Спектральные методы решения задач о колебаниях диссипативных механических и электродинамических систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВШНИЯ

На правах рукописи

т

СБИЯЗИШНОВ Евгений Дмитриевич

СПШПРЛПЬШЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ ДИЮЛАТИВНЫГ ШАНИЧЕШЙ И ЭЛЕОТОДКШШЧЕСШ СИСТЕМ ' С РАСПРЕДЕЛЕКШЗй! ПАРАМЕТРАМИ.

Специальность 01.02.06 - ллнагопш, прочность машин, приборов,

аппаратура

Автореферат диссертации на соискания ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена в Институте проблем машиноведени Российской Академии наук, Санкт-Петербург,

Официальные оппоненты г

. доктор физико-математических профессор

доктор фцзийо-матёматиче ских профессор В.А,ШЪМоё, Доктор *ехни4бских наук, Профессор И.С.ШЕЙНИН

Ведущая организаций: НИИ АО "Электросила", Санкт-Петербург,

(Защита состоится У/ мая 1994 г, в часов на заседании спецйализированного совета Д 200.17Л31 при' Институте проблем машиноведения Российской академии наук по адресу:. Î99I78, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр.,61.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просим направлять в адрес специализированного совета при Институте проблем.машиноведения Российской академии наук: I99178, Санкт-Петербург, B.Q., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан /$ сг/уэ&ля 1994 г. Ученый секретарь специализ1фованноГ9 совета

В.П.ГЛИНИН

наук, наук, .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ. Современный уровень развития машиностроения в развитых странах предъявляет повышенные требования к надежности, функциональности, материа мо- и энергоемкости создаваемой продукции ■ этой отрасли промышленности. Производство конку^ентноопособных машин - генераторов, двигателей, других преобразователей энергии,- невозможно без эффективных, сочетавших высокою точность и простоту* способов раочетно-экспериментального (Аодёл^ванйя Механических^ й физических • процессов, взаймосвязаШвд йейду собой , $ лежащих В основе их функционирования. Вот почему весьма актуальны задачи поотроения расчетных Müasiéfi:* йдеквётных реажьвф,- йреобраёователям энергии относительно определенной интересующей сйстёи» fek. характеристик,, й развития .эффективных средств, Исследования зтйх Моделей • с использование^ bospeítóao. éírtóojiHteibiató' средой;'/

Взаймосвязанность физических процессов особенно отчетливо проявляется в мощных и высокоиспользуемых Машинах, Так, в турбогенераторах, являющихся самымй мощными й экономичными машинами (единичное Мощности й КГЩ достигаю? соответственно 1000 МВт и 99%), вращающиеся. электромагнитные поля создают переменные усилия, действующие на йх' элементы й вызывающие механические вибраций. В стационарном режиме работы колебания элементов машины являются источником шума, приводят к усталостным разрушениям и, повышенному расходу энергии на преодоление сил трения, т.е. снижают важнейшие показатели надежностй ' и экономичности. В нестационарных переходных режимах переменные электромагнитные усилия возрастают в десятки раз По срагмеяЙвс йоШтзяЫ* й Могут приводить к серьезным авариям. Аналогичные проблемы актуальны и для других Машин: в авиационных газотурбинных двигателях, например, более 60% отказов в ,процессе эксплуатации Вызвано разрушением деталей конструкции из-за к£ Недостаточной прочности, причем 70% из этого количества — вследствие значительных • вибраций. Таким образом, важным средством nqBüróltiirt. надежности создаваемых машин является достоверно? определение переменных усилий, действующих на их элементы, й вибраций* определяемых инерционно-упругими и диссйпативными параметрами, на ранних этапах проектирования. . ; / . ,

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развитие единого спектрального (использующего

собственные форлы л частоты механических или электромагнитных колебаний при простых областях и условиях на границе) подхода к решению диссипативных (сопровоздаюдахся рассеянием механической или электромагнитной энергии) комплексных задач динамики Я прочности -машин на основе решения краевых {стационарных)/^ начально-краевых (нестационарных) вадач динамики деформируемых твердых т^Л (трехмерных, ободочек, стержней), акустики и электродинамики.' Создание эффективных вычислительных процедур V ориентацией на ЭВМ средних .'возможностей и ресурсов (типа 1ВЙ..Р0 АТ 286), Прикладной расчет ряда заДач электро- й энергомашиностроения,

НАУЧНУЮ НОВИЗНУ составляют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:

обобщение функционалов Лаградаа и Рейсснера, условия стационарности которых эквивалентны краевым задачам, акустики, динамики дефорытруемых твердых тел (трехмерных, в т.ч. неоднородных и аюгаотропных, оболочек, стержней), влектродинамики, со смешанными сложными или неоднородными граничными условиями, на случай рассеяния соответствующего вида энергии (механической или электромагнитной) при условии малости' диссилативного параметра, который можно рассматривать, как возмущение;

- реализация вариационных постановок задач о колебаниях диссипативных механических и электродинамических систем посредством прямых методов, приводящих к системам комплексных линейных алгебраических уравнений Невысокого порядка. В частности, из вариационных условий для диссипативных систем со сложными смешанными условиями На границе области следуют видоизмененные проекционные условия Бубнова-Галеркина, отличие которых от проекционных условий для недиссипативных систем заключается в том, что проектирование уравнений и граничных условий осуществляется на комплексно-сопряженные координатные функции. Проекции уравнений и граничных условий входят слагаемыми в единые проекционные уравнения, и вариационный подход к их Получению определяет правильную постановку знаков между этими слагаемыми,* .

- оценка эффектов введения в расчетные модели акустических, механических и электродинамических систем наиболее распространенных источников рассеяния энергии: вязкости и

теплопроводности сжимаемого газа, внутреннего трения деформируемого твердого тела, инерционности перемагничивания ферромагнитного материала;

- развитие спектральных подходов к решению задач о колебаниях дисСшатйшнх . Механических и эле ктродинамиче ских систем с распределенными параметрами при сложных или неоднородных граютпшх условиях, согласно которым В качестве базисных функций прямого вариационного метода используются собственные формы механических или . электромагнитных колебаний при простых

. геометрических форма! областей й простых однородных граничных условйях;

- построение автомодельных спектров поперечных колебаний' балок произвольной высоты поперечного сечения для простых и сложных условий закреплений концов. Для случая простых граничных условий, йесткого олираняя проведен сравнительный айализ спектров, построенных по трёхмерной Динамической теорий упругости, а также, уточненной (Тимошенко5 Й технической* Берну лли-Эйл ера) балочный теория^. Для произвольных условйй закрепления концов» в рамках уточненной теории изгиба; предложен простой Приближенный способ определения собственных Частот колебаний балкй Тймошенко, основанный на использовании Корней характеристического уравнения балки Бернуллй-Эйларё при тех же условйях закрепления, но гораздо более точный, чей непосредственно по технической теории;

- формулировка вариацйонйого принципа для начально-краевых (Нестационарных) диссипативных задач динамики деформируемого твердого тела й электродинамики, рассеяние энергии в которых обусловлено как трением й электропроводность*), так и временной дисперсией тензоров Податливости (ползучесть вязкоупругого материала), диэлектрической й магнитной проницаемостей, а также спектральный операЦйонный метод йх ретейия, приводящий К системам комплексных линейных алгебрайческйх уравнений}

- формулировка вариационного принципа для. ааЧально-краешх (нестационарных) задач явлений переноса (электропроводности, • теплопроводности, диффузии, вязкости) в - средах с памятью и прямого операционного метода их решения;

- решение комплексных задач дйнамйкй и. прочности электро- и .энергомашин на основе единого спектрального Подхода; расчет [переменных электромагнитных полей и усилий,. ■ действующих kà ^элементы турбогенератора - сердечник статора (толстостенный

ортотропный цилиндр с упруго-инерционным внутренним зубцовым слоем) и замоноличенные лобовые части обмоток (композитная неоднородная вязкоупругая оболочка), идентификация юс упругих и вязкоупругих характеристик, определение вибраций под действием этих -электромагнитных и электродинамических сил, расчет нестационарных колебаний турбоагрегата в анормальных, переходных рёгашах,'определение частотных спектров турбинных и компрессорных лопаток высокого поперечного сечения со сложными условиями закрепления.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ определяется предложенными вычислительными процедурами, позволяющими. решать комплексные практические задачи динамики и прочности машин едиными спектральными подходами, требующими весьма скромных вычислительных средств. Созданные методики и результаты расчетов внедрены в НИМ АО "Электросила" и ВНИИГидротехшвш.

ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, адекватных реальным объектам относительно интересующей системы их характеристик, строгостью и корректностью математических выкладок, оценками погрешностей аппроксимаций и сравнением полученных результатов с экспериментальными данными.

АППРОБАВДЯ. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном научно-техническом совещаний "Динамика энергетических сооружений" Москва, 1981), Всесоюзной • конференции "Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений" (Нарва, 1985), . Всесоюзной конференции "Научные проблемы современного энергетического машиностроения и их решение" (Ленинград, 1987), Всесоюзной конференции "Проблемы виброизоляции малаш и приборов" (Иркутск, 1989), Всероссийском научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин" (С.-Петербург, 1993), научно-технических конференциях ЙМат и, ИПМаш РАН, семинарах кафедры "Механика и процессы управления" ЛГТУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 37 печатных работ и выпущено 52 научно-технических отчета по.НИР.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертационной работы - 432 е., в том числе 300 с. машинописного текста, 98 с. рисунков, II таблиц и список литературы на 22 Н., содержащий 268 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обосновала актуальность проблеш, формулируется цель и задачи работы, а также кратко излагается ее содержание.

В последнее время в связи с интенсивным прогрессом техники возникла необходимость в решении'разнообразных и нередко весьма сложных задач о колебаниях диссипативных механических и электромагнитных систем с распределенными параметра?.«!. В решение этих задач . большой вклад .'. внесли Э.Л.Аэро, В.Л.Бидерман, И.А.Биргер, И.й.Блехман, Г.И,Богомолов, В.В,Болотин/ !£.Васидзу, В.Л.Вейц, А-И.Весщщкий, А.О.Вольмир) Ю". С. Воробьев, Й.Й.Ворович,

A.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, П.А.ЖилйН^ А.Ю.ЙпштскиЙ,

B.А.Коноплев, К.С.Колесников, А.Г.Костюк, ..' А.Е.Кочура, И.Д.Кузнецов, В.Б.Курзин, А.И.Лурье, Ю. й.Мещеряков, Р,Ф.Нагаев, В.А.Пальмов, Я.Г.Пановко, ■ В.В.Парцевский, М.Е.Подольский, Г.С.Писаренко, Э.Л.Позняк, Ю.Н.Рабйтнов, Э.РвЙсснер, В.М.Богачев,. Л.А.Розин, Ю.Н.Сайкин, Л.Й.Седов,' Л.Й.Слепян, Е.С.Сорокш, А.П.Филиппов, В.М.Фридман, ' К.В.Фролов," К.Ш.Ходзкаев, И.С.Шейнин, Н.Г.Шулыкенко, Л.А.ВайнштэйН, А.С.Ильинский,' - Г.В.Кпсун'ько, И.В.Лебедев, В.В.Никольский, А.А.Самарский, - А.Н.Тихонов,

A.И.Вагонов, А.И.Вольдек, М.А.Глебов, Я.Б.Дакилевич, К.С.ДешрЧпн,

B.В.Домбровский, Г.А.Загородная, Г.М.ХуторвцккЛ, А.В.Иванов-Смоленский, А.А.Каримов, Б.А.Решко, В.Л.Чечурин п шюгио другие ученые.

Системы с распределенными параметрам!! не всегда удобно приводить к конечномерным: физически это не оправдано, например, для сплошной среда или электромагнитного поля в ' отсутствие сосредоточенных элементов. Возникающие при этом математичес1Стз постановки задач лишь в отдельных случаях могут быть реализованы точно. Едшствешшм выходом из этой ситуации служит использование приближенныхк методов, позволявши, находить решения возросших По сложности задач с достаточной точностью. '.-.''

Среди приближенных способов решения задач о колебшшях диссипативных систем с распределенными • параметрам! - дшагдпа! деформируемого твердого тела, сжимаемой йздщостп и газа, электродинамики,- весьма перспективными представляются спектральные методы, основанные ка вариационных принципах. .Под вариационным принципом понимается!■эквивалентность рэвзшш кразвой или начально-краевой задз,;| • условию стащ1о.Иарности

соответствующего функционала. Используется прямой вариационный метод, согласно которому решение ищется в виде линейной комбинации- элементов выбранной системы базисных функций,, обладающих некоторыми свойствами' искомого решения. Такими свойствами решений диссшативных задач динамики механических систем и электродинамики являются взаимообратймые процессы превращения -различных видов энергии - соответствующих консервативных систем. Для механической энергии такими видами являются кинетическая и потенциальная энергия распределенной. системы, для электромагнитной - энергия электрического' и магнитного полей. Колебательный ""характер механических и электромагнитных систем проявляется в наличии у них спектров собственных форм и частот, обладающих определенными свойствами, вытекающими из свойств операторов задач. Собственные формы механических или электромагнитах колебаний и используются в качестве Оазисных функций спектральных прямых вариационных методов. Подлежащие определению множители - коэффициенты аппроксимации,- представляют собой числа или функции меньшего числа переменных, чем искомое решение. Эти множители находятся из условия обращения в ноль вариации функгионала' (вариационное условие). Таким образом, для составления алгоритма прямого вариационного метода достаточно иметь в распоряжении функционал, которому искомое решение сообщает стационарное, а не обязательно экстремальное значение.

Особенно . полно вариационные принципы применительно к системам с распределенными параметрами разработаны для задач статики и основаны на экстремальности функционалов Лагранаа, Кастильяно и стационарности функционалов Рейсснера, Ху-Вашицу и других. Для определения нестационарных колебаний распределенных систем и условий их устойчивости широко используются подходы, основанные на применении вариационного уравнения Лагранжа и пршщипа Гамильтона-Остроградского. Известны вариационные-принципы для установившихся вынухщенных колебаний распределенных Систем без учета- диссипации, когда вариациошше функционалы Лагранжа. или Рейсснера, • условия стационарности которых эквивалентны соответствущим краевым задачам, заданы на классе вещественных искомых функций. Учет ке рассеяния энергии приводит к фазовым сдвигам между налряка ниш/л и деформациями!упругих тел, напряженностями и индукциями электроиапштшх полежи переводит

искомые амплитуда векторов установившихся • механических или электромагнитных колебаний из вещественной оси на комплексную плоскость. Класс функций, на которых ищется решение, расширяется из вещественного векторного 'пространства в комплексное. Основываясь йа асимптотическом разделении Модулей и фаз искомых комплексных амплитуд; по порядку малости, в настоящей работе удается подобрать Вариационные функционалы и Для диссштатйвных краевых задач об установившихся : колебаниях деформируемого твердого тела {в смешанной постановке, давшей возможность рассмотрения анизотропных, неоднородных тел, со сложными смешанными неоднородными условиями, на границах), ' сжимаемой жидкости или газа, электромагнитного поля. Для нестационарных механических или . электромагнитных колебаний 'вводятся б рассмотрение наследственные интегро-дифференциальные операторы, учитывающие память среды в определяющих уравнениях (временную дисперсию упругих или электромагнитных поотояйных материала* среды). Учет временной дисперсии упругих, а таккэ электрических и магнитных характеристик сплошной среда, (зависимость деформации и индукций от напряжений и напряженностей не только 8 данный Момент времени, но и во все предавствущие) в определяющих уравнениях упругой динамики й электродинамики в частном случае стационарных гармонических колебаний как • раз и •дает описание рассеяний механической энергий вследствие' внутреннего трения по модели вязкоупругого материала и электромагнитной энергии - из-за инерционности перемагничивашя и поляризации материала среды. .

Традиционно при реализаций прямых методов объем вычислений резко возрастает с увеличением числа искомых мноаителей, т.е. с увеличением номера приближений. В. настоящей работе особым выбором базисных функций - собственных форм механических ил» электромагнитных колебаний,- удается достичь незавйсммостй объема вычислений от числа, искомых коэффициентов аппроксимации, определяющего точность решения, Саш же спектральные характеристики, используемые при .построении решения, находятся Из рассмотрения однородной краевой задачи для наиболее простой форда области при наиболее простых граничных условиях. Пря составлешш результирующей системы относительно аппроксишрукаях коэффициентов также используются . опрвделэнше . интегральные свойства спектральных характеристик. Все 'это дает возтдагмость моделировать колебания достаточно .сложных систем г на

вычислительной технике самых скромных возможностей.

Из всех распределенных диссипативных механических (упругие трехмерные Тела, оболочки, стержни, снимаемые газ или жидкость) и . электродинамических (электромагнитные поля) систем наиболее важную практическую роль играют системы, характеризуемые малым рассеянием механической или электромагнитной энергии. Количественно малость параметра диссипации Д легко установить по характеру свободных затухающих, колебаний системы: они должны носить колебательный, но не апериодический, характер, хотя бы п<" нескольким низшим формам свободных колебаний. Вынузденнш колебания диссипативных систем характеризуются комплексными амплитудами А = Aoexp(i%), содержащими две вещественные функции; Aq и х (модуль, если Aq £ О, и аргумент комплексного числа). Типичные частотные характеристики для вещественных амплитуд А0 и фаз % установившихся вынужденных колебаний распределенных систем имеют вид, изображенный на рис. I. а, б, где фазочастотная характеристика %(Л), в отличие от традиционного представления, имеет область изменения не от 0 до тс, а эквивалентную ей - от -тс/2 до тс/2, а амплитудно-частотная ÁQ{к) - знакопеременная, Такое изображение ФЧХ позволяет заметить вагчую особенность: при малом параметре рассеяния энергии, Д 0, фаза % ~ величина того же порядка малости, что и А, и более высокого, чем амплитуда .А . Действительно, наличие фазовых углов % определяется только наличием диссипации: при А = 0 % з о за исключением точек устранимого разрыва на резонансах X = \Q, где х - ±гк/,2» тогда как амплитуды колебаний недиссотативной системы всегда иле ют какие-либо конечные или неограниченно возрастающие йа резонансах значения: Ао £ 0. Иначе говоря, при отсутствии потерь энергии вследствие рассеяния А = 0 фазовые углы отсутствуют: % s 0 (кроме точек устранимого разрыва), и комплексные амплитуда становятся вещественными: А = Aoexp(ix) = Ао- Таким образом, входящие в комплексные амплитуда А вещественные функции Ао и % различаются ' по порядку малости при А 0. Учитывая, что амплитуда и фаза имеют разные размерности, а для распределенных систем - функции точек области, асимптотическое соотношение формулируется для их норм:

А А

Ixi » 0(м » 0(|AoS) , при А -» 0 ,

где J | означает норму функции, определенной в области П = П + Г, О - одинаковый порядок малости, ар- более высокий при Д 0. '

К | |А|

Рис. I

о л

о

я

ш I

Это асимптотическое соотношение выполняется при любых частотах.

вынужденных колебаний, т.к. при А 0 отношение 1х|/ 1А | 0 в обоих случаях: вне резонансов - это отношение нуля к конечному числу, а на резонансах - отношение %/2 к бесконечно большому числу. Указанное асимптотическое соотношение и позволяет формулировать вариационные принципы для стационарных вынужденных колебаний распределенных систем разной физической природы с учетом рассеяния энергии.

В первой главе рассмотрен СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДЙССИПАТНВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ. Предлагается вариационный принцип для гармонических колебаний упругого тела (трехмерного, оболочки, стержня) о учетом рассеяния механической энергии, обусловленного, внутренним, внешним и конструкционным трением. Нелинейные характеристики конструкционного демпфирования заменяются эффективными линейными по какому-либо критерию, например, адекватными исходным относительно рассеяния энергии за цикл колебаний. Формулируются диссипативная неоднородная краевая задача теории упругих колебаний со сложными смешанными граничными условиями, обусловленная неоднородностью как уравнений, так й граничных условий, и функционал, , условие стационарности которого.

эквивалентно этой диссипатнвной краевой задаче. Из условия равенства нулю вариации этого функционала (вариационного условия), - в частности, следуют проекционные условия Бубнова-Галеркина для диссипатнвной краевой задачи с неоднородными граничными условиями. Отличие их от соответствующих проекционных условий для недиссипативной задачи заключается в том, что проектирование уравнений и граничных условий осуществляется на комплексно-сопряженные координатные функции. Применением прямого вариационного метода задача сводится к системе комплексных линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов аппроксимации, Подход демонстрируется на примере решения задачи о вынуэденных колебаниях вязкоупругого тела под действием поверхностных сил. Оценивается эффект введения в математическую модель рассеяния механической энергии. Показывается, что учет диссипации существенно необходим в околорезонансных и высокочастотной областях колебаний.

Задача о гармонических колебаниях упругого тела (трехмерного, оболочки, стерашя), занимающего область П, описывается системой дифференциальных уравнений, 'в операторной форме имеющей вид:

Dx - а.2яу - USy = f , D*y - Bx - im = e (П) (I) при сложных смешанных условиях на границе тела Г = Г +• Г :

X + R Y - i\S Y = F (Г, ) , Y + В X - 1AP X = È (Г* ) , (2)

г г 1 г г г

.где х, у - искомые комплексные амплитуды векторов усилий и перемещений в области П, а X, Y - на границе Г; f, е - заданные амплитуды векторов внешних объемных сил и деформаций в О, a F, Е - поверхностных сил на Г^ и перемещений граничных точек на Гг соответственно; D, D* - операторы дифференцирования по пространственным координатам, не содержащие характеристик физических свойств среды, вид которых определяется выбранной системой координат. Все остальные операторы - алгебраические, учитывающие физические свойства системы с распределенными параметрами: R, В •- инерции и податливости; S, Р - внешнего и внутреннего трения в П; R , Вг - динамических кесткостей и податливостей прилегающей к В среды в точках ее границы Г = Г + Гг ; S^, Р^ - эквивалентные линейные операторы конструкционного демпфирования на Г4 и Гг соответственно. Конкретный вид векторов и операторов для упругих тел различной размерности приведен в

диссертации.- Основной смысл введения операторной формы записи Краевой задачи (I), (2) заключается в том, что введенные операторы обладают рядом характерных . свойств, позволяющих Использование вариационных принципов. Учат рассеяния механической ¿Цергни й моделирований упругих колебаний переводит искомые амплитуды векторов из вещественной оси на комплексную плоскость,. Поэтому все применяемые в дальнейшем свойства операторов в ¡Настоящей работе приводятся для пространства комплексных векторных функций, Дифференциальные операторы О, D* обладают свойством сопряженности по Лагранжу:

J M = J X'DJ dfl - г>С K-Y dr , (3)

^де чертой отмечены комплексно-сопряженные • величины, алгебраические операторы R, В, Н^, Br* S, Р, S^ Р^ -самосопряжешые. . ,

При постановке диссипативной краевой задачи (I), (2) о Гармонических колебаниях упругого тела относительно комплексных, амплитуд х, у временной множитель был принят в виде exp(-ihtf. При выборе временного множителя в виде ехр(Ш) краевая задача относительно, комплексно-сопряженных амплитуд х, у выглядит. Ьледувдим образом:

Dx - A.2Ry + USy = ? , D*y - Вх + 1Ш = ё (П) (4) 1 + R Y + Ш ? = F (Г ) , Y + В X + JAP X = Е (Г ) . (5)

г г » г г z

Вадачу (4), (5), отличающуюся от (I), (2) лишь направлением ¡вращения фазового вектора ехр(±Ш), будем называть сопряженной. Формально сопряженная задача. отличается от основной лишь Противоположными знаками перед дассипатйвными операторами S, Р в Уравнениях, заданных в П и S^, Р^ - в граничных условиях на Г( и Гг. Вместе с тем основная и сопряженная задачи - двойственны в том смысле, что если известно решение х, у одной из них, то комплексно-сопряженные им векторы х, у - решение другой. Следовательно, достаточно определить решение либо основной, либо сопряженной ей диссипативной краевой задачи;

Решение диссипативной краевой задачи (I), (2) равносильно условию Стационарности функционала 1 (х, у), заданного на классе комплексных дифференцируемых В П функций х, у: 1(х, У) =

= \ |n|[(Dx-\zRy-i\Sy-2f).y + х• (D"У-Вх-iAPx-2e) + (6) • + (Dx-\*Ry+iW3y-2T).y + x.(D*y-Bx+iXPx-2ê)] dO +. + r /[(X+RY-iASrY-2F)'Y * (X+RrT+ 1AS rt-2F ) • y] dT — .

Х[Х«(У+ВгХ-Ш'гХ-2Е) + Х-(7+ВрХ+ШрХ-2Е)] 6Г } .

Для доказательства смешанного вариационного • принципа показывается, что вариация функционала (Б) с использованием свойств оператрров и асимптотических соотношений между фазами и амплитудами колебаний равна нулю:

е 1<х, у) = 0 . (7)

Вариационное условие (7) приводит к вариационным условиям для основной

Д ^(Вх-Д.гйу-Шу-Г).еу + бх.(В*у-Вх-1ЛРх-е^ (Ю + (8) + X (Х+Н У-ЛХБ 6Г - г X еХ'(У+ВгХ-1ЛРгХ-Е) бг = о

и сопряженной

Д [(Бх-^Ву+Шу-ТЬбу + бх.(В*у-Вх-Ш>х+ё)] 6П + (9)

+ Г (Х+й 7+1X8 7-Р)-бУ бГ - Г бХ-'(7+в Х+1АР Х-Е) бГ = о г,-1 г г гга г г

диссипативных краевых задач теории упругих колебаний, а

полученные вариационные условия (8) или (9) дают способ

построения их приближенного решения. Выбираются две

последовательности линейно-независимых, в общем случае

комплексных, базисных векторных функций , у , 1 = 1, 2,...,

дифференцируемых в П. Выбранные последовательности. базисных

функций должны быть полными в том смысле, что для аппроксимаций

искомых комплексных амплитуд усилий и перемещений х, у могут быть

использованы приближенные представления:

1£1 С1

1= I I»1

.где а , р , 1 = 1, I - неизвестные комплексные коэффициенты, число которых конечно. Тогда

1=1 I=I

а вариации (II) имеют вид:

Ох - £ Оа, х. , бу = | б£. у. , (12)

' 6Х Лба1 ^ , 07«^ 7С .

1 1 I е*, 1 1

Подставляя (12) в вариационное условие (8), в силу независимости и произвольности вариаций ба1, брс получаем систему уравнений

1?. Л. И

/(Dx-A^Ry-iASy-f) >y. dfl + /(X+I^Y-iXS Y-F) -7. (1Г = 0 , (13)

Д .(D*y-Bx-ttPx-e)dO _ д . (у+в x-ttPrX-E)dT = 0, i = TTT.

Уравнения (13) - полученные как следствия вариационного условия (7) или (8) проекционные условия Бубнова-Галеркина на случай диссипативных краевых вадач теории упругих колебаний со сложными смешшошми неоднородными граничными условиями. Отличие их от соответствующих проекционных условий для недиссипативной краевой задачи заключается в том, что проектирование уравнений и естественных Граничных условий-i осуществляется на комплексно-сопряженные координатные функции. Проекции невязок уравнений и граничных условий входят слагаемыми . в единые проекционные уравнёния (13). Вариационный способ их получения определяет правильную постановку знаков между этими слагаемыми, а именно, "+" - в первом уравнении и - во втором.

Представляя в проекционных условиях (13) х, у и X, Y в виле. отрезков рядов (10) и меняя порядок интегрирования и суммирования, приходим к комплексной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов аппроксимации а. , р. , i = ï, L Решив эту систему, по (10) находим комплексные амплитуды х, у. В качестве, базисных функций , у , i = 1, i наиболее удобно использовать собственные функции однородной краевой задачи, соответствующей исходной (I), (2) или (4)j (5), с нулевыми диссипативными операторами, А = шах (JS|, jPf, |Srf, |PrJ) = О, где | | означает норму оператора, являющиеся собственными формами колебаний механической системы без рассеяния энергии: *

DX - a.zRy « О , D*y - Вх = О (П) <14)

Х = 0 (Г( ) , У = О (Гж1 , .Г, + Tz « Г . (15)

В этом случав оазисные функции - вещественные и удовлетворяют условию ортонормированности. Значения ряда коэффициентов СЛАУ при этом упрощаются. Помимо упрощения результирующей СУ1АУ, выбором вещественных собственных форм колебаний соответствующей консервативной механической системы в качеств? базисных функцйй достигается и другое важное преимущество. Вся информация о фазовых сдвигах компонент векторов усилий и перемещений, обусловленных диссипацией, содержится только в комплексных коэффициентах а, pt, i = ГГТ аппроксимаций (10). Это значительно упр^ает вычисление вещественных и мнимых частей.

ТТ

1U

интересующих компонент искомых векторов х, у для дальнейшего определения их амплитуд и фаз. При сложных или неоднородных исходных граничных условиях, с целью улучшения' сходимости": функциональных рядов вблизи граничных точек указанная система базисных функций дополняется ограниченным числом собственных функций х^, у, ;} = Т7~3 однородной краевой задачи, состоящей из уравнения .(14) ч граничного условия: .

У а 0 (Г ) , X = О (Гг) , Г, + Г, = Г . (16)

И, наконец, в случае сложной формы области П, препятствующей простому и точному нахождению собственных функций, в качестве системы координатных функций, используются решения однородных краевых задач (14), (15) для более простой области П°, включающей в себя исходную, П е. 0°, с дополнением этой системы базисных функций ограниченным числом функций х~, уг, 3 = ТГ~3, разрывных на границе Г исходной области П:

XV _ / 0 , П V, Л 0 , П

Ь - 1 X , п°-п ' ^ - I у , п°-п • & этих обоих' случаях задача сводится к системе 2J линейных алгебраических уравнений относительно небольшого фиксированного числа 2J дополнительных коэффициентов аппроксимации а , Ь. , 3 = Т7Т независимо от числа 21 основных коэффициентов а1, р. , 1 = ГП- Основные г.э коэффициенты а. , , 1 = Т7~Г выражаются через дополнительные а., Ь., 3 = 1, Л линейным образом. Отметш, что число координатных функций х- и у-, как и соответствующих коэффициентов а. и Ь^ , в этих дополнительных аппроксимациях усилий и перемещений не обязательно должно быть одинаково и определяется числом граничных условий, которые должны быть удовлетворены посредством их.

В качество примера приведены результаты численного моделирования плоских осесимметричных колебаний вязкоупругого цшшндра радиуса го под действием переменного давления амплитуды Р на его внеиней поверхности. Учет диссипации механической энергии определяется конкретным видом коэффициента внутреннего трения Д. Принятие различных реологических моделей приводит к различному виду функциональной зависимости А от частоты колебаний X. При использовании модели Фойхта, например, потерн энергии на внутреннее трение в материале пропорциональны частоте: А = с: Л -7 0, где 0 = (\/с) го - безразмерная частота колебаний,) 7 -частотнонезавискшй безразмерный коэффициент пропорциональности,

определяемый вязкоупругими свойствами материала; 'с = 7 rjc -размерный коэффициент пропорциональности, с - скорость-распространения дилатацйонных упругих волн в неограниченной среде без внутреннего трения.

Для ряда значений безразмерного диссипативного параметра 7 = 0; 0,05; 0,10 построены амплитуда |o|/F = [Re®(о) + Imz(о)]1'г/Т (рис. 2.а) и фаза % - arctg tIr.(o)/Re(o>] (рис. 2.6) нормального напряжения о = ог = О0 на оси цилиндра как функции безразмерной частоты б. При отсутствии диссипации, 7 = 0, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) имеет неограниченно возрастающие-резонансные пики в местах расположения, собственных частот колебаний; кроме того, наблюдается общее возрастание амплитуд колебаний с увеличением частоты. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) при этом является разрывной функцией, равной нулю вне резонансов и скачком принимающей в них значения ± тс/2. Наличие диссипации, 7 * О, приводит не только к количественному, но и К. качественному, изменению частотных характеристик. Прежде 'всего, на Высоких частотах учет даже Малого рассеяния принципиально необходим: вместо общего нарастания амплитуд колебаний, имеющих резонансный характер, происходит установление их.на незначительном постоянном уровне без резонансных пиков. На низких частотах учет рассеяния механической энергии существенен в околорезонансных областях, приводя к ограничению таил амплитуд колебаний,' в тем большей степени, чем выше частота. Таким образом, при моделировании резонансных процессов механической системы введение ее диссипативных характеристик играет такую же первостепенную роль, как и упруго-инерционных. В противном случае становится неясным, какой именно резонанс обеспечивает наибольшее усиление колебаний, АЧХ дает важный практический вывод: реально, с учетом диссипации, максимальное усиление колебаний в данной системе происходит именно на основном (низшем) резонансе. ФЧХ с учетом рассеяния становится непрерывно меняющейся вне резонансных частот функцией, принимающей на них те же значения ±. тс/2,' что и. без потерь внергии, т.е. происходит сглаживание околорезонансных скачков ФЧХ. Точки экстремумов АЧХ и соответственно . разрывов ФЧХ, отвечающие резонансным частотам, с увеличением : диссипации, смещаются по частотной оси влево.

Следует отметить весьма высокую скорость сходимости результирующих функциональных рядов (5). Число резонансных

А

областей на частотных характеристиках недиссипативных систем, Л = О, совпадает с числом I удерживаемых пар базисных функций х. , у. , 1 = Т7~1, поэтому выбор длины отрезков .аппроксимирующих рядов (10) определяется верхней границей исследуемого диапазона частот-Учет же рассеяния энергии, А г5 0, приводит к качественным изменениям частотных характеристик, "забивая" все высокочастотные резон&лснне области, Поэтому выбор числа I удерживаемых базисных функций для Моделирования колебаний диссипативной системы определяется не только верхней грантлей интересующего диапазона частот, но и величиной диссипации А; чем выше* рассеяние механической энергии колебательной системы, тем Меньшее число I координатных функций необходимо для ее адекватного описания в определенном частотном диапазоне. Так, в рассмотренном йримере для моделирования гармонических колебаний . ■ в интервале, безразмерных Частот а ^ б з* 30 при 7 ' * 0 требуется 10 координатных функций, тогда как при 7 а о,05 - б, а при 7 = 0,10.

только -3. Особенно Отчетливо количество резонансов диссипативной системы проявляется На ФЧХ посредством числа точек разрывов: в рассмотренном примере в интервале частот 0 £ б £ 30 при 7 = 0 ФЧХ %(б) терпит 10 точек устранимого разрыва на резонансах (% н о вне резонансов, % = * х/2 - на них), .тогда как при 7 = 0,05 - 5 точек разрывов первого рода (% ? О ёнэ резонансов, % - * я/г - на них), а при 7 = 0,10 - только 3.

Точки экстремумов АЧХ и разрывов ФЧХ б* даются выражением: -б* = б4/(1 + А2)1'2 N б. (1 А*) , где бс - безразмерные собственные частоты соответствующей недиссипативной системы. И на АЧ, и на ФЧХ видно прогрессирующее смещение резонансных точек б* влево о ростом диссипации А « 78 в системе.

Метод позволяет эффективно. моделировать диссипативные. механические колебания во всем частотном диапазоне, включающем околорезонансные и высокочастотные областй,. где значительна процессы рассеяния энергии. В остальных областях частот, где диссипация проявляется слабо, результаты • расчетов оказываются близкими к соответствующим результатам без учета рассеяния. .

Другой способ учета трения, связанный с разложением комплексной матрицы результирующей системы уравнений в ряд . по степеням малого параметра - коэффициента, демпфирования,- применен .1 главе 6.

Во второй главе описывается СПЕКТРАЛЬВД МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИССЙПАТИВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ, Предлагается вариационный принцип для акустических колебаний вязкого теплопроводящего снимаемого газа в ограниченной области пространства рри действии кинематических- и динамических возмущений на границе И объемных сил в области. Формулируются диссипативная неоднородная краевая задача для уравнения Гельмгольца относительно комплексной скалярной функции пространственных координат и функционал, условие стационарности которого эквивалентно диссипативной краевой задаче, Из условия равенства нулю вариации этого функционала (вариационного условия)-, в частности, следуют обобщенные проекционные условия Бубнова-Галеркина для диссипативных краевых задач акустики с неоднородными граничными условиями. Отличие их от соответствующих проекционных условий для недиссипативных краевых задач акустики заключается в том, что проектирование уравнения и естественного граничного условия осуществляется" на комплексно-сопряженные координатные функции. Проекция уравнения и естественного граничного условия входят слагаемыми в единое уравнение. Вариационный подход определяет правильную постановку знака между этими слагаемыми в проекционных условиях. В результате применения прямого вариационного метода задача сводится к системе комплексных линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов аппроксимации. Указанный подход позволяет эффективно моделировать акустические колебания вязкого теплопроводящего сжимаемого газа во всем диапазоне частот, включающем околорезонанспые и высокочастотные области, где существенны процессы рассеяния механической энергии. В остальных областях частот, где диссипация проявляется слабо, результаты расчетов близки к соответствующим результатам для идеального снимаемого газа. Это' продемонстрировано на практическом примере решения 'задачи о вынужденных акустических колебаниях вязкого теплопроводящего сжимаемого газа в цилиндрическом резонаторе.

Введение вязкости и теплопроводности газа приводит, прежде всего, к переходу зависимой искомой переменной из вещественной оси в комплексную плоскость, что соответствует возникновению фазового угла между давлениями и колебательными скоростями (смещениями)' в газе. Соответственно обобщаемся и вид краевой задачи относительно комплексной амплитуды рскомой векторной

функции пространственных координат. Тем не менее удается сформулировать вариационный принцип для колебаний вязкого теплопроводящего сжимаемого газа и строить решения диссипативных краевых задач на основе соответствующего вариационного условия. Предлагаемый подход, кроме того, позволяет получить проекционные условия Бубнова-Галеркина для диссипативных краевых задан акустики со смешанными неоднородными граничными условиями.

Замкнутая система уравнений движения вязкого теплопроводящего газа включает в с?бя уравнения НавЬе-Стокса, неразрывности и состояния. Производя линеаризацию этой системы в окрестности равновесного состояния, для потенциальной составляющей вектора колебательного смещения А(р> имеем:

, 4 1 дЧ1р) Ь дА1р) . |<р> •

-ДА р +--=---Д -=- = -- , у*4(р> = 0 ,

с2 аг2 р с2 аг р с2 , , О о

где г р - заданная потенциальная составляющая вектора переменной

во времени составляющей объемной ' силы, ро -? плотность газэ .V

равновесном состоянии, с2 = - квадрат скорости звука в

идеальном сжимаемом газе при'*' изоэнтропическом процессе

распространения, Ь=С + дт] + гес - ^ ) диссипативный

коэффициент с учетом вязкости и переноса тепла, г/, С, - сдвиговая

и объемная вязкости газа соответственно, ге_ - коэффициент

теплопроводности, с^, ср - теплоемкости газа при изохорическом и

изобарическом процессах. Принимается акустическое приближение,

заключащееся в том, что уравнение для А( р> дает достаточно

точное описание полного вектора смещения А: А » А(р>. Для

гармонических колебаний газа.с круговой частотой к относительно

неизвестного скалярного потенциала амплитуда колебательного

смещения имеем краевую задачу . для уравнения' Гельмгольца в

комплексной плоскости:

- Аф - (1-1Д) ав"ф » I (О) , (17)

V = Р (Г.} ' §п = Е ) 'Г," + Г, - Г . • (18)

где Р - обозначения известных скалярных комплексных функций -

силовых воздействий, Е - Нормальная компонента амплитуда смещения

на границе, Д - дифференциальный оператор Лапласа, п - орт

внешней по отношению к области П нормали. Безразмерная величина А

является тангенсом угла акустических потерь, или, в силу ее

малости, углом потерь диссипативной системы вследствие вязкости

или теплопроводности газа: '

I = \ Ъ /(росг) = ае Ь /<рос) ,

где ж - К/с - волновое число.

Наряду с рассмотрением комплексных .амплитуд,, получаемых вращением фазового вектора в положительном направлении и характеризуемых временным множителем ехр(Ш), введем сопряженные им величины', образуемые вращением фазового вектора . в противоположном направлении, с временным множителем еХр(-1А1;), ¡В этом случае краевая задача примет ёид:

- Дер - (1+1Д) ге*ф = 1 (П) , (19)

Ф = Р (Г,) , § = Е (Гя) , г, > Гг =Г . (20) Задачу (19), (20), отличающуюся от (17), (18) лишь направление^ вращения фазового вектора ехр(±Ш), будем называть сопряженной» Основная и сопряженная диссипативные краевые задачи отличаются лишь знаками входящих в их описание мнимых частей: если £) уравнении (17) и граничном условии (18) знаки у Мнимых частей ^ "-", то в (19), (20) - "+". Очевидно, что основная и сопряженная краевые задачи носят двойственный характер: если известно, что функция ф - решение основной задачи, то комплексно-сопряженная ей функция ф будет решением сопряженной, и наоборот. Следовательно, достаточно найти решение одной из них.

Для решения указанных краевых задач Л7), (18) - основной или (19), (20) - сопряженной,- формулируется следующий вариационный принцип.

Решение диссипативной краевой задачи акустики (17), (18) равносильно условию стационарности функционала:

1(ф) = £ уф.тф - Ц1-1Д)з^<$и-21]ф-ф((Н1Д)аегф+2Т1} <Ю -

. - Г (Е ф + ф Е) 6Г (21)

гг

при выполнении условия на Г :

ф1= Р (Г4) . . (22)

Для доказательства сформулированного вариационного принципа показывается эквивалентность, диссипативной краевой задачй акустики условию стационарности заданного на классе комплексных функций функционала (21) при выполнении условия (22) на части границы области Г' с учетом формул Грина для комплексных функций (аналог свойства (3) для дифференциального оператора Лапласа -Д) и асимптотического разделения модулей и фаз искомых комплексных амплитуд по порядку малости. Из условия равенства вариации функционала нулю следуют вариационные условия для основной

ЯХ С-Дф - а-Шэ^ф - Я бф <ЗЛ + г X (^ - Е) бф бГ = 0 (23)

и сопряженной

Д бф С-Аф - И+Ша^Ф - II сШ + / Оф - Е) 6Г = О (24)

Диссипативных краевых задач.

Полученные вариационные условия (23) шш (24) дают способ построения приближенного решения диссипативных краевых задач акустики (17), (18) или (19), (20), Выбирается последовательность линейно-независимых дважды дифференцируемых, в общем случае комплексных, функций Пространственных координат фо, ф1, 1 = 1, 2,..., из которых ф0 удовлетворяет главному граничному условию (22):

Ф0 = Р (Г,) , а фс, 1 = 1, 2,... - однородным условиям на Г4:

Ф1 = О (Г4) .

Выбранная последовательность базисных функций Должна быть полной" в том смысле, что для аппроксимации искомой комплексной функции ф может быть использовано приближенное представление с помощь^* конечного числа I функций ф1:

<Р в ^о + I а1 Ч" ' " (25>

1 = 1

где а , 1 = 1, I - неизвестные комплексные коэффициенты. Тогда

= % + \ % ' (26> и вариация (26) имеет вид:

бф « \ бай . ' (27).

(А '

Подставив (27) в вариационное условие (23), в силу произвольности вариаций ба1, 1 = 1, I справедлива система уравнений:

ДГ-Аф-О-Шае'ф-Лф. сШ + • - Е^АГ = 0, 1'» Т7~1. (28)

Уравнения (28) - полученные вариационным способом обобщения Проекционных условий Бубнова-Галеркяна на случай диссипативных краевых задач акустики с неоднородными граничными условиями. Отличие их от соответствующих' проекционных условий для недиссипативной краевой задачи акустики заключается в том, что проектирование уравнения и естественного граничного условия осуществляется на комплексно-сопряженные координатные функции. Проекции невязок уравнения и естественного граничного условия' ¡входят слагаемыми в единое уравнение (29). Вариационный подход определяет правильную постановку знака, а именно, *+",;< "мажду |тими слагаемыми в проекционных условйях.

9т

Представляя в проекционных условиях (28) искомую функцию ф в виде (25) и меняя порядок интегрирования и суммирования, приходим к комплексной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов аппроксимации а , 1 = 1, I. Решив эту систему, по (25) можно найти потенциал -<рт другие характеристики акустического роля - комплексные амплитуды колебательного смещения А, скорости И давления, которые определяются через пространственные производные <р, В качестве базисных функций <р , 1 = Т7~Т наиболее удобно использовать собственные функции оператора Лапласа -Д, являющиеся собственными формами акустических колебаний идеального сжимаемого газа. Они находятся как решения однородной краевой задачи на вещественном поле вектора ф, соответствующей исходной неоднородной (17), (18) или (19), (20), заданной на комплексном, поле ф, при нулевом угле потерь А:

- Аф - ае2ф = 0 (П) , ф = О (Г|) , = О (Гг) , Г, + Гг = Г . Вещественные функции ф, удовлетворяют условию ортогональности, благодаря чему значения коэффициентов СЛАУ (27) при этом упрощаются. Помимо упрощения результирующей СЛАУ, выбором вещественных собственных форм акустических колебаний без рассеяния энергии в качестве базисных функций достигается и другое важное преимущество. Вся информация о фазовых сдвигах, обусловленных диссипацией, содержится только в комплексных коэффициентах а. аппроксимаций (25) и других. Это значительно упрощает вычисление вещественных и мнимых частей компонент искомых комплексных амплитуд для определения их модулей и фаз.

В качестве примера использования предложенного подхода представлены результаты расчета вынужденных колебаний акустического: цилиндрического резонатора радиуса й, для модели вязкого теплопроводного газа. В выражении тангенса угла потерь А выделяется безразмерная частота а = зеИ: А = а 7, где 7 -частотнонезависимый безразразмерный параметр, характеризующий диссипацию мехашческой энергии газа вследствие. его вязкости и теплопроводности: 7 = Ь /(росН).

Численная реализация , изложенного метода показывает весьма высокую скорость сходимости результирующих функциональных рядов. Число резонансных областей |на частотных характеристиках совпадает с числом удерживаемых„ бгйлсных функций, поэтому выбор длины

отрезков аппроксимирующих рядов определяется . верхней границей интересующего частотного диапазона.

Для двухполюсного возбуждения цилиндрического резонатора, к ™ 1, й ряда значений безразмерного, диссипативного параметра 7 = 0; 0,05; 0,10 построена Модуль |А|/Е = Ше*(А) + Im2 (A)l"zsEa и фазй % * arctg ЕХщiА}/Пе(Д)î Комплексной амплитуда колебательного смещения на dcjî резонатора А - аг =■ ад как функции безразмерной частоты а. 0ид этих , частотных характеристик аналогичен предотавлёнвдм fia $mo, 2. а, б. Для случая 7 = 0, соответствующего идеальному, сжимаемому газу, на АЧХ наблюдается общее возрастание амплитуд колебаний с увеличением частоты, ФЧХ Прй этом имеет вйд функции, постоянной вне резонансов и скачком принимающей значения ¿тс/2 в резонансных состояниях. О ростом диссипаций, при увеличении 7, ' происходит . не только . количественное, но й Качественное изменение частотных характеристик. Прежде всего, на высоких частотах учет даже . небольшого рассеяния принципиально необходим; вместо общего нарастания амплитуд колебаний, ' умеющих 1 резонансный характер, происходит.их стабилизация на весьма малом поотоянноМ уровне без резонансных пиков. На низких частотах снижение амплитуд колебаний вследствие рассеяния существенно проявляется в околорезонансных областях, в тем большей степени ^ чем выше частота. Кроме того, точки экстремумов АЧХ смещаются влево. ФЧХ становится переменной, непрерывно увеличиваясь (по абсолютной величине) при приближении к резонансам и принимая на них те же значения tn/2, что и без диссипации. О увеличением рассеяния происходит сглаживание околорезонансных скачков ФЧХ и смещение самих резонансов влево.

Главный se вывод, следующий из частотных • характеристик, полученных численным моделированием, заключается в том, что реально, с учетом рассеяния механической энергии акустического резонатора вследствие вязкости я. теплопроводности газа, для усиления колебаний наиболее целесообразно использование именно основного (низшего) резонанса.

В третьей главе излагается; СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДЙССШАТИВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДЙНАМЙКИ. ОСНОВАННЫЙ НА РАЗДЕЛЕНИЙ СОЛЕНОИДАЛЬНОЙ Й ПСГШЩИАЛЬНОЙ СОСТАВЛШЦЙХ ПОЛЯ. ( Показывается, что возможно разделение - полной диссипативной краевой задачи электродинамики на дёе ^независимые краевые задачи для соленоидальной И Потенциальной составляющих. '

Краевая задача для . соленоидальцой составляющей электромагнитного поля $ 11, 8>, где

формулируется относительно роленоидальной составляющей векторного потенциала А(" и имеет вид неоднородной краевой задачи для уравнения Гельмгольца, обусловленной неоднородностью как уравнения, так й граничных условий:

+'г г. , £зо)

»г?» г,+г? *г ,

где ж - волновое число без учета диссипации;

А - полный тангенс угла электромагнитных потерь, Ан - тангенс угла магнитных потерь вследствие инерционности перемагничивания материала области, ,1'а> - соленоидальная составляющая объемного тока..

Для Потенциальной составляющей поля Iе5" краевая задача

формулируется относительно скалярного потенциала ф == Ф %» где

- -уф + 1X4"" » .

и в амплитудах имеет вид краевой задачи для уравнения Пуассона:

-Аф = р/{ё(1+1Ае}} в П , (31)

бф Р е 1+14, бф 8% • р • 1+1А,

Вп = ЦЩ + е~ ТШГ Эп" + +1Хп »"Г Т+1НГ) на Г»'

ф = ф> на Г2 , Г, + Гг » Г , (32)

где Ас - А + х§ ~ тангенс утла электрических потерь из-за инерционности процесса поляризации А и электропроводности о материала,, заполняющего П (вторая составляющая существенна как раз для низкочастотных колебаний, характерных для электрических машин), р - амплитуда плотности объемного заряда, связанного с потенциальной составляющей плотности тока ¿(р> соотношением непрерывности:

1Яр = 0 ,

¡Ь Р - амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов, также удовлетворяющие уравнению непрерывности.

При наличии диссипации в системе вследствие электропроводности, инерционности перемагничивания и поляризации, а также излучения и отвода энергии на полезную нагрузку, класс функций; на котором ищется решение, расширяется из вещественного векторного пространства в комплексное. Фазочастотные

ол

Характеристики ректоров паля перестают быть кусочнопостоянными, принимая различный значения,в интервалб от Ь до ж, Или от -и/2 до я/г,-Следует заметить, что использование потенциалов при решениях краевых задач электродинамики не является традиционным, • потому что нв удавалось разделение искомых скалярного и векторного потенциалов в граничных условиях краевой задачи, подобнр разделению их в уравнениях для, области, В диссертаций удается Провести такое разделение искомых потенциалов для любых поверхностей границы Г, .

Итак» вместо традиционной ИсходнШ диссипативной краевой задачи электродинамики получили равносильную ей, Но болев простую ' формулировку относительно НовНХ'зависимых переменных А*9) и ф, в которой Искомые, функции разделены. Исходная краевая задача оказалась эквивалентна одновременному и независимому удовлетворению скалярной и векторной краевым задачам для уравнений, Пуассона И Гельмгольца, заданных на комплексной„ плоскости. Уравнения этих, заДач (29) и (31) Имеют одинаковые дифференциальные операторы -А, свойства которых' исследованы весьма подробно. Граничные условия (30) и (32) налагаются именно на те комбинации искомых функций, которые требуются для выполнения условий теорем существования и единственности скалярных и векторных краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором Лапласа -А, Отделенная задача для потенциальной составляющей поля, в отличие от соленоидальной» не содержит параметра частоты колебаний \ (кроме входящего в выражение комплексной проницаемости при наличии электрических потерь). Таким образом,' достоинством разделения полной, задачи электродинамики на подзадачи для соленоидальной и потенциальной составляющих является и првдска&аний йх свойств без проведения решения: потенциальная составляющая поля - частотноназависимая быстрозатухающая при удалений от зарядов функция, в отличие of соленоидальной составляющей, носящей резонансный характер и превалирующей в колебательных' системах;.

Классу задач (29)» (30) специально Прсвящен разд, 3.1 диссертации. В нем, как и В предыдущих рассмотренных физических явлениях, также на основе рассмотрения двойственных основной и сопряженной задач! различающихся лишь направлениями вращения фазового вектора! ехр(±Ш) вводится функционал» условие стационарности котЦ-ого эквивалентно, диссипативной краевой задаче

для соленовдальных полей, и предлагается процедура, прямого вариационного способа ее решения§ Приводящая к комплексной СДАУ. Для доказательтва вариационного принципа привлекаются интегральные свойства опбратора Лапласа Для векторной Комплексной соленоидальной области определения (обобщения формул Грйна}, Краевая задача для соленоидального вектора А ■ (29), (30) эквивалентна, условию стационарности функционала, заданного на классе комплексных векторных функций:

1 (А) * | • ИЬ-* и* фю +

. + 1. } М + &Ф № ,

при выполнении главного граничного условия на Гг;

где I, Е - обозначения известных векторных комплексных функций. Из вариационного принципа следуют вариационные условия для основной

• х 1-АА-(1+1А)жгд-1}.еХ йп - г (пхуд - |).а! йг = о . 0 » "

и сопряженной

]" <Ю - | бАЧЦ^х! -I) .ЙГ ^ 0

диссипативных краевых задач и проекционные условия, для основной задачи< например, имеющие вид:

]• {-АА-И+Шае*Д-11-^бП - $ = 0, 1 = тл,

1

В них также проектирование невязок уравнения и естественного граничного условия осуществляется на комплексно-сопряженные базисные функции, причем обе эта проекции входят слагаемыми в единое проекционное условие со знаком определяемым

вариационным принципом. Подход является спектральным, ибо в качестве системы базисных функций удобно применять собственные формы электромагнитных колебаний благодаря их свойству ортогональности. Проще всего использование спектра системы без диссипации электромагнитной энергии, находящегося из краевых, задач; заданных не на комплексной Плоскости, а На вещественной оси - решений однородных краевых задач, соответствующих исходным неоднортдным (29), (30) при А = 0:

. -ДА - аг*Д = О (О) , , » О (1^) , а*А = 0 (Гг) , г! + гг = г , Краевая задача для уравнения Пуассона в комплексной плоскости относительно скалярного потенциал» Ч» (31), (Бц) является частным

случаем рассмотренной во 3 главе краевой задачи для комплексного уравнения Гэльмгольца. Решение этой задачи зачастую отройтся в рамкНутой Форме как* например, для областей с координатными ' повйрзшрйтяйи или, в ыгождах с применением

ПриближэщЬро варийшЬйного подхода, в .частности, Использущего раэлрйбЙЦ! реданин а 1н> окадярыМ собственным . функциям оператора Лайласа,

В качества примера изложенного подхода приведены результаты Моделирования возбуждения МёгнитЬафащфоэаннога цилиндрического резонатора радиуса Я поверхностными несоленоидалышми токами с учетов гйстерезйсйых потерь в материала экрана, когда основное рассеяние электромагнитной энергии I обусловлено периодическим перемагнйчиванием экрана и пропорционально частоте колебаний М Д = с Я, где с - коэффициент пропорциональности, определяемый коэрцитивной силой материала экраНа. и растущий вместе с Ней/ Выделяя безразмерную частоту а = ¿ей, получаем А - 7 а, где 7 =

с/(/ец Н) - безразмерный частотнонезависимый коэффициент коэрцитивной силы материала экрана. Из решения непосредственно следует, что точки экстремумов АЧХ а"к даются выражением:

(1-1А*Г'

т.е. соленоидальное поле в диссипативной среде имеет резонанса, несколько смещенные цо частотной ЬсИ влево по сравнению с системой без диссипации* тем больше, чем (значительней рассеяние энергии Д. Число резонансных пиков определяется числом I удерживаемых собственных форм, что дает критерий необходимой длины аппроксимирующего Ьтрезка ряда: собственное волновое число, соответствующее последней удержйваемой формв колебаний, должно перекрывать верхнюю границу' исследуамогб диапазона Частот. Амплитуда поля с ростом частота уменьшаются вследствие увеличения диссипативного члена А.

Для однопериодногб по угловой .координате 1 возбуждения резонатора поверхностными 'Тангенциальными . йесоленоидальннмй • токами и зарядами и ряда значений безразмерного коэффициента 7 » 0; 0,05? 0,10, определяеМогб коэрцитивной, силой материала магнитного экрана, приведена модуль (Е|/(Р /в) »- 1йе*(В> + Впг(Е)],'а>(Р0/е) (рис. 3. а) И фай а % = ■ *5*сЦ (Е) 1 с

(рис. .3. б) комплексных амплитуд соленоидальной я потенциальной составляющих напряжённости электрического поля на оси резонатора как функции безразмерной частоты а. Поскольку обе -эти

^.Phöse ^

i i

Ampi Hude

<J1

Q

<s\

o ©

■t. 11.11 ,t i..ii,.i.i 111 < < i

составляющие, теш? "реагируют^ на наличие диссипации В электродинамической системе по-разному, результаты построены для каждой из них отдельно5 Так, наличие рассеяния электромагнитной энергии приводит не только к количественному, но и н качественному изменению частотных характеристик соленоидальной составляющей электрического ноля, Если при отсутствии диссипашш 7 ч д наблюдается общее нарастание амплитуд колебаний о частотой, то наличие диссипации 7 > О ^срезает" амплитуда в средней части диапазона частот, рсобернч в ркочорезонансннх областях, И стабилизирует их в высокочастотной области на уровне, соответствующем ' амплитуде . потенциальной составляющей электрического поля (штриховая линия н^ рис, 3, а), Амплитуда потенциальной составляющей ни'от частоты, ни от диссипации не зависит и соизмерима с соленоидальной составляющей И области не только низких, как без учета рассеяния, но и высоких частот.

Таким образом, свойством, усиливать: электромагнитные, колебания резонатор обладает благодари его со'леиондальному полк,,: Наиболее эффективно, а при высоком рассеянии и единственно возможно, как показывает АЧХ, с .Целью усиления колебаний использование именно основного (низшего) резонанса;

Фаза соленоидальной составляющей поля в диссипативной системе непрерывно меняется с частотой, принимая на резонансах те же значения 0 и я, чТо и без рассеяния энергии. Чем витое рассеяние 7, тем более гладкая ФЧХ. Точки экстремумов АЧХ и, соответственно, точки разрывов ФЧХ о ростом диссипации смещаются по частотной оси влево.

Разделение искомого поля на соленоидальную и потенциальную составляющие дает весьма приближенную к практическим целям постановку задачи. Целый ряд обстоятельств тому причиной,

1. Зачастую электромагнитные поля,' подлежащие определении, изначально бывают соленоидальными: в распространенных случаях возбуждения соленоидальными сторонними токами, внешними полями, т.д. Тогда задача естественным образом редуцируется К адекватному описанию соленоидального поля,' допускающему весьма простую вариационную формулировку.

2. В более общих случаях добавляется лишь краевая задача дляс уравнения Пуа'ссона относительно Потенциальной составляющей, допускающая подчас весьма простое аналитическое решение.

3. Поскольку^ в электродинамических системах превалирует

соленоидальная составляющая,' носящая резонансный характер, в отличие от потенциальной, в большинстве случаев от частоты не зависящей И быстро ватухающей при удалении от источников, удобно в качестве первого приближения выделять соленоидальную составляющую, определяющую основную физическую картину, И затем, в случае необходимости, находить потенциальную компоненту в качестве уточняющей добавки»

4, Иногда, в силу специфики прикладных исследований, требуется определить эти составляющие по отдельности, В этом случае удобнее сразу рейать раздельные подзадачи для компонент, чем полную задачу с последующим разделением найденного решения, б. Способ раздельного определения соленоидальной и потенциальной компонент электромагнитного поля приводит к удобным в вычислительном отношении процедурам; обе краевые задачи содержат одинаковый дифференциальный оператор, допускают аналогичные вариационные формулировки и основанную на них аппроксимацию решений векторными и скалярными базисными функциями. Поэтому легче решать эти отдельные подзадачи, чем более сложную полную задачу,

6, В случае ке диссипативных электродинамических' систем такое разделение полного Поля на соленоидальную и потенциальную составляющие еще более оправдано и приобретает физический смысл, поскольку разные вида рассеяния электромагнитной энергии влияют на обе. составляющие по-разному. На потенциальную компоненту воздействуют лишь электрические потери ДЕ, вызванные инерционностью поляризации или электропроводностью среды, тогда как на соленоидальную - любые потери, образующие полный тангенс угла электромагнитных потерь А. Таким образом, к примеру, отсутствие ^электрических потерь ДЕ; и наличие любых остальных, входящих в А, ведет к убыванию амплитуд $91 й В = В'а), но никак Не влияет на амплитуду Е*р>.

7. Векторный и скалярный электродинамические потенциалы наиболее просто связаны с источниками переменного поля - токами и зарядами, чем любые, другие его характеристики.

На основе результатов-, изложенных во 2 и 3 глазах Диссертации, разработаны резонансные генераторы акустических и электромагнитных колебаний, иллюстрирующие полезное применение резонансных режимов, создающих оптимальные условия передачи колебательной энергии а механическую или элект ^магнитную

систему. В работе описываются конструкция и принцип действия изобретений - преобразователей энергии, которые переводят постоянную механическую или электрическую энергию в колебательную строго фиксированной частоты с использованием резонансных свойств акустического или электромагнитного цилиндрического резонатора, ось которого является идеальным фильтром двухполюсной формы вынужденных колебаний при полигармоническом возбуждении на его боковой поверхности. В основу их функционирования заложен резонансный резким работы. Это обусловлено тем, что акустические я электромагнитные колебания в ограниченных объемах, наиболее удобны для широкого использования резонансных явлений, т.к. их рабочие элементы - воздух или любой другой газ, сжимаемая жидкость, электромагнитное поле, не "боятся" значительных резких и долговременных периодических нагрузок, в отличие от деформируемых твердых тел и конструкционных ' материалов, подверженных усталостным разрушениям. В этих , системах с распределенными, параметрами • резонансных режимов множество, но ' для функционирования выбран именно основной (низший) резонанс, дающий наибольшее усиление колебаний с учетом диссипативных процессов. По сравнению с существующими генератора™ звуковых акустических колебаний (механические, электромеханикеcraie,

электродинамические, гидравлические, пневматические) и СВЧ электромагнитных колебаний (магнотроннне генераторы, клистроны,, лампы бегущей и обратной волн, мазеры, лазеры), предлагаемые генераторы значительно проще в изготовлении и эксплуатации и более надежны, не уступая существующим в к.п.д. ...

В четвертой главе Приведен СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРШАГШШШ 1ТОЛЕБЛШЖ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРШ ПРИ СЛОЕНЫХ ИЛИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ, частично упоминавшийся в первой главе и заключающийся в том, что исходная краевая задача со сложными или неоднородными условия?® на границе (2) решается с использованием спектральных- характеристик при простых однородных граничных условиях (15) и им сопряженных (16). Сопряженными здесь именуются условия, налагаемые на те компоненты векторов, которые перемножаются При вычислении работы на границе, области. В случае сложности геометрической формы- области посредством фиктивных областей исходная задача трансформируется к задаче для области простой конфигурации, спектр которой Находится

проще и точнее. Поскольку практические приложения подходов связаны с задачами моделирования механических и электромагнитных процессов электрических машин, выполненных в виде тел вращенияi особое внимание уделено круговым областям, сложность форЙУ которых обусловлена центральным отверстием» Практически значимый результаты, полученные с использованием этого метода, относятся К неосесим. этричньм механическим колебаниям анизотропного упругого тела в форме толстостенного полого цилиндра со сложными ' Неоднородными динамическими условиями на внутренней поверхноотЙ (сердечник статора турбогенератора), вязкоупругой оболочки со сложными неоднородными смешанными условиями опирания на краях (торцевая часть статорной обмотки), а также электромагнитный (вращающееся магнитное поле генератора, являющееся источников механических вибраций), представленным в- шестой главе,

В пятой главе изложен СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЙ ДИССЙПАТИВНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ (НЕСТАЦИОНАРНЫХ) ЗАДАЧ ДЩАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА, ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ С ПАМЯТЬЮ. Рассматриваются начально-краевые) задачи динамики сплошной упругой среды, электродинамики и явлений переноса (электропроводности, теготопрогодности, диффузии вязкости) в среде с памятью. Для всех указанных зада<| составляется единое операторное уравнение относительно napii неизвестных функций, в произведении дающих вектор плотности! потока энергии (обобщенный вектор Пойнтинга). Такими фундаментальными парами являются напряжения и скорости перемещений точек сплошной среды, напряженности электрического ti магнитного полей, термодинамические потоки и потенциалы. Вводится . функционал, условие стационарности которого эквивалентно едином^ уравнению, что позволяет применять вариационный метод для его решения.

Переменные в пространстве и времени' напряженно-деформируемое состояние, электромагнитное поле и явления переноса в сплошной среде, занимающей ограниченную область il, в единой операторной форме описываются системой интегро-дифференциальных уравнений:

Dx + (Ну)" + Sy = f , D*y - (Вх)' - Рх = е (П) , (33) • ! = §1 • * " время,

где х, у - искомые, f, е - заданные векторные функции пространственных координат и времени; D, D* - операторы до;| £еренцирования . по пространственным координатам первого

порядка, не содержащие характеристик физических свойств среды; R, В - алгебраические, a S, Р - операторы интегрирования по времени, учитывающие физические свойства рассматриваемого явления в среде. Из этих физических операторов R, В определяют взаимсюбратише процессы превращения механической (кинетическая - потенциальная) или электромагнитной энергии (энергия электрического поля .магнитного)» а 5, Р - необратимые процессы рассеяния. Например, для напряженно-Деформируемого состояния

Dx =* -V-T ; D*y = (v7)3 :, Ry - Р2 » Вх = ( 4> В< ,

Sy = fi.y , Рх = ;0)> + J ( jb* (t-т) • ,

*". "" -го

где y, 1 - вектор скоростей точек среды и тензор напряжений, р, '4> В, g - плотность» симметричные тензоры податлйвости упругой среды и внешнего трения» '4) Ь(т;) - симмеТричНый тензор ползучести, не содержащий 9-образной особенности в Начальной точке и обладающий свойством затухающей памяти: J(4,b(T)J < » , , t = 0 |(4>Ь(т)| -* 0 , х оо , Для электромагнитного поля . ,

Dx = v*H , D*y = vx(-E) ; Бу = s> (-E) , Bx = ¡Jt*H ,

i "" ~

Sy = (o + é(0))•(-£) + Je'(t-T)-(-E(i:))dt

,-co t-

Px = m(0)-H+ / m*(t-T)'H(x)dT , •

"" -bo - — . ■

где E, H - векторы напряженностей электрического и магнитного полей, ц, о - симметричные тензоры диэлектрической, магнитной проницаемостей и электропроводности среды» g(t), , т(т) симметричные тензоры дисперсий диэлектрической "и магнитной проницаемостей, также не содержащие ô-образных особенностей в начальной точке и обладающие свойством затухающей Памяти: Je(t)| < со 4 1ш(т)| < ю ,' 1 = 0 , |е(т)) -+ 0 , Jm(T)г* О , t » . Для уравнений явлений переноса оператор В - нулевой, что. определяет их параболический тип, в отлйчие от гиперболического, описывающего процессы распространения ,механических или электромагнитных волн . (явления переноса с конечной скоростью распространения, приводящие к гиперболическим уравнениям, здесь Не рассматриваются). Полностью конкретный вид векторов и операторов показаны в диссертационной работе.

К (33) следует добавит^; граничные и начальные условия,

налагаемые на искомые функции. Концепция их получения следующая": полагая сперва уравнения (33) справедливыми в неограниченном пространстве и времени, почленно интегрируем их через-бесконечно тонкие пространственные и временной слои, содержащие граничные точки области и начальный момент времени.

Проинтегрировав уравнения (33) по нормали через прилегающий к границе Г области П тонкий слой и осуществив предельный переход к бесконечно малой толщине слоя, имеем граничные условия: Nx + (Rry)' + Spy = Их + fr, Н*у - (Врх)' - РрХ « Гу, + ер.(34) У « У, (Г, ), х = х (Г2) ,

Г, + гг « Г где х(, yt - векторы поля, внеишего по отношению к П, H, N* * -алгебраические операторы, содержащие геометрические характеристики границы Г, fr> е - заданные соответственно на Г и "Г, векторы, Rr> Br - алгебраические, S^, Рг - интегральные операторы, учитывающие физические свойства среды на границе области.

Непрерывность векторов у при переходе по нормали через Г и х - через Гг в (34) обусловлена требованием вычислимости плотности потока энергии Nx>y = -x-ïfy на частях границы, где векторы Nx и N'y терпят разрывы, определяемые заданными внешними факторами.

Проинтегрировав уравнения (33) в П и (34) на Г по временному промежутку, вклшаэдему нулевую точку, и осуществив предельный переход к бесконечно малому промежутку времени, имеем начальные условия.

Основной смысл операторной формы записи начально-краевых .ввдач (33), (34) состоит в том, что входящие в них ' дифференциальные операторы обладают свойством сопряженности по Лаграняу, a алгебраические, и интегральные • - свойством самосопряженности.

Систему уравнений (33) н граничные условия (34) представим единим операторным уравнением, действующим в ÏÏ = 0 + Г:

Dz + (Rs)' + Sx = f в ÏÏ , , (35)

где x = (y, x) ,

î = [ î + (fr + Hxf ) 0(M - Г ), e + (er + H*yt ) 0(11 - гг ) ] ,

0 , D + N Ô(M - rt)

+ 1Г Ô(M - Гг) , 0

D

D

И = (Пае [ Н + И в(М - Г, ), -В - Вг 0(М - гг ) ] , ;

Б » [ 3 + Бг б(М - Г, ), -Р - Рг б(М - Гг) ) , б(М) - дельта-функция, м е"П.

Начальные условия примут вид:

* = 0 : Ш (М, г) = г (М) в П , • (36)

где г (М) - вектор начальных значений, заданный в П:

г = ( <*П-о + {0 + ( (йгУ)1=,0 + *га ) 6(М - г, ),

-<ВЧ = -0 + е0 + + его > °<Й - гг> ] •

Показывается, что дифференциальный оператор Ь, алгебраический И и интегральный Б являются самосопряженными в П: Г Юх «х сШ ^ ; Г х «Ох (Ш ,

-"> I г -•> I г *

о „ о • .

Г Кх -х (Ш = Г х >Их 6П ,

12 —' I Ч

"г Эх .X ЙП = X -Бх (Ш . *-«• »г -•» I г

я п - .

Таким образом, все операторы начально-краевой задачи (35), (36).- .

самосопряженные. Это позволяет сформулировать для . нее

вариационный принцип.

Для каждого фиксированного I, X > 0, краевая задача (35)

• равносильна условию стационарности функционала:

• 1 (х) = % Л \ Цх-х + (ЙХ-х)' 4- Бх«х - 1 сШ. . (37) л 1 -

Условие стационарности функционала (37) примет вид:

Г Вх +- (йс)* + Бх - I 1 • 6Х <Ю => 0 . (38)

я

При этом вариационное условие (38) следует из уравнения (35),.а в силу произвольности вариаций бх в П справедливо обратное утверждение: (35) следует из (38). : •

Приближенное решение начально-краевой задачи (35), (36) ищется в виде:

х (М, ^ = V а ш х (М) , (39)

А 1 1

где (М) - заранее выбранные линейно-независимые координатные функции пространственной переменной М, М б П, (1;)^ 1 = 1,1 -искомые функции времени Ъ, 1; > 0 -. Функции а. (t) определяются из вариационного условия (38). Для этого вариация'(39):

бх (Н, Л) = ^ ба (1;) х (М) '

подставляется в (38):

^ ба (t) / \ Бх + (Их)' + Бх I 1 • х

(М) сШ

= О .

В силу произвольности вариаций ба1(г), 1 = 1, I, будем иметь:

_]■ [ й: + (йс)' + Бх - I ] • (М) сЮ = 0 , 1 = ГГТ • (40)

Уравнения (40) - полученные как следствия вариационного-условия ' (38) проекционные условия Галеркина для случая нестационарных процессов, описываемых начально-краевыми задачами (35), (36). Применим к "(40) преобразование Лапласа:

_]• [ БХ + рВХ - г + Ь(Бх) - Р ] • (Н) сЮ = 0, 1 = Т7"Т,(41)

п со , .

где X = I (я) , Р = Ь Ц) , Ь = X ( ) е"р1 (И .

о

При вычислении преобразования Лапласа интегро-дифференциального оператора Б применяется теорема свертывания:

Ь Г / тсо.й^-а) ] = р Ш(Р)'Н(Р) .

где чертой помечены преобразованные по Лапласу . функции. Подставляя в (41) изображение аппроксимации (39):

X (М, р) - | 5С (р) (М) , (42)

определяем изображения коэффициентов аппроксимации ас (р) и, восстанавливая их оригиналы, 'по (39) находим . окончательное решение задачи.

При решении начально-краевых задач динамики деформируемого твердого тела или электродинамики в качестве системы координатных функций х. (Ы) удобно выбирать собственные формы упругих или электромагнитных колебаний соответствующей консервативной системы благодаря их свойству ортонормированности.

В уравнении (35) легко проводится переход к частному случаю стационарных гармонических механических или электромагнитных колебаний с частотой Принимая временной множитель в виде, например, е"111 , относительно комплексных амплитуд вместо (35) будем иметь:

Б2 - 1ЛВх + 5х = 1 в П , (43)

где х, 1 - амплитудные значения искомого и заданного векторов в П, I) - дифференциальный оператор, имеющий тот же. вид, что и для нестационарных колебаний, II - алгебраический оператор, Б, в отличие от общего случая, не интегральный, а тоже алгебраический. Все операторы уравнения стационарных гармонических колебаний (43) - самосопряженные. йизические свойства среды характеризуются операторЦш й и Б: взаимообратимые процессы превращения двух видов механической и электромагнитной энергии (кинетической и

потенциальной, электрической и магнитной) описываются оператором й, а происходящие при этом необратимые процессы рассеяния -оператором 5,

Уравнения свободных колебаний консервативной системы следуют из (43) при 5 = 0, * = 0 и имеют вид: Их - Шх = 0 в П, а их решения - собственные формы колебаний * (М),- обладают свойством ортонсрмированности в П с весом Л: И х. • х^ сЮ = , где -

символ Кронекера,

Пример решения прикладной задачи о нестационарных колебаниях турбоагрегата как сложной, системы деформируемых твердых тел приведен в главе 7. -

В шестой главе исследуются СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТУРБОАГРЕГАТА В НОМИНАЛЬНОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ и слагаются из определения электромагнитных й . электродинамических сил,, действующих на элементы статора турбогенератора, и вычисления вызванных этими силами колебаний сердечника и лобовых частей-обмотки статора, Особенностью применяемых спектральных подходов к расчету механических и электромагнитных колебаний мощных электрических машин является то обстоятельство, что они Позволяют, полностью унифицировать комплексную задачу о вибрациях их элементов. Основная составляющая вибрационного состояния вызвана именно электромагнитными и электродинамическими усилиями со стороны вращающегося магнитного поля в рабочей И торцевых зонах, поэтому для ее определения необходим предварительный электромагнитный расчет. Единым спектральным методом определяются как переменные магнитные поля электрической Машины,', так и вызванные этими полями механические колебания ее элементов. Наибольший отрицательный эффект вращающееся магнитное поле оказывает на упруго подвешенный в корпусе статора сердечник и выступающие из его торцов лобовые части обмоток (рис. 4. а, б). В первом случав - это поверхностная электромагнитная сила тяжения на ферромагнитный материал сердечника, во. втором - объемная электродинамическая сила воздействия поля на токонесущую оболочку. Эти силы в принципе неустранима ' в силу специфики функционирования машины - существования вращающегося магнитного поля, и уменьшать вибрации элементов машины от их воздействия можно лишь соответвующим выбором их упруго-инерционны! (отстройка от резонансов, оказывающих в данных-случаях вредное'»влияние) и демпфирующих (рассеяние механической энергии) параметтйв.

Уп,клав прИеска

Сердцу ни к статора

/7777^

Турбогенератор

Верхняя пмта фундамента

ВиЯроизолщия

фунЪанънт

бснМание

В)

Корпус статора

МИо&вя часть с$нотки стотвря

Калщо

жесткости

Рис, 4

м'

В седьмой главе исследованы НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТУРБОАГРЕГАТА В АНОРМАЛЬНОМ ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ. -Рассматривается наиболее тяжелый анормальный переходной режим работы турбогенератора - внезапного короткого замыкания в дели статора, когда в некоторый момент времени I = 0 на сертучник статора начинает действовать переменный полигармонический }|утящий момент 1^(1;) с частотам!. О, 2íi где í - частота Ьока сети, и амплитудами, во много раз превосходящими значение постоянного момента шо, действующего на сердечник в номинальном режиме работы (рис. 5. а). Возникающие в системе без специальных ;мер и усовершенствований динаг^леские . усилия резко достигают недопустимо высоких значений и приводят К серьезным авариям. Оцениваются эффекты введения виброизоляции верхней плиты фундамента от остальной его части (рис. 4. а), а также упругой, подвески сердечника в корпусе статора.

Турбоагрегат моделируется тремя упруго-инерционными кольцами (сердечник статора, поперечные стенки и • обшивка корпуса',-* связанными между собой безынерционной упругой связью (подвеска' сердечника и радиальные перемычки корпуса), установленными на инерционно-упругом фундаменте. Колебания колец вызываются' действием на внутреннее кольцо полигармонического крутящего момента, что приводит к появлению сил взаимодействия междукольцам! и динамических реакций фундаментных опор. Введем следующую нумерацию колец: 1=1- сердечник, 1=2- поперечные стенки, 1=3- обшивка корпуса статора. Каждое кольцо совершав* плоские изгибные колебания, описываемые уравнениями в операторном виде:

* й1уГ = * с* у1 ~ В1х1 = 0 • 1 = » (44)

где х1, у. - неизвестные векторы внутренних усилий и перемещений, функции координат и времени, Б , Б* - дифференциальные операторы, И , В. - алгебраические операторы инерции и податливости, 1 -вектор внешней нагрузки. Начальные условия имеют вид:.

г = о ^ (м, г) = о , уь' (М, г) = о , 1 = "ГГЗ . (45) Свойства введенных операторов начально-краевой задачи (44), (45) (вместо краевых условий - условия периодичности искомых функций по окружной координате) указаны в главе 5.

Для решения задачи (44), (45) применяется изложенный в 5 главе вариационный подход, заключающийся . в эквивалентности указанной задачи вариационному условию (38),. которое приводит к

о. а

проекционным условиям (40), где х^^), = 1, 3, ' к =■

07Т - система базисных функций - собственные формы упругих колебаний незакрепленных колец. Выбором спектральных характеристик упругой системы в качестве координатных функций обеспечивается наиболее простой вид результирующих уравнений в силу их ортонормированиести, Далее используется . операционный подход: посредством преобразования Лапласа уравнение (40) с учетом начальных условий приводится к уравнению в изображениях

(41). В изображениях искомых векторов (42) коэффициенты аппроксимации - функции времени,- заменятся их изображениями -комплексными функциями независимой комплексной переменной р. Подставляя в (41) изображение аппроксимирующего представления

(42), используя свойства операторов и ортонормированность собственных форм колебаний, будем иметь изображения аппроксимирующих коэффициентов как алгоритмически заданные функции р, то есть при любом значений комплексной переменной р они могут быть найдены численно. •

• Следующий этап решения состоит в вычислении оригиналов ' 'а. ь Ш, соответствующих изображениям а^ ^ (р), 1 = 1, 3, к » О, К. Для этого вычисляются комплексные интегралы, осуществляющие обратные преобразования Лапласа. В результате решение задачи о нестационарных колебаниях' системы представляется в. виде суперпозиции ее стационарных гармонических колебаний с разными частотами. Каждой гармонике отвечает определенное значение динамической жесткости фундамента, входящей в (44).

Вычислив, коэффициенты аппроксимаций а. к (1;), находим векторы усилий и перемещений (39), а также динамические усилия во всех связующих упругих элементах системы.

Изложенная в настоящем разделе методика доведена до программного комплекса для ЭВМ, с помощью которого рассчитаны, в частности, нестационарные колебания турбогенератора ТВВ-1000-2 мощностью 1000 МВт, двухполюсного, производства АО "Электросила". .С целью оценки эффектов введения Виброизолирукщих элементов фундамента сравниваются результаты расчета для случаев невиброизолированного фундамента рамного тйпа ив сборного железобетона и с виброизоляцией верхней плиты фундамента от остальной его части. Кратности моментов (относительно номинального), передаваемых на вертикальные стойки невиброизолированного фундамента, превышают 12, тогда как, с

использованием виброизоляции - не болев 2. Возникающие при этом горизонтальная X и вертикальная У составляющие реакции фундаментной опоры изображены На рис, б, б, В номинально^ стационарном режиме работы, до момента времени 1; = Р, р сиртеме-существуют . лишь вертикальные составляющие реакций фундаментных опор. С началом анормального переходного режима эти составляющие увеличиваются, а также появляются незначительные горизонтальные компоненты, вызванные несовпадением центра масо турбоагрегата с горизонтальной линией опоры. В системе без виброизоляции фундамента вертикальные составляющие резко усиливаются до недопустимо высоких значений: возникают околорезонансные колебания ситемы с частотой » 50 Гц, и передаваемые на фундамент вертикальные усилия достигают более чем 12-кратного увеличения по сравнению с номиналом (рис. 5,6, кривая. I), Введение вйброизоляции верхней плиты фундамента от остальной его части более чем в 6 раз снижает передаваемый на вертикальные стойки момент и, соответственно, вертикальную составляющую реакции фундаментной опоры (рис. 5.6, кривая 2). При этом отфильтровывается лишь незначительная нулевая гармоника (постоянная составляющая) вынуждающей нагрузки» на которую накладываются малые колебания с низкими частотами свободных колебаний системы. Таким образом, податливые упругие элементы виброизолированного фундамента, понижающие собственные частоты системы турбоагрегат-фундамент-основание, обладают значительными виброзащитными свойствами при высокочастотных возмущениях, существенно снижая усилия, действующие на фундамент и основание. Последнее может применяться при установке турбоагрегатов на слабых и вибронеустойчивых грунтах с целью расширения географии энергосистемы. Введение виброизолирующей подвески сердечника более чем вдвое снижает усилия, состоящие, в основном, из О, 50-герцовой гармоник возмущения и 19-герцовой гармоники свободных крутильных колебаний сердечника в корпусе. Следовательно,, виброизоляция сердечника статора в корпусе вносит положительный эффект не только на стационарном номинальном режиме, для которого она рассчитывается, но и на нестационарном анормальном, содержащем высокочастотные гармоники возмущения.

Главный же вывод, следующий из проведенного исследования, заключается в эффективности низкочастотной виброизоляции фундамента для снятия недопустимо высоких динамических усилий в

конструкции энергоагрегата при наиболее тяжелом Высокочастотном анормальном переходном режиме внезапного короткого замыкания в цепи статора.

В ВОСЬМОЙ главе рассмотрены АВТОМОДЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕГИБКИХ БАЛ^: С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН. Глфа посвящена исследовании спектральных задач о поперечных колеб ншях упругих балок высокого сечения при различных условиях закрепления концов, в автомодельной постановке, по различным теориям. Рассмотрены автомодельные спектры поперечных колебаний негибких балок,, т.е. с произвольными, в том числе весьма малыми, значениями главного безразмерного определяющего критерия подобия балки Тимошенко - ее гибкости. Для случая наиболее простых граничных условий шарнирного опирания проведен сравнительный анализ спектров, построенных по трехмерной динамической теории упругости, а также уточненной и технической балочным теориям. Для произвольных условий закрепления концов в рамках уточнейной теории изгиба* предлагается приближенный способ определения собственных частот колебаний, использующий характеристические числа балки. по технической теории и приводящий к алгебраическому биквадратному ' уравнению, аналогично случаю шарнирного опирания.

Вначале. рассмотрены поперечные колебания балок, шарнирно опертых по концам. Этот случай закрепления является простым, в том смысле, что соответствующие спектральныа задачи могут быть получены из рассмотрения задач о свободно бегущих, волнах поперечного смещения по бесконечно длинной балке, и допускают аналитические решения как по балочным теориям, так и, для простых форм поперечного сечения, по динамической теории упругости, что позволяет провести сравнительный анализ спектров. Аппроксимация собственной формы колебаний стоячей поверхностной волной Релея для предельного случая малых отношений длины волны к высоте поперечного сечения балки дает ' весьма простое аналитическое .выражение для низших частот колебаний балок малой гибкости.. Численные значения, получаемые по этой формуле, совпадают с соответствующими значениями, вычисляемыми по 'трехмерной теории упругости и теории Тимошенко, но определяются гораздо проще.

Следующий раздел посвящен рассмотрению балок высокого поперечного сечения со слоимыми граничными условиями - любыми, отличающимися от условий шарнирного ' опирания. Предлагается

простой приближенный способ определения собственных частот балки Тимошенко, основанный на использовании корней характеристического, уравнения Салки Бернулпи-Эйлера при те*. же условиях закрепления концов. Для целого ряда граничных условий | балок эти характеристические числа протабулировану и содержится во всех справочниках по механике. В результате задачгй сводите*? к определению искомой частоты балки Тимошенко при сложных граничных условиях из алгебраического биквадратного уравнения;, аналогично известной рхеме определения частот при простых граничных условиях. Для случая жесткого (шарнирного) опирания предлагаемый способ дает точный результат, для остальных случаев произвольного закрепления концов - приближенный, но гораздо более точный, чем получаемый непосредственно из технической теории Бернулли-Эйлера. Простота и достаточно высокая точность . приближенного "инженерного" подхода продемонстрированы на примере автомодельного решения спектральной задачи для консольной балки высокого поперечного сечения.

• Далее приведено одно из возможных приложений разработанной 'теории применительно к свободным поперечным колебаниям коротких лопаток турбомашин в плоскости их поперечного сечения, являющейся плоскостью наименьшей жесткости. Частоты этих колебаний имеют наименьшие значения и располагаются в области действия вынуждающих сил от неравномерностей газового потока, поэтому определение их значений представляет важный практический интерес.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ обобщаются основные результаты работы:

1. Проведено развитие единого спектрального (использующего собственные формы и частоты механических или электромагнитных колебаний при простых областях и простых условиях на границе) подхода к решению диссипативных (сопровождающихся рассеянием механической или электромагнитной энергии) комплексных задач динамики и прочности машин на основе решения краевых (стационарных) И начально-краевых (нестационарных) задач динамики

.деформируемых твердых тел (трехмерных, оболочек, стержней), акустики и электродинамики, созданы эффективные, вычислительные процедуры с ориентацией на ЭВМ средних возможностей и ресурсов и выполнен расчет ряда прикладных задач электро- и энергомашиностроения.

2. Проведено обобщение функционалов Лагранжа и Рейсснера, условия стационарности которых эквивалентны' краевым задачам акустики,

АЛ

динамики деформируемых твердых тел (трехмерных, в т.ч. » неоднородных и анизотропных, оболочек, стержней)»; электродинамики, со смешанными сложными или неоднородными " граничными условиями, на случай рассеяния соответствующего вида энергии (механической Или электромагнитной) при условии, малости диссипативного параметра, который можно рассматривать как возмущение, 1

3, Посредством прямых методов, приводящих к системам комплексных линейных алгебраических уравнений невысокого порядка, реализованы вариационные постановки задач о колебаниях диссипативных механических и электродинамических . систем о распределенными параметрами. В .частности, из вариационных условий, для диссипативных ' распределенных систем со сложными смешанными условиями на границе области следуют видоизмененные проекционные условия Бубнова-Галеркина, оТличие которых... от . проекционных условий для недиссипативных систем заключается в том, что проектирование уравнений и граничных условий осуществляется на?. комплексно-сопряженные координатные функции. Проекции уравнений и граничных условий входят слагаемыми в единые проекционные уравнения, и вариационный подход к их получению определяет правильную постановку знаков между этими слагаемыми.'

4. Произведена оценка эффектов введения в расчетные модели акустических, механических и электродинамических систем наиболее распространенных источников рассеяния энергии: вязкости и теплопроводности сжимаемого газа, внутреннего . трения деформируемого твердого тела, инерционности перемагничивания ферромагнитного материала.

Б. Построены автомодельные спектры поперечных колебаний балок произвольной высоты поперечного сечения для простых и сложных условий закрепления концов. Для случая простых граничных условий жесткого опирания проведен сравнительный анализ спектров, построенных по трехмерной динамической теории упругости, а также уточненной (Тимощенко) и технической (Бернулли-Эйлера) балочным теориям. Для произвольных условий закрепления концов, в рамках уточненной теории изгиба, предложен простой приближенный способ определения собственных частот колебаний балки Тимошенко, основанный на использовании корней характеристического уравнения балки Бернулли-Зйлера при тех же условиях закрепления, гораздо более точный, чем непосредственно по технической теории.

л*

• и/

■»V

6. Сформулирован вариационный принцип для начально-краевых (нестационарных) диссипатиьшх задач динамики деформируемого твердого тела и электродинамики, рассеяние энергии- в которых обусловлено как трением и электропроводностью, так и временной дисперсией тензоров податливости (ползучесть вязкоупругого материала), диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также спектральный оцэрационшй метод их решения, приводящий к системам комплексных линейны? алгебраических уравнений;

7. Сформулирован вариационный принцип для начально-краевых (нестационарных) задач явлений переноса (электропроводности, теплопроводности, диффузии, вязкости) р средах с памятью и прямой операционный метод их решения.

8. Решены прикладные комплексные задачи динамшсц и прочности электро- и энергомашин на основе единого спектрального подхода:' расчет переменных электромагнитных полей и усилий, действующих на элементы турбогенератора - сердечник статора (толстостенный ортотропный цилиндр с упруго-инерционным внутренним зубцовым слоем) и замоноличенные лобовые части обмоток (композитная неоднородная вязкоупругая оболочка), идентификация их упругих и вязкоупругих характеристик, 'определение вибраций-под действием этих электромагнитных и электродинамических сил, расчет нестационарных Колебаний турбоагрегата в анормальных переходных режимах, определение частотных спектров турбинных и когятрессоршх лопаток высокого поперечного сечения со сложными условиями закрепления.

Результаты внедрены на предприятиях.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных работах:

1. Вычислительные особенности метода обобщенных степенных рядов в спектральной задаче для толстостенного ортотропного цилиндра // Л., 1981, 12 с. Деп. в ВИНИТИ, 8 3175-81. Соавтор - Б.А.Богданов.

2. Стационарные и переходные колебания статора турбогенератора на .виброизолированном фундаменте // В кн.: Тез. докл. Всесоюзного научно-техН., совещ. "ДЭС-81". Ы., 1981, с. 85г86. Соавторы -Б.А.Богданов, Л.В.Штугаш.

3. Стационарные И переходные колебания статора турбогенератора на виброизолйрованном фундаменте // В кн.: Динамика энергетических сооружений. Л., 1981, с. 193-197. Соавторы - Б.А.Богданов, Л.В.Штукин.

4У

4. Высокочастотные колебания статора турбогенератора //Тр. Ленингр. полйтехздч. ин-та, 1982, # 386, с. 116-120. Соавторы -•' Б.А.Богданов, Л.В.Штукин. . .

5. Метод погружения в задаче о колебаниях упругого тела при сложных конфигурации поверхности и граничных условиях // Тр. Ленингр. политехи, йн-та, 1982, $ 388, с. 71-74. Соавторы -Б.А.Богданов» Л.В.Шгукин.

6. К расчету электромагнитного поля в воздушном зазоре активной части электрической машина // Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1982, Л- 388,.с. 83-86. Соавтор - Б.А.Богданов.

7. Определение упругих постоянных ортотропного материала для плоской задачи теорий упругости // Л., 1983 , 7 с. Деп. в ВИШТИ, № 448-84. • ' ■ .

8. Анализ и синтез динамических систем в задаче о колебаниях лобовой часта обмотки статора турбогенератора // Л., 1984, 12 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5179-84. Соавтор - Т.В.Будникова.

9. Спектры Плоских .осесимметричных колебаний''кругового упругого " Тела // Л. , 1984 , 9 с, Дёй,:.В ВЙНЙИ, £ 5596-84.

10. Спектральная задача для ■ объемного электроМагнитногб резонатора со смешаннымиграничными условиями.// Л., 1985, 14 с. Деп. в ВИНИТИ, % 125-85. Соавтор - Б.А.Богданов.

11. Колебания системы турбоагрегат-фундамейт-основание для ТЗО н АЗС в анормзлъных режимах эксплуатации с вйброизолированнкм фундаментом // В кн.: Тез. Всесоюзной конф. "Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений-85". Л., 1985, с. 402-403. Соавтор - В.!,!,.Фридман.

12. К расчету ' электромагнитных усилий в. торцевой- зоне турбогенератора // В кн.: Механика и процессы управления. Вариационные методы в механике. Изд-во Сарат. ун-та, 1986, с. 40-46. Соавтор - Б.А.Богданов.

13. Неосесимметрнчные колебания цилиндрической оболочки со ' сложными условиями опирания // В кн.: Механика и процессы управления. Вариационные метода в механике. Изд-во Сарат. ун-та, 1986, с. 34-40/ Соавторы -Т.В.Будникова, В.М.ФрйДМан,

14. Динамика замоноличенных лобовых частей' обмбткй статора турбогенератора // В кн.: Тез. Всесоюзной конфер. "Научные проблемы современного энергетического машиностроения й ИХ решение". Л., 1987, с. 57. Соавторы - Т.В.Будникова^ В.М.Фридман,

15. Динамика и прочность' турбогенераторов; В стационарных, и

переходных режимах // В кн.: Тез. докл. научно-техн. конф, ИЭДаш. M., 1987, с, 46. Соавтор - В.М.Фридман.

16. Упругие характеристики ортотроцных сердечников статоров турбогенераторов // В i кн. : Тез. докл. конф. ЛШ?аш "Научные ' проблему современного машиноведения". Л., 1987; с. 5-6.

17. . -Упругие и Ялектромагнитные колебания элементов турбогенераторов // В|кн.: 'Тез, докл. конф. ЛФИМаш "Научные проблемы современного машиноведения". Л., 1987, с. II.

18. Нестационарное диссйпативные краевые задачи электродинамики ц динамики упругой сплошной среды // В кн.: Тез. докл, конф. ЛФИМаш "Научные проблемы современного машиноведения", Д., 1988, с. 6-7, Соайтор -В.М.ФрйдМан.

19. Напряженно-деформированное состояние ротора асинхронного двигателя, вызванное диссипацией электромагнитной энергии// В кй.: Тез. докл. конф. ЛФИМаш "Научные проблемы современного машиноведения". Л., 1988, с. 7-8. Соавтор - И.В.Польмов.

20. Неосесимметричные колебания конической оболочки со сложными условиями опирания // Тр. Ленингр. политехнич. ин-та, 1988, й 425, с. 51-55. Соавторы - Т.В.Будникова, В.М.Фридман.

21» Способы гашения вибраций турбогенераторов // В кн.: Тез. Всесоюзной конфэр. "Проблемы виброизоляции машин и приборов". Иркутск-Москва, 1989, с, 143-144. Соавтор - В.М.Фридман.

22. Определение вибрационных характеристик Лобовых частей обмоток статоров турбогенераторов // Проблемы машиностроения й надежности машин. 1989. № 4, с. 95-99. Соавторы - Т.В.Вудникова, В.М.Фридман.

23. Спектральный метод решения задачи о колебаниях упругого тела сложной геометрической формы с использованием фиктивных областей // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. >£5, с. 74-80. Соавтор - В.М.Фридман.

24. Вариационный метод решения краевой задачи электродинамики для соленоидальных полей // Радиотехника и электронна. 1991. 10, с. 1873-1881.

25. Резонансный^ генератор электромагнитных колебаний. Заявка на изобретение * 4954003. Приоритет 28.06.91, МНИ5 Н05 К 5/07. Решение о выдаче патента от 11.09.92.

26. Автомодельные решения спектральных задач об упругих колебаниях балок высокого Поперечного сечения // Препринт ИПМаш РАЙ. 1993, 48 с.

27. Резонансный генератор акустических колебаний. Заявка на изобретение JS 920I6I87. Приоритет 28.12.92, ШШ'-'ВОб В 1/20.

28. Колебания лопаток турбин и компрессоров энергомашин о учетом аэродинамического, внутреннего и конструкционного! демпфирования при сложных условиях закрепления // В кн.: Тез. ялокл.. Всеросс. научного семинара "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашинСПб.» 1993» с. 13. Соавтор - В.М.ФриЗман.

29. Генераторы электромагнитных и . акустических I колебаний на основе цилиндрического резонатора //В кн.: Тез. докл. Всеросс. научного семинара "Проблемы динамики И прочности .электро- и энергомашин*, СПб., 1993, с. 14. '

30. Соленоидальные И потенциальные поля в электродинамических и акустических системах с рассеянием энергии // В кн.: Тез, докл. Всеросс. научного семинара "Проблей динамики и прочности электро-й энергомашш". СПб.» 1993, с. 15.

31. Автомодельные спектры поперечных колебаний Негибких балок // В кн.: Тез. докл. Всеросс. научного семинара "Проблемы динамики и * прочности электро- и энергомашин". СПб., 1993, с. 16;

'32. Спектральные методы решёния 'диссипативных краевых задач электродинамики, основанные на разделении солеяоидальной и потенциальной составляющих поля // Препринт ИПМаш РАН. 1993, 82 с. - , -

33. Неосесимметричные колебания вязкоупругой оболочки со сложными условиями опирания // Тр. Ленингр. гос. технич. ун-Tai, 1991, J5 438, с. 44-47. Соавторы - Т.В.Будникова, В.Н.Фридман.

34. Спектральные методы решения задач о колебаниях диссипативных механических систем с распределенными параметрами // Препринт ИШаш РАН.. 1993 , 65 с. -

35. Вариационный метод решения диссипативной краевой задачи теории упругих колебаний // Известия РАН.' Механика твердого тела. 1994. » 3. .

36. Sviyasheninov E.D. Self-similar Solutions of Spectral .Problems for Elastic Vibrations of High Cross-section Beams// Proceedings of the Third International Congress on Air- and Structure-Borne Sound and Vibration. Montreal,'Canada, 1994.

37. SYiyazheninov E.D. The Resonance Acoustic Generators on the Base of a Cylindrical Cavity and Revolving Around - It Drum// Proceedings of the 127th Meeting of the Acoustical Society' of America. Cambridge, Massachusetts, USA, 1994,-