Статистические оценки в акустических обратных задачах излучения и рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _имени М.В. ЛОМОНОСОВА _

Физический факультет

(Я)

На правах рукописи УДК 534.2 : 577.3 : 519.24

КАСАТКИНА Елена Евгеньевна

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ В АКУСТИЧЕСКИХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ИЗЛУЧЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ

Специальность - 01.04.06 - акустика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Буров

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник О.Д. Румянцева

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Шмальгаузен

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Казанцев

Ведущая организация: Институт проблем управления Российской Академии наук, г. Москва.

Защита диссертации состоится « » __2000 г.

в в аудитории на заседании Специализированного

Совета К.053.05.92 отделения радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, физический факультет МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «_» _2000 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета К.053.05.92 отделения радиофизики физического факультета МГУ, кандидат физико-математических наук, ст. научный сотрудник

4/.4С—

/

И.В. Лебедева . 3 с 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Теория обратных волновых задач представляет собой активно развивающееся направление в современной как математической, так и прикладной физике. В акустике под обратными задачами этого типа понимается восстановление источников звука и характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, по измерениям акустического поля. Значительно возросший в последние десятилетия интерес к акустическим обратным задачам главным образом обусловлен необходимостью решения актуальнейших проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем рентгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы.. Помимо медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и. техники, неослабевающий интерес к развитию теории обратных задач излучения и рассеяния в значительной степени связан с решением обширного класса важных прикладных проблем дефектоскопии, геоакустики и акустики океана.

Широкий спектр практических приложений и, соответственно, многообразие постановок обратных задач породило большое количество различных методов их решения. Потребность в учете различных вероятностных аспектов при рассмотрении обратных задач приводит к тому, что одним из наиболее эффективных является статистический подход. Так, например, к статистической постановке приводит учет ошибок и шумов, неизбежно сопровождающих измерения в любой реальной системе. Обратные задачи рассеяния (ОЗР) являются, как и большинство обратных задач, некорректными, т.е. их решения могут быть весьма критичными к ошибкам в измерениях. Нелинейность ОЗР относительно неизвестных характеристик рассеивателя, .усугубляет положение, делая проблему регуляризации решения значительно более многогранной, по сравнению с линейными задачами. Теория построения регуляризующих .алгоритмов для линейных некорректных задач к настоящему времени, детально разработана: определены границы применимости теории регуляризации, исследованы проблемы оценки погрешности решения, получены достаточно полные результаты по сравнению регуляризующих алгоритмов, позволяющие определить наиболее эффективные схемы регуляризации для данного класса задач (работы А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, А.Б, Бакушинского, В.Г.Васильева, A.B. Гончарского, В.К.Иванова, М.М. Лаврентьева, A.C. Леонова, O.A. Лисковца, В.А.Морозова, АЛ. Петрова, В.Г1. Тананы,

A.М.Федотова, А.Г. Яголы и др.). B.uecie с тем методы решения нелинейных некорректных задач далеко не так полно изучены и продолжают активно развиваться.

В качестве примера некогерентной обратной задачи'излучения (ОЗИ), имеющего важное практическое значение, можно привести обратную задачу акустотермографии - построения карты пространственного распределения внутренней температуры объекта по результатам наблюдения акустического термического шумового излучения. Методы, основанные на регистрации собственных излучений исследуемого объекта, в последнее время преобретают особую актуальность в связи с активным развитием новых методов неинвазивной медицинской диагностики и дефектоскопии. Перспективы применения метода акустотермографии в медицинских приложениях привлекают к нему внимание все большего числа исследователей. В литературе неоднократно обсуждалось создание устройства для измерения распределения глубинной температуры объектов по их собственному тепловому акустическому излучению, проводились численные расчеты и эксперименты (А.А.Аносов, T.ßovven, А.Е.Вилков, В .В. Герасимов, Э.Э. Годик, Ю.В.Гуляев, М.Г.Исрефилов А. Д. Мансфельд,

B,И.Миргородский, В.И.Пасечник, С.В.Пешин, А.М.Рейнман и др.). В задачах статистической характеризации излучающих структур или рассеивающих объектов (выявление присутствия 'данной структуры в исследуемой области и оценки ее параметров, выделение одной структуры на фоне другой или нахождение границы между ними и т.д.) сам процесс формирования поля носит статистический характер. В этом случае исследуемая структура рассматривается как реализация из некоторого ансамбля пространственных случайных функций. Искомыми могут быть или сам вид реализации, или же параметры, характеризующие поведение источника (рассеивателя) как статистического объекта (например, пространственная функция корреляции). Возможна задача одновременной оценки неизвестных параметров распределения и оценки вида конкретной реализации, наблюдаемой в конкретном эксперименте. Практические приложения такого типа задач могут быть весьма разнообразными. В частности, различия в структуре здоровых и имеющих патологии тканей (размеров, ориентации зерен и т.п), кровеносных сосудов могут служить основой для их статистической характеризации.

Перечисленные выше и подобные им задачи относятся к задачам проверки статистических гипотез, и их решение представляет собой статистическую оценку тех или иных характеристик источника или рассеивателя. Наиболее простыми (в принципиальном отношении) являются задачи, имеющие в качестве своего предельного случая детерминистическое

решение. Следует подчеркнуть, однако, что статистический подход и современная интерпретация статистических оценок (например, восстановление недостающей информации с точки зрения максимизации энтропии) позволяют ставить и решать задачи, не имеющие аналога в классе детерминистических. Подход к решению обратных задач как к статистической оценке является традиционным в статистической радиофизике, однако, до сих пор наиболее разработанными являются методы решения обратных задач в детерминистической постановке, с последующим введением процедур регуляризации в те или иные этапы решения. Поэтому на настоящем этапе развитие статистических подходов к решению волновых обратных задач излучения и рассеяния является актуальным.

Целью диссертационной работы является развитие методов решения акустических обратных задач излучения и рассеяния в статистической постановке.

В связи с этим основные задачи работы состояли в следующем:

1. Разработка статистических методов решения некогерентных волновых обратных задач акустического излучения в приложении к задачам пассивной акустической термотомографии и статистической характериза-ции источников и обратных задач акустического рассеяния с учетом эффектов перерассеяния в случае зашумленных исходных данных.

2. Анализ физических и технических факторов, определяющих возможности использования рассмотренных методов в практических задачах пассивной и активной томографии.

3. Разработка пакета прикладных программ, реализующих предложенные алгоритмы и проверка их работоспособности на модельных данных, воспроизводящих работу различных акустических систем активной и пассивной томографии. Оценка объема вычислительных затрат, необходимого для численной реализации рассмотренных алгоритмов.

Научная новизна работы.

1. Решена в полной статистической постановке задача получения оценки распределения интенсивности случайных источников с произвольной степенью пространственной когерентности, что позволяет производить статистическую характеризацию излучающих структур.

2. Показана практическая перспективность использования метода максимального правдоподобия и предложенной модификации метода Кейпона в задачах томографирования и характеризации термоакустических источников (например, кровеносных сосудов).

3. Получено нелинейное обобщение метода винеровской фильтрации для решения обратной задачи рассеяния с учетом эффектов многократных рассеяний в случае зашумленных исходных данных.

Практическая ценность работы.

Одним из наиболее важных, в смысле практической ценности, является сделанный впервые в данной работе вывод о возможности использования метода акустотермотомографии для неинвазивного исследования патологий кровеносной системы, как важного диагностического фактора. Помимо непосредственного исследования состояния кровеносных сосудов, эта методика может быть полезна в качестве источника дополнительной информации при диагностике таких заболеваний, как раковые опухоли, циррозные изменения ткани и т.д. Предложена оптимальная структура и упрощенные схемы реализации акустического термотомографа, основанные на принципе корреляционной обработки сигналов, принимаемых многоэлементной решеткой датчиков, окружающей исследуемый объект.

Разработан алгоритм получения регуляризованных оценок характеристик рассеивателей с учетом эффектов перерассеяния, в случае зашумленных данных рассеяния. Подготовлена теоретическая база, проверенная и уточненная численным моделированием, для применения предложенного алгоритма статистического оценивания в прикладных задачах томографического типа.

Апробация диссертации.

Материалы диссертации докладывались на 22-ом Международном симпозиуме Acoustical Imaging (Флоренция, 1995), на 23-ом Международном симпозиуме Acoustical Imaging (Бостон, 1997) и на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ. Принят доклад на 25-й Международный симпозиум Acoustical Imaging (Бристоль, 2000).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, перечень которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из трех глав (первая глава - вводная), заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Изложение материала систематизировано по параграфам. Общий объем диссертации составляет 211 страниц, в том числе 151 страница основного текста, 43 страницы рисунков, 5 страниц приложений и 12 страниц литературы из 192 наименований.

Краткое содержание работы.

В первой - вводной - главе обсуждается актуальность темы диссертационной работы, формулируются ее основные цели и общая постановка задачи. Кратко изложено содержание работы по главам. В диссертации нет одного общего раздела, целиком посвященного обзору литературы. Вместо этого отдельный обзор по каждой из исследуемых проблем дается в начале главы. Это позволяет более тесно связать известные результаты с конкретными результатами работы.

Вторая глава диссертации посвящена детальному исследованию некогерентной обратной волновой задачи излучения в приложении к задачам акустотермотомографии и статистической характеризацйи излучающих структур. Дается обзор методов пассивной акустической термометрии, активно развивавшихся до недавнего времени в рамках лучевого приближения, а в последний годы - на основе корреляционного подхода (п.2.1). Анализируются основные трудности, возникающие перед исследователями и разработчиками акустических термотомографов. В приложении к обратной задаче акустотермометрии рассматривается метод корреляционной волновой томографии, основным элементом которого являются операции над выборочной корреляционной матрицей сигналов с решетки датчиков, окружающих исследуемый объект. Для термических шумов, представляющих собой нормальные процессы, выборочная корреляционная матрица является достаточной статистикой и заключает в себе ту же информацию, что и первичная выборка. Проверка любой гипотезы сводится к тем или иным операциям над этой матрицей. Решение волновой обратной задачи, излучения, полученное Деванесм для случая некоррелированных источников, обобщается на более сложные конфигурации источников, с произвольной степенью пространственной когерентности (п.2.2). Базой и исходным звеном «генетической» цепочки расмотренных алгоритмов и предложенных модификаций является метод максимального правдоподобия. Оценка методом максимального правдоподобия пространственного распределения мощности структурированных источников на фоне коррелированного помехового излучения приводит к системе нелинейных уравнений, решение которой представляется чрезвычайно трудной задачей (п.2.3). Поэтому рассматриваются некоторые практически важные частные случаи, позволяющие линеаризовать систему относительно неизвестных. В частности, во многих задачах акустотермографии в их «классической» постановке (поиск незначительно более «нагретого» источника на общем «горячем фоне») отношение мощности сигнала от одного «элементарного излучателя» к мощности

излучения всего эффективного поглощающего объема является очень малый. В этом случае без большой потери в помехоустойчивости возможна замена

модельной (эталонной) матрицы когерентности, Кци, включающей в себя функцию когерентности поля ГШ1, порождаемого источниками, и корреляцию ошибок измерения иГЧ, на некоторую заранее известную матрицу, которая, описывает корреляционные свойства излучения всего объекта. В таком случае решается задача «околопорогового» обнаружения. В случае слабой помехи и достоверного измерения выборочной матрицы

когерентности наблюдений Г, возможна замена Ки', —> Гэ1 и переход к новому алгоритму:

Е Е (> • I' (У т, У и .¡С У к, У п ) ГГ1 (У „, V; )€>; (У /, .V ш, ) 1 + 1 ч

= 8риг[г;1(ут,ук)0^ук.уИ.гР)]; (1)

ЕЕМг+)• 8риг[Г3-,(уш,ук)^ук,УП)ГЭ"1(УП,}•,)©;(}>ут, 1-; )] +■

¡ч

+ ll•SpцrfГэ",(ym,yk)N(yk;yn)Г;,(yn,y^)^T(y/,y„,)] =

= 8риг1Г;1(у1П,укЖ(ук,ут)1; (2)

здесь ©¡(у [,Ут,г+) - когерентность сигнала, принимаемого в точках V и уш, если в точк>' Г+ помещен распределенный источник с пространственной когерентностью Г;(г_) (где г+ = (Г| + Г2) /2, Г = Г| — г2 - в случае, когда характер корреляционных связей мало меняется на радиусе корреляции источников, оказывается удобным описание через переменные г+ и г_ ). Полученная система уравнений (1)-(2) становится нелинейной относительно Г,, но линеаризуется относительно неизвестных мощностей источников I; и помехи п. Модификация метода максимального правдоподобия (!)-(2), использующая обратную матрицу когерентности наблюдений, обладает рядом преимуществ, по сравнению с классическим алгоритмом, в котором используется прямая матрица I ,. Так, в число достоинств оценки (Г)-(2) входит более высокая разрешающая способность, чем у метода, использующего прямую матрицу, и возможность применения для более широкого спектра моделей источников: рис. 1-2 (например, для источников с

пониженной относительно постоянного фона мощностью, когда оценка по прямой матрице когерентности разрушается). В верхнем окне (а) рисунков для наглядности схематично изображается модель задачи: взаимное расположение, количество и форма парциальных диаграмм, а также направления на источники и их мощности, которые, собственно, и требуется оценить. В нижних окнах помещаются результаты решения - полученные оценки распределения мощности источников.

-<3.5 -0.4 -0.3 -02 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

ф, рал

(«mm с

wof

" -0.5 -0.4 -0.3 -0,2 -ai 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ift |КЦ Рис. 1 Оценки максимального правдоподобия мощности совокупности точечных источников двух гшнт (модель (а)):

(1>) — оценка по прямой матрице когерентности; (с) - оценка по обратной матрице когерентности при внесении относительной расстройки чувствительности приемников (подрешеток) на уровне 0.01;

Дли одиночного источника нерппго инк» О С LU = 1Ш) (по мощности), широко - ОСШ = 5».

1,0 гн.сд. а 100 80 60 40

го о

kht -

Y

D('P)

k

-0.5 -0 4 -0.3 -0.2 -0.1 0 .01 0.2 0.3 0 4 ;

1)

100 80 60 40 20 0

■jr H

■ . i f Bl 1 n ¡i

-0.5 -0 4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 <р, ¡);1Д

Рис. 2 Опенки максимального праидоиодоГши мощности COUOKV иное тн распределенных не inMHUK'm днух чцион (М'лк'.п, (и)): (Ь) - оценка при внесении относительной расстройки на уровне 0.1 S в форму парцшаьиыл-дииграмм;

Для одиночного источника первого типа ОСШ = 100 (по мощности), второго ОСШ = 90.

В практическом отношении данный алгоритм и рассмотренные ниже "производные" могут оказаться полезными для задач статистической характеризации излучающих структур (например, кровеносных сосудов).

Если имеется один тип источников: = I, но число возможных

значений переменной г4 очень велико, а фактически континуально, то

целесообразно организовать "сканирование" но г4. Возможность такой операции требует пренебрежения в уравнении (1) величинами вида 8риг[Гэ-,(ут,ук)0(ук,уп,гр)Г;Чуп,Уш,г4)] при ч*р. в результате получается локальная оценка мошности источника (что удобно в

практическом отношении). Однако совокупность этих оценок не воспроизводит корреляционных свойств наблюдаемого поля:

1(гр ) =_^риг[г;'(уп,>ук)е(ук,у,„,г")]

8риг[г;' (ут, ук )0(У к, у„, г р )Га-1 (у „, у, )©(у,, У т, гр) ]

Пространственный "параметр сканирования" может характеризовать пространственое расположение как отдельного источника, так и заданной конфигурации источников, поиск которой ведется в исследуемой области. Так, в случае некогерентной характеризации распределенных излучающих структур (рис.3), параметром сканирования может быть координата центра модельной конфигурации, размеры, форма источника или ориентация. Полученные результаты показывают, что метод достаточно эффективен в случае присутствия источников одного типа. Если же требуется различить заданную конфигурацию среди многих других, то поочередно проводимое сканирование различными модельными конфигурациями позволяет делать выводы относительно присутствия в исследуемой области искомых структур (классификационная задача). Если классифицируемые структуры сильно отличаются друг от друга, то предлагаемый метод характеризации позволяет обнаруживать искомую конфигурацию источников (рис.3).

1'пс.З Оценки распределения мощжмлн иеючииков заданной конфигурации (модель (а)):

(b) — обработка ориентирована на обнаружение источников первого типа;

(c) - обработка ориентирована на обнаружение источников второго типа.

Для источников первого И второго ТИПОВ ОС 111=1000 (но мощности).

Рис.4 Оценки распределения мощное I и дли случая присутствии среди ярких плохорадре-шимых точечных источником (яркий фон) нескольких более слабых, иегочннкои (модель (а)):

(b) - оценка по методу Ксйпони с вычитанием

(с ко') ффи ц ч ент ом /У = 1.0001) корр ел я иконной матрицы фона;

(c) — оценка по методу Кейпона бе? вычитании фоновой матрицы.

Для одиночного источника первого тина ОСШНШ) (по мощности), второго - ОСШ=90.

Если источников слишком много и (или) они похожи друг на друга) задача сильно усложняется, и более эффективным является строгий метод максимального правдоподобия (см. рис.2). Практические приложения таких задач разнообразными. В частности, они дают возможность характеризации распределенных источников (например, кровеносных сосудов) с целью выявления различного рода патологий.

Для точечных источников выражение (3) преобразуется в известную оценку распределения мощности по методу Кейпона. Алгоритм Кейпона относится к классу «оценок высокого разрешения» и превосходит в этом смысле стандартные методы. Уступая в разрешении другим известным нетрадиционным методам спектрального оценивания (ММЭ, метод Писаренко и т.д.), метод Кейпона обладает рядом преимуществ -обеспечивает достаточно хорошее разрешение сигналов в присутствии шума, используя при этом оцененную матрицу когерентности. Этими достоинствами и обусловлен наш интерес к методу Кейпона применительно к задачам характеризации излучающих структур. Например, в приложении к проблеме неннвазивной диагностики нарушений кровеносной системы. Росл раковой опухоли сопровождается нарушением регулярности кровеносной системы, наблюдается аномальное ее развитие и изменение кровотока («ангиогенез опухоли»). Кровеносные сосуды, вследствие более слабого по сравнению с тканями (практически на порядок) поглощения в крови, будут выглядеть более «холодными» (в смысле измеряемой акустояркостной температуры) на яркостной картине. Таким образом, контраст будет существенно выше, чем контраст для незначительно более «нагретого» источника сигнала на общем «горячем» фоне, что позволяет в данном случае получить требуемое высокое разрешение, ценой значительно меньших вычислительных затрат. Было рассмотрено несколько модельных задач обнаружения и оценки мощности «холодных» источников (кровеносных сосудов) на «горячем» фоне (окружающих тканей, имеющих такую же, как и сосуды, температуру, но большую термоакустическую яркость за счет более высокого поглощения).

Оценки потенциальной чувствительности и разрешающей способности метода пассивной волновой томография в классической постановке акустотермографической задачи, а также анализ трудоемкости основных вычислительных процедур, приведены в п.2.4-2.5. Было показано, что необходимую для медицинских диагностических целей, чувствительность и разрешающую способность можно получить лишь при использовании мощных антенн и вычислительных алгоритмов. Одной из особенностей такого рода систем является то, что, в отличие от обычного пассивного обнаружения - пеленгования, повышение разрешающей способности ведет к

снижению отношения сигнал/шум. Это происходит потому, что весь остальной объем представляет собой источник такого же сигнала, как и рассматриваемый локально нагретый объем, являясь, тем самым, источником помех. Кроме того, при рассмотрении акустотермографических задач следует учитывать тот факт, что вклад в интенсивность акустического излучения от элемента объема dV пропорционален локальным значениям температуры этого элемента обг^ема и коэффициента поглощения: dl ~ a(r)T(r)clV. Поэтому для количественной оценки локальных значений температуры с требуемой для медицинских диагностических приложений точностью ( ~ 0.1 °К ) требуется знание картины распределения коэффициента поглощения a(r) с той же относительной точностью (~10~4), что резко усложняет задачу. В принципе, в комбинации с активной акустической томографией, термоакустическая интроскопия может дать цешто диагностическую информацию (даже в виде распределения a(r)T(r) ) в дополнение к томографическому изображению акустических параметров среды. Однако, на данном этане более интересными показались перспективы использования метода акустотермото.мографии для осуществления неинвазивной диагностики патологий системы кровоснабжения.

Результаты модельных экспериментов (п.2.6-2.7) показали возможность получения оценок с высоким разрешением для «темных» источников с помощью метода максимального правдоподобия (см., например, рис.¡с) и модификации метода Кейпона, в которой удается реализовать потенциальную разрешающую способность за счет использования процедуры «вычитания фона» (рис. 4Ь). Оценка распределения мощности источников в этом случае имеет вид:

] 8|Шг|(-(Гэ(ук,ут) - Р('Г(Ук,ут) + llN (V к » У щ ))) ©(ут,у к •'"'')! '

(4)

где: 1(ук,ут) - матрица когерентности «полной» системы сигналов (все источники полагаются одинаковой (максимальной) яркости); [5 > 1 -коэффициент, величина которого должна гарантировать (с учетом всех видов возможных флуктуации в оценке) положительный знак оценки

мощности остаточного фона; I0(i"p) - вычтенный ранее фон, который восстанавливается последним слагаемым. Разрешающая способность такого «квазиоптимального» алгоритма приближается к разрешающей способности методов МЭ и ГРП, но, вместе с тем, он имеет повышенную чувствительность к шумам и рассогласованию параметров приемной системы.

Б п.2.5 рассматриваются возможные схемы реализации акустического гермотомографа. Корреляционный метод отличается большой вычислительной сложностью, если используются схемы с большим количеством приемных элементов (рис.5). Быстрый прогресс в развитии систем обработки на базовых матричных кристаллах и программируемых архитектурах параллельных конвейеров, позволяет - рассматривать в перспективе и такие схемы термотомографа.. Упростить конструкцию и уменьшить объем вычислений можно, если использовать систему больших линейных подрешеток или преобразователей (рис. 6), сигналы с которых перемножаются попарно с различными временными задержками таким образом, чтобы источники коррелированного сигнала лежали на прямой линии параллельной биссектрисе угла между подрешетками (в простейшем случае две такие подрешетки параллельны друг другу и расположены по обе стороны объекта). Меняя времена задержек, можно перемещать эту прямую параллельно самой себе, а изменяя ориентацию подрешеток - покрыть такими прямыми под разными углами всю исследуемую область, получая, тем самым (в сочетании с широкой полосой принимаемых сигналов), классическую томографическую схему окончательного восстановления объекта. Однако, упрощение в такой схеме достигается ценой снижения температурной чувствительности или разрешающей способности иди-.же увеличения времени накопления информации в процессе углового сканирования.

Рис. 6 Схема реализации акустотермо-томографа с плоскими приемными элементами:

! - исследуемый объект; 2 - система больших линейных подрешеток или преобраювател ей.

Рис. 5 Структурная схема акустотермотомографа:

I ~ исс.гедуемый объект; 2 ~ кольцеван антенная решетка акустических копчиков; 3 -усилитель; 4 - аналогочо-щифрочой преобраюнитель; 5 - регистр . "даига; 6 - перемножитель; 7 — накапливающий сумматор; 8 - вмешенный умматор с блоком управления; 9 - система формирования термоиюбражеии».

В третьей главе развивается статистический подход к проблеме восстановления акустических характеристик рассеивающих возмущений среды (например, фазовой скорости и коэффициента поглощения) на основе измеренных в эксперименте зашумленных данных рассеяния. Рассматриваемая обратная задача рассеяния принадлежит к классу некорректных задач и для получения устойчивого решения требуется привлечение методов регуляризации. Обзор некоторых детерминированных и статистических методов регуляризации некорректных задач приводится в п.3.1. В п.3.2 для получения регуляризованных оценок распределения скорости и поглощения в пространственно-локализованном рассей вателе используется общая статистическая постановка решения обратной задачи, как задачи оптимального оценивания. Рассматриваемьш подход к решению обратных задач рассеяния с учетом помех, возникающих в процессе измерений, основан на построении и минимизации следующего неквадратичного функционала:

к=к, ... *;+*;. (5)

Он включает в себя квадратичную форму I;, от невязки между полученными из оценок амплитудами рассеяния (волновыми полями в случае решения в координатном пространстве) и экспериментальными данными. Ядром этого функционала является обратная корреляционная матрица помех. В слагаемое Рг включены снабженные функциональными множителями Лагранжа X ограничительные соотношения, вытекающие из уравнений Липимана-Швингера для пространственного спектра вторичных источников, возникающих внутри области локализации рассешзателя, и рассматриваемые как уравнения связи. В слагаемом Е, отражена априорная статистическая информация о характеристиках рассеивателя, добавляющаяся с некоторым штрафным множителем р. Значение р=1 соответствует оптимальной статистической оценке максимальной апостериорной вероятности. Подход на основе построения и минимизации функционала, учитывающего невязку по экспериментальным данным и априорную информацию является общепринятым в статистической радиофизике. Отличительной особенностью какого-либо конкретного метода является выбранная в нем мера невязки и то, в какой форме в нем учитывается априорная информация.

Если помеха и искомый пространственный спектр случайной неоднородности являются реализациями нормальных процессов с корреляционными матрицами N и В соответственно, то процедура оценки по методу максимального правдоподобия (ММП) сводится к минимизации

функционала К, для которого слагаемые Рг и Га имеют следующий вид:

1

N

К

| |[т;(.к01,к1)-.б+(к1-к01)—^|т+(кй1,к;)с+(|к;|,А-в)х

XГ(к1 - к;) ац] к01; к2, к02) [Тэ(к2, к02) - е(к2 - к02) -

--Цг - к'2)б(|к'2|,*в)Т(к'2, к02) ¿куак^ко^к^ко,;

(2т:) '

0т+(кО1,к1)-Г(к;-кО1)—ЦЛт>0Рк;)с+(|к;|дд х

К„К к

х?+(к; -к;')11к"]Г(Ц,к(11)1]к;ак01 + Лцк02,к;)[Т( к2,к(12)~ ¡цк; - к02)-

К„К

~ ¡Щк'2 - к2)С(|к2|,£й )Т( к^к02)с1 к2'1с1к^ки2,

(271) £

ки к01, к2, к02еК0 ([к,| = |кш| = ¡к2| = ¡к02| = к(>)\ к',, к;, к2, к2 е К.

Здесь через "+" обозначена операция эрмитового сопряжения.

Минимизация исходного функционала Б приводит к системе нелинейных уравнений, которая решается методом последовательных итераций. Начальной оценкой в итерационной цепи служит сглаженная борцовская оценка, согласованная с априорной информацией о корреляционных свойствах пространственных спектров помехи 'и рассеивателя. В случае слабых (борцовских) рассеивателеи полученный алгоритм фильтрации данных рассеяния эквивалентен фильтрации винеровского типа, обеспечивающей оптимальное решение линейной задачи. Для достаточно сильных рассеивателеи, требующих учета процессов многократного рассеяния, получено нелинейное, с точки зрения обработки данных рассеяния, обобщение процедуры винеровской фильтрации для обеспечения регуляризованного решения, близкого к оптимальному.

В п.3.3 рассмотрены схемы численной реализации алгорима решения ОЗР в приближении Борна и с учетом эффектов многократного рассеяния, а также вспомогательной прямой задачи рассеяния. Платой за оптимальность подхода является громоздкость получаемой в итоге системы нелинейных уравнений и сравнительно большой, однако, приемлемый для современных вычислительных мощностей, объем вычислительных затрат. Численно был реализован двухщаговый вариант предложенного алгоритма, в котором уравнения связи выносятся из общего функционала в отдельный шаг итерационной процедуры.

Результаты численного моделирования статистической задачи для рассеивателей различной силы, отвечающих неоднородностям фазовой скорости и поглощения, при различном уровне шумовых помех, представлены в п.3.4. Сравнительный анализ результатов восстановления показал необходимость учета процессов перерассеяния и принципипальную роль нелинейной фильтрации при регуляризации решения. Так, борцовского приближения для качественного восстановления рассмотренных рассеивателей средней силы оказывается недостаточно. Результаты восстановления в этом приближении существенно отличаются от истинных значений функции рассеивателя (рис. 7-8).

S (х;у = 0)

8 (хяг=01

02 ais ai aos о

-aos

-15-10-5 о 5 10 4х/х.,

5 n4x¡\

Рис. 7 Рефракционный рассенвагель средней силы (контраст скоростей Ас/с„ = 0.2):

рассеиватель средней силы (Дс/с„ = 0.2, поглощение в рассеивагеле 1.44 Ненер): центральные сечения действительной н мнимой частей для истинного рассеивателя (пунктирная линия) н для рассеивателя, восстановленного ь борцовском приближении по нетшум-ленным данным (сплошная линия).

Рис. 8 Рефракцнонно-ноглощающин

центральные сечения действительной и мнимой частей для истинного рассеивателя (пунктирная лнния) н для рассеивателя, восстановленного к Борцовском приближении по незашумленным данным (сплошная. лнння).

Для анализа влияния регуляризующей фильтрации на качество оценок рассеивателей средней силы при сильных шумовых помехах, сопоставлялись результаты восстановления с использованием "полноценной" (оптимальной) и "слабой" фильтрации (нужной только для обеспечения сходимости итерационной процедуры). Решение со "слабой" регуляризующей фильтрацией при относительно высоком уровне шумовых помех приводит к неприемлемо низкому качеству восстановления, что проиллюстрировано па рис.Уа-Ь на примере рефракционно-поглощающего рассеивателя. В то же время, учет иерерассеяний и использование "полноценной" фильтрации позволяет получить восстановление с высоким качеством даже при сильной зашумленности данных рассеяния (рис.9с-й).

Ксе(г)

1п1 в (г)

021

V %

ао5-О -

-аоз

дУП 1 - *т' <'

С1)

Рис. 9 Рефракцнонно-погдощягощнй расссиватсль средней силы (Ас/с,, =0.2, поглощение в рассеивателе 1.44 Неиер), восстановленный по цнпум/н-нпым данным {имплшулшс отношение помеха/сигнал 0.15) с применением «слабой» (а, Ь) и «ппиищентш» (с, 11) регуляризующей фильтрации.

IУправления развития: .предложенного алгоритма нелинейной фильтрации и методов его практической реализации обсуждаются в п.3,5. Отмечаются достоинства и недостатки разработанной схемы регуляризации решения ОЗР с учетом эффектов многократного рассеяния. К числу достоинств следует отнести "рутинный" характер процедуры регуляризующей фильтрации - используемый спектральный механизм регуляризации всегда однотипен, независимо от учета новых актов перерассеяний. К преимуществами относятся также простота учета априорной информации и возможность использования фрагментарных данных. Слабой стороной алгоритма является громоздкость процесса вычислений (характерный недостаток большинства итерационных методов).

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Подробно исследована лекогерентная обратная волновая задача излучения в приложении к проблемам пассивной акустотермо-томографии и статистической характеризации излучающих структур. Решена задача оптимальной оценки пространственного распределения интенсивности случайных источников с произвольной степенью когерентности и получено несколько вариантов квазиоптималыюй реализации алгоритма восстановления структурированных источников. Определены классы практических задач, решаемых тем или иным методом.

2. Проведено численное моделирование процесса статистической характеризации различных конфигураций источников. Проанализированы перспективы использования рассмотренных методов в задачах характеризации термоакустических источников. Показана возможность использования метода акустической термотомографии для неинвазивкой диагностики нарушений системы кровоснабжения.

3. Предложена функциональная схема акустического термотомографа -устройства, предназначенного для измерения пространственного распределения интенсивности источников теплового излучения внутри исследуемого объекта по по внешнему наблюдению его теплового акустического излучения. Оценены потенциально достижимые чувствительность и разрешающая способность метода акустотсрмо-томографии. Показано, что эти характеристики будут соответствовать

медицинским диагностическим требованиям (температурный контраст ДТ» 0.1 °К, линейный размер элемента разрешения * 1 мм) при использовании достаточно мощных антенн и корреляционных алгоритмов. Уровень сложности системы быстро снижается при ослаблении требований на чувствительность и разрешающую способность. Так, определение контраста ДТ = 0.5 °К при разрешении 5 мм легко осуществляется антенными системами, содержащими десятки элементов при времени усреднения порядка 10 сек и полосе принимаемых частот в сотни килогерц.

4. В статистической постановке рассмотрена обратная задача рассеяния в случае зашумленных исходных данных. Получено нелинейное обобщение метода винеровской фильтрации для решения обратной задачи рассеяния с учетом эффектов перерассеяния. В случае слабых рассеивателей разработанный алгоритм переходит в винеровскую фильтрацию.

5. На модельных данных, воспроизводящих работу различных акустических систем активной томографии продемонстрирована работоспособность предложенного алгорима. Показано, что при оптимальной регуляризации помехоустойчивость восстановления сильных рассеивателей ненамного уступает помехоустойчивости восстановления слабых рассеивателей. При этом принципиально необходим учет процессов многократного рассеяния, определяющий итерационную процедуру регуляризации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Burov V.A., Kasatkina Е.Е., Rumyantseva O.D. Statistical estimations in inverse scattering problems// Aconst. Imag., 1996, V.22, p.113-118.

2. Буров В.А., Касаткина E.E. Применение метода максимального правдоподобия к обработке сигналов с градиентного приемника // Акуст. журн., 1997, Т.43, №1, с.22-25.

3. Буров В.А., Касаткина Е.Е., Румянцева О.Д. Статистические оценки в обратных задачах рассеяния // Акуст. журн,, 1997, Т.43, №3, с.315-322.

4. Буров В.А., Касаткина Е.Е. Статистические обратные волновые задачи термоакустической томографии Н Акуст. журн., 1997, Т.43, №2, с. 162-169.

5. Burov V.A., Kasatkina Е.Е. Statistical estimations in thennoacoiistical introscopy // Acoust. Imag.,1997, V.23, p.309-314.

ООП Физ.ф-та МГУ Зак. 19-100-2000 Г.

I. Введение

I.1 Актуальность темы и цели исследования.

Общая характеристика диссертационной работы.

II. Некогерентные обратные волновые задачи излучения

2.1 Методы пассивной акустической термометрии {обзор).

2.2 Корреляционная волновая томография в приложении к обратным задачам акустотермометрии.

2.3 Оценка распределений мощности структурированных источников на фоне коррелированного помехового излучения.

2.4 Потенциальная чувствительность и разрешающая способность метода пассивной волновой томографии.

2.5 Возможные функциональные схемы термотомографа. Оценка объема вычислительных затрат.

2.6 Применение модифицированного метода Кейпона к задаче характеризации излучающих структур. Результаты численного моделирования.

2.7 Применение метода максимального правдоподобия к задаче статистической характеризации излучающих структур. Численная схема. Результаты моделирования.

2.8 Основные результаты главы II. Взаимосвязь рассмотренных методов статистической характеризации излучающих структур.

2.9 Краткие выводы к главе II.

III. Статистические оценки в обратных задачах рассеяния (ОЗР)

3.1 Некоторые методы регуляризации некорректно поставленных задач {обзор).,.

3.2 Оценки максимальной апостериорной вероятности характеристик рассеивателей в случае зашумленных данных рассеяния.

3.3 Схемы численной реализации

3.3.1 Решение модельных прямых задач рассеяния для акустических неоднородностей средней силы с учетом эффектов многократного рассеяния.

3.3.2 Схема численной реализации алгоритма решения 03Р в приближении однократного рассеяния с учетом ошибок измерения и априорной информации о рассеивателе.

3.3.3 Схема дискретизации уравнений и оценка объема вычислительных затрат при реализации алгоритма решения ОЗР с учетом эффектов многократного рассеяния.;-,.

3.4 Результаты моделирования

3.4.1 Результаты численного моделирования решения ОЗР в приближении однократного рассеяния.

3.4.2 Результаты численного моделирования, решения ОЗР с учетом эффектов многократного рассеяния.

3.5 Направления развития алгоритма и методов его практической реализации.

3.6 Краткие выводы к главе III.

1.1 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Теория обратных волновых задач представляет собой активно развивающееся направление в современной как математической, так и прикладной физике [4-7,19-21,25-27,53,79-89,96,147-154,178-181,186-189]. В акустике под обратными задачами этого типа понимается восстановление характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, и источников звука по измерениям акустического поля. Значительно возросший в последние десятилетия интерес к акустическим обратным задачам главным образом обусловлен необходимостью решения актуальнейших проблем медицинской диашостики, разработки акустических, томографов, более безопасных, чем рентгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы [60,188]. Помимо медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, неослабевающий интерес к развитию теории обратных задач излучения и рассеяния в значительной степени связан с решением обширного класса важных прикладных проблем дефектоскопии, геоакустики и акустики океана [2- 4,52-58,188,189].

Широкий спектр практических приложений и, соответственно, многообразие постановок обратных задач породило большое количество различных методов их решения. Нет, к сожалению, универсальных подходов — метод, оптимальный для одного класса задач, может оказаться неприменимым в задачах другого типа. Потребность в учете различных статистических аспектов при рассмотрении обратных задач приводит к тому, что одним из наиболее эффективных методов решения таких задач является статистический подход. Так, например, к статистической постановке задачи приводит учет ошибок и шумов, неизбежно сопровождающих измерения в любой реальной системе (источники и рассеиватели при этом могут быть и детерминированными) В ряде случаев используемый источник облучения имеет случайный характер и, в силу такой своей природы, не конролируется детерминистическим образом в процессе эксперимента. Подобная ситуация возникает, например, в геотомографии с естественными (землетрясения) или искусственными (вибрации крупных промышленных установок) источниками, в гидроакустической томографии океана с использованием шумовых источников. Учет многократных перерассеяний в обратных задачах рассеяния (ОЗР) делает эти задачи нелинейными относительно неизвестных характеристик рассеиватепя, обладающими сложным характером неустойчивости. Подход к решению таких задач как к проблеме получения статистических оценок на основе тех или иных (зашумленных) данных и всей имеющийся в наличии априорной информации в достаточной мере эффективен, поскольку в нем самом уже заключена определенная степень регуляризации решения. В качестве примера некогерентной обратной задачи излучения (ОЗИ), имеющего важное практическое значение, можно привести обратную задачу акустотермографии -построения карты пространственного распределения внутренней температуры объекта по результатам наблюдения, акустического термического шумового излучения. , В задачах статистической характеризации рассеивающих объектов (или излучающих структур) сам процесс формирования поля носит статистический характер. В этом случае исследуемая структура рассматривается как реализация из некоторого ансамбля пространственных случайных функций. Искомыми могут быть или сам вид реализации, или же параметры, характеризующие поведение рассеивателя (источника) как статистического объекта (например, пространственная функция корреляции). Возможна задача одновременной оценки неизвестных параметров распределения и оценки вида конкретной реализации, наблюдаемой в конкретном эксперименте. Практические приложения такого типа задач могут быть кесьма разнообразными. В частности, различия в структуре здоровых и имеющих патологии тканей (размеров, ориентации зерен и т.п.) могут служить основой для их статистической характеризации. Положительным моментом является то обстоятельство, что многие биологические ткани представляют собой диффузныерассеиватели с медленно меняющимися характеристиками. Тогда оценка некоторых статистических характеристик, описывающих распределение случайных рассеивателей в пространстве, может производиться на основе одной реализации, если эти характеристики являются медленно меняющимися (в пространстве) функциями по сравнению с шириной интервала пространственной корреляции характеристик случайного рассеивателя. Иными словами, рассеиватель должен быть пространственно квазиоднородным, с тем, чтобы эти характеристики могли быть оценены путем текущего усреднения по некоторой конечной пространственной области.

Перечисленные выше и подобные им задачи относятся к задачам проверки статистических гипотез, и их решение представляет собой статистическую оценку тех или иных характеристик источника или рассеивателя. Наиболее простыми (в принципиальном отношении) являются задачи, имеющие в качестве своего предельногр случая детерминистическое решение. Следует подчеркнуть, однако, что статистический подход и современная интерпретация статистических оценок (например, восстановление недостающей информации с точки зрения максимизации энтропии) позволяют ставить и решать задачи, не имеющие аналога в классе детерминистических. Подход к решению обратных задач как к статистической оценке является традиционным в статистической радиофизике, однако, до сих пор наиболее разработанными являются методы решения обратных задач в детерминистической постановке, с последующим введением процедур регуляризации в те или иные этапы решения. Поэтому в настоящее время развитие статистических подходов к решению волновых обратных задач излучения и рассеяния является актуальным.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения акустических обратных задач излучения и рассеяния в статистической постановке.

Материалы диссертации докладывались на 22-ом Международном Симпозиуме Acoustical Imaging (Флоренция, сентябрь 1995г.), на 23-ем Международном Симпозиуме Acoustical Imaging (Бостон, апрель 1997г.) и на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ. Принят доклад на на 25-й Международный симпозиум Acoustical Imaging (Бристоль, 2000).

Основные результаты диссертации изложены в работах [45,46,63,179,180].

Диссертация состоит из трех глав, заключения и двух приложений, в конце диссертационной работы приводится список литературы.

В первой — вводной — главе обсуждается актуальность темы диссертационной работы, формулируется общая постановка задачи. В диссертации нет одного общего раздела, целиком посвященного обзору литературы. Вместо этого отдельный обзор по каждой из исследуемых проблем дается в начале главы. Это позволяет более тесно связать известные результаты с конкретными результатами работы.

Вторая глава посвящена решению в волновом приближении задачи оптимальной оценки распределения интенсивности источников теплового излучения и, в ряде случаев, внутренней температуры нагретой поглощающей среды по результатам наблюдения акустического термического шумового излучения. Предлагается блок-схема термотомографа и рассматриваются возможные упрощенные варианты реализации корреляционного метода, отличающегося, в его полном виде, большой вычислительной сложностью. Оцениваются потенциальная чувствительность и разрешающая способность метода пассивной волновой томографии, а также объем вычислительных затрат, необходимых для реализации предложенного алгоритма на ЭВМ. Анализируется возможность получения оптимального решения обратной задачи излучения для случая сложных конфигураций случайных источников с произвольной функцией корреляции. Представлены результаты численного моделирования процесса статистической характеризации термоакустических источников

В третьей главе рассматривается метод получения статистич.еских оценок характеристик рассеивателей в случае зашумленных данных рассеяния, базирующийся на системе уравнений Липпмана-Швингера для данных рассеяния в импульсном (или координатном) представлении. Обсуждаются достоинства и слабые стороны предлагаемой итерационной схемы. Вспомогательная прямая задача рассеяния для рассеивателей средней силы с учетом многократных перерассеяний решается методом последовательных итераций. Анализируются пределы уширения пространственного спектра вторичных источников с ростом силы рассеивателя и условия его "насыщения". Приведены иллюстрации к численному моделированию решения обратной задачи рассеяния в борновском приближении и с учетом эффектов многократного рассеяния (для случая зашумленных данных рассеяния). Результаты, представленные в этой главе, являются плодом совместной работы, в которой автор диссертации принимал активное участие. Численное моделирование решения вспомогательной прямой задачи рассеяния было выполнено студентами А.Ю. Жуковец и A.B. Богатыревым. Огромное содействие в разработке программ для решения обратной задачи рассеяния было оказано сотрудником ИПУ к.ф.-м.н. Е.Г. Суховым. Разработка численных схем и моделирование решений ПЗР и ОЗР проводились под руководством и при непосредственном участии к.ф.-м.н. О.Д. Румянцевой.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В диссертации принята двухзначная нумерация формул. Обращение к формулам осуществляется в виде, например (2.5), что означает пятую формулу второй главы, номер (II.5) означает пятую формулу Приложения II. Нумерация рисунков также двухзначная. Например, ссылка (рис.2.7) означает седьмой рисунок второй главы.

I. НЕКОГЕРЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Подробно исследована некогерентная обратная волновая задача излучения в приложении к проблемам пассивной акустотермо-томографии и статистической характеризации излучающих структур. Решена задача оптимальной оценки пространственного распределения интенсивности случайных источников с произвольной степенью когерентности и получено несколько вариантов квазиоптимальной реализации алгоритма восстановления структурированных источников. Определены классы практических задач, решаемых тем или иным методом.

2. Проведено численное моделирование процесса статистической характеризации различных конфигураций источников. Проанализированы перспективы использования рассмотренных методов в задачах характеризации термоакустических источников. Показана возможность использования метода акустической термотомографии для неинвазивной диагностики нарушений системы кровоснабжения.

3. Предложена функциональная схема акустического термотомографа -устройства, предназначенного для измерения пространственного распределения интенсивности источников теплового излучения внутри исследуемого объекта по по внешнему наблюдению его теплового акустического излучения. Оценены потенциально достижимые чувствительность и разрешающая способность метода акустотермо-томографии. Показано, что эти характеристики будут соответствовать медицинским диагностическим требованиям (температурный контраст АТ« 0.1 °К, линейный размер элемента разрешения ~ 1 мм) при использовании достаточно мощных антенн и корреляционных алгоритмов. Уровень сложности системы быстро снижается при ослаблении требований на чувствительность и разрешающую способность. Так, определение контраста АТ = 0.5 °К при разрешении 5 мм легко осуществляется антенными системами, содержащими десятки элементов при времени усреднения порядка 10 сек и полосе принимаемых частот в сотни килогерц.

4. В статистической постановке рассмотрена обратная задача рассеяния в случае зашумленных исходных данных. Получено нелинейное обобщение метода винеровской фильтрации для решения обратной задачи рассеяния с учетом эффектов перерассеяния. В случае слабых рассеивателей разработанный алгоритм переходит в винеровскую фильтрацию.

5. На модельных данных, воспроизводящих работу различных акустических систем активной томографии, продемонстрирована работоспособность предложенного алгорима. Показано, что при оптимальной регуляризации помехоустойчивость восстановления сильных рассеивателей ненамного уступает помехоустойчивости восстановления слабых рассеивателей. При этом принципиально необходим учет процессов многократного рассеяния, определяющий итерационную процедуру регуляризации.

В заключение я хотела бы выразить искреннюю признательность моим научным руководителям Валентину Андреевичу Бурову и Ольге Дмитриевне Румянцевой за их неоценимую помощь, терпение и поддержку, благодаря которым появилась на свет эта работа. А также всем сотрудникам кафедры акустики за их участие и помощь.

IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Миргородский В.И. Нелинейные и нестационарные акустоэлектронные явления в монокристаллическом сульфиде кадмия 1. Дисс. на соиск. уч. ст. д. ф.-м. н., М., ИРЭРАН, 1993, с. 167-173, 231-240.

2. Mellen R.H. The thermal-noise limit in the detection of underwater acoustic signals // J. Acoust. Soc. Am., 1952, V.Z4r№5, p. 478-480.

3. Ezrow D.H. // J. Acoust. Soc. Am., I962.V.34, №5, p. 550.

4. Бабий В.И. Перенос акустической энергии в поглощающей и излучающей среде// Сб". Морские гидрофизические исследования, 1974, Т.65, №2, с. 189-192

5. Гуляев Ю.В., Марков А.Г., Корененева Л.Г., Тарасов A.B. Динамическое ИК-тепловидение: возможности исследований механизмов температурных реакций // Биомедицинскаярадиоэлектроника, 1995, №2 в: Радиотехника, 1995, № 9, с.78-81.

6. Сельский А.Г., Фишер A.M., Дубинина В.П., Гуляев Ю.В. и др. Возможности применения динамического термокартирования в радио- и инфракрасном диапазоне в онкологической клинике// там же с. 85-89.

7. Анзимиров В.Л., Архипова H.A. и др. Динамическое терморадио-картирование коры головного мозга при функциональных нагрузках // Биомедицинская радиоэлектроника, 1991, №1 в: Радиотехника, 1991, № 8, с. 74-75.

8. Абушахмаыова А.Х., Ленская О.П., Богдасаров Ю.Б., Наркевич Б.Я. Способ диагностики опухолей молочной железы //A.c. №1328952 (СССР).

9. Лихтерманн Л.Б. Ультразвуковая томография и тепловидение в нейрохирургии // М.: Медицина, 1983.

10. Ю.Фролов A.A., Петрова Е.В., Пасечник В.Н., Марков А.Г. // в кн.: Термоэнцефалография под. ред. Шевелева И.А. и др.—М.: Наука, 1989.

11. Богдасаров Ю.Б., Каплан М.А. и др. // в сб. трудов Всесоюзной конференции "Методические вопросы определения температуры биологических объектов радиофизическими методами". — М., 1985.

12. Валиев И.В., Захарченко И.И. Система дистанционного динамического радиовидения для медицинской диагностики // Биомедицинская радиоэлектроника, 1991, №1 в: Радиотехника, 1991, №8, с.69-74.

13. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Дементиенко В.В., Пасечник В.И., Рубцов A.A. О возможности акустической термографии биологических объектов // ДАН СССР, 1985, Т.283, №6, с. 1495-1499.

14. Пасечник В.И. Акустическая термография биологических объектов // Биомедицинская радиоэлектроника, 1991, №1 в: Радиотехника, 1991, №8, с. 7.7-80.

15. Башаринов А.Е., Гурвич A.C., Егоров С.Т. Определение гидрофизическихпараметров по измерениям теплового радиоизлучения на ИСЗ "Космос -243"//ДАН СССР, 1969, Т. 188, №6, с. 1273-1276.

16. Богородский В.В., Козлов А.И. Микроволновая радиометрия земных покровов пл., Гидрометеоиздат, 1985.

17. Герасимов ВВ., Миргородский В.И., Пешин C.B., Филип К., Хильфман И. О возможности использования акустотермометров для лазерной гипертермии// там же, с.651.

18. Muller G., Dorschel К., Kar HJBiophysics of the Photoablatation Process // Laser in Medical Science, 1991, Y.6, p.241-254.

19. Bowen T., Acoustic Passive Remote Temperature Sensing // Acoust. Imag., 1982, V.12 , p.549-561.

20. Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику //М., Наука, 1978, в 2-х частях, ч.1.

21. Аносов A.A., Пасечник В.И. Сравнение чувствительности акустотермометров различных типов // Акуст. ж., 1993, Т.39, №2, c.207-2J2.

22. Аносов A.A., Пасечник В.И. Пространственная обратная задача акустотермографии//Акуст. ж., 1994, Т.40, №6, с.885-889.

23. Вилков A.E., Мансфельд А.Д., Рейнман A.M., Санин А.Г. Многолучевая акустотермография // В сб.: "Акустика и медицина", 3-я сессия Росс. Акуст. Общ-ва, Москва, 28-30 сентября 1994 г., с.48-50.

24. Аносов A.A., Пасечник В.И. Одномерные обратные задачи акустотермографии и СВЧ-радиометрии//Акуст. ж., 1994, Т.40, №5, с.743-748.

25. Пасечник В.И. Оценка чувствительности метода акустотермографии// Акуст. ж., 1990, Т.36, №4, c.TI8-724.

26. Аносов A.A., Пасечник В.И. Сравнение чувствительности акустотермометров различных типов // Акуст. ж., 1993, Т.39, №2, с.207-212.

27. Герасимов В.В., Миргородский В.И., Пешин C.B. Об акустическом и электрическом согласованиях в акустотермометрах // В сб.: "Акустика и медицина", 3-я сессия Росс. Акуст Общ-ва, Москва, 28-30 сентября 1994г., с. 652.

28. Ерофеев A.B., Пасечник В.И. Калибровка преобразователей с помощью теплового акустического излучения // Акуст. ж., 1995, Т.41, №4, с.642-643.

29. ЗГПопсуев Э.И. Модель пьезоэлектрического приемника для акустической термографии // Изв. ВУЗов Радиоэлектроника, 1996, Т.39, №7-8, с.48-54.

30. Аносов A.A., Исрефилов М.Г., Пасечник В.И. Двумерная обратная задача акустотермографии // В сб.: "Акустика и медицина", 3-я сессия Росс. А куст. Общ -ва, Москва, 28-30 сентября 1994 г., с.45-48.

31. Аносов A.A., Исрефилов М.Г., Пасечник В.И. Точность решения двумерной обратной задачи акустотермографии при некорреляционном приеме // Биомедицинская радиоэлектроника, 1995, №2 в: Радиотехника, 1995, №9, с.65-68.

32. Passechik V.l., Anosov A.A., Isrefilov M.G. Physical basis and prospectives of acoustothermography //Ultrasonic, 1996, V.34, p.511-512.

33. Миргородский В.И., Пасечник В.И., Пешин C.B., Рубцов А.АТ Годик Э.Э., Гуляев Ю.В. Зондирование внутренней температуры объектов по их тепловому акустическому излучению // ДАН СССР, 1987, Т.297, №6, с. 13701372.

34. Mirgorodsky V.l., Pàsechnik V.l., Peshin S.V., Rubtsov A.A., Godik E.E., Gulyaev Yu.V. Experimental studies of acoustothermography potentialities // Acta. Phys. Slov.,1990, V.40, №2, p. 150-152.

35. Пасечник В.И. Акустотермография биообъектов: влияние рассеяния ультразвука и динамики температурных полей // Акуст. ж., 1990, Т.36, №5, с.920-926.

36. Ксенофонтов С.Ю., Мансфельд А.Д., Рейман A.M. Реконструктивная акустическая термотомография биологических объектов // Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 1997,Т.40, № 6, с. 752-760.

37. Carslaw H.S, Jaeger J.C. Condution of heat in solids // Oxford at the Clarendon Press matter thermal diffusity.

38. Буров B.A., Дмитриев O.B. О разрешении сигналов антенными решетками // Вест. Моск. Ун-та, сер.З, Физика, Астрономия, 1980, Т.Н., №6, с.49-55.

39. Chmill A.I., Gerasimov V.V., Guluaev Yu.V., Mirgorodsky V.l., Peshin S.V. Experimental investigation of the correlation tomography space resolution // Acoust. Imag.,1997, V.23, p.607-6II.

40. Буров В.А., Касаткина E.E. Статистические обратные волновые задачи термоакустической томографии // Акуст. журн., 1997, Т.43, №2, с. 162-169.

41. Burov V.A., Kasatkina E.E. Statistical estimations in thermoacoustical introscopy// Acoust. Imag.,1997, V.23, p.309-314.

42. Пасечник В.И. Пассивный термоакустический томограф, не использующий априорную информацию о коэффициенте поглощения // Акуст. ж., 1997, Т.43, №4, с.563-565.

43. Пасечник В.И., Барабаненков Ю.Н. Исследование корреляционных свойств теплового акустического излучения // Акуст. ж., 1995, Т.41, №4, с.563-566.

44. Барабаненков Ю.Н., Пасечник В.И. Исследования теплового акустического излучения в рамках модели гидродинамических флуктуаций // Акуст. ж., 1994, Т.40, №4, с.542-547.

45. Буров В.А., Дмитриев О.В. Применение метода максимального правдоподобия в задаче обнаружения шумовых сигналов // РТ и Э, 1973, №6, с. 1276-1279.

46. Devaney A.J. The inverse problem for random sources // J. Math. Phys., 1979, V.2Q, №8, p.f 687- 1691.

47. Кейпон Дж. Пространственно-временной анализ с высоким разрешением // ТИИЭР, 1969, Т.57, №8, с.69-80.

48. Сох Н. Resolving Power and Sensitivity to Mismatch of Optimum (Line) Array Processor//J. Acoust. Soc. Am., 1973, V.54, p.771-785.

49. Кей C.M., Марпл-мл. С.Л. Современные методы спектрального анализа // ТИИЭР, 1981, Т.69, №11, с.84-156.

50. Марпл-мл. С.Л. Цифровой и спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.

51. Джонсон Д.Х. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников // ТИИЭР, 1982, Т.70, №9, с. 126-139.

52. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных // М.: Мир, 1989,540 с.бОЛрименение .ультразвука в медицине. Физические основы ii под ред. К.Хилла, М.: Мир, 1989, 567 с.

53. Burov V. A., Rychagov M.N., Saskovets A.V. Account of multiple scattering in acoustic inverse problems of tomographic type /./ Acoust. Imag., 1992, V. 19, p.35-39.

54. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах // М., Мир, 1981, в 2-х тт.

55. Буров В.А., Касаткина Е.Е. Применение метода максимального правдоподобия к обработке сигналов с градиентного приемника // Акуст. журн., 1997, Т. 43, №1 , с.22-25.

56. Bartlett M.S. On the theoretical specification and sampling properties of autocorrelated time series // J. Roy. Statist. Soc. Suppl., 1946, V.8, Pt. 1, p.27-41.

57. Bartlett M.S. Periodogram analysis and continuous spectra // Biometrica, 1950, V.37, p.1-16.

58. Зелингсон Ч.Д. Замечания к статье "Пространственно-временной анализ с высоким разрешением^ // ТИИЭР, 1970, Т.58, № 6, с. 167-168.

59. Тихонов А.Н., Гончарский А.В.,, Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризую-щие алгоритмы и априорная информация //М.: Наука, 1983. 198 с.

60. Барабаненков Ю.Н., Пасечнгос В.И. Двухэлементный прием в исследова-- нии корреляционных свойств теплового акустического излучения // В сб.:

61. Акустика на пороге XXI века", 6-я сессия Росс. Акуст. Общ-ва, Москва, 1997г., с.466-469.

62. Аносов АА., Бограчев K.M., Пасечник В.И. Пассивная термоакустическая томография кисти руки человека // Акуст. журн., 1998, Т.44, № 6, с.725-730.

63. Во wen Т., Acoustic radiation temperature for поп-invasive thermometry// Automedica, 1987, V.8 , p.247-267.

64. Passechik V.L Verification of the physical basis of acoustothermography// Ultrasonic, 1994, V.32, p.293-299.

65. Passechik V.L The influence of sound scattering on the acoustobrightness temperature // Ultrasonic, 1996, V.34, p.676-685.

66. Герасимов В.В., Гуляев Ю.В., Миргородский В.И., Пешин С.В., Сабликов В.А. Диагностика систем терморегуляции человека с помощью акустотермометра (на примере исследования икроножной мышцы) // Радиотехника и электроника, 1993, Вып. 10, с. 1904-1911.

67. Гершман А.Б., Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г. Повышение разрешающей способности обобщенного алгоритма пеленгации Кейпона // Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, Т.2, №4, с. 16-19.

68. Гершман А.Б., Ермолаев В.Т., Флаксман А.Г. Адаптивное разрешение некоррелированных источников по угловой координате// Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 1988, № 8, с. 941-946.

69. Построение изображений в астрономии по функциям когерентности // под ред. Ван Сховелда К., М.: Мир, 1982.

70. Подводная акустика и обработка сигналов // под ред.Бернье Л., М.: Мир, 1985.

71. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les quations aux dirivees partielles lineaires hyperboliques// Paris: Hermann, 1932.

72. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР, 1943, Т.39, №5, с. 195-198.

73. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР, 1963, Т. 153, № 1, с. 49-52.

74. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР, 1963, Т. 151, № 3, с. 501-504.

75. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения // М.: Изд-во МГУ, 1989. 200 с.

76. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач // М.: Наука, 1986.- 288с.

77. Тихонов AJHU Арсенин В.Я., Рубашов И.Б.Т Тимонов A.A. О постановке основных задач вычислительной томографии // Препринт №141, 1982, М.: ИПМ АН СССР, -23с.

78. Арсенин В.Я., Тимонов A.A. О локальной регуляризации математических задач компьютерной томографии // II Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии 4-7 июля 1985г, Куйбышев, с. 14-15.

79. Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Об использвании дополнительной информации при построении на основе локальной регуляризации алгоритмов нахождения приближенных решений интегральных уравнений I рода типа.свертки// Препринт №40, 1983, М.: ИПМ АН СССР, 25с.

80. Буров В.А. Восстановление входного воздействия на линейный прибор по выходному сигналу методом быстрого преобразования Фурье // Спец. физич. практикум под ред. Харламова A.A., М.: Изд-во МГУ, 1977, ч.З, с.336-349.

81. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач // М.: Наука, 1990. 232 с.

82. Гончарский A.B. Некорректные задачи и методы их решения // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд-во МГУ, 1987.

83. Гончарский A.B., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // ДАН СССР, 1969, Т. 184, №4, с.771-773.

84. Folkman J. What is the evidence that tumors are angiogenesis depend? // J. Natl. Cancer Inst., 1990, Y.82, p.4-6.

85. Крянев A.B. Итерационный метод решения некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1974, Т. 14, №1, с.25-35.

86. Марчук Г.И., Васильев В.Г. О приближенном решении операторных уравнений I рода // ДАН СССР, 1970, Т. 195, №4, с.773-775.

87. Гончарский AJB^ Черепащук А.М.Г Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики // М-: Наука, 1978,336с.

88. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики // М.: Наука, 1985, 352с.

89. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода// ЖВМ и МФ, 1966, Т.6, №6, с. 1089-1093.

90. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМ и МФ, 1968, Т.8, №2, с.295-309.

91. Винокуров В.А. Два замечания о выборе параметра регуляризации // ЖВМ и МФ, 1972, Т. 12, №2, с.481.

92. Kruse D., Chômas J., Salerno M., El-Fallah A., and Ferrara К. High Resolution 3D Flow Mapping in Tumors // IEEE Ultrason. Symp., 1997, p.1211-1214.

93. Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки в рефлексивных пространствах // ДАН СССР, 1979, Т.249, №1, с.71-73.

94. Weidner N., Semple J.P., Welch W.R., and Folkman J. Tumor Angiogenesis and metastasis — correlation in invasive breast carcinoma il New Eng. J Med., 1991, V.324TpI-S.

95. Weidner N., Carroll P.R., Flax J.,BIumenfeId W., and Folkman J. Tumor angiogenesis correlates withmetastasis in invasive prostate carcinoma // Am. J. Pathol., 1993, V. 143, p.401-409.

96. Ю7.Тихонов A.H., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода // ЖВМ и МФ, 1964, Т.4, №3, с.564-571.

97. Ю8.Леонов A.C. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношения //ЖВМ и МФ, 1978, Т. 18, №6, с. 1363-1376.

98. Ю9.Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения // М.: Наука, 1978. —206 с.

99. Ю.Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации //ЖВМ и МФ, 1966, Т.6, №1, с.170-175.

100. Ш.Бакушинский А.Б. Некоторые свойства регуляризующих алгоритмов // ЖВМ и МФ, 1968, Т.8, №2, с.426-428.

101. П2.Аносов А.А., Пасечник В.И., Исрефилов М.Г. Восстановление двумерного распределения внутренней температуры модельного объекта методом пассивной термоакустической, томографии // Акуст. ж.,. 1999, Т. 45, .Vol. с.20-24.

102. З.Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР, 1965, Т. 161, №5, с. 1023-1026.

103. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР, 1962, Т. 145, №2, с. 270-272. .

104. Иванов В.К. О некоррекно поставленных задачах // Мат. сб., 1963, Т.61, №2, с. 211-223.

105. Barabanenkov Y.N., Passechnic V.I. Fluctuation theory of thermal acoustic radiation //J. Acoust. Soc. Am., 1999, Ш, p.65-71.

106. Baish J.W. Gazit Y., Berk D.A., Nozue M., Baxter L.T., and Jain R.K.Role of tumor vascular architecture in nutrient and drug,, .delivery: ; invasion percolation-based network model// Microvasc. Res.,. 1996, V.51, p.327-346.

107. Folkman J., Long D., Becker F. Growth and metastasis of tumor in organ culture // Cancer, 1963, V. 16, p.453-467.

108. H9.Fox S.B., Gatter K.C., and Harris A.L. Review Article: Tumor angiogenesis // J. PathoL, 1996, V. 179, p.232-237.

109. Less J.R~, Skalak T.C., Sevick E.M., and Jain R.K. Microvasculature architecture in mammary carcinoma: branching patterns and vessel dimensions // Cancer Res., 1991, V.51, p.265-273.

110. Лаврентьев M.M. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР, сер. Математика, 1956, Т.20, №6, с.819-842.

111. Кротов Е.В., Ксенофонтов С.Ю., Мансфельд А.Д., Рейнман A.M., Санин А.Г., Прудников М.Б. Экспериментальные исследования возможностей многоканальной акустической термотомографии // Изв. ВУЗов сер. Радиофизика, 1999, Т. XLII, № 5, с. 479-484.

112. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения // М.: Мир, 1970.

113. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач // ДАН СССР, 1979, Т.248, №6, с.1289-1291.

114. Гилязов С.ф. Методы решения линейных некорректных задач // М.: Изд-во МГУ, 1987. 120с.

115. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // ДАН СССР, 1964, Т. 156, №6, с. 1296-1299.

116. Тихонов A.H., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи // М.: Наука. Физматлит, 1995. 312 с.

117. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series // John Wiley, N.Y.: 1949.

118. Лаврентьев M.M., Васильев В.Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики // Сиб.мат. журн.,1966, Т.7, с.559-576.

119. Арсенин В.Я., Иванов В.В. Об оптимальной регуляризации // ДАН СССР, 1968, Т.182, №1, с.9-12.

120. Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений I рода типа свертки методом регуляризации // ЖВМ и МФ, 1968, Т.8, №2, с.310-321.

121. Бакушинский А.Б. Некоторые вопросы теории регуляризующих алгоритмов// в сб.: "Вычисл. методы и программирование", Вып.12, М.: Моск. Ун-т, 1969, с.56-79.

122. Вайнштейн Л.А., Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех // М.: Изд-во "Советское радио", 1960. -447с.

123. Федотов А-М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками, в данных // Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. 189с.

124. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных // Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. — 280с.

125. Vendhan, C.P., Prabavathi C. Determination of Far-Field Pattern of Rigid Scatterers Using Independent Finite Element Method and Eigenfunction Expansion. Part 1. Axisymmetric Scattering // J. Vibration and Acoustics, 1996, V. 118, №4, p.575-582.

126. Prabavathi C., Vendhan C.P. Determination of Far-Field Pattern of Rigid Scatterers Using Independent Finite Element Method and Eigenfunction Expansion. Part 2. Nonaxisymmetric Scattering // J. of Vibration and Acoustics, 1996, V. 118, №4, p.583-590.

127. Imhof M.G. Scattering of acoustic and elastic waves using hybrid multiple multipole expansions Finite element technique // J. Acoust. Soc. Am., 1996, V.100,№3, p. 1325-1338.

128. Dassios G., Lucas R.J. Inverse scattering for the penetrable ellipsoid and ellipsoidal boss // J. Acoust. Soc. Am., 1996, V.99, №4, Pt.l, p. 1877-1882.

129. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов A.H. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции // М.: Наука, 1977.

130. Burov V.A., Rumyantseva O.D. Influence of the scattering data redundancy on uniqueness and stability in reconstruction of strong and complicated scatteres // Acoust. Imag., 1996, V.22, p. 107-112.

131. Burov V.A., Morozov S.A., Rumiantseva O.D., Sukhov E.G., Vecherin S.N., Zliucovets A.Yu. Exact solution of two-dimensional monochomatic inverse scattering problem and secondary sources spectrum // Acoust. Imag., 1998,. V. 24.

132. Рычагов М.Н. Учет многократных рассеяний в акустических обратных задачах томографического типа // Дисс. к. ф.-м. наук, М.: МГУ, 1989, 168 с.

133. Буров В.А., Рычагов М.Н. Дифракционная томография как обратная задача рассеяния. Интерполяционный подход. Линеаризованный вариант // Акуст. журн., 1992, Т.38, № 4, с.631-643.

134. Буров В.А., Рычагов М.Н. Дифракционная томография как обратная задача рассеяния. Интерполяционный подход. Учет многократных рассеяний // Акуст. журн., 1992, Т.38, № 5, с.844-855.

135. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Успехи мат. наук, 1959, Т. 14, вып.4, №88, с.57-119.

136. Новиков Р.Г. Обратная задача для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии и нелинейные уравнения // Дисс. .канд. ф.-м. наук, М.: МГУ, 1989. -87с.

137. Роббинс Г. Эмпирический байесовский подход к задачам теории статистических решений // Математика.- М.: Изд-во иностр. лит., 1964, Вып. 10, с. 122-140.

138. Вальд А. Статистические решающие функции// Позиционные игры. — М.: Наука, 1967, с.300-522.

139. Г57.Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов // М.: Изд-во МГУ, 1988. 174 с.

140. Тихонов А.Н., Арсении В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии // М.: Наука, 1987. —160 с.

141. Гончарский А.В., Кочиков И.В., Матвиенко А.Н. Реконструктивная обработка и анализ изображений в задачах вычислительной диагностики// М.: Изд-во МГУ, 1993. -140 с.

142. Тихонов А.Н. О задачах с неточно заданной исходной информацией // ДАН СССР, 1985, Т.280, № 3, с. 559-563.

143. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач // М.: Наука, 1981.

144. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач // М.: Наука, 1989. — 128 с.

145. Арсении В.Я., Иванов В.В. О влиянии регуляризации />-того порядка // ЖВМ и МФ, 1968, Т.8, №3, с.661-663.

146. Лисковец O.A. Теория и методы решения некорректных задач // в сб.: Итоги науки и техники, сер. Математический анализ, М.: ВИНИТИ, 1982, Г.20, с.116-178.

147. Судаков В.Н., Халфин Л.А. Статистический подход к корректности задач математической физики //ДАН СССР, 1964, Т. 157, № 5, с. 1058-1060.

148. Вайникко Г.М. Принцип невязки для класса регуляризационных методов для самосопряженных задач // в сб.: "Числ. решение краевых задач и интегральных.уравнений", Тарту, ТГУ, 1981, с.73-75.

149. Сарв Л.Э. О решении линейных некорректных задач а-методами // в сб.: "Числ. решение краевых задач и интегральных уравнений", Тарту, Ti У, 1.981, с.86-88.

150. Гилязов С.Ф. Об устойчивом решении линейных операторных уравнений I рода методом наискорейшего спуска // Вест. МГУ, сер. Вычисл. мат. и кибернет., 1980г№3,с.26-32.

151. Добрушин Р.Л. Общая формулировка основной теоремы Шеннона в теории информации II Успехи матем. Наук, 1959, Т.14, №6, с.3-104.

152. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О применимости принципа невязки в случае нелинейных некорректных задач и о новом регуляризующем алгоритме их решения// ЖВМ и МФ, 1975, Т.15, №2, с .290-297.

153. Ченцов H.H. Статистические решающие правила и оптимальные выводы// М.: Наука, 1972.-520с.

154. Kochikov I.V., Kuramshina G.M., Yagola A.G. Inverse problems of vibrational spectroscopy as nonlinear ill-posed problems // Surv. Math. Ind., 1998, №8, p.63-94.

155. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // Успехи физ. наук, 1970, T.I02, №3, с.345-386.

156. Петров А.П. О статистическом подходе к некорректным задачам математической физики II Методы решения некорректных задач и их применение. — М.: Изд-во МГУ, 1974, с.177-181.

157. Nashed M.Z., Wahba G. Generalized inverses in reproducing kernel spaces: An approach to regularization of linear operator equations // SIAM J. Math. Analysis, 1971, V.5, №6, p.974-986.

158. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Итерационный алгоритм решения обратной задачи рассеяния // Вест. Моск. Ун-та, сер. Физика и Астрономия, 1982, Т.23, №6, с.87-89.

159. Burov V.A., Kasatkina Е.Е., Rumyantseva O.D. Statistical estimations in inverse scattering problems//Acoust. Imag., 1996, V.22, p.113-118.

160. Буров B.A., Касаткина E.E., Румянцева О.Д. Статистические оценки в обратных задачах рассеяния // Акуст. журн., 1997, Т.43, №3, с.315-322

161. Coen S., Mei К.К., Angelacos DJ. Inverse scattering technique applied to remote sensing of layered media // IEEE Trans. Ant. Propagat.,I98I,V.AP-29,№2^.298-306.

162. Roger A. Newton-Kantorovich algorithm applied to an electromagnetic inverse problem // IEEE Trans. Ant. Propagat.,1981,V.AP-29,№2,p.232-238.

163. Burov Y.A., Rychagov M.N., Saskovets A.V. Account of multiple scattering in acoustic inverse problems of tomographic type // Acoust. Imag., 1992, У.19, p.35-39

164. Jonson S.A., Zhou Y.,Tracy M.L., Berggren M.J., Stenger F. Inverse scattering solutions by a sine basis, multiple source, moment method. Part III: Fast algorithms //Ultrason. Imag., 1984, V.6, №4, р.Г03-Ю6.

165. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // М.: Наука, 1965.-519с.

166. Longji Tang Iterative method for acoustical wave inversion with sparse data // Acoust. Imag., 1993, V.20, p. 141-144.

167. Beylkin G. The Fundamental Identity for Iterated Spherical Means and the Inversion Formula for Diffraction Tomography and Inverse Scattering // J. Math. Phys., 1983, Y.24, №6, p. 1399-1400.

168. Горюнов A.A., Сасковец А.В. обратные задачи рассеяния в акустике // Изд-во МГУ, 1989. -152с.

169. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В., Тихонова Т.А. Обратные задачи рассеяния в акустике // Акуст. журн., 1986, Т.32, №4, с.433-449.

170. Амосов А А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инжененров // М.: Высшая школа, 1994.

171. Буров В.А., Сасковец А.В., Фаткуллина И.О. Локальная сходимость итерационных решений обратных задач рассеяния при постепенном учете перерассеяния //Акуст. журн., 1991, Т.37, №1, с.30-35.

172. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений // М.: Изд-во физ.-мат. лит. 1963, с.502.