Асимптотический анализ функций от спейсингов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И.РОМАНОВСКОГО АН РУ КОКАНДОШЙ ГОСПВДИНСТИТУГ имени ШИШ

ЭГ5 ОД

На правах рукописи

(

ЫАМАДАЛИЕВ Ботиржон Махмудович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОТ ШЕЙСИНГОВ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВ ТОРЕЗЕ РА Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1994

Работа выполнена в Институте математики имени В.И.Романовского Академии наук Республики Узбекистан и в Кокандском госпединстатуте имени Мукими.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук Ш.А.ХШМОВ

доктор физико-математических наук А.Б.ЫУХИН

кандидат физико-математических наук, доцент А.К.АШЮВ

Киевский Государственный университет.

Защита диссертации состоится " ^ " ■ 1994 г#

в /часов на заседании специализированного совета Д 015.17.21 в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент-143, ул.Ф.Ходкаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан 1994 года.

Ученый секрзтарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук (Л,,

Ш.А.ШШОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория порядковых статистик - большой и важный раздел современной математической статистики, имеющий дело со свойствами и применениями упорядоченных случайных величин и функций от них. Исследования по асимптотической теории экстремальных порядковых статистик, результаты по изучении рекордных моментов и рекордных величин и др. применялись для изучения транспортных потоков, характеризаций вероятностных распределений, проверки статистических гипотез, анализа и предсказания спортивных рекордов, использовались в теории надежности и т.д.

Внимание многих исследователей привлекает спейсинги-разности между членами вариационного ряда. Сумма функций от спейсингов интересует специалистов как с точки зрения предельных теорем для зависимых случайных величин, так и с точки зрения задач математической статистики. Обзор результатов, посвященных спей-сингам и опубликованных к 1964 г., дан вработе Р.Пайка. Предельные теоремы для сумм функций от спейсингов изучались в работах Г.И.Ивченко, Ш.А.Мирахмедова, В.Б.Невзорова, Н.Сгевз1е, 1).а.Т)яг-Ипй, Ь.НоапЦ Л.Л.Коа1о1, Х.Ье Саш, Р.Ргевсои, Н.Г^ке, а для решения задач теории оценивания и теории проверки статистических гипотез спейеинги применялись в работах Уэйсса, Сетураман и Рао, Пино, У.Гренандера, П.Холла, Щ.Хашиыова и др. В связи с этим представляется актуальным построение оценок при помощи спейсингов с растущим шагом для функционалов различного вида от законов распределений.

Цель работы. Основной целью работы являются построение при помощи спейсингов и исследование условий состоятельности и асимптотической нормальности оценок для довольно широкого класса функционалов от законов распределений случайных величин.

Метода исследования. В работе применяются современные аналитические и прямые вероятностные метода теории вероятностей. В частности, представление Реньи порядковых статистик через функцию взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, предельные теоремы для сумм зависимых случайных' величин и формула суммирования Эйлера-Ыаклорена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее существенные из них следующие:

- построена состоятельная и асимптотически нормальная оценка для функционала ^г»ГС*>, основанная на спейсингах с растущим шагом с ростом объема выборки;

- доказана сильная состоятельность оценок функционалов

J^ +1(х.)с1х и £ СэОС^ЭС. , основанных на сцей-сингах с растущим шагом;

- построена состоятельная и асимптотически нормальная оценка при помощи спейсингов с растущим шагом для ^ -функций;

- для неизвестной функции опасности отказа предложена асимптотически несмещенная, состоятельная и асимптотически нормальная оценка.

Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при исследовании других задач математической статистики, в задачах теории надежности и т.д.

Апробация работы. Основные результаты диссертации в разном объеме докладывались на: Международной научно-практической конференции "Проблемные вопросы механики и машиностроения" (г.Ташкент, май, 1993 г.), семинаре по теории вероятностей и математической статистике при Ташкентском Государственном уш-верситеге, а также на семинарах и ежегодных конференциях молодых ученых в Институте математики Академии наук Республики Узбекистан.

Публикация. Основные работы диссертации опубликованы в работах [1-43 •

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести параграфов, списка цитируемой литературы. На 94 страницах машинописного текста изложено основное содержание диссертации. Библиография содержит 47 наименований.

СОДЕШШИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор известных результатов по теме диссертации во взаимосвязи с направленном исследования настоящей диссертации.

Кратко сформулированы цель работы, метод исследования, результаты, которые выносятся на защиту.

Пусть ХаД*, "' >Хц. - независимые случайные величины (с.в.) с общей функцией распределения РС*0 и с плотностью распределения ~{(х) , X К >а Хии - соответствующий вариационный ряд.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Спейсингаыи с шагом К называются случайные величины

Я).

с __

В работе А.П.Серых, Ф.П.Гарасенко, Н.ГЛеркашна (0 непараметрических оценках плотности, использующих статистическую эквивалентность выборочных блоков // Математическая статистика и ее приложения. Томск. 1976. Вып.4. С.173-186), величины применялись для построения состоятельной оценки неизвестной плотности вероятности.

В различных задачах математической статистики находит применение класс статистик вида

где 1\ (х) - некоторая вещественноэначная измеримая функция, d п.к. ~ переменные, зависящие от И и ¡С .

Статистические оценку для некоторых характеристик распределений, основанные на "J* , по-видимому, впервые исследованы У.Гренандером ( Crenarider U, Some direct estimates of the mode // Arn.Math.Statist. 1965, v.Зб. P.131-138). Он при помощи (_ % с z X. jP> О построил состоятельную оценку для моды

распределения {Г(-х). Дальнейшие асимптотические свойства оценки У.Греналдера были изучены П.Холлом ( .Hall p. Limit theorems for estimators based on inverses of spacing of order statistics // Ann.Probab. 1982, v.10. Ho 4. P.992-1003). Естественный интерес представляет исследование свойств статистики jf^ с более общ'ей функцией U (х) • Так, П.Холлом (liall P. Limit theorems for buiiJi of general functions of m-Bpesinge // Math,Proa.Cutubrige Phil^Soc.

' 1984, v.96. P.5I7-532) при фиксированном £ была доказана асимптотическая нормальность величины Тн ■

При изучении статистик вида Tja естественным образом возникает задача об исследовании Тц в случае, когда шаг спейсинга

= —í» оо при Vv—» Do . Свойства суш спейсингов,

когда шаг спейсинга растет с ростом Я- , были рассмотрены Кресси ( Crasoie N. On the logoritliina of high - order spaoiiigs // Blometrika. 197C. V.C3. P.343-355). Некоторые статистические свойства, в том числе асимптотическая нормальность величины

, когда iс «=<а при , были изучены Ш.Шали-

мовым (Катимое Iii.А. Асимптотические свойства функций от спейсингов Ц Теория вероятностей и ее применения. 1989. Т.34. Вып.2. С.340-348). Аналогичный результат в последующем был получен и в работе Бертвана ( Bort van Ев. Kg timating functionals x-eluted to a density by a olacs of statistics baced on spacing // Stand J. Statist. 1992. V.19. F.61-72).

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию асимптотических свойств функций от спейсингов с растущим шагом.

Первый параграф диссертации содержит некоторые вспомогательные сведения, которые используются в дальнейшем.

Во втором параграфе доказаны вспомогательные леммы. Они связаны с поведением спейсингов на "хвостах" и в основной части суммирования.

В своих рассуждениях мы опираемся на следующее предположение относительно функции распределения Р(ус) .

Предположение: А) Существуют положительные постоянные ¿I и (Г+ такие, что

|эс| < С-С С*> ПРИ l^l ->*»<>.,

, если X > о

, если ЗС. < Ö оцениванию нелинейных функционалов

где

Третий параграф посвящен от законов распределений.

Введем статистику

где 1аУ(Х")- некоторая вещественноэначная измеримая функция, о $ ^ < 1 , р > о .

Первая теорема этого параграфа посвящена доказательству следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть плотность распределения 4-(х") строго положительная, имеющая непрерывную и ограниченную производную функция, имеет место условие А) и < 1 ;

К. —5> О ) П1К —>0 при И-»ее • Тогда, если и7(х) имеет непрерывную производную и

¿С.-Х* для Х.>0,

со 4

УС < со

о

1 (х)с(х

<С ТХЗ .

то по вероятности

ехэ ^

тп —^

ОС при И —£> ©о

• ехэ

Таким образом, теорема 3.1 указывает условия, при которых статистика 'р - состоятельная оценка для функционала

~ .р+д

. со

Вторая теорема <теорема 3.2) устанавливает асимптотическую нормальность величины Ту\. . Как следует из утверждения теоремы 3.2, статистика Т^ не является >/и" - состоятельной оценкой, так как она имеет "плохое" смещение. Вводится другая статистиаа

которая будет \/й* - состоятельной (теорема 3.3) и асимптотически нормальной (теорема 3.4) оценкой для функционала

- 1X3

В четвертом параграфе изучаются асимптотические свойства статистик

•И-К -р

г- 1

z = i у J

где о < J <: i f р >о .

П.Холлом ( Па31 P. Asymptotic theory of Grenaruler" s mode entimator // Z.Vahi-ccheinlichksitGteor.verw.Geb. 1902. V. * 60. P.3I5-334) была доказана состоятельность оценок и при к = k- (*») у Р - Р (v>) С>о при И —5» ехэ ,

В этом параграфе первые две теоремы утверждают, что статистат-и являются сильно состоятелышш опенками функцио-

налов а = $ и ё- S^i^Cxdx ;

ч > О ^ —

соответственно, при К - к /V,)—i>oo • Например, теорема 4.2 утверждает следующее.

ГЕОРЕМА 4.2. Пусть плотность распределения равномерно непрерывная функция. Тогда, если К. ■ (*■, п—^ G } у*_^ о при и-»оо , то почти наверное

а.. ct

Далее, доказана (теорема 4.4) асимптотическая нормальность отношения , которая является состоятельной оценкой моды распределения :) .

В пятом параграфе предложена статистическая оценка, основанная на спейсингах, для так называемых - функций и изучены её асимптотические свойст|а.

Обозначим через р (и) функцию, обратную ,

точнее

Р(и)=1й/|х;

Тогда ^ - функцией, соответствующей плотности -£(х) = • называется функция, определяемая следующим

образом (см.Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука. 1971. 375 с.)

¡(F'U

о <ч <i

^f - функции и связанные с ними функции меток играют важную 1 роль в теории ранговых критериев л в теории робастных статистик.

В работе Черге М., Ревис Р. ( Cnorgo П., Revesz Г. On the пес1 rott neighbour approach to density estimation // Corleton Math."Lecture note. 36. 1902. P.52) построена статистическая оценка для функции основанная на спейсингах. Они показа-

ли сильную состоятельность, с оценкой скорости сходимости, предложенной ими статистики.

Обозначим через некоторую плотность вероятностей,

имеющую ограниченную вторую производную и обладающую свойствами

¿L. \X\JZ(x)*o , S«pO¿í.|lC,(3c;|<<x» (I)

Рассмотрим статистику

/

где )С(х) - производная в точке зс функции fc (x-J,

{tU} ~ некоторая положительная последовательность чисел, стремящаяся к нулю при и. —ос .

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть выполнены условия (I) и плотность вероятностей -^(-х) строго положительна на всей прямой и имеет непрерывную, ограниченную вторую производную. Тогда, если fc -Рух И. —*■ о ( и (С Y*/С. —;> о > то при и —»©о

по вероятности 4

—> , ° <эс < 1

При некоторых дополнительных ограничениях статистика J^fa) будет (теорема 5.2) асимптотически нормальной оценкой функции ^(ос) . Из доказательства теоремы 5.2 следует, что статистика имеет "плохое" смещение, т.е. убывание

смещения оценки к нулю будет порядка ^/fc . Предлагается видоизмененная статистика , которая имеет смещение, убывающее к нулю как при к —& tx> . Доказывается, что статистика СГИявляется состоятельной оценкой (теорема 5.3) функции (х) в точке Эс . Кроме того, она распределена асимптотически нормально (теорема 5.4).

В шестом параграфе предложена одна оценка для функции опасности отказа 7. (ос) 1 ~ F (х)) > построенная при

помощи порядковых статистик. Доказано, что построенная оценка, будет асимптотически несмещенной (теорема 6.1), состоятельной (теорема 6.2) и асимптотически нормальной (теорема 6.3).

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических тук Ж.А.Хашнмо-ву за поддержку и помощь при работе над диссертэ.ш'.ей.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих: работах:

1. Мамадалиев Б.М. Некоторые свойства статистик, связанных со спейсингами // Рук.депонир. в ВИНИТИ 06.06.91, № 2387-B9I, 39 с.

2. Хашимов Ш.А., Мамадалиев Б.М. Об оценивании нелинейных функционалов от законов распределений // Узбекский математический журнал. 1992, № 2. С.56-65.

3. Мамадалиев Б.М. Об одной эмпирической функции опасности отказа // Тезисы докладов международной научно-практической конференции "Проблемные вопросы механики и машиностроения". 1993 (25-27 мая), с.49.

4. Хашимов Ш.А., Мамадалиев Б.М. Об одной статистической оценке функции меток // Узбекский математический журнал. 1994,

№ I. С.75-81.

СПЕЙСИНГЛАР ФУШЦИЯЛАРИНШГ АСИМПТОТИК ТА^ШШИ

Диссертация спейсинглар функцияларининг асимптотик з<оссалари-ни урганишга барипшанган булиб, олти параграфдан иборатдир. Биринчи ва иккинчи параграфларда ёрдамчи тасдикдар келтирилган.

функционалга асосли ва асимптотик нормал такриыланган бахр цурил-ган.

Туртинчи параграфда спейсингларга асосланган баэуэларнинг

асимптотик силжимаган, асосли ва асимптотик нормал тацсимланган ба$о таклиф этилган.

Учинчи параграфда спейсинглар ёрдамида

функционаллар учун кучли

асосли ба*о булиши исботланган.

Бешинчи параграфда спейсинглар ёрдамида - функцияга асосли ва асимптотик нормал тансимланган бах,о цурилган.

Олтинчи параграфда - ишламай цуйит хавфи функциясига

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF FUNCTIONS FItOM SPACINGS

In the candidate thesis ccrtainrsymptotlc analysis of functions from spacinge in eonnidered. The thesis contains: Introdiction, six paragraphs and bibliography.

The first and second paragraphs contain a subsidiary statements.

In tho third paragraph with the help of spacings for functional ^Vif Cx) c)cfx a consistent and asympto-

tic normal estimate are constructed.

In tho fourth one for funotionals f

JrP4' J JT

X-l (X) M PC B strongly consistent estimates are proposed.

In the fifth one with the help of spacings for ^ -function a consistent and aeymptotic normal estimate are considered.

At last, in the sixth one for the hazard rate function a asymptotic unbiased, consistent and asymptotic normal esti- ( mate are proposed.