Теоремы о больших уклонениях в задаче проверки статистических гипотез тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

о

/ч.

Я?

О,

0 НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

^ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАНІКИ

о-)

На правах рукопису МЕДВЕДЕВА Марина Івановна

ТЕОРЕМИ ПРО ВЕЛИКІ ВІДХИЛЕННЯ У ЗАДАЧІ ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

01.01.05 — теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат дісертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Донецьк *1997

Дісертацією є рукопис

Робота виконан у відділі теорії ймовірності та математичної статистики Інституту прикладної математики та механіки НАН України, м. Донецьк.

Науковий керівник: доктор фізико - математичних наук, професор ЛІНЬКОВ Ю.М.

Офіційні опоненти: доктор фізико - математичних наук, професор БОНДАРЕВ Б. В.

кандидат фізико - математичних наук,

КОЛОМІЄЦ Ю. В.

Провідна організація: Інститут математики НАН України, м. Київ

Захист відбудеться "Лб" 41/, 1997 р, о годині на заседан спеціалізованої ради К 01.01.02 при Інституті прикладної математики механіки НАН України за адресою: 340114 Донецьк 114, вул. Р. Люксембуї 74.

З диссертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту.

Автореферат розісланій " ^ ^ 997 р

Вчений секретар // у

спеціалізованної ради _/ •' Чани О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальності, теми. Граничні теореми про великі відхилення відіграють важливе значення в математичній статистиці, теорії інформації, теорії масового обслуговування, статистичній механіці та інших галузях. Починаючи з класичних праць Г. Крамера і Г. Чернова теоремам про великі відхилення присвячені дослідження дуже богатьох авторів. При цьому в перших працях розглядалися теореми про великі відхилення для сум незалежних випадкових величин. Потім, ці теореми почали поширюватися на ланцюги Маркова, випадкові процеси з неперервним часом і на інші більш складні за структурою сім’ї випадкових елементів. Вїдзначемо тут праці Р. Р. Бахадура, ї. Н. Санова, Л. Бїрже, О. О. Боровкова і О. О. Могульського, Р. С. Злліса, та інших авторів. Розрізняють два типа теорем про великі відхилення. Перший тип - це теореми, які дають асимптотику логарифма ймовірності відхилення, так звані, ‘грубі’ теореми про великі відхилення. Другий тип - це теореми, які дають асимптотику самих імовірностей, так звані ‘точні’ теореми про великі відхилення. '

Ця робота присвячена ‘грубим’ теоремам про великі відхилення в задачі розрізнення статистичних гіпотез. Точніше ‘грубим’ теоремам про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності і їх застосуванню до дослідження асимптоматичної поведінки показників якості критеріїв при розрізненні простих і складних гіпотез для сімей загальних статистичних експериментів. У даному випадку ми маємо справу із сім’єю разширених випадкових величин, які є логарифмами відношення правдоподібності. Зараз існує серія праць, в якіх установлені ‘ грубі ’ теореми про великі відхилення для сімей довільних випадкових величин. Серед них відзначимо праці Г. Л. Сіверса, Д. Плачки і Дж. Штайнебаха, Р. С. Злліса, Ж. Д. Дюшеля і Д. Струка. Методи доведення теорем про великі відхилення, що застосовуються в цих роботах, використовуються з відповідними модифікаціями в даній дисертації. Ці модифікації зв’язані з одного боку, з тим, що розглядаються сім’ї випадкових величин, які являють собою логарифм відношення правдоподібності, а з другого боку з тим, що в граничних теоремах, які розглядаються, мають місце виродження областей визначення і значення функції правдоподібності. Здобуті в роботі теореми про великі відхилення для відношення правдоподібності застосовуються до дослідження асимптоматичної поведінки ймовірностей помилок критерію Неймана - Пірсона у випадку перевірки простих гіпотез і асимптоматичної поведінки функції потужності асимптотично локально найбільш потужних критеріїв в задачі перевірки простої гіпотези проти

складной альтернативи. Ця задача раніше розглядалася для деяких конкреї моделей спостережень. Так, наприклад, в працях Г. Чернова, Р. Р. Бахадур; Бірже, О. О. Боровкова і О. О. Могульського розглядаються спостережі незалежних однаково розподіленних випадкових величии. Відзначимо та роботу Е. А. Арутюняна, в якій спостереження є ланцуюг Маркова, рої Ю. М. Лінькова, в якій спостереження е лічильний процес, рої Ю. М. Лінькова і М.-С. Діапо, в якій розглядаються процеси с незапежн приростами та ін. Названі праці присвячені застосуванню теорем про ве відхилення до дослідження поведінкі ймовірностей помилок критерію Нейн - Пірсона.

В даній роботі здобуті результати для загальної схеми статисти1 експериментів застусовуються до процесу нормальної авторегресії, коли одній гіпотезі цей процес є ергодичним, а при другій гіпотезі- будь - ЯКИІ цьому випадку з’являються виродження у функциії відхилення, якщо другій гіпотезі процес не є ергодичним. Крім того, розглянуті деякі част моделі незалежних, взагалі кажучі, неоднаково розподівлених випадк< величин.

Мета роботи - довести теореми про великі відхилення для логари відношення правдоподібності як у задачі перевірки простих гіпотез, так задачі перевірки простої гіпотези проти складних альтернатив і здобуті теор застосувати до дослідження поведінки ймовірностей помилок першого другого роду критерію Неймана - Пірсона і функцій потужності асимптото локально найбільш потужних критеріїв при перевірці простої гіпотези пі складної альтернативи.

Методика дослідження. У роботі використовуються методи о пук. анализу, граничні теореми теорії ймовірностей та методи загалі статистичних експериментів.

Наукова новизна. У роботі одержані наступні нові результаті:

- доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношс правдоподібності в загальній схемі статистичних експериментів;

- досліджено повідінку ймовірностей помилок першого та другого І крітерию Неймана - Пірсона;

- здобуті результати застосовані до спостереження процесу нормал авторегресії,запропоновано метод обчислення показників експонент спадг ймовірностей помилок критерію Неймана - Пірсона в задачі розрізш процесів нормальної авторегресії;

-теореми про великі відхилення для логарифму ВІДНОШ( правдоподібності в загальній схемі статистичних експериментів застосован дослідження поведінки функції потужності асимптотично локально найбі потужного і асимптотично локально найбільш потужного незсуменого криті

в задачі перевірки простої гіпотези проти складної одно - і двосторонньої альтернатив.

Теоритична і практична цінність. Робота носит теоретичний характер. Її результати можут застосувуватися в тих галузях, де потрібно розрізняти альтернативні ситуації з дуже високою надійністю. ■

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідалися на першій та другій Всеросійских школах - колоквіумах із стохастичних методів (Абрау -Дюрсо, 25 вересня - 2 жовтня 1994 р., Йошкар - Ола, 18-23 грудня 1995 р.), на З- ій Донецькій міжнародній конференції ’’Ймовірнісні моделі процесів у керуванні та надійності”(Мелекіно, 6-11 вересня 1993 р.) і на семінарах з теорії ймовірностей та математичної статистики в Інституті прикладної математики і механіки НАН України ( Донецьк 1994 - 1997 рр.).

Публикації. По темі дисертації опубликовано 8 праць, список яких наведено в кінці автореферату (4 опубліковани у наукових фахових виданнях).

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи параграфів і списку літератури ( 44 назви). Загальних обсяг роботи ^Хсторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації та подано короткий виклад роботи.

У першому параграфі введені загальні означення та припущення, що використовуються нижче у всій роботі. Нехай (.А*, £ Ґ, ?') і > 0 - сім’я статистичних експериментів, породжуваних спостереженнями взагалі кажучі, довільної природи, де Ґ (відповідно Р') - імовірнісна міра, яка задає розподіл спостереження коли вірна гіпотеза РҐ (відповідно Н'). В § 1 вводиться інтеграл Хеллінгера Ще) порядку є для мір Р' і Ґ і наводятся деякі, необхідні в роботі властивості інтегралу Хеллінгера Н£е). Для перевірки двох простих гіпотез Н1 і Я'розглядається критерій Неймана-Пірсона рівня а,, вигляду

5, = І(Л,>с/,) + 9іІ(Л, = </,), де Л, - логарифм відношення правдоподібності, а д', є [-оо, оо], <?, є [0, І] -параметри критерію 5,, що візначаються значенням рівня а,. Крім того, у першому параграфі зібрані основні властивості опуклих функцій і перетворень Лежандра - Фенхеля, які використовуються потім у всій роботі.

У другому параграфі доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізненням двох простих гіпотез для статистичних експериментів довільної природи.

Вводиться наступна умова

Н. Для будь - якого є існує границя ~

I і m tp 7' і n /V, (є) = к(є),

де ф, -> да при / -> оо, а к(є) - деяка власна опукла функція, диференційовна на (є., є+) і у. < у+, де

є. = inf {е : к(є) <оо}, є+ = sup {є : к(є) < »}, у. =1іш к'(є), у+ =1іш к'(є),

е*с- Р, С C<J, с*е*

В роботі^отримані теореми про великі відхилення в випадках, коли умова Я виконується з є. = -оо і е+ = оо. В роботі Дж. Штайнебаха при доведенні теорем про великі відхилення, допускається, що функція к(є) строго опукла. В роботі І.Г.Кохса і Д. Гріффітса при доведенні теорем теореми про великі відхилення, допускається, що функція к(є) строго овпукла і двічі безперервно диференційовна. В роботі Г. JI. Сіверса при доведенні редельных теорем про великі відхилення на функцію к(є) накладаваються більш суворі обмеження.

В § 2 доводяться граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності А, ,при виконанні умові Н для всіх можливих значень е: а) є. < 0 , &+ >1; Ь) б. = 0, є+ >1; с) е. < 0 , є+ =1; d) є. =0, є+ =1.

При цьому теореми одержані як відносно міри Ґ , так відносно міри Р'. Нехай

Уо = к'(0), уі = к'(1), де уо позначено тількі у випадку є. < 0, а уі - тільки при є+> 1

ТЕОРЕМА 2.1. Нехай виконується умова Н з г.< 0. Тоді справедливі наступні твердження:

a) коли уо < у+, то для будь - якого у є (уо, у+) lim\|/lnP'(v|/^'A, > у) =

Г-* ш

= lim7і lnP'(y'’A, £ у) = -/(у) €(—оо, 0); ^

/-»ео

b) коли у. < уо, то для будь -якого у є (у., уо)

lim vj/Г1 < у) =

Г-»оо

= limv)/;1lnP'(4/;1A, <у) = -/(у)є(-оо, 0), (2)

(-+«0

де ■ ^-перетворення Лежандра - Фенхеля функції к(є).

В теоремі 2.2 показано, що при виконанні умови Н с є. = 0, для всіх у є (у., у+) правильне твердження (1), де - / (у) є (- со, к(0+)). Доведенно (теорема 2.3), що у випадку правільності умові Н с е. < 0, тає+=1 для всіх У є (їо, у+) має місце рівність (1), а для всіх у є (у., у+)

lim V> Р'(у;'А,<у) =

= lim vy"1 In Р'( vj/^A, £ у) = -/(у) + У є (-оо,к’(1—)).

Як вісновок із теорем 2.2 та 2.3 одержані теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності А, при гіпотезе //' у випадку коли правильна умова Я є. =0 та е+ = 1 (висновок 2.4). Крім того, у § 2 одержані граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності при гіпотезе Н' (висновок 2.2 та 2.3) ’

У третьому параграфі наведені теореми, які всгановлюют взаємозв’язок між швидкостями спадання ймовірності помилки першого роду а, та ймовірності помилки другого роду р/ критерія Неймана - Пірсона 6, у випадку, коли виконується умова Я. Основні результати цього параграфу сформульовані в теоремах 3.1 та 3.2.

ТЕОРЕМА 3.1. Нехай виконується умова Н з є. < 0, е+ > 1 та у0 < yt. Тоді правильні наступні твердження:

a) для будь - якого а є (0, к'(1))

limy'1 In а = -а оіітц/'1 In Р = -Ь(а), (3)

І—»оо /—»сс

де Ь(а) = а - у(а) є (0, -к'(0)), а у (а) - єдиний розв’язок рівнення /(у) = а в області у є (уо, Уі).

b) для будь - якого а є [к'(1), °о]

ІіпщГ1 Іпа, = -а => ІітшТ1 ІпР =0, (4)

І “400 4 '

а для будь - якого Ь є [-к'(О), оо]

limvyr1 lnp, г-б^ІітшГ1 Іпа. =0,

t-*<o t~*«

c) правильні імплікації: .

limy^lna, =0=>limsupvj/;'lnP( £-/(у„) + у0

та

limvj/^lnP, =0=>1іш supy~‘lna, ^~ДУі).

В роботі JI. Бірже імплікація => в твердженні а) була доведена для незалежних однаково розподіленнях випадкових величин, в роботі Е.А. Арутюняна - для ланцюгів Маркова, в роботі Ю.М. Лінькова - для лічильних процесів.

ТЕОРЕМА 3.2. Нехай виконується умова Н з є. = 0 , є+ > 1 та у.< уі < у-ь Тоді правильні наступні твердження:

a) для будь - якого а є (-к(0), к'(1)) має місце співведношення (3), де Ь(а) = а - у (а) є (0,'к'(0+) - к(0+)), а у (а) - єдиний розв ’язок рівнення /(у) = а в области У є (У-, Уі);

b) для будь-якого а є [к'(1), к], мас місце співведношення (4);

c) якщо к(0) = к(0+), то для будь - якого а є [0, -к(0)]

Іітц/'1 Іпа, = -а => lim sup ІпР, 5 к'(0+) + к(0),

а якщо а, < а, для всіх I, то для будь - якого b є [- к'(0+) - к(0), оо] limy*1 In р = -b => limy"1 )па, = к(0).

»СО f—ЮО

Аналогічні результата одержані у випадку виконання умови И с є. < 0 , е+ = 1, у. < Уо < у+. (теорема 3.3) і с є. =0, є+ = 1 (теорема 3.4)

У § 4 параграфі роботы розглядаются спостереження с,(п) = (£і, п > 1 процесу нормальної авторегресії вигляду

J-i-WjM+w,, і = 1,2,..., (5)

де = 0, 0 є R.' • невідомий параметр, н», - незалежні стандартні гауссові величини. Розглядаєтся задача перевірки двох простих гіпотез Н" і Я", які полягають у тому, що розподіл спостереження задається мірою РЦ і Р£ відповідно, де 0 і 0 - фіксовані точки із R1 і 0 * 0. У роботі розглянуто лише випадок |0 І < 1 і 0*0, тобто, коли процес авторегресії (5) є ергодичним процесом при гіпотезе Н”. Отримано вигляд величин e.(,,) і є+(п), де є(.я) = inf {є : Я„(є) < оо}, Е^л) = sup (є : Я„(є) < оо} (лемми 4.5, 4.7). Нехай с = є(0: -02) + Єг +1, d = -є(0-0)-0. В теоремі 4.1 для всіх є є (-со, оо) доводиться існування границі

lim ^-1п #„(є) = к(є), (6)

де

, . 1. с(є) + ^с1(є)-4£/3(е)

к(Е)--тіп-------------5----------

для всіх є є (є., є+) у випадку 1-00 =0, для всіх є є [є., є+] у випадку

1 — 00 ^ Оі |0 | < 1, для всіх є є [є., є+) у випадку 1 - 00 ^ Оі 10 | > 1, для всіх є = є+ у випадку 10 | > 1, к(є) = 0 та к(є) = оо для всіх останніх значень є, а величини е. і є+ при 0 > 0 мают вигляд

є. = є, 1(1-00 >0) + є21(1 -00 <0),

Б+ = Є2 І( 0 < 1) +1(0 £ 1), а при 0 < 0

є. = є21(1-00 >0) + є, 1(1 -00 <0),

Є+ = Єї 1(0 >-1)+І(0 5 -1).

Використовуючи теореми із параграфа 2, отримани теореми про великі відхилення у задачі розрізнення процесу нормальної авторегресії як при гіпотезі ІГ (теорема4.2 ), так і при гипотезіЯ" (теорема 4.3).

У § 5 застосовуються результати § 3 для дослідження поведінки швидкостей спадання ймовірності помілок 1- го та 2 -го роду критерію Неймана - Пірсона у задачі розрізнення процесу нормальної авторегресії. (теореми 5.1 і 5.2). Для обчислення функції Ь(а) потрібно знайти розв’язок рівнення /(у) = а У свою чергу, для визначення вигляду функції /(у) необхідно знайти розв’язок рівнення к'(є) = у в області е є (є., є+). Так як функція к(є), що визначається рівністю (5) є строго опуклою і диференційованою для всіх є є (є., є+), то такий розв’язок існує і єдиний. Однак у загальному випадку не вдається знайти явний вигляд розв’язку рівнення к'(є) = у. Це можна зробити лише для деяких значень параметрів 0 і 0 . У § 5 пропонується метод обчислення функції Ь(а) без обчислення розв’язків рівнень к'(є) = у і /(у) = а. Нехай

Доказано (теорема 5.4), що для будь

(8 + Є)(1 - ЄЄ) - (-1)'у/4(1 - 9Є)г + г3 ((8 + Є)2 - 4) (Є +9): -4 георема 5.4), що для будь - якого а є (0, Д|)

, / = 1, 2.

Дьі(а)=і(а; 9 ,Є) і

І (а < а < о,) + 2/(0 <а<а),

1(0<а<а) + 21 (а <а<а{),

єдиний

розв’язок рівнення /і(а)(г) = а.

При цьому виписано вигляд виличин а і у, а для кожного значення

шпараметрів 0, 0 зазначена область значень г для визначення розв’язку рівнення= а (зауваження 5.4).

У § 6 розглядається задача перевірки простої гіпотези Я0 про односторонньої гіпотези Н\ і двосторонньої гіпотези Н2.

Нехай (А*, В Р1 о, б є 0) - сім’я статистичних експеримент

породжуваних спостереженнями Е,'. При цьому залежит від невыдомс параметру 0, де 0 є 0 і © - открытое множество із (-«>, оо). Нехай Ґо - розпо; спостереження коли невідомий параметр дорівнює 0

А,(у,в) = 1п {сІР'у / сІРц). Для всіх 0, у є 0 і / > 0 передбачається, що Р'е і Ру взаємно абсолютно неперервними. Крім того, передбачається, що Н$\ 0 = бо, 0о є 0,

Я,: 0 є 0| = {0 є ©, 0>0О},

Нг: 0є02 = {0є0, 0*0О}.

Вводяться умови

I. При І -> со у випадку Д, —>0 для будь-якого к > 0 має міс розкладання

Л, (0о + М,, 0О) = ки, (г), + я,) + 2'1 и} к2 (р,+1), де и, = Ф~'Д, - невипадкова функція така, що ср, > 0 і ер, -> 0, при / -> оо,

Р'С- Іігп (|д,І + |р,|) = 0.

и Г-хм

( Тут А (г), \ Р^) - закон розподілу ц, відносно міри , => - значить слаб збіжність законів, а Р’ч ~ Ійп - є збіжність за мірою Р0'о при /-»°о).

II. для всіх с і є Д1

с2

Ііш и21п Еі Є*™' =

/-» 1 2 ’

де £е - математичне сподівання за мірою Ре

III. для всіх Сі, с3 є Д1

Ііш м:21п £' =0;

' 0" ’

Ііш и 21п Я' еСі"'Ір' =0.

Нехай Я,(е) = Я,(є;Ро'о<.ІЛі,Р0'о) - інтеграл Хеллінгера порядку є для м

< + /сд, і ^е, Показано (теорема 6.3 ), що при виконанні умов І-Ш, , м -> ОО для всіх Є Є (-00, ад) існує границя

де К|(е) = -2''А2є(1-е).

Це дозволяє отримати граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності А, (0о + кА,, 0О) ( теорема 6.4) і для статистики т|, із умови 1 (теорема 6.2).

Потім у § 6 розглядається критерій

де X, є [0, 1], сі, є [-«з, со] - параметри критерію. Для перевірки гипотези Н0 проти односторонньої альтернативи Н\ розглядається локально асимптотично найбільш потужний критерій 5;=і(п,>с(),

де т], - статистика із умови І, а с, - параметр критерію задовольняє умови

а<(5;) = а,.

Для перевірки гипотези Но проти двосторонньої альтернативи Н2 розглядається локально асимптотично найбільш потужний незсуиений критерій (ЛАНМН)

де г), - статистика із умови І, а с, - параметр критерію задовольняє умови а,( 5,) = а,. Доведені наступні твердження (теореми 6.5 і 6.6) о поведінки функції потужночті Р,(0;8,) = іГдб, дая критерію 5*, 5, і 8* .

У § 7 наведені приклади, що ілюструють застосування теорем із попередніх параграфів.

Основні положення дисертації опубліковані в роботах:

1. Медведева М. И. Теоремы о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия в задаче проверки двух гипотез // ИПММ АН Украины, 1994. - 25 с. - Деп. в ГНТБ Украины 13. 02.1995, № 303 - Ук 95.

5,=1(Ы>сД

Нехай виконуються умови І - III, в яких | и, | -> оо, і Ііш и]г Іпа, = -а,

2Линьков Ю.Н., Медведева М.И. Теоремы о больших уклонениях д логарифма отношения правдоподобия в задаче различения случайных процессов Всероссийская школа - коллоквиум по стохастическим методам геометрии анализа. ( Абрау - Дюрсо 25 августа - 2 октября 1994 г.). - Тез. докл. - М.: ТВ

1994.-с. 69-70.

ЪЛшьков Ю.Н., Медведева М.И. Теоремы о больших уклонениях в зада проверки двух простых гипотез// Укр. мат. журн. - 1995,- 47, № 2. - С. 227 - 235.

А Линьков Ю.Н., Медведева М.И. Теоремы о больших уклонениях в зада различения процессов нормальной авторегрессии // Теория случ. процессов.

1995.-1(17), №].. С.71-81.

5Линьков Ю.Н., Медведева М.И. Об одном методе вычисления скорое убывания вероятностей ошибок критерия Неймана - Пирсона при различен) процессов авторегрессии // Теория случ. процессов. - 1995.- 1(17), № 1. - С. 6( 70.

6Ліньков Ю.М. Медведева MJ. Граничні теореми про великі відхилення д логарифму відношення правдоподібності // Теорія ймовірностей та математич; статистика. - 1995. - Вип. 53. - С. 87 - 96.

7Линьков Ю.Н., Медведева М.И. Теоремы о больших уклонениях в зада проверки сложных гипотез // ИПММ АН Украины, 1996. - 14 с. - Деп. в ГТЛ Украины 19.01.96, № 326 - Ук 96.

8Линьков Ю.Н., Медведева М.И. Большие уклонения в задаче различен: процессов авторегрессии // Вторая Всероссийская школа - коллоквиум і стохастическим методам. (Йошкар - Ола 18 - 23 декабря 1995 г.). - Тез. докл. - К ТВП, 1995. - с. 89-90.

АННОТАЦИЯ.

Теоремы о больших уклонениях в задаче проверки статистических гипок Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук по специальности 01. 01. 05. - Теория вероятностей математическая статистика. Институт прикладной математики и механики НА Украины. Донецк, 1997.

Диссертация посвящена теоремам о больших уклонениях для логарифі отношения правдоподобия для семейств общих статистических экспериментов их применению к исследованию асимптотического поведения вероятности ошибі критерия Неймана - Пирсона в случае проверки простых гипотез асимптотического поведения функции мощности асимптотически локалы наиболее мощных критериев в задаче проверки простой гипотезы против сложні альтернативы. Полученные результаты для общей схемы статастачесю экспериментов применяются к процессу нормальной авторегрессии.

ABSTRACT

Medvedeva M.I. Large deviation theorems in statistical hypotheses testii problems. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph. D.)in Physics ai

Mathematics, specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematics Statistics. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine. Donetsk, 1997.

The thesis are devoted to large deviation theorems for the logarithm of likelihood ratio for the families of statistical experiments and their application to investigate an asymptotical! behaviour of probabilities of the errors for Neyman -Pearson test in case of simple hypotheses and asymptotically behaviour of power function for locally asymptoticall most powerful test in problem of testing the simple hypotheses against composite hypotheses. The results are appliced to normal autoregressive processes.

Ключові слова: теореми про великі відхилення, відношення

правдоподібності, критерій Неймана - Пірсона, процес авторегресії.