Спектральные и асимптотические свойства некоторых вероятностных моделей математической физики и оптимизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук

На правах рукописи УДК 519.21

Яроцкий Дмитрий Александрович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ОПТИМИЗАЦИИ

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

11 ДЕК 2014

Москва — 2014

005556754

Работа выполнена в лаборатории № 4 Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук.

Официальные доктор физико-математических наук оппоненты: Загребнов Валентин Анатольевич, профессор

математического факультета Марсельского университета,

профессор, доктор физико-математических наук Малышев Вадим Александрович, профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова,

профессор, доктор физико-математических наук Назин Александр Викторович, ведущий научный сотрудник лаборатории X17 Института проблем управления им. В. А. Трапезникова,

Ведущая Объединенный институт ядерных исследований,

организация: г. Дубна

Защита диссертации состоится 3 марта 2015 г. в 17 чалов на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича (ИППИ РАН), расположенном по адресу: 127051, г. Москва, Большой Каретный переулок, д. 19, стр. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН. Автореферат разослан " _"7-?_2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.077.03 при ИППИ РАН, доктор физико-математических наук

Соболевский

Андрей

Николаевич

Общая характеристика работы

1 Актуальность темы исследования и цели работы

Настоящая диссертация посвящена применению аналитических методов к решению некоторых задач теории вероятностей. Диссертация состоит из трех частей, относящихся к разным предметным областям, но объединенных общими методами исследований.

Часть I посвящена спектральным и асимптотическим свойствам основных и возбужденных состояний квантовых и стохастических решетчатых динамик.

Часть II посвящена асимптотическим свойствам алгоритмов математической оптимизации, основанных на стохастических моделях, а также некоторым тесно связанным с ними вопросами теории интерполяции.

Часть III посвящепа асимптотическим свойствам локально-неоднородных случайных блужданий на решетке.

Во всех трех разделах центральным объектом изучения является некоторый случайный процесс (или, как в части I, состояние па некоммутативной алгебре локальных наблюдаемых), основные результаты имеют характер утверждений о некоторых связанных с процессом асимптотических свойствах, а ключевую роль в доказательствах играет спектральный анализ.

Тематически диссертация охватывает широкий круг современных задач, возникающих в квантовой статистической механике (часть I), математической оптимизации и теории аппроксимации (часть II) и в собственно теории случайных процессов (часть III). Охарактеризуем последовательно каждую из этих тематик.

1.1 Часть I

Квантовые решетчатые системы являются важным классом физических моделей, и строгие результаты о равновесных состояниях таких систем представляет значительный интерес как с физической, так и с математической точки зрения В настоящей диссертации мы рассматриваем круг вопросов, связанных с основными и низкоэнергетическими состояниями систем,

1 Bratteli О., Robinson. D. W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 2: EquiHbrium States. Models in Quantum Statistical Mechanics. Springer, 1997.

которые можно, прямым или косвенным образом, представить в виде возмущений системы невзаимодействующих спинов, имеющей невырожденное основное состояние и спектральную щель.

Единственность основных состояний. Строгая аналитическая, теория слабых квантовых возмущений основных состояний невзаимодействующих систем активно развивалась в последние годы многими авторами: К. Алба-незе, Н. Ангелеску, Н. Даттой, Е. Жижиной, В. Загребновым, Т. Кеннеди, Дж. Кирквудом, В. Малышевым, Т. Мацуи, Р. Минлосом, Ю. Суховым, X. Тасаки, JT. Томасом и другими. Начальной точкой исследований в этой теме является конструкция основного состояния на всей решетке как термодинамического предела состояний в конечных объемах. Мацуи 2 поставил вопрос о единственности основного состояния на полной решетке, и, пользуясь техникой функционала удельной энергии, установил единственность такого состояния в классе трансляционно-инвариантных состояний и в предположении трансляционной инвариантности модели. Поскольку трансляционная инвариантность системы играет принципиальную роль при определении функционала удельной энергии, результат Мацуи оставил открытыми следующие естественные вопросы:

• Имеет ли место единственность в случае нетрансляционно-инвари-антных моделей или в классе всех, не обязательно трансляционно-инвариантных состояний?

• Можно ли дать оценку зависимости основного состояния внутри конечного объема от граничных условий, определив основные состояния с граничными условиями настолько общим образом, чтобы любые их ограничения на подмножества решетки также являлись основными состояниями с некоторыми граничными условиями?

Мы даем ответы на эти вопросы в главе 3.

Возмущения, относительно ограниченные в смысле квадратичных форм, и модель AKLT. Во многих работах ключевую роль в доказательстве результатов об основном и низкоэнергетических состояниях играет, явно или неявно, свойство относительной ограниченности возмущения относительно невозмущенного гамильтониана или подобного ему оператора, см. 3.

2 Matsui Т. Uniqueness of the translationally invariant ground state m quantum spin systems // Common. Math. Phys. 1990. Vol. 126. P. 453 -467.

3 Kennedy T., Tasaki H. Hidden symmetry breaking and the Haldane phase in 5 = 1 quantum spin chains /,/ Commun. Math. Phys. 1992. Vol. 147. P. 431-4S4.; Malyshev V. A., Minios R. A. Linear operators in infinite particle systems. AilS, Providence, RI, 1S95.; Minios R. A. Invariant subspaces of the stochastic Ising high

В процитированных работах относительная ограниченность имеет довольно специальный смысл. В тоже время, хорошо известно, что в спектральной теории квантовомеханических и вообще самосопряженных операторов наиболее естественными и удобными являются классические понятия относительной ограниченности в операторном смысле или в смысле квадратичных форм 4. Таким образом, возникает следующая естественная задача:

• Обобщить понятие относительной ограниченности в смысле квадратичных форм на гамильтонианы па решетке и развить соответствующую теорию возмущений.

Мы решаем эту задачу в главе 4. При этом вводимое нами определение и полученный результат оказываются настолько общими, что позволяют охватить некоторые системы с сильным квантовым взаимодействием, не задаваемые в форме "свободная система + слабое возмущение". Наиболее интересным примером такой системы является модель AKLT. Эта модель была введена Аффлеком, Кеннеди, Либом и Тасаки 5 как пример изотропной цепочки, обладающей, как было строго доказано этими авторами, единственным основным состоянием и спектральной щелью. Еще до этой работы, Хол-дейн выдвинул на основании кваптовополевых рассуждений предположение о том, что изотропная антиферромагнитная одномерная цепочка обладает единственным основным состоянием и спектральной щелыо в случае целого спина, но не имеет спектральной щели в случае нецелого спина б. Модель AKLT обладает предсказанными Холдейном свойствами и поэтому послужила веским свидетельством в пользу гипотезы Холдейна в части, касающейся целых спинов. Ожидается, что модель AKLT относится к той же термодинамической фазе, что и чисто антиферромагнитная цепочка со спином 1, однако строгие результаты Аффлека и др. существенно использовали

temperature dynamics // Markov Processes Relat. Fields. 19У6. Vol. 2. P. 263-284.; Minlos R. A., Suhov Y. M. On the spectrum of the generator of an infinite system of interacting diffusions //Commun. Math. Phys. 1999. Vol. 206. P. 463-489.; Kondratiev Y. G., lEnlos R. A. One-particle subspaces in the stochastic XY model //J. Stat. Thys. 1У97. Vol. 87, no. 3/4. Г. 613 C42.; Zhizliina E. A., Kondratiev Y. G., Minlos R. A. Lower branches of the spectrum of Hamiltonians of infinite quantum systems with a compact space of "spins" ,/,/ Trans. Moscow Math. Soc. 11)99. Vol. 60. P. 225-262.; Angeleseu N., Minlos R. A., Zagrebnov V. A. The lower spectral branch of the generator of the stochastic dynamics for the classical Heisenberg model // On Dobrushin's way. From probability theory to statistical physics ,/ Ed. by R. A. Minlos, S. Shlosman, Y. M. Suhov. Amer. Math. Soc. Transl., 2000. Vol. 198. P. 1-11.; Angeleseu N., Minlos R. A., Zagrebnov V. A. The one-particle energy spectrum of weakly coupled quantum rotators // J. Math. Phys. 2000. Vol. 41, no. 1. P. 1-23.

4 Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin: Springer-Verlag, 1976.; Simon B. Quantum Mechanics for Hamiltonians Definied as Quadratic Forms. Princeton University Press. 1971.

5 Affleck I., Kennedy Т., Б.Н. L., Tasaki H. Valence bond ground states in Isotropic quantum antiferromagnets // Commun. Math. Phys. 1987. Vol. 115. P. 477-528.

6 Haldane F. D. M. Continuum dynamics of the 1-d Heisenberg antiferromagnet: identification with the 0(3) nonlinear sigma model // Pliys. Lett. A. 1983. Vol. 93. P. 464^168.; Haldane F. D. M. Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets: scmiclassically quantized solutions of the one-dimensional easy-axis Niel state // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 1153-1156.

очень специальное свойство модели AKLT — точную минимизацию энергии каждым членом гамильтониана, поэтому их доказательство не распространялось на другие, даже сколь угодно близкие к AKLT модели. При этом естественным является следующее предположение:

• При достаточно малых возмущениях модели AKLT основное состояние остается единственным и характеризуется экспоненциально быстрым убыванием корреляций; основное состояние отделено от возбужденных спектральной щелью.

В работе 7 Кеннеди и Тасаки смогли развить строгую теорию возмущений такого рода для т.н. "димеризованной" модели AKLT при достаточно сильной димеризации (при полной димеризации модель распадается на невзаимодействующие димеры). Развитая нами в главе 4 техника относительно ограниченных в смысле квадратичных форм возмущений позволяет представить исходную, недимеризованную модель AKLT как возмущение невзаимодействующей системы и благодаря этому строго доказать в главе 5 указанное предположение для недимеризованного случая.

Переход между "соизмеримой" и "несоизмеримой" подфазами в модели AKLT. Продолжая исследование возмущений модели AKLT, в главе 6 мы рассматриваем вопрос качественно различного поведения корреляционных функций изотропных цепочек со спином 1 при переходе через точку AKLT. Этот переход был численно обнаружен Шольвеком, Жоликье и Гарелом 8. Несколькими авторами 9 были предложены носящие феноменологический характер объяснения этого явления на основе аналогий с классическими системами или непрерывными теориями поля. В главе 6 мы даем полностью согласующееся с численными экспериментам объяснение этого явления, исходящее непосредственно из определения модели AKLT и позволяющее дать теоретическую оценку некоторым параметрам перехода.

Теория рассеяния квазичастичных возбуждений. В процитированном выше цикле работ Ангелеску, Жижиной, Загребнова, Кондратьева, Минло-са, Сухова, для ряда стохастических динамик решетчатых спиновых систем

7 Kennedy T., Tasalri H. Hidden symmetry breaking and the Haldane phase in S = 1 quantum spin chains // Commun. Math. Phys. 1992. Vol. 147. P. 431-Î84.

8 Schollwöck U., Jolicocur T., Garcl T. On the onset of incommensurability at the VDS point in the S 1 bilinear-biquadratic quantum spin chain ,// Phys.Rev. B. 1996. Vol. 53. P. 3304.

9 Fàth G., Siitô A. Commensurate and incommensurate correlations in Haldane-gap antiferromagnets // Phys.Rev. B. 2000. Vol. 62. P. 3778-3785.; Murashima T., Nomura K. Incommensurability and edge states in the one-dimensional S = 1 bilinear-biquadratic model // Phys.Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 214431.; Nomura K. Onset of Incommensurability in Qunatum spin chain // J. Phys. Soc. Jpn. 2003. Vol. 72. Г. 470 478.

(глауберовой динамики, стохастической модели ротаторов и т.п.) было доказано существование т.н. "одночастичных" спектральных подпространств. По аналогии с известной теорией рассеяния Хаага-Рюэля в аксиоматической квантовой теории поля 10, можно поставить следующую задачу:

• Доказать, что из существования "одночастичных" спектральных подпространств следует существование "многочастичных" подпространств, отвечающих состояниям рассеяния наборов одночастичных возбуждений.

Мы решаем эту задачу в главе 7. 1.2 Часть II

Оптимизация методом "ожидаемого улучшения" является современным, популярным в инженерных приложениях методом численной оптимизации вычислительно затратных целевых функций сложной структуры 11. Наиболее известный вариант метода был введен в работе Джонса и др. 12, хотя близкие подходы рассматривались и до этого разными авторами (в частности, Кушнером, Моцкусом, Зилинскасом и др. 13). В основе метода лежит аппроксимация оптимизируемой функции гауссовским случайным процессом по нескольким наблюденным значениям этой функции.

Несмотря на то, что в последние годы метод и его варианты активно применяются в инженерной практике, имеется лишь небольшое число математически строгих работ, в которых устанавливаются его свойства. В недавних работах Бекта, Васкеса и Булла 14 было доказано, что в случае достаточно "грубого" процесса (со спектральной плотностью, убывающей степенным

10 Haag R. Quantum field theories with composite paticlcs and asymptotic completeness // Phys. Rev. 19Г»8. Vol. 112. P. 669-673.; Haag R. The framework of quantum field theory // Nuovo Cimento Supp. 1959. Vol. 14. P. 131-152.; Ruelle D. On the asymptotic condition in quantum field theory // Helv. Phys. Acta. 19B2. Vol. 35. P. 147-163.

11 Forrester A. I. J.: Sdbester A., Keane A. J. Engineering design via surrogate modelling: a practical guide. J. Wiley, 2008.

12 Jones D. R., Schonlau M., Welch W. J. Efficient Global Optimization of Expensive Black-Box Functions // J. Glob. Opt. 1998. VoL 13. P. 455-492.

13 Kushner H. J. A new method of locating the maximum point of an arbitrary multipeak curve in the presence of noise // Journal of Basic Engineering. 1964. Vol. 86. P. 97-106.; Mockus J. Bayesian approach to global optimization: theory and applications. Mathematics and its applications: Soviet series. Kluwer Academic, 1939.; Mockus J., Tiesis V., Zilinskas A. The application of Bayesian methods for seeking the extremum // Towards Global Optimization. 1978. Vol. 2. P. 117 - 129.; Zilinskas A. A review of statistical models for global optimization // Journal of Global Optimization. 1992. Vol. 2. P. 145-153.

14 Vazquez E., Beet J. Convergence properties of the expected improvement algorithm with fixed mean and covaliauce functions // Journal of Statistical Planning and Inference. 2010. Vol. 140. no. 11. P. 3088 -3095.; Vazquez E., Beet J. Pointwise consistency of the kriging predictor with known mean and то variance functions // mODa 9 - Advances in Model-Oriented Design and Analysis. 2010.14tli-19th June 2010, Rertinoro, Italy.; Bull A. D. Convergence rates of efficient global optimization algorithms // Journal of Machinc Learning Research. 2011. Vol. 12. P. 2879-2904.

образом) и целевой функции из соответствующего гильбертова пространства с воспроизводящим ядром имеет место сходимость последовательности наилучших наблюдаемых в ходе оптимизации значений к глобальному оптимуму целевой функции. Булл также получил степенную оценку скорости сходимости. При этом возникает следующий естественный вопрос:

• Может ли иметь место несходимость оптимизации, если процесс является "гладким" (например, задается гауссовской ковариационной функцией) или если целевая функция не лежит в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, связанном с процессом?

Мы даем положительный ответ на этот вопрос в главе 9. Основным используемым при этом техническим результатом является полученная нами двусторонняя равномерная асимптотическая оценка для условной дисперсии одномерного процесса с экспоненциально убывающей спектральной плотностью при условии наблюдения процесса в конечном числе точек.

Оптимизация методом "ожидаемого улучшения" тесно связана с задачей интерполяции, поскольку условное среднее значение процесса представляется как интерполяция целевой функции линейными комбинациями сечений ковариационной функции, получаемых фиксированием одного из двух ее аргументов в узле интерполяции. В случае одномерной полиномиальной интерполяции хорошо известна классическая интегральная формула Эрми-та для ее ошибки 15. И полиномиальную интерполяцию, и интерполяцию гауссовскими радиальными базисными функциями можно рассматривать, с точностью до простых преобразования, как частные случаи интерполяции экспоненциальными функциями. Мы задаем следующий вопрос:

• Можно ли обобщить интегральную формулу ошибки одномерной полиномиальной интерполяции на интерполяцию экспоненциальными функциями?

В главе 10 мы решаем эту задачу с помощью формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера (ХЧИЗ) 16. Релевантность этой формулы в контексте теории аппроксимации была замечена ранее Босом и Де Марчи в работе об оптимальном распределении узлов 17: формулу ХЧИЗ можно рассматривать

15 Hermite С. Sur la formule d'interpolation de Lagrange // J. Reine Angew. Math. 1878. Vol. 84. P. 70-79.

16 Harish-Chandra. Differential operators on a semi-simple Lie algebra // Amer. J. Math. 1957. Vol. 79. P. 87-120.; Itzykson С., Zuber J.-B. The planar approximation II // J. Math. Phys. 19S0. Vol. 21. P. 411-421.; Gross К. I., Richards D. S. P. Total Positivity, Spherical Series, and Hypergeometric Functions of Matrix Argument. // J. Appro*. Theory. 1989. Vol. .те. P. 224-246.

17 Bos L., De Marchi S. On optimal points for interpolation by univariate exponential functions // Dolomites Rcscarch Notes on Approximation. 2011. Vol. 4. P. 8 12.

как интегральное представление определителя матрицы одномерной экспоненциальной интерполяции.

Пользуясь полученной явной формулой ошибки, мы устанавливаем в случае аналитической целевой функции одной переменной и гауссовской ковариационной функции экспоненциально быструю сходимость оптимизации методом ожидаемого улучшения к глобальному оптимуму. Этот результат дополняет упомянутый выше пример несходимости; вместе они показывают, что для одномерной оптимизации на основе гауссова ядра имеет место резкая "дихотомия" между экспоненциально быстрой сходимостью для аналитических целевых функций и, вообще говоря, отсутствием сходимости для сколь угодно гладких, но не аналитических целевых функций.

1.3 Часть III

Случайное блуждание с локальной неоднородностью естественных! образом возникает при рассмотрении простейшей модели локального взаимодействия пары блуждающих частиц. Исследование асимптотических свойств такого блуждания было инициировано Е. Жижиной и Р. Минлосом, установивших для него локальную предельную теорему 18, а также показавших 19, что в случае одномерного пространства в пределе малого масштаба это блуждание сходится к некоторому обобщенному диффузионному процессу (т.н. процессу с "эластичным экраном в нуле" 20), в том же смысле, в котором пределом обычного однородного блуждания является винеровский процесс. Исследования Жижиной и Мннлоса оставляли открытыми ряд вопросов. Во-первых, сходимость блуждания к диффузионному процессу была установлена Жижиной и Минлосом в смысле сходимости конечномерных распределений. Можно ожидать, что сходимость имеет место в более сильном смысле теоремы Донскера 21, т.е. в смысле сходимости вероятностных мер на пространстве непрерывных траекторий. Во-вторых, предельпый диффузионный процесс характеризуется скалярным параметром, определяющим эластичность экрана в нуле. В работах Жижиной и Минлоса этот параметр был найден в виде сложного аналитического выражения, и оставалось неясным, как его значение можно интерпретировать в терминах исходного блуждания. В-третьих, естественно рассмотреть обобщение одномерного

18 Мннлос Р. А., Жпжина Е. А. Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания одной частицы на решетке // Теория вероятностей и ее приложения. 1994. Т. 39, № 3. С. 513-529.

19 Minios R. A-, Zhizhina Е. A. The limiting theorems for a random walk of two particles on the lattice z" I j Potential analysis. 199G. Vol. 5. P. 139-172.

20 Портенко H. И. Обобщенные диффузионные процессы. Киев: Наукова думка, 1982.

21 Donsker М. D. An invariant principle for certain probability limit theorems // Memoirs. 1951. Vol. 6. P. 1 10.; Биллиттгсли П. Сходимость псроятностпы* мер. М: Наука. 1977.

локально-неоднородного блуждания на случай произвольной размерности, предполагая при этом, что неоднородность сконцентрирована на подрешетке некоторой произвольной коразмерности. Верно ли, что если коразмерность больше 1, то предельный процесс является тривиальным (винеровским)? На большинство этих вопросов автором были даны ответы в кандидатской диссертации 22. В настоящей диссертации мы дополняем эти результаты рассмотрением задачи об инвариантной мере случайного блуждания, дающей альтернативный способ нахождения параметра эластичного экрана.

2 Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер; ее результаты могут быть полезны специалистам в области теории случайных процессов, математической физики, теории аппроксимации и математической оптимизации. Часть II диссертации может быть полезна инженерам в области авиа- и машиностроения, занимающимся практической оптимизацией на основе вычислительно затратных расчетных моделей.

3 Методы исследования

Достоверность результатов диссертации обеспечена использованием строгих математических методов при их получении. Во всех трех разделах диссертации центральную роль играют асимптотические методы исследования различных объектов (трансфер-матрицы в главе б, волновых операторов в главе 7, дисперсии условного гауссовского процесса в главе 9, инвариантных векторов оператора случайного блуждания в главе 13) на основе анализа Фурье-представлений. В частях I и III мы используем некоторые методы теории сильно-непрерывных однопараметрических полугрупп (теорема Хилле-Иосиды, аппроксимационная теорема 12.2) и вспомогательные результаты типа обобщенной леммы Шварца. В большинстве глав части I мы используем кластерные (полимерные) разложения или аналогичные конструкции, Кроме того, в части I мы существенно используем методы спектрального анализа, в особенности связанные с относительно ограниченными возмущениями ограниченных снизу операторов. Анализ основных состояний в главах 2, 3 использует некоторые методы теории локальных С*-алгебр. В главе 7 мы применяем стандартные методы теории рассеяния (метод Кука, метод стационарной фазы). В связи с применением нами формулы Хариша-Чандры-

22 Яроцкий Д. А. Исследование некоторых марковских процессов, возникающих в математической физике: Кандидатская диссертация. Московский Государственный Университет, 2002.

Ициксона-Зубера в главе 10, мы используем там элементы техники интегрирования по мере Хаара на унитарной группе. В главе 9 мы подтверждаем теоретические результаты вычислительным экспериментом с применением библиотек численной арифметики повышенной точности.

4 Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. На защиту выносятся следующие положения:

Часть I:

• Для квантовых гамильтонианов, являющихся возмущениями системы невзаимодействующих спинов на решетке, введено понятие относительной ограниченности возмущения в смысле квадратичных форм. В предположении наличия у свободного гамильтониана спектрально изолированного основного состояния, для моделей, обладающих вышеуказанным свойством, доказано наличие спектральной щели и экспоненциальное убывание корреляций.

Показано, что модель АКЬТ может быть представлена в виде такого относительно ограниченного возмущения свободного гамильтониана. Как следствие, доказано, что малые возмущения модели АКЬТ сохраняют спектральную щель и экспоненциальное убывание корреляций в основном состоянии.

• Для слабовзаимодействующей спиновой решетчатой системы в конечном объеме доказано, что различные состояния, удовлетворяющие алгебраическому условию локальной стабильности, экспоненциально сближаются по мере удаления от границы объема. Как следствие, доказана сильная единственность основного состояния в термодинамическом пределе.

• Для 50(3)-инвариантных возмущений модели АКЬТ предложено новое представление статсуммы в виде разложения по траекториям. Предложено точно решаемое приближение к модели АКЬТ, отвечающее "минимальным" траекториям, решение которого объясняет численно обнаруженный ранее эффект перехода между "соизмеримой" и "несоизмеримой" фазами. Кроме того, предложена естественная "блочная" модификация модели АКЬТ, для которой строго доказано, что отвечающие минимальным траекториям члены доминирует все остальные члены и, как следствие, строго доказан вышеуказанный эффект.

• Для слабовзаимодействующих спиновых стохастических динамик сформулированы общие предположения, на основе которых в спектре генератора доказано существование "многочастичных возбуждений". Показано, что ряд рассмотренных ранее другими авторами моделей (глауберова динамика, стохастическая модель ротаторов и т.д.) удовлетворяет данным предположениям.

Часть II:

• Для одномерного гауссовского случайного процесса с экспоненциально убывающей спектральной плотностью получены новые верхние и нижние оценки апостериорной дисперсии при фиксации процесса в конечном числе точек. С помощью полученных оценок построен пример задачи, в которой оптимизация с помощью "ожидаемого улучшения" не достигает глобального оптимума.

• Для одномерной интерполяции экспоненциальными и гауссовскими функциями получены явные интегральные формулы ошибки интерполяции на основе формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера, обобщающие классическую формулу ошибки для полиномиальной интерполяции. С помощью полученных формул дано единообразное доказательство сходимости полиномиальной, экспоненциальной и гауссовской интерполяции для функций, аналитических в достаточно большом круге. Как следствие, для таких целевых функций доказана экспоненциально быстрая сходимость к глобальному оптимуму оптимизации с помощью "ожидаемого улучшения" на основе гауссовского ядра.

Часть III:

• Для одномерного локально неоднородного случайного блуждания выявлена связь структуры инвариантных векторов как прямого, так и сопряженного стохастического оператора блуждания с параметром предельного диффузионного процесса с "эластичным экраном в нуле".

5 Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• семинаре механико-математического факультета МГУ по теории рассеяния под руководством Р. А. Минлоса (1995-2008);

семинаре лаборатории больших случайных

систем механико-математического факультета МГУ под руководством В. А. Малышева (2013);

семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН под руководством Р. А. Минлоса и М. J1. Бланка (2001 2014);

семинаре лаборатории PreMoLab МФТИ под руководством Г. К. Голу-бева (2012);

семинаре кафедры прикладной математики и численных методов факультета математики Мюнхенского университета (LMU) под руководством JI. Эрдеша (2005-2007);

семинаре метематического факультета Мюнхенского технического университета (TUM) под руководством X. Шпона (2005 2007);

семинаре по математической физике математического факультета Дублинского университетского колледжа (UCD) под руководством Дж. Пуле (2005);

семинаре Дублинского института перспективных исследований (DIAS) под руководством Т. Дорласа (2003-2005);

семинаре группы математической физики математического факультета Университета Билефельда (Германия) под руководством Ю. Кондратьева (2001-2004);

семинаре отдела теоретической физики Католического университета Левена (KU Leuven, Бельгия) под руководством М. Фаннеса (2004);

семинаре по математической физике Университета Калифорнии в Дэ-висе (UC Davis, США) под руководством Б. Нахтергеле (2005);

семинаре факультета математики Аризонского университета в Тусоне (UA Tucson, США) под руководством Т. Кеннеди (2005);

семинаре физического факультета Университета Гакушуин в Токио (Gakushuin University) под руководством Хала Тасаки (2006);

семинаре лаборатории адаптивных и робастных систем им. Я. 3. Цыпки на Института проблем управления им. В. А. Трапезникова под руководством Б. Т. Поляка (2013);

• семинаре лаборатории теоретической физики Объединённого института ядерных исследований (Дубна) под руководством В. Б. Приезжева (2014).

Кроме того, результаты диссертации были представлены на следующих международных конференциях:

• Workshop on Stochastic Analysis and Related Topics, Санкт-Петербург, 4-10 июня 2001 г.;

• Meeting on Mathematical Analysis of Quantum Systems IV, Dublin (Ирландия), 29 сентября - 1 октября 2004 г.;

• The Mathematics of Quantum Systems: Quantum Lattice Models, Warwick (Великобритания), 15-16 марта 2005 г.;

• 93rd Statistical Mechanics Conference, Rutgers (США), 15-17 мая 2005 г.;

• Current Status of Rigorous Statistical Mechanics and Mathematical Quantum Field Theory, Fukuoka (Япония), 4 9 сентября 2006 г.

• Mathematical Methods in Quantum Mechanics, Bressanone (Италия), 26 февраля - 3 марта 2007 г.

6 Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах автора в рецензируемых журналах.

7 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 частей, разбитых на 13 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 308 страниц. Библиография включает 143 наименования на 12 страницах, в том числе 11 публикаций автора.

8 Благодарности

Описанные в настоящей диссертации исследования не были бы возможны без идейной и организационной поддержки со стороны многих моих коллег, среди которых я хотел бы особенно выделить Роберта Минлоса, Сергея Пирогова, Бруно Нахтергеле, Ласло Эрдеша и Александра Кулешова. Я выражаю им всем свою искреннюю признательность.

Содержание работы

Во Введение приводится история вопросов, рассматриваемых в диссертации, формулируются цели работы, перечисляются методы исследований, представляются выносимые на защиту результаты.

Часть I

Этот раздел диссертации посвящен основным состояниям и спектральным свойствам слабовзаимодействующих динамик на решетках и состоит из глав 1-7. Он основан па публикациях автора [3-9].

Глава 1 представляет собой введение в часть I с общим обзором рассматриваемых в ней вопросов и краткой характеристикой отдельных глав.

Глава 2 посвящена конструкции основных состояний слабовзаимодействующих квантовых спиновых систем на решетке с помощью подходящей алгебры локальных операторов. Эта конструкция обобщает применявшиеся ранее представления основного состояния в виде гиббсовской меры на случай абстрактной решетчатой спиновой системы.

Под основными состояниями квантовых гамильтоновых систем понимают состояния с минимальной энергией. В случае конечных квантовых систем гамильтониан можно понимать как самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве, так что основное состояние можно определять как собственный вектор гамильтониана, отвечающий нижней границе спектра, если она является собственным значением (что может не выполняться, если система конечна, но ее пространство состояний бесконечномерно). В случае бесконечных систем (в частности, системы спинов на решетке) гамильтониан включает бесконечно много членов и не может непосредственно интерпретироваться как самосопряженный оператор, и основные состояния (как и другие состояния) естественно понимать как функционалы на локальной алгебре наблюдаемых. Существуют разные подходы к определению и анализу таких основных состояний. В главе 2 мы следуем обычному в физической литературе, интуитивно естественному пониманию основного состояния бесконечной системы как предела основных состояний неограниченно растущих подсистем. В главе 3 мы дадим общее и строгое определение основного состояния с произвольными граничными условиями, которое позволит установить единственность основного состояния на полной решетке.

Рассматриваемая в главе 2 квантовая спиновая система задастся фор-

мальньш гамильтонианом

Я=Х>*+£>*. (1)

xez" ¿ez"

Здесь первое слагаемое представляет собой невозмущенный гамильтониан системы невзаимодействующих спинов, а второе — его малое возмущение. Самосопряженные операторы hx действуют на отвечающих единичным спинам гильбертовых пространствах Нх и предполагаются имеющими невырожденные основные состояния fix (собственные векторы минимальной энергии) с собственными значениями, отделенными от остальной части спектра:

hxflx = 0, hx\u,6iit > 1-О возмущении предполагается, что каждый оператор фх ограничен, самосопряжен и действует на спины, которые лежат в множестве Ло + х сдвиге конечного множества Ло С Z".

Для любого конечного подмножества Л С Z" можно рассмотреть конечную часть формальной суммы (1), состоящую из тех слагаемых, которые действуют лишь на спины, входящие в Л. Таким образом мы определяем ограничение Яд гамильтониана "с пустыми граничными условиями" как самосопряженный оператор на пространстве На =

Теорема 2.1 устанавливает существование основного состояния оператора Н\ при достаточно слабом возмущении и дает оценку локализации спектра, равномерную по Л:

Теорема 2.1. Существует такая константа с\ — сх(Ло) > 0, что если supx ll^ll < ci, то для любого конечного А гамильтониан Н\ имеет невырожденное основное состояние П\ в Н\:

ЯлПл = ЯЛПЛ, #лЫАепл > Ец1.

Далее, обозначим #л := Яд — Еа 1. Тогда существует такая константа с-г = С2(Л0), что спектр оператора Н\ содержится в множестве

У {г : \z-a\ < c2sup ||<£х||а}. ае8р(Ял,0) *

Доказательство основано на представлении основного состояния в виде Пд = ехр(— /сЛ(®хел£\), где д[ — некоторые ограниченные операторы из локальных алгебр В (Hi). Такое представление находится как неподвижная точка нелинейного сжимающего отображения на пространстве наборов {«г}а-/;сл> что позволяет получить кластерные оценки на нормы операторов Vf.

Далее, в теореме 2.2 доказано, что при Л /*■ Ж существует термодинамический предел основных состояний Пд, как положительный нормированный функционал на алгебре всех локальных наблюдаемых Л^ = иЛс2" |Л|<006("Нл)- Также, в теореме 2.3 показано, что операторы Яд при этом имеют слабый резольвентный предел как самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве циклического представления С*-алгебры Лоо, связанного с состоянием шю. Для оператора Нж сохраняется спектральная оценка из теоремы 2.1.

Глава 3 посвящена доказательству сильной единственности основного состояния в предположениях предыдущей главы.

Исходя из формального гамильтониана (1), определим для любого конечного множества Лс2" его "внутренность" Л" как совокупность спинов из Л, не взаимодействующих напрямую со спинами из дополнения 2" \ Л:

Л°:=Л\ У (Л0 + х).

х€2":(л0+х)п (г"\л)^0

Определим Х>д° как множество ограниченных операторов на Н^, для которых формальный коммутатор <5(Л) = [II, А] имеет смысл как ограниченный оператор на Н\.

Будем понимать под состоянием о>д в конечном объеме Л положительный нормированный функционал на алгебре ограниченных операторов В(Нд). Напомним, что состояние называется нормальным, если оно порождается некоторой матрицей плотности (неотрицательно определенным оператором с единичным следом).

Определение 3.2. Для любого конечного Л, мы называем нормальное состояние шд на В(И\) основным состоянием гамильтониана Н в конечном объеме Л, если

ш(А*5(А)) > О

для всех А £ Т>ар .

Данное определение выражает неубывание энергии системы при локальном возмущении ее состояния с помощью оператора А (см., например, Теорему 5.3.19 в процитированной в начале автореферата книге Браттели-Робинсона). Такое определение является наиболее общим, поскольку ограничение основного состояния в указанном смысле в любое подмножество Л1 С Л также является основным состоянием в этом смысле. Заметим также, что мы можем определить основные состояния на полной решетке 2" как те, чьи ограничения во все конечные подмножества решетки удовлетворяют данному определению.

Основной результат главы 3 показывает, что основные состояния в смысле данного определения экспоненциально быстро сближаются по мере удаления от границы объема:

Теорема 3.1. Существуют такие положительные константы с,с\ и с2 < 1, зависящие лишь от, определяющего область взаимодействия множества Л<), что если Бир^. Ц^Ц < с, то для любого конечного объема Л. любых двух основных состояний гамильтониана Н в Л в смысле

определения 3.2, и любого подмножества I С А имеет место оценка

|о/А(Л) - < с1/1^''2"^)IIЛII, если А € В{Щ. (2)

В частности, это влечет единственность основного состояния в термодинамическом пределе всей решетки.

Доказательство теоремы 3.1 основано на преобразовании данного основного состояния к приблизительно факторизованному виду с помощью локальных операторов С/, применявшихся в предыдущей главе для построения конкретного основного состояния.

В параграфе 3.4 мы показываем (предложение 3.1), что с основным состоянием в конечном объеме в смысле определения 3.2 можно связать некоторое явное "граничное условие", введя дополнительные внешние квантовые степени свободы и добавив к гамильтониану с пустым граничным условием дополнительный член, описывающий "граничное взаимодействие" с ними.

В Главе 4 мы устанавливаем теорию возмущений для более широкого класса возмущений, а именно относительно ограниченных в смысле квадратичных форм относительно невозмущенного гамильтониана. Мы даем две версии такой теории возмущений с небольшими отличиями в предположениях (теоремы 4.1, 4.2). Приведем вариант, используемый далее в главе -5.

Рассмотрим формальный гамильтониан вида Я = Ьх +

где, как и ранее, первое слагаемое соответствует невозмущенной модели, а второе — возмущению, однако с новыми предположениями. Для фиксированного конечного Ло С 2" предположим, что как фх, так и кх действует в Нао+х, причем выражение Л* отвечает "классическому" гамильто-

ниану в том смысле, что в пространствах Их можно выбрать ортогональные разложения единицы таким образом, чтобы их тензорные произведения диагонализовали операторы Нх. Будем предполагать, что существуют такие выделенные векторы Пх € Цх, что для любого х вектор Пд0+1 := ®уе\0+хС1 является невырожденным основным состоянием оператора 1гх со спектральной щелью:

Ь-хПхо+х.о = 0, Мид^еги„+1.о ^ 1-

Относительно возмущения фх предположим, что его можно представить в виде суммы "просто ограниченной" части ф^ и "чисто относительно ограниченной" части ф[г). О просто ограниченной части мы предполагаем, что

W\\ < /3 (3)

с некоторой константой /3. Опишем теперь "чисто относительно ограниченную" часть Она предполагается заданной посредством квадратичной формы фх\у,у) на области определения, включающей T)om(hH2). Будем считать, что Л — конечное кубическое подмножество Z", и гамильтониан в конечном объеме Лд определен с периодическими граничными условиями. Тогда о фх^ мы предполагаем, что существует такая константа а, что для любого куба Л и любого I С Л

|]Г4г)м| <*||(Х>)1/2И|2' «€Dom(£М1/2- (4)

is/ хеЛ хеЛ

В частности, это условие выполнено если <^4г'(г>,г>)| < а||/гУ2и||2 для всех х € Т.

При сделанных предположениях, следующий основной результат устанавливает теорию возмущений, а также дает асимптотическую оценку значений а, /3, при которых опа имеет место.

Теорема 4.2. Для любого х > 1 существует такое 5 = 5{х, и, Ло) > О, что для любого а 6 (0,1), если условия (3),(4) выполнены с этим а. и /3 = <5(1 — ог)х("+1), то:

1) Нл обладает невырожденным основным состоянием и спектральной щелью:

Ял^л = -Ел^л,

и для некоторого полоо/сительного 7, не зависящего от Л,

ЯдЫлопл > (Да+ 7)1;

2) существует термодинамический слабый*-предел основных состояний как функционалов на алгебре:

(АПА, Па> ш(Л), А 6 U|A|<00B(7iA);

3) имеет место экспоненциально быстрое убывание корреляций в основном состоянии и в бесконечном объеме: для некоторых положительных с и е < 1

ЩАМг) - Ш(А0у(Л2)| < с^^^^^^'^'НЛИНИгЦ, А €

4) если операторы фх (или резольвенты (Ь,х + фх — г)^1 в случае неограниченных возмущений) аналитически зависят от некоторых параметров, то основное состояние ш также слабо'-аполитично по этим параметрам (т.е. для любой локальной наблюдаемой А ее среднее ш(А) аполитично).

В Главе 5 мы применяем результаты предыдущей главы к модели АКЬТ. Эта модель определяется как одномерная £,£/(2)-инвариантная цепочка со спином 1 (т.е. Нх = С3, и в каждом Нх действует неприводимое представление группы 577(2)), гамильтониан которой имеет вид

н = ^2Р{2)( вь + Зк+О,

кеъ

где + Э^+х) — проектор на подпространство в Нк ® Нк+\ с пол-

ным спином 2. Гамильтониан АКЬТ можно выразить через вектор спина Э = (5х, компонентами которого являются проекции спина (генера-

торы представления группы БII(2)). С точностью до не влияющих на основное состояние линейных преобразований, все трансляционно-инвариантные изотропные цепочки со спином 1 и взаимодействием между ближайшими соседями образуют однопараметрическое семейство, которое можно записать в виде

Я9 = ^(со80(3*-Зк+1)+8т0(Зк-3*+1)2), ве [0,24 (5)

каъ

Модель АКЬТ при этом соответствует точке 0 = аг^

Известно, что модель АКЬТ обладает явно указываемым основным состоянием с экспоненциальным убыванием корреляций и спектральной щелью. Основной результат главы 5 утверждает, что эти свойства сохраняются при малых возмущениях модели. Пусть Ф = ^2кфк — любое трансляционно-инвариантное взаимодействие с конечным радиусом (т.е., конечным множеством Ао) на цепочке спинов-1. Мы рассматриваем возмущенную модель АКЬТ Н + Ф, исходя, как и в предыдущей главе, из периодических конечных цепочек А. Тогда

Теорема 5.1. Если ||<^|| < Р, с некоторым ¡3, зависящим от Ао, то все заключения теоремы 4-2 выполнены для возмущенной модели АКЬТ Н + Ф.

Доказательство заключается в представлении модели АКЬТ в виде относительно ограниченного возмущения некоторой классической модели в смысле главы 4. Мы показываем, что, если рассматривать модель АКЬТ

№

#AKLT

влкьт

Рис. 1: Корреляционная длнна и несоизмеримое волновое число q(0) в окрестпости точки AKLT

на достаточно большом пространственном масштабе, то такое представление имеет место с константами а, ¡3, удовлетворяющими условию теоремы 4.2.

В Главе 6 мы продолжаем исследование возмущений модели AKLT и рассматриваем численно обнаруженный ранее эффект перехода между "соизмеримой" и "несоизмеримой" подфазами, выражающийся в негладкой зависимости от в некоторых характеристик корреляционной функции (Sg S"), вычисляемой в основных состояниях однопараметрического семейства гамильтонианов (5). Численные эксперименты показывают, что

ДО") » const cos (qn + (6)

с некоторыми параметрами q, £ и ф, зависящими от в и имеющими как функции от в сингулярность в точке #aklt = arctg см. рис. 1.

В параграфе 6.2 мы даем нестрогое объяснение этого эффекта с помощью специального представления корреляционных функций модели в виде разложения по траекториям. Это разложение получается при помощи нелокального унитарного преобразования Кеннеди-Тасаки cxp{i7r5j^¡¿li приводящего основные состояния модели AKLT на конечном отрезке к фактори-зованному виду. Представляя основные состояния как предел низкотемпературных, корреляционные функции основных состояний возмущенной модели AKLT можно выразить в виде интеграла по траекториям дефектов факторизации (типичная траектория изображена на рис. 2а).

Мы рассматриваем приближение для корреляционных функций, получаемое, если ограничиться в указанном разложении лишь "минимальными" траекториями (как показано на рис. 2Ь). В таком приближении асимптотика корреляционных функций легко вычисляется, так как последние описываются одночастичной трансфер-матрицей, инвариантной относительно сдвигов и, как следствие, определяемой в Фурье-представлении одной матрич-

а)

Ф1

Рис. 2: а) Типичная траектория. Ь) Минимальная траектория.

нозначной функцией. Основной вклад в асимптотику при этом дается малой окрестностью значения 0 дуальной переменной р Фурье-представления. В невозмущенной модели АКЬТ Фурье-образ трансфер-матрицы при р = О имеет жорданову клетку, так что качественно разный характер асимптотики корреляционной функции при в > бдкьт и в < 0дкьт объясняется разным (вещественным или мнимым) направлением снятия вырождения собственного значении жордановой клетки при разном знаке возмущения. Прямое вычисление с помощью асимптотических методов в рамках рассматриваемого приближения минимальных траекторий дает

_ в < вАКШ,

* + у/30(°./ЛК'-т)(1 + о{в - 0АКЬТ)), 0 > 0АКЬХ,

№ = { йЬ + Л^Г^1 + °(в - ®АКЬТ)), 0 < *АКЬТ,

I ¿з + + о(0 - 0иат)), в > 0АК1Т,

что вполне согласуется с численными экспериментами.

В параграфе 6.3 мы строго доказываем существование рассматриваемого перехода для возмущений блочной модификации модели АКЬТ (теорема 6.1). Зафиксируем некоторое натуральное Ь и рассмотрим цепочку спинов-1 длины 2Ь на отрезке [п + 1,п + 2Ь] с пустыми граничными условиями. Модель АКЬТ с пустыми граничными условиями обладает 4-мерным пространством основных состояний на этой цепочке; обозначим через Рп+! п+2£ проектор на дополнительное подпространство. Рассмотрим гамильтониан _ Рк£+1,(^+2)1; в случае Ь — 1 это гамильтониан модели АКЬТ. Теорема 6.1 устанавливает, что если Ь достаточно велико, то при слабых изотропных возмущениях гамильтониана корреляционная функция имеет асимптотику, аналогичную формуле (6), причем параметры <2, £ имеют сингулярность, согласующуюся с численными результатами. Доказательство

9(0)

основано на кластерном разложении пространственно-временной эволюции, показывающем, что по крайней мере при больших Ь минимальные траектории действительно дают основной вклад в асимптотику.

В Главе 7 мы устанавливаем многочастнчную теорию рассеяния для класса стохастических динамик в решетчатых спиновых системах, включающего высокотемпературную глауберову динамику, стохастическую модель ротаторов и некоторые другие модели.

В параграфе 7.2 мы доказываем пертурбативную спектральную оценку общего вида, аналогичную оценке из теоремы 2.1, но с несколько отличающимися предположениями (теорема 7.1).

В параграфе 7.3 мы вводим понятие одночастичного подпространства кратности п и с помощью теоремы 7.1 доказываем существование таких подпространств при некоторых естественных предположениях, главным из которых является наличие изолированных собственных значений у генератора динамики, соответствующей нулевой обратной температуре (теорема 7.2).

В параграфе 7.4 доказан основной результат главы, устанавливающий, в предположении наличия одночастичных пространств, существование также и многочастичных состояний рассеяния. Пусть Я генератор рассматриваемой динамики, действующий в гильбертовом пространстве И. Пусть С/ — од-ночастичное пространство или прямая сумма нескольких таких пространств. Рассмотрим действующий в соответствующем симметрическом пространстве Фока оператор Я/, являющийся вторичным квантованием ограничения II\д генератора в подпространство С7, так что оператор II} описывает свободную совместную эволюцию произвольного числа одночастичных состояний. Тогда, при некоторых дополнительных предположениях технического характера:

Теорема 7.3. Существуют такие изометрические волновые операторы 1У± : ^(б) —> И, что 1!ап(ИЛ^ — инвариантные подпространства оператора Н, иН} =

В параграфе 7.5 общие результаты главы проиллюстрированы на примере высокотемпературной стохастической ХУ-модели.

Часть II

Данный раздел диссертации посвящен асимптотическим свойствам алгоритмов математической оптимизации, основанных на стохастических моделях, а

также некоторым тесно связанным с ними вопросами теории интерполяции. Он состоит из глав 8 10 и основан на публикациях автора [10,11].

Глава 8 представляет собой введение в часть II, в котором поясняются практический контекст и теоретические аспекты моделирования и оптимизации на основе гауссовских случайных процессов.

Глава 9 посвящена примеру несходимости оптимизации на основе ожидаемого улучшения, а также связанным с ним результатам о гауссовских случайных процессах.

Опишем оптимизацию на основе ожидаемого улучшения в ее простейшей форме. Мы решаем задачу минимизации функции / на отрезке V = [—1,1], прогнозируя ее поведение с помощью стационарного гауссовского случайного процесса £ на V с ковариационной функцией G(x, у) = G{x — у). Точки оптимизационной последовательности x\,xi,... выбираются посредством максимизации функции "ожидаемого улучшения" наблюденного значения функции по отношению к уже сделанным наблюдениям и соответствующему апостериорному процессу:

хк = argmaxE(/¿_1 - ттЦ^Ь)]^ = f(xk)}j£),

xEV

где Гк_х = mm^i,...^--! f(xk).

Мы рассматриваем случай ядер G с экспоненциально быстро убывающей спектральной плотностью. В параграфе 9.4 мы устанавливаем вспомогательный результат (теорема 9.1), показывающий, что задание значений процесса на любом бесконечном подмножестве отрезка в этом случае позволяет восстановить значения процесса на всем отрезке.

В параграфе 9.5 мы устанавливаем играющую ключевую роль в доказательстве основного результата двустороннюю оценку условной дисперсии апостериорного процесса. Предположим, что спектральная плотность G представлена в виде G(í) = е-5^4" = с !'¡) с некоторыми функциями S е С2{Ш+),Т е С2(Е), причем S'(t),S"{t) > 0 и Ит^+00 S'(t) = +оо. Этим предположениям удовлетворяет, в частности, гауссовское ядро G(x) = с\е~С2Х . Обозначим через Т* преобразование Лежандра функции Г. Тогда

Теорема 9.2. При достаточно больших К, следующие неравенства выполнены для любых К + 1 различных точек х, xi,..., хк £ [—1,1].'

е-к < МШи = < ак

где F(K) = Т'(2К + 1) - (2К + 1)\пК. Более того, F(K) монотонно убывает при достаточно больших К, и Нш^-_,+сп = —со.

В параграфе 9.6 мы доказываем основной результат главы.

Теорема 9.3. В предположениях теоремы 9.2, рассмотрим оптимизационную задачу на отрезке [—1,1] с целевой функцией f = —G. Предположат, что оптимизация с ядром G начинается из точки xi = 0 (т.е. точки настоящего минимума). Тогда оптимизационная траектория {хь}^ сходится к 0; в частности, траектория не плотна в [—1,1]. Более того, для достаточно больших К выполнены оценки е2Кр(1{) < <

Следствие 9.1. В случае гауссовской ковариационной функции G(x) = Cie~C2X существует такая целевая функция f G С°°([—1,1]), что оптимизация функции f, начинающаяся из точки Х\ = 0, не сходится к глобальному оптимуму в том смысле, что lim Д. / ттхев f(x), где j*K = min*;=1,..„к-/(а*).

В параграфе 9.3 мы приводим численные результаты, иллюстрирующие теорему 9.3.

В Главе 10 мы выводим явные формулы для ошибки интерполяции экспоненциальными и гауссовскими функциями и применяем их к доказательству экспоненциально быстрой сходимости оптимизации с помощью ожидаемого улучшения в случае аналитических целевых функций.

В параграфе 10.2 мы получаем явные формулы для ошибки интерполяции экспоненциальными и гауссовскими функциями. Обозначим через (jj„ оператор линейной интерполяции функции одной переменной линейной комбинацией функций etkZ, k = 1,... ,п, по значениям интерполируемой функции в узлах ц,..., хп е R. Рассмотрим матрицы X — diag(zi,..., хп), Т — diag(£i,.... tn) и, для заданного х G R, X — diag(x, х\,... ,хп). Пусть JS2nn • dv обозначает интегрирование по нормированной мере Лебега на единичной сфере S2n+1 = {v : |v| = 1} в Cn+1, а fV(nydU — интегрирование по мере Хаара на группе U(n). Пусть Pv : С" —> С"+1 обозначает любую изометрию между С" и ортогональным дополнением до вектора v 6 52n+1 в Cn+1. Обозначим также также через conv(X) выпуклую оболочку точек х, Xi,..., хп. Тогда с помощью формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера мы доказываем

Теорема 10.1. Для любой f 6 C"(conv(X))

f.^ fVM ¿У"**™ [ U'U (' _ Щ m\q=vi_ydvdu

fV(n)^TWXU)dU

Обозначим через ftj„ оператор линейной интерполяции функции од-нон переменной линейной комбинацией функций Д(х) = . к =

1,..., п, по значениям интерполируемой функции в узлах х\,..., хп е К. Тогда

Следствие 10.1. Для любой f £ C"(conv(A')),

■W fun (j - xk)]eq2/2f(g)\i=v^vdvdU

J4n)^TUKXU)dU

В параграфе 10.3 мы используем полученные формулы для оценки ошибки интерполяции.

Теорема 10.2. Пусть / аполитична в комплексной области Т> Э [а, 6], и dist([a. h\.dT>) > р > 0. Пусть I обозначает любую из интерполяций Iе, Iе или полиномиальную интерполяцию 1Р для последовательности попарно-различных узлов 2:1,2:2,... С [а, Ь]; в случае Iе предположим дополнительно, что существует R такое что |ijt| < R при всех к. Тогда

sup \f{x)~Inf(x)|<с(—)"

Р

с некоторой константой с = с(/, а, Ъ, р, Л).

В параграфе 10.4 мы используем полученную оценку для доказательства экспоненциально быстрой сходимости оптимизации в случае аналитической целевой функции.

Теорема 10.3. Рассмотрим оптимизацию (вещественнозпачной) функции f на отрезке [а, 6] методом максимизации ожидаемого улучшения с ковариационной функцией G(x) — е~х /2. Предположим, что f аналитически продолжается в такую комплексную область Т> D [а, 6], что dist([a, Ь),дТ>) > р > |6 — а|. Тогда /* := mink=i,...,n f(xk) сходится к глобальному минимуму /* функции / на [а, Ь], причем

fn-r = o((^r), „->00.

Часть III

Данный раздел диссертации посвящен асимптотическим свойствам локально-неоднородных случайных блужданий. Он состоит из глав 11 13 и основан на публикациях автора [1,2].

Глава 11 содержит введение в тематику локально-неоднородных случайных блужданий на решетке.

В Главе 12 мы доказываем принцип инвариантности для одномерного локально-неоднородного блуждания. Рассмотрим начинающееся из нуля случайное блуждание r¡t на решетке Z, переходные вероятности которого имеют вид

Р(т?т = l\t]t = к) = Pr(k ¿) = *(! -к) + V{1 - к, к).

Здесь функция тг предполагается задающей распределение вероятности на Z с нулевым средним и дисперсией а > 0, так что первый член описывает обычное несмещенное трансляционно-инвариантное блуждание. Функция V(k, I) рассматривается как возмущение и предполагается финитной, т.е. отличной от нуля лишь для конечного числа пар {к, I). Будем рассматривать траектории блуждания как ломаные и тем самым, в частности, как непрерывные функции. Для фиксированного п 6 N, рассмотрим вероятностную меру Рп на С[0,1], порождаемую данным блужданием с помощью масштабирования его траекторий ф до момента п по формуле ф i~> ф(п•). Далее, рассмотрим марковский процесс "с эластичным экраном в нуле", плотность переходных вероятностей которого имеет вид

х) = 7Ш Iе ^+ 7+ТSlgn* е ^)' (7)

с некоторым параметром у > 0. В параграфе 12.2, при некоторых дополнительных предположениях типа невырожденности (неприводимость невозмущенного блуждания и "просачиваемость в обе стороны" возмущенного блуждания) доказывается теорема 12.1, утверждающая, что последовательность мер Р„ слабо сходится при п оо к мере Р на С[0,1], отвечающей процессу (7) с некоторым 7.

В параграфе 12.3 уточняется, каким образом параметр 7 можно выразить через свойства исходного блуждания. В ходе доказательства теоремы 12.1 показано, что у стохастического оператора блуждания Tf(k) = Рг(к ~> 0/(0 существует такая инвариантная функция Н(к), что Н(к) = Ь±к + 0(1) при к -> ioo, и 7 = р. В параграфе 12.3 показано,

что у блуждания также существует инвариантная мера и<о (т. е. неотрицательная инвариантная функция сопряженного стохастического оператора Т*ги(1) = 0)> такая что и>о(к) = с± + о(1) при к ±оо,

и 7 =

В параграфе 12.4 приводятся результаты численного определения параметра 7 для одного примера локально-неоднородного случайного блуждания.

В Главе 13 рассмотрено обобщение локально-неоднородного блуждания на случай многомерной решетки 2" и показано, что скейлинговый предел блуждания является тривиальным, если подрешетка, на которой сосредоточено возмущение, имеет коразмерность больше 1 или если снос невозмущенного блуждания не направлен вдоль этой подрешетки.

Предположим, что задано разложение Ъ" = х 2", где т > 1, п > 0. Пусть выходящее из 0 блуждание имеет переходные вероятности Р(г/г+1 = у\г]( = х) = Рг(х —¥ у) = р{у — х)+у(х,у,у — х), где V — финитная функция, агиг обозначают для любого г € его компоненты соответственно из 1Г1 и 2". Пусть Ь = (5,5) обозначает среднее значение скачка невозмущенного блуждания, а А — матрицу ковариаций. Тогда при условии неприводимости блуждания и отсутствия ловушек имеет место

Теорема 13.1. Если Ь^О или т > 2, то распределение (щ — ЬЬ)/\Д слабо сходится при Ь —¥ оо к гауссовскому со средним 0 и матрицей ковариаций А.

В Заключении диссертации обсуждаются возможные направления дальнейшего развития связанных с ней исследований.

Список публикаций автора

[1] Яроцкий Д. А. Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на решетке Ъ // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 459-472.

[2] Яроцкий Д. А. Центральная предельная теорема для одного класса неоднородных случайных блужданий // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 5. С. 751-757.

[3] Яроцкий Д. А. Теория Пирогова-Синая для относительно ограниченных квантовых возмущений классических решетчатых моделей // УМН. 2006. Т. 61, № 2. С. 371-372.

[4] Yarotsky D. A. 'Free' Evolution of Multi-particle Excitations in the Glauber Dynamics at High Temperature // J. Stat, Phys. 2001. Vol. 104, no. 5-6. P. 1091-1111.

[5] Yarotsky D. A. Perturbations of Ground States in Weakly Interacting Quantum Spin Systems // J. Math. Phys. 2004. Vol. 45. P. 2134 2152.

[6] Yarotsky D. A. Scattering of Quasi-particle Excitations in Weakly Coupled Stochastic Lattice Spin Systems // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249, no. 5-6. P. 449 474.

[7] Yarotsky D. A. Uniqueness of the ground state in weak perturbations of non-interacting gapped quantum lattice systems // J. Stat. Phys. 2005. Vol. 118. P. 119-144.

[8] Yarotsky D. A. Ground states in relatively bounded quantum perturbations of classical lattice systems // Commun. Math. Phys. 2006. Vol. 261. P. 799819.

[9] Yarotsky D. A. Random walk analysis of the commensurate-incommensurate transition in the isotropic spin-1 chain // J. Stat. Phys. 2008. Vol. 130. P. 957-981.

[10] Yarotsky D. A. Examples of inconsistency in optimization by expected improvement // J. Glob. Opt. 2013. Vol. 56, no. 4. P. 1773-1790.

[11] Yarotsky D. A. Univariate interpolation by exponential functions and gaussian EBFs for generic sets of nodes //J. Approx. Theory. 2013. Vol. 166. P. 163-175.

Подписано в печать:

24.11.2014

Заказ № 103 74 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 wvw.autoreferat.ru