Структурные свойства функций и точность аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

рте ид

.. „.-.пП

1 о и;^ -5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

*

т

Владимир Васильевич

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ И ТОЧНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ

01.01 .И - системный анализ и автоматическое

управление

01.01.01 - математический анализ

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 5993

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного

университета

Официальные оппоненты: академик,

доктор физико-математических наук» профессор С.Ы.Никольский доктор фиаико-ыатематических наук, профессор И.К.Даугавет доктор физико-математических наук, профессор М.Ф.Тиман

Ведущая организация - Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена

в _ _ часов на заседании специализированного совета

Д - 063.57.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических .наук при Санкт -Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом 33, ауд. 88

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А.М.Горького СПбГУ, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Защита состоится " За

Диссертация разослана

Ученый секретарь специализированного совета

А.П.Жабко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Метода и результаты теории приближения систематически используются при изучении'явлений природы и проблем техники. Они применяются во многих разделах математики, физики, механики, астрономии.

В диссертации рассматривается широкий круг вопросов теории приближения. При этом много внимания уделяется тем из них, которые имеют непосредственные выходы в прилоьения. Полученные результаты относятся: к численному дифференцированию, оценкам для наилучших приближений, восстановлению функции нескольких переменных по её' известный значениям в узлах, экстремальным задачам теории приближения, оценкам (сверху и снизу) для отклонений методов приближения (установлены общие теоремы, рассмотрены конкретные методы аппроксимации, в частности, суммы Фурье, суммы Фейера, средние Абеля-Пуассона, суммы Балле Пуссена), вопросу сходимости рядов Фурье, тауберовым теоремам, равенствам типа Парсеваля, построению новых методов приближения, обладающих в некоторых направлениях лучпими аппроксимативными свойствами, чей известные, сильной аппроксимации, дискретному преобразованию Фурье. Основное внимание уделяется вопросам аппроксимации периодических функций.

Цель работы. Дальнейаее изучении точности аппроксимации в зависимости от структурных свойств приближаемой функции,развитие прикладных аспектов теории аппроксимации.

Методы исследования. Используются методы и результаты классического математического анализа, теории функций вещественной переменной, теории интерполирования и приближения функций, теории рядов, интегралов и преобразований Фурье, численного анализа, а также новые методы, предложенные автором.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Дадим их краткое описание.

Получены новые представления остаточных членов горнул численного дифференцирования.

2. Развит новый подход, основанный на формулах численного дифференцирования, к вопросу оценок сверху значений полунорн, ладанных на пространствах периодических функций, носредсгясм

модулей непрерывности порядка выше первого. Установленные на основе этого подхода общие теоремы в приловениях (дане в классических случаях, в той числе и к наилучшему приближению) приводят к требуешш неравенствам с постоянными значительно лучшими, чем • это было известно ранее.

3. Разработана методика построения математически обоснованных алгоритмов восстановления функции нескольких переменных по её известным значениям в узлах произвольной сетки, работающих в условиях реального времени.

4. Для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах периодических функций С и к.л установлены точные (в смысле входящих в них постоянных) неравенства типа Джексона (для наилучших приближений) и А.Н.Колмогорова (для норы производных) с привлечением модулей непрерывности порядка выше первого.

5. Для отклонений сумм Фурье в равномерной метрике дано усиление известного неравенства Лебега, которое учитывает свойства приближаемой функции не только в ПБОстранстве С , но и в пространствах Ьр при fí р<м . Установлены новые признаки сходимости тригонометрического ряда Фурье по равномерной норме и в индивидуальной точке. Дано развитие известного результата А.Н.Колмогорова об асимптотическом поведении верхних граней отклонений сумм Фурье на классах дифференцируемых функций применительно к модулям непрерывности высоких порядков.

6. Найдено нестандартное обобщение классического равенства Парсеваля для тригонометрической системы, полезное при рассмотрении вопросов сильной аппроксимации. Рассмотрен вопроо о достаточных условиях выполнения обобщенного равенства Парсеваля для произведения двух функций при условии, что одна из них принадлежит пространству , а другая Loo.

7. Установлены общие теоремы об оценках сверху и снизу значений полунорм, заданных на пространствах периодических функций, посредством модулей непрерывности и наилучших приближений. Эти теоремы в приложениях к конкретным методам приближения приводят к двусторонним оценкам для отклонений, совпадающим с точностью до постоянных.

8. Рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с приближением функций конкретными методами, в частности, суммами Фейера, средними Абеля-Пуассона, функциями Стеклова, суммами Валлв Пуссена. Построены новые методы приближения, обладающие в некоторых направлениях лучшими аппроксимативными свойствами, чем ранее известные.

9. Получены конструктивные характеристики функций класса hcpl в терминах сильной аппроксимации.

10. Указаны новые возможности применения дискретного преобразования Фурье к вопросам аппроксимации периодических функций.

Приложения. Результаты работы могут оказаться полезными там, где используются методы теории приближения и анализа Фурье. Для ряда областей вычислительной математики теория приближения является фундаментом, на который опираются численные алгоритмы. Математический аппарат рядов Фурье играет важную роль при изучении колебательных и волновых процессов, в теория управления системами с распределенными параметрами и вообще всюду, где явление можно описать с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений з частных производных. Общеизвестно значение разложения Фурье в радиотехнике и электросвязи. Многие радиотехнические. расчёты з той или иной степени отражают представления, на которых построена математическая теория рядов Оурье. В теории и практике автоматического управления часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические и к ним применим аппарат теории приближения периодических Функций. Методы теории приближения применимы пси гассмотрении задач идентификации, значение которых во многих областях знаний (в том числе и в области управления) возрастает.

Апяробзция работы. Результаты работы докладывались на:

а) Международных конференциях по теории приближения функций (Калуга - £975, Киев - £983)

б) Всесоюзных школах и конференциях по теории функций и приближений (Баку - 1977, £989, Воронея - I9S3, Саратов - £986, £990, £992, Иркутск - 1987, Луцк - 1389, Днепгюпотровск-lSSO)

в) На семинаре по теории дифференцируемых функций многих переменных в Математическом институте им. Б.А.Стеклова (руководители семинара: член-корреспондент РАН Л.Д.Кудрявцев, академик С.М.Никольский) в *990, 5991, 1993 г.г.

г) На Санкт-Петербургском межвузовском семинаре по теории приближения в 4965 - £992г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 - ти работах ( из них 2 монографии ).

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

Основные обозначения

Все рассматриваемые функции, если не очевидно противное, вещественнозначные; /2 , , , /V суть, соответственно, многества вещественных, неотрицательных, неотрицательных целых, натуральных чисел, СЬ^(-р) = (1/зс) {(х) ¿гаг,

вйШ^Шэс) фэдЬпёхЛХ; коэффициенты

Фурье функции / ; А А -а^ (£) £х + в А (4) & ос ,

если £ Ж , Ао= аоЮМ) - сумма

Фурье, (пг!)~х А(^эс) , - сумма Фейера,

56 = (-1)йСъ + (г-ът/г)

-конечные разности порядка % ,

сь л.» - —^_ ( ^С(п^А) )*■

-ядро Фейера,

Л1= ж. г

Через Ни обозначаем множество тригонометрических полиномов порядка не выше П. , Рп - множество алгебраических многочленов порядка не выше п. ; Н= ; ^(х)" ¡^фйЬ.

По определению ряд 2Г СС& совпадает с рядом (dca+Xl)

Функции вещественной переменной, имеющие в некоторой точке устранимый оазрыв, доопределяются в ней по непрерывности, в других случаях символ О/о понимается как О ; символ Л/о , где Сст-О » - как ^^ • Определив ¿¿(fjX,)^ без дальнейших объяснений употребляем символ íl(f-) . Чегез (£) обозначаем функцию В.А.Стеклова порядка 1 для Функции f :

(Iх)-(VA.) L%1 ffatt)cLk , (fj= Íh/1 №)

при 1-16./У. Вместо %3Ü - периодическая функция говорим просто периодическая функция. Пусть р s ж . Чеоез Lp обозначаем множество измеримых периодических функций, для которых величина

если ¿ íp HfHp " У ^ f lf(oc)l если р~<я> ,

конечна; С - пространство непрерывных периодических функций с нормой и ///„= - 1Р при ооу С ■ Если

/V , то WÍXp = { ■ 3 абсолютно непрерывная на

L-üJCj ж], i^&^p} j И/^ . Через Ш-р обозначаем множество функционалов •'d£p~>f3't таких, что

^ 9) ~ tyttí+'&fy) дпя лп(5ых 1• Для фсЖр

полагаем

Будем говорить, что полунорма Р' С принадлежит классу/3,

если: a) Pffi' для любой С и любого ¿е^,

б) существует такая постоянная Al , что

Р^Л//////

со для

любой С . Если в рассмотрении участвует полунорма РбА3

то Р(Л\ № , PCf-T).

Полагаем /¿/«Я. тьЦп.

Если , то означает функцию сопряженную с £ , (оы.

[15, с. 518, 519] ). Через ¿р (£>) обозначаем множество измеримых функций, заданных на 50 , для которых величина

II £1^11 если

пы-инр £ Ьлр , если io--^»J

конечна; множество функций непрерывных на СО , С

= {4& Сф)}-, >

С?* <Х>)„.~ Ьлр I /Х.иеЪ,Ш].

Список литературы начинается с тринадцатого номера, первые двенадцать отнесены к работам, в которых опубликовано основное содержание диссертации. В каждой параграфе утверждения одного типа (формулы, теоремы) имеют собственную нумерацию. При ссылках на утверждение другого параграфа утверждение а: из § у обозначается как утверждение Ц. ОС . В целях простоты изложение ведется для вецественноэначных функций, однако, почти все утверждения остаются справедливыми и для коиплекснозначных функций.

Глава 4. Формулы численного дифференцирования и некоторые их приложения к вопросам приближения функций. Восстановление функции нескольких переменных по ее известным значениям в узлах.

§ 1. Формулы численного дифференцирования.

К численному дифференцировании прибегают в том случае, когда функция задана таблично или имеет сложное аналитическое выражение. £ этих случаях часто используют следующий прием: для функции £ , подлежащей дифференцированию, отроят ее интерполяционный многочлен и за производную порядка Ь" Функции принимают соответствующую производную от интерполяционного многочлена. Классический материал, относяцийся к формулам численного дифференцирования, основанных на изложенном выше подходе, обстоятельно изложен в книгах [18; 41] , где такае обстоятельно рас-• смотрен вопрос о представлении остаточных членов формул численного дифференцирования через производные более высоких порядков, нежели вычисляемая.

Приводимые в этом параграфе результаты дают новые формы записи остаточных членов с помощью конечных разностей. Положим (Я А¡р- 1-р А,р Я], 1^Аур = + ./

Та(ъ) = ь п£± , л ¿гу- п£± (£*- (е-уг)г).

Через А,р (£) обозначаем многочлен из РV, такой, что Х^рСЪй^^НйЩ при -р^р , многочлен из

Рар-1 такой, что $2л/Р

Теорема*. Пусть У^М> Тогда

Если СюШк/Р) , то

Г'ф-К^ тку

-рАи.) Тр'е)(0). (1)

2. Если С'^аи-я.^ , то „ у „ , , ^

(-Р* Ли.) А'-« Ар (О). (2)

Полагая з (1) и (3), соответственно, и ¥='2pJ

приходим к следствию -I.

Следствие 1. Пусть ре Л" , . Тогда

I. Если £еС<'Рг*:{б>А/Р) , то

-рЬи) а и) А1'* Тр'^(о). (э)

г. Если то

(-р у 1/й) А и) (г-и.) гР-есШ) А Л'р (о). (4)

Следствие 2. Пусть

Тогда

Формула (5) (а такие ее аналог, получающийся из формулы (2) при у- йр-Х ) допускают трактовку как обратных к известной формуле оЯлера - Наклорена (см. ¿'17, с.564, формула (11.21) при ОС-г О , для удобства сравнении мы применяем

последнюю формулу не к самой функции, а к ее производной) в том смысле, что б (5) разложение величины

строится по разностям самой и первообразных (по отношению к^^) функций, а в формуле Эйлера - Маклорена разность/^)-^"^ ¿/¡^ разлагается по первым разностям сапой и производных функций.

§ 2. Неравенства типа Д.Джексона.

Л? В теории приближения функций и вычислительной математике часто возникает потребность оценить значения некоторой полунормы, определенной на множестве функций (заданных на всей оси или конечном отрезке), посредством модулей непрерывности. При этом желательно, естественно, иметь требуемые неравенства, по-зозможности, с более аккуратными постоянными. Основным ( но далеко не единственным ) источником вопросов такого рода являются задачи об оценках уклонений методов приближения. Формулы 1.(1) - 1.(5) лежат в основе излагаемого ниже подхода к решению обсуждаемой задачи, позволяющему (в тех случаях, когда используются модули непрерывности порядка выше второго) даже в классических ситуациях получать требуемые неравенства с постоянными лучшими, чем это было известно ранее.

Теорема I. Пусть Хе/Уз ■> ^Р*

фб Шр , Упг (ф)р при. €= О, 10Гда

{-¡кл *

Доказательство теоремы 1 основывается на формуле 1.(3). Поскольку оно несложно, а с другой стороны, на наш взгляд, достаточно выпукло показывает возможности приложений формул 1.(1) - 1.(5) к вопросам аппроксимации,, то ыы приведем его.

Доказательство. Так как ^(^гК) = для любой постоянной 1С , то достаточно доказать неравенство (1^, получающееся из (1) заменой 4 на , в предположении, что

С'^ . в силу 1.(3)

-di -

Полояим o ' .

Y'A-ib ^Л^/Т^СО)!.

Опираясь на формулу (2) и свойства функционала ¿jb , имеем

X г/

• - xfxbtj (i-uj*^-* du.) А ™ T¿9foj) + Z.f_£ >// л t г/ iñujd-uf^-^u) -

= Cf(3r^)llp М*'"**«..

4

Теорема 2. В условиях теоремы i

Доказательство теоремы 2 основывается на формуле 1.(5). Оно аналогично доказательству теоремы I.

Полагая в теоремах I и 2 <%>(£)■= Еп.Шр и учитывая, что (см. /67, с. 302, SOSJ ) в этом случае

тг (Ф)р = №р/ц4 '%}< Кг (п+уе9

приходии к теореме 3.

Теорема 3. Пусть ХбЖ, ¥>Oj пе fe

Тогда

ЕМР* J*H¿mP /¿br %f- *

l^orfYi-uf^-*} (4)

/EW ^ 5 А (х,гт) Cjz-c, r/cn >-vjp, (5)

ГЛе = ¿ Щг&ЪЯ (6)

Следствие í. В условиях теоремы 3

ЕЛ£)р * вы & (7)

ГД6 п/ . 1 /Л'ЧоЛ

1$тЛ ^--е** Ъч+я-е

Неравенство (7) получается сопоставлением соотношения (4) с известным неравенством П.Л.Чебышева ^

еоли ф возрастает, а ^ убывает на ¿Луё].

Аналогичным образом, опираясь на формулу 1.(4), приходим к следующим утверждениям.

Теорема 4. Пусть £ Шр} *Пе(Ф)р* 00 пРч €=0/2%. Тогда

9¿ШЖ&ЬЫ*® Т&АлГмУац*

ЕЛУр * СМ (^у^г)р ¿и , (в)

где /__„в* 1Л?е;(о)1 .

С(УЮ= ах-ц! ¿-^о^^ Я>с+х-2€

Неравенства типа (5), (7) играют важную роль в теории приближения (их принято называть прямыми теоремами теории приближения или неравенствами типа Джексона). Они неоднократно пригодились в литературе (см.,напр., ¿61 гл. 5,* 67, гп.5] ), но без указания (при ) конкретных постоянных, ибо известная до сих пор техника доказательств таких неравенств дает возможность (в случае % ъ 2 ) получать лишь весьма грубые оценки для входящих туда постоянных.

Н.И.Ахиезер (см. ¿14, с. 217 J ) применил функции В.А.Стекло ва второго порядка (ранее [13, с. 28-400J в аналогично!-; ситуации им использовались функции Стеклова первого порядка) для доказательства неравенства (5) при Х = £ , У» 3/% . При этом он опирался на соотношения

, И Л А (Щ*.

Попытка аналогичным образом устанавливать неравенства типа (5) при X Й . опираясь при этой непосредственно на функции Стеклом порядка г , сталкивается о той трудностью, что при всех

и неравенство

Н /- Ал тиР * Сз№

при 3 , вообще говоря, не ииеет веста.

В связи с этим (при Т&&3 ) специальным образом строят функции //!,а £IVр^ , удовлетворяющие неравенствам

///-, Ир(9)

Такие функции могут быть построены различными способами, в том числе и на основе функций Стеклова порядка & , прибегая при этон к некоторым их линейным комбинациям (см..напр. [21; 62,с.60-64,* 35, с.ЯЛ ).

Формула 1.(5) дает возможность при установлении неравенств типа (5) (см.теорему 2) ограничиваться только самими функциями Стеклова ^аъ(Ф) .а формула 2.(3) позволяет в аналогичной ситуации (см. теорему !) вообще отказаться от аппарата промеяу-точного приближения.

Приведен ряд значений постоянных г - ИиВг~В(1^) (вычисления проводились с помощью ЭВМ).

3 ЪЧ- 1СГ5 а /3? • Ю'1).А /гГ=5}390 • /о3-, Аа*° 2,693• А яв- -Го'^Азз-

= 7,6-26 • Ю-*в3 *6А9й• Вч•5,Мб-/СГ* Зг* Ве»3,6М- ю^ 3?*3У 1*г- 1аг*,/о?

Ваз- * 2,422 • /£>"5 В за * 7, ?03 ■ /О* 8*,*

/о- 1,9гг • /ОВза = /р?

- 14 -

И.П.Корнейчук £44, с. 56 J доказал, что для любой

Еп. * •'о (и)

и отметил, что вопрос о том является ли неравенство (10) точным на множестве С11) остается открытым.

Из неравенства (8) ( ^ , У^ЭС , р=*о ) следует, что

* (Уз) Ж («)

для любой

Тем самым сформулированный выше вопрос

H.П.Корнейчука имеет отрицательный ответ. Отметим, что неравенство (И) также допускает улучшение (/1, о. 326J ): для любой ¿¿г /> и) , зи/(н.+±)

Обсуждая в этом параграфе возможные приложения формул

I.(1) и 1.(2) к вопросам аппроксимации, мы ограничились предложениями с наиболее простыми формулировками. Существенно более подробно эти вопросы разработаны в работах £12; 4J .' Там указан также путь построения линейных методов приближения со значениями в Нп. реализующих оценки, устанавливаемые в ^12J для наилучших приближений. В частности, могут быть построены линейные операторы 1М\уг,г' к±~+Нп (единые

для всех пространств к,р ) такие, что (в условиях теоремы 3) ///- Ир не превосходит правой части неравенства (5). Аналогичные утверждения справедливы и по отношению к неравенствам (4) (а следовательно и к (7))и (8) . Далее, за счет усложнения техники доказательств (в основе её' по-прежнему лежат формулы численного дифференцирования) в [ 12_/получено дальнейшее развитие вопроса о постоянных в неравенствах типа (5). В частности, применительно к модулю непрерывности четвертого порядка полученное усиление неравенства (5) выглядит так.

Теорема 5. Пусть /г 6 , . Тогда

1. Если , то

2. Если У&Ш , то

/' i , (о ЭРУ )

(12)

Иэ (12) (при У- 52 ) вытекает, что

в то время как из (5) следует несколько более слабое неравенство

2.° В пункте 1° был рассмотрен вопрос об оценках значений функционалов, заданных на множествах периодических функций. Аналогичный вопрос по отношению к функционалам, определенным на пространстве требует привлечения новых идей. Однако, если

функционал задан на мнояестве функций, определенных на конечном отрезке, то применение изложенного выше подхода связано с распространением функции, заданной на конечном отрезке, на более иирокий отрезок с сохранением ее структурных свойств, определя-еиых посредством ыодулей непрерывности. Если оставить в стороне вопрос о постоянных, то вопрос о распространении применительно к пространствам решен в работе 0.В.Бесова ['¿0]. В [ЪЬ]

был предложен способ распространения функции из С(1а/ даль-

нейшем вместо 1.А/4} пишем Е ) посредством интерполяционных многочленов. При этом способе распространения константы ( с помощью известной теоремы Х.Уитни об оценке наилучшего приближения посредством модулей непрерывности) могут быть эффективно оценены. Мы используем следующий несколько более экономный (в смысле констант) способ распространения функции из С(Е) на всю ось ( ¿3, с. 26; см. 36.7 ).

Пусть

.Тогда полагаем

Г > еоли

) Р+(х), если («)

С Р.(ос.), если осе где Р+ и Я. многочлены (алгебраические) наилучшего равномерного приближения функции порядка Х-1 на отрезках/^-¡гД,4] и [а, Си-хА} , соответственно. Для такого продоляения имеем

С^-с ¿Упсих. {I,

где

так называемая константа Х.Уитни. Аналогичное продолжение (о понятными изменениями) может быть применено и для продолжения функции из Лр (В) на всю ось с оценкой соответствующих модулей непрерывности. Отметим, что в последние годы (подробнее об этом си. £б2,гл.2 80,гл.в изучении констант Уитни достигнут существенный прогресс. В частности, установлено (Ю.А.Брудный, Ю.В.Крякин, Б.Сендов), что 3 при всех %еМ .Из (14) следует

СУ(а>*Уя ). что

ОРг (4Кг (З/Ю й., Е)т.

Теорема €. Пусть %& ЗГ^. , функционал удовлетворяет условию: ^ФС1^) мя любых 4,С}еС1ЧЕ). Тогда, если

то для г^еС^СЕ) и (ё-ф/ц] справедливо неравенство

Ф(0* (Щ К*) ¿Чг

Приведем один пример прилояений теоремы 6. Теорема 7. Пусть УЬ& ^ <2*4/г * 1, А 0(1.0,11),

многочлены С.Н.Бернштейна..Тогда В частности, (при ± ), имеем

* з мл*, (. (15)

Для оравнения укажем, что в предшествовавшем (35) аналогичном результате (рекордном в смысле константы) Г.Гонска/86_/вместо трех стоит пять.

§ 3. Восстановление функции нескольких переменных по ее извеотным значениям в узлах.

Задача восстановления функции (с числовыми или векторными

значениями) нескольких переменных по её известным значениям в узлах некоторой сетки имеет большое прикладное значение. Её*часто приходится решать как самостоятельную задачу, кроме того, она является элементом решения многих вопросов прикладного характера. Изучению различных аспектов задачи восстановления посвящена огромная литература, авторами которой являются как математики, так и специалисты в других областях науки и техники. Анализ этой литературы может рассматриваться как предмет специального исследования. Иы лишь укажем на статью [34] , где дан обзор ряда подходов к решении задачи восстановления. Вместе с тем, занимаясь прикладной задачей, автор не нашел в литературе удовлетворяющего его алгоритма. Эта задача может быть описана следующим образом.

Имеются приборы, находящиеся в фиксированных точках двумерной области, одновременно снимающие значения ряда параметров быст-ропротокаюцего процесса. Требуется определить значения параметров (которые являются функциями, удовлетворяющими некоторым условиям гладкости) в других точках области (число которых велико). При этом вычисления проводятся в условиях реального времени, а предлагаемый алгоритм вычислений должен иметь достаточное математическое обоснование на уровне анализа погрешностей (а не только на уровне сходимости). Исследования, проведенные автором в направлении реиения сформулированной вкпе задачи (обобщенной на случай функций произвольного числа переменных со значениями в банаховом пространстве)^ замкнутой форме изложены в работе ¿-И 7 . Изложение в [II] построено таким образом, что потребителю, интересующемуся только практической стороной, достаточно ознакомиться с введением (§ I, с. 1-13), содержащим постановку задачи и описание предлагаемых алгоритмов. Остальная часть работы (§§ 2-5, с. 13-41) посвящена математическому обоснованию предлагаемых рекомендаций и анализу погрешностей.

Основные идейные моменты, леяащие в основе предлагаемых алгоритмов, следующие:

1. На основе теоретического анализа погрешностей строится некоторая прямоугольная сетка узлов.

2. С каждым узлом новой сетки связывается (опять таки на основе анализа погрешностей) некоторая система узлов исходной сетяи.

3. Посредством интерполяции вычисляются значения в узлах новой сетки.

4. С помощью аппарата функций Стеклова производится процесс сглаживания.

Важнейшим обстоятельством предлагаемого подхода к решению задачи восстановления является то, что все изложенные выше операции удается осуществить чисто теоретически (дане не прибегая к приближенным методам), а сам реальный процесс вычисления связан лишь с финальной формулой, содержащей только арифметические действия. Это дает возможность вести вычисления в реальном времени.

Следует заметить, что приведенная выше схема построения алгоритмов достаточно гибкая и ее реализация зависит от требований предъявляемых к точности восстановления и к гладкости восстанавливаемой функции, а также допустимого обьема вычислений. В [И] была применена линейная интерполяция ,а в качестве сглаживающих функций использовались непосредственно функции Стеклова различных порядков. Вопрос о том, как строить сглаживающие функции в случае, когда требуется высокая точность аппроксимации, явился для нас отправным моментом к изучению формул численного дифференцирования, в результате чего и были установлены факты, о которых шла речь в § 1.

В заключение параграфа отметим, что предложенное нами алгоритмы (применительно к функциям двух переменных) успешно прошли практическую аппробацию при выполнении хоздоговорных работ проводимых НИИ ВЫ и ПУ Санкт-Петербургского университета.

Глава 2. Точные неравенства для наилучших приближений.

Оценки для отклонений сумм Фурье. Сходимость рядов ®урье. Равенства типа Парсеваля.

§ I. Неравенства для наилучших приближений.

В настоящем параграфе остановимся на некоторых неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности различных порядков, которые в ряде случаев применительно к метрикам пространств С и являются точными в смысле входящих туда постоянных.

Зти неравенства, с одной стороны, являются развитием известного неравенства А.Н.Колмогорова для норм производных, с другой классической теоремы Д.Джексона, дающей оценку наилучшего приближения посредством модуля непрерывности. Они также соприкасаются с вопросом нахождения точной верхней грани наилучших приближений тригонометрическими полиномами на заданном классе уункцши Последняя задача неоднократно исследовалась в работах по теории приближения. Мы не станем подробно останавливаться на истории вопроса, отсылая интересующегося читателя к обзорам С.М.Никольского /59;60J С.А.Теляковского [55] , В.Ц.Тихомирова [70_/и монографиям [45; 67; 63]. Отметим лишь, что первые здесь результаты для пространства С были получены Г.Бором, С.Н.Бернштейном, д.Оаваром, Н.И.Ахи-езером и М.Г.Крейном. В дальнейшем ряд окончательных результатов, связанных с этой задачей, был получен в работах Б.Надя, С.М.Никольского, С.Б.Стечкина, В.К.Дзядыка, Н.П.Корнейчука и других. В работе С.М.Никольского/57_/были впервые найдены точные оценки наилучших приближений в метрике Л^ .

Положим

Еп. (Л £ Ш)Р.

В работах автора /27; 28/ 30] был установлен ряд точных (для пространств С и ) неравенств между наилучшими приближениями и модулями непрерывности первого и второго порядков типа следующей ниже теоремы А.

Теорема А /287 . Пусть . Тогда

1. Если , то

* {2 Еп, ад По,} ш

2. Если С13) , то

Постоянные, стоящие в неравенствах (1) - (3), при каждом ГЬ на всем классе функций, рассматриваемом в условиях соответствующего неравенства, являются точными.

Хорошо известно (си.,напр., ¿67, с. 339.7 ), что

Ел ШР * УС* (птуТъ (4(х%, (4)

если 4-е С™ . Из сопоставления (3) с неравенством (4) (при Х-З. ^аЖ^) сразу следует, что для любой

Еп.Ю„ 5 -Йгт? (Е (5)

В свою очередь из (5) вытекает, что

с < УС ] *./■>! УС I 1 /3

Сп. ({■)<*,~ I --2- ^ (6)

и, следовательно,

Еп,* ^■ (7)

Последнее неравенство - это классическая теорема Джексона для случая первой производной с точной постоянной.

В [2,7]бил построен линейный метод приближения Ыл'-С-^Нп} реализующий оценку (7).

В своей основе результаты работ ¿27; 28; ВО] (они ограничивались производными невысоких порядков) в той части, где применялись модули непрерывности порядка не выше первого, были развиты А.А.Лигуном £48 -ЪО] , который, в частности, распространил их на производные любого порядка.

В работах [32-34] мы (уже о учетом работ А.А.Лигуна ¿48-Ъ0}) продолжили изучение данной темы в направлении связанном с привлечением модулей непрерывности порядка выше первого. Полученные здесь результаты в своей основе были систематизированы в монографии автора [I, гл.4 и 8]За период, проведший после выхода монографии ¿1] , каких-либо существенных результатов в указанном направлении получено не было.

Пусть В%(Ь) - полиномы Бернулли, полунорма Р&А. Полагаем

Гйг = 1в*е(1Ь>1 /(*& , А £М1В% (и)- Вг (Уф/си^

АЫ.х Г АЫ

_

соли

ы

Т^АЩьЪ

Ы'I А (г)о ЕгъиЛ+^АМй^Е^)

если

Сек -

Так как Жг 21 =Г 2С%,10 вов слагаемые в правой

части равенства (а) неотрицательные.

Последовательности £2+) и Еп. убывающие. Полагаем

Еп/1,4) , ЕЛт^Х

" %-*ев '' У /л-»та . _ 1

Теорема 1. Пусть Р&А Ж,

Тогда г

(Е^МПГУЕ^/Г^ (9)

Следствие 1. Щсчъ С . Тогда

Следствие 2. Пусть Р&А ¡геАу С(У Тогда

В случаях, когда полунорма Р есть равномерная норма или норма пространства , постоянные в неравенствах (9) - (И) при каждом /г на классе функций, рассматриваемом в условиях, соответствующего неравенства, являются точными. Это утверждение является следствием того факта, что неравенство

Еп(4)р * УС% (Пг±у* Н4(Х>НР (12)

при /3-=©о (л.Фавар ^82J , Н.И.Ахиезер и М.Г.Крейн [15./ ) и при (С.М.Никольский/577 ) являются точными на . Неравенства (9) и (10) при принадлежат автору. При

они в общем виде (ему предшествовали частные случаи, рас-

смиренные автором) были получены А.А.Лигуном ¿50_7. В качестве результатов, лредшествоваадих неравенствам (9) и (£0) (при т* ¿) следует также отуэииь неравенство А.Н.Колмогорова £42,с.252-2637 для норм производных р равномерной метрика и его аналог, установленный Е.Стейдоа £.95J для пространства суммируемых функций и неравенства (£2) и (4),

Ш.Фавар £82.? .и независимо от него Н.И.Ахивзар и И.Г.Крейн [15] построили ладейные операторы ' С Нп. , удовлетво-рящие еоотноаениям: .. ..

ит&к * Ш-гЫтг • т^рг - (£3)

Приводимая яике теорема развивает неравенство

// /- ЛЧ* М- * Хг "-И^и. Теорема 3. Пуста , т^г еУУ; ¿е С У

Если, кроме того, % - нечетное число, то Следствие 8. Пусть РеА,Пе,

0ГДр^- * ^ ^ рт). (£6)

Теорема 8. Пусть Р<?/4

V* - ада ^¿-^-л

Через будем обозначать множество линейных операторов 11: СНп. . Пусть Р&А . Введен в рассмотрение величины

Очевидно, что ,пуУ).

Прокомментируем следствие 3 и теорему 3. При этом в целях

большей определенности будем предполагать, что в качества полунорны Р берется равномерная норма.

Как уге отмечалось (см. (I3)J К.Фавар и независимо от него Н.И.Ахиезер показали, что при любом X £ Л/

о,п,г) = (17>

и построили метод приближения Хп,реализувщий величину (jtfrjO/rifY). Эти результаты остаются справедллзцш? (С.»¡.Никольский/57 J ) и для пространства . Н.П.Корнейчук дйцазал/43J ,

что 1 - Л_ 5 Ыо, ±, n,XJ s 1 .

' йПгИ

Н.И.Черных вычислил ¿77J аналогичную величину для пространства Х.г (она равна 1/$$, ) и нашел (такие для Li ) величину QfOjfyijz) при любом /У . Автор/277показал, что

и построил метод приближения ~Un,± ^СРи,, реализующий величину I'yt(i,l,VljJC) . А.А.Лигуп установил /49J , что при [tri)/S£/V &Ct,i.,rijX)-(Ж%/й)(Ш-Ц~г

и построил соответствующий метод приближения Zln^t 6 Позднее автором было замечено [ 32 J, что в силу результатов С.а. С.Н.Никольского ¿57] метод It п.,г совпадает с суммами . Упомянутые выше результаты автора и А.А.Лигуна с учетом этого замечания составляют основу следствия 3. Из теоремы 3 следует, что (ЖО^П., W)'^- (этот (i'aKT впервые был установлен в ¿31 j ). С /¡ругой стороны, В.В.Шалаев ¿79J показал, что

Таким образом,

Вопросы, связанные с нахождением точных постоянных з нерапенствчх типа Джексона и построением экстремальных методов приближения, трудны и число известных здесь результатов невелико. В связи с другими исследованиями в этом направлении укажем па резулъпг-;, изложенные в монографиях ¿1, гл.8; 45, гл.6_/и в статьях ¿51; 7Я/ В частности, автором доказало (си. ¿1, с.317 J ) следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть Р£А/ П6

оуыиы В.Рогоаинского. Тогда

Р((-ЯМ * (Ш с^й

Из теоремы 4 вытекает, что (Я(О, 5/^. Вопрос о воз-

можности улучшения последней оценки (для метрик пространств С. и к л ) остается открытым,

§ 2. Оценки для отклонений сумм Фурье. Сходимость тригонометрических рядов Фурье.

I? В основу этого параграфа полонены результаты автора, установленные до 1980 г. и нашедшие свое отражение в главе 6 монографии ¿1J .

Хорошо известно, что для любой С

(■%€ &ь(п+±)1-Ч)Еп(£и £ . (1) Это классическое неравенство с менее точными постоянными впервые установлено А.Лебегом. Теорема I усиливает оценку (1). При этом учитываются не только структурные свойства функции -ф в С , но и в (1£р<о°).

Теорема I. Пусть П.е.А'/реи,*0); ф-'Р/ф-*)* г^С.

где С(Р)~ ("'К?")^) ^

X и У У (2)

Следствие Пусть П&Л/')Р6(:1/00)/4&С. Тогда

* Нх

где постоянная С,(р) определена формулой (2).

Теорема 2 (признак равномерной сходимости ряда Фурье). Пусть ^¿Су Р&Ы, • Тогда, если

Еп- (б-*п-£ К))* ¿к Гъ Е£(<5-йп.х (£))р)=0;

л-"—»

то

лт«- о

т.е. ряд Фурье функции ^ сходится к ней равномерно на всей оси. Этот признак равномерной сходимости наряду с новыми фактами

обобщает, усиливает, объединяет и ряд известных признаков, например, он содержит в себе признак Хордана (ом. [16, с. 122J ), признак Р.Салема (см. ¿16, с. 293-296J ), обобщающий признак Дини-Липшица, признаки М.Сато (см. ¿16, с. 299-302J ).

Следствие 2. Пусть 4б С, ч Тогда, если

En. (4)~> eyifi+n Ef(Vp) =о, Ю 1/f-fnWlU -о.

Теорема 3. Пусть N , о), feC . Тогда'

»««•г5

где С(Х,р) - постоянная, зависящая только от 1С и р . Следствие 3. Пусть tjn6/V , С . Тогда

где постоянная С±(х.) зависит только от % .

При Ъ* ± следствие 3 также вытекает из более ранних результатов С.М.Никольского ¿58 J. С менее точной постоянной, стоящей перед знаком логарифма, оценка (3) хорошо известна: она легко получается из сопоставления неравенства (i) с прямыми теоремами теории аппроксимации периодических функций. Однако,таким образом постоянная Ж1Ч получена быть не может.

Пусть tG . Хорошо известно ¿42. с.179 185 J , что при

Соотношение (4) развивалось многими "математиками (см. ¿66 J , где дано подробное излояение истории вопроса). Пусть

^fn^j^j^n^ii^M^ (f'jMzL }

Из результатов С.М.Никольского ¿58J и соотношения (4) сразу следует, что при hi «*•»

<£)(*,Ч/х*) е*. (п*(16 zJ.

Естественно возникает вопрос об установлении аналогичных асимптотических равенств и для других -б . Теорема 4 дает следупщий от-оет на этот вопрос.

Теорема 4 (¿29 J ). Пусть и I &Q - целые числа. Тогда при п со

С/л*-) 6ь(п*л) + ОШ.

Теорема 5. Пусть ОС/ 4б ¿.р такова, что

Тогда соотношения

(*/*,)^^У*6**' (6)

эквивалентны, т.е. выполнение одного из соотношений (5) - (7) влечет выполнение двух других.

Частный случай теоремы 5, когда ранее был рассмотрен Г.Харди и Д.Литтлвудом (см. [16, с.271; 39, с. 133^ ). Отметим, что ранее также было известно, что в условиях теоремы 5 ряд Фурье сходится в каждой точке Лебега (си.[зэ])_ Теорема 5 дает полную характеристику множества точек сходимости.

Как хорошо известно, сходимость тригонометрического ряда Фурье функции ^е в точке -ос к числу $ эквивалентна выполнению равенства _ ,

где $х.(Ь)=4(ж*Ь)+4(эс-Ь)-ЪЗ ■> а ¿ГбДт^фиксировано. Таким образом, изучение вопроса о сходимости сводится к изучению вопроса: какие условия на функцию Ч'б: обеспечивают

выполнение равенства ' . ,

^Ь М ' ^ О)

Н-Ъоо О -

Последний вопрос рассматривался многими авторами и к настоящему времени здесь накоплен значительный материал (см.,напр., £1б,гл.ЕШ

Мы устанавливаем [В] некоторые новые необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Эти условия имеют характер теорем тауберова типа, в которых тауберово условие записано в форме (9), но с функцией Ч'Н:) отличной от функции и которое по отношению к исходной функции ■ф является менее ограничительным, чем требование выполнения соотношения (8). В частности, для проверки'выполнения тауберова условия могут быть привлечены уже известные факты, относящиеся к выполнению равенства

(9). Это приводит к новым признакам сходимости ряда Фурье в точке, Аналогичные вопросы рассматриваются в [8J и по отношению к сопряженному ряду. Приведем формулировки некоторых результатов установленных в [8] .

Как обычно, числовой ряд И^ называется суммируемым к числу 3 6^ методом Абеля (запись если ряд

{(х)-'Хиг, эс &сходится'"при любом ага/^^и

Теорема 5. Пусть /б/*,

Тогда

сходится при любом пе уV , а соотношения

-бит. (Ю)

и Н-^ОО у ,

Т^- ^ ^^ ^ =0 (П)

ЛСК7

эквивалентны, т.е. выполнение одного из равенств (10), (11) влечет выполнение другого. Легко видеть, что

з (1/Ъ) { П/з) +#*-*)) - (I*)}.

Г.Харди и Д.Литтлвудом £Й8; см. -16, с. 27^ доказана следующая теорема А, вызвавшая большой интерес.

Теорема А. Пусть X//3- . Если при некотором

ели

<5~выполняется неравенство -&уУгь &л.Ш1+. д

^мыуЗъ-у-ялж = о, («>

то ^

Известно, что теорема А перестает быть справедливой, если в ней условие (12) заменить на соотношение

Теорема 7 усиливает теорему А з близких к ней терминах.

Теорема 7. Пусть ТЦЛл(А).

Если при некотором выполняется неравенство VI *

X (1алМ1-И€п(£Ю<00 51 если

то .

Выполнение условий теоремы А влечет выполнение условий теоремы 7. С другой стороны, существует функция из L± , для которой условия теоремы 7 в точке ос= с? выполнены, в то время как условия теоремы А в этой точке не выполняются.

Теорема 8. Пусть >£ё , fiefOjJC] . Тогда если

jf t-'U *tj -M-t) -(Щ Ъ1 (fty»* Ж

то ряд сходится почти всюду на /3 .

Из теоремы 8 очевидным образом вытекает следующая хорошо известная

теорема Б, длительное время не получавшая развития.

Теорема Б (см.,напр., [iO, c.258j ). Пусть ¿6 ¿j

Тогда если , то ряд сходится

почти всюду на /2 .

Вопрос о том, является ли теорема 8 более сильной, чем теорема Б,в настоящее время остается открытым;

Ъ.° В работе £i0 J устанавливаются некоторые общие результаты относящиеся к интегралам типа J и приводятся примеры их

приложений, в частности, к вопросу приближения функций интегралом Дирихле. Мы здесь ограничимся формулировками двух утверждений из

ii0j • «О

Пусть (i=TJTb) корни функции

занумерованные в порядке их роста, CCov=C>, ■7°J ®

ff-J - CJbft (x№ - ncl^J/a J .

Теорема 9. Пусть ¿л , X%* П., В

,-h = Тогда , Лл

-Ыл (f,X)J«Gh/fr,

Следствие 4 (признак сходимости ряда Фурье). Пусть fcUjEcR,, qecfeJ'ftxrtJi-ffc-V , ft:Тогда если

¿¿^ Чил /Лц

*£с»ъ -f-ttp I -Alfr) ho.

/г-5-co 'Sii-E

§ 3. Равенства типа Парсеваля. if Пусть /б убд, . Соотношение

J Z НЮ/ - 2яг 2Г ¿W»/* )

"VC П--00

принято называть равенством Парсеваля. Оно широко применяется я математике и ее приложениях. Полоним т> /у -/-J — bx'frWt -СЫШ .

Очевидно, что при xсправедливы равенства

M^CCJ . Те (t,x) , - •

Следующая ниае теорема I развивает равенство (1).

Теорема I ( [ 5] ). Пусть П ¿у// ;г<£ fytfeaj.la г да

П (Vdt = ол

^^ Д / ^ ^^ ^

* Z^ 'fjSn-i'cQst*)О)

При n=± равенство (3) совпадает с соотношением (i). Приведем некоторые следствия теоремы i.

Следствие i. Пусть Жр^оо , feLp , П6 JV . Тогда

)!{(2nfx г i l3etnQ,£>- (4nfx*

* ГЦ tjln-1-c (S^WMM^IIp (4)

Следствие 2. Пусть & • Т»глч

"Л) (5)

Нщапснство (5) цокот быть записано и так

тЦ'о I T^JMlU). )

Счелгпчк? Г-«. Пусть Lpj п e'yV .Тогда

Для функции й. неравенство (6) переходит в равенство. Неравенство (6) легко выводится как из соотношения (4), так и из

В связи с (6) уместно отметить, что И.Шур ^92, с.227, 228; 93, с.129,180; см. 89, с. 24,25J показал, что если при 1Х1<1 ряд

{(Х)=Т?<%сХг сходится и 11 , то для П-аУУ;

* (</«-) 2: Л с /

Этот результат Шура неоднократно привлекал внимание Л.Фейера /83, с. £76,177,246,740,741J , который, в частности, отметил, что он не может быть распространен на тригонометрические ряды Фурье и, с другой стороны, доказал, что для 4 е С ПРИ № справедливо неравенство » у ' у/

чГсм^г^с^ ¡ы^у^няи. (7)

Неравенство (6) соприкасается со следующей задачей. Пусть

К»(г) - ^ср {И (х£о !ШП 1/гЛ~> }> ....

где верхняя грань берется по всем функциям С, =)СлШ. Хорошо известно (см.,напр., £40, с.272-274 ; 80, с. 15-гО )7'что

. Возникает вопрос, если не о вычислении величины то хотя бы об ее аккуратных численных оценках. Некоторые результаты в этом направлении установлены в книге с. £26-132,269, 270]. В частности, там показано, что 1645...,

>±/0&) (последняя оценка установлена автором со-

вместно о Г.И.Натансоном ). С другой стороны, Численный анализ (вычисления проводились на ЭВЫ) показывает, что №н.(1)=1(ц=1,15") ■ Сказанное позволяет выоказать гипотезу г!С(1)*1. Автор затратил определенные усилия на ее доказательство, но не добился полного успеха, а только доказал, что

II (V*) ТТХ <а>

для Нп, • Из неравенства (6), в частности, следует, что

„ // £ т;;: /

для любой 4б С ■ г

Следствие 4. Пусть /г¿Л^ , Те Ни., 0С6 Р . Тогда" ¡Т'(х)1* £/Т&Н)/Я Ш ¿± • О)

- 31 -

Из неравенства (9) сразу вытекает, что для любого Т£ Н

// (ITT-r/T'lV^fl- - П ИТ По..

Последнее соотношение (если оставить в стороне вопрос о постоянных) равносильно классическим неравенствам С.Н.Бернштейна и Г.Cere для производных тригонометрических полиномов.

2? Если fy^^/g » то» как это легко следует из ("I),

фм = ЗЛ Сеф С-е(9). <*'

Равенство (40)f называемое обобщенным равенством Парсеваля для произведения двух функций, остается справедливым и при других условиях на функции р и р (см.,напр., (16, C.2I8-22JJ ).

Теорема 2.( £l,c.250; 6 J). Пусть fe Li , 1<p<

. soo } р/fp.jj Тогда выполнение хотя бы одного из соотношений & EMn-tty,L MtnEXicr^Wr)«*

или »г-»00

влечет равенство _ /г. ^ „

^qte¿к * ъж

Отметим, что при р= 2 соотношение (И) равносильно равенству

Как обычно, функция ^.'/¿V¿J & называется функцией ограниченной % -й вариации на , если для любого разумения /Л/41 на конечное число участков с помощью точек

< ОСт-ё выполняется неравенство21.!Л /ау^-а^)(fj/- ЛГ,

где №¿¡2 . Наименьшая из постоянных /С обозначается

Полагаем jJ^* К КМ Через

T(2X}iJ4(x)€~l's:cciix. обозначаем преобразования Фурье функции

"1§орема 3 ( (7; см. 37 § 7J ). Пусть xe^t^li , функция fG-LtfR) такова, что V^ для любого стрел-

ка

с£ и рЯд

Г ¿V, гягД, , 2JCfit ijj)^ т бс-^

сходится. 1огда выполнение хотя бы одного из соотношений

.¿и т (tamfrlêtlVIb Z (ia-fyèji'+iêfvyfyo

или Su ÈJJ^ мw "'

влачат включение jf ^fe L± (№) и выполнение равенства

Следствие 5. Пусть , У<£ . Тогда для любойfeLj.

выполняется равенство (12).

Следствие 5 при t~ i. - известная теорема Г.Харди (см. ¿39, C.258J ).

В работе [7Jрассмотрены и другие условия, гарантирующие выполнение равенства (12), а также соприкасающийся вопрос о достаточных условиях для выполнения известной формулы суммирования Пуассона.

Глава 3. Линейные методы приближения периодических функций. Сильная аппроксимация.

§ 1. Введение.

if В теории аппроксимации периодических функций часто приходится оценивать сверху значения некоторой полунормы, заданной на данном пространстве, посредством модулей непрерывности и наилучших приближений. В частности, к такого рода задачам приводят вопросы об определении порядка убывания при fx-^oo величины HUnl'f)!lao(.в целях простоты изложение постановок задач и их истории будем вести применительно к пространству С ). где "Un. - последовательность операторов из С в С , если известны структурные свойства функции / , задаваемые посредством модулей непрерывности и наилучших приближений (или только одних модулей непрерывности и только наилучших приближений). Зтим вопросам посвящена обширная литература. Первые результаты здесь связаны с прямыми теоремами теории аппроксимации (теоремами типа Джексона), исоледованием скорости аппроксимации функции ее суммами Фурье, Фейера, Балле Пуссена и принадлежат С.Н.Бернштейну, Ш.Валле Пус--сену, Д.Джексону, А.Лебегу. В дальнейшем эта задача изучалась многими математиками как для конкретных последовательностей операторов lin. (например, отклонений сумм Фурье, Фейера, средних

fucca, интеграла Пуассона и т.д.)» так и для некоторых классов последовательностей (например, для отклонений методов суммирования рядов Фурье, определяемых матрицей, обладающей некоторыми свойствами, для отклонений сингулярных интегралов с положительным ядром и т.п.). Много результатов такого рода приведено в известных монографиях Н.Ц.Ахиезера [I4J , Н.К.Бари [¡в] , П.Л.Бутцера и Р.И.Неоселя [SIJ, В.К.Дзядыка ¿24} • П.П.Коровника (46J , И.П.Натансона [53] , А.Ф.Тимана ¿67 J . Существенный вклад в развитие этой тематики сделан в исследованиях, связанных с задачей А.Н.Колмогорова-С.М.Никольского. Эта задача состоит а отыскании точных и асимптотически точных равенств для верхних граней отклонений методов приближения на тех или иных классах функций.

zf Видное место в теории аппроксимации занимают вопросы, связанные с определением структурных свойств функции на основании порядка убывания некоторой последовательности полунорм. Одной из важных задач такого рода является следующая. Пусть по-

следовательность операторов из С в С . Требуется определить структурные свойства функции f. . на основании порядка убывания при/г-»°о' величины - ///- Ur-lfjH^,. Эта задача первона-

чально довольно полно была изучена для случая, когда Первые результаты здесь принадлежат С.Н.Бернштейну и И.Балле Пуссену. Дальнейшие исследования связаны с работами Н.К.Бари, Ы.За-манского, С.Ы.Лозинского, Р.Салена, С.Б.Стечкина, А.Ф.Тимана, М.Ф.Тимана и других математиков. Полученные к i960 г. результаты обстоятельно изложены в книге ¿57,wi.Sj (см.также ¿16J и обзорные статьи ¿52; 60J,. В связи с некоторыми более поздними результатами см. £I,гл.3J ). Для других же методов приближения Ип. » Даж® Для классических, вопрос был изучен в значительно менее законченной форме. Известные здесь результаты можно было бы условно разбить на два больших класса: i) те, которые получаются из сопоставления обратных теорем теории аппроксимации и неравенства Р^Ш и 2) результаты, относящиеся к "проблеме насыщения", поставленной Ж.Фаваром (истории вопроса см.,напр., в ¿73J h ¿76J ). Дальнейшее продвижение в этом вопросе в основном связано с циклами работ автора, Р.М.Тригуба и М.Ф.Тимана, выполненными в 60-х и 70 -;с годах.

Полученные здесь результаты систематизированы в монографиях автора [-О и Р.М.Тригуба /72 J .

3." В § 2 мы излагаем ряд общих теорем об оценках значений полунорм, заданных на пространствах периодических функций, посредством модулей непрерывности и наилучших приближений сверху и снизу, преназначенных обслуживать задачи,о которых шла речь в пунктах 2? Эти теоремы позволяют для широкого класса методов приближения получать оценки сверху и снизу величины посредством модулей

непрерывности, совпадающие до постоянных множителей.

В § 3 рассматриваются конкретные метода приближения. При этом мы излагаем относящиеся к ним результаты, связанные о сильной аппроксимацией.

Как известно, ряд Фурье функции из С еще не обязан сходиться в каждой точке. С другой стороны, суммы Фейера сходятся к

каждой точке сеь , в которой ф непрерывна, т.е. имеет место равенство

По неравенству Гельдера „

при . Начало изучению величин было положено

Г.Харди и Д.Литтлвудом /87_7 > которые установили, что если непрерывна в точке ОСо , то Нп-(1/4; ось)-О.

В дальнейшем величины тиЗа"Нп.(Ц/^ъс.) изучались многими математиками в различных направлениях.

Так как <Г» (£оо) * ФпШ

где и. - ядро Фейера, то при

х (Ь) СИ} ъ = К* (Ъ

Термин "сильная аппроксимация" ш связываем с кругом вопро-соз, относящихся к изучению величин типа

в зависимости от структурных свойств функции ^ . С начала 60 -х годов изучению величин типа ЦНл(Ц/£)Цр в литературе уделяется много внимания, и к настоящему времени в этом направлении получен ряд интересных результатов. Вместе с тем исследования здесь епе

далеки от завершения,и уровень окончательности результатов значительно уступает случаю линейной аппроксимации. В частности, не разработан вопрос двусторонних оценок для отклонений методов сильной аппроксимации, совпадающих с точностью до постоянного множителя и имеющих окончательный характер для каждой индивидуальной функции, не проведено сравнение величин типаИНгЛЦ/Шр И ЦКп^ЯПр.

В монографии автора £2} получены первые результаты такого рода. В 1985 году вьшла книга Л.Лейндлера£90_/5которая является первой монографией, специально посвященной вопросам сильной аппроксимации, и которая включила в себя многие из известных . к тому времени результаты. Результаты, изложенные в ней и в книге £27 дополняют друг друга, практически не пересекаясь. Отметим, что,изучая конкретные методы приближения, мы стремились сделать получаемые оценки, по-возмояности, более аккуратными и в смысле входящих туда постоянных. Поэтому мы не ограничивались применением общих теорем § 2, а старались учесть индивидуальные особенности рассматриваемого- метода приближения.

§'2. Общие теоремы об оценках значений полунорм посредством модулей непрерывности и наилучших приближений.

Полученные автором_результаты, относящиеся к данной теме, систематически изложены в гл. 5 книги [I] . В связи с этим мы остановимся на них менее подробно, чем сделали бы это в противном случае.

I? Обозначения. Полунормы Р и ф> , заданные на пространстве С > считаем фиксированными. Поэтому их обозначения всюду, где это не приводит к недоразумениям, опускаем. Модули непрерывности и наилучшие приближения рассматриваются относительно полунормы Р . Для С полагаем

„

где штрих означает, что при %<С> член с ё=о равен нулю, ^(СС)- Сэ^т.е. ¿р - функция сопряженная о первообразной для функции 4~Со(4) • Через А обозначаем множество аддитивных однородных операторов 11:С-*С таких, что // 1ЛЦ

/р({)}<сх, . Далее, ^ = (ФФ/РШ},

Запись фб В означает, что полунорма Ф непрерывна относительно полунормы Р (т.е. соотношение &**ь Р((-{п)=0 влечет

Л-5»-о '

равенство Ч^И*)- для ^^¿^Через обозначаем некоторую абсолютную постоянную, на определении которой здесь не будем останавливаться (см. (1,с.2(Х^ >. Полагаем

2." Оценки значений полунорм сверху.

Теорема!. Пусть Р&А , Ф^В ,П/г^А/ , 1б СЪК**], . величины % и конечны, /еС . Тогда

* 2съ.(4, У/ъХ

В теореме I условия налагаются на функции узкого класса (тригонометрические полиномы порядка не выше гъ ), а заключение делается для функций всего пространства. Впервые этот метод был использован (мы его называем, следуя Г.Фройду и С.Кноповскому, "методом тест-функций") Д.Дкексоном, хотя и не был им сформулирован явно. Дальнейшее развитие метода тест-функций связано с работами П.И.Коровкина, О.Б.Стечкина, Г.Сунуоти, Г.Фройда, Г.Фройда и С.Кноповского и других. Теореме 4 непосредственно предшествовала (из результатов других авторов) теорема ь работы ,

Теорема 2. Пусть Р€ А В; n,гeA'J~ЬeLlг/n+iJ, Уб (0;Ж] . величины и Хх,п. конечны, С . Тогда

3? Оценки значений полунорм снизу.

Теорема 3. Пусть Р& А,Ф&В; пА & ?0

Тогда, если для любого Тё Ни.

ФСТ),

то для любой С » , „

л {ьгсох и А) * & +

Теорема 4. Пусть Р£А В00/П/ХвЛ^ Хогда, если для любого Т&Нп.

оЬ Р(Т™)«Р(Т), то для любой {еС

4? Приложение результатов пунктов ^и 2°к линейным процессам аппроксимации. Об одном способе построения агрегатов приближения.

В приложениях теоремы £ - 4 дают возможность совмеотить большую общность с наглядностью формулировок. Приведем два примера: первый из них (теорема 5) основан на теоремах 3 и 4, второй (теорема 6 и следствие 1) - на теоремах 1 и 2.

Теорема 5. Пусть Р&А , об^/З &0 , последова-

тельность удовлетворяет условиям:

б)для любой С _

Е„№ *Р Р({- 1£н/-&) Сп-^оо).

Тогда: I) если для любого Т£ Нуъ

сМГъРСТ'Ъ) « РСТ- 11п(Т)) ТО для любой С

* С* Р/У- шш (п-!^); где С± =■ (<2гоС +Я; тэсу

2) если для любого Т& Ни

то для любой С

Гйв С(Я*** 1- Ж^'СЯ+ЯЫ/З ->-2ЯГ Пусть /<£ С и

% J«**

ее интеграл Джексона - Балле Пуссена. Хорошо известно, что если ■€ст. Уг*-¡1 f-Уп(£)ЦО . то i - йгщ-t. Таким образом, какие бы хорошие структурные свойства не имела функция -f , отличная от постоянной, интеграл Джексона не дает приближения порядка offt'V

Н.И.Ахиезер £"33, c.£29-I33J предложил метод, позволяющий нэ базе интеграла J*.(■£■) строить интегралы, доставляющие для многократно дифференцируемых функций более высокий порядок приближения, чем интеграл Джексона - Балле Пуссена, а именно, он предложил в качестве аппроксимирующего агрегата для функции ф брать

интеграл {Е~ (Е~Уи)Х]г (£) , где Е -тождественный оператор,

ХбЛ^ • В дальнейшем этот способ построения аппроксимирующих агрегатов изучался И.П.Натансоном, И.Ю.Харрик и другими математиками. И.П.Натансон £54j применил его к сингулярным интегралам

гле Фп ~ положительная, четнаяj3VC- периодическая функция,

для которой 1™<Рк(Ь) db~± , - J** ¿¿О,

и доказал для них следующую теорему.

Теорема А. Пусть интеграл определен формулой (i),

Х& . Тогда для любой C(V

ike- unj^miu * зх*л j?

Обозначим через Вп множество операторов 11 из /) , удовлетворяющих условиям: а) если Те Нп- , то ИСТО^Нп,

б) если t£/V , ТеНп. , то

ucrty- и'Чт),

в) если

Т&Нн. , то ИСТ)* iUTJ.

Теорема 6. Пусть Р&А , П&М, ЩеЕЬ,, fe/K при fe-al/C/t^'^lXk. Тогда, если для любого Тб Нп.

P(Ut(TJ)*oLt ■ (2)

PiUM.U <*•*. P(T(rtJ) (в)

где о есть некоторое целое число из отрезка Lo^d-J (uu не ис юпочаем случаи, когда С-О и t~ if .В первой из них в теореме 6 отсутствуют операторы, удовлетворяющие условиям (а), во втором - условиям (3)), то: ■£) при четном с для любой /<£ С

* Шгух) СД// 1льЦ) г пЧтъж)^}* * pdt} сохнут/ч);

Z) при нечетном С для любой feC

pc сп ыь)№)<& (6 ишю

*c£>(ri-iyjcj + согы (PJ^/УЬ),

Обозначим через множество функций f , заданных на L~7£)Xju обладающих следующими свойствами: a) f'lty&O , б

б) "HQ; В) __

Следствие 1. Пусть Р&А , функции 'У * 61 Тогда для любой С и при любом Ьге/У

pc (rf се- uih)) ft)) * { 25(зе,Ж)2СЪШуЯ)/ г 2 -Щmie П Ат} М

f>.° Об оценках снизу для полунорм, построенных на базе линейных операторов.

Для полунорм, принадлежащих к некоторым специальным классам, изложенные оценки снизу могут быть существенно дополнены. Теорема 7. Пусть

p&Aj tejVj/гбJV;О;-ii>D;

последовательность операторов из А ,• такая, что при любых l^ijk&M и для любой ^fe £ выполнено равенство 6rn.(Ut(?))= * Uti&mlO). Тогда :

1) если для любого Тб Hi

p(<r <v) ¿J3 p(liA (т)) то ДЛЯ любой rf. £ С

* ¿з (у (1+ й-1 P/Utd))-

2) если для любого Т£ Нd

-&~ХР(Т(Х!>)*}3 РСШСТ))

то для любой 4е.С ее

Здесь и зависят только от Ъ .

Теорема 8. Пусть Р&А » В , оператор ЪС&А такой, что и(Т)еН для любого Те Н . , • Тогда

-I) если величины ^Уо и конечны и для любого Т£ Н справедливо неравенство

лр(и^(т.'))* Р(и(т)- гкист))), .

то для любой С

оС Ф(£) * и*Уо+ Уг И иЮ Р({~ ИФ))

2) если величины *У0 и Х% конечны и для любого Т&Н справедливо неравенство

¿Р(и&(т))* Р(и(т)-гкгкт)))у

то для любой

^СсСУо* и им р({- ит.

6? Сравнение мажорант.

При оценках полунорм существенную роль играют мажоранты ' ЧЪ/У/ V = Еп (4) + УЬ СОгг1 С^ , (4)

ю*-". (Ь^М) + п* (&ХГ/П,). (5)

Остановимся на вопросе об оценках мааорант (4) и (5) посредством наилучших приближений и модулей непрерывности только самой функции Iе.

Теорема 9. Пусть

Р&А, пеЛ^ е то, ¿а С. Тогда

4=о

Эдась Cs/tJj Côh); ; Сд(%) зависят только от

выписанных аргументов.

1? Линейные методы аппроксимации, построенные на базе рядов Фурье.

Обозначим через (г множество всех непрерывных на Функций V , обладающих свойствами: a) б)

при -¿б(Oj7C}j в) V - четная функция.

Теорема 10. Пусть Р&А; Ф^В/ Ъ/П eAj

функция G- такова, что ряд Фурье аяг- периодической функции (2 , определенной на формулой {f-yft))', абсолютно сходится, -j.

Тогда для любой

§ 3. Конкретные методы приближения.

•if Обозначения. В этом параграфе без дополнительных оговорок используются обозначения п. ï"§ 2. Кроме того, полагаем

WjOQ - Зп. У«,£Уъе (Ч)Х

2? Суммы Фейера. Первые результаты, связанные с изучением величины jPn(fj=ll-f-6ri(£)l/принадлежат Фейеру,' показавшему, что О для любой féC и С.Н.Бернштейну, рассмот-

гевшеиу вопрос о порядке представления суммами Фейера функций класса Кир d ( O^cL^i ). Дальнейшее изучение порядка убывания величины для ряда важных классов функций связано с работами С.Ц.Никольского, Г.Алексича, М.Заманского, А.В.Ефимова, С.Б.Стечкина и других.

Полояии с «

AT*- / it

Теорема И. Пусть Р&А , П&М, ¡fefOyJC] . Тогда для любой С

Pif-бк-хф)* CJaff-г Г/п),

(Ч + Г/гъ) i ptf-СГп-t №з

( ПС*. (§?r/n,) < P(f~Gn.t Ш.

Из приведенных неравенств сразу следует, что

л < - _s с„

ж/п.) П-СлСЭ^Л/гъ) " •> где Cio^O и Cif - абсолютные постоянные. Таким образом, для каждой индивидуальной функции С получено полное описание порядка убывания (при /г-? оо ) величины Pff~<5h.(£)) в терминах модулей непрерывности.

Теорема 12. Пусть П/Ш^Лу feHm. Тогда

/ (*, ос-)!* (<2- Н

Положим

vc(n,>n.)^fuf>h {н-бк-х

miu/ittu-}.

Очевидно, что

/ft

С другой стороны, „нетрудно убедиться (это сразу следует и из общих результатов И.К.Даугавета [Z3j), что Значит,

. Так как И {-(Тп W/I^II^L/n , если {б Нп. , то на основании точного неравенства Г.Сеге И/р'Ц^,*. если , назем

Следствие I. Пусть tXjtneJV , П<Иь . Тогда

- 43 -* 2 - п./ргь. -

Определим функцию соотношениями: cLn(-t) =1 , если /íj¿ jt yz. i d*. Щ= i/íi i если /£/= /г . Полоним

б-H^tt*.)-- {(1/п.) ! М^х)!*}?*

Теорема 3. Пусть{eUjneAfjXeBsZè'yntAfyté^yn,^).

Тогда

■e-i. г-о

Теорема 4. Пусть n€/Vj {¿Hn., X& JQ , hfaoc) Mé(f/Xj

Тогда

/б~Нп(м * nmihys ( )í (g)

l&Hhff/Xj/ ■& lltMlU,4/ (?)

и&нпюир* ¡mip; í 1fí <8>

I * // (J%üé-J » (9)

HMUp * HtHp Í^f^-J <I0>

В неравенствах (6) - (Э) постоянные при каждом Уг не могут быть заменены меньшими.

Следствие 2. Пусть Г1£ А^s У¿û; Тогда

{и(ir T^^mñ^iip/uiip} -1.

{б'Нп- ' r_

Теорема S. Пусть riGSV;f€Пп.,Хб/в. Тогда

<THL ' J^ltfxrtJ+fo-tjfchH-* tydt .

liycTb fé С . /V • Положив

М.Заманский ¿967показал, что если -^бС удовлетворяет условию &ГК ,то £тПЦ)(п(Щ«*>. Этот результат

■Л—'С?-)- . - "*

был обобщен А,В.Ефимовым ¿25 Л , который установил, что для любой

/б справедливо неравенство

// /»/у; //«,* Си . («)

Теорема 6 может рассматриваться как дальнейшее развитие неравенства (И).

Теорема 6. Пусть

Тогда'

И^п-М -4(0'РА&^&ъа** ЪЕпШр,

И Ъ'-С/л*)

Следствие 3. Пусть ЪеМ; Ур. Тогда

// 4¿а //

& * 5 ///- сг*-* Ш!р.

Положим (мы придерживаемся обозначений книги [Ц )

Нп(9/4/3е) -{йя"* /Я* (М^Ш+ЯУ*

о

Теорема 7. Пусть Пе/У/ 2 тогда

. шнпа,щ - инл?, щ / *

IIIНп (Шр - ИН>\(3/ 4)ЦР/ * ¿Г

II Нп. 14, *)Цр$ & л Ин (х Щ, \11-МШ1р * 7 ИНпМЛУр.

Следствие 4. Пусть >г£ЛК/5?< , ЪСр. Тогда

НН*(1,4Л1р * Ин*.£)Нр + ЧЕ^Лр ]

Теорема 8. Пусть /г ггс/?,.^ Тогда

Следствие 5. Пусть ГгеА^Хб/И/^р*™. Тогда

6НХ(?,х,) * и/«4ъ) * ИМ^шРИ».,*, <&)

И^НкШт М?(ч,МР * НИМ* Ир (и)

Классическое неравенство С.Н.Бернштейна

• итчи * /г//77/- , / («)

если *Г£Нп.^ равносильно неравенству II $п.(£)11«> -ПЙ, если . Легко понять, что

//г"**П11 & ' &(Iъ>)Н

Так как из (13) следует, что НЦ/пС^ФИ^И^Шео* то р=оо ), в частности, цожет рассматриваться как усиление в ряде направлений неравенства (44). Неравенство Г.Сеге

//тО^^т/«,

если Ни,,равносильно неравенству//если • Яоно» чт0 л-/ ,

»г* ¡к1(ы-^ы! * ъ(Ы(1х).

В силу (10) у/.

тлм-'-С^У'*^-- <">

Следовательно, неравенство (10) частично ( константа 1 заменяется на несколько большую ) усиливает неравенство (15). Вопрос

о том, является ли множитель {(Зп?) ^(Чп1-!)}^ в неравенстве (Í6) точный, открыт.

Положим . f,

ш^н^ (veté) 7

фА) Tütw-Mt ^

izo

Теорема 9. Пусть ¡г€Ж о, Тогда

а имР * т п&*.тР, ЦШМр i 90Пищ 1-43 Е«.(?)р .

Следствие 6. Пусть Lp . Тогда

и&кШНр *ci¿(p) тишир,

где £fz(p) зависит только от р.

3.° Средние Абеля - Пуассона. Суммы

называются средними Абеля - Пуассона. Мы будем использовать и другую запись сумы (Í4)

- (гаlo,üJJ.

Полагаем ^

Теорема 10. Пусть Р& А , В , величины "У0 и Zj. конечны, cLefOyOo). Тогда для любой feC

Ф№ * СУ о * Z*<¿ р(* - & шх

Следствие 7. Пусть P¿A , KG , Тогда

где ¿

q? _ -rJr4t • я-

Следствие 8. Пусть

Тогда

Следствию 8 предшествовала оценкаC'f

впервые установленная Р.М.Тригубом [_70 1.

Теорема 11. Пусть Р&А , УТ~е ¿^oLé-fo^j-teC, Тогда

Р(4- oL(nr¿))P({-6k№).

Теорема i'¿. Пусть %¿Lo,¿). Пб№;ССб/S,4еНп,

1< р< оо, '

', W-Hn+li-i) - г«- 6га"- г *'*■

Тогда

Си- ъУ/.г/^ )> М-РгШИр * HtUpte- Л

{(1-1)fon/*Síteos. (15)

Существует функция такая, что для нее в точке ЭС-О

неравенство (15) обращается в равенство.

Теорема 13. Пусть Пе-Л^ t€ LO/l), i С

Иг, М,х)~(VJ»!

H, (б-Лх) = (ъ-t J?¡di * i/z

Тогда

ИН^Шр * ( '"'¿К**!1* UH,W)UPj

HHi(3,¿)Hp * H H иp.

Теорема 14. Пусть

péAj dL&(Wjfe С.

Тогда

i? Функции В.А.Стеклова. Хорошо известно, что для любой

4еС

с другой стороны, Ф.И.Харшиладзе [75;76J установил, что если при

любой

А > О имеет место неравенство ///а(-М , то

(при сИ ). Этот результат был дополнен в работе автора /26J ,где было установлено, что если£Р удовлетворяет условиям: а) С(б) СО возрастает на

я) С*}(о) - о , г) с?(?<5ХЩоХ5)при любых

, то соотношение Н *(£)!!„ * влечет соотношение СЗа^^)^

К роме того, в ¿25 3 были получены (для Л, г (£■) при любом %6 А^ ) неравенства типа

Уп)^ *С<Э {ЕпЮ-ч- Ш-Зг/Ъ*-Ш- }

Далее Р.Ч.Хригуб ( ¿71; сы. J ) установил, что для любой {¿С Ш?, * Сц ¡Ы-Зж/п, Я (пеМ) •

Пологим

Теорема 15. Пусть фб Шы>, Тогда

для любой т? 6 С

* (а пи, (ф)^ -гЧУът*. М-Зм Ши,

ф(£) 5 Ч(гпо (Фи + У± *** -

Следствие 9. Пусть =

~ У?с/(й>г1-Щ/ 4е С. Тогда Еп№~ * 2 (1+ Уг Л/- Аг ШИ~>, (16)

Бг ^ * ¿г-у Н{- ЮН«,. (17)

В работе ¿Э] тапке построены линейные операторы Ь1п.,х'С-*Нн,9 реализующие неравенства (16) и (17) и приведены численные оценки для постоянных Уп, (х*

5? Суммы Валла Пуссена. Пусть Уге , ёе^ . Суммы

<5-п,& (<№ (Щ

называются оуммами Валле Пуссена. Развивая результаты многих авторов (Ш.Валле Пуссена, С.М.Никольского, С.Б.Стечкина, О.Д.Габи-сония, А.А.Захарова, К.И.Ооколкова и других) С.Б.Стечкин и независимо от него В.Дамен ¿гsJ доказали теорему А.

Теорема А. Пусть П£%+ , йеА?, . Тогда

п- сели * , (19)

где Си - абсолютная постоянная. Оценка (£9) была усилена в ¿38.7 . Пологим

г** (Щ)

Л.Лейндлер ¿50J установил аналог теоремы А для сумм (£), а именно, им доказана теорема В.

Теорема В. Пуоть П6 , ёв//, /<£ С . Тогда

1/ггП/6т~*сЛЗ ■ . (20)

Следующая ниже оценка (21) усиливает неравенство (20) в плане работы [Ъв] .

Теорема 16 ( [б] ). Пусть £еЛ/ , АС , =

Тогда _ ^¿-х с ^>>1

Если, кроме того, , то

б.17 Некоторые методы приближения, связанные о экстремальными задачами.

Будем использовать обозначения § 1 главы 2. Положим

если (Ы)АеМ

теорема г /. пусть гее т/1 ь/у у^-сгс- > г -к = Ъ(ПП)-ЧИ (¿'У-^ ) Л1(т, ^ ; Тогда

Неравенство (22) остается точным в смысле входящих туда постоянных и тогда, если в нем величинузаменить на меньшую (обозначим получившееся неравенство через (22'}), ибо из (22') вытекает точное неравенство (12) § I главы 2. Неравенство (22') следует и из неравенства (10) § I главы 2. Основное содержание теоремы 17 состоит в том, что конструктивно построен полином из ¡-¡п. реализующий оценку (22'). Построенный метод приближения нелинеен (заметим, что линейного метода приближения, реализующего оценку (22у), не существует) и строится достаточно сложно. Однако, наличие явного выражения позволяет в ряде случаев следить за свойствами аппроксимирующего агрегата в зависимости от свойств приближаемой функции. Так, например, если функция ^ такова, что все С&(4-1-0 при то

В теореме 3 § 1 гл.2 был рассмотрен метод приближения УпС-РХ Остановимся на нем подробнее.

Теорема 13. Пусть РеАА^^^А^/^Уи/^п^. Тогда: 1) Если /<£"£? , то

(Ъ^СЛъС*™;-^)) . (22)

- и -

' ят«-*-Т&лт* (iïw))} *

< 1

CJai^-d)* Сге Р(4- KWJ,

ГД0 = 4+ fgfo //И.//.

2) Если f-e C(i) , то чктт)

В частности, JC/rn-f-aу

р({- КСQ) * (V3) I (Và)dt.

Теорема 19. Пусть PgA , Y, On. - множество операторов U-^A таких, что UfôéHh. для любой feC , ОХ-множество операторов Ы^Ом,, удовлетворяющих условию ZL(fy -неотрицательная функция, если ^ неотрицательная функция из С Положим

tu* lhJ {Pif- ип Ш)/сэй ({, ,

J пе'Тг и né Он. {к С

Тогда

¿(Y)< (У*.) о (23)

■¿f(r)< (Vz) (i+y-y. (24)

В качестве метода приближения , реализующего оценку (23),

может быть взят метод

Ж^ (

а в качестве метода приближения ЪСп(£), реализующего оценку (24)-

метод = ^ (Зуж /Я Ш,

n-ti

гдв

интеграл Бомана - Коровкина.

В заключение параграфа отметим, что в монографиях автора il; 2J рассмотрены и многие другие методы приближения (в том числе

и для функций нескольких переменных),как классические, так и ранее не изучавшиеся. Однако, мы не будеи адеоь на этом останавливаться.

§ 4. Функции класса Jup d. и сильная аппроксимация.

Теорема i. Пусть последовательность

ограниченных периодических функций, обладающая свойствами: a) J^Vn » 1 > б) 'ГлЮго, в) при некоторой Х& /V

Аплп. ^ о к-у« Л»1/г -

где ЛП/С - J !ЫС Тл.Ш¿t- Тогда для <f& соотношения

к г^Г ///Г ¡ЪКМТкШъЯр*^

fup t'^CÚt.íMp * t¿

¿áfa/Oj)

эквивалентны. '

Следствие i. Пуоть 1*р*<х> , ¿у, , Я^пШ . как обычно, ядро Фейера,

chdL-Onb ядро Пуассона. Тогда соотношения

П-*<*о

-JC

п "О

d-^CH-

ТО

fe "Фет"

эквивалентны! ' С.Н.Бернштейн (см. ¿19, с. 89 J ) установил, что еслп/^Ау»^

н-б

Как следует из доказательствами.Бернштейном установлено несколько более сильное утверждение, а именно, для функции/¿/у^/ справедлива оценка

=1/ЩрИ.

Из следствия -I, в частности, вытекает, что если за характеристику приближения функции интегралом Фейера брать величину Кл({)

то он никогда не даот приближения (при Л->«<> ) порядка^

если только 4^ Сб>м6 . Далее, если % wf6fu.pl.

Эти факты уместно сопоставить с приведенным выше результатом С.Н.Бернятейна.

Для С полагаем

(-г ■) -/Ду/Л^ . Теорема 2. Пусть 4е С , Тогда

. ем*

„ СЯ/А]

где С*, - абсолютная постоянная.

Теорема 3. Пусть £бС I . Тогда

^ (I л/гъи = С3 Инг*- £(■)! (Ъ) с£ь ни * ¿V ^ (*> ,

где Сз и С4 абсолютные постоянные.

Теорема 4. Пусть С . Тогда соотношения

__/б кор

-х

^ /и^п)-1 Г?:о I **) -мте^щ/*?^

П

равносильны, т.е. выполнение одного из приведенных соотношений влечет выполнение трех других.

§5. 0 монографии "Сильная аппроксимация периодических функций" .

Многие результаты теории аппроксимации периодических функций базируются на свойствах тригонометрических полиномов. В свою очередь, эти сзойства часто оказываются простыми следствиями некоторых тождеств. Поясним сказанное на примере. Обратные теоремы теории наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространстве С основываются на классическом неравенстве С.Н.Бернш-тейна //Т'Н^«пИТ11„ , если Т& Нп. • Приведенное неравенство является простым следствием классической интерполяционной формулы Ц.Рисса

которая в приложениях позволяет получить и многие другие факты.

Пусть теперь тригонометрический поли-

ном порядка не выше 2=

Равенства *^У^Р кратко могут

быть записаны так:

(3)

Иными словами, вектор $ получается из Ч, применением дискретного преобразования Фурье. Важным обстоятельством записи (3) является то, что матрица А унитарна (см. /74, c.266,267J ). Из унитарности матрицы А следует, что "длины" векторов 3 > I равны, т.е. справедливо равенство Парсеваля

Г (Ъп+ху1 <*)

Положим (мы будем придерживаться обозначений книги ¿2) )

х-у-з- Ш(,*э)Цх0 ^-(^'Ьеп^нь

ОС) Сенс у

Тогда ( /2, с.169, утверждение )

3- Ак(ю) г. (5)

Матрица Ак1Ю) ортогональная. Следовательно,

(гл)'1. (6) Пусть теперь /<?/УЛ - четная функция такая, что

> если

с1к(п)~ По интерполяционной формуле Лагранка

ГД9 л

йп- С со* Цс- см-х) '

Равенству (7) можно придать вид* й,.,,//^,. ,

где система функций

с?* ,'=п Ч^Щ^/Уф)**(пх/а)Янпос „ у-г) --у^^уТ^^

будет уже ортонормированной на ЬОуЗС] . Следовательно,

->о 1т)1 I Чп**-^ ИкЧ^/я) (9)

Формулы (1),(4),(6),(9) одного плана.'

Изучение соотношений типа (3),(5),(8) и сопутствующих им формул, их трактовка с точки зрения задач теории приближения, а также приложения,является одним из основных направлений книги. В монографии развита техника получения равенств типа (5) и (8), которых в книге приведено довольно много (так,например, в § 3 гл.З установлено 32 соотношения типа (5), при этом было использовано 18 вариантов унитарных матриц, иными словами, -18 вариантов дискретного преобразования Фурье). Разработка техники, с одной стороны, потребовала выяснения идейной стороны вопроса, с другой, она связана со значительной вычислительной работой. При это мы не ограничились изучением одномерного случая, но также рассматривали некоторые сопутствующие вопросы многомерного анализа Фурье. Наличие соотношений типа (5) и (8) (помимо того, что они дают возможность устанавливать равенства типа (6) и (Э) (т.е. равенства типа Парсеваля)), открывает путь для применения известных теорегл о коэффициентах Фурье (см. £"40, тп.12] ). Равенства типа (5) могут

рассматриваться как новые приложения дискретного преобразования Фурье (обращаем внимание читателя, интересующегося дискретным преобразованием Фурье, на таблицы, помещенные в ¿2 на стр. 31, 32 (теорема 2), 168-170 (таблица 2), 175 (таблица 3), 163 (предложение 6)).

Мы не станем более подробно останавливаться на содержании книги [Z] . Отметим лишь, что часть полученных в ней результатов, связанных с приложениями к теории приближения, уже нашла свое отражение в §§ 3,4.

Литература

13. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Харьков, 1940. 14;, Ахиезер Н.й. Лекции по теории аппроксимации. U., 1947.

15. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. // ДАН СССР, 1937,т.15,№3,с.Ю7-И2.

16. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. И., 1961.

17. Бари Н.К., Стечкин С.Б. // Труды моек.мат.об-ва, 1956, т. 5, с. 483-522.

18. Нерезин И.С., Жидков H.A. Методы вычислений. T.I. Ы.,1966.

19. Бернитейн С.Н. Собрание сочинений. T.I М., 1952.

20. Бесов О.В. // ДАН СССР, 1963, т. 150, № 5, с.963-966.

21. Брудный Ю.А. // Функциональный анализ и теория функций. Сборник 2. Казань, 1964, С.43-49.

22. Дамен В. // Мат.эаметки, 1978, т. 23, № 5, с. 671-684.

23. Даугавет И.К. // Успехи мат.наук, 1963, т.18, вып.5,с.157-158.

24. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, t.!., 1977.

25. Ефимов A.B. // Изв. АН СССР, сер.мат., 1958, т.22, » 1, с.82-116.

26. Хук В.В, // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций. Сб. научн.трудов Ленингр. мех. ин-т й 50. Л., 1965, с. 93-115.

27. Жук В.В. // Сиб. мат. журн., 1971, т.12, № 6, с.1283-1297.

28. Еук В.В. // ДАН СССР, 1971, т.201, й 2, с.263-265.

29. Жук В.В. // Изв. вузов, Математика, 1972, № 8, с.46-59.

30. Хук В.Б. // Изв. вузов, Математика, 1973, Ж 1, c.5i-56.

31. Хук В.В. // Вестник ЛГУ, 1974, й 1, с.21-26.

32. Кук В.В. // Вестник ЛГУ, 1976, № 19, с.51-57.

33. Хук B.B. // Вестник ЛГУ, 1978, №. 19, с.35-42.

34. Лук В.В. // Вестник ЛГУ, £979, И; I, с.31-37.

35. Хук В.В. Структурные свойства функций и точность аппроксимации. Л., 1984. £16 с. 1

36. Хук В.В. Методические указания к курсу 11 Аппроксимация функций ". Часть I. Л., 1988. 39 с.

37. Хук В.В. Методические указания к курсу " Теория аппроксимации функций и ее приложения". Часть 1. С.-Петербург,1992.75с.

38. Хук В.В., Натансон Г.И. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. Дел.ВИНИТИ Ji 3875-78 от 21 дек.1978.8с.

39. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. !.!., 1965.

40. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М., 19S5.

41. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М,, 1962.

42. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика.;.!.,1985.

43. Корнейчук Н.П. // ДАН СССР, 1962, т.145,!Ё 3, с.514-515.

44. Корнейчук Н.П. // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку, 1S65, с.53-57.

45. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. И., 1937. Корозкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. М.,1959.

47. Крылов 3.Ü., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т. 1. Минск, 1972.

48. Лигун A.A. Ц Мат.заметки, 1973, т.13, К? 5, с. 647-654.

49. Лигун A.A. // Мат.заметки, 1973, т. 14, № 1, с. 21-30.

50. Лигун A.A. // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Вып.4. Днепропетровск, 1973, с. 61-65.

51. Лигун A.A., Капустин В.Е., Волков ß.H. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными системами. Киев, 1990, с. 3-74.

52. Лозинский С.М., Натансон И.П. // Математика в СССР за сорок лет. Т.1. К., 1959, с. 295-379.

53. Натенсон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л., 1949.

54. Натансон И.П. // ДАН СССР, 1952, т. 82, № 3, с. 337-339.

55. Никольский C.U. И ДАН СССР, 1941, т. 32, й 6, с. 386-389.

56. Никольский С.М. // Труды ЖАН, 1945, т. 15. с. 1-76.

57. Никольский С.И. // Изв. АН СССР, сер. мат., -1946, т. iO, № 2, с. 207 - 256.

58. Никольский С.М. // ДАН СССР, 1946, т. 52, te 3, с.191-194.

59. Никольский С.М. // Математика в СССР за тридцать лет. М.-Л., 1948, С. 288-318.

60. Никольский С.М. // История отечественной математики. Т. 3, Киев, 1968, с.568-538.

61. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., 1977.

62. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости. М., 1988.

63. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев, 1981.

64. Стечкин С.Б. // Труды ШАН, 1961, т.72, с. 48-60.

65. Теляковский С.А. // Очерки развития математики в СССР. Киев, 1983, с. 237-251.

66. Теляковский С.А. // Труды ШАН, 1992, т. 198, с. 193-211.

67. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М., 1960.

68. Тиман М.Ф. // Изв. АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, fe 3, с. 587-604.

69. Тиман М.Ф. // Диф. ур-я, 1969, т. 5,№ 3, с. 574-579.

70. Тихомиров В.М. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М., 1987, с. 103-260.

71. Тригуб P.M. // Изв. АН СССР, сер.мат., 1968, т. 32, № 1, с. 24-49.

72. Тригуб P.M. Суммируемость рядов Фурье и некоторые вопросы приближения. 235с. Деп. в ВИНИТИ 8.12.1980, te 5145.

73. Турецкий А.Х. // Изв. АН СССР, сер.матем., 1961, т. 25, № 3, с. 411-442.

74. Харди I'., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. U., 1918.

75. Харшиладзе Ф.И. // Сообщ. АН Груз. ССР, 1953, т. 14,р.135-144.

76. Харшиладзе Ф.И. // ДАН СССР, 1958, т. 122, № 3, с. 352-355.

77. Черных Н.И. // Мат.заметки, 1967, т.2,й 5, с. 513-522.

78. Черных Н.И. // Труды МИАН, 1992, т. 198, с. 232-267.

79. Шалаев В.В. Ц Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Вып. 8. Дпенро-

петровок, 1977, с. 39 - 43.

80. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев, 1993.

81. Buf-хел. P.JL, Ме.-нс£ Н У. амсбу^.^.

. 19 fJ-

82. FaJhid у. //BuU. Jc^.Ma^fb.j -103?, ¿W. p. ЪРЭ-ЪйЧ.

83. Fef-vc L- Сг-е&сонхуп.гЛ&г- г Е- BLidct^^yi. 19?ot

84. FbtZK-lie 1№г,{Ге>£.

p. 1P1-Z0O.

85. Fxtud PopotTl/. / Рыс. CphJ. лл ¿on^tx. TAtviy \s>4 Flm^c . Bu.cLapeytj 1969j Bu.da/x*ijAcAd. ICcccdj

. 10 72/p- IGi J17S.. '

86. Croyu<tia, H-H. IPn- ар/'ЪгМъ.а&'еиъ tly iитат. tyoe-ta.-

Zlu-L+Sunf L^tA-^iAo cA-^eJi \ 19<P2..

87. Hivtcly jr., kbttiej-Zood X //C&m&i. fotbd.. Acad. Sec j 1913 , 15-6,p. 13of - Hoe.

88. Нж-cLa G-., h:bt£uSc-od У. // An,nciJt Uc Pl-S-A. (2J, 1954, UoiA ,p. 43-6Z.

89. Landau B. u^d Bej^uZnclu-i^ eotU-

ВелАл,, 192$.

90. L&t^i^it ji. ■рЬч&пр ййс!^ry^i-itia*i. Foujcl'&L

■tyvCz* ■ 8i.cUa.pzvt. 19r6~

91. Ucndecn. I .//Aru^W-. MlUA , то, Г. 27--if.

92. ~5скил- 2~ // J-. -£un. dee Ct*d ccyu^eJP- / 13>n,-ed. ¿47, J 205--Э32.

93. Sckun. I. // ¿wi dee and ctnfttJ 19/Р, 1ЧР/1 12294. Uecfc^ IB , -¿W/l , r 1,-^ljP £f-H

95. -Жесн-ё./ЦАм. Ма**,, 19Г?, ияр-ЯП-Ж*.

96. ИсшумуЬуМ- //Ашг. Зи; <&с>ге 1949

л'!¡р. /9-93.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Пук В.В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982. 866 с.

2. £ук В.В. Сильная аппроксимация периодических функций. Л., 1989. 296 с.

3. Жук В.В. Функции класса клр>± и полиномы С.Н.Бернштейна. // Вестник ЛГУ, 1989, Кг 1, с. 25-30.

4. Кук В.В. Формулы численного дифференцирования и их приложения к вопросам аппроксимации периодических функций.// Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов конференции 21 -22 IX 1990. Тарту, с. 159-162.

5. Кук В.В. О равенствах типа Парсеваля и их приложениях. // Вестник ЛГУ, 1991, № 15, с. 25-31.

6. Жук В.В. Равенства типа Парсеваля и их некоторые приложения

к вопросам сильной аппроксимации периодических функций. // Теория дробно - рациональных приближений. Межвузовский сборник научных трудов. Махачкала, 1991, с. 13-14.

7. Жук В.В. Дополнения к формуле суммирования Пуассона и к теореме Харди - Юнга. // Вестник С.-Петербургского ун-та, 1992, № 8, с. 8 - 15.

8. Жук В.В. К вопросу сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. //.ДАН России, 1992, т. 326, й 5, о. 770 - 775.

9. Кук В.В. О функциях В.А.Стеклова. // Дифференциальные уравнения

с с частными производными (общая теория и приложения)/Под редакцией Н.М.Матвеева. С.-Петербург. Изд-во "Образование" 1992, с. 74 - 85.

10. Нук В.В. О точности представления функций сингулярными интегралами. // Вестник С.-Петербургского ун-та, 1993, № 1,с. 13-20.

И. Жук В.В. Методические указания к курсу 11 Теория аппроксимации функций и ее приложения Часть 2. С.-Петербургский ун-т.1993. 41 с.

12. Хук В.В. Методические указания к курсу " Аппроксимация

функций ". Части 2 и 3. Ленинградский ун-т. 1990. 49 с. 39 с.