Теоретический анализ и компьютерное моделирование спектров когерентных темных резонансов многоуровневых атомов, полученных методами прецизионной лазерной спектроскопии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Владимирова Юлия Викторовна

Теоретический анализ и компьютерное моделирование спектров когерентных темных резонансов многоуровневых атомов, полученных методами прецизионной лазерной спектроскопии

Специальность 01.04.21 — лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Задков Виктор Николаевич;

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Кулик Сергей Павлович;

циопного совета Д 501.001.31 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2 Москва, Ленинские горы, МГУ, Корпус нелинейной оптики, аудитория им. С.А. Ахманова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им М.В. Ломоносова.

кандидат физико-математических наук Башаров Асхат Масхудович;

Ведущая организация: Физический институт им. П.Н.Лебедева

Российской академии наук.

Защита состоится 5 октября 2006 г. в

часов на заседании диссерта-

Автореферат разослан " £ " Сге^/^Л 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного сов< кандидат физико-математических паук,

:льинова Т.М.

Общая характеристика работы Актуальность темы

Взаимодействие электромагнитного поля с атомом является одной из наиболее фундаментальных проблем квантовой оптики. Известно, что многоуровневые атомы проявляют здесь существенно более широкий спектр эффектов, чем двухуровневые атомы (ДА), за счет индуцированной полем когерентности между атомными состояниями и квантовой интерференции. Трехуровневые системы, реализуемые в Л—, Е— и V— конфигурациях, играют важную роль для изучения этих эффектов, являясь промежуточной по сложности системой между ДА и многоуровневыми атомами. В них наблюдается целый ряд новых эффектов, из которых когерентное пленение населенности (КПН) является одним из самых интригующих явлений, интенсивно исследовавшихся экспериментально и теоретически.

Эффект КПН наиболее ярко проявляется в трехуровневой системе с двумя близкими долгоживущими уровнями |1) и |2) с частотным расщеплением и>12 и третьим удаленным от них уровнем |3) (Л- или У-систсма), возбужденной двумя непрерывными лазерными полями, так что удаленный уровень оптически "связан" с двумя другими (рис. 1)'.

Рис. 1: Л-система, взаимодействующая с двумя лазерными полями Е^Ь) и — одиофотонная лазерная расстройка на переходе |1) |3); 5ц — двухфотонная рамановская расстройка.

Если переход |1) «-> |2) в диполыюм приближении запрещен и два монохроматических поля Ех ехр(—г^рх), Еч ехр(—1и>ц£—г<£>2) находятся в ре-

зонаисе с соответствующими переходами |1) «-> |3), |2) <-» |3), то в результате квантовой интерференции формируется узкий резонанс КПН. Он проявляется в спектре поглощения как узкий провал, когда одно из действующих полей, например и>ц, сканируется и рамановская расстройка 6ц = и>ц — l>l2 ~ wi2 проходит через соответствующее точному резонансу нулевое значение, а в спектрах резонансной флуоресценции он наблюдается как отсутствие эмиссии, что и дало название "темный (или КПН-) резонанс". Резонансы КПН имеют очень узкую ширину (рекордные ширины резонанса КПН в экспериментах по спектроскопии насыщения/флуоресценции паров атомов Cs с буферными газами при комнатной температуре составляют десятки Гц).

Впервые резонанс КПН наблюдался в парах атомов натрия (Алзетта, Год-зини, Мои и др. в 1967 г.). Усилия исследователей после открытия эффекта были направлены прежде всего на выяснение динамики процессов в трехуровневых системах при условии нулевой рамановской расстройки, а также на объяснение самого факта отсутствия заселения верхнего уровня. Было показано, что отсутствие населённости на верхнем уровне обусловлено переходом системы в состояние когерентной суперпозиции нижних уровней, к которому система приходит спустя некоторое время установления г после включения взаимодействия. Величина т определяется радиационным временем жизни атома 7-1 в возбужденном состоянии.

До настоящего времени большинство экспериментальных исследований резонапсов КПН было выполнено с атомами щелочногаллоидпой группы (например Cs, Rb), у которых в качестве нижних уровней Л-системы использовались сверхтопкие компоненты основного состояния с типичным расщеплением в несколько ГГц. Электро-дипольные переходы между компонентами сверхтопкой структуры в них, как правило, запрещены, поэтому радиационный распад пренебрежимо мал. Большое время жизни (тысячи лет) атомов щелочных металлов в когерентной суперпозиции нижних состояний способствует возникновению КПН. Возможность регистрации контрастных и высо-кодобротпых резонапсов КПН в щелочных атомах обусловлена следующим: 1) наличием прецизионных стабильных лазерных систем, перестраиваемых в области резонансного перехода и 2) возможностью относительно простой фазовой привязки световых полей Ei и Е2. Так, в чистых парах цезия зарегистрированы резонансы с шириной около 10 кГц.

Благодаря малой ширине резонапсов КПН они нашли широкое примене-

ние в различных прецизионных спектроскопических приложениях, таких как метрология и магнетометрия, а также в высокочувствительных лазерных интерферометрах для регистрации гравитационных волн. Связанные между собой явления квантовой когерентности и интерференции лежат также в основе лазеров без инверсии и корреляционного-эмиссионного лазера с подавленными квантовыми шумами. Дополнительные возможности использования сильной нелинейности при КПН открывают перспективы сверхглубокого охлаждения атомов и оптической бистабильности.

Экспериментально регистрируемая ширина линии определяется стабильностью отстройки 5л и разности фаз Д<р = <¿>2 — </>1, а также допплеровским и время-пролетным уширениями, штарковским уширением (уширение световым полем и внешними полями), уширением в неоднородных магнитных полях, ударным уширением и т.д. Флуктуацию фаз А'-р удается стабилизировать с высокой точностью, например модулируя лазер с частотой, соответствующей величине расщепления основного состояния 0*12. В случае использования двух независимых диодных лазеров в режиме свободной генерации можно рассчитывать на наблюдение резонансов КПН с шириной порядка нескольких МГц. Дальнейшее уменьшение ширины резонанса возможно при введении в ячейку инертного буферного газа (N6, Не, Аг) при давлении в несколько кПа. Частые столкновения с атомами буферного газа препятствуют свободному движению атомов через световой пучок так, что время взаимодействия со светом возрастает на порядки. При этом столкновения с буферным газом практически не нарушают когерентность, благодаря чему происходит сильное сужение резонанса. Так в ячейке, содержащей цезий и неон в качестве буферного газа, достигнута ширина резонанса порядка 50 Гц. Также, в случае атомов цезия, для сохранения когерентности используются ячейки, стенки которых покрыты парафином или органосилаиами. Такое покрытие снижает вероятность разрушения когерентного состояния при столкновении атома со стенкой в сотни и даже тысячи раз.

Редкоземельные атомы также используются при наблюдении КПН, это обусловлено тем, что в редкоземельных атомах характерное расстояние между компонентами тонкой структуры существенно превышает сверхтонкое расщепление основного состояния щелочных атомов и составляет 10-100 ТГц, в то время, как характерное время спонтанного распада этих уровней за счет магнитодипольных переходов составляет несколько секунд. Резонансы КПН в

Л-системе, нижними уровнями которой являются компоненты тонкой структуры в редкоземельном атоме также обладают высокой потенциальной добротностью. Уровни тонкой структуры в редкоземельных атомах также слабочувствительны к атомным столкновениям, поскольку они хорошо заэкранированы внешней замкнутой оболочкой. Таким образом, свойства резонансов КПН в редкоземельных атомах открывает перспективу использования таких атомов в метрологических приложениях, например, для создания вторичного стандарта частоты. Одним из наиболее перспективных для метрологических приложений редкоземельных атомов является атом самария, схема уровней которого является существенно более простой по сравнению с атомом цезия, особенно в приложенных магнитных полях. В ФИАНе им.П.Н.Лебедева в группе С.И.Канорского и сотр., в рамках проекта по изучению возможности метрологических применений резонансов КПН в парах редкоземельных атомов, методами нелинейной спектроскопии высокого разрешения проводится изучение свойств паров самария (Бт) в области линий переходов, образующих Л-систему:

4/6б52(7^0) 4/6(7^)б5бр(3Р0)9^0 4/Й6в2(7-Р1). (1)

Именно поэтому атом самария и был выбран в качестве "пробного камня" для проверки разработанной нами общей теории КПН в многоуровневых атомах.

Традиционная экспериментальная техника для наблюдения спектров темных резонансов с использованием двух резонансных лазерных полей в настоящее время широко используется для многих приложений. Однако, необходимо развитие более простой экспериментальной техники для спектроскопии темных резонансов в многоуровневых атомах, которая позволила бы использовать, например, только одно лазерное поле, но модулированное по частоте (ЧМ). Такие эксперименты проводятся в группе профессора Луиджи Мои в Университете Сиена в Италии и они, фактически, инициировали наши теоретические исследования по взаимодействию трехуровневой Л-системы с частотно-модулированным лазерным полем.

Модуляционные методы активно начали развиваться применительно к оптической спектроскопии в начале 80-х годов прошлого столетия. Уже хорошо известные к тому времени в микроволновой спектроскопии и спектроскопии ядерного магнитного резонанса ЧМ-методы получили повое развитие в лазерной спектроскопии. Оптическая ЧМ-спектроскопия в настоящее время играет

центральную роль в прецизионных измерениях в таких областях физики, как детектирование гравитационных волн, стандарты частоты, измерение слабых магнитных полей и др.

Несмотря на значительный прогресс в развитии техники оптической ЧМ-спектроскопии, теоретические модели были детально разработаны и изучены только для двухуровневых систем, которые позволяют выполнить анализ аналитически. Теоретический же анализ многоуровневых, в простейшем случае трехуровневых систем, взаимодействующих с ЧМ-полем, на настоящий момент в литературе практически отсутствует. Поэтому отдельная глава диссертационной работы посвящена исследованию взаимодействия простой трехуровневой системы с ЧМ-полем.

ЧМ спектроскопия когерентных темных резонансов также представляет большой интерес для магнетометрии, стандартов частоты и многих других приложений. Эксперименты по ЧМ спектроскопии темных резонансов проводятся с атомами щелочногаллоидной группы (например, Се, Шэ) в слабых магнитных полях. Наличие магнитного поля приводит к усложнению энергетической структуры атомов за счет эффекта Зеемана (рис. 1). Например, переход Рд = 3 —> ^ = 2 в атоме С я является рабочим в эксперименте. Уровни = 3 и ^ = 2 расщепляются в магнитном поле на 2Р +1 подуровня каждый. Пары основных подуровней с Апгр = 2 (т^-магнитное квантовое число) и зеемановские подуровни возбужденного состояния, образуют цепочку Л-систем. В типичных экспериментах по ЧМ спектроскопии когерентных темных резонансов в атомах Сб атомная среда находится в однородном магнитном поле, величина напряженности которого порядка 10 /¿Т. Спектр ЧМ излучения состоит из дискретного набора частотных компонент, и когерентный резонанс наблюдается, когда частотное расстояние между этими компонентами совпадает с зеемановским расщеплением из 12 основного состояния (рис. 1), обусловленным наличием постоянного магнитного поля. Когерентная структура наблюдается при сканирования частоты модуляции в небольшом диапазоне вокруг двухфотонного резонанса при фиксированной величине внешнего магнитного поля, или при фиксированной частоте модуляции путем сканирования магнитного поля в соответствующем диапазоне.

Таким образом, представляется весьма актуальным анализ взаимодействия Л-систем с ЧМ полем, разработка математических методов расчета динамики формирования когерентных темных резонансов при взаимодействии

Л-систем с ЧМ полем и применения этих методов к расчету конкретных атомов.

Цель работы

Целю настоящей диссертационной работы является детальный теоретический анализ спектров когерентных темных резонансов многоуровневых атомов, полученных методами прецизионной спектроскопии как в случае взаимодействия Л-системы с двумя монохроматическими полями, так и в случае взаимодействия с ЧМ полем.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработана универсальная модель КПН в многоуровневых системах (в общем случае ]М-уровпевых) в Л-конфигурации, взаимодействующих с двумя монохроматическими оптическими полями для произвольной конфигурации магнитного поля (полей), позволяющая рассчитывать любые спектроскопические характеристики резонансов КПН.

• Впервые проведен теоретический анализ ЧМ-спектроскопии когерентных темных резонансов на примере простой трехуровневой Л-системы, позволяющий рассчитать динамику формирования резонансов при взаимодействии системы с ЧМ полем.

Практическая ценность работы

• Разработанная модель и комплекс программ для моделирования спектральных характеристик резонансов КПН в многоуровневых системах (в общем случае М-уровнсвых), взаимодействующих с двумя монохроматическими оптическими полями и произвольной конфигурацией магнитного поля, могут легко быть адаптированы для произвольных многоуровневых атомов и схем возбуждения, что находит также практическое применение в высокопрецизионных измерениях, для создания и применения перепутанных состояний, в инженерии квантовых состояний.

• Полученные результаты по взаимодействию трехуровневой Л-системы с ЧМ полем представляют непосредственный интерес для анализа эс-периментальных данных по ЧМ спектроскопии темных резонансов, находящей практическое применение в таких важных приложениях как, например, магнетометрия, метрология и др.

Защищаемые положения

По результатам диссертационной работы можно сформулировать следующие защищаемые положения:

• Предложенная теория резонансов когерентного плеиения населенности (КПН) в многоуровневых атомах, основанная на технике символического представления супероператоров, позволяет универсальным образом рассчитывать произвольные схемы возбуждения с учетом эффектов релаксации, приложенного магнитного поля и эффекта Допплера. Данная теория эффективна для систематического анализа результатов экспериментов по высокопрецизионной диодной спектроскопии когерентных темных резонансов в парах самария. В отсутствии магнитного поля адекватна модель самария, основанная на рассмотрении вырожденной Л-системы на активных переходах 4/66з2(7^) +-> 4/6(^)6з6р(3Р°)9.Р10 <-> 4/6б52(7^), которая с учётом четвертого уровня 4/Г1б52(7^72), играющего роль резервуара, становится открытой системой. Численное моделирование резонансов КПН показывает, что открытый характер системы уменьшает контраст резонансных кривых в спектрах поглощения, не меняя ширины самих резонансов. Для случаев наложения внешнего продольного/поперечного магнитного поля адекватна 7-уровневая модель атомных переходов.

• Выполненный впервые теоретический анализ взаимодействия трехуровневого атома в Л-конфигурации с ЧМ полем позволяет предложить и проанализировать эффективную двухчастотную модель для решения задачи ЧМ спектроскопии когерентных темных резонансов на примере трехуровневой Л-системы. Эффективность этой модели следует из сравнения полученных с ее помощью результатов с результатами решения точной задачи о взаимодействии Л-системы с ЧМ полем, решаемой

как при помощи метода матрицы плотности, так и на основе метода квантовых траекторий. Двухчастотная модель не только соответствует численному решению точной динамической задачи, по и качественно согласуется с данными спектроскопических экспериментов.

• В спектрах поглощения Л-системы, взаимодействующей с 4M полем, в случае паров атомов цезия при наличии модуляции в спектре формируются дополнительные резонапсы КПН на частотах, кратных частоте модуляции Г2ПШd, т.е. резонанс формируется, когда межмодовое расстояние nf2mod равно зеемаповскому расщеплению основного состояния uju. Число резонансов зависит от индекса модуляции Al и увеличивается с его ростом. Для разных значений М интенсивность различных резонансов регулируется значениями функции Бесселя Jn(Al), определяющими амплитуды частотных гармоник.

Апробация работы

По материалам диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 5 - статьи в научных журналах: ЖЭТФ (2006, 2003), Proc. SPIE (2006, 2002), Laser Physics Letters (2006).

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и семинарах:

1. Международная конференция "First International Conference on Laser Optics for Young Scientists — 2000". 26—30 июня 2000 г., Санкт-Петербург, Россия.

2. Международная конференция "II International Conference for Young Scientists and specialists "Optics-2001", октябрь 2001 г., Санкт-Петербург, Россия.

3. Международная конференция "XVII International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO 2001)", 26 июня — 1 июля 2001г., Минск, Беларусь.

4. Международная конференция "VIII International graduate and postgraduate student conference LOMONOSOV-2001", 10 — 13 апреля 2001г., Москва, Россия.

Летняя школа по квантовой оптике "Quantum Optics Summer School (QOSS-2001)", 15 -30 августа 2001г., Бонн, Германия.

6. Международная конференция "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO-LAT 2005)", 11 - 15 мая, 2005г., Санкт-Петербург, Россия.

7. Семинар физического факультета Университета Сиена, 10 июня 2005г., Сиеиа, Италия.

8. Международная конференция "Russian-German Laser Symposium (RGLS-2005)", 1-4 октября 2005г., Нижний Новгород, Россия.

9. Международная конференция "European Conference of Nonlinear Optical Spectroscopy ECONOS-2006", 9 — 11 апреля 2006г., Смоленица, Словакия.

10. Международная конференция "XI International Conference on quantum optics 2006", 26 — 31 мая 2006г., Минск, Беларусь.

Список опубликованных работ приведен в конце настоящего автореферата.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех частей, заключения, списка литературы из 104 наименований и одного приложения. Общий объем работы составляет 122 страницы машинописного текста, включая 23 рисунка и 7 таблиц.

Личный вклад автора

- Все приведенные в диссертации результаты получены при непосредственном участии автора.

Краткое содержание диссертации

Во введении аргументирована актуальность, цель, научная новизна и практическая значимость проведенных исследований. Сформулированы положения, выносимые автором на защиту. Кратко изложено содержание диссертации по главам.

В первой части диссертации "Математическая техника расчета эффекта КПП в многоуровневых системах" представлена теоретическая модель, используемая для описания КПН в многоуровневых системах и позволяющая производить расчеты с использованием минимального набора входных параметров. Эта модель основана на использовании техники символического представления супероператоров.

Если динамика замкнутых систем задаётся оператором энергии, применяемым к волновым функциям, то в системах с релаксацией она может быть представлена лишь преобразованиями, применяемыми к операторам матрицы плотности или динамических переменных, т.е. супероператорными преобразованиями. Простейшие преобразования этого типа возникают и в системах без релаксации при их описании в терминах матриц плотности, в частности, при рассмотрении квантового уравнения Лиувилля Ц = Сор = — Су-

пероператорное преобразование представлено здесь лиувиллиапом Со, который с точностью до мнимого сомножителя — 1/Н описывается коммутатором с гамильтонианом Н, примененным к матрице плотности р.

Чтобы ввести соответствующие супероператоры безотносительно к преобразуемым операторам, достаточно ввести символ подстановки О, обозначающий место подстановки преобразуемого оператора, в качестве которого в представлении Шредингера выступает матрица плотности.

В символическом представлении лиувиллиан замкнутой системы имеет вид Со = "Т^' ©]• При наличии релаксационных процессов динамика атомной системы задается уравнением Лиувилля:

^ = Сшр=~[Н,р]+Сгр, (2)

где £г — супероператор, описывающий релаксационные процессы.

Как и любые линейные операторы, после введения линейного базиса на линейном пространстве квантовых операторов супероператоры могут быть представлены в виде соответствующих им матриц. Использование данной тех-

ники символического представления супероператороп эффективно при расчете систем любой размерности, особенно для расчета многоуровневых систем. В частности, в силу большой размерности задач даже простое выписывание матриц, описывающих эволюционные супероператоры, становится технически сложной задачей. Однако, при использовании символического представления супероператоров, благодаря физически прозрачной форме записи, оии могут быть сначала записаны в символической форме, после чего их матричные элементы могут быть рассчитаны либо аналитически, либо численно (в случае матриц большой размерности) на компьютере. При этом технические трудности их воспроизведения полностью переносятся па автоматические компьютерные вычисления, так что результаты этих вычислений могут быть легко использованы для численного расчёта рассматриваемых прикладных задач с использованием наиболее подходящего языка программирования.

В диссертации для расчетов использовалась комбинация пакета компьютерной алгебры МаШета(лса (для аналитического задания супероператоров) и языка программирования Фортран (для последующих численных расчётов спектров с использованием рассчитанных матриц динамических супероператоров).

Используя такую технику расчетов, в главе 1 первой части диссертации проведен расчет лиувиллиана Ы-уровиевого атома с использованием символического представления. На основе этой общей модели рассчитан лиувиллиан трехуровневого атома в случае двух монохроматических полей.

В главе 2 первой части диссертации рассмотрены два метода численного расчета временной динамики А-системы, взаимодействующей как с двумя монохроматическими полями, так и с ЧМ полем. Первый метод основан на точном решении уравнения (2) для матрицы плотности (будем налипать его метод матрицы плотности), а второй базируется на решении уравнения Шредингера методом квантовых траекторий (будем называть его метод квантовых траекторий). Преимущество метода квантовых траекторий проявляется для систем с числом состояний N 1, и состоит в большей эффективности расчетов и сокращении их времени за счёт существенно меньшего числа используемых переменных, по сравнению с методом матрицы плотности для таких систем. В самом деле, волновая функция описывается только N элементами, в то время, как матрица плотности - И2 элементами. Несмотря на то, что метод квантовых траекторий выгоден для расчета многоуровневых

систем, он должен быть сначала проверен на примере простой трехуровневой системы. С этой целыо все расчеты в диссертации проведены двумя описанными методами.

В части II диссертации "Моделирование спектров когерентных темных резонансов в многоуровневых атомах на примере паров самария" с использованием техники расчета, описанной в части I, проведено моделирование спектров темных резонансов в многоуровневых атомах на примере паров самария, взаимодействующих с двумя монохроматическими полями.

В главе 3 обсуждается структура уровней атома самария и проведен расчет параметров, определяющих возбуждение Л-системы. В Главе 4 описана экспериментальная установка для регистрации резонансов КПН и приведены экспериментальные параметры, используемые в дальнейшем для расчета спектров КПН самария и сравнения их с экспериментальными спектрами.

Глава 5 посвящена результатам моделирования спектров КПН в парах самария. Показано, что резонансы КПН в отсутствие внешнего магнитного поля хорошо аппроксимируются простой четырехуровневой моделью. Исследована зависимость ширины и контраста резонанса в трех- и четырехуровневой модели и показано, что введение четвертого уровня J — 2п трехуровневую модель практически не меняет ширину резонанса, в то время как полное поглощение четырехуровневой системы по величине значительно меньше, чем в случае трехуровневой. Это происходит за счет захвата населенности на уровне 3 — 2 через соответствующий капал радиационного распада.

Показано, что при наложении продольного или поперечного магнитных полей спектроскопические характеристики атомов самария хорошо описываются семиуровневой моделью. Усложнение энергетической структуры уровней атомов самария приводит к увеличению числа резонансов КПН и появлению дополнительных пиков поглощения в спектрах за счёт того, что рассматриваемая система распадается па набор трехуровневых Л-систем, каждая из которых отвечает за формирование соответствующего резонанса. При этом переходы между уровнями, прямо не участвующими в образовании Л-систем, участвуют в формировании пиков наведенного поглощения.

Продемонстрировано, что при наложении магнитного поля существенное влияние на форму линии поглощения и контраст резонансов КПН оказывает явление деполяризации магнитных подуровней, проявляющееся как монотонное падение контраста резонансов КПН с ростом константы деполяризации.

Рассчитаны и сопоставлены с экспериментальными данными коэффициенты поглощения паров с учетом максвелловского распределения атомов по скоростям. Показано, что изменение температуры ведет к изменению абсолютной величины коэффициента поглощения, по практически не сказывается на его форме.

При наличии поперечного магнитного поля результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные как в отношении положения и ширины резонаисов КПН, так и в отношении формы спектров. Для продольного же магнитного поля качественные теоретические оценки подтверждают наблюдаемое в эксперименте расщепление резонанса КПН на малую величину ~3 МГц, однако его воспроизведение при численном расчете требует выхода за рамки приближений, обычно используемых для описания эффектов влияния допплеровского уширеиия па формирование спектров КПН.

Часть III диссертации "Частотно-модуляционная лазерная спектроскопия Л-систсм па примере паров атома Сэ" посвящена взаимодействию трехуровневой Л-системы с одним ЧМ оптическим полем. При этом возможны два различных типа экспериментов по ЧМ спектроскопии. Низкочастотная модуляционная спектроскопия обеспечивает наблюдение темных резонансов в случае, когда ЧМ поле возбуждает переходы только с одного сверхтонкого подуровня либо ^ = 3 ^ = 2, либо = 4 = 5

(рис. 2). Диапазон частот модуляции в случае низкочастотной модуляционной спектроскопии составляет 0,1-5-1 МГц. Высокочастотная модуляционная спектроскопия обеспечивает наблюдение резонансов КПН при возбуждении двух сверхтонких подуровней (рис. 3). Частота модуляции в этом случае равна половине величины сверхтонкого расщепления, что составляет 4,6 ГГц для атома Сэ.

В главе 6 рассмотрена структура уровней £>2 линии атома Сй. Описаны две возможные конфигурации для создания КПН:

• КПН па Зеемановских подуровнях основного состояния. В этом случае |1) и |2) — зеемановские подуровни сверхтонкого основного состояния. Когда излучение лазера линейно поляризовано, возможны переходы с уровней |1) = |Рд,тр) и |2) = \Рд, [тпр + 2)) па возбужденный уровень |3) = (тг + 1)), где Рд может быть равно 3 или 4 в зави-

Рис. 2: Структура £>2 линии атома Св. В данной системе существуют два разрешенных перехода: Рд = 3 —> Ре = 2 и Рд = 4 —> Ре = 5. В случае низкочастотной модуляционной спектроскопии атома Сз в образовании Л-системы задействованы переходы с одного из основных сверхтонких подуровней и в магнитном поле образуются цепочки Л-систем.

симости от лазерной отстройки.

• КПН на уровнях сверхтонкой структуры разных основных состояний. В этом случае |1) и |2) принадлежат разным сверхтопким основным состояниям, так что |1) = = 3,тз) и |2) = \Рд = 4,ГП4); 77гз = т4 поскольку в эксперименте используется циркулярная поляризация лазерного излучения.

В главе 7 рассмотрена теория низкочастотной модуляционной спектроскопии темных резонапсов на примере трехуровневой системы. С этой целью представлена и проанализирована эффективная двухчастотная модель, позволяющая описать взаимодействие Л-системы с ЧМ полем, путем замены ЧМ спектра на два эффективных монохроматических поля, параметры этих полей зависят от параметров ЧМ поля.

На основе данной двухчастотиой модели рассчитаны спектры поглоще-

"Сз, 1=7/2

6р 2Р„

68 X

251.4 МГц

201.5 МГц ' 151.3 МГц

Зеемановское расщепление в кГц/мкТл

-р.=5 +5.60

"Р.=4 +3.73 ■р,=3 +0.00558 ■Р=2 -9.34

Рис. 3: В случае высокочастотной модуляционной спектроскопии атома Се в образовании Л-системы задействованы переходы с двух основных сверхтонких подуровней: Гд = 3 —> Ге = 4 и Рд = 4 —» Ре = 4. В магнитном поле система превращается в многоуровневую (7 Л-систем).

ния Л-системы, взаимодействующей с ЧМ полем. Показано, что в случае Л-системы, взаимодействующей с одним резонансным полем без модуляции (М = 0), темный резонанс в спектре наблюдается при значении расщепления основного состояния о;х2 равного нулю, т.е. в случае вырожденной Л-системы. При наличии модуляции в спектре формируются дополнительные резонаисы КПН на частотах, кратных частоте модуляции Г2Пю<ь т.е. резонанс формируется, когда межмодовое расстояние равно зеемаповскому расщеплению основного состояния ш\2- Число резонансов зависит от индекса модуляции и увеличивается с его ростом. Для разных значений интенсивность разных резонансов различна. Это объясняется тем, что зависимость мощности прошедшего через среду модулированного сигнала для данного М пропорциональна квадрату функции Бесселя Поскольку квадрат функции Бесселя для данного индекса модуляции принимает нулевые значения при определенных значениях тг, следовательно и резонаисы на частотах пПшг,а практически отсутствуют. Показано, что полученные при помощи двухчастотиой модели результаты качественно подтверждают образование в экспериментальных спектрах дополнительных резонансов КПП на частотах, кратных частоте модуляции.

Показано, что теоретически рассчитанный спектр поглощения трехуровневой Л-системы, взаимодействующей с полем модулированным по частоте и амплитуде (для индекса частотной модуляции М = 10 и индекса амплитудной модуляции равной Д = 2), подтверждает экспериментальную зависимость.

Также проведен численный расчет временной динамики методом квантовых траекторий. На основании выполненных расчетов можно утверждать, что для систем с небольшим числом уровней N метод матрицы плотности более экономичен с точки зрения времени расчетов. Метод квантовых траекторий также позволяет численно решить задачу, однако требует больших вычислительных ресурсов и, как следствие, большего времени расчетов (порядка 5х 105 итераций), по сравнению с методом матрицы плотности. Однако, в случае расчета реальных систем с большим числом уровней, таких, например, как Сз или Шз решение подобной задачи методом квантовых траекторий может стать предпочителытее за счет сокращения числа уравнений с А'2 до N и поэтому выбор метода зависит от конкретных условий задачи.

В главе 8 показано, что для случая высокочастотной модуляции результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные в отношении положения и ширины резонансов и формы спектров.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе выполнения настоящей диссертационной работы:

1. В части I диссертации

• Развита техника символического представления супероператоров, в общем случае для И-уровпевого атома, взаимодействующего с двумя монохроматическими оптическими полями, применительно к расчету экспериментальных спектров когерентных темных резонансов.

• Представлено математическое описание методов расчета временной динамики Л-системы.

2. В части II диссертации показана применимость техники символического представления супероператоров к исследованию спектров КПН на примере атома самария.

• Моделирование спектров темных резонансов на примере атомов самария, взаимодействующих с двумя монохроматическими полями, показало, что при наложении продольного или поперечного магнитных полей спектроскопические характеристики атома самария хорошо описываются в рамках семиуровневой модели. В полученных спектрах появляются дополнительные пики поглощения за счёт того, что рассматриваемая система распадается на набор трехуровневых Л-систем, каждая из которых отвечает за формирование соответствующего резонанса. При этом переходы между уровнями, прямо не участвующими в образовании Л-систем, участвуют в формировании пиков наведенного поглощения.

• Показано, что в присутствии магнитного поля существенное влияние на форму линии поглощения и контраст резонансов КПП оказывает явление деполяризации магнитных подуровней, проявляющееся как монотонное падение контраста резонансов КПН с ростом копстапты деполяризации.

• Рассчитаны и сопоставлены с экспериментальными данными коэффициенты поглощения паров самария с учетом максвелловского распределения атомов по скоростям. Показано, что изменение температуры ведет к изменению абсолютной величины коэффициента поглощения, но практически не сказывается на его форме.

• При наличии поперечного магиитиого поля результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные как в отношении положения и ширины резонансов КПН, так и в отношении формы спектров. Для продольного же магнитного поля качественные теоретические оценки подтверждают наблюдаемое в эксперименте расщепление резонанса КПН на малую величину ~3 МГц, однако его воспроизведение при численном расчете требует выхода за рамки приближений, обычно используемых для описания эффектов влияния допплеровского уширения на формирование спектров КПН.

3. В части III диссертации:

• Предложена двухчастотная эффективная модель для расчета за-

висимости поглощения трехуровневой Л-системы, взаимодействующей с ЧМ полем, и точная модель для описания динамики формирования резонаисов. С их помощью рассчитаны и проанализированы условия возникновения когерентных темных резонансов в случае ЧМ спектроскопии.

• Показано, что при наличии модуляции (М > 0) в спектре формируются дополнительные резонансы КПН на частотах, кратных частоте модуляции П1ШмЬ т.е. резонанс формируется, когда межмо-довое расстояние пС1той равно зеемаповскому расщеплению основного состояния и>12- Число резонансов зависит от индекса модуляции и увеличивается с его ростом. Для разных значений интенсивность разных резонансов различна. Это объясняется тем, что зависимость мощности прошедшего через среду модулированного сигнала для данного М пропорциональна квадрату функции Бесселя ./^(Л/). Поскольку квадрат функции Бесселя для данного индекса модуляции принимает нулевые значения при определенных значениях п, следовательно и резонансы на частотах пГ2тоа практически отсутствуют.

• Показано, что полученные при помощи упрощенной двухчастот-ной модели результаты качественно подтверждают образование в экспериментальных спектрах дополнительных резонансов КПН на частотах кратных частоте модуляции.

• Теоретически рассчитанный спектр поглощения трехуровневой Л-системы, взаимодействующей с полем, модулированным по частоте и амплитуде (для индекса частотной модуляции М = 10 и индекса амплитудной модуляции равной Н = 2), подтверждает экспериментальную зависимость.

• Для случая высокочастотной модуляции результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные в отношении положения и ширины резонансов и формы спектров.

В приложении А дано описание особенностей резонансов КПН на фоне допплеровски уширенной линии в магнитных полях.

Список публикаций по теме диссертации

[1] J. V. Vladimirova, В. A. Grishanin, V. N. Zadkov, N. N. Kolachevsky, A.V. Akimov, N.A. Kiselev, V.N. Sorokin, and S.I. Kanorsky Spectroscopy of coherent dark resonances in samarium // Proc. SPIE, Vol. 4749, pp. 147 -156, 2002.

[2] Ю.В.Владимирова, Б.А.Гришанин, В.II.Задков, Н.Н.Колачевский, А.В.Акимов, Н.А.Кисилев, С.И.Канорский Спектроскопия когерентных темных резонансов в многоуровневых атомах па примере паров самария // ЖЭТФ, 123 (4), с. 710 - 725, 2003.

[3] J. V. Vladimirova, В. A. Grishanin, V. N. Zadkov, V.Biancalana, G. Bevilacqua, E. Breschi, Y.Dancheva, and L. Moi Theory of frequency-modulation spectroscopy of coherent dark resonances // Proc. SPIE, Vol. 6257, pp. 17 - 29, 2006.

[4] Ю.В.Владимирова, Б.А.Гришанин, В.H.Задков, В.Въянкалана, Д.Бевилаква, Й.Данчева, JI.Mou Теория частотно-модуляционной спектроскопии когерентных темных резонансов // ЖЭТФ, 130(10), 2006.

[5] J. V. Vladimirova, В. A. Grishanin, V. N. Zadkov, V.Biancalana, G. Bevilacqua, E. Breschi, Y.Dancheva, and L. Moi Computer modeling of frequency-modulation spectra of coherent dark resonances // Laser Physics Letters, 3(9), pp. 427 - 436, 2006.

[6] J. V. Vladimirova, B. A. Grishanin, V. N. Zadkov Modeling of multi-level lamda-system, // First International Conference on Laser Optics for Young Scientists LOYS-2000. St. Petersburg, Russia, June 26 - 30, 2000.

[7] J. V.Vladimir ova, B. A. Grishanin, V. N. Zadkov Spectroscopy of Coherent Dark Resonances in Samarium Vapour //II International Conference for Young Scientists and specialists "0ptics-2001". St. Petersburg, Russia, October, 2001.

[8] J. V.Vladimir ova, B. A. Grishanin, V. N. Zadkov, N. N. Kolachevsky, A. V. Akimov, N. A. Kiselev and S. I. Kanorsky Spectroscopy of Coherent Dark

Resonances in Samarium // XVII International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO 2001). Minsk, Belarus, June 26 - July 1, 2001.

[9] J. V. Vladimirova Coherent population trapping resonances in Samarium vapor // VIII International graduate and postgraduate student conference LOMONOSOV-2001. Moscow, Russia, April 10 - 13, 2001.

[10] G.Bevilacqua, V.Biancalana, E.Breschi, Y.Dancheva, L.Moi, Yu.V.Vladimirova, B.A.Grishanin, V.N.Zadkov Modulation laser spectroscopy of coherent dark resonances// International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO-2005). St. Petersburg, Russia, May 11-15, 2005. Technical Digest, p. ISuA4.

[11] Yu.V. Vladimirova, B.A.Grishanin, V.N.Zadkov, G.Bevilacqua, V.Biancalana, E.Breschi, Y.Dancheva, L.Moi Theory of frequency-modulation spectroscopy of coherent dark resonances // Russian-German Laser Symposium (RGLS-2005). Nizhny Novgorod, Russia, October 1-4, 2005. Technical Digest, pp. 63-64.

[12] J. V. Vladimirova, B. A. Grishanin, V. N. Zadkov, V.Biancalana, G. Bevilacqua, E. Breschi, Y.Dancheva, and L. Moi Frequency-modulation laser spectroscopy of coherent dark resonances // European Conference of Nonlinear Optical Spectroscopy ECONOS-2006. Smolenice, Slovak Republik, April 9-11, 2006. Book of Abstracts, p. 59.

[13] Yu..V.Vladimirova, B.A.Grishanin, V.N.Zadkov, V.Biancalana, G.Bevilacqua, Y.Dancheva, L.Moi, Theory of frequency-modulation spectroscopy of coherent dark resonances //XI International Conference on quantum optics 2006. Minsk, Belarus, May 26 - 31, 2006. Book of Abstract, p.40.

Заказ№ 105/08/06 Подписано в печать 29.08.2006 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,25

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 www.cfr.ru; е-таИ:т/о@с/г.ги

Введение

I Математическая техника расчета эффекта КПН в многоуровневых системах

1 Расчет лиувиллиана А^-уровневого атома

1.1 Расчет лиувиллиана Л^-уровневого атома с использованием символического представления.

1.2 Лиувиллиан 3-х уровневого атома в случае двух полей

1.3 Расчет средних значений

2 Математическое описание методов расчета времени'ой динамики А-системы

2.1 Метод матрицы плотности

2.2 Метод квантовых траекторий.

Выводы к части I

II Моделирование спектров когерентных темных резонансов в многоуровневых атомах на примере паров самария

3 Выбор исследуемой модели и постановка задачи

3.1 Структура уровней атома самария.

3.2 КПН в рамках четырехуровневой модели.

3.3 Учет эффекта Допплера.

4 Экспериментальная регистрация резонансов КПН в парах самария

5 Результаты моделирования спектров КПН в парах самария

5.1 Модификация спектров в магнитном поле.

5.1.1 Случай продольного магнитного поля.

5.1.2 Случай поперечного магнитного поля.

Выводы к части II

III Частотно-модуляционная лазерная спектроскопия А-систем на примере паров атома Се

6 Выбор исследуемой модели и постановка задачи

6.1 Структура уровней атома Се.

6.2 Зеемановское расщепление сверхтонкой структуры основного состояния атома Ся.

7 Низкочастотная модуляционная лазерная спектроскопия когерентных темных резонансов на примере атома Се

7.1 Взаимодействие А-системы с ЧМ полем.

7.2 Двухчастотная модель расчета 4M спектров когерентных темных резонансов.

7.3 Расчет 4M спектров резонансов КПН при помощи двухча-стотной модели.

7.3.1 Случай отсутствия частотной модуляции. Проверка схемы расчета.

7.3.2 Случай наличия частотной модуляции.

7.4 Расчет ЧМ-спектров когерентных темных резонансов при помощи точной модели

7.5 Расчет ЧМ-спектров резонансов КПН методом квантовых траекторий.

7.6 Сравнение экспериментальных и теоретических результатов

8 Высокочастотная модуляционная лазерная спектроскопия когерентных темных резонансов на примере атома Cs

Выводы к части III

Актуальность темы

Взаимодействие электромагнитного поля с атомом является одной из наиболее фундаментальных проблем квантовой оптики. Известно, что многоуровневые атомы проявляют здесь существенно более широкий спектр эффектов, чем двухуровневые атомы (ДА), за счет индуцированной полем когерентности между атомными состояниями и квантовой интерференции. Трехуровневые системы, реализуемые в Л—, Е— и V— конфигурациях, играют важную роль для изучения этих эффектов, являясь промежуточной по сложности системой между ДА и многоуровневыми атомами. В них наблюдается целый ряд новых эффектов, из которых когерентное пленение населенности (КПН) является одним из самых интригующих явлений, интенсивно исследовавшихся экспериментально и теоретически [1-7].

Эффект КПН наиболее ярко проявляется в трехуровневой системе с двумя близкими долгоживущими уровнями |1) и |2) с частотным расщеплением и 12 и третьим удаленным от них уровнем |3) (А- или У-система), возбужденной двумя непрерывными лазерными полями, так что удаленный уровень оптически "связан" с двумя другими уровнями (рис. 1).

Если переход |1) «-» |2) в диполыюм приближении запрещен и два

Рис. 1: Л-система, взаимодействующая с двумя лазерными полями Е\{Ь) и £2(2)» 6ь — однофотонная лазерная расстройка на переходе |1) |3); <5д — двухфотонная рамановская расстройка. монохроматических поля Е\ ехр(—шцЬ — г^), Е2 ехр(—— ^2) находятся в резонансе с соответствующими переходами |1) <->• |3), |2) |3), то в результате квантовой интерференции формируется узкий резонанс КПН. Он проявляется в спектре поглощения как узкий провал, когда одно из действующих полей, например шц, сканируется и рамановская расстройка 5ц = шц — и)¿2 — <¿12 проходит через соответствующее точному резонансу нулевое значение, а в спектрах резонансной флуоресценции он наблюдается как отсутствие эмиссии, что и дало название "темный (или КПН-) резонанс". Когерентное пленение населенностей — один из путей получения электромагнитно-индуцированной прозрачности [8]. Ре-зонансы КПН имеют очень узкую ширину (рекордные ширины резонанса КПН в экспериментах по спектроскопии насыщения/флуоресценции паров атомов Се с буферными газами при комнатной температуре составляют десятки Гц) [9].

Впервые резонанс КПН наблюдался в парах атомов натрия [2]. Усилия исследователей после открытия эффекта были направлены прежде всего на выяснение динамики процессов в трехуровневых системах при условии нулевой рамановской расстройки [10-13], а также на объяснение самого факта отсутствия заселения верхнего уровня. Было показано, что отсутствие частиц на верхнем уровне обусловлено переходом системы в новое состояние, к которому система приходит спустя некоторое время установления т после включения взаимодействия. Величина г определяется радиационным временем жизни атома 7-1 в возбужденном состоянии.

До настоящего времени большинство экспериментальных исследований резонансов КПН было выполнено с атомами щелочногаллоидной группы (например Сэ, Шэ) [1,14], у которых в качестве нижних уровней А-системы использовались сверхтонкие компоненты основного состояния с типичным расщеплением в несколько ГГц. Электро-дипольные переходы между компонентами сверхтонкой структуры в них, как правило, запрещены, поэтому радиационный распад пренебрежимо мал. Большое время жизни (тысячи лет) атомов щелочных металлов в когерентной суперпозиции нижних состояний способствует возникновению КПН. Возможность регистрации контрастных и высокодобротных резонансов КПН в щелочных атомах обусловлена следующим: 1) наличием прецизионных стабильных лазерных систем, перестраиваемых в области резонансного перехода и 2) относительно простой фазовой привязкой световых полей Е\ и Еч- Так, в чистых парах цезия зарегистрированы резо-нансы с шириной около 10 кГц [14].

Благодаря малой ширине резонансов КПН они нашли широкое применение в различных прецизионных спектроскопических приложениях, таких как метрология [15,16] и магнетометрия [17,18], а также в высонечувствительных лазерных интерферометрах для регистрации гравитационных волн [19]. Связанные между собой явления квантовой когерентности и интерференции лежат в основе лазеров без инверсии [20-31], корреляционного-эмиссионного лазера с подавленными квантовыми шумами [32]. Интересными представляются также возможности использования сильной нелинейности при КПН, это относится к работам по охлаждению атомов [33-44] и оптической бистабильности [45-47].

Экспериментально регистрируемая ширина линии определяется стабильностью отстройки 8л и разности фаз А(р, а также доплеровским и время-пролетным уширениями, штарковским уширением (уширение световым полем и внешними полями), уширением в неоднородных магнитных полях, ударным уширением и т.д. В экспериментах с щелочными атомами удается с высокой точностью стабилизировать А(р, например модулируя лазер с частотой, соответствующей Д. В случае использования двух независимых диодных лазеров в режиме свободной генерации можно рассчитывать на наблюдение резонансов КПН с шириной порядка нескольких МГц. Дальнейшее уменьшение ширины резонанса возможно при введении в ячейку инертного буферного газа (N6, Не, Аг) при давлении в несколько кПа. Частые столкновения с атомами буферного газа препятствуют свободному движению атомов через световой пучок так, что время взаимодействия со светом возрастает на порядки. При этом столкновения с буферным газом практически не нарушают когерентность, благодаря чему происходит сильное сужение резонанса. Так в ячейке, содержащей цезий и неон в качестве буферного газа, достигнута ширина резонанса порядка 50 Гц [14]. Также, в случае атомов цезия, для сохранения когерентности используются ячейки, стенки которых покрыты парафином или органосиланами. Такое покрытие снижает вероятность разрушения когерентного состояния при столкновении атома со стенкой в сотни и даже тысячи раз.

Редкоземельные атомы также используются при наблюдении КПН, это обусловлено тем, что в редкоземельных атомах характерное расстояние между компонентами тонкой структуры существенно превышает сверхтонкое расщепление основного состояния щелочных атомов и составляет 10-100 ТГц, в то время, как характерное время спонтанного распада этих уровней за счет магнитодипольных переходов составляет несколько секунд. Резонансы КПН в Л-системе, нижними уровнями которой являются компоненты тонкой структуры в редкоземельном атоме также обладают высокой потенциальной добротностью. Уровни тонкой структуры в редкоземельных атомах также слабочувствительны к атомным столкновениям, поскольку они хорошо заэкранированы внешней замкнутой оболочкой. Таким образом, свойства резонансов КПН в редкоземельных атомах открывает перспективу использования таких атомов в метрологических приложениях, например, для создания вторичного стандарта частоты. Одним из наиболее перспективных для метрологических приложений редкоземельных атомов является атом самария, схема уровней которого является существенно более простой по сравнению с атомом цезия, особенно в приложенных магнитных полях. В ФИАНе им.П.Н.Лебедева в группе С.И.Канорского и сотр., в рамках проекта по изучению возможности метрологических применений резонансов КПН в парах редкоземельных атомов, методами нелинейной спектроскопии высокого разрешения проводится изучение свойств паров самария (Эт) в области линий переходов, образующих А-систему [48-50]:

4/6б52(7^0) -> 4/6(7Яб5бр(3Р0)9^0 -> 4f66s2CF1). (1) Именно поэтому атом самария и был выбран в качестве "пробного камня" для проверки разработанной общей теории КПН в многоуровневых атомах.

Традиционная экспериментальная техника для наблюдения спектров темных резонансов с использованием двух резонансных лазерных полей в настоящее время широко используется для многих приложений. Однако, необходимо развитие более простой экспериментальной техники для спектроскопии темных резонансов в многоуровневых атомах, которая позволила бы использовать, например, только одно лазерное поле, но модулированное по частоте (ЧМ). Такие эксперименты проводятся в группе профессора Луиджи Мои в Университете Сиена в Италии [52] и они, фактически, инициировали наши теоретические исследования по взаимодействию трехуровневой А-системы с частотно-модулированным лазерным полем.

Модуляционные методы активно начали развиваться применительно к оптической спектроскопии в начале 80-х годов прошлого столетия. Уже хорошо известные к тому времени в микроволновой спектроскопии и спектроскопии ядерного магнитного резонанса ЧМ-методы получили новое развитие в лазерной спектроскопии [53-59]. Оптическая ЧМ-спектроскопия в настоящее время играет центральную роль в прецизионных измерениях в таких областях физики, как детектирование гравитационных волн, стандарты частоты, измерение слабых магнитных полей и др. (см. обзор [60] и ссылки в нем). В частности, введение в ЧМ спектроскопию и обзор ранних приложений можно найти в работах [54,61].

Несмотря на значительный прогресс в развитии техники оптической ЧМ-спектроскопии, теоретические модели были детально разработаны и изучены только для двухуровневых систем, которые позволяют выполнить анализ аналитически [60]. Теоретический же анализ многоуровневых, в простейшем случае трехуровневых систем, взаимодействующих с ЧМ-полем, на настоящий момент в литературе практически отсутствует. Поэтому отдельная глава диссертационной работы посвящена исследованию взаимодействия простой трехуровневой системы с ЧМ-полем.

ЧМ спектроскопия темных резонансов также представляют большой интерес для магнетометрии, стандартов частоты и многих других приложений. Эксперименты по ЧМ спектроскопии темных резонансов проводятся со щелочными атомами (например, Cs, Rb) в слабых магнитных полях [52]. Наличие магнитного поля приводит к усложнению энергетической структуры атомов за счет эффекта Зеемана (рис. 1). Например, переход Fg = 3 —► Fe = 2 в атоме Cs является рабочим в эксперименте [52]. Уровни Fg = 3 и Fe = 2 расщепляются в магнитном поле на 2F + 1 подуровня каждый. Пары основных подуровней с Атр = 2 {тпр-магнитное квантовое число) и зеемановские подуровни возбужденного состояния, образуют цепочку А-систем. В типичных экспериментах по ЧМ спектроскопии когерентных темных резонансов в атомах Cs атомная среда находится в однородном магнитном поле, величина напряженности которого порядка 10 /Л\ Спектр ЧМ излучения состоит из дискретного набора частотных компонент, и когерентный резонанс наблюдается, когда частотное расстояние между этими компонентами совпадает с зе-емановским расщеплением ш 12 основного состояния (рис. 1), обусловленным наличием постоянного магнитного поля. Когерентная структура наблюдается при сканирования частоты модуляции в небольшом диапазоне вокруг двухфотонного резонанса при фиксированной величине внешнего магнитного поля, или при фиксированной частоте модуляции путем сканирования магнитного поля в соответствующем диапазоне. [52,62-64].

Таким образом, представляется весьма актуальным анализ взаимодействия Л-систем с ЧМ полем, разработка математических методов расчета динамики формирования когерентных темных резонансов при взаимодействии Л-систем с ЧМ полем и применения этих методов к расчету конкретных атомов.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является детальный теоретический анализ спектров когерентных темных резонансов многоуровневых атомов, полученных методами прецизионной спектроскопии как в случае взаимодействия Л-системы с двумя монохроматическими полями, так и в случае взаимодействия с ЧМ полем.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработана универсальная модель КПН в многоуровневых системах (в общем случае К-уровневых) в Л-конфигурации, взаимодействующих с двумя монохроматическими оптическими полями для произвольной конфигурации магнитного поля (полей), позволяющая рассчитывать любые спектроскопические характеристики резонансов КПН.

• Впервые проведен теоретический анализ ЧМ-спектроскопии когерентных темных резонансов на примере простой трехуровневой Л-системы, позволяющий рассчитать динамику формирования резонансов при взаимодействии системы с ЧМ полем.

Практическая ценность работы

• Разработанная модель и комплекс программ для моделирования спектральных характеристик резонансов КПН в многоуровневых системах (в общем случае М-уровневых), взаимодействующих с двумя монохроматическими оптическими полями и произвольной конфигурацией магнитного поля, могут легко быть адаптированы для произвольных многоуровневых атомов и схем возбуждения, что находит также практическое применение в высокопрецизионных измерениях, для создания и применения перепутанных состояний, в инженерии квантовых состояний.

• Полученные результаты по взаимодействию трехуровневой Л-системы с ЧМ полем представляют непосредственный интерес для анализа эспериментальных данных по ЧМ спектроскопии темных резонансов, находящей практическое применение в таких важных приложениях как, например, магнетометрия, метрология и др.

Защищаемые положения

По результатам диссертационной работы можно сформулировать следующие защищаемые положения:

• Предложенная теория резонансов когерентного пленения населенности (КПН) в многоуровневых атомах, основанная на технике символического представления супероператоров, позволяет универсальным образом рассчитывать произвольные схемы возбуждения с учетом эффектов релаксации, приложенного магнитного поля и эффекта Допплера. Данная теория эффективна для систематического анализа результатов экспериментов по высокопрецизионной диодной спектроскопии когерентных темных резонансов в парах самария. В отсутствии магнитного поля адекватна модель самария, основанная на рассмотрении вырожденной Л-системы на активных переходах 4/66з2(7^0) <-> 4/б(7^)6з6р(3Р0)9^0 <-> 4/66$2№), которая с учётом четвертого уровня 4/бб52(7^2), играющего роль резервуара, становится открытой системой. Численное моделирование резонансов КПН показывает, что открытый характер системы уменьшает контраст резонансных кривых в спектрах поглощения, не меняя ширины самих резонансов. Для случаев наложения внешнего продольного/поперечного магнитного поля адекватна 7-уровневая модель атомных переходов.

• Выполненный впервые теоретический анализ взаимодействия трехуровневого атома в Л-конфигурации с ЧМ полем позволяет предложить и проанализировать эффективную двухчастотную модель для решения задачи ЧМ спектроскопии когерентных темных резонансов на примере трехуровневой Л-системы. Эффективность этой модели следует из сравнения полученных с ее помощью результатов с результатами решения точной задачи о взаимодействии Л-системы с ЧМ полем, решаемой как при помощи метода матрицы плотности, так и на основе метода квантовых траекторий. Двухча-стотная модель не только соответствует численному решению точной динамической задачи, но и качественно согласуется с данными спектроскопических экспериментов.

• В спектрах поглощения Л-системы, взаимодействующей с ЧМ полем, в случае паров атомов цезия при наличии модуляции в спектре формируются дополнительные резонансы КПН на частотах, кратных частоте модуляции Í2m0d, т.е. резонанс формируется, когда межмодовое расстояние ní)mod равно зеемановскому расщеплению основного состояния Число резонансов зависит от индекса модуляции М и увеличивается с его ростом. Для разных значений М интенсивность различных резонансов регулируется значениями функции Бесселя Jn(M), определяющими амплитуды частотных гармоник.

Апробация работы

По материалам диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 5 - статьи в научных журналах: ЖЭТФ (2006, 2003), Proc. SPIE (2006, 2002), Laser Physics Letters (2006).

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и семинарах:

1. Международная конференция "First International Conference on Laser Optics for Young Scientists - 2000". 26-30 июня 2000 г., Санкт-Петербург, Россия.

2. Международная конференция "II International Conference for Young Scientists and specialists "Optics-200111, октябрь 2001 г., Санкт-Петербург, Россия.

3. Международная конференция "XVII International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO 2001)", 26 июня - 1 июля 2001г., Минск, Беларусь.

4. Международная конференция "VIH International graduate and postgraduate student conference LOMONOSOV-2001", 10 - 13 апреля 2001г., Москва, Россия.

5. Летняя школа по квантовой оптике "Quantum Optics Summer School (QOSS-2001)", 15 -30 августа 2001г., Бонн, Германия.

6. Международная конференция "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO-LAT 2005)", 11-15 мая, 2005г., Санкт-Петербург, Россия.

7. Семинар физического факультета Университета Сиена, 10 июня 2005г., Сиена, Италия.

8. Международная конференция "Russian-German Laser Symposium (RGLS-2005)", 1 - 4 октября 2005г., Нижний Новгород, Россия.

9. Международная конференция "European Conference of Nonlinear Optical Spectroscopy ECONOS-2006", 9-11 апреля 2006г., Смо-леница, Словакия.

10. Международная конференция "XI International Conference on quantum optics 2006", 26 — 31 мая 2006г., Минск, Беларусь.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех частей, заключения, списка литературы из 104 наименований и одного приложения. Общий объем работы составляет 122 страницы машинописного текста, включая 23 рисунка и 7 таблиц.

Основные результаты диссертации доложены на научных семинарах и международных конференциях в России и за рубежом в 2000-2006 годах и опубликованы в работах [90-103].

В заключение выражаю искреннюю благодарность моим научным руководителям — Виктору Николаевичу Задкову за постоянное внимание к работе и Борису Андреевичу Гришанину за постановку задач и неоценимую помощь в освоении методов их решения. Я также глубоко благодарна своей семье за понимание и поддержку в процессе всей работы над диссертацией.

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. В части I диссертации

• Развита техника символического представления супероператоров, в общем случае Ы-уровневого атома, взаимодействующего с двумя монохроматическими полями, для расчета экспериментальных спектров когерентных темных резонансов.

• Дано также математическое описание методов расчета временной динамики Л-системы.

2. В части II показана применимость техники символического представления супероператоров к исследованию экспериментальных спектров для конкретного атома — самария.

• Моделирование спектров темных резонансов на примере атомов самария, взаимодействующих с двумя монохроматическими полями показало, что при наложении продольного или поперечного магнитных полей спектроскопические характеристики атома самария хорошо описываются в рамках семиуровневой модели. В полученных спектрах появляются дополнительные пики поглощения за счёт того, что рассматриваемая система распадается на набор трехуровневых Л-систем, каждая из которых отвечает за формирование соответствующего резонанса. При этом переходы между уровнями, прямо не участвующими в образовании Л-систем, участвуют в формировании пиков наведенного поглощения.

• Показано, что в присутствии магнитного поля на форму линии поглощения и контраст резонансов КПН существенное влияние оказывает явление деполяризации магнитных подуровней, проявляющееся как монотонное падение контраста резонансов КПН с ростом константы деполяризации.

• Рассчитаны и сопоставлены с экспериментальными данными коэффициенты поглощения паров с учетом максвелловского распределения атомов по скоростям. Показано, что изменение температуры ведет к изменению абсолютной величины коэффициента поглощения, но практически не сказывается на его форме.

• При наличии поперечного магнитного поля результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные как в отношении положения и ширины резонансов КПН, так и в отношении формы спектров. Для продольного же магнитного поля качественные теоретические оценки подтверждают наблюдаемое в эксперименте расщепление резонанса КПН на малую величину ~3 МГц, однако его воспроизведение при численном расчете требует выхода за рамки приближений [77], обычно используемых для описания эффектов влияния допплеровского уширения на формирование спектров КПН.

3. В части III диссертации:

• Предложена двухчастотная эффективная модель для расчета зависимости поглощения трехуровневой Л-системы, взаимодействующей с ЧМ полем и точная модель для описания динамики формирования резонансов. С их помощью расчита-ны и проанализированы условия возникновения когерентных темных резонансов в случае ЧМ спектроскопии.

• Показано, что при наличии модуляции (М > 0) в спектре формируются дополнительные резонансы КПН на частотах, кратных частоте модуляции 0ШосЬ т-е- резонанс формируется, когда межмодовое расстояние пГ2тоа равно зеемановскому расщеплению основного состояния Число резонансов зависит от индекса модуляции и увеличивается с его ростом. Для разных значений интенсивность разных резонансов различна. Это объясняется тем, что зависимость мощности прошедшего через среду модулированного сигнала для данного М пропорциональна квадрату функции Бесселя Поскольку квадрат функции Бесселя для данного индекса модуляции принимает нулевые значения при определенных значениях п, следовательно и резонансы на частотах пГ2тоа практически отсутствуют.

• Показано, что полученные при помощи упрощенной двухча-стотной модели результаты качественно подтверждают образование в экспериментальных спектрах дополнительных резонансов КПН на частотах кратных частоте модуляции.

• Теоретически рассчитанный спектр поглощения трехуровневой Л-системы, взаимодействующей с полем модулированным по частоте и амплитуде (для индекса частотной модуляции М = 10 и индекса амплитудной модуляции равной И, = 2), подтверждает экспериментальную зависимость.

• Для случая высокочастотной модуляции результаты численных расчетов полностью воспроизводят экспериментальные данные в отношении положения и ширины резонансов и формы спектров.

1. E. Arimondo Progress in Optics, 35, E. Wolf, Ed. Elsevier, Amsterdam, pp. 257, 1999.

2. G. Alzetta, A. Gozzini, L. Moi, G. Orriols An experimental method for the observation of r.f. transitions and laser beat resonances in oriented Na vapors // Nuovo Cimento. B 36, pp. 5, 1976.

3. H.R. Gray, R.M. Whitly, and Jr., C.R. Stroud Coherent trapping of atomic populations // Opt. Lett., 3, pp. 218, 1978.

4. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser, N. Vansteenkiste, C. Cohen-Tannoudji Laser Cooling below the One-Photon Recoil Energy by Velocity-Selective Coherent Population Trapping // Phys. Rev. Lett., 61, pp. 826-829, 1988.

5. A. Kasapi Enhanced isotope discrimination using electromagnetically induced transparency // Phys. Rev. Lett, 77, p. 1035, 1996.

6. G. Alzetta, L. Moi, G. Orriols Non absorption hyperfine resonances in a sodium vapor irradiated by a multimode dye laser // Nuovo Cimento B, 52, p. 209, 1979.

7. G. Orriols, G. Alzetta, L. Moi Optical relaxation effects on magneticresonances in vapours oriented by broad line laser excitation // Opt. Commun, 42, p. 335, 1982.

8. S.E. Harris, J.E. Field, A. Imamoglu Nonlinear Optical Processes Using Electromagnetically Induced Transparency // Phys. Rev. Lett., 64, pp. 1107-1110,1990.

9. S. Brandt, A. Nagel, R. Wynands, D. Meschede BuRer-gas-induced linewidth reduction of coherent dark resonances to below 50 Hz // Phys. Rev. A 56, 1063-1066, 1997.

10. B.J. Dalton, P.L. Knight Population trapping and ultranarrow Raman lineshapes induced by phase-fluctuating fields // Opt. Commun., 42(6), pp. 411-416, 1982.

11. P.M. Radmor, P.L. Knight // J, Phys. B. 1982, 15, 561. Swain S. J. Phys. B. 1982,15, 3405.

12. B.J. Dalton, R. McDuff, P.L. Knight Coherent population trapping. Two unequal phase fluctuating laser fields // Opt. Acta, 32(1), pp. 6170, 1985.

13. D.A. Cardimona, M.P. Sharma, M.A. Ortega J. Phys. B., 22, 4029, 1989.

14. R. Wynands, A. Nagel // Appl. Phys. B, 68, 1, 1999.

15. J.E. Thomas, P.R. Hemmer, S. Ezekiel, C.C. Leiby Jr., R.H. Picard, C.R. Willis Observation of Ramsey fringes using a stimulated, resonance Raman transition in a sodium atomic beam // Phys. Rev. Lett. 48, pp. 867-870, 1982.

16. P.R. Hemmer, M.S. Shahriar, H. Lamela-Rivera, S.P. Smith, B.E. Bernacki, S. Ezekiel Semiconductor laser excitation of Ramsey-fringes by using a Raman transition in a cesium atomic beam //J. Opt. Soc. Am. В 10, pp. 1326-1329, 1993.

17. M.O. Scully, M. Fleischhauer High-sensitivity magnetometer based on indexenhanced media // Phys. Rev. Lett. 69, pp. 1360-1363, 1992.

18. M.O. Scully, M. Fleischhauer Quantum sensitivity limits on an optical magnetometer based on atomic phase coherence // Phys. Rev. A. 49, pp. 1973-1986, 1994.

19. C.M. Caves Quantum-mechanical noise in an interferometer // Phys. Rev. D 23, pp. 1693-1708, 1981.

20. S.E. Harris Lasers without Inversion: Interference of Lifetime-Broadened Resonances // Phys. Rev. Lett. 62, pp. 1033-1036, 1989.

21. O.A. Кочаровская, Я. Ханип // Письма ЖЭТФ, 48, 581, 1988.

22. Ya. Khanin, O.A. Kocharovskaya // Opt. Soc, Am. B. 1990, 7, 2016.

23. O.A. Кочаровская //Квантовая электроника, 17, 20, 1990.

24. M.O. Scully, S.-Y. Zhu, A. Gawielides Degenerate quantum-beat laser: Lasing without inversion and inversion without lasing // Phys. Rev. Lett. Phys. Rev. Lett. 62, pp. 2813-2816, 1989.

25. V.R. Blok, G.M. Krochic Theory of lasers without inversion //Phys. Rev. A 41, pp. 1517-1525, 1990.

26. O. Kocharovskaya, R.-D. Li, P. Mandel Lasing without inversion. The double A-scheme // Opt. Commun. 77 (2-3), pp. 215-220, 1990.27. 0. Kocharovskaya, P. Mandel Amplification without inversion: The double-Л scheme // Phys. Rev. A 42, pp. 523-535, 1990.

27. E.E. Fill, И.О. Scully, S.-Y. Zhu // Opt. Commun. 1990, 77, 36.

28. О. Kocharovskaya, P. Mandel Frequency up-conversion in a three-level medium without inversion // Opt. Commun. 84 (3-4), pp. 179-183,1991.

29. O.A. Kocharovskaya, F. Maori, E. Arimondo Laser without population inversion and coherent trapping // Opt. Commun. 84 (5-6), pp. 393-400, 1991.

30. O. Kocharovskaya Amplication and lasing without inversion // Physics Report, 219 (3-6), pp. 175-190, 1992.

31. M.P. Winters, J.L. Hall, P.E. Toschek Correlated Spontaneous Emission in a Zeeman Laser // Phys. Rev. Lett. 65, pp. 3116-3119, 1990.

32. C. Cohen-Tannoudji, W. Phillips New Mechanisms for Laser Cooling // Physics Today 43, pp. 33-40, 1990.

33. Laser Cooling and Trapping of Atoms. Eds. S. Chu, С. Wieman, J. Opt. Soc. Am. В., 6, 2020, 1989.

34. M.В. Горный, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рооюдествепский // Письма в ЖЭТФ, 15, 68, 1989.

35. V.G. Minogin, M.A. Olshany, S. V. Shulga // Opt. Soc. Am. В., 6, 2108, 1989.

36. S. Chang, В. Garraway, V. G. Minogin Deep cooling of three-level atoms in two standing waves // Opt. Commun. 77 (1), pp. 19-25, 1990.

37. Д.В. Косачев, Б.Г. Матисов, Ю.В. Роэюдествепский // Квантовая электроника, 19, 287,1992.

38. A. Aspect, Е. Arimondo, R. Kaizer et al. Laser Cooling below the One-Photon Recoil Energy by Velocity-Selective Coherent Population Trapping // Phys, Rev. Lett., 61, pp. 826-829, 1988.

39. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaizer et al. Laser cooling below the Doppler and recoil limits //J. Opt. Soc. Am. B. 6, 2112, 1989.

40. A. Aspect, R. Kaizer // Found. Phys., 20, 1413, 1990.

41. F. Mauri, E. Arimondo // Europhys. Lett., 16, 717, 1991.

42. M.A. Olshany, V.G. Minogin // Quantum Optics., 3, 317, 1991.

43. M.A. Olshany // J. Phys. В., 24, 583, 1991.

44. D.F. Walls, P. Zoller Coherent nonlinear mechanism foroptical bistability from three level atoms // Opt. Commun., 34 (2), pp. 260-264, 1980.

45. G.P. Agrawal Lasers with three-level absorbers // Phys. Rev. A., 24, pp. 1399-1403,1981.

46. J. Mlynek, F. Mitsehke, R. Deserno et al. Optical bistability from three-level atoms with the use of a coherent nonlinear mechanism // Phys, Rev. A. 29, pp. 1297-1303, 1984.

47. N.N. Kolachevsky, A.A. Papchenko, N.A. Kiselev, V.N. Sorokin, A. V. Akimov and S.I. Kanorsky Isotopic shifts and hyperfine structure of the 672 and 686 nm spectral lines of samarium.

48. H.H. Колачевский, A.B. Акимов, H.A. Киселев, A.A. Папченко, B.H. Сорокин, С.И. Канорский // Опт. и Спектр., 90 (2), pp. 164.

49. H.H. Колачевский, A.B. Акимов, H.A. Киселев, A.A. Папченко, В.Н. Сорокин, С.И. Канорский // Квант. Электрон., 31 (1), pp. 61, 2001.

50. L. Mandel and Е. Wolf Optical Coherence and Quantum Optics // Cambridge Univ. Press, 1995.

51. M. Cardona, Modulation Spectroscopy, Suppl. 11 of Solid State Physics,

52. F. Seitz, D. Turnbull, and H. Ehrenreich, eds. (Academic, New York, 1969), Chaps. 3-4, pp. 89-115.

53. M. Gehrtz, G.C. Bjorklund, and E.A. Whittaker Quantumlimited laser frequency-modulation spectroscopy //J. Opt. Soc. Am. В 2, pp. 15101526,1985.

54. E.A. Whittaker, P. Pokrowsky, W. Zapka, K. Roche, and

55. G.C. Bjorklund Improved laser technique for high sensitivity atomic absorption spectroscopy in flames //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 30, pp. 289-296, 1983.

56. P. Pokrowsky, W. Zapka, F. Chu, and G. C. Bjorklund High frequencywavelength modulation spectroscopy with diode lasers // Opt. Commun. 44, pp. 175-179, 1983.

57. G.C. Bjorklund and M.D. Levenson Sub-Doppler frequencymodulation spectroscopy of 12 // Phys. Rev. A 24, pp. 166-169, 1981.

58. C.B. Carlisle, D.E. Cooper, and H. Preier Quantum noise-limited FM spectroscopy with a lead-salt diode laser // Appl. Opt. 28, pp. 25672576, 1989.

59. W. Lenth, C. Ortiz, and G. C. Bjorklund Pulsed frequencymodulation spectroscopy as a means for fast absorption measurements // Opt. Lett. 6, pp. 351-353, 1981.

60. G.E. Hall, S.W. North Transient laser frequency modulation spectroscopy // Annu.Rev.Phys.Chem., 51, pp. 243-274, 2000.

61. G.C. Bjorklund, M.D. Levenson, W. Lenth, C. Ortiz // Appl. Phys. B 32. pp. 145-152, 1983.

62. G. Bevilacqua, V. Biancalana, E. Breschi, Y. Dancheva, C. Marinelli, E. Mariotti, L. Moi, Ch. Andreeva, T. Karaulanov, S. Cartaleva // Proc. SPIE Vol. 5830, pp. 150, 2005.

63. E.B. Alexandrov, M. Azuzinsh, D. Budker, D.F. Kimbal, S.M. Rochester, V.V. Yashchuk // arXiv: Physics 0405049, 2004.

64. Yu. Malakyan, S.M.Rochester, D.Budker, D.F.Kimbal, V.V.Yashchuk Nonlinear magneto-optical rotation of frequency-modulated light resonant with a low-J transition // Phys. Rev. A 69, p.013817, 2004.

65. J. Vanier and C.I. Audoin // IOP Publishing Ltd, 1989.

66. Б.А. Гришанин, Квантовые случайные процессы, http://comsiml.phys.msu.su/people/grishanin/teaching/qsp/.

67. Л. А. Вайнштейн, И. И. Собелъман, Е. А. Юдин, Возбуждение атомов и уширение спектральных линий, — М.:Наука, 1978.

68. W. Happer Optical Pumping // Rev. Mod. Phys. 44, 169, 1972.

69. B.A. Grishanin, V.N. Zadkov, and D. Meschede Modification of resonance fluorescence and absorption in a Л-system by four-wave mixing // Phys. Rev. A 58, pp. 4235, 1998.

70. I. V. Bargatin, B. A. Grishanin, and V. N. Zadkov Fluorescence and absorption properties of a driven A-system // Proc. SPIE Vol. 3736, pp. 246, 1998.

71. J. Dalibard, Y. Castin, K. Molmer Wave-Function Approach to Dissipative Processes in Quantum Optics // Phys. Rev. Lett. 68, p. 5, 1998.

72. K. Molmer and Y. Castin Monte Carlo wavefunctions in quantum optics 11 Quantum Semiclass. Opt. 8, pp. 49-72, 1996.

73. H. J. Carmichael Quantum Trajectory Theory for Cascaded Open System 11 Phys. Rev. Lett. 70, pp. 15, 1993.

74. K. Molmer, Y. Castin, and J. Dalibard Monte Carlo wave-function method in quantum optics // J. Opt. Soc. Am. В 10, pp. 524, 1993.

75. G. Lindblad // Commun. Math. Phys. 48, pp. 119, 1976.

76. Е.Б.Александров, В.Н.Корастылев, В.Н.Кулясов, К.П.Василевский II Оптика и спектроскоапия 90(2), pp. 164, 2001.

77. E. Kuznetsova, О. Kocharovskaya, and M. 0. Scully The effects of inhomogeneous line broadening on electromagnetically induced transparency (EIT) and slow group velocity 11 Proc. SPIE 4750, pp. 117, 2002.

78. A.V. Akimov, N.N. Kolachevsky, V.N. Sorokin, and S.I. Kanorsky A-resonance in the presence of velocity changing collisions // IQEC-2002 Technical Digest, QSu07, 2002.

79. B.M. Смирнов, Возбужденные атомы, — М.:Энергоиздат, 1982.

80. Р.F. Liao, J.E. Bjorkholm, and P.R. Berman Effects of velocity-changing collisions on two-photon and stepwise-absorption spectroscopic line shapes // Phys. Rev. A 21(6), pp. 1927, 1980.

81. И.И.Собелъмап, Введение в теорию атомных спектров, — М.: Наука, 1977.

82. Technical Report revision 1.5 // Theoretical Division Los Alamos National Laboratory, 2002.

83. Technical Report revision 1.6 // Theoretical Division Los Alamos National Laboratory, 2003.

84. Technical Report revision 1.6 // Theoretical Division Los Alamos National Laboratory, 2000.

85. C.W. White, W.M. Hughes, G.S. Hayne, H.G. Robinson, Determination of g-factors for free 133Cs and 87Rb atoms, // Phys.Rev.A 7, pp. 11781182,1973.

86. E. Arimondo, M. Inguscio, P. Violino Experimental determinations of the hyperfine structure in the alkali atoms // Rev.Mod.Phys. 49, pp.31, 1977.

87. C.E. Tanner, C. Wieman Precision measurement of the hyperfine structure of the 133Cs 6P3/2 state // Phys.Rev.A 38, pp. 1616, 1988.

88. P.J. Mohr, B. Taylor COD ATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998 // Rev.Mod.Phys. 72, pp. 351, 2000.

89. J.M. Supplee, E.A. Whittaker, W. Lenth Theretical description of frequency modulation and wavelength modulation spectroscopy // Applied Optics 33, 27, p.6294-6302, 1994.

90. J. V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov Modeling of multilevel lamda-system, // First International Conference on Laser Optics for Young Scientists LOYS-2000. St. Petersburg, Russia, June 26 30, 2000.

91. J.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov Spectroscopy of Coherent Dark Resonances in Samarium Vapour // II International Conference for Young Scientists and specialists n0ptics-2001". St. Petersburg, Russia, October, 2001.

92. J.V. Vladimirova Coherent population trapping resonances in Samarium vapor // VIII International graduate and postgraduate student conference LOMONOSOV-2001. Moscow, Russia, April 10 -13, 2001.

93. J.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov Modeling of multilevel lamda-system by example samarium atom // Quantum Optics Summer School (QOSS-2001), University of Bonn, Germany, August 15-30, 2001.

94. J.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov, N.N. Kolachevsky, A.V. Akimov, N.A. Kiselev, V.N. Sorokin and S.I. Kanorsky Spectroscopy of coherent dark resonances in samarium // Proc. SPIE Vol. 4749, pp. 147-156, 2002.

95. Ю.В. Владимирова, B.A. Гришапип, B.H. Задков, H.H. Колачев-ский, А.В. Акимов, H.A. Кисилев, С.И. Канорский Спектроскопия когерентных темных резонансов в многоуровневых атомах на примере паров самария // ЖЭТФ, 123 (4), с. 710-725, 2003.

96. Yu.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov Modulation laser spectroscopy of coherent dark resonances // Siena, Italy, June 10, 2005.

97. J.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov, V. Biancalana, G. Bevilacqua, E. Breschi, Y. Dancheva, and L. Moi Theory of frequency-modulation spectroscopy of coherent dark resonances // Proc. SPIE, Vol. 6257, pp. 17 29, 2006.

98. Ю.В. Владимирова, B.A. Гришанин, B.H. Задков, В. Въянкалана,a

99. Д. Вееилаква, И. Данчева, Л. Мои Теория частотно-модуляционной спектроскопии когерентных темных резонансов // ЖЭТФ, 130(10), 2006.

100. J.V. Vladimirova, B.A. Grishanin, V.N. Zadkov, V. Biancalana, G. Bevilacqua, E. Breschi, Y. Dancheva, and L. Moi Computer modeling of frequency-modulation spectra of coherent dark resonances /1 Laser Physics Letters, 3(9), pp. 427 436, 2006.