Аппроксимация распределения сумм функций равномерных спейсингов нормальным распределением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи УДК 519.24

КАЛАНДАРОВ УТКИР НАМОЗОВИЧ

АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММ ФУНКЦИЙ РАВНОМЕРНЫХ СПЕЙСИНГОВ НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Ташкент -2000

Работа выполнена в институте математики им. В.И. Романовского АН Республики Узбекистан и на кафедре теории вероятностей и статистики Ташкентского электротехнического института связи.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ш.А.Мирахмедов

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор М.У. Гафуров,

Кандидат физико-математических наук, доцент О. Шарипов.

Ведущая организация - Ташкентский Государственный

Экономический Университет.

Зашита диссертации состоится « / « /l-ff&X'/.Sl_2000 г.

В ^ часов на заседании специализированного совета Д .015.17.01 в институте математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу : 700143, Ташкент, ул. Ф.Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математики им. В.И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « 2000 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, Доктор физ,- мат. наук

Ж.О. ТАХИРОВ

ВИЛ. S 03

вш.уаз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕМЫ.

Актуальность темы. Асимптотический анализ распределения сумм |учайных величии является одним из центральных задач теории :роятностей. Это объясняется тем , что многие случайные величины, ;пользуемые в приложениях представимы в виде сумм случайных :личин. В частности , некоторые классы статистик , используемые для ютроения критериев проверки статистических гипотез являются 'ммами функций от тех или иных характеристик выборки. В этих |учаях, как правило, слагаемые Fie являются независимыми случайными ¡личинами и не входят в класс так называемых слабо зависимых [учайных величин, которые к настоящему времени достаточно хорошо Iучены. Важным классом таких сумм являются суммы функций от 1ейсингов (т.е. разностей соседннх членов вариационного ряда 1блюдемий), исследованию асимптотического поведения распределения >торых посвящены работы ряда специалистов В.Диксон,Н. Гринвул, Дарлинг,Б.Кимбал ,Jle Кам, Р.Пайк, Р .Рао,Л.Холст , П. Янсен, М. гревербик , Д.М.Чибисов и др..

Статистики представимые в виде сумм функций от спейсингов ¡пользуются, в частности, для построения критериев проверки гипотезы неизвестном распределении. Следует отметить, что при проверке тотезы о неизвестном распределении без ограничения общности эжно предположить, что основная проверяемая гипотеза предполагает тномерность (0,]) неизвестного распределения. Кроме того, в ряде дач исследование распределения статистик от произвольных [ейсингов сводится к рассмотрению соответствующих статистик от тномерных спейсингов. Случайные величины являющиеся суммами от шномерных спейсингов применяются также в задачах о покрытии .

з

г

Обзору результатов и методов асимптотического анали: распределения статистик, предетавимых в виде сумм функций с спейсингов ( в том числе от равномерных спейсингов) посвящен работы Р.Пайка и П.Дехвелиса. Как следует из этих обзоров последующих публикаций имеющиеся результаты по предельны! теоремам для сумм функций от равномерных спейсингов либо относите к специальным случаям либо носят незаконченный характер. Например оптимальное условие асимптотической нормальности получено в 199 году в работе Ж. Бирлант , П.Янсен и М.Веревербик только дл симметрических статистик, т.е. когда рассматриваются сумма одних I тех же функций от равномерных спейсингов (см. ниже точно* определение симметрических статистик ), оценка остаточного члена 1 центральной предельной теореме имеет вид 0( л"1'2),где п объел выборки, вероятности больших уклонений оказались неизученными хотя необходимость в них несомненна в связи, например, с необходимостью анализа асимптотических относительных свойсте соответствующих статистических критериев.

Таким образом , для сумм произвольных измеримых функций от равномерных спейсингов являлось актуальным

• выявление оптимальных условий асимптотической нормальности,

• получение оценки и асимптотического разложения остаточного члена

в центральной предельной теореме,

• исследование вероятностей больших уклонений.

Цель работы. Исследовать выше перечисленные нерешенные задачи. В частности получить не улучшаемые оценки остаточного члена в центральной предельной теореме и исследовать вероятности больших уклонений в различных зонах.

Методика исследования. Используется различные вероятностные ^

методы и методы анализа. В частности, методы характеристических функций, урезания, сопряженных случайных величин, метод перевала.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Наиболее существенными результатами являются

• оптимальное условие типа условия Линдеберга асимптотической нормальности ,

• не улучшаемые, с точностью до абсолютного постоянного, оценки остаточного члена в центральной предельной теореме,

• теоремы о вероятностях больших уклонений в зоне нормальной сходимости и в зоне Крамера - Петрова.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в различных задачах математической статистики , в задачах о покрытии и др..

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях по теории вероятностей и математической статистике посвященной 75- летию ( г. Фергана , 1995 г.) и 80- леткю 'г.Ташкент,2000 г.) академика С.Х. Сираждинова, 5 международной сонференцин « Компьютерный анализ данных и моделирование» , г. *Линск, 1998 г., 22 -ой Европейской конференции статистиков и 7 -ой Зильнюской конференции по теории вероятностен и математической ггатистике ,г.Вильнюс, 1998 г. На семинарах по теории вероятностен и математической статистике в Национальном Университете Узбекистана I в.Институте Математики АН Р Уз.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в >аботах [ 1 - 6 ].

г

Структура и объем работы. Диссертаця состоит из введения и пят параграфов. Список литературы содержит 44 наименования. Объе диссертации 83 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении дается постановка задачи, обосновывается актуальное темы диссертации, приводится краткая историческая справка а известных результатов других * авторов , а так же обзор результате полученных в диссертации.

Первый параграф посвящен вспомогательным результата необходимым при доказательстве основных утверждений, некоторые и них являются следствиями известных результатов, а другие доказаны этом параграфе и представляют самостоятельный интерес . В частности доказана следующая лемма.

Пусть (£ 1» т) i), (£ 2, Л 2) . • • ■ - последовательность независимы двумерных с. век.,

Т„ = £,+ ...+£„ , Sn = iii+...+п.. ■

Предположим

ETn=ESn=0, D Т „ = D S „ = 1 , Cov (Т„ , S„) = 0 . Пусть е > 0 . Обозначим Ь„и1,(е)=ЕК„,1{)5ш1<;е}|\ L,„(E)= £ Llu[„(e),

m

E[^ml{Umi>e}]2.,L2„C£)=2: JWe)

■Tin m (e) =E I t]Ш1 (I tj „, 1 ^ e}f3, Ji.(e)=2 J,„„(e).

m

J2nm(e)=L E [Лш1{Цт1>&1]2 ,br.(e)=X hvnfe)

m я

S ,„(£) = 0,25min (L,„- " 3(e), L2 „ - "2(e),i~[n2„(e)), 5 2 „ (e) = 0,25 min (J, „- " J (e), J 2 „" "2 (e), L2 „ - "2 (e)),

ifm»0,т) = E exp{rt^m + /тг^. ! (t,T)= f] ц/тап(t,t).

Лемма1.2. . Для всех n = l,2, ... и е > 0 таких, что min (Lin(s),L2n(e),Jin m (e),J 2 n(E)) <1/8 имеют место соотношения: 1) если 111 < 8 i„(s) ,| r | S 5га(е) , то для j = 0,1

IDJWt.T) - exp{-(t2 + t2)/2})|< C,(t2 + t 2 )j[(|t|3Lln(B) + | TI 5 J ,„(e) + (t2 +т2 ) (Цп(е) + J 2r,(e) )] exp{- (t2 +x2 )/2},

2) если 111 < 0,02 Li „-1 (e), | t | 2 0,02 J i„ ~ 1 (s) , то для j = 0 , 1 | Г>,j 4' n (t,T) | < C2 (111 + 11 | ) j exp {-0,004(t2 +x2 ) J.

Во втором параграфе вводится объект исследования, получаются условия асимптотической нормальности и оценка остаточного члена в центральной предельной теореме для изучаемой статистики.

Пусть UbUj,..., -последовательность независимых равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных величин (с вел.), и пусть 0 = U(i„< U|.„ <...< U„_in i U„,n= 1 вариационный рядс.вел. U|, Un.\ .

По определению вектором равномерных спейсингов называется случайный вектор (с.век.) D = где D,,n = Цд - U ¡-¡л , i

= 1,2,...,n; n=I,2,..., Далее , пусть /„, (у) =/„, „ ( у ), m = 1,2,.,.,n -совокупность измеримых функций неотрицательного аргумента у.

Рассматриваются следующие статистики от вектора спейсингов

Л.(0>=1/.(»0..> , п= 1,2,....

ml

Статистика R„(D) называется симметрической ,если f i (х) = f г (х) = ...= fa(x) = f (X).

Заметим, что в наших рассмотрениях функции f (х) могут быть случайными .В этом случае предполагаем, что при каждом заданном х

последовательность i i (xj , i > w> • ••> ' n (XJ явлиси-л последовательностью независимых с.вел., независящих от векторов D.

Пусть 1{А} индикатор события А , Yi.Y? ,... - последовательность независимых экспоненциально распределенных с параметром единица , Sn= Y,+... +Y„, Y, =Y, , Y = (Y,.....У,), S„ = S„

К (У) = L/my,„) , р = korr (R n(Y),S „),

т

- £/„ Ю.) - (>;, -1 )P4DR„(Y)I» , =

А „ = E R„(Y)

<т „2 = DT n (Y) = (1 -p2) DR n (Y) , ß j „ - -L£%„(>;„)," P„(x) = P{ R,,(D)< x 0 „ + А „}, Ф(х) =— fexp

V In *., 2

Из определения с „*" следует, что а „" = 0 тогда и только тогда, когда fm(y)=Cу + b ,„, ш=1,2,...,н , где С и b ,„ постоянные, С независитот ш . Мы будем предполагать, что о „" > 0 при всех п .

Теорема 2.1. Если соблюдено условие Линдеберга: при п -» от , для любого е > О

lim -i-S Е I I { Ы^ Л ä «Г„ } J 2—> о,

то статистика R„(D) асимптотически нормальна с параметрами А „, сг п2. Теорема 2.1 обобщает результат Ж. Бирлант , П.Янсен и М.Веревербик , на необязательно симметрические статистики.

Теорема 2.3. Существует постоянная С такая ,что для любого Se(0,IJ и п>2 имеет место неравенство

Д.= sup | Р„(х) - Ф(х) | < С р 2+а, „.

s

Оценка, данная теоремой 2.3 , является не улучшаемой с точностью до абсолютной постоянной С. Из нее, в частности, вытекает Следствие 2.1. Если при некотором 8е(0,1]

Ит—ст^ >0, ii^iy E\g„{YmT* <°° . >>

то Д„=0(п-8х2).

При 3=1 следствие 2.1 есть результат работы Р .Ж.М.М. Доша и С.А.Ж. Клаассена.

В третьем параграфе получено асимптотическое разложение распределения Р„ (х) типа асимптотического разложения Эджворта. Такое разложение получили Р .Ж . М . М . Доша и Р. Хелмерс для симметрических статистик типа Kn(D) , причем в этой работе, получен первый член асимптотического разложения после нормального распределения. В § 3 получено асимптотическое разложение произвольной «длины» для необязательно симметрических статистик. Обозначим

К = {(t,T): |t| <; С , (а „ Р .,„)-', | т | > С2 ) и ((Г,т):С, (а „ 3 э п)-1 < 14 <С I (а„р.„,)Лтб(-сп,+оо)) , М»= inf ]Г(1-| I2)-

Теорема 3.1. Если Е J g,„( Yra) |s <«з, m = l,...,n , при некотором s>3 то для n > 4 существует C(s) такое , что

^ sn = sup) P„(x)- Ф(х) - Wsn (x) | < C(s) ( P s. „ + n expf- 0,5 M „}), *

•де W, „ (x) = g ' у w _ s> 3, W3 n (x) =0,

V2.T J=0 n1'

/j n (x) полиномы относительно x степени 3j — 1 с коэффициентами ависящими от моментов с.вел. gm (Ym) и Ут ,m=l,...,n, до j+2 го юрядка, j =1,2,....

Из доказательства теоремы следует правило, следуя которому молено получить явный вид полиномов V, л (х) .В частности,

V „ (х)= Ц ——- ^ Ее3„ (Ут )Г„]

6 2'

т

Четвертый и пятый параграфы диссертации посвяшены изучению вероятностей больших уклонений для статистики /?„(£>), т.е. изучается асимптотическое поведение Р„(х) , когда х = х „ -> да , при п -> оо .Отметим , что ранее другим авторами вероятности больших уклонений не изучались.

В § 4 рассматриваются вероятности уклонений в зоне нормальной сходимости. По определению зона изменения х называется зоной нормальной сходимости, если

гт12&<£) = , , = (1)

п->х1-ф(.х) п-уж <Ф(-х)

Отмстим, что из результатов § 2 при соответствующих условиях вытекает справедливость соотношений (1 ) для х = о (•/¡гй/ ). Задачей этого параграфа является установление условий , при которых имеют место (!) для возможно более широкой зоны изменения х . Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 4.1 . Пусть

(2)

и при некотором 5 > 0 ,

"т

Тогда, равномерно по всем х таким, что 0 < к < у!8\пп имеют местс соотношения (1 ). Положим Хт~ Е ехр{Н ^тСУ,п)|}.

ю

Теорема 4.2 . Пусть соблюдено условие (2) и при некотором Н > U &„= о(п 2/3), для всех m~l,2,...,n .

г

'™-2>. <Q0

Гогда , если х>0их=о( п1/6), то имеют место соотношения ( 1 ).

Одним из основных результатов диссертации является результат § 5, в »торой получен следующий аналог теоремы Крамера - Петрова для ггатистики НП(1У), учитывающая уклонения при которых соотношения I ) нарушаются.

Теорема 5.1. Пусть соблюдено условие ( 2 ) и при некотором Н>0 и юстаточно больших п

Еехр,' Н|«т(У,„)|) <Сп, 1ля всех т=1,2,!..,п . Тогда ,если х > 0 и х = о ( п"2), то

I -Р„(х) = (1 - Ф(х))ехр{^„(^))( 1 + 0(

v» v»

Р,,(-х) = Ф ( - X ) exp{--^Lw,(——)} ( 1 + 0( —)),

v/' v" -j"

где М„( u ) = т 0п + т i„ и + ... - специальный степенной ряд ,который ум всех достаточно больших п мажорируется степенным рядом, годящимся в некотором круге с коэффициентами , не зависящими от п . (оэффициенты rrtjn выражаются через смешанные моменты q¡¡m = Е gm' Tm)(Ym - 1У ,m=I ,2,.. ,,n . В частности, положив

> í.'-Sí,,

Ui

fMeeM

Автор выражает глубокую благодарность своему научном; руководителю доктору физико-математических наук, профессор; Мирахмедову Шерзоду Адьгловичу за постановку задачи, поддержку » внимание к работе.

V_/WlUOIlVJ^ l йЦПП Kill J V. in Г\ V.I HI/1W D WIWAJiUi

работах:

. Каландаров У.Н., Асимптотическое разложение для сумм функций от равномерных спейсинтов. Тезисы научной конференции в честь 75-летия ТашГУ ,«6ш физик ва математиклар», Ташкент, 1995г., стр 129

!. Каландаров У.Н., Мирахмедов Ш.А., Асимптотический анализ распределения разделимых статистик от равномерных спейсингов. Тезисы конференции, посвященной 75-летию академика С.Х.Сираждинопа, г.Фергана, 27.09-29.09.1995 г., стр 51-52.

Kalandarov U.N ,Miraklimedov S.A., The non uniform bounds of remainder temy in CLT for the sum of functions of unifonn spacings. Turkish Journal of Mathematics , v.22, number 1,1998, p.53-60.

. Kalandarov U.N.,Mirakhmedov Sh.A., Normal approximation of a sum of functions of uniform spasings. 7-th Vilnius Conference on Probability theory and Mathematical Statistics, Abstracts, Vilnius, augst 12-18,1998, p330-331

. Каландаров У.Н. Об асимптотическом разложении для сумм функций от равномерных спейсингов. Узб. матем. журнал.,1998 г.,№ 5, стр.28-34.

. Каландаров У.Н.,Мирахмедов Ш.А., Асимптотический анализ распределения сумм функций от равномерных спейсингов. Труды V международной конференции «Компьютерный анализ данных и моделирование»., Минск, 8-12 июля, 1998 г.,часть 4 К-Я,с.66-69.

. Каландаров У.Н., Якубова У.Щ., Об асимптотическом разложении для разделимых статистик от вектора спейсингов. Тезисы конференции, посвященной 80- летию академика С.Х.Сираждинова., Ташкент, 2000 г., стр 30-31

ТЕКИС СПЕЙСИНГЛАР ФУЩСЦИЯЛАРИ ЙИГИНДИСИНИНГ ТАКСИ МОТИНИ НОРМАЛ ТАКСИМОТ ОРКАЛИ АППРОКСИМАЦИЯЛАШ.

Каландаров У.Н.

Бизга (0,1) ораликда текис таксимланган и^иг,..., тасодиф! микдорлар берилган булиб 0 = <и]>п<...<ип-1-„< = 1 эса I. 1^2,..., ип - I тасодифий микдорлар оркали тузилган вариацион кат< булсин. Текис спейсинглар вектори деб Э = (01п,...,0пп) тасодиф! векторга айтилади, бу ерда = Ц.п - и ¡-( л, • =1.2,...,п; п=1,2,....

Диссертацияда текис спейсинглар векторидан олинган куйида! куринишдаги статистикалар синфи курилади:

= ,ч=1,2,...., (1)

т>

бу ерда /т (у) =/„, „ ( у ), т = 1„2,...,п , манфий булмаган аргумент нинг улчовли функш!ялари мажмуаси,

Диссертаиилда (1) статистиканинг таксимоти асимптотик таи» этилди ва куйидаги масалалар ечилди:

• Н„ (О) статистиканинг асимптотик нормаллиги учун Линдеберг шарт каби шарт етарлилиги аникланди,

• Я„(0) статистика учун марказий лимит теоремадаги колдик хах юкоридан абсолют узгармас сон аниклигига кад;

' «яхшиланмайдиган» бахоланди,

• Л„(В) нинг таксимоти учун Эджворт асимптотик ёйилмаси каЕ асимптотик ёйштма тузилди,

• /?„ (£)) учун капа четланиш теоремалари исботланди.

и

NORMAL APPROXIMATION FOR THE DISTRIBUTION OF THE SUM OF UNIFORM SPACINGS

Kalandarov U.N.

Let U,,U2„.., be a sequence of independent random variables which are uniformly distributed on the interval ( 0,1) . For n=l,2,.... the ordered U|, U2,...,U„.| are denoted by 0 = U,»,^ U,U„_ ,,„ S U„,„= 1. The

vector of uniform spacings D = (D,,„.....D1V,) is defined by D,,u —

i =l,2,...,n;

We consider the class of statistics, which are defined as follows

= , n= 1,2,...., (I)

m-1

where /,„ (y) =Jm „( y ), m = 1,2, ...,n are the set of measurable functions of non negative argument y.

In that dissertation for the It„(D) following results are obtained :

• Lindeberg type condition for asymptotic normality,

• The estimations for the remainder term in the central limit theorem from which it follow the Betry-Esseen type bound,

• Edgwort type asymptotic expansion for distribution ,

• The probability of« moderate» and Cramer -Petrov type deviations .