад, механика. 2004. - Т. 40, Вып. 9. - С. 131-136.

52. Kogelnik Н. Coupled wave theory for thick hologram grating// Bell System Techn. J. 1969. - V. 48, N. 9. - P. 2909-2947.

53. Kogelnik H., Shank C.V. Coupled-wave theory of distributed feedback lasers// J. Appl. Phys. 1972. - V. 43, N. 5. - P. 2327-2335.

54. Huang W.P. Coupled-mode theory for coupled optical waveguides: an overview// J. Opt. Soc. Am. A. 1994. - V. 11, N. 3. - P. 963-983.

55. Мартынов H.H., Столяров C.H. К теории распространения волн в периодических структурах// Квантовая электроника. 1978. - Т. 5, Вып. 8. - С. 1853-1855.

56. Мартынов Н.Н. Уравнения связанных волн для гофрированного волновода// Квантовая электроника. 1978. - Т. 6, Вып. 8. - С. 1798-1801.

57. Гинзбург B.JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Физматгиз, 1960. - Гл. 4. - С. 224-306.

58. Игнатченко В.А., Лалетин О.Н. Распространение электромагнитных волн в одномерных сверхрешетках// Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. 2003, Вып. 3. - С. 9-17.

59. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Физматгиз, 1959. - 608 с.

60. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Под ред. Абрамовиц М., Стиган И. М.: Наука, 1979. - 832 с.

61. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Effects of one- and three-dimensional inhomogeneities on the wave spectrum of multilayers with finite interface thicknesses// Phys. Rev. B. 2001. - V. 65, N. 1. - P. 024207-1024207-9.

62. Карпов С.Ю., Константинов О.В., Райх М.Э. Модифицированная теория возмущений для расчета зонной структуры в одномерном периодическом потенциале// ФТТ. 1980. - Т. 22, Вып. 11. - С. 3402-3407.

63. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматгиз, 1960. - 618 с.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989. - 768 с.

65. Игнатченко В.А., Лалетин О.Н. Закон дисперсии волн в сверхрешетках с произвольной толщиной границы между слоями// Вестник КрасГУ Сер. физ.-мат. науки. 2004, Вып. 5. - С. 21-30.

66. Игнатченко В.А., Лалетин О.Н. Волны в сверхрешетке с произвольной толщиной границы между слоями// ФТТ. 2004. - Т. 46, Вып. 12. - С. 2216-2223.

67. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248с.

68. Hsueh С.-Н., Ferber М.К. Apparent coefficient of thermal expansion and residual stresses in multilayer capacitors// Composites: Part A. 2002. -V. 33. - P. 1115-1121.

69. Ignatchenko V.A. and Laletin O.N. Magnetoelastic Ground State and Waves in Ferromagnet, Nonmagnetic Dielectric Multilayer Structure// Phys. Rev. B. - 2007. - V. 76, N. 10. - P. 104419-1-104419-11.

70. Туров E.A., Шавров В.Г. Об энергетической щели в ферро- и антиферромагнетиках, связанной с магнитоупругой энергией// ФТТ. 1965. -Т. 7, Вып. 1. - С. 217-226.

71. Туров Е.А., Шавров В.Г. Нарушенная симметрия и магнитоакустиче-ские эффекты в ферро- и антиферромагнетиках// УФН. 1983. - Т. 140, Вып. 3. - С. 429-462.

72. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. - 384 с.

73. Физические величины: Справочник. Под ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.77. du Tremolet de Lacheisserie E. Magnetostriction: Theory and Applications of Magneto elasticity. Boca Raton: CRC Press, 1993. - 409 p.

74. Ignatchenko V.A. and Laletin O.N. The Spectrum of Magnetoelastic Waves in Multilayer Structures// Phys. Met. Metallogr. 2005. - V. 100, Suppl. 1. - P. S66-S68.

75. Игнатченко В.А., Лалетин O.H. Магнитоупругие волны в многослойных структурах// Укр. физ. журн. 2005. - Т. 50, Вып. 8А. - С. А150-А158.

76. Ignatchenko V.A., Laletin O.N. The spectrum of magnetoelastic waves in multilayer structures// Abstract Book. Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" (EASTMAG-2004). August 24-27. - 2004. - Krasnoyarsk, Russia. - P. 215.

77. Игнатченко В.А., Лалетин O.H. Спектр магнитоупругих волн в муль-тислойных структурах// Сборник тезисов Одиннадцатой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых (ВНКСФ-11). 24-30 марта. - 2005. - Екатеринбург. - С. 50.

78. Ignatchenko V.A., Laletin O.N. Boundary conditions and the spectrum of waves in magnetoelastic multilayer structures// Book of Abstracts. Moscow International Symposium on Magnetism (MISM-2005). June 25-30. - 2005. - Moscow, Russia. - P. 239-240.