Статистический анализ и планирование измерений лучевых скоростей внесолнечных планетных систем тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

□□3464548

Балуев Роман Владимирович

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ ВНЕСОЛНЕЧНЫХ ПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ

01.03.01 — астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 9 Г.!АР 2x9

Санкт-Петербург — 2009

003464548

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Холшевников Константин Владиславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Медведев Юрий Дмитриевич, Институт прикладной астрономии РАН

Защита состоится "7" апреля 2009 г. в 15 ч. 30 мин.'на заседании совета Д 212.232.15 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 28., ауд. 2143 (математико-механический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан _

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Байкова Аниса Талгатовна, Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

Ведущая организация: Государственный астрономический институт

им. П.К. Штернберга МГУ

Учёный секретарь диссертационного совета

1. Актуальность исследования

Актуальность данной работы во многом определяется чрезвычайной важностью исследований внесолнечных планетных систем. Вопрос о существовании планет у других звезд солнечного типа волновал умы человечества на протяжении по крайней мере четырех столетий. Открытие первой такой внесолнечной планеты (экзопланеты) в 1995 году [11| поставило перед астрономическим научным сообществом множество новых вопросов н породило новую область научных исследований. Эти вопросы имеют как самостоятельное научное значение, так и входят составной частью в другие научные задачи. Одной из этих задач является, например, проблема распространенности жизни во Вселенной.

Со времени открытия первой внесолнечной планеты, обращающейся вокруг звезды солнечного типа, прошло 14 лет. В течение этого промежутка времени число известных экзопланет непрерывно росло и уже превысило 300. К настоящему времени уже известно около 30 планетных систем, содержащих две или более планеты ([1, 2, 3, 4, G|, см. также профессиональный интернет-ресурс The Extrasolar Planets Encyclopaedia, www.exoplanet.eu). До сих пор большая часть экзопланет открывается методом лучевых скоростей. Этот метод поиска экзопланет оказался весьма эффективным на практике. Сейчас он дает новую планету в среднем каждую неделю. Суть данного метода состоит в том, что планета обнаруживается по колебанию лучевой скорости своей звезды, наблюдаемому с Земли. Лучевая скорость звезды, вокруг которой обращается невидимый (планетный) спутник, дается следующим выраженем (см., например, [4, 5, 7j):

v = К [cos (д + v) + в cos 5] + с. (1)

Здесь К — амплитуда кривой лучевой скорости, д — аргумент перицентра, орбиты планеты, е — эксцентриситет, v — истинная аномалия, с — лучевая скорость барицентра системы. Истинная аномалия зависит от времени, эксцентриситет е, средней долготы А в заданный фиксированный момент времени, а также от орбитального периода Р.

В выбранной параметризации величины Р,д. е, А представляют со-

бой первичные параметры, определяемые в ходе подгонки модельной кривой лучевой скорости (1) к имеющимся наблюдениям. Существуют также вторичные параметры — величины, определяемые как функции от первичных параметров. Ко вторичным параметрам относятся, в частности, большая полуось а ее орбиты и минимальная масса планеты ra sin г, где г — угол наклона плоскости орбиты к картинной плоскости. Приближенно их можно вычислить как

/ М2Р\ 1/3 ~

т sin i ~

у Z7tG )

Здесь G — гравитационная постоянная, М* — масса звезды, a К — К\/1 — е2 — модифицированная амплитуда. Если период Р измеряется в сутках, М* — в массах Солнца М0, а К — в метрах в секунду, то постоянные множители М « 4.919- 10"'![M.jup Мэ2^м-1сут~1//3сек] и Л ~ 1.957- 10~2[МдХ^3а.е. суг~г^]. Приближения (2) действительны при т -С Л'/«. Как известно, информацию об орбитальном наклоне i (а значит и об истинной массе планеты т) нельзя получить из наблюдений одних лучевых скоростей, если только взаимные возмущения планет в системе не удается регистрировать напрямую в кривой лучевой скорости.

Сложившаяся ситуация «доминирования» метода лучевых скоростей делает улучшение уже имеющихся и разработку новых, более эффективных, алгоритмов статистического анализа и планирования наблюдений лучевых скоростей звезд в программах поиска экзопланет весьма актуальной задачей.

2. Цели работы

Несмотря на неоспоримые успехи программ поиска внесол печных планет, использующих метод лучевых скоростей, до сих пор большинство открытых экзопланет официально именуются всего лишь «кандидатами» в экзопланеты. Эта осторожность связана с косвенной природой данного метода. Например, на практике иногда оказывется, что наблюдаемая пере-

о

мениость лучевой скорости звезды вызвана не наличием у этой звезды планеты, а какими-либо явлениями активности в звездной атмосфере, например, пятнами (см. [9]). Но параметры планет часто определяются ненадежно просто с точки зрения теории статистической обработки наблюдений. К сожалению, в погоне за быстрыми и массовыми открытиями, наблюдатели часто забывают уделять должное внимание контролю качества не только применяемых методов обработки и планирования наблюдений, но даже и результатов самих этих наблюдений. В конечном счете может оказаться, что рассматриваемые программы наблюдений в существенной части работают «вхолостую». Главная цель данной работы — представить подробный анализ качества измерений лучевых скоростей, получаемых в современных программах поиска экзопланет, алгоритмов обработки и планирования наблюдений, используемых в этих программах, а также предложить ряд практически значимых усовершенствований указанных алгоритмов. Далее мы опишем поставленные задачи более подробно.

Выделение периодичиостей из зашумлеиных данных. Первый этап анализа измерений лучевых скоростей звезд в программах поиска экзоиланет — поиск в них периодических колебаний, потенциально отражающих наличие у звезды невидимых спутников (в том числе и планет). На сегодня уже разработаны весьма эффективмные методы такого анализа. В частности, в этой связи стоит упомянуть периодограмму Ломба-Скаргла [10, 15] и различные ее обобщения. Эти периодограммы позволяют легко и эффективно находить реальные периодичности в наблюдательных данных, однако не могут (сами но себе) оценивать статистическую значимость выявляемых сигналов (то есть, отличать реальные выявляемые сигналы от шумовых эффектов). Используемые обычно на практике методы оценки статистической значимости пиков периодограмм обладают существенными недостатками (например, требуют слишком большого машинного времени или обладают недостаточной математической строгостью и обоснованностью и, следовательно, дают ненадежные результаты). Таким образом, необходима какая-то новая методика оценки значимости пиков периодограмм, которая позволяла бы получать требуемые опенки быстро, с достаточной точностью и с какими-либо теоретическими гарантиями надежности.

Дрожание лучевых скоростей заезд. При анализе временных рядов лучевых скоростей звезд в программах поиска экзопланет необходимо всегда иметь ввиду, что оценки инструментальной погрешности измерений не описывают полную дисперсию ошибок. Эта полная дисперсия содержит значительный добавочный компонент, который обычно называют «дрожание» («jitter»). Дополнительное кажущееся дрожание лучевой скорости изменяет соотношение статистических весов наблюдений и в конечном счете влияет па получаемые значения оценок орбитальных, параметров и масс экзопланет.

В своей астрофизической части это дрожание вызывается различными явлениями активности в звездной атмосфере (и самой звезде), которые приводят к кажущейся нестабильности измеряемой лучевой скорости звезды. Наблюдаемая величина дрожания может существенно зависеть от характеристик спектрографа, условий и методики проведения наблюдений. Например, достаточно длительная экспозиция спектра (~ 20 мин) позволяет осреднить колебания видимой лучевой скорости, вызванные неради-альпыми звездными Осцилляциями [12, 16]. Однако, как будет показано в диссертации, свой вклад в дрожание вносят и чисто инструментальные эффекты. Например, оценки «внутренних» погрешностей измерения лучевой скорости, даваемые самими наблюдателями, совсем не обязаны быть точными. Если при расчетах не учитывался какой-то дополнительный шумовой эффект, то получаемые значения погрешностей измерений могут быть систематически заниженными. Наличие в измерительных ошибках неис-ключепных систематических компонент также увеличивает эффективную величину дрожания. Нельзя исключать и возможности, что даваемые погрешности измерений в действительности завышены.

Указанные причины приводят к тому, что эффективные значения дрожаний лучевых скоростей звезд сильно разнятся для различных инструментов (даже для одной и той же звезды). Это означает, что при совместном анализе данных, полученных на разных обсерваториях, мы должны назначать разным массивам данных существенно различные статистические веса с использований достаточно точных оценок эффективной величины дрожания (раздельно для каждого массива).

Обычно величина дрожания оценивается априорно на основе некоторых эмпирических корреляций с различными астрофизическими параметрами звезд, такими как, например, скорость вращения и уровень активности, измеряемый по Я и К линиям кальция [13, 14, 17j. Однако таким образом мы можем принять во внимание только астрофизическую часть дрожания, а как обсуждено выше, инструментальная компонента также значительна. При этом в литературе отсутствуют работы, посвященные исследованию систематических погрешностей наблюдательных данных, получаемых в современных допплеровских программах поиска планет. Таким образом, при анализе таких временных рядов лучевых скоростей мы стоим перед проблемой корректного учета того факта, что дисперсии измерений содержат некоторый дополнительный компонент, величина которого различна для разных звезд и разных обсерваторий и плохо известна a priori. Этот факт необходимо корректно учитывать при нахождении оценок масс и орбитальных параметров планет.

Систематические инструментальные ошибки. На практике иногда оказывется, что наблюдаемая переменность лучевой скорости звезды вызвана не наличием у этой звезды планеты, а какими-либо явлениями активности в звездной атмосфере, например пятнами (см. например [9]). Однако в литературе фактически отсутствуют какие-либо достаточно подробные исследования инструментальных систематических ошибок высокоточных измерений лучевых скоростей, получаемых в программах поиска экзонла,-нет. Вследствие таких ошибок получаемые оценки орбитальных параметров экзопланет могут оказаться сильно искаженными и ненадежными. В связи с этим возникает естественная необходимость оценки статистического качества таких наблюдений. Было бы полезно проанализировать возможность наличия систематических ошибок в опубликованных измерениях лучевых скоростей звезд с планетами, а также оценить величину и характер этих систематических ошибок.

Планирование наблюдений. При поиске внесолнечных планет методом лучевых скоростей практически не применялись какие-либо методы оптимального планирования наблюдений. Лишь в совсем недавней работе [8] опубликовано некоторое теоретическое исследование но этой теме.

При этом на практике орбитальные конфигурации многих впесолнечных планетных систем определены довольно плохо, несмотря на наличие для этих систем уже многолетних рядов наблюдений. В математической статистике теория оптимального планирования экспериментов разработана уже весьма глубоко и подробно. Таким образом, естественно возникает стремление применить общие методы оптимального планирования экспериментов для планирования наблюдений лучевых скоростей в программах поиска экзопланет. Разработка таких алгоритмов и оценка их практической эффективности также составляет одну из целей дайной работы.

3. Научная и практическая ценность результатов

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы статистического анализа и планирования наблюдений имеют весьма важное значение для наблюдательных программ поиска экзопланет. Разработанные методы могут существенно повысить эффективность этих наблюдений. В результате можно повысить точность и надежность получаемых оценок, планетных параметров и частоту открытий планет.

Построенные методики обработки наблюдений могут использоваться в других областях астрономии и других наук. В частности, новая методика оценки выявления (поиска) периодичностей в наблюдательных (экспериментальных) данных, описанная в главе 2, имеет весьма универсальную область применения. Алгоритм оценки параметров модели с учетом неизвестного «дрожания» измеряемой величины (глава 3) можно использовать и в других схожих научных задачах, связанных с обработкой наблюдательных (экспериментальных) данных. Потенциально широкую область применения имеют и предложенные в диссертации алгоритмы оптимального планирования наблюдений (глава 0).

Самостоятельную ценность имеют результаты анализа наблюдательных данных трехпланетной системы НЭ37124 (глава 5). Эти результаты имеют большое значение для небесной механики экзоплапетпых систем, а также . ыя теории образования и миграции экзопланет.

4. Новизна и достоверность результатов

Сам объект исследования — внесолнечные планеты — является новым, так как массовые открытия экзопланет начались лишь около десятилетия назад. Отметим следующие наиболее важные новые результаты, полученные в данной работе:

1. Впервые получены практически эффективные (быстро вычисляемые и имеющие хорошую точность) оценки статистической значимости пе-риодичностей, выявляемых в зашумленных наблюдательных данных при помощи периодограммы Ломба-Скаргла и ее обобщений.

2. Впервые построена строгая методика учета эффективной величины «дрожания» лучевых скоростей звезд, основанная на методе максимального правдоподобия.

3. Впервые указано на то, что в высокоточных измерениях лучевых скоростей, получаемых в программах поиска экзопланет, присутствуют существенные систематические ошибки.

4. В ходе анализа наблюдательных данных для планетной системы НБ37124 обнаружено качественно новое семейство допустимых орбитальных планетных конфигураций, соответствующее резонансу 2/1 между двумя внешними планетами.

5. Фактически впервые были разработаны строгие методы оптимального планирования наблюдений лучевых скоростей звезд для программ поиска внесолнечных планет.1

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных математических моделей и статистических методов, их проверкой различными численных тестами и сравнением с результатами других авторов в сопоставимых случаях.

'Лишь у 2003 г. по данной гс.мс была опубликовала работа зарубежных последователей [8]. Эха работа была выполнена независимо а опубликована почти одновременно с соответствующей статьей соискателя. Впрочем, в указанной работе задача олтиматьного планирования наблюдений лучевых гк'Л)ог!рГ) звезд решается существенно шшмп методами, гак чIV аналогичные результаты соискателя не теряют своего значения.

5. Результаты, выносимые на защиту

1. Новая эффективная методика оценки статистической значимости периодичностей, выявляемых при помощи периодограммы Ломба-Скаргла и ее обобщений.

2. Алгоритм учета кажущегося дрожания лучевых скоростей звезд, основанный на методе максимального правдоподобия и позволяющий получать более точные и надежные оценки планетных параметров.

3. Обнаружение систематических ошибок годичного периода в измерениях лучевых скоростей, получаемых в современных программах поиска экзопланет.

4. Применение разработанных алгоритмов обработки наблюдений к опубликованным рядам измерений лучевой скорости звезды HD37124, вокруг которой обращаются (как минимум) три планеты-гиганта. Обоснование того, что две внешние планеты этой системы могут двигаться по орбитам с большими эксцентриситетами, lie нарушая динамической устойчивости системы.

5. Алгоритмы оптимального планирования наблюдений лучевых скоростей в программах поиска экзопланет, наиболее эффективные для систем, содержащих две планеты или более, особенно при наличии резонаисов.

6. Апробация работы

Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались па семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, Института прикладной астрономии РАН, Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН, ГАИШ МГУ, а также на нескольких всероссийских и международных научных конференциях: на ЗС-й, 37-й и 38-й международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2007, 2008 и 2009 г.); па всероссийской молодежной научной конференции «Физика и прогресс» (г. Санкт-Петербург. 2007 г.); на 249-м симпо-

и

зиуме Международного Астрономического Союза «Exoplanets: Detection, Formation, and Dynamics» (г. Сучжоу, КНР, 2007 г.); на международной научной конференции «Extrasolar planets in multi-body systems: Theory and observations» (г. Торунь, Польша, 2008 г.).

7. Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения, пяти приложений, списка литературы (102 ссылки), списка иллюстраций (24 рисунка.) и списка таблиц (4 таблицы). В приложениях обсуждаются и решаются некоторые специальные математические задачи, возникшие в основном содержании. Общий объем диссертации составляет 138 страниц.

Во Введении (глава 1) описываются поставленные научные задачи и цели работы, обосновывается их актуальность, описываются основные научные результаты работы. Приводится описание математических обозначений, используемых в диссертации.

Глава 2 посвящена задаче поиска периодичностей в наблюдательных данных. Здесь приводится обзор различных видов периодограмм, служащих для решения указанной задачи. Описываются результаты соискателя, полученные в задаче оценки статистической значимости лериодичиостей, выявляемых при помощи этих периодограмм. Затем эти аналитические результаты проверяются численно методом Монте-Карло. Эта проверка показала, что полученные аналитические приближения статистической значимости имеют приемлемую практическую точность.

Глава 3 посвящена разработке новой методики учета кажущегося дрожания лучевых скоростей звезд в программах поиска экзошганет. Кроме того, здесь исследуется вопрос наличия в указанных программах периодических систематических ошибок лучевой скорости. Показано, что во многих опубликованных рядах лучевых скоростей звезд с планетными системами присутствуют периодические ошибки годичного периода.

В Главе 4 рассматриваются вопросы, связанные с нелинейностью модели лучевой скорости (1). Обсуждаются методы редукции статистическо-

го смещения оценок масс и орбитальных параметров экзопланет и методы оценки их статистической надежности.

В Глаие 5 исследуется пример трехпланетной системы Н037124. Анализируется полный массив опубликованных измерений лучевой скорости этой звезды, полученных на трех обсерваториях. Анализ выявил, в част- ■ ности, новое семейство допустимых орбитальных конфигураций этой планетной системы, соответствующее резонансу 2/1 между двумя внешними планетами.

В Главе 6 разрабатываются алгоритмы оптимального планирования измерений лучевых скоростей в программах поиска экзопланет. Рассматриваются две практически важные задачи: планирование наблюдений с целью максимального уточнения оценок параметров планетной системы и с целью максимально эффективного различения альтернативных качественно различных орбитальных конфигураций системы. Показывается, что построенные алгоритмы оптимального планирования будут наиболее эффективны для миогопланетных систем, в особенности содержащих резонансные планетные пары.

В Заключении (глава 7) описываются основные результаты и подводятся итоги работы.

В Приложении А описывается математический метод, использованный для получения замкнутых аналитических оценок статистической значимости периодограмм. Приводятся детали вычислений, связанных с применением этого метода.

В Приложении В приводится детальный вывод асимптотических выражений смещения и ковариационной матрицы оценок максимального правдоподобия в случае, когда измерительные ошибки распределены не по Гауссу. Эти результаты используются в главе 3.

В Приложении С приводится детальное описание алгоритма получения наилучших коротационных конфигураций резонансных планетных систем. Этот алгоритм используется в главе 5.

В Приложении Б обсуждаются некоторые вопросы применения уравнений в вариациях (уравнений чувствительности) для эффективного вычисления производных подгоночной модели лучевой скорости по свобод-

ным параметрам. Эти уравнения используются сразу в нескольких разделах диссертации.

В Приложении Е приводятся некоторые нетривиальные матричные соотношения, используемые в главе G.

8. Публикации по результатам работы

Основные результаты работы опубликованы соискателем в следующих статьях:

1. Baluev II. V. Assessing the statistical significance of periodogram peaks // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2008. — Vol. 385(3). - Pp. 1279-1285.

2. Baluev R. V. Optimal strategies of radial velocity observations in planet search surveys // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. -2008. - Vol. 389(3). - Pp. 1375-1382.

3. Baluev R. V. Resonances of low orders in- the planetary system of HD37124 // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2008.— Vol. 102(4). - Pp. 297-325.

Литература

[1] Балуев Р. В. Исследование статистических свойств экзопланет методами непрерывного вейвлет-анализа // Вести. СПбГУ, Сер. 1. — 2008. — Вып. 1.-С. 135-143.

[2] Ксанфомалити Л. В. История открытия внесолнечных планет // Истор.-астрои. исслсд. — 2002. — Т. 28. — С. 54-78.

[3] Ксанфомалити Л. В. Закономерности виесолнечных планетных систем и роль металличности звезд в образовании планет // Астрон. Вестн. - 2004. - Т. 38. - С. 428-439.

[4] Холщевников К. В. Методы обнаружения и статистика внесолнечных планет // Астрономия: традиции, настоящее, будущее / Под ред. В. В. Орлова, В. П. Решетникова, Н. Я. Сотниковой. — -Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ, 2007. - С. 263-283.

[5] Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. — СПб: Изд. СПбГУ, 2007.

[6] Catalog of nearby exoplanets / R. P. Butler, J. T. Wright, G. W. Marcy, D. A. Fischer, S. S. Vogt, C. G. Tiimey, H. R. A. Jones et al. // ApJ. -2006. - Vol. 646. - Pp. 505-522.

[7j Fcrraz-Mcllo S., Michtch.cnko T. A.. Beaugc C., Callegari N. Extra-solar planetary systems ,// Led Not. Phys. - 2005. - Vol. 683. - Pp. 219-271.

[8] Ford E. Adaptive scheduling algorithms for planet searches // A J. — 2008. - Vol. 135. - Pp. 1008-1020.

[9j The HARPS search for southern extra-solar planets. X. A msirn = 11M planet around the nearby spotted M dwarf GJ 674 /' X. Bonfils, M. Mayor, X. Delfosse, T. Forveille. M. Gillon. C. Perrier, S. Udry et al. // A&A. — 2007! - Vol. 474. - Pp. 293-299.

[10] Lomb N. R. Least-squares frequenciy analysis of unequally spaced data // Ap&SS. - 197G. - Vol. 39. - Pp. 447-462.

[11] Mayor M., Qucloz D. A Jupiter-mass companion to a solar-type star // Nature. - 1995. - Vol. 378. - Pp. 355-359.

[12] O'Toole S. ./., Tinney C. G., Jones Ii. R. A. The impact of stellar oscillations on doppler velocity planet searches // MNRAS. — 2008. — Vol. 38G. — Pp. 51G-520.

[13] Saar S. FI., Butler R. P., Marcy G. W. Magnetic activity-related radial velocity variations in cool stars: first results from the Lick extrasolar planet survey // Ay J. - 1998. ~ Vol. 498. - Pp. L153-L157.

[14] Saar S. H., Donahue R. A. Activity-related radial velocity variation in cool stars // ApJ. - 1997. - Vol. 485. - Pp. 319-327.

[15] Scargle J. D. Studies in astronomical time series analysis. 2. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // ApJ. — 1982. — Vol. 263. - Pp. 835-853.

[16] Setting new standards with HARPS / M. Mayor, F. Pepe, D. Queloz, F. Bouchy, G. Rupprecht, G. Lo Curto, G. Avila et al. // The Messenger. — 2003. - Vol. 114. - Pp. 20-24.

[17] Wright J. T. Radial velocity jitter in stars from the California and Carnegie planet search at Keck observatory // PASP.- 2005.- Vol. 117. — Pp. G57-GG4.

Подписано к печати 26.02.09. Формат 60 х 84 '/if.. Бумага офсетная Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4399.

Отпечатано а Отделе оперативной полиграфии химического факультета СП6ГУ 19f>504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

1 Введение

1.1 Актуальность исследования

1.2 Цели работы.

1.3 Научная и практическая ценность результатов

1.4 Новизна и достоверность результатов.

1.5 Результаты, выносимые на защиту

1.6 Апробация работы.

1.7 Структура диссертации.

1.8 Публикации по результатам работы.

1.9 Некоторые математические обозначения.

2 Поиск периодичностей в наблюдательных данных

2.1 Введение и определения.

2.2 Вероятность ложной тревоги.

2.3 Численная проверка методом Монте-Карло.

2.4 Поиск экзопланет.

3 Астрофизическое и инструментальное дрожание лучевой скорости

3.1 Традиционный подход.

3.2 Переход к методу максимального правдоподобия.

3.3 Смещение ММП-оценки дрожания лучевой скорости.

3.4 Влияние негауссовых ошибок.

3.5 Статистическое сравнение орбитальных моделей.

3.6 Периодограммы отношения правдоподобия

3.7 Численная максимизация функции правдоподобия.

3.8 Периодические систематические ошибки.

4 Эффекты нелинейности моделей

4.1 Введение.

4.2 Смещение оценок орбитальных параметров

4.3 Оценка надежности нелинейных оценок

5 Планетная система у звезды НВ

5.1 Введение.

5.2 Доступные данные.

5.3 О взаимных возмущениях в системе.

5.4 Оценка орбитальных параметров «в лоб»

5.5 Учет требования динамической устойчивости.

5.6 Значение апсидальных коротаций.

5.7 Проверка существования других планет.

5.8 Выводы.

6 Оптимальное планирование наблюдений

6.1 Предпосылки.

6.2 Критерии оптимальности.

6.3 Уточнение оценок.

6.4 Дискриминация моделей.

6.5 Планирование нескольких наблюдений.

6.6 Область применимости.

6.7 Практическая эффективность.

1.1. Актуальность исследования

Актуальность данной работы во многом определяется чрезвычайной важностью исследований внесолнечных планегных систем. Вопрос о существовании планет у других звезд солнечного типа волновал умы человечества на протяжении по крайней мере четырех столетий. Открытие первой такой внесолнечной планеты (экзопланеты) в 1995 году [75] поставило перед астрономическим научным сообществом множество новых вопросов и породило новую область научных исследований. Эти вопросы имеют как самостоятельное научное значение, так и входят составной частью в другие научные задачи. Одной из этих задач является, например, проблема распространенности жизни во Вселенной.

Со времени открытия первой внесолнечной планеты, обращающейся вокруг звезды солнечного типа, прошло 14 лет. В течение этого промежутка времени число известных эк-зопланет непрерывно росло и уже превысило 300. К настоящему времени уже известно около 30 планетных систем, содержащих две или более планеты ([32, 8, 9,15,1], см. также профессиональный интернет-ресурс The Extrasolar Planets Encyclopaedia, www.exoplanet.eu). До сих пор большая часть экзопланет открывается методом лучевых скоростей. Этот метод поиска экзопланет оказался весьма эффективным на практике. Сейчас он дает новую планету в среднем каждую неделю. Суть данного метода состоит в том, что планета обнаруживается по колебанию лучевой скорости своей звезды, наблюдаемому с Земли. Лучевая скорость звезды, вокруг которой обращается невидимый (планетный) спутник, дается следующим выраженем (см., например, [48, 15, 16]):

V = К [cos (д + v) + е cos д] + с. (1.1)

Здесь К — амплитуда кривой лучевой скорости, д — аргумент перицентра орбиты планеты, е — эксцентриситет, v — истинная аномалия, с — лучевая скорость барицентра системы. Истинная аномалия зависит от времени, эксцентриситета е, средней долготы Л в заданный фиксированный момент времени, а также от орбитального периода Р.

В выбранной параметризации величины К, Р, д, е, Л представляют собой первичные параметры, определяемые в ходе подгонки модельной кривой лучевой скорости (1.1) к имеющимся наблюдениям. Существуют также вторичные параметры — величины, определяемые как функции от первичных параметров. Ко вторичным параметрам относятся, в частности, большая полуось а ее орбиты и минимальная масса планеты msinz, где г — угол наклона плоскости орбиты к картинной плоскости. Приближенно их можно вычислить как т. sin г ~ К = МКР^М?3, а с = ЛР2'3М1'\ (1.2)

Здесь С — гравитационная постоянная, М* — масса звезды, а К = К л/1 — е2 — модифицированная амплитуда. Если период Р измеряется в сутках, М* — в массах Солнца М©, а К — в метрах в секунду, то постоянные множители Л4 и 4.919 • 10-3[М3ирМ^2/3м-1сут~^3сек] иДя 1.957 • КГ2[Мд1/3а.е. сут~2/3]. Приближения (1.2) действительны при тп «С М*. Как известно, информацию об орбитальном наклоне г (а значит и об истинной массе планеты тп) нельзя получить из наблюдений одних лучевых скоростей, если только взаимные возмущения планет в системе не удается регистрировать напрямую в кривой лучевой скорости.

Сложившаяся ситуация «доминирования» метода лучевых скоростей делает улучшение уже имеющихся и разработку новых, более эффективных, алгоритмов статистического анализа и планирования наблюдений лучевых скоростей звезд в программах поиска экзопланет весьма актуальной задачей.

1.2. Цели работы

Несмотря на неоспоримые успехи программ поиска внесолнечных планет, использующих метод лучевых скоростей, до сих пор большинство открытых экзопланет официально именуются всего лишь «кандидатами» в экзопланеты. Эта осторожность связана с косвенной природой данного метода. Например, на практике иногда оказывется, что наблюдаемая переменность лучевой скорости звезды вызвана не наличием у этой звезды планеты, а какими-либо явлениями активности в звездной атмосфере, например, пятнами (см. [67]). Но параметры планет часто определяются ненадежно просто с точки зрения теории статистической обработки наблюдений. К сожалению, в погоне за быстрыми и массовыми открытиями, наблюдатели часто забывают уделять должное внимание контролю качества не только применяемых методов обработки и планирования наблюдений, но даже и результатов самих этих наблюдений. В конечном счете может оказаться, что рассматриваемые программы наблюдений в существенной части работают «вхолостую». Главная цель данной работы — представить подробный анализ качества измерений лучевых скоростей, получаемых в современных программах поиска экзопланет, алгоритмов обработки и планирования наблюдений, используемых в этих программах, а также предложить ряд практически значимых усовершенствований указанных алгоритмов. Далее мы опишем поставленные задачи более подробно.

Выделение периодичностей из зашумленных данных. Первый этап анализа измерений лучевых скоростей звезд в программах поиска экзопланет — поиск в них периодических колебаний, потенциально отражающих наличие у звезды невидимых спутников (в том числе и планет). На сегодня уже разработаны весьма эффективмные методы такого анализа. В частности, в этой связи стоит упомянуть периодограмму Ломба-Скаргла [74, 84] и различные ее обобщения. Эти периодограммы позволяют легко и эффективно находить реальные периодичности в наблюдательных данных, однако не могут (сами по себе) оценивать статистическую значимость выявляемых сигналов (то есть, отличать реальные выявляемые сигналы от шумовых эффектов). Используемые обычно на практике методы оценки статистической значимости пиков периодограмм обладают существенными недостатками (например, требуют слишком большого машинного времени или обладают недостаточной математической строгостью и обоснованностью и, следовательно, дают ненадежные результаты). Таким образом, необходима какая-то новая методика оценки значимости пиков периодограмм, которая позволяла бы получать требуемые оценки быстро, с достаточной точностью и с какими-либо теоретическими гарантиями надежности.

Дрожание лучевых скоростей звезд. При анализе временных рядов лучевых скоростей звезд в программах поиска экзопланет необходимо всегда иметь ввиду, что оценки инструментальной погрешности измерений не описывают полную дисперсию ошибок. Эта полная дисперсия содержит значительный добавочный компонент, который обычно называют «дрожание» («jitter»). Дополнительное кажущееся дрожание лучевой скорости изменяет соотношение статистических весов наблюдений и в конечном счете влияет на получаемые значения оценок орбитальных параметров и масс экзопланет.

В своей астрофизической части это дрожание вызывается различными явлениями активности в звездной атмосфере (и самой звезде), которые приводят к кажущейся нестабильности измеряемой лучевой скорости звезды. Наблюдаемая величина дрожания может существенно зависеть от характеристик спектрографа, условий и методики проведения наблюдений. Например, достаточно длительная экспозиция спектра 20 мин) позволяет осреднить колебания видимой лучевой скорости, вызванные нерадиальными звездными осцилляциями [90, 79]. Однако, как будет показано в диссертации, свой вклад в дрожание вносят и чисто инструментальные эффекты. Например, оценки «внутренних» погрешностей измерения лучевой скорости, даваемые самими наблюдателями, совсем не обязаны быть точными. Если при расчетах не учитывался какой-то дополнительный шумовой эффект, то получаемые значения погрешностей измерений могут быть систематически заниженными. Наличие в измерительных ошибках неисключенных систематических компонент также увеличивает эффективную величину дрожания. Нельзя исключать и возможности, что даваемые погрешности измерений в действительности завышены.

Указанные причины приводят к тому, что эффективные значения дрожаний лучевых скоростей звезд сильно разнятся для различных инструментов (даже для одной и той же звезды). Это означает, что при совместном анализе данных, полученных на разных обсерваториях, мы должны назначать разным массивам данных существенно различные статистические веса с использований достаточно точных оценок эффективной величины дрожания (раздельно для каждого массива).

Обычно величина дрожания оценивается априорно на основе некоторых эмпирических корреляций с различными астрофизическими параметрами звезд, такими как, например, скорость вращения и уровень активности, измеряемый по Н и К линиям кальция [82, 83, 100]. Однако таким образом мы можем принять во внимание только астрофизическую часть дрожания, а как обсуждено выше, инструментальная компонента также значительна. При этом в литературе отсутствуют работы, посвященные исследованию систематических погрешностей наблюдательных данных, получаемых в современных до-пплеровских программах поиска планет. Таким образом, при анализе таких временных рядов лучевых скоростей мы стоим перед проблемой корректного учета того факта, что дисперсии измерений содержат некоторый дополнительный компонент, величина которого различна для разных звезд и разных обсерваторий и плохо известна a priori. Этот факт необходимо корректно учитывать при нахождении оценок масс и орбитальных параметров планет.

Систематические инструментальные ошибки. На практике иногда оказывется, что наблюдаемая переменность лучевой скорости звезды вызвана не наличием у этой звезды планеты, а какими-либо явлениями активности в звездной атмосфере, например пятнами (см. например [67]). Однако в литературе фактически отсутствуют какие-либо достаточно подробные исследования инструментальных систематических ошибок высокоточных измерений лучевых скоростей, получаемых в программах поиска экзопланет. Вследствие таких ошибок получаемые оценки орбитальных параметров экзопланет могут оказаться сильно искаженными и ненадежными. В связи с этим возникает естественная необходимость оценки статистического качества таких наблюдений. Было бы полезно проанализировать возможность наличия систематических ошибок в опубликованных измерениях лучевых скоростей звезд с планетами, а также оценить величину и характер этих систематических ошибок.

Планирование наблюдений. При поиске внесолнечных планет методом лучевых скоростей практически не применялись какие-либо методы оптимального планирования наблюдений. Лишь в совсем недавней работе [53] опубликовано некоторое теоретическое исследование по этой теме. При этом на практике орбитальные конфигурации многих внесолнечных планетных систем определены довольно плохо, несмотря на наличие для этих систем уже многолетних рядов наблюдений. В математической статистике теория оптимального планирования экспериментов разработана уже весьма глубоко и подробно. Таким образом, естественно возникает стремление применить общие методы оптимального планирования экспериментов для планирования наблюдении лучевых скоростей в программах поиска экзопланет. Разработка таких алгоритмов и оценка их практической эффективности также составляет одну из целей данной работы.

1. Балуев Р. В. Исследование статистических свойств экзопланет методами непрерывного вейвлет-анализа // Вестн. СПбГУ, Сер. 1.— 2008.— Вып. 1. — С. 135-143.

2. Балуев Р. В. О поиске периодических компонент в наблюдательных данных // Вестн. СПбГУ, Сер. 1. 2009. - Вып. 2. — в печати.

3. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. — Москва: Статистика, 1979.

4. Битязев В. В. Анализ неравномерных временных рядов. — СПб: Изд. СПбГУ, 2001.

5. Витязев В. В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов. СПб: Изд. СПбГУ, 2001.

6. Герасимов И. А., Винников Е. Л., Мушаилов В. Р. Канонические уравнения в небесной механике. — Москва: Изд. МГУ, 1996.

7. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. — Москва: Наука, 1987.

8. Ксанфомалити Л. В. История открытия внесолнечных планет // Истор.-астрон. ис-след. 2002. - Т. 28. - С. 54-78.

9. Ксанфомалити Л. В. Закономерности внесолнечных планетных систем и роль метал-личности звезд в образовании планет // Астрон. Вестн. — 2004. — Т. 38. — С. 428-439.

10. Леман Э. Л. Проверка статистических гипотез. — Москва: Наука, 1979.

11. Леман Э. Л. Теория точечного оценивания. — Москва: Наука, 1991.

12. Математическая теория планирования эксперимента / С. М. Ермаков, В. 3. Бродский, А. А. Жиглявский, В. П. Козлов, М. Б. Малютов, В. Б. Мелас, Е. В. Седунов, В. В. Федоров; Под ред. С. М. Ермакова. — Москва: Наука, 1983.

13. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В. С. Королюка. — Киев: Наукова думка, 1978.

14. Расторгуев А. С., Глушкова Е. В., Дамбис А. К., Заболотских М. В. Статистические параллаксы и кинематические параметры классических цефеид и кластеров молодых звезд // Письма в астрон. э/сурн. — 1999. — Т. 25. — С. 689-703.

15. Холшевников К. В. Методы обнаружения и статистика внесолнечных планет // Астрономия: традиции, настоящее, будущее / Под ред. В. В. Орлова, В. П. Решетникова, Н. Я. Сотниковой. Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ, 2007. - С. 263-283.

16. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. — СПб: Изд. СПбГУ, 2007.

17. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа (сборник статей). — Москва: Финансы и статистика, 1988.

18. Anglada-Escude G., Lopez-Morales М., Chambers J. Е. How eccentric orbital solutions can hide planetary systems in 2:1 resonant orbits // ApJL, submitted, arXiv: 0809.1275.— 2009.

19. Azai's J.-M., Delmas C. Asymptotic expansions for the distribution of the maximum of Gaussian random fields // Extremes. — 2002. — Vol. 5. — Pp. 181-212.

20. Baluev R. V. Assessing the statistical significance of periodogram peaks // MNRAS.— 2008,- Vol. 385.- Pp. 1279-1285.

21. Baluev R. V. Optimal strategies of radial velocity observations in planet search surveys // MNRAS. 2008. - Vol. 389. - Pp. 1375-1382.

22. Baluev R. V. Resonances of low orders in the planetary system of HD37124 // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 2008. Vol. 102,- Pp. 297-325.

23. Baluev R. V. Accounting for velocity jitter in planet search surveys // MNRAS. — 2009. — EarlyView. doi:10.1111/j.l365-2966.2008.14217.x.

24. Baluev R. V. Detecting non-sinusoidal periodicities in observational data using multi-harmonic periodograms // MNRAS. — 2009. — Accepted. — arXiv: 0811.0907.

25. Bean J. L., McArthur В. E., Benedict G. F., Armstrong A. Detection of a third planet in the HD 74156 system using the Hobby-Eberly telescope // ApJ. — 2008. — Vol. 672. — P. 1202-1208.

26. Beauge C., Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A. Extrasolar planets in mean-motion resonance: apses alignment and asymmetric stationary solutions // ApJ. — 2003. — Vol. 593. — Pp. 1124-1133.

27. Beauge C., Giuppone C., Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A. Reliability of orbital fits for resonant planetary systems: the case of HD82943 // MNRAS. — 2008.— Vol. 385.— Pp. 2151-2160.

28. Beauge G., Michtchenko T. A., Ferraz-Mello S. Planetary migration and extrasolar planets in the 2/1 mean-motion resonance // MNRAS. — 2006. — Vol. 365. — Pp. 1160-1170.

29. Butler R. P., Marcy G. W., Vogt S. S., Fisher D. A., Henry G. W., Laughlin G., Wright J. T. Seven new Keck planets orbiting G and K dwarfs // ApJ. — 2003. — Vol. 582. — Pp. 455-466.

30. Catalog of nearby exoplanets / R. P. Butler, J. T. Wright, G. W. Marcy, D. A. Fischer, S. S. Vogt, C. G. Tinney, H. R. A. Jones et al. // ApJ. 2006. - Vol. 646. - Pp. 505-522.

31. Gox D. R., Snell E. J. A general definition of residuals // J. Roy. Stat. Soc. B.— 1968.— Vol. 30. Pp. 248-275.

32. Gumming A. Detectability of extrasolar planets in radial velocity surveys // MNRAS.— 2004,- Vol. 354.-Pp. 1165-1176.

33. Gumming A., Butler R. P., Marcy G. W., Vogt S. S., Wright J. T., Fischer D. A. The Keck planet search: Detectability and the minimum mass and orbital period distribution of extrasolar planets // PASP. 2008. - Vol. 120. - Pp. 531-554.

34. Cumming AMarcy G. W., Butler R. P. The Lick planet search: detectability and mass thresholds // ApJ. — 1999. — Vol. 526,- Pp. 890-915.

35. Dacunha-Castelle D., Gassiat E. Testing the order of a model using locally conic parametrization: population mixtures and stationary ARMA processes // Ann. Stat. — 1999. Vol. 27. - Pp. 1178-1209.

36. Davies R. B. Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under alternative // Biometrika. — 1977. — Vol. 64. — Pp. 247-254.

37. Davies R. B. Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under the alternative // Biometrika. — 1987. — Vol. 74. — Pp. 33-43.

38. Davies R. B. Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under alternative linear model case // Biometrika. — 2002. — Vol. 89. — Pp. 484-489.

39. Detection of a Neptune-mass planet in the pl Cancri system using the Hobby-Eberly telescope / B. E. McArthur, M. Endl, W. D. Cochran, G. F. Benedict, D. A. Fischer, G. W. Marcy, R. P. Butler et al. // ApJ. — 2004. — Vol. 614,- Pp. L81-L84.

40. Efron B. The jackknife, the bootstrap and other resampling plans. — Philadelphia: SIAM, 1982.

41. Evidence for multiple companions to v Andromedae / R. P. Butler, G. W. Marcy, D. A. Fischer, T. M. Brown, A. R. Contos, S. G. Korzennik, P. Nisenson, R. W. Noyes // ApJ. — 1999.- Vol. 526.-Pp. 916-927.

42. An extrasolar planetary system with three Neptune-mass planets / C. Lovis, M. Mayor,F. Pepe, Y. Alibert, W. Benz, F. Bouchy, A. C. M. Correia et al. // Nature. — 2006. — Vol. 441. Pp. 305-309.

43. Ferraz-Mello S. Estimation of periods from unequally spaced observations // A J. — 1981. — Vol. 86.- Pp. 619-624.

44. Ferraz-Mello S., Beaugé G., Michtchenko T. A. Evolution of migrating planet pairs in resonance // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 2003. — Vol. 87. — Pp. 99-112.

45. Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beaugé C. The orbits of extrasolar planets HD82943 c and b // ApJ. 2005. - Vol. 621. - Pp. 473-481.

46. Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beaugé C., Callcgari N. Extra-solar planetary systems // Lect. Not. Phys. 2005. - Vol. 683.- Pp. 219-271.

47. Firth D. Bias reduction of maximum likelihood estimates // Biometrika. — 1993. — Vol. 80.-Pp. 27-38.

48. Five new extrasolar planets / G. W. Marcy, R. P. Butler, S. S. Vogt, D. A. Fischer, G. W. Henry, G. Laughlin, J. T. Wright, J. A. Johnson // ApJ. 2005. - Vol. 619. - Pp. 570-584.

49. Five new multicomponent planetary systems / S. S. Vogt, R. P. Butler, G. W. Marcy, D. A. Fischer, G. W. Henry, G. Laughlin, J. T. Wright, J. J. A. // ApJ. — 2005.- Vol. 632.-Pp. 638-658.

50. Five planets orbiting 55 Cancri / D. A. Fischer, G. W. Marcy, R. P. Butler, S. S. Vogt,G. Laughlin, G. W. Henry, D. Abouav et al. // ApJ. — 2008. — Vol. 675.- Pp. 790-801.

51. Ford E. Adaptive scheduling algorithms for planet searches // AJ.~ 2008.— Vol. 135.— Pp. 1008-1020.

52. Four new exoplanets and hints of additional substellar companions to exoplanet host stars / J. T. Wright, G. W. Marcy, D. A. Fischer, R. P. Butler, S. S. Vogt, C. G. Tinney, H. R. A. Jones et al. // ApJ. 2007. - Vol. 657. - Pp. 533-545.

53. Frescura F. A. M., Engelbrecht C. A., Frank B. S. Significance of periodogram peaks and a pulsation mode analysis of the Beta Cephei star V403Car // MNRAS. — 2008. — Vol. 388. — Pp. 1693-1707.

54. Gourieroux C., Monfort A., Trognon A. Pseudo maximum likelihood methods: Theory // Econometrica. 1984. — Vol. 52. — Pp. 681-700.

55. Gozdziewski K., Breiter S., Borczyk W. The long-term stability of extrasolar system HD 37124. Numerical study of resonance effects // MNRAS. — 2008. — Vol. 383. — Pp. 989-999.

56. Gozdziewski K., Konacki M., Maciejewski A. J. Orbital solutions to the HD160691 (fx Arae) Doppler signal // ApJ. — 2005. — Vol. 622. — Pp. 1136-1148.

57. Gozdziewski K., Konacki M., Maciejewski A. J. Orbital configurations and dynamical stability of multiplanet extrasolar systems around sun-like stars HD 202206, 14 Herculis, HD 37124, and HD 108874 // ApJ. 2006. - Vol. 645. - Pp. 688-703.

58. Gozdziewski K., Maciejewski A. J., Migaszewski C. On the extrasolar multiplanet system around HD160691 // ApJ. 2007. - Vol. 657. - Pp. 546-558.

59. Gregory P. G. A Bayesian Kepler periodogram detects a second planet in HD 208487 // MNRAS. 2007. - Vol. 374. - Pp. 1321-1333.

60. Gregory P. C. A Bayesian periodogram finds evidence for three planets in HD 11964 // MNRAS. 2007. - Vol. 381. - Pp. 1607-1616.

61. Hadjidemetriou J. D. Symmetric and asymmetric librations in extrasolar planetary systems: a global view // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2006, — Vol. 95. — Pp. 225-244.

62. Hadjidemetriou J. D. On periodic orbits and resonance in extrasolar planetary systems // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2008. - Vol. 102. - Pp. 69-82.

63. The HARPS search for southern extra-solar planets. VIII. /z Ara, a system with four planets / F. Pepe, A. C. M. Correia, M. Mayor, O. Tamuz, W. Benz, J.-L. Bertaux, F. Bouchy et al. // A&A. 2007. - Vol. 462. - Pp. 769-776.

64. The HARPS search for southern extra-solar planets. X. A msini = 11M® planet around the nearby spotted M dwarf GJ 674 / X. Bonfils, M. Mayor, X. Delfosse, T. Forveille, M. Gillon, C. Perrier, S. Udry et al. // A&A. 2007. - Vol. 474.- Pp. 293-299.

65. Home J. H., Baliunas S. L. A prescription for period analysis of unevenly spaced time series jI ApJ. 1986. - Vol. 302. - Pp. 757-763.

66. Ji J., Kinoshita H., Liu L., Li G., Nakai H. The apsidal antialignment of the HD82943 system I j Celest Mech. Dyn. Astron. — 2003, —Vol. 87. —Pp. 113-120.

67. Koen C. Significance testing of periodogram ordinates // ApJ.— 1990.— Vol. 348.— Pp. 700-702.

68. Kratz M. F. Level crossings and other level functionals of stationary Gaussian processes // Probability Surveys. 2006. — Vol. 3. — Pp. 230-288.

69. Lee M. H., Peale S. J. Secular evolution of hierarchical planetary systems // ApJ. — 2003. — Vol. 592. Pp. 1201-1216.

70. Lissauer J. J., Rivera E. J. Stability analysis of the planetary system orbiting v An-dromedae. II. Simulations using new Lick Observatory fits // ApJ. — 2001.— Vol. 554.— Pp. 1141-1150.

71. Lomb N. R. Least-squares frequenciy analysis of unequally spaced data // Ap&SS.— 1976. Vol. 39. - Pp. 447-462.

72. Mayor M., Queloz D. A Jupiter-mass companion to a solar-type star // Nature. — 1995. — Vol. 378. Pp. 355-359.

73. Mayor M., Udry S., NaefD., Pepe F., Queloz D., Santos N. C., Burnet M. The CORALIE survey for southern extra-solar planets. XII. Orbital solutions for 16 extra-solar planets discovered with CORALIE. // A&A. 2004. - Vol. 415. - Pp. 391-402.

74. Michtchenko T. A., Beauge C., Ferraz-Mello S. Stationary orbits in resonant extrasolar planetary systems // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 2006. — Vol. 94. — Pp. 411-432.

75. NaefD., Mayor M., Beuzit J. L., Perrier C., Queloz D., Sivan J. P., Udry S. The ELODIE survey for northern extra-solar planets. III. Three planetary candidates detected with ELODIE. // A&A. 2004. - Vol. 414. - Pp. 351-359.

76. O'Toole S. J., Tinney C. G., Jones H. R. A. The impact of stellar oscillations on doppler velocity planet searches // MNRAS. — 2008. — Vol. 386. — Pp. 516-520.

77. Protassov R., van Dyk D. A., Connors A., Kahyap V. L., Siemiginowska A. Statistics, handle with care: Detecting multiple model components with the likelihood ratio test // ApJ. 2002. - Vol. 571. - Pp. 545-559.

78. Quenouille M. H. Note on a bias in estimations // Biometrika. — 1956. — Vol. 43. — Pp. 353-360.

79. Saar S. H., Butler R. P., Marcy G. W. Magnetic activity-related radial velocity variations in cool stars: first results from the Lick extrasolar planet survey // ApJ. — 1998. — Vol. 498. Pp. L153-L157.

80. Saar S. H., Donahue R. A. Activity-related radial velocity variation in cool stars // ApJ. — 1997.- Vol. 485.- Pp. 319-327.

81. Scargle J. D. Studies in astronomical time series analysis. 2. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // ApJ. — 1982. — Vol. 263. — Pp. 835-853.

82. Schwarzenberg-Czerny A. Fast and statistically optimal period search in uneven sampled observations // ApJ. — 1996. Vol. 460. - Pp. L107-L110.

83. Schwarzenberg-Czerny A. The distribution of empirical periodograms: Lomb-Scargle and PDM spectra // MNRAS. 1998. - Vol. 301. - Pp. 831-840.

84. Schwarzenberg-Czerny A. Period search in large datasets // Baltic Astron.— 1998. — Vol. 7. Pp. 43-69.

85. Self S. G., Liang K.-Y. Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions // J. Amer. Stat. .Ass. — 1987. — Vol. 82. — Pp. 605-610.

86. Sen P. K. Asymptotic properties of maximum likelihood estimators based on conditional specification // Ann. Stat. — 1979. — Vol. 7. — Pp. 1019-1033.

87. Setting new standards with HARPS / M. Mayor, F. Pepe, D. Queloz, F. Bouchy, G. Rup-precht, G. Lo Curto, G. Avila et al. // The Messenger. — 2003. — Vol. 114. — Pp. 20-24.

88. Short D., Windmiller G., Orosz J. A. New solutions for the planetary dynamics in HD160691 using a Newtonian model and latest data // MNRAS. — 2008.- Vol. 386.— Pp. L43-L46.

89. A ~ 7.5M® planet orbiting the nearby star, GJ 876 / E. J. Rivera, J. J. Lissauer, R. P. Butler, G. W. Marcy, S. S. Vogt, D. A. Fischer, T. M. Brown et al. // ApJ. — 2005.— Vol. 634. Pp. 625-640.

90. Tee G. Surface area and capacity of ellipsoids in n dimensions // New Zealand Journ. Math. 2005. - Vol. 34. - Pp. 165-198.

91. Three low-mass planets from the Anglo-Australian planet search / C. G. Tinney, R. P. Butler, G. W. Marcy, H. R. A. Jones, A. J. Penny, C. McCarthy, B. D. Carter, D. A. Fischer // ApJ. 2005. - Vol. 623. - Pp. 1171-1179.

92. Vogt S. S., Marcy G. W., Butler R. P., Apps K. Six new planets from the Keck precision velocity survey // ApJ. — 2000. — Vol. 536. — Pp. 902-914.

93. Voyatzis G., Hadjidemetriou J. D. Symmetric and asymmetric 3:1 resonant periodic orbits with an application to the 55 Cnc extra-solar system // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 2006. Vol. 95. - Pp. 225-244.

94. Wittenmyer R. A., Endl M., Cochran W. D. Long-period objects in the extrasolar planetary systems 47 UMa and 14 Her // ApJ. 2007. - Vol. 654. - P. 625-632.

95. Wittenmyer R. A., Endl M., Cochran W. D., Levison H. F. Dynamical and observational constraints on additional planets in highly eccentric planetary systems // A J. — 2007. — Vol. 134,- Pp. 1276-1284.

96. Wright J. T. Radial velocity jitter in stars from the California and Carnegie planet search at Keck observatory // PASP. 2005. - Vol. 117. - Pp. 657-664.

97. Wright J. T., Upadhyay S., Marcy G. W., Fischer D. A., Ford E. B., Johnson J. A. Ten new and updated multi-planet systems, and a survey of exoplanetary systems // ApJ, accepted, arXiv: 0812.1582. — 2009.

98. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Phys. Lett. A. — 1990. — Vol. 150. Pp. 262-268.Список иллюстраций

99. Аппроксимация вероятности ложной тревоги для мультигармонических ЛМНК-периодограмм при равномерном распределении наблюдений. 22

100. Аппроксимация вероятности ложной тревоги для мультигармонических ЛМНК-периодограмм при неравномерном распределении наблюдений . 23

101. Аппроксимация вероятности ложной тревоги для мультигармонических МЛМНК-периодограмм при неравномерном распределении наблюдений 24

102. Аппроксимация вероятности ложной тревоги при наличии полиномиального тренда.24

103. Аппроксимация вероятности ложной тревоги для временных рядов лучевых скоростей звезд 51 Пегаса и 70 Девы.25

104. Области максимальной эффективности мультигармонических периодограмм разных порядков.27

105. Годичная переменность на периодограмме лучевых скоростей 51 Пегаса . 49

106. Годичная переменность на периодограмме лучевых скоростей HD11964 . 51

107. Измерения лучевой скорости звезды HD37124 .61

108. Кривая лучевой скорости HD37124 .62

109. Точность кеплеровского приближения лучевой скорости IID37124 .63

110. Графики минимизированной статистики I на плоскости периодов (Рс, Pj) . . 65

111. Графики минимизированной статистики / на плоскости (ес cos дС) ес sin дс) . . 71

112. Графики минимизированной статистики I на плоскости (Рс, ес).72

113. Графики минимизированной статистики I в зависимости от отношения Pc/Pd 72

114. Вид наилучших ACR-конфигураций системы HD37124.76

115. Кривые лучевой скорости HD37124 для ACR-конфигураций.77

116. Динамика ACR-конфигураций HD37124 .80

117. Периодограммы невязок лучевых скоростей для различных орбитальных моделей HD37124 .81

118. Оптимальное планирование наблюдений на примере планетной системыV Андромеды.96

119. Оптимальное планирование наблюдений на примере планетной системы HD128311 .98

120. Графики функции J(r) для планетной системы GJ876 .100

121. График информации для дискриминации альтернативных орбитальных моделей планетной системы HD208467 .101А.1 Точность аппроксимации функции A(fmax).116