Существенно нелинейные колебания деформируемых элементов с несколькими степенями свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Петров Игорь Львович

СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2005

Работа выполнена на кафедре Математического моделирования Московского государственного института электроники и математики (технический университет).

Научный руководитель - Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Майборода В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Зуев В.В., доктор технических наук, профессор Темис Ю.М. Ведущая организация - Институт машиноведения им. A.A. Благонравова РАН

Защита состоится « » С^ииЪ^ 200 5~ г. в часов на

заседании диссертационного Совета Д 212.133.04 в Московском государственном институте электроники и математики (технический университет) по адресу: Москва, Малая Пионерская улица, дом 12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан Ио&^Д 200-Ь г. Ученый секретарь

диссертационного Совета /I

кандидат физ.-мат. наук доцент ¿¿¿-К Яганов В.М.

С%3 г

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Несомненная актуальность динамических задач механики деформируемого твердого тела, в частности исследование установившихся колебаний определяет внимание исследователей к решению подобных проблем. Традиционные подходы, основанные на линейных постановках задач рассматриваемого класса, в последние годы значительно дополнены и уточнены за счет учета нелинейных эффектов. Основополагающие результаты были получены с помощью использования асимптотических методов. На этом этапе рассматривались, как правило, квазилинейные системы. Впоследствии применение численных методов позволило существенно расширить круг решаемых задач и проводить анализ существенно нелинейных систем. При этом были получены принципиально новые результаты, отражающие возможность реализации в существенно нелинейных системах нетривиальных колебательных режимов, странного аттрактора, сложной эволюции решений при изменении параметров системы Применительно к динамическим задачам механики деформируемого твердого тела эти результаты были получены, как правило, с учетом одной формы колебаний. Естественное продолжение этих исследований - учет нескольких форм при существенно нелинейных колебаниях деформируемых элементов конструкций. Именно этому и посвящена настоящая работа.

В работах В.П.Майбороды при исследовании колебаний линейных механических систем с несколькими степенями свободы был обнаружен эффект взаимного влияния различных форм колебаний. Несомненную актуальность имеет изучение подобных эффектов в случае нелинейных колебаний.

Цель работы заключается в разработке методики, алгоритмов, программ и количественном численном анализе существенно нелинейных

колебаний деформируемых элементов ..учетом- нескольких форм

колебаний, возможности прощелкивания, бифуркаций периодических решений, перехода к хаосу, исследование синергического эффекта при существенно нелинейных колебаниях механических систем с несколькими степенями свободы.

Новизна результатов определяется постановкой и решением новых задач с учетом нескольких форм колебаний, а также новых решений в известных задачах, обнаруженных при учете существенной нелинейности.

Достоверность результатов характеризуется корректностью постановок задач, решением тестовых задач, сравнением получаемых результатов с известными решениями. Численные результаты проверяются повторением расчетов с большей точностью.

Научная и практическая значимость диссертации заключается в возможности расчета существенно нелинейных установившихся колебаний деформируемых элементов с учетом нескольких степеней свободы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на X Международную конференцию «Математика, компьютер, образование» (Пущино, 2003), XIV симпозиум «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва, 2003), XI Международной школу-семинар «Новые информационные технологии». (Москва, 2003), докладывались на научно-технической конференции МГИЭМ (Москва, 2005), на кафедре Математического моделирования Московского государственного института Электроники и математики (МГИЭМ).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы работы [1-7].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из четырех глав, выводов, изложена на 108 стр. машинописного текста, содержит 53 иллюстрации и библиографический список, включающий 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава диссертации содержит введение, обзор литературы и обоснование выбора темы.

Классические постановки и методы решения динамических задач механики, основополагающие результаты в области колебаний нелинейных механических систем содержатся в монографиях

A.С.Вольмира, Г. Каудерера, А.М.Самойленко и Н.И.Ронто ,

B.Г.Веретенникова , М.З.Коловского, Т.Хаяси , И.И.Блехмана , В.М.Волосова и Б.И.Моргунова, работах других исследователей.

Развитие исследований в области колебаний существенно нелинейных систем связано с именами Холмса, Б.И. Крюкова, М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова, Г. Хакена, М. Фейгенбаума и др.

Исходя из анализа исследований в области существенно нелинейных колебаний механических систем можно сделать вывод о том, что вопрос о колебаниях таких систем с учетом нескольких степеней свободы не получил должного освещения. Этот факт определил выбор темы диссертации.

Для линейных диссипативных систем В.П.Майбородой и его учениками разработаны алгоритмы исследования диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эти методы нашли свое применение для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В случае нелинейных систем проявления эффекта изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров системы изучены недостаточно. Продолжение исследований в этом направлении - одна из целей настоящей работы. Ведь в нелинейной системе одновременно действуют несколько взаимовлияющих факторов, значительно усложняющих характер проявления механических эффектов и методы их анализа.

При постановке нелинейных динамических задач механики деформируемого твердого тела широко применяется такой подход:

исходная система нелинейных уравнений в частных производных сводится к системе (в первом приближении - к одному уравнению) обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом часто используется процедура Бубнова-Галеркина. Далее предполагается, что нелинейные слагаемые и слагаемые, отражающие внешние воздействия, малы по сравнению с линейными компонентами уравнений., что позволяет использовать для решения полученных квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений асимптотические или другие приближенные методы. При этом часто остается открытым вопрос количественных ограничений применимости такого подхода.

В качестве примера рассматриваются поперечные колебания однородной изотропной прямоугольной пластины. Следуя А.С.Вольмиру, приводятся уравнения движения для вынужденных и параметрических колебаний.

Ж Л ркр • (1)

Рассматривается случай, когда одновременно могут возбуждаться два вида колебаний. В линейных задачах эти динамические процессы не оказывают взаимного влияния. В рамках нелинейной постановки задачи можно ожидать возможности взаимного влияния двух принципиально различных видов колебаний даже в задаче с одной степенью свободы. Исследование такого процесса представляет несомненный интерес.

Вторая глава диссертации посвящена изложению численной методики построения периодических решений существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе сильно нелинейной считается такая система, в которой не накладывается ограничение на величину ни одного из слагаемых и используется подход А.Пуанкаре об отыскании начальных условий, соответствующих периодическому решению. При этом не задается априори вид искомого решения. Для неавтономной системы дифференциальных уравнений вида

сВД/ск=Х1 <4, хь х2,..., хп), 0=1,2,.. ,,п) Х^, хь х2,хп)=Х^+Т, X], х2,хп) (2)

(Т - известный период) необходимо найти начальные условия У|=Х1(0), У2=х2(0), ..., Ул=х„(0) и соответствующие им периодические решения системы (2) с периодом Тк=кТ (к - задаваемый номер субгармонического решения) и проверить их устойчивость.

Для определения начальных условий, соответствующих периодическому решению, имеем нелинейную систему уравнений

У,-Х;(Тк)=0, 1=1,2, ...,п (3)

Основными неизвестными являются числа Уь У2, У„. Эта нелинейная алгебраическая система не распадается на отдельные уравнения, так как величины х,(Т|() определяются из исходной нелинейной системы (2) путем численного интегрирования. Для нахождения решений системы (3) используется метод Ньютона. В работе рассмотрен также вариант реализации обсуждаемого метода для автономных систем.

Для анализа устойчивости найденных периодических решений строится система в вариациях, численно определяются мультипликаторы и используется теорема Ляпунова для неавтономных систем и теорема Андронова-Витта для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Далее в работе приводится описание алгоритма, реализующего обсуждаемый подход на персональных ЭВМ.

Сложность объекта исследования периодических колебаний существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяет сложную структуру алгоритма решения поставленной задачи. Задача может иметь несколько различных устойчивых и неустойчивых периодических решения при одних и тех же параметрах системы, также возможно хаотическое поведение решения существенно нелинейной системы при детерминированных воздействиях. Исходя из этого, при программной реализации алгоритма построения

периодических решений систем обыкновенных существенно нелинейных дифференциальных уравнений реализован интерактивный алгоритм, допускающий вмешательство пользователя в процесс вычислений и позволяющий менять параметры системы, тактику поиска решений, пользоваться средствами машинной графики и протоколирования. Алгоритм поиска решения является итерационным и интерактивным, а алгоритм анализа устойчивости - конечный.

Приводятся методы анализа соответствия полученных результатов заданной точности, применяемые на различных этапах работы алгоритма.

В качестве тестовой иллюстрации приведены результаты расчета линейных задач, имеющих аналитическое решение.

Приводится сравнение результатов, получаемых асимптотическими методами и численно, с использованием применяемого в настоящей работе метода построения периодических решений. В качестве первого примера по сравнению результатов рассмотрено классическое уравнение Дюффинга

х + jc + S х + х 3 = W sin v t . (4)

В работе приводятся сравнительные таблицы решений при различных значениях параметров W и 5, полученных двумя методами, которые позволяют определить область применимости асимптотических методов в зависимости от допускаемой погрешности решения и провести анализ зависимости решений от значений параметров.

Аналогичные сравнительные расчеты проведены для уравнения, аналогичного (1), полученного для вынужденных поперечных колебаний пластины.

При тестировании были повторены более сложные решения существенно нелинейных систем с одной степенью свободы из работ Б.И.Крюкова и Холмса, включая области бифуркаций и перехода к странному аттрактору. Кроме того, эти исследования дополнены рядом новых решений.

Третья глава диссертации посвящена исследованию колебаний систем с сосредоточенными параметрами и анализу синергического эффекта при колебаниях систем с сосредоточенными параметрами и в модельных задачах механики твердого тела.

Рассматриваются проявления эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейных колебательных системах. При этом, основываясь на подходе, апробированном при изучении подобной проблемы в линейной постановке, считается, что исходная задача механики деформируемого твердого тела с помощью упомянутых выше методов сведена к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.

Весьма важным отличием от линейной постановки задачи в нелинейной системе является принципиальная возможность проявления исследуемого эффекта изменения диссипативных свойств даже в нелинейной колебательной системе с одной степенью свободы. Это обусловлено неединственностью решения в подобных системах и наличием различных ограниченных решений при действии на систему возмущений различного характера, например вынужденные и параметрические колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы. Разумеется, проявления исследуемого эффекта можно ожидать и в нелинейных системах с несколькими степенями свободы.

Рассматриваются проявления эффекта изменения диссипативных свойств при установившихся колебаниях в нелинейных системах. При этом проявлением рассматриваемого эффекта считается явление снижения амплитуды колебаний при увеличении амплитуды внешнего возмущения определенного типа в условиях постоянства остальных внешних воздействий и параметров системы.

Исследовано сочетание вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы. Приводятся результаты численного исследования системы в окрестности зоны главного

параметрического резонанса. Частота внешнего возмущения варьировалась. При низких значениях частот динамический процесс в системе качественно близок к вынужденным колебаниям: период решения совпадает с периодом возмущения, фазовый портрет решения представляет собой замкнутую кривую типа эллипса. С ростом частоты характер решения качественно меняется. Решения, близкие к вынужденным колебаниям, становятся неустойчивыми, и при возрастании частоты устойчивые колебания в системе близки к параметрическим: период решения вдвое больше периода внешних возмущений, фазовый портрет решения подобен эллипсу. При средних частотах колебания имеют достаточно сложный характер. Все упомянутые выше решения устойчивы. Кроме того, в исследованном диапазоне частот обнаружены неустойчивые режимы, соответствующие вынужденным колебаниям. Таким образом, при воздействии на нелинейную колебательную систему возмущений качественно различного типа, возбуждающих вынужденные и параметрические колебания, колебательный процесс в системе может носить как достаточно сложный характер, обусловленный взаимодействием двух различных факторов, так и соответствовать одному из двух типов внешних воздействий.

Кроме того, обнаружено, что при возрастании амплитуды параметрического возмущения решение оставалось качественно подобным решению, полученному в случае чисто вынужденных колебаний, но амплитуда его уменьшалась с ростом амплитуды параметрического воздействия. Аналогичные численные эксперименты были проведены для пластины, уравнение движения которой имеет вид (1).

Серия графиков при изменении частоты внешних периодических воздействий, позволяющая построить одну из ветвей амплитудно-частотной характеристики, приведена на рис. 1. Обнаружено снижение амплитуды результирующих колебаний при росте амплитуды внешнего воздействия, соответствующего возбуждению вынужденных колебаний.

Проявившиеся эффекты уменьшения амплитуды колебаний с ростом амплитуды одного из двух видов внешнего воздействия (вызывающего либо вынужденные, либо параметрические колебания) можно объяснить взаимодействием в рассматриваемой системе двух различных колебательных процессов, соответствующих вынужденным и параметрическим колебаниям.

JL.O-3

$о1

Xм* 0МО2 *< 1. ♦ PAF»A*S INC OMEQ«*t > > «Х+ NEL3»X**3 + DI *Х' ♦ ♦ + NEL2*X~*2*POST = MINU~SIN<OMECj*t + FASA> STBONGLY NONLINEAR OSCILLATIONS OMD2 = l.OO NEL= .392 DISS= .iOO MINUs 1.OO

OMEG= 2.00 PARa .400 NEL2 = .ООО POSTs .ООО

FASAs .ООО

Pr*od.t>4J orogr.Petrov I.L. Moscow,MOIEH

Рис. 1.

Этот факт можно трактовать как проявление эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейной колебательной системе с одной степенью свободы. Отметим, что в линейных задачах подобный эффект может проявляться только в системах, число степеней свободы которых не менее двух

В качестве примера с системы с двумя степенями свободы рассматривается модельная задачу расчета нелинейного динамического гасителя. Эта задача в линейной постановке имеет аналитическое решение.

Заметим, что эффект динамического гасителя является простейшим проявлением эффекта изменения диссипативньгх свойств динамической системы, получившего свое развитие применительно к задачам линейной механики деформируемого твердого тела в работах В.П.Майбороды. Дальнейшим развитием упомянутого подхода является тот факт, что обе пружины считаются существенно нелинейными, для определенности обладающими кубическими характеристиками.

Уравнения движения рассматриваемой конструкции имеют вид:

т1х] + cix] -с2(х2 - x¡) - /2(х2 -х,)3 +b¡x¡ -

- b2 (х2 - хх) = Q sin cot

т2х2 + с2 (х2 - л,) + у г (х2 ~~ х\ )3 + bг ~ ) = ® Здесь обозначено: шь т2 - массы первого и второго грузов соответственно, хь х2- отклонения грузов от положения равновесия, хь х2-сь с2, 7ь 72- коэффициенты в жесткостной характеристике первой и второй пружин, Ьь Ь2- коэффициенты диссипации энергии в пружинах, Q -амплитуда внешней гармонически изменяющейся во времени t силы, приложенной к массе Ш], со - частота внешнего воздействия.

На рис.2 приведены устойчивые ветви амплитудно-частотной характеристики, полученной при следующих значениях параметров: Ш|,= 10, m2,= 1, сь = 4, с2,= 2, 7i = 50, у2= 50, bi = 0.3, b2=0.3, Q=l. Кривые, отмеченные цифрой 1, соответствуют амплитуде колебаний тела ть цифрой 2 - тела т2. Присутствует зона, где отмечается неоднозначность амплитудно-частотной характеристики; возможен перескок решения с одной ветви на другую при изменении частоты. Отметим, что этот график построен при не малых значениях параметров диссипации. При этом решения имеют простой моногармонический характер. При небольшой диссипации (Ь,= 0.1, Ь2= 0.1 ) существует диапазон частот в котором не обнаружено устойчивых решений.

I

г

I

Амплитудно-частотная характеристика нелинейного динамического гасителя

-о-2 -й-1 -*-2

Рис. 2

Глава 4 посвящена анализу существенно нелинейных колебаний в задачах механики деформируемого твердого тела. В качестве объекта исследования выбран сжатоизогнутый стержень, при поперечных колебаниях которого допускается режим прощелкивания (перескока).

Рассматривается прямолинейный стержень длины Ь постоянного поперечного сечения Б, упругий материал стержня имеет модуль упругости Е, плотность р. Ось х совмещена с осью стержня. Край стержня х=0 свободно оперт, а край х=Ь сдвинут вдоль оси х на величину Б , причем Б«Ь и закреплен в этом положении с выполнением условия свободного опирания. В рассмотрение включен и наиболее интересный вариант, когда Б<0, то есть стержень сжат. Геометрия поперечного сечения стержня такова, что все его движения происходят в плоскости. Если стержень при смещении края х=Ь потерял статическую устойчивость, его ось будет представлять собой плоскую кривую м>(х,г).

На стержень в этой плоскости действует поперечная Т-периодическая по времени г нагрузка q(x,t):=q(x,t+T).

Уравнения движения .получены, исходя из принципа возможных перемещений:

О дх1 дх1 О

д\мддл>,

■ах-

дх дх

- |Р<5ш& = 0; (6)

О д(2 О

/= \г2с18-,Р(х,1) = -г]Цх, <) + ?(*,О 5

Для учета различных форм, которые может принимать стержень при колебаниях с возможным прощелкиванием, прогиб аппроксимируется следующим образом:

г- М

м(х^) = л/8(у1(0вт(лх/Г)+ £ ут(1)ът{тлх1 Ц) (7)

т-2

Здесь у ■ (0 - искомые функции времени.

Для их определения получена систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

У} (0 + ]2(к V + )у. (О + у. ш2у1 (гЛ +

2Q.it) {8)

Здесь

6/(0= <5, = -2— (9)

у Л 1 ир 5

1 с Л1<

■ [о (х, /) ж /1)^; <?. = -

0 1 №

Для этой системы обыкновенных нелинейных дифференциальных

уравнений ставится задача отыскания рТ-периодических решений

(р=1,2,..., р<°°) и проверки их устойчивости. В случае аппроксимации

прогиба одним слагаемым ряда получаем уравнение Дюффинга. В существенно нелинейной постановке при Б<0 это уравнение исследовано Холмсом, при 0>=0 - Б.И.Кргоковым. В обеих постановках обнаружены как весьма сложные периодические решения, так и хаотические апериодические решента. Некоторые из этих результатов использованы для тестирования применяемого метода исследования.

В работе в постановке задачи учитываются не менее двух слагаемых в аппроксимации прогиба. Соответственно учитывается не менее двух существенно нелинейных уравнений. Рассматривается вариант, когда

q{x,t) = WыШw¿J-1■Юecп, ^(0^0,^(0 = 0,7 = 2,3,... (ю)

В случае, когда учитывались две формы в аппроксимации прогиба (7) (N=2), в диапазоне частот со <0.45 и со >0.8 получено, что у2(0 = 0. В диапазоне 0.45 < со <0.8 обнаружено нетривиальное периодическое решение 0,уг(г)*0. Один период этого решения, найденного при

со = 0.6, представлен на рис.3. Кривая с большей амплитудой соответствует 1),с меньшей - у2(/).

С уменьшением частоты уменьшается относительная величина второй формы, и при со <0.45 у2 (1) = 0. Отметим, что период функции у2 (г) вдвое меньше периода функции у1 (г), а фазовые соотношения между ними соответствуют существенному искажению прямолинейной формы оси стержня при прохождении неустойчивого положения равновесия На рис.4 приведены формы оси стержня в отдельные моменты времени при колебаниях с прощелкиванием. При достаточно низких частотах возбуждения характер колебаний значительно усложняется, появляются высокочастотные колебания около устойчивых положений равновесия, (рис. 5).

Колебания стержня с двумя степ. свободы 1>0ПЕС= .(ООО 5

с прощелкивАнием

кг = .100Е-0201 =-.11ое-о и= .зоо н = 1.00

Рго().Ьу (1гоэг.Ре1гои 1.1-. Новсои, МШЕН

Рис. 3

Для проверки точности получаемых решений не только по времени, но и по координате (аппроксимации прогиба двумя формами может быть недостаточно) были проведены расчеты, когда прогиб аппроксимировался тремя слагаемыми из ряда (7) (N=3). При этом выяснилось, что в этом случае не было тождественно равно нулю, а по крайней мере один из коэффициентов при двух других слагаемых тождественно равен нулю.

Рис.4

.. -1.0

17.9.2002 РНа«« £о1иЪ1оп» <пии.г1.>

Дм* о»п«ни свободы 1 > 0ПСО= . ЮОО

к 2 з .100Е-0201 в-.1ЮЕ~ОЮеиз . ЗОО М О = X. ОО

ОМЕО= .100

Рис.5

Сказанное относится к случаю, когда нагрузка распределена по закону (10). Какая из высших форм возбуждается зависит от параметров системы, частоты внешнего воздействия и стартовых начальных условий. Подстановка найденных численно решений в уравнение движения стержня показывает, что относительная величина невязки не превышает 10". В случае, когда коэффициент при высшей форме колебаний тождественно равен нулю, невязка при расчетах с учетом одной и двух форм совпадает с точностью вычислений. Если же при колебаниях стержня возбуждаются две формы, а расчет производить с учетом одной формы, то относительная невязка уравнения движения стержня достигала 30 %.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что в рассмотренной системе при анализе вынужденных колебаний с прощелкиванием достаточен учет лишь одной из форм, ортогональных нагрузке. При этом невязка уравнения движения позволяет судить о достижении необходимой точности аппроксимации.

Приведены результаты исследования существенно нелинейных колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием при изменении других параметров системы.

ВЫВОДЫ.

1. Исследовано проявление эффекта изменения диссипативных свойств динамической системы в случае нелинейных колебаний. Этот эффект обнаружен при сочетании вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы, а также проявления этого эффекта в весьма сложной форме получены в задачах с двумя степенями свободы. Эти результаты можно считать развитием исследований эффекта изменения диссипативных свойств механической системы для нелинейных систем.

2. Дана постановка задачи о существенно нелинейных колебаниях сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом нескольких форм колебаний. Получено, что при наличии диссипации при анализе вынужденных поперечных колебаний кроме основной формы можно учитывать не более одной дополнительной формы колебаний, ортогональной нагрузке.

3. Исследованы различные сложные режимы колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием, в которых при одних и тех же параметрах системы в процесс колебаний вовлечены одна или две формы.

4. ' Исследованы бифуркации удвоения периода при колебаниях с

прощелкиванием сжатоизогнутого стержня с учетом двух форм.

5. При изучении амплитудно-частотной характеристики вынужденных колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом двух форм обнаружено, что в зоне существования нескольких различных периодических решений одно из них может соответствовать колебаниям с учетом двух форм, второе - одной.

Разработанные методики можно применять для анализа существенно нелинейных колебаний деформируемых элементов с несколькими степенями свободы.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Петров И.Л. Численное моделирование существенно нелинейных поперечных колебаний упругого стержня. - М.: МГИЭМ, 2002. 18 с. Деп. В ВИНИТИ № 1979-В2002

2. Петров И.Л., Петров Л.Ф. Вынужденные установившиеся колебания сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием. - М.: МГИЭМ, 2002. 13 с. Деп. В ВИНИТИ № 1980-В2002

3. Майборода В.П., Петров И.Л. Проявления эффекта изменения диссипативных свойств в существенно нелинейных динамических моделях. - М.: МГИЭМ, 2002. 9 с. Деп. В ВИНИТИ № 1981-В2002

4. Петров И.Л. Численное исследование колебаний существенно нелинейных систем с несколькими степенями свободы. - Тезисы докладов X Международной конф. «Математика, компьютер, образование». Пущино, 2003.

5. Петров И.Л. Нелинейные вынужденные колебания сжатоизогнутого стержня с потерей устойчивости. - Тезисы докл. XIV симпозиума «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем». М., 2003.

6. Майборода C.B., Петров И.Л. Инструментальное средство для исследования периодических решений существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - Тезисы докл. XI Международной школы-семинара «Новые информационные технологии». М.: 2003.

7. Петров И.Л. Существенно нелинейные колебания с несколькими степенями свободы в задачах механики деформируемого твердого тела. - Тезисы докладов научно-технической конференции МГИЭМ. М., 2005.

- л ^ /О

РНБ Русский фонд

2007-4 6795

Подписано к печати « // » -//

200S~ г.

Отпечатано в типографии МГИЭМ. Москва, ул. М. Заказ № £ ¿5*. Объем 0 п.л. Тираж 1РО экз.

дШВ?5ГГ4

1. Введение. 4 1.1 .Обзор литературы. Обоснование выбора темы. 4 1.2. Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела.

2. Численная методика построения периодических решений4 существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1. Построение периодических решений.

2.2. Анализ устойчивости.

2.3. Описание программного обеспечения.

2.4. Анализ точности. Тестовые и сравнительные расчеты. 33 4.2. Основные результаты главы 2.

3. Колебания с несколькими степенями свободы систем с сосредоточенными параметрами. Синергический эффект при колебаниях систем с сосредоточенными параметрами и в модельных задачах механики деформируемого твердого тела. 57 3.1. Сочетание вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы.

3. 2. Вынужденные колебания в нелинейной системе с двумя степенями свободы.

3.3. Основные результаты главы 3.

4.Существенно нелинейные колебания в задачах механики деформируемого твердого тела.

4.1. Колебания сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием. Постановка задачи.

4.2. Численное исследование существенно нелинейных вынужденных колебаний сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием.

4.3. Основные результаты главы 4. 99 Выводы. 100 Список литературы

Глава 1. Введение 1.1. Обзор литературы. Обоснование выбора темы.

Классические постановки и методы решения динамических задач механики приведены в монографиях, перечисленных в начале списка литературы. Основополагающие результаты в области колебаний нелинейных систем содержатся во втором томе справочника [1] и ряде монографий А.С.Вольмира [10], Г. Каудерера [13], А.М.Самойленко и Н.И.Ронто [14], В.Г.Веретенникова [15], М.З.Коловского [16], Т.Хаяси [17],

И.И.Блехмана [19], В.М.Волосова и Б.И.Моргунова [27], работах других исследователей.

Развитие исследований в области колебаний существенно нелинейных систем связано с именами Холмса [56], В.И.Арнольда [54], В.С.Анищенко [53], Б.И. Крюкова [23], М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова [21], Г. Хакена [22], М. Фейгенбаума [69] и др.

В работах недавнего времени существенно нелинейные колебания также нашли свое отражение. Так, в статье [60] рассмотрены нелинейные колебания в закритическом состоянии двухопорных балок с различными граничными условиями. Используя аппарат эллиптических функций Якоби, найдены собственные частоты колебаний. В- работе [61] дан обзор современных методов расчета нелинейных колебаний элементов конструкций. В статье Р.ШЬепю [62] дан анализ экспериментальных данных о роли второй гармоники в нелинейных поперечных колебаниях балок с большими прогибами. В работе [63] дан анализ бифуркаций гибкой криволинейной панели, исследован хаос в различных практических нелинейных задачах. В статье [64] уравнения движения построены по методу Галеркина, периодические решения получены методом гармонического баланса, исследованы условия перехода к хаосу при колебаниях с прощелкиванием выпученной балки. В работе А.Л. Тукмакова [66] на основе метода конечных разностей исследованы нелинейные колебания упругой панели под действием периодической нагрузки.

Ряд исследований последних лет к традиционным направлениям добавляют новые аспекты. Так в статье [57] авторы для оптимизации параметров динамического гасителя используют технологию искусственных нейронных сетей, в работе [51] нелинейная динамика рассматривается как ключ к теоретической истории. Но эти и другие подобные интересные направления выходят за рамки настоящей работы.

В цикле исследований В.П. Майбороды и его коллег [33-38] обнаружен и детально исследован эффект изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эта зависимость, часто называемая синергическим эффектом, изучена в процессе анализа колебаний линейных диссипативных систем с несколькими степенями свободы. Проявления этого эффекта принципиально невозможны в линейной системе с одной степенью свободы.

Другой важной областью проявления синергического эффекта является использование синергос-композиционных материалов и различных структур на их основе для создания разнообразных защитных конструкций от многофакторных внешних воздействий. В' число этих факторов входят как механические воздействия (вибрации, шумы, удары), так и электромагнитные излучения. При этом рассматриваются как упругие, так и вязкоупругие материалы. Цикл работ в этом направлении В.П.Майбороды и» его сотрудников [39-41] включает постановки соответствующих задач расчета электромагнитомеханических процессов в неоднородных средах, описываемых связанными уравнениями электромагнитного поля и термоупругости, разработку методов решения подобных задач. При этом для анализа переменных характеристик среды, как правило, используются асимптотические методы малого параметра и осреднения.

Приведенный обзор литературы не претендует на полный охват публикаций по направлениям, связанным с темой настоящей работы ввиду большого количества исследований и затрагивает лишь работы, наиболее близкие к теме диссертации.

Исходя из анализа исследований в области существенно нелинейных колебаний механических систем можно сделать вывод о том, что вопрос о колебаниях таких систем с учетом нескольких степеней свободы не получил должного освещения. Кроме того, представляет несомненный интерес продолжить исследование проявления эффекта изменения диссипативных характеристик динамической системы в случае существенно нелинейных колебаний. Эти факты определили выбор темы диссертации.

Актуальность темы определяется необходимостью количественного численного анализа существенно нелинейных колебаний деформируемых элементов с учетом возможного прощелкивания, нескольких форм колебаний, бифуркаций периодических решений, перехода к хаосу.

Новизна результатов определяется постановкой и решением новых задач с учетом нескольких форм колебаний, а также новых решений в известных задачах, обнаруженных при учете существенной нелинейности.

Достоверность результатов определяется корректностью постановок задач, решением тестовых задач, сравнением получаемых результатов с известными решениями. Численные результаты проверяются повторением расчетов с большей точностью.

Научная и практическая значимость диссертации заключается в возможности расчета существенно нелинейных установившихся колебаний деформируемых элементов с учетом нескольких степеней свободы.

1.2. Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела.

Современные механизмы работают в тяжелых с точки зрения динамики режимах. Во многих случаях вибрации, удары, потеря устойчивости деформируемых элементов являются постоянными составляющими, входящими в условия работы механизма. Роль колебаний в технических приложениях разнообразна и значительна. С одной стороны, эта роль может быть вредной, приводя к ненужным и излишним динамическим нагрузкам. Ведь ускорение пропорционально квадрату частоты, соответственно возникает опасность перегрузок при высокочастотных колебаниях. Однако и при низкочастотных колебаниях могут возникать нежелательные перегрузки. При низких частотах, как правило, возрастают амплитуды колебаний, при этом могут быть достигнуты естественные технические ограничения конструкции, жесткость элементов-ограничителей амплитуды как правило значительно больше жесткости деформируемых элементов в рабочем диапазоне, при контакте с жестким элементом-ограничителем возникают высокочастотные колебания (дребезг) с большими ускорениями, и вся система уже не может рассматриваться как линейная. Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы увеличить диссипативные характеристики системы, избежать контакта с ограничителями и оставаться в рамках линейной постановки задачи.

С другой стороны, существует ряд технологических процессов, где вибрации находят полезное применение (вибрационная транспортировка, обработка металлов и т.д.). Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы диссипативные характеристики системы не снизили параметры вибрации ниже технологически необходимого уровня.

Для линейных диссипативных систем В.П.Майбородой и его учениками разработаны алгоритмы исследования диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эти методы нашли свое применение для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В случае нелинейных систем проявления эффекта изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров системы изучены недостаточно. Продолжение исследований в этом направлении - одна из целей настоящей работы. Ведь в нелинейной системе одновременно действуют несколько взаимовлияющих факторов, значительно усложняющих характер проявления механических эффектов и методы их анализа. Среди упомянутых взаимовлияющих факторов выделим следующие:

- взаимодействие различных форм колебаний, определяющее изменение диссипативных характеристик. В линейных диссипативных системах с несколькими степенями свободы этот вопрос исчерпывающе изучен в работах В.П. Майбороды и его сотрудников. В нелинейных системах, в которых нет единственности решения, существует неоднозначность амплитудно-частотной характеристики, взаимодействие различных форм колебаний может проходить значительно сложнее. В частности, в отличие от линейных диссипативных систем, эффект изменения диссипативных свойств может проявляться даже в системе с одной степенью свободы за счет взаимодействия различных видов колебаний, присущих нелинейным системам (вынужденные, параметрические, автоколебания, которые в нелинейной системе имеют ограниченную амплитуду). Кроме того, в нелинейной системе с одной степенью свободы с учетом неоднозначности решения, присутствия эффекта перескока решения с ветви на ветвь амплитудно-частотной характеристики при вынужденных колебаниях может иметь место взаимодействие различных решений и влияние этого взаимодействия на диссипативные характеристики. Еще более сложный характер может иметь проявления эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейной диссипативной системе с учетом нескольких степеней свободы. Ведь упомянутые нелинейные эффекты могут проявляться по каждой из форм колебаний, и при этом возможно их взаимное влияние. в существенно нелинейной полностью детерминированной динамический системе колебания могут иметь хаотический характер. В работе Холмса [56] приведены результаты исследования вынужденных поперечных колебаний потерявшего устойчивость стержня с учетом одной формы колебаний. При этом не рассматривается возможное влияние высших форм колебаний на динамический процесс. Одним из возможных сценариев перехода от детерминированных движений к хаотическим и обратно при изменении каких-либо параметров системы являются бифуркации удвоения периода с учетом универсальной постояннойг Фейгенбаума [69]. Эти результаты дополняются экспериментальными исследованиями Муна [72], показывающими хаотический характер существенно нелинейных вынужденных колебаний стержневой системы с перескоком. Естественно, анализ подобных эффектов в существенно нелинейных системах с учетом нескольких форм колебаний значительно сложнее, чем в системах с одной степенью свободы, но результаты такого анализа представляет несомненный интерес.

- отдельно выделим диссипацию энергии. Ведь с одной стороны коэффициенты диссипации энергии - это параметры исходной системы, которые в принципе можно варьировать. Но изменение диссипативных характеристик всей механической системы при изменении отдельных параметров является результирующим эффектом, который может быть достигнут при неизменных коэффициентах диссипации. Это получено для линейных диссипативных систем, естественно представляет интерес исследование аналогичных зависимостей для нелинейных систем. И конечно представляет интерес исследование влияния коэффициентов диссипации отдельных подсистем на общие диссипативные характеристики системы.

Особый интерес представляет анализ влияния диссипации на возможность реализации сложных полигармонических и хаотических колебаний в детерминированной существенно нелинейной механической системе.

- степень нелинейности механической системы значительно влияет на характер колебаний и, соответственно, определяет методы анализа, с помощью которых можно получать достоверные результаты. Многие механические системы при малых амплитудах внешнего воздействия (или при значительной диссипации) можно рассматривать как линейные, с ростом внешнего воздействия и амплитуды колебаний появляется влияние нелинейных эффектов, и для анализа таких режимов хорошо развит аппарат асимптотических методов. В случае значительных внешних воздействий и амплитуд результирующих колебаний механическая система приобретает свойства существенно нелинейной, системы, для анализа которой методы анализа линейных и квазилинейных систем неприменимы. Отдельно отметим механические системы с перескоком - механические системы, в которых нелинейные эффекты проявляются наиболее ярко, когда небольшому изменению параметра соответствует кардинальное изменение в системе -перескок. Для статических задач это как правило потеря устойчивости системы, для динамических задач колебания систем с перескоком соответствуют существенно нелинейному динамическому режиму. Применительно к колебаниям стержней, пластин, оболочек вместо термина «перескок» часто используют термин «прощелкивание». Отметим, что колебания механических систем с прощелкиванием предваряются потерей системой статической устойчивости, бифуркацией ее статического состояния, и на этот статический эффект накладывается периодически изменяющееся во времени внешнее воздействие, приводящее к возникновению колебаний с прощелкиванием, в которых при изменении параметров системы возможны уже бифуркации динамических периодических решений.

- рассматриваемые в настоящей работе существенно нелинейные колебания механических систем не только терминологически, но и гносеологически, то есть с точки зрения теории познания, связаны с исследованиями в области самоорганизации разнообразных систем, синергетикой, теорией катастроф, однако эти далеко идущие обобщения выходят за рамки настоящей работы.

Возвращаясь к традиционным задачам, рассматриваемым в рамках механики деформируемого твердого тела, отметим^ что одним из важных приложений эффекта изменения диссипативных характеристик механических систем являются задачи виброизоляции систем с несколькими степенями свободы. Известны два основных направления виброзащиты. Первый из них заключается в присоединении к защищаемому объекту дополнительных упругих или вязкоупругих динамических подсистем, параметры которых выбираются таким образом, чтобы достичь уменьшения амплитуды колебаний защищаемого объекта. Жри этом очевидно, что число степеней свободы объединенной динамической системы увеличивается. Классическим примером такой системы является динамический гаситель колебаний [9]. Второй метод определяется использованием в качестве упругих (вязкоупругих) элементов амортизаторов. В результате образуется динамическая система виброизоляции. Расчету подобных систем посвящена обширная литература [1].

Вообще говоря, даже абсолютно твердое тело, помещенное на систему амортизаторов, имеет шесть степеней свободы и столько же резонансных частот. Колебания амортизируемого объекта являются связанными, то есть перемещения вдоль одной из осей координат вызывают перемещения и повороты относительно других осей. Известны частные случаи, когда амортизируемый объект симметричен относительно упругих и инерционных свойств, колебания на упругих амортизаторах разделяются. Этот вариант, как правило, проще для анализа.

Задача расчета собственных и вынужденных колебаний для упругих линейных колебательных систем с конечным числом степеней свободы исследована весьма подробно [1]. Во многих случаях ее возможно свести к использованию стандартных программ. Для линейных динамических систем с распределенными параметрами успешно применяются численные методы конечных элементов, ортогональной прогонки. При исследовании линейных неконсервативных систем возникают дополнительные вопросы, связанные как с моделированием механизма диссипации, так и с неконсервативностью системы. Эти проблемы применительно к задачам расчета линейных и квазилинейных систем виброизоляции детально исследованы в цикле работ [33-38].

При постановке нелинейных динамических задач механики деформируемого твердого тела широко применяется такой подход: исходная система нелинейных уравнений в частных производных сводится к системе ( в первом приближении - к одному уравнению) обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом часто используется процедура Бубнова-Галеркина. Далее предполагается, что нелинейные слагаемые и слагаемые, отражающие внешние воздействия, малы по сравнению с линейными компонентами уравнений., что позволяет использовать для решения полученных квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений асимптотические или другие приближенные методы. При этом часто остается открытым вопрос количественных ограничений применимости такого подхода.

Рассмотрим поперечные вынужденные колебания однородной изотропной прямоугольной пластины размерами в плане а х Ь, толщиной Ь. Материал пластины имеет модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона плотность р Пластина нагружена вдоль стороны а постоянными сжимающими усилиями Р, действующими в плоскости срединной поверхности. Края пластины шарнирно оперты и могут свободно смещаться в плоскости опорного контура. Учитывается распределенная поперечная

С« I периодически изменяющаяся во времени нагрузка ц^). Оси координат х, у направлены вдоль краев прямоугольной пластины. Пренебрегая движениями в плоскости пластины, А.С.Вольмир [10] приводит следующие уравнения движения:

DV\W-W0) = L(W,Ф) + qlh-p^-t (1.2.1) У4Ф = -0.5[1(Г, Ж) -ЦЖ0, Ж0У] (1,2.2)

Э гу

Здесь Б = ЕЙ /[12(1-|я")] - цилиндрическая жесткость, ^¥(х,у,1:) - отклонение по нормали к срединной поверхности, Wo(x,y) - известное начальное отклонение от плоского состояния пластины, фл д2№ д2ф | д2Ф д2Ж д2Ф ' дх2 ду2 + ду2 дх2 дхду дхду (Ь2-3)

Поперечная периодически изменяющаяся во времени нагрузка определяется как сое 1). Начальный прогиб задается в виде

Ж0 = /0 $т{тжIа)$т(плу IЪ). (1-2.4)

Искомый прогиб аппроксимируется выражением Ж = /(¿)бш( т пх / а ) Бт( ппу!Ъ ) (1.2.5)

Используя метод Бубнова-Галеркина, А.С.Вольмир [10] приводит обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные нелинейные колебания пластинки : ®о- (1 - ^гШ3 - К'-2 + «I)-^-^р' = ¿(/) (1.2.6)

Ш Г0 /р РЬ2

Здесь введены обозначения: <?(0^, ^ ,

Ек

16с 2 7Г2т2(1 + п2Я2 /т2)2 о ~ -2/1 ,.2ч . Я = а/Ь а2

12Л (I- /л ) тиАт\\ + п2Л2!т2)2с2к2

12Я2 (1 - р2 )а 2Ь2 ' [1+(лЯ/т)2]2(1-Р*//£)'

1.5(1-У)[1 + (пЛ/т)4]<?0 0.75(1-//)[!+(пЛ/т)4]

Для идеальной пластины, у которой начальные отклонения от плоского состояния отсутствуют, имеем: откуда а=1, (3=0. Уравнение движения (1.2.6) в этом случае примет следующий вид: ^Отп (1 ~ 3 + ) = (1.2.7)

Рассмотрим колебания по основной форме, то есть т=п=1. Пусть р=0.25, а=Ь (пластина квадратная), тогда Аг=1. Вычисляя коэффициент при кубичном слагаемом в уравнении движения, получим:

0.352

7] =

1 -р*/Р; (1-2-8>

Если сжимающие усилия отсутствуют (Р=0), то уравнение (1.2.7) принимает форму классического уравнения Дюффинга: §) = 9(0, (1.2.9) при этом г|=0.352. Нелинейное слагаемое будет меньше линейных при колебаниях, амплитуда которых не превышает толщину пластины. Найдем условия, при которых правая часть уравнения движения не превосходит линейных слагаемых: д^) < со

Отсюда получаем: 2 отп

16с2 4тг4с2к2 ж2Ек2 К 12а2620.9375

Для амплитуды поперечной нагрузки Б имеем: 7Г6ЕН4 ЕН г<-—-«21

48я2Ь20.9375 а2Ь2 (Ь2Л0)

Видно, что последнее неравенство для достаточно тонких пластин может быть выполнено лишь при весьма малых амплитудах внешнего воздействия, что на практике приводит к существенным ограничениям при использовании асимптотических методов для расчета конструкций. В реальных вариантах расчета уравнение движения становится существенно нелинейным, и для его решения необходимо использовать специальные методы.

Рассмотрим пример конкретной пластины. Пусть а=Ь=0.1т., Ь=0.001 т., Е=2.1х10пР. Тогда условие (1.2.10) будет выполняться при Р<44.1х103 Р. Если же размеры пластины будут а=Ь=1 т при неизменных остальных параметрах, то условие (1.2.10) выполняется при Р<4.41Р. Такие границы применимости по величине внешнего воздействия определяют необходимость использования методов расчета, свободных от подобных ограничений.

Вернемся к уравнению (1.2.7), учитывающему влияние сжимающих сил Р в плоскости пластины. Величина Р0* соответствует критической силе потери статической устойчивости плоского состояния пластины. Если сжимающие усилия Р таковы, что Р' > Р*, то получим уравнение вида (Л^3 + <?) ~ #(0 , (1.2.11) которое формально соответствует вынужденным колебаниям пластины с прощелкиванием после потери статической устойчивости. Подобное уравнение использовал Холмс [56] при исследовании вынужденных поперечных колебаний стержня, потерявшего статическую устойчивость.

При этом обнаружены сложные периодические режимы, странный аттрактор. Эти результаты использованы в качестве тестовых.

В работе [75] рассмотрены различные варианты граничных условий для задач о нелинейных колебаниях круглых и квадратных пластин. Уравнение движения имеет вид:

7(0+®7(о+«а>73(о = P(t) (1.2.12)

Приводятся таблицы, содержащие коэффициенты этого уравнения при различных вариантах граничных условий.

Для того же объекта исследования - прямоугольной пластины ставится также задача анализа параметрических колебаний [10]. При этом считается, что по сторонам пластины b приложены сжимающие усилия

Px=Po+PtCOs(Qt). (1.2.13)

Принято, что пластина шарнирно оперта по краям, стороны а неподвижны, в отношении сторон b принимается, что сторона х=а свободно смещается относительно второй стороны х=0 пластины, сторона х=0 фиксирована. Прогиб аппроксимируется выражением (1.2.5) при m=n=l. Уравнение параметрических колебаний имеет вид:

2П P¡ + P¡oos(nt) ез 0

--—*-K+1S (1.2.14) кр

2/1 , i 2 \ 2

7Г\1 + ЛЛУ

Здесь Ркр - 12Л2 (1 — //2)(1 + /¿Л2) " кРитическое продольное усилие, соответствующее статической потере устойчивости, рх = Ро + Pt cos( Рх =~(ЬА безразмерные параметры внешнего параметрического возмущения. Из

Н* И» ч •! уравнения (1.2.14) видно, что при Рх =Po+Pt COS(12r) > р ь

-1= кр меняется знак при линейном слагаемом, и появляется аналогия с колебаниями с прощелкиванием после потери статической устойчивости.

Учтем оба вида внешнего воздействия - периодическое по времени воздействие в плоскости пластины, определяющее возможность возникновения параметрических колебаний, и периодически изменяющееся по времени поперечное воздействие, направленное перпендикулярно срединной плоскости пластины, вызывающее вынужденные колебания, а также диссипацию энергии. В результате приходим к уравнению вида

При этом одновременно могут возбуждаться два принципиально различных вида колебаний. В линейных задачах эти динамические процессы не оказывают взаимного влияния. В рамках нелинейной постановки задачи можно ожидать возможности взаимного влияния двух принципиально различных видов колебаний даже в задаче с одной степенью свободы. Исследование такого процесса представляет несомненный интерес.

Заметим, что в рамках применяемого подхода конкретный вид нелинейности не имеет существенного значения - линейные уравнения, уравнения с кубичной нелинейностью или нелинейными функциями более общего вида исследуются в рамках общего подхода. Естественным ограничением области применения рассматриваемого метода является возможность численного решения задачи Коши с заданной точностью на одном периоде искомого решения.

Отметим, что большинство результатов получено в условиях аппроксимации одной базисной функцией метода Бубнова-Галеркина. В рамках настоящей работы мы будем рассматривать существенно нелинейные колебания деформируемых элементов с несколькими степенями свободы, при этом применяемый подход позволяет изучать не только существенно р0

1.2.15) нелинейные, но и в том числе линейные и квазилинейные динамические задачи механики деформируемого твердого тела.

100 выводы.

Исследовано проявление эффекта изменения диссипативных свойств динамической системы в случае нелинейных колебаний. Этот эффект обнаружен при сочетании вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы, а также проявления этого эффекта в весьма сложной форме получены в задачах с двумя степенями свободы. Эти результаты можно считать развитием исследований эффекта изменения диссипативных свойств механической системы для нелинейных систем.

Дана постановка задачи о существенно нелинейных колебаниях сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом нескольких форм колебаний. Получено, что при наличии диссипации при анализе вынужденных поперечных колебаний кроме основной формы можно учитывать не более одной дополнительной формы колебаний, ортогональной нагрузке.

Исследованы различные сложные режимы колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием, в которых при одних и тех же параметрах системы в процесс колебаний вовлечены одна или две формы. Исследованы бифуркации удвоения периода при колебаниях с прощелкиванием сжатоизогнутого стержня с учетом двух форм. При изучении амплитудно-частотной характеристики вынужденных колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом двух форм обнаружено, что в зоне существования нескольких различных периодических решений одно из них может соответствовать колебаниям с учетом двух форм, второе - одной.

Разработанные методики можно применять для анализа существенно нелинейных колебаний деформируемых элементов с несколькими степенями свободы.

101

1. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. М., Машиностроение, 1981.

2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: ГИФМЛ, 1961. 440 с.

3. В.И. Гуляев, В.А. Баженов, C.JI. Попов. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М., Высшая школа, 1989.

4. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. -М., Машиностроение, 1980. 280 с.

5. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1981. 392 с.

6. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980. 270 с.

7. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М., Наука, 1986. 294 с.

8. Илюхин A.A. Пространственные задачи' нелинейной теории упругих стержней. Киев, Наукова Думка, 1979. - 216 с.

9. И.М. Бабаков. Теория колебаний. М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1958.

10. Ю.Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.- М., Наука, 1972. 432 с.

11. Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967.

12. Пуанкаре А. Избранные труды в 3 томах. Т.1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971. 772 с.

13. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: И.Л., 1961. 780 с.

14. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев, Вища школа, 1976.

15. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., Наука, 1984. 320 с.

16. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. Мю: Наука, 1966. 318 с.

17. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

18. Р. Шмидт. Параметрические колебания. М., Мир, 1978.

19. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 352 с.

20. Блехман И.И. Вибрационная механика: основные результаты, современное состояние, нерешенные задачи. 8 Всеросс. Съезд по теоретич. и прикладной механике. Екатеринбург-Пермь, УрО РАН: 2001. с. 105.

21. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984. 432 с.

22. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 408 с.

23. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем.- М., Машиностроение, 1984. 216 с.

24. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах: Нелинейности порогового типа. М., Наука, 1985. 320 с.25.3акржевский М.В. Колебания существенно нелинейных механических систем. Рига: Зинатне, 1980. 190 с.

25. Бондарь Н.Г. Нелинейные стационарные колебания. Киев: Наукова думка, 1974. 212 с.

26. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: МГУ, 1971. 507 с.

27. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

28. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

29. Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем. Киев: Наукова думка, 1980. 382 с.31 .Гребеников Е.А. Математические модели в нелинейной механике. -М.: МГУ, 1983. 103 с.

30. Майборода В.П., Петров Л.Ф., Трояновский И.Е. Метод построения периодических решений существенно нелинейных колебательных систем.- В сб. Расчеты на прочность, вып. 26. М.: Машиностроение, 1985, с. 279-284.

31. Майборода В.П. К вопросу исследования неоднородных вязкоупругих систем.- В сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1982, с. 43-49.

32. Майборода В.П. Моделирование колебаний радиоэлектронной аппаратуры в системах с упругими нелинейными элементами и вязким трением. М.: Труды МИЭМ. Вып. 19. 1971.

33. Майборода В.П., Моргунов Б.И., Колтунов М.А. О вынужденных колебаниях вязкоупругого виброзащитного слоя. Механика полимеров. 1972. № I.e. 124-172.

34. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания абсолютно твердого тела с шестью степенями свободы, установленного на вязкоупругих амортизаторах. ВИНИТИ, № 256281. Деп. От 28,05,1981 г.

35. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания неоднородных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы. В сб. Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. Свердловск, 1983. с. 21-26.

36. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания систем твердых тел на неоднородных вязкоупругих амортизаторах.- Изв. АН СССР. Сер. Машиностроение. 1983. № 3.

37. Майборода В.П. Синергизм в задачах механики композитов. МДТТ РАН. №2. 2001г.

38. Шленов А.Ю., Майборода В.П. Расчет структурно-неоднородных композитных материалов с учетом синергетического эффекта вязкоупругих свойств наполнителя. М.: Машиностроение. №3. 2001 г

39. Рогов A.A., Майборода В.П. Динамика упругопластических обол очечных конструкций. МДТТ РАН. №1. 2001г.

40. Моргунов Б.И., Петров Л.Ф. Численный анализ колебаний существенно нелинейных систем. М.: МИЭМ, 1991. 82 с.

41. Кравчук A.C., Майборода В.П., Моргунов Б.И. Математическое моделирование физико-механических процессов. М.: МИЭМ, 1993

42. Кийко И.А., Гвоздев С.Ю. Нелинейные колебания вязкоупругой прямоугольной пластины. -Рук. деп. в НИИМавтопром. №П48ап, 1985.

43. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: ФАН. 1992. 252 с.

44. Елисеев C.B. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск: Наука. 1978. 224 с.

45. Карамышкин В.В. Динамическое гашение колебаний. Л.: Машиностроение. 1988. 105 с.

46. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. 349 с.

47. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000. 294 с.

48. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. 2002 г. 560 с.

49. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990

50. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Изд-во МГУ, 1983.

51. Ваврив Д.М., Шигимага Д.В. Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием. -Радиофизика и радиоастрономия, 2000. 5, № 3, с. 256-264

52. РJ.Holmes. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Philosophical Transaction of the Royal Society, bondon, 292, pp. 419-448.

53. Rao M.A., Srinivas J, Gopala Rao* L. Optimization of parameters of vibration absorber using artifical neural' network technjlogy. V.Y.J. Inst. Eng. Mech. Div. (India) 2001. 82. p. 134-137.

54. Zhang Wei. Нелинейная^ динамика и локальные бифуркации гибкой балки. Beijing Politechn. Univ. 2001. 27. № 4, с. 400-405.

55. Ковалева А.С. Управление резонансными^ колебаниями нелинейных систем. 8 Всеросс. Съезд по теоретич. и прикладной механике. Екатеринбург-Пермь, УрО РАН. 2001. с. 334.

56. Lestari W., Hanagud S. Nonlinear vibration of buckled beams: some exact solutions. Int. J. Solid and Struct. 2001. 38. № 26-27, c. 4741-4757

57. Marur Sudharar R. Sadhana. Advanced in nonlinear vibration analisis of structures. Part. 1. Beams. 2001, 26, № 3, c. 243-249.

58. Ribeiro P. The second harmonic and the validity of Duffmg's equation for vibration of beam with large displacement. Comput. And Struct. Int. J. 2001. 79.№ 1. c. 107-117

59. Maestrello Lucio. Controlling vibrational chaos of a curved structure. AIAA Journal. 2001, 39, № 4, c. 581-589

60. Ананьин А.А. О применении нелинейных виброизоляторов.- Матер. Научно-технич. Семинара «Виброакустические процессы в технологиях, оборудовании и сооружениях отраслей лесопромышленного комплекса. Екатеринбург, изд. УГЛТА, 1999, с. 73-76

61. Тукмаков А,Л, Нелинейные и хаотические колебания упругой панели под действием периодической нагрузки. В сб. Актуальные проблемы механики оболочек. Тез. Докл. Международной конференции. Казань, 2000, с. 152.

62. Цзэн, Дугунджи. Нелинейные колебания балки при гармоническом возбуждении. Прикладная механика, 1970, т. 37, №2, с. 40-46.

63. Evensen D.A. Nonlinear vibrations of Beams with various boundary conditions. AIAA J., 1968, v. 6, № 2, p. 227-229.

64. Feigenbaum M.J. Universal behaviour in nonlinear systems. Los Alamos Sci., 1980, v.l, p. 4-27.

65. Бондарь Н.Г., Горбатов B.C. Стационарные колебания упругих систем с перескоком. В сб. Вопросы динамики мостов и теории колебаний. Днепропетровск: ДИИТ, 1978. с. 3-21.

66. Хаддлстон. Поведение предварительно напряженной крутой арки, изготовленной из выпученного стержня. Прикладная механика, 1970, №4, с. 95-101.

67. Moon F.C. Experiments on chaotic motions of a forced nonlinear oscillator: strange attractors. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1980, v. 47, № 3, p. 638644.

68. Moon F.C. Experimental models for strange attractor. Vibration in elastic systems. New Approches to nonlinear problems in dynamics, 1980, p. 487 -495.

69. Липовцев Ю.В., Петров Г.Д. Исследование динамики хлопка вязко-упругой оболочки на примере фермы Мизеса. Препр. 4114-82 деп., Тула, 1982.

70. Бауэр. Нелинейные вынужденные колебания упругих пластин при импульсном нагружении.- Прикладная механика. Серия Е, 1968, № 1, с. 52-58.

71. Shaw S.W. Forced vibrations of a beam with one-sided amplitude constraint: theory and experiment. Journal of Sound and Vibration. 1985, 99(2), p. 199-212

72. Shaw S.W., Holmes P.J. A periodically forced piecewise linear oscillator. -Journal of Sound and Vibration. 1983, 90(1), p. 129-155.

73. Shaw J., Shaw S.W. Non-linear resonance of an unbalanced rotating shaft with internal damping. Journal of Sound and Vibration. 1991, 147(3), p. 435-451.

74. Holmes P.J., Moon F.C. Strange Attractor and Chaos in Nonlinear Mechanics. Journal of applied Mechanics, 1983, Vol 50. p. 1021 - 1032.

75. Johnson J.M., Bajaj A.K. Amplitude modulated and chaotic dynamics in resonant motions of strings. Journal of Sound and Vibration. 1989, 128, p. 87-107.

76. Петров И.JI. Численное моделирование существенно нелинейных поперечных колебаний упругого стержня. М.: МГИЭМ, 2002. 18 с. Деп. В ВИНИТИ № 1979-В2002

77. Петров И.Л., Петров Л.Ф. Вынужденные установившиеся колебания сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием. М.: МГИЭМ, 2002. 13 с. Деп. В ВИНИТИ № 1980-В2002

78. Майборода В.П., Петров И.Л. Проявления эффекта изменения диссипативных свойств в существенно нелинейных динамических моделях. М.: МГИЭМ, 2002. 9 с. Деп. В ВИНИТИ № 1981-В2002

79. Петров И.Л. Численное исследование колебаний существенно нелинейных систем с несколькими степенями свободы. Тезисы докладов X Международной конф. «Математика, компьютер, образование». Пущино, 2003.

80. Петров И.Л. Нелинейные вынужденные колебания сжатоизогнутого стержня с потерей устойчивости. Тезисы докл. XIV симпозиума «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем». М., 2003.

81. Майборода C.B., Петров И.Л. Инструментальное средство для исследования периодических решений существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Тезисы докл. XI Международной школы-семинара «Новые информационные технологии». М.: 2003.

82. Петров И.Л. Существенно нелинейные колебания с несколькими степенями свободы в задачах механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов научно-технической конференции МГИЭМ. М., 2005.