Некоторые методы нахождения точных распределений вероятностей функций случайного аргумента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ.В.И.РОМАНОВСКОГО АКАДЕМІЙ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

На правах рукописи КУМГАНБАЕВ МУРАТ ШАІ.ИЛЬХАНОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ КАХОВДЕ1Ш ТОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Специальности: 01.01.05 - теория вероятностей и

' математическая статистика, 01.01.01 - математический анализ,

'АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1992

Работа выполнена в физико-техническом Институте Республики Казахстан. • ' . ■ '

Научнші руководитель: доктор физико-математических наук

ВОИНОВ В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук ХАИШОВ Ш.А. кандидат физико-математических наук БЩІДРЕВ A.C.

■ і "

Ведущая организация - Московский Институт электронного

; глашиностроония.

, Защита диссертации состоится ” 3 ■■ 1\ю-ПЯ______________1992г.

в__^Н________часов на заседании специализированного совета

К Ü15.17.01 в Институте математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 7UUI43, Ташкент - 143,

• ул. Ф.Ходкаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.З.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Афтореферат разослан " ^ " ПюиЯ________ 1992г.

Ученші секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат.наук -«g/K—• А.Н.Старцег

' ■

1^£с«рг-^ци4) ОБЩАЯ ХАРАІСТЕНІСТІІІСЛ ГЛБОТІІ

Актуальность тсш: В теории ьороятиостсії и математической

статистике часто появляется необходимость нахоццеіпся распределения лепоятисстеі! функции случаі’шого аргумента. Эта кесбходн-мооть возникает а связи с та киш задачами, как проверка статис-їіічосшпс гипотез, изучение своііств статистических оцоиок п шю-тпш другзі!г,и В насїоящоо время хорошо развиты метода’ нахолдо-тпя ириоліпгсншг; п асішпготичосгаїх шрзяешііі для распределении •оопоятиосте!» статистик, котерцо хорошо "работают” при больших г.бїлчч р “'гоорга. Одипко, передки сптуашш, когда для статисти-построенной на икботсе гадого :ига конечного соъс;.:а, т.олэ-1 ОЛ> НО ПКОЇ'Ь ТОЧНОО ЇЛІ7Л’ГОНЧО Р'іслредолешіл Жірсятяостеіі, :К!І пс:.;.ш\-лсс'л» почуча-їі. то'шно чис.псшио значошш этих расиредо • лєшїіі п з:і;:.:п:ш": точхах .

Оониосх ігіхпххглкід лч'уахошп длл .ліспрецелошпі

хопол'піоо^о:-; /у: ггхст.пс ссвощеші и литература по настолько хо-поло, ч-і!-’ '-.'гс^ло^іорпт;, по'-• ПОТреЙИОСїЯї! ІПХ<Х±ПК!к, ООІ'ЧНО ■ ' ;;г.” ■; .млхі к:х.‘ор:чі тг’т.: г сг’і;п',::лО;ііт;

" ! ' ч. і ■ ■ 11 "11 і, ■ чо'.'['ПГ¡'.'¡Ч'-! ■:

.... 1-і:; 'і:' .' '¡.;нхя ' ;■ чх” !іГ';гі'

. ' ■■ 1 : і,:.’- . . ... ■:

- ■ ’1 '■ ■ ' - 11;' 'і: '0 ' '. І . і ;11 ;;:;:; . "\т і : ч'.'ПЛ, ■

■ . : ''' : .:г'_ ■ ■'-о‘‘і -и;-. і ¡т : . .

' г 'ч;'.11:' • ; ‘ : І! ;г:н!;о ■ л■ • ;.г ■

: !■ :;:т. 1 : 1 '1 і!Л; [С"; ■'.•! ,г”'! ї 11 л.ч'

с'і . ■’ ч;їр: . кТіШі:;' і п . :'.'ИС : :пг:;р:.\ •; і : т і і

’ :о І .і ’ І: • • ¡ГГ/де,", у ¡¡ПОЛГГГ'І :" “1Т г'.'Ч1:” і ! ГПТІНГ.'’ 7 ... '

и:’;: ■■‘з;гс;игті?сі.і‘-*г-. ; ,с?;'іг7П.г-.~:’1: с;'".'.ч'' 1

-2 - ■ распределенных случайных веліти с функцией распределения RyO, Ь = її • Рассмотрим простуй гипотезу H: Fly)“F0ly).

Преобразованием F0í Y,) гипотезу H MOZO 10 СВЄСТИ К ПрОверке гипотезы Н0 о равномерности распределения случайных

величин . Пусть ХН)^ Х(а)<-<'Х(Гі)порядісовие стгчістіпаї,

построенные по вектору с компонентами ХьКг>..., Xh .

Для проверки пшотези М0 Гринвуд предложил простую, но полезную статистику

и _

, Х,0, “Q, X(hM) = 'i

Точное распределение статистики G-m для II = 2 было получо-но Гринвудом в 1946 году, а для П. = 3 - Гарднером в 1953 году Точное выражение для распределешія вероятностей G-щ. для \\ > 3 до сих нор неизвестно.

В 1984 году Pao н Кыю предложили модифицированные варнак ти статистик Гринвуда.. .

IÍ 1 ^

~ + ” XcLinî) , tti + 'î’ïtn = îi + 'l ,

¿Jaû

которая называется статистикой Гринвуда для разъединению:

Ítl - шагових спеіісингов, и ‘ .

&Sh «Ц tXc^^j-Xco)" inî>'l , a+in-ііИ,

ít^O

которая называется статистикой Гринвуда для перекрывающихся

СПЄЙСИНГОВ.

Pao и Кьюо показали, что при проверке гипотезы Н0 сто-тистика &зк обладает большей асимптотической зффектпвностыэ, чем Gaft , которая в свои очередь обладает большей асимптотической еффективностыо, чем статистика . Так ісак статисти-

_ 3 - .

101 &ап И &3Ц имеют белее сложило структуру, чем &.1П . Тб' чнаховдение точных выражений распределений вероятностей этих статистик представляет собой еще ''елее трудную задачу. Зтот пример говорит о необходимости дальнейшего развития методов нахождения точных распределений вероятностей статистик.

Цель заботы: Исследоваш1е вопросов, связанных с нахождением точных распределений вероятностей статистик. Конкретными задачами исследования являются:

- развитие .методов вычисления многократшх интегралов, появляющихся при нахождении распределений вероятнссте;; статистик

- нахоздение распределений вероятностей статкстшси Гринвуда

о

и ее модифипировашшх вариантов.

. - . ^

' МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ: В работе испЬльзуются метода юхассического анализа и математической статистчки.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: Все основные результаты работы являются новыми. -

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ: Результаты, полученные в диссертации, имеют как теоретическое так и прикладное значение.

АПРОБАЩЯ РАБОТЫ: Основные результаты работы докладывались на семинарах ИМ АН Гз.ССР, на Нервом, всемирном конгрессе общества математической статиетша и теории вероятностей им.Бернулли (Ташкент, 1986г.), мездукародной конференции по теории информации, статистическим решающим правилам и др. (Прага, 19С6г.), пятой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989т-.). ^

сПУЕКИКАЩИ: По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждена проблематика работы,, ее актуаль- ’ пость и новизна, определены цели и задачи исследовали, кратко перечислены основные результаты.

В первой главе описываются геометрические представления, используемые при нахождении распределений вероятностей статистик и приведены общие формулы, используемые для получешш рас-пределе:шй. Если статистика

Н = 51Х1)...,Х>г) И)

является дифференцируемой по хк ,, если существуют решения уравнения (I)

= (ги£,..,х„)

5^ (2,

относительно переменных Хч,Х*,..., >^Ь-ч,^иПШ1 ФИКСИРОВАННЫХ значениях 2, (2, хл,..., Хъ_1) , и-если известна

рсх15..., Х,,} - плотность совместного распределения вероят-

ностей случайных величин Х^,..., Х^ то плотность распреде-лешш вероятностей статистики И можно тйтп по Формуле

q,{2)=£ 5 ^ ^ «

r x^Qig) yaeGU2,xO xh.ieQi?ix1,...,xh.a)

. , vs cUi*" ^Хь-ч

~Г^~----------- *

a*h I txo, -Sh4 (H,**,.

где

Q.iz)= U WrS^(HUai...,xh)3í1\Vcx,i

Qís.x^U ^cS'¿aCz,^lx3,..,Xh^nWi:xaJ

ci

Ol«,>wW U Wt:S';.,u ‘2.4-^„J\>inwr*„.3

o^h-t

Wc ••■ J - сілїя-гпет MitorccTBO значеній зелїтаапі, стоящей в скобках.

Бо i^T'jno.i і’."апо пршсдеш формула, кстсрне ¡:с-шо і;с— пользсз:і :'ь для ¿¡гтослєібііх ¡гексторих шогократшк пнтогрзліз я

чосїносїл, itrr.i :;охо::ЖОШЗх распроделоішіі зероктїіосхо:: статистик. ІІУСЇІЗ статпси':п:п имеет оледуяизй ВЇІД

... \ т.. Ґ* Г* і \/ V 4у ( V '/ ч-ч

О-) Ч . ; ( 'М Г"і ЛАЛ % ‘ >*'*'

, Р. .-, ї, ...., к1з , 'Іа ( >W< , ,

! f-з ^ Хг *• >Q3 Í І ;■ -J 'чьЛ ) 'U+l 1->'¿4S , '•'з ( Л.1Г>Н Г, )!>

Р í V г V . v л * ' V =.-

і’"> 4 '* 1 1 3 } ' 2Н*? '"’tí,-; н‘ ^ 1 " ; "^еІН-Н^

-- SjlTiV........

, тз ( Хз, A > н ,Y= ),..., 1н+і (Y„ ,

Ç ( і-\ Сч і; !г. Í і*-,"), h ^Ха^з") ,...j 1 Kv-i І

■до

Уа = Уа1ХАаи,-.,ХАч>. .

Уз = У3 ( К^5 + 1 у, ,..., Ун = УК >••■/ х^ац)

Т\ 1У*) = Т., ( Хч,..., ,У|1 - 1*1 (1 У| (Х^-н

Та СУ, ,Уа V= Т11'V,, Х^+л а ,Уа 1 =

= !■*( У< (- » Х^а), чха3 ,Уа 1^3+-« ,--^лч^»

Тз СУа,У3^ - Т3 ,..., ,уз ) =

=■ Рз I Уг С ^.ц »-/^ц), '^¿ч+-<) -/^Б ,Уз(^5чч I—> ^01е5)

»

• -

Тцм1У»И ~ Тии эЧаЛц+* =

= Р«*ЛУки^ак.+1 >•■•'# *«*ан\

а плотность совместного ра определения вероятностей случайных величин X,,..., X ^ имеет вид

Ь) Р, ( £$ I Х-|,—,У, I х^-и ,.-.,Х^а1), Ра ( У1 (^1, -]^)^)), >^♦1 >-1^3) Уа ^¿а+1 >—»^4^1 ^“з.С*^а.*.^¿3+-» >•••1^ч)>

> ^о£Ч+ "* »-*•» > "У3 ( Х^-И Х^-)} ,..., ‘

)Х^( + 1,..., "Л = Ра (^ч( Хч,—/Хич, У-11 (У<, >íJг+^, - >х*з,

>УгА *з<Уа, *,¡^+4 , у > Уз) ,..., ‘¿и+ч 1Уи >к^ан+ -1 = ф('Ьч 1У|'Ь'*:гЛУ^Уа'Ь ’¿з'-Уа.Уз'» »•-•/£« и *.У|0)

Далэе пусть выполняются условия:

A. У,,Уа. ,У&,•• ■} , ^1, ^а»Т3 ,... ,

Т-1, Та, Т3 ,..., Тк «. л - измеримые адгасщш,

B. существуют решения 5"^ , ь= Л,—) т. уравнения

относительно ¿н+1

С. Я-^ 1^„уа), Ь3(^аЛз^-»1:„м1У«У-

- функция кусочно-дафференцируемая по -Ьн^ '

При этих условиях имеет место следующая -

Теорема I. Пусть 2 статистика вида а). Плотность совместного распределения вероятностей случайных величин тлеет вид Ь). Если выполняются условия А, В, 0, то плотнооть рас- ’ пределешш вероятностей случайной величгащ 2 имеет вид

*«>-£' I - I ’ 5

ь-< у1ай12) УнбАсг,^ у,,.*» ^еО(2,у>

$ - £ ■ ф(ЬчСуЛ*а1уч,Уа'),...Лн(й|))-

^еОсг.уДч) ¿„=йс н,5д-, ■ ,

• 'МУ-О-'Р» (У,Л :1й 1уО>Фа (-1а ьУа'»-‘Р* .,1 Ьмл <У\0)-

</уЛ — с/у» с1£-| ••• с|11,( . .

сЗь

Выписаны явные выражения для ф* 1.уЛ фн1Ун"> а такяе для 'рТс Ьиу^), ф£ , 'Р’н+ч

1*0)

Тсорста 2. Пусть *-1 >•-, Xь^ , Ьсх,, -, X * ■) и

ФСХ-ь ••»’ум,1 ЬIх.к,,) непрерывные в области &е йп,

ОПрЗДСЛЯСМОЙ СОСТНОиОПНСМ )П 3 д I Х-!,—, Х(,1М > ФУНКЦИИ .

и пусть сбыз:.: с^с';т. О . апроделмысгЗ госштаением

_ |суис’£::-е-д11ц/ ренпдруегая функция от " а ". Пусть а ;1 Ь - шхшшьнс» и максимальное значения шунвда; т. = ¡1 ( ум,..., ) в облас. и & . и, если существует

интеграл

■ 1= [•••$ . ‘pixi,...,xhlhi)til..vxl,'rtc!xr-cix.hl

vn«

TO .

4i^U-

где

Ф(Ч,С)- J-J (pivc,,...,^jc)clK1-cixh

S«** <3tX1s...,Xb)ssM

Из теоремы 2 в частном случае =■ h(Xi,->X*,)

получается известная формула Comma. '

Р ттютьай главе рассматриваются прплокешя полученных результатов х: нахездешпо распределений вероятностей статистик Гриштда, Кло'люсть q,(5=) распрсщелоши: вероятностей яростей статистики Ггкитут иродставлона в виде

' Ь.

— Crr.i■— >_ (. , Kid)“0, XlbM) Г. \э)

1,= 0 '

ПС^'=— Г V ■ Г .

V iu ■• - J

° :Ц^*> Хмий'1?,^,.,х„-г)

( r~f'1 , j-\ ' '

л ^ ^ | ‘

■ V ^ л(1--1 ~~ ^ ~ л t>-;- <с ~ “■ '‘‘Ь--; Ь - £ /чh_fi

-■^с 7-|н! '~п" ('^к ~ :: :-'Н

Для »зрзглзлдо!: Хк крей-гки ’и^етрлрева'.:!^: опрсд;сдяг;?ся

иЮЯМУЛСЬ!

Од2) =

г Ь-\Іп(п-*и2- ґііз -і ь£ I^

*- П + -1 ’ -1* "йм ^"к

Гл Ь*л/щп-ніг-ьї?'-, ьг . Ьг

|.0>------Г------------ I > — < 2^ —

Ь+1 ~ .ч ■ 2

ь-\/зе-ЬІ г ьіу/г?-ь ь+х/мп+їтг^іїь -, „ „ Ь Го ------------"ТіїГ----г----->--------—--і > г ^ э

> г з. ь+-1 г

Для остальных переменных пределы даются аналогичными выражения!,ш, только для выбора одного из вариантов пределов необходимо область интегрирования’по предыдущей переменной разбивать па соответствующие подобласти и уменьшать число "Я " ; для произвольной переменной % Ь4 а,..., И. указаны правила разбивши области интегрирования по предыдущей переменной Х^ л тем самыг.* определен алгоритм нахождения cj.CZ)

Установлено общее выражение плотности распределения вероятностей статистики Гришзуда для >п. - шаговых разъединенных спейсингов .

И •

= ^ (С'ы--о!ти “ = 2 = £ ( У,)... ,УН) =

Л а

= ¿- (_Х. ^ > ' ь+н)Ьі = іі-и , Х^ої і ‘

У0= Упо> , Л = , ґ& = >••• > "^к “ Х^нпл^ш-і ^і

Хні - -•‘•-•X аи порядковые статистики выборки

(XХа > •• V — і, ) з?з равномерного на [0,1] распределения. Теопсмл 3. статистика Сгдь пнее» плотность распредело-

1П-ІЯ вероятностей

С У1<Уа-УО- Н -Ун)3171 1

tim-on^'' |5Ü=

I“ l »a* ' ‘*А,-S“t t2,*,..., *,-i)

Ц(2), О.сг.уО ... - , й(Н, Ы1,.. ,Ун-1) находятся такяе как и для Сг^п . ' . .

Выписано выражение плотности распределения вероятностей отатистшот &аи Для случая н«а, , К - любое, .

V л.3 (п-**

«,„4 ь! Г и*1 + ва1-ав* ) .

^ " Я гам'а ССт--|->!Л3 ¿т12) ЛГпГ7^ *

тле сц^ ^“т»а«',-.7Г‘

. у/бг-з, \)б2-й' Г ^ л

Тс«.<! ^ ^ ____

7? ’ к- гв♦г 4

Получено распределение статистики

. П. ■ „ ■

&3h'a %- ( > >t+W-b+'l

Ü® 15 4 • ,

в случао 1г к 3, fr* « 2.

Введена отатиояша Гринвуда наиболее общего вида

Ё ч/ *

•Ze&qh “^0^ ACtö+iri)rti“^(Lui)a, + = h4"i .

Показано, что ее дсяштптичоская оффекпшность занимает промежуточное положение меаду эоиштоигчоогаши ¡эффективностями статистик CrSh и &3h . Получено вырляещю для плотности распределения вероятностей статистам! Grlih ;ущ случал fi = I, bi 2, К - лобоо

U|(U

- ir -

іЬ-'мУ']!п .(• Суі(- <І2 - (Ь~>Л, V'^- ;йМ!='>/z~( J

У t

£\/Я- (.Ь-у,)1 '

:гдо : __ ., •.

сн-Уан-о/а, (-n-Æa-Гз/аІ, se-с -і/а,-І)

0.(251

Í0,1-\Jb-1 J , п-Є (-¡,2)

В загапзчешш приведенії основино результати padoTU.

В рао'ото получоїгш ..

1, Oonirvдії, еблогчюшо вітаголеиші кекогоргл; шгогократгшх иягегралсв,’ з тем число обебщзшю ісоргізои СстіїЮо

2, Алгорітш іюхогдегия распроделашш ішроятіїостеі) просто;'!

статистіппі Грздвуда :г со рлсиродолошо при !г ¿ 4 в стлеп видо; . . ,

Я. Лвнсо Епра;іеіпю распредолошя ззорслтяостоП статпсяііаі Гршш^дз для разгедппешш:: |п - пагезш: спсіїсшггоз, для .¡.cdoro Гі - ЗІп- І, і ті = 1,2,...,

Тошіоо Енрагешіе для распроделоштя пвроятностбії статистики Іршюда, ссиозаппоіі на иерагргЕапппхсл cnsücimrax, прд í¡. =•= а. ( іп = 2, Н - 2) » і/. Пподяояепа статистка Гганвтда ітажіолео ойщого віща, после-лспашг осігттотігїоскпя г-йа’зхтшзпссгь ісрптерзя равномериостл

іґ! СО ОСНОВО II НОЛуп.ОИО Г.ПСППЄДОЛОІШО птої! егатястіпст для одного ’пстпого сл-/':ая.

ССЖ'ВННЕ РгаТНЬШИ ДІІССЕРТЛЦШ ШЛ07ЕІШ

і; слрдг: ::і:: рлі stax :

і, jíy?iraitdacB lí.Hh Об одної.! госмстгптесіссм н ода од о тс огтредо-лотгл плс/гпсет:г рзсцрсдолеіпія всроятїісогеїі фУігкдш) слутай-¡іогс -¡ргуг'йггга. ;;оп.іг:-;:!;гї і?яб F’VS'O-vbg.

Kuiucan'bayov H.Sh., Voinov V«G, On a cooaotrical ap'Droaoli to“ tho derivation of the probubilit?/' density function of random variables. //]} Kin liepBiiil Bcoi.iiipiiiiii Konrpoco otSaiaoasa nase • KaiiniooKoit ciaraoTiuai n Toopim liopo/iTaoaToii EiVBopnyjur:;",

Tai'JKQHT, Tosucu ooiapni £0—EGt iJocK.ua, Iinyi:a, I90G,

o.GSn,

Kumcanbayov LUSln, Voinov V.G, Oil u derivation of p.robabili-• t.y deueity functions. !L'ho udf of Ux'convvood1 o utatdatic, * coedinjo oC tls 10 Wi Praguo ccnl’erenoo on im'on-i theory e k-j. . Pragun, 19081 P. 91 - b:>-

li;/iTKiU(iycuj n.llU i!oi;o'.i;oji!!o (Top;ijrj!ii iuioiifooiri vaanne.no./ic •

!UfH DjpO.Tl'ilOCTOii (¡<yxjjrin:!T c’.ry nii.flOL'.j iip'fV!iOH'i:!, Jj JJ20'ikl..',

;il! J:s-'c:;r; ¡¡..vro:-

.5 M- , ■,'oiiio'.' cl ri;v ai;5 oi; a' tii„ j'roU’.b’j ' ■

‘.:,7 : ■ ■' ' Uiru ; .1 : ..' ; 1 ( ■1' C 0 31 Ci> O, I ‘ 11 ;: i . i ; : I. -1 f'

Uo ;vij un,,i . // ::" n::n_.;; : i:u: )n:ni:n InintrJ i. r

• j L:i t.:i if..!, L« ti,--V. . , I I,, I , i'P, ■)! . 'to

iioi;nui: jno i, Hi,,.,, ■

on...C'}J)V ‘Jv, i. ,

C\( C ij a I:; ■ f i 11 fl’Iii '¡'¡I, ,, i; , .1,,.:;

Ill I! i I ^ ^ ;1 j;-: i ■ ■ .