Теоретический анализ процессов столкновения элементарных частиц при высоких энергиях и разработка программных средств для его автоматизации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА.

На правах рукописи

Вячеслав Анатольевич Ильин

Теоретический анализ процессов столкновения элементарных частиц при высоких энергиях и разработка программных средств для его автоматизации

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

академик Д.В. Ширков (ОИЯИ) доктор физико-математических наук профессор Б.А. Арбузов (ИФВЭ) доктор физико-математических наук Н.В. Красников (ИЯИ РАН)

Ведущая организация: Институт математики СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится чЛЗ" ¿ЗТС^У 1997 г. в ¿Г-3 час. на заседании диссертационного совета Д 053.05.41 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (г. Москва, Воробьевы горы, физический факультет, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке физического факульте-

та МГУ.

Автореферат разослан " Сг/С- 'Г 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совет доцент

Общая характеристика и актуальность работы.

Чрезвычайная сложность современных детекторов и самих ускорителей высоких энергий обуславливают необходимость предварительного расчета и анализа физически интересных явлений и оптимальных условий их экспериментального обнаружения. Среди наиболее актуальных физических проблем можно выделить исследование механизма образования масс W и Z бозонов, а также фермионов. В настоящее время обсуждается спонтанное нарушение электрослабой калибровочной симметрии в качестве этого механизма, что является важнейшей составной частью теории Салама-Вайнберга. Однако, до сих пор не существует лрямых экспериментальных подтверждений этой идеи, в частности, не открыт еще скалярный бозон Хиггса. Поиски его проводятся на е+е~ коллайдере LEP2 и, далее, они предполагаются на адронных ускорителях TEVATRON (после увеличения его светимости) и LHC. Однако, недостаточно будет открытия скалярной частицы — необходимо будет экспериментально изучить взаимодействие Я бозона с другими частицами, и в особенности его самодействие. Только тогда можно будет утверждать, что минимальный механизм образования масс экспериментально подтвержден. Или, наоборот, будут обнаружены отклонения от этого сценария. Особый интерес представляет изучение вершин, отсутствующих в лагранжиане Салама-Вайнберга, в частности 77Я и ZjH, так как именно здесь можно ожидать особой чувствительности экспериментов к проявлениям новой физики. Детальное исследование свойств Я бозона будет возможно на проектируемых линейных ускорителях на TeV-ные энергии (на первом этапе с y/s ~ 0.5 TeV), работа которых планируется как в режиме е+е~ столкновений, так и в еу и 77 режимах. Расчет и анализ новых реакций с рождением хигссовского бозона на линейных коллайдерах нового поколения является одной из основных задач диссертации.

Важнейшей задачей также является поиск новых частиц. В последние годы активно обсуждаются лептокварки - гипотетические бозоны, обладающие одновременно квантовыми числами лептоиов и кварков. Всплеск интереса к ним был обусловлен перспективой их обнаружения на ер коллайдере HERA, как резонанса в глубоко-неупругом рассеянии. Однако существуют и ряд теоретических соображений в пользу этой гипотезы. В частности, она естественно возникает в связи с симметрией между квар-ковым и лептонным секторами в электрослабой теории Салама-Вайнберга. Однако, в случае открытия лептокварка важной задачей будет его «идентификация, то есть определение его квантовых чисел, так как предсказывается целое семейство таких частиц. В диссертации эта проблема подвергается

детальному изучению.

Для решения этих задач современной коллайдерной физики потребовался большой объем вычислений. Расчет характеристик процессов столкновения всегда представлял непростую техническую проблему, причем сложность вычислений резко увеличилась в последние годы. Важно отметить, однако, что вычисление характеристик процессов столкновений имеет общие черты, вне зависимости от физики конкретных реакций. Поэтому в диссертации предпринята попытка решения вычислительных задач современной коллайдерной физики на общей основе, что было основной методологической целью диссертации.

Одной из таких черт является лшссовостпъ типичных вычислительных задач. Действительно, даже в рамках Стандартной Модели требуются расчеты десятков базовых реакций. Эти же реакции необходимо анализировать также и в рамках различных обобщений Стандартной Модели. Кроме того, в этих обобщениях возможны новые реакции, с рождением новых частиц. Далее, в базовых реакциях, как правило, будут рождаться нестабильные частицы, и новая физика должна будет регистрироваться по сигнатурам с многочастичньши конечными состояниями. Поэтому требуется также и расчет всевозможных фоновых вкладов.

Другой чертой является однотипность расчетов. Действительно, основные вычисления можно проводить в древесном приближении. Они состоят из относительно ограниченного набора операций - генерации диаграмм, подстановки правил Фейнмана, свертки индексов и вычисления следов 7-матриц Дирака, а также интегрирования по фазовому пространству. В ряде случаев, в основном для прецизионного анализа, требуется вычисление петлевых интегралов. По отдельности все эти операции, в том или ином виде, давно известны и изложены в учебниках и специальной литературе. Проблема возникает в связи с огромным объемом необходимых вычислений.

Ясно, что требуемые расчеты возможны только с использованием компьютеров, и это является уже повседневной практикой. Вычислительная техника применяется как для численных расчетов, так и для проведения аналитических выкладок, для чего используются системы компьютерной алгебры REDUCE, FORM и другие. При этом, компьютеры используются для выполнения отдельных операций. Однако, две черты отмеченные выше, массовость и однотипность, позволяют ставить задачу создания пакета программ полностью автоматизирующего весь вычислительный процесс, по крайней мере для некоторых классов вычислительных задач. Это совершенно новая постановка проблемы вычислений в современной коллайдер-

ной физике. Более того, можно утверждать, что только такой подход может реально обеспечить, с вычислительной стороны, разработку программ физических исследований на планируемых ускорителях в требуемом объеме.

Фундаментальным свойством современных теорий является локальная калибровочная инвариантность, что оказалось не так просто обеспечить в вычислениях. Действительно, на определенном этапе приходится переходить от аналитических к численным расчетам. Это связано, в частности, с интегрированием по фазовому пространству, которое, вообще говоря, невозможно провести аналитически. Причем, численно интегрировать приходится вклады отдельных диаграмм, которые, как правило, не являются калибровочно-инвариантными. Кроме того, необходимо держать под контролем источники численной нестабильности, которые, в связи с нарушением калибровочной инвариантности из-за ошибок округления, могут привести к неправильному результату. При вычислении же петлевых вкладов эта проблема усложняется, в связи с дополнительным интегрированием по петлевым импульсам. В диссертации особое внимание уделяется проблеме обеспечения калибровочной инвариантности расчетов.

В квантовой хромодинамике возникают новые вычислительные проблемы. Действительно, здесь, вообще говоря, неприменима теория возмущения. Однако в жестких процессах, с большими переданными импульсами, непертурбативные вклады можно собрать в виде партонных распределений кварков и глюонов, информация о которых извлекается из экспериментальных данных. Сечения же реакций вычисляются в виде свертки жесткого подпроцесса с соответствующими структурными функциями. В свою очередь матричный элемент жестких подпроцессов можно вычислять по теории возмущений. Этот прием в диссертации используется как один из основных вычислительных методов для автоматизации расчетов. Аналогичный подход, с разделением пертурбативных и непертурбативных вкладов, с успехом применяется и в спектроскопии адронов. Здесь непертурбативные вклады удается собрать в виде феноменологических параметров, важнейшим из которых является глюонный конденсат. Коэффициентные функции конденсатов можно вычислять в теории возмущений, как суммы вкладов от петлевых диаграмм Фейнмана. В таком подходе важным является вычисление петлевых поправок в коэффициентные функции, в связи с большим значением а8. В частности, первые оценки глюонного конденсата были основаны на однопетлевых расчетах. Поэтому вычисление двухпетле-вых поправок могло дать информацию о точности таких оценок, что и было

одной из задач данной дисссертациогшой работы.

В связи с актуальностью автоматизации расчетов петлевых диаграмм Фейнмана возникают новые общие проблемы. Одна из них относится к вычислениям в алгебре 7-матриц Дирака в пространствах с нецелой размерностью (размерная регуляризация является наиболее оптимальной для этих задач), и особые сложности связаны с 75 матрицей. Действительно, такой объект, строго говоря, не существует в алгебре 7-матриц с нецелой размерностью пространства. Приходится создавать особые вычислительные приемы, что требует специального обоснования. Вычисления же с 75 актуальны для современных теорий, в которых киральные и аксиальные взаимодействия спинорных полей широко представлены.

Наконец, при автоматизации теоретических выкладок возникают совершенно новые проблемы, которые не столь заметны при выиолнениии расчетов вручную. Одна из них — упрощение выражений, составленных из индексированных объектов (например, тензоров), которая при наличии многочленных тождеств оказывается нетривиальной. Центральным моментом здесь является построение канонической формы, само существование которой не было очевидным. Типичной задачей такого рода является вычисление однопетлевых контрчленов в теориях, включающих поля с высшими спинами. Такие теории в настоящее время интенсивно обсуждаются в связи с идеей суперсимметрии и включения гравитации в объединенные модели. Подобные проблемы возникают и для выражений, не включающих собственно тензора, как геометрические объекты. Например, многочленные линейные тождества (связанные с калибровочной инвариантностью) возникают и для однопетлевых интегралов. Таким образом, проблема учета многочленных тождеств, решение которой предлагается в диссертации, является общей в связи с задачей оптимизации компьютерных вычислений. Более того, можно прогнозировать, что интерес к этой проблеме будет возрастать с расширением компьютерных вычислений на область расчетов в алгебрах, группах и других дифференциально-геометрических и алгебраических конструкциях, использование которых представляет собой одно из наиболее активно развивающихся направлений современной квантовой теории поля.

Цель диссертации состояла в разработке нового подхода к вычислению характеристик процессов столкновения элементарных частиц при

высоких энергиях на основе полной автоматизации всего вычислительного процесса, и проведение, с помощью вновь созданных программ, анализа новых реакций с рождением бозона Хиггса и лептокварков, а также других актуальных проблем теоретической физики высоких энергий.

Научная новизна и практическая значимость диссертации состоят в том, что в ней впервые предпринята попытка полной автоматизации расчетов характеристик процессов столкновения элементарных частиц, в результате чего создан пакет программ СошрНЕР. Созданы и другие программы, в частности, впервые предложено общее решение проблемы упрощения индексированных выражений в присутствии многочленных тождеств, что важно для оптимизации компьютерных аналитических вычислений. Созданные программы применены для исследования актуальных проблем теоретической физики высоких энергий, в результате чего получен ряд новых результатов, включающих рекомендации по планированию экспериментов на проектируемых коллайдерах. Среди них иследование процессов с парным рождением хиггсовского бозона на будущих линейных коллайдерах, с анализом возможности экспериментального изучения его самодействия. Кроме того, впервые изучены два новых процесса с одиночным рождением бозона Хиггса в электрон-фотонных столкновениях, которые, как оказалось, представляют большой интерес как для поиска этой новой частицы, так и для изучения его вершин взаимодействия с калибровочными бозонами. Также, впервые исследованы процессы рождения лептокварка с излучением жесткого фотона в электрон-протонных столкновениях, где предсказан эффект радиационного нуля амплитуды и предлагается использовать этот эффект для определения электрического заряда лептокварка.

Апробация работы.

По различным результатам, включенным в диссертацию, диссертантом проводились научные семинары в ведущих росссийских центрах: НИИЯФ МГУ, Лаборатории теоретической физики и Лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ (Дубна), ИЯИ РАН (Москва), ИФ-ВЭ (Протвино), ИТЭФ (Москва) и СПбИЯФ РАН (С-Петербург). А также в ведущих зарубежных центрах, в частности, в ОЕБУ (Гамбург, Герма-

ния), КЕК (Национальная лаборатория Японии по физике высоких энергий, Цукуба), LAPP (Аннеси, Франция), университете г.Вюрцбурга (Германия), университетах штатов Мичиган и Флорида (США), Институте ядерных исследований Токийского гос. университета (Япония), университетах Kogakuin г. Токио и Meiji-Gakuin г. Иокогама (Япония), Qween Mary and Westfield College университета г. Лондон (Великобритания).

Все результаты докладывались диссертантом также на многочисленных российских и международных конференциях и рабочих совещаниях. Среди них: на Международных рабочих совещаниях серии AIHENP (Лион, Франция, 1990г.; l'Agelonde, Франция, 1992г.), на Международных конференциях серии СНЕР (Оксфорд, Великобритания, 1989г.; Цукуба, Япония, 1991г.; Аннеси, Франция, 1992; Сан-Франциско, США, 1994г.), на ежегодном Международном симпозиуме по компьютерной алгебре ISSAC (Бонн, Германия, 1991г.), на Международных рабочих совещаниях серии QFTHEP (Сочи, Россия, 1992г.; Звенигород, Россия, 1993-1995 гг.; С-Петербург, Россия, 1996г.), на IV Международной конференции по применению компьютерной алгебры в физических исследованиях (Дубна, Россия, 1990г.), на 1-ом Международном совещании CERN-IHEP-JINR (Дубна, Россия, 1990г.), на V Международной конференции "Beyond Standard Model" (Балхольм, Норвегия, 1997г.), на Международных рабочих совещаниях по линейным коллай-дерам, организованных DESY в 1995-1997 гг. (Gran-Sasso, 1995г.; Гамбург, Германия, 1996г.) и других.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5-ти глав основного текста (содержащих в сумме 20 параграфов), заключения и списка литературы. В приложение вынесены 23 таблицы и 54 рисунка.

Содержание работы

Во введении формулируются основные направления исследований по теме диссертации и обсуждается их актуальность. Дается общее обоснование проблем по физике хиггсовского бозона и поиску новых частиц, лепто-кварков. Проводится обший анализ основных вычислительных проблем в теоретической физике высоких энергий и формулируется новый подход к

ним, основанный на полной автоматизации расчетов. Формулируются цели работы и дается краткая характеристика ее содержания.

Глава 1 посвящена разработке метода расчета в древесном приближении процессов столкновения элементарных частиц при высоких энергиях и распадов нестабильных частиц на основе полной автоматизации всего вычислительного процесса. В этой главе дается описание основных возможностей пакета СотрНЕР, в котором реализован такой подход.

В первом параграфе дается постановка задачи полной автоматизации расчетов столкновений при высоких энергиях. Определены главные требования к соответствующему программному обеспечению. Среди них: 1) автоматизация всего вычислительного процесса, начиная с ввода лагранжиана (правил Фейнмана), ввода процесса столкновения, и кончая вычислением сечений и распределений; 2) не должно быть самостоятельного программирования пользователем — для всех этапов вычислений должны быть уже созданы соответствующие модули, оставляя для пользователя только выбор необходимых опций; 3) пакет должен обеспечивать расчеты в разных физических моделях; 4) необходимо обеспечить высокую точность и скорость вычислений. В этом же параграфе дается краткая историческая справка работ по проекту СотрНЕР. Также дается обзор аналогичных проектов, начатых независимо и практически одновременно другими группами в мире.

Во втором параграфе описывается общая структура пакета СотрНЕР, в частности основной вычислительный метод - символьные вычисления квадрированных диаграмм Фейнмана, генерация Фортран кодов для ква-дрированных диаграмм, задание кинематических переменных для интегрирования по фазовому пространству, обеспечение свертки со структурными функциями начальных состояний, ввод кинематических обрезаний и запуск модуля интегрирования по методу Монте-Карло. Все операции выполняются с помощью графических меню. В этом параграфе дается краткое описание систем меню для символьного и численного модулей пакета. Более детально излагается структура физической модели (лагранжиана) и свертка со структурными функциями - тех опций пакета, которые существенно используются далее в приложениях.

В третьем параграфе излагаются основные методы тестирования пакета. Среди них сравнение аналитических ответов для сечений простейших процессов 1 2 и 2 2, получаемых с помощью пакета СотрНЕР и приведенных в литературе. В качестве теста аналитически вычислялись квадри-

рованные матричные элементы всех процессов типов 1 —>2, 1 —> 3, 2 —> 2, а также многих процессов типа 2 —> 3 в Стандартной Модели в двух калибровках , унитарной и в калибровке тХоофта-Фейнмана. Наконец, проводилось взаимное тестирование двух пакетов СошрНЕР и GRACE. Последний пакет является аналогом пакета СошрНЕР и развивается в КЕК (Япония). Он использует совершенно другой метод, основанный только на численных вычислениях. Поэтому перекрестное тестирование двух пакетов оказалось полезным для обеих групп.

В последнем, четвертом, параграфе главы 1 изучается проблема обеспечения калибровочной инвариантности вычислений на примере рождения одиночного t кварка в е+е~~ столкновениях при энергиях коллайдера LEP2, то есть в реакциях е+е~~ —> с+ i'ib и е+е~ —> e'vtb. Эти вычисления были использованы для тестирования пакета. Действительно, полное сечение этого процесса можно вычислять с помощью приближенного метода эквивалентных фотонов, в связи с сингулярным поведением диаграмм с t-канальным обменом фотоном. Поэтому мы могли сравнивать два метода, приближенный (свертка подпроцесса 7е~ i/tb или е+7 —» Ptb со структурной функцией эквивалентных фотонов в электроне или позитроне) и точный, с учетом всех диаграмм процесса 2 4. Получены хорошо согласующиеся ответы. В результате, были протестированы несколько опций пакета: выбор переменных интегрирования по фазовому пространству, наиболее адекватных i-канальному фотонному полюсу, и свертка со структурными функциями. Было обнаружено, что при вычислении квадрата матричного элемента этого процесса происходит сильное сокращение вкладов отдельных квадрированных диаграмм Фейнмана, до 7-8 порядков по величине. Поэтому полное сечение оказалось очень маленьким, порядка ~ 1СГ5 pb. Для контроля за ошибками округления использовались численные расчеты с двойной и четверной точностью. Результаты, полученные с помощью пакета СотрНЕР, сравнивались с результатами GRACE вычислений. Однако, расчет этого процесса имел смысл не только для тестирования созданных пакетов программ. В 1993 году в литературе обсуждалась возможность обнаружения t кварка на проектируемом тогда коллайдере LEP2. Кинематически рождение одиночного t кварка возможно при энергиях LEP2, у/s ~ 200 GeV, даже при известной сейчас величине его массы ~ 175 GeV (тогда обсуждались и меньшие значения). Более того, в литературе появилась ошибочная работа, в которой не был учтен вклад одной из диаграмм, что привело к величине сечения на несколько порядков большей, чем правильное значение. Наши результаты показали полную бесперспективность

поиска одиночного t кварка на коллайдере 1Л5Р2.

В Главе 2 с использованием пакета СошрНЕР проводится исследование новых процессов с рождением хиггсовского и калибровочных бозонов на планируемых линейных коллайдерах. Основное внимание уделяется анализу процессов в су и 77 столкновениях. Поэтому в первом параграфе даются основные параметры проектов линейных коллайдеров. Существенным является то, что энергия фотонов, получаемых в результате обратного комптоновского рассеяния лазерного света на электронах базового пучка, будет иметь максимум при ~ 0.8Ее. Спектр конверсионных фотонов будет довольно широким. Соответствующие структурные функции известны при различных предположениях о поляризации лазерного излучения и электронов, что дает возможность оценивать сечения процессов. Однако, в настоящее время интенсивно обсуждается возможность обрезания низкоэнергетической части спектра за счет сдвига точки встречи пучков от точки конверсии лазерных фотонов. Это может обеспечить 10% монохроматичность пучка высокоэнергичных фотонов. Кроме того, за счет использования более слабых условий на родительский электронный пучок, по-видимому, светимость е*у и 77 коллайдеров будет ненамного меньше светимости базового е^е" коллайдера, или даже того же порядка. Все это означает, что имеется возможность для экспериментов в ТеУ-ной области энергий не только в е+е~, но и в су и 77 столкновениях. В настоящее время обсуждается несколько этапов реализации линейных коллайдеров, начиная с параметров ~ 0.5 ТеУ и годовой светимостью Су ~ 10 ЛГ1, и до у/в ~ 2 ТеУ и Су ~ 100 ЯГ1. Такие параметры, в частности, обеспечат прекрасные условия для обнаружения хиггсовского бозона и изучения его свойств, так как характерные величины сечений оказываются порядка 1 -т-10 Л. Это означает хорошие перспективы детектирования десятков и сотен событий с сигналом от бозона Хиггса.

В параграфе 2 приводятся результаты расчета базовых процессов 2-го и 3-го порядков по электрослабой константе связи с рождением калибровочных бозонов в е7 и 77 столкновениях. На примере этих расчетов продолжается тестирование пакета СошрНЕР, в частности опции свертки со структурными функциями - здесь проверяется точность вычислений в приближенных методах эквивалентных фотонов и электронов, а также в приближении бесконечно узкой ширины Щ бозона. Демонстрируются возможности пакета СошрНЕР для вычисления сечений широкого спектра процессов с целью получения общей информации о возможностях данных

коллайдеров. Кроме того, получен новый результат о возможности наблюдения вклада ZWW вершины в амплитуду процесса. С этой целью изучено двойное дифференциальное сечение cPaj{dMww • ^Мр!)2) пРи достаточно больших переданных импульсах.

В параграфе 3 проведен расчет и анализ нового процесса, су —>■ vW H, с рождением одиночного хиггсовского бозона на су коллайдере. На основе проведенного анализа сделан вывод, что при y/s — 0.5 TeV и интегральной светимости 10 fb"1 (первый этап линейных коллайдеров) будет возможно наблюдение около 45 vWH событий для тц = 150 GeV в случае использования процедуры fr-tagging для выделения струй от Ь кварков. В су столкновениях TeV-ных энергий возможно будет наблюдение тяжелых хиггсов-ских бозонов с массами в несколько сотен GeV. Например, для %/s = 1 TeV и интегральной светимости 100 fb-1 можно ожидать около 110 событий с сигналом от хиггсовского бозона для тпн — 400 GeV и 190 событий для л/s = 2 TeV и тц — 800 GeV. Полученные нами поперечные сечения на два-три порядка величины больше чем сечения рождения хиггсовского бозона в процессах более высокого порядка в е+е~ столкновениях. Поэтому рождение хиггсовских бозонов в процессе 7e —> vWH представляется многообещающим также и для исследования аномальных вершин взаимодействия хиггсовского бозона, например Ffil/W^W~H. Эти результаты получены с учетом свертки с полным спектром конверсионных фотонов. Если же будет возможным реализация фотонного пучка с 10% монохроматичностью и светимостью порядка базового электронного коллайдера, то этот процесс окажется конкурентноспособным и в сравнении с е+е~ реакцией с W-fusion механизмом рождения бозона Хиггса, то есть с основной реакпдей по поиску H бозона на линейном электронном коллайдере.

В параграфе 4 другая реакция с рождением бозона Хиггса в е-у столкновениях подвергается детальному исследованию, а именно су еЯ. Особенностью этой реакции является то, что вклад древесных диаграмм Фей-нмана оказывается ничтожным в связи с пропорциональностью константы связи ееН массе электрона, и основной вклад дают однопетлевые диаграммы. Это очень важное обстоятельство, не только с точки зрения вычислительных проблем. Действительно, проявление новой физики, в частности вклада новых частиц, можно ожидать как раз через их циркуляцию в петле. Поэтому обсуждаемый процесс представляет особый интерес, так как древесный вклад, потенциально являющийся фоном к проявлению новой физики, здесь ничтожен. Именно поэтому мы вправе ожидать наблюдения отклонений от Стандартной Модели прежде всего в этой реакции. В этом

параграфе в наиболее интересном случае промежуточных масс тц < 140 GeV изучен не только сигнальный процесс, но и основные фоны, как приводимые, так и неприводимые. Другими словами, изучены реакции с конечными состояниями ebb и есс (последняя сигнатура для приводимого фона). Были вычислены спиральные амплитуды (этот нывод дан в первом параграфе Главы 5), на основе чего сделан анализ поляризованных сечений процесса.

Изучение сечений процесса еу —> eli для промежуточных масс тц подтвердило, что ассоциированное Не рождение в еу столкновениях может дать хорошие возможности для изучения вершины 77Я, даже в сравнении с процессом 77 —> Я, с хорошими перспективами измерения соответствующих этой вершине аномалий. Полное (неполяризованное) сечение имеет значения (9 4-17)fb, для тн = (90 4- 150)GeV = (0.5 1.5)GeV, которые, предполагая интегральную светимость 100 fb-1, будут соответствовать ö(103) событиям с бозоном Хнггса.

Если же рассматривать эксперимент с детектированием электрона в конечном состоянии с большими pi, то откроются новые возможности изучения в этой реакции эффектов, связанных с вершиной ZyH, при довольно существенной статистике, порядка ü(102) событий. Эта возможность не имеет аналогов ни в е+е~ ни в уу столкновениях.

Проверено, что основной фон идет от процесса еу —» ebb. Однако он может быть существенно уменьшен, если будет достаточно хорошее экспериментальное разрешение по инвариантной массе двух b струй, что можно обеспечить, исходя из измерения энергии электрона. Кроме того, фон можно сильно подавить, накладывая условие, чтобы b кварки вылетали не слишком близко к оси столкновения.

Также показано, что использование лево-поляризованного электронного пучка удваивает сечения и, тем самым, улучшает SjВ отношение, в области достаточно больших переданных импульсов pf > 100GeV, что особенно интересно для измерения ZyH вершины. Дальнейшее улучшение отношение S/B можно получить, используя угловую асимметрию для электрона, ярко видимую для сигнального процесса. Кроме того, в случае право-поляризованных начальных электронов и в области достаточно больших переданных импульсов pf > 100GeV обнаружен эффект сильной деструктивной интерференции вкладов от ууН и ZyH вершин, в результате чего сечение подавляется на порядок по величине. Этот тонкий баланс может быть нарушен за счет аномальных вкладов. Таким образом, мы получаем здесь точку особой чувствительности к отклонениям от Стандартной

Модели.

В пятом параграфе второй главы изучаются процессы с парным рождением хиггсовского бозона в е+е~, еу и 77 столкновениях на линейных кол-лайдерах ТеУ-ных энергий. Интерес к таким процессам обусловлен тем, что в ситуации, когда будет открыт только один скалярный бозон, станут актуальными поиски доказательства минимальности структуры хиггсовского самдействия или поиски отклонений от нее. Напомним, что в электрослабой теории Салама-Вайнберга минимальность структуры хиггсовского сектора проявляется не только в существовании лишь одного скалярного бозона, но и в жестком соотношении на константы хиггсовского потенциала. Действительно, свободный параметр при потенциале однозначно фиксируется массой бозона Хиггса

тга Шд

Л —

4 sin26WM^' а константы в Я3 и Я4 вершинах; равны

iSM _ "»я ,saí _ тн

Аз " 2ÍT' А4 "

Здесь v ñ¡ 250 GeV есть значение вакуумного ожидания в теории Салама-Вайнберга. Таким образом, свидетельства отклонений от минимальной структуры может дать измерение Я3 и Я4 вершин, также как и вклады вершин высшего порядка (Я", п > 4). К сожалению, прямая экспериментальная проверка вершин Я4, и более высокого ранга, невозможны, даже на обсуждаемых в настоящее время коллайдерах, из-за очень малых сечений. Измерение тройного хиггсовского взаимодействия, таким образом является единственной возможностью для прямого подтверждения структуры Стандартной Модели или для отбора новых теорий. В этой связи необходимо указать на скалярный сектор минимальноо суперсимметичного расширения Стандартной Модели (MSSM), где константы связи хиггсов-ских полей зависят от двух свободных параметров (tan¡3 и cota), давая пример кардинально другой структуры скалярного потенциала.

Вершина Я3 также дает вклад в процессы с одиночным рождением Я, которые обсуждаются как поисковые реакции. Но соответствующие диаграммы обязательно содержат вершину Я—легкий фермион, которая имеет пренебрежимо малую константу взаимодействия. Кроме того, реакции с одиночным рождением Я высших порядков (a", п > 5) имеют очень малые поперечные сечения. В результате процессы порядка а3 и а4 с рождени-

см двух бозонов Хиггса дают практически единственную возможность для прямого исследования хиггсовского самодействия.

По кинематическим соображениям нельзя ожидать наблюдение событий с двумя Я бозонами на коллайдерах ЬЕР2 и TEVA.TR.ON, даже если эта новая частица будет открыта в этих экспериментах. Поэтому мы должны изучить возможности адронного ускорителя ЬНС и будущих линейных коллайдеров в связи с обсуждаемой проблемой. Сечения в адронных реакциях такого же порядка, что и в соответствующих реакциях на линейных коллайдерах. Однако, намного более сложные фоновые условия на ЬНС не обещают многого для измерения Я3 вершины. Можно было бы надеяться на процесс глюон-глюонного слияния, который имеет наибольшее сечение. Однако эта реакция идет через {-кваркевую петлю, что (как показано нами) сильно снижает чувствительность к величине Я3 константы.

В наших исследованиях мы рассмотрели процессы с парным рождением бозона Хиггса на линейных коллайдерах, где, как оказалось, имеются определенные перспективы измерения Я3 константы хиггсовского самодействия. Основное заключение: вершина Я3 может быть изучена в реакциях с №-слияпием (е+е~ —> йеиеНН, 7е —» и^НН и 77 —> ИГ+Ш~НН) на 2 ТеУ-ном линейном коллайдере с интегральной светимостью 100 йз-1. В этой связи мы указываем на следующие важные аспекты обсуждаемой проблемы (мы ввели безразмерный параметр 5 в аномальной Нг вершине, определяемый условиями: <5 = 0 соответствует минимальному потенциалу, а при 5 = — 1 Я3 вершина зануляется):

- все моды линейного коллайдера (е+е~, 76 и 77) могут быть использованы для измерения Я3 взаимодействия;

- из-за бедной статистики необходимо накапливать все события с парным рождением хиггсовского бозона во всех типах реакций. Для хиггсовского бозона с массой менее 300 СеУ реально получить ограничение на уровне < 0.5 (в основном из реакций И^-слияния) после нескольких лет работы коллайдера;

- статистика парного рождения хиггсовского бозона может быть сильно увеличена, если сталкивающиеся электронные и позитронные пучки будут соответственным образом поляризованы, что связано с кираль-ностью электрослабого взаимодействия. В то же время поляризация фотонного пучка незначительно влияет на уровень сечений;

- сигнатуры обсуждаемых процессов довольно яркие, несколько струй

(до 8-12) с пиками в распределениях по инвариантным массам в точках Ми и M\v, и без какого бы то ни было электрослабого фона. Различные особенности, такие, как большие потерянные pt и энергии, энергетическое разделение продуктов распада хиггсовского бозона и спектаторов, могут быть использованы для подавления прямого мультиструйцого фона;

- в случае е+е~ реакций статистический анализ даст два интервала ограничений аномального параметра 8 для легкого и промежуточного хиггсовского бозона: интервал около значения, предсказываемого Стандартной Моделью, и некоторый теневой интервал. Такая дискретная неопределенность может быть разрешена с помощью 77 процесса, что показывает взаимодополняемость различных мод будущих линейных коллайдеров;

- значения S = ±1 аномального взаимодействия будут наблюдаемы для масс хиггсовского бозона вплоть до нескольких сотен GeV в процессах с W-слиянием;

- для очень тяжелых хиггсовских частиц, Мн > 700 GeV, для изучения //^-взаимодействия может быть использована только реакция 77 ЯЯ.

Некоторые наблюдения могут быть произведены для легкого хиггсовского бозона на коллайдере с yfs — 0.5 TeV в реакции е+е~ —> ZHH.

Наконец отметим, что в случае Мн ~ Mz невозможно будет изучение Я3 взаимодействия в любых процессах из-за совпадения сигналов от хиггсовского и Z-бозонов. В этом случае даже метод б-tagging не поможет, так как фоновые процессы имеют слишком большое сечение.

Глава 3 посвящена исследованию реакций с рождением одиночного ле-птокварка в электрон-протонных столкновениях, ассоциированного с излучением жесткого фотона. Эти реакции предложены для решения проблемы идентификации лептокварка, если он будет открыт. Дело в том, что возможно существование целого семейства таких частиц: например, для скалярных лептокварков возможны два изоскаляра, изотриплет и два изо-дублета. Такой же набор возможен и для векторных лептокварков. И, если спин этого нового бозона можно определить по угловому распределению в глубоконеупругом рассеянии, то определение остальных квантовых чисел оказывается непростой задачей. Реакции рождения заряженных частиц,

ассоциированные с излучением жесткого фотона, могут иметь так называемый радиационный пуль в фотонном угловом распределении, положение которого зависит от величины электрического заряда частицы. Как было обнаружено, в реакциях

e^+p-^j+LQ+X

квадрат матричного элемента включает множитель (Qeu — Qqt), где и и t есть соответствующие переменные Мандельстама, а Qe/g - электрические заряды электрона (позитрона) и кварка. Таким образом при определенных значениях зарядов начальных частиц, а значит при некоторых значениях электрического заряда лептокварка, дифференциальное сечение будет за-нуляться. Из-за различных значений электрического заряда эффект радиационного нуля амплитуды существует лишь для некоторых лептокварков. В левом секторе это скалярные лептокварки S3 и /?2 2 и векторные V2 2 и U31. В правом секторе это скалярные S\ и Ii2 2 и векторные V2 2 и U\. В результате, мы получаем возможность идентифицировать тип открытого лептокварка по угловому распределению фотона. Этот эффект может быть обнаружен в эксперименте на LEP2+LHC вплоть до больших масс лептокварка: до 900 GeV для и V2 2, до 1 TeV для й2 2, до 1.2 TeV для U^1 и U\ (для "электрослабого" значения константы связи лептокварка с фермионами, Л ~ 0.3). Для ускорителя HERA также остается небольшой интервал масс (около 200 GeV), где для некоторых лептокварков может наблюдаться этот эффект. Анализ был проведен с учетом вклада основного фона - глубоконеупругого рассеяния с излучением жесткого фотона. Как оказалось, при наложении соответствующих кинематических обрезаний этот фон мал.

Важно отметить, что в случае векторных лептокварков квадрированные амплитуды содержат фактор (Qcu~Qqt) только при чисто янг-миллсовской структуре взаимодействия с фотоном. Если лагранжиан содержит аномальные члены, то они будут сглаживать радиационный нуль, что дает возможность измерения аномальной константы связи. В результате численного анализа мы выяснили, что сечения процессов с радиационным нулем, более чувствительны к аномальной константе связи с фотоном. Были вычислены верхние границы на массы векторных лептокварков, при которых возможно будет экспериментально различить янг-миллсовскую структуру (то есть при нулевом значении аномальной константы связи к = 0) от минимальной связи, к — 1, в эксперименте на LEP2+LHC. Эти границы составляют от 300 до 600 GeV для различных типов лептокварков (при

Л ~ 0.3). Отметим, что измеренное значение к — 0 будет указывать на то, что векторный лептокварк является калибровочным бозоном. С другой стороны, если будет измерено значение к = 1, такой лептокварк следует рассматривать скорее как новое поле материи или составную частицу, нежели как калибровочное поле.

Глава 4 посвящена решению некоторых общих проблем компьютеризации аналитических вычислений в алгебрах, актуальных для автоматизации расчетов в теоретической физике высоких энергий.

Для вычисления петлевых диаграмм Фейнмана размерная регуляризация является наиболее употребительной вычислительной схемой. Однако возможность математически строгой формулировки теории поля (лагранжиан, принцип наименьшего действия и т.д.) в пространстве-времени нецелой размерности в настоящее время не ясна. Начиная с первых же работ по размерной регуляризации ее интуитивная очевидность дала сбой в одном очень важном для приложений пункте, а именно при попытке ввести в размерную регуляризацию аналог 75-матрицы для описания аксиальных и киральных свойств полей. В первом параграфе алгебра 7-матриц Дирака в пространствах произвольной размерности изучается с точки зрения двух проблем. Первая связана с эффективностью вычислений следов. Алгоритм Кахане, являющийся наиболее быстрым для четырехмерного пространства, не применим для d Ф 4. В общем случае А.Кеннеди и П.Квитанович предложили алгоритм, обобщающий метод Кахане. Однако он основан на применении тождеств Фирца, которые используют такой объект, как у5. Тем не менее, несмотря на отсутствие строго определенного такого элемента в алгебре, удается сформулировать эффективный метод вычисления следов. Этот алгоритм был нами реализован в REDUCE программе, показавшей большое преимущество перед традиционно используемыми методами. В первом параграфе дано краткое описание алгиритма Кеннеди-Квитановича. Здесь же описвается программа CVIT, реализующая этот алгоритм и проводится сравнение с прямыми методами вычисления. Программа CVIT включена в состав системы компьютерной алгебры REDUCE.

Вторая проблема, рассматриваемая в первом параграфе, связана с появлением фиктивных аномалий при расчетах с использованием четырехмерной 75. Этот подход был предложен в первых же работах по размерной регуляризации и он позволяет вычислять следы при наличии 75 непротиворечивым образом. Однако, такая трактовка 75 приводит к нарушению

тождеств Уорда, то есть к нарушению локальной калибровочной инвариантности, даже в теориях, где треугольные аномалии, типа Адлера, сокращаются. Члены, нарушающие тождества Уорда, можно скомпенсировать специальным выбором конечной перенормировки. Поэтому появление таких членов не приводит к катастрофическим последствиям для данной модели. Однако это явление создает технические проблемы при вычислениях. Мы предлагаем небольшое изменение правил размерной регуляризации, которое позволяет избежать появления фиктивных аномалий, по крайней мере в теориях с абелепой калибровочной симметрией в методе четырехмерной 75.

Во втором параграфе главы 4 изучается проблема упрощения сложных выражений, составленных из базовых индексированных элементов, удовлетворяющих многочленным линейным тождествам. Одним из типичных объектов такого рода являются тензора, если абстрагироваться от их геометрической природы. Существует две стратегии упрощения таких выражений.

Первая состоит в том, что выражение расписывается через базисные элементы с явным разрешением свойств симметрии и тождеств. Этот подход требует введения объектов различного типа и правил манипуляции с ними. В случае тензора Римана это символы Кристофеля, метрический тензор и их производные. Как правило в таком подходе появляются большие промежуточные выражения. Более того, такой подход неприменим в случае геометрии с кручением.

Второй подход состоит в том, что объекты с индексами рассматриваются в качестве формального объекта, обладающего определенными комбинаторными свойствами. Если мы ограничимся рассмотрением тензоров, которые обладают только свойствами симметрии и индексами суммирования, то существует полное решение проблемы в терминах двойных классов смежности группы перестановок. Однако линейные тождества, содержащие три и более членов, не могут быть вписаны в эту схему из-за оператора суммы, не входящего в число групповых операций.

В этом параграфе, в рамках второго подхода, предлагается новый алгоритм для упрощения тензорных выражений, который основан на простых геометрических построениях. Тензорные выражения мы рассматриваем как вектора в некотором линейном пространстве. Такой подход позволил определить каноническую форму для индексированных выражений, что является основным математическим результатом этого параграфа. Предложен эффективный алгоритм для сведения произвольного ин-

дексированного выражения к канонической форме. Причем каноническая форма всегда является наиболее компактным из всех возможных способов записи эквивалентных выражений. Создана программа ATENSOR, в которой этот алгоритм реализован. Указаны ограничения применимости этой программы.

Глава 5 посвящена аналитическим вычислениям петлевых диаграмм Фейнмана. В первом параграфе приводится расчет спиральных амплитуд для процесса одиночного рождения хиггсовского бозона в е-у столкновениях, <27 еЯ. Физический анализ этого процесса был дан в четвертом параграфе главы 2. Здесь же излагается метод вычисления и приводятся аналитические ответы для спиральных амплитуд, в том числе и для вкладов однопетлевых вершин ууН и ZyH. Основным методом вычисления являлся метод стандартных матричных элементов, который позволяет эффективно свести вычисления к расчету скалярных петлевых форм-факторов. Найдено, что в таком методе можно явно разрешить тождество, возникающее за счет калибровочной инвариантности, приводя аналитические ответы к более компактному виду. Отмечается, что в более сложных случаях будут возникать несколько многочленных тождеств и решение задачи явного их разрешения, при наибольшей компактности получающегося выражения, можно находить методом, изложенном в предыдущей главе. Отмечается, что явное разрешение тождеств приводит также и с решению проблемы сокращения численных вкладов от отдельных диаграмм, что продемонстрировано в этом параграфе на примере расчета однопетлевых амплитуд для процесса еу —> еЯ. Из анализа аналитических ответов для спиральных амплитуд этого процесса найден источник деструктивной интерференции между вкладами однопетлевых вершин ууН н ZyH в области больших переданных импульсов для право-поляризованного электронного пучка. В отдельном пункте анализируются источники численной нестабильности, в частности, возникающие при вычислении диаграмм типа box. Дается описание используемых методов контроля за ними.

Во втором параграфе проводится расчет моментов двухпетлевого вклада в коэффициентные функции глюонного конденсата в корреляторах токов тяжелых кварков в квантовой хромодинамике. Одной из наиболее важных задач здесь является определение значения глюонного конденсата, феноменологического параметра, который дает основной непертурбативный вклад в характеристики адронов. "Стандартное" значение для этого параметра, (0.013 — 0.021)G'eu4, получено на основе расчета однопетлевых вкладов в

коэффициентные функции и из данных по спектроскопии чармония. Однако, другие методы давали значения существенно отличающиеся от него, от половины по величине до более чем в три раза большее. Причина такого разброса может состоять в недостаточно точном знании коэффициентных функций, которые вычисляются в рамках теории возмущений. Основным результатом этого параграфа было вычисление двухпетлевой поправки в коэффициентную функцию глюонного конденсата к уточнение значения глюонного конденсата. С этой целью были рассмотрены корреляторы векторных, аксиальных и (псевдо)скалярных токов в разложении по обратной массе кварка. При этом, аналитически были вычислены семь моментов — коэффициентов разложения этих функций в ряд Тейлора в области малых импульсов, которые представляют собой рациональные числа. Для этих расчетов были созданы специальные REDUCE программы, оптимизирующие использование машинной памяти при промежуточных выкладках. Для расчетов использовалась размерная регуляризация, причем для аксиальных и псевдовекторных корреляторов применялась схема антикоммути-рующей 75. Применение этой, вообще говоря, самопротиворечивой схемы было обосновано для данных случаев в первом параграфе главы 4. Из полученных результатов следует, что величина глюонного конденсата должно быть увеличено почти в два раза по сравнению с "одкопетлевым" значением. Основным выводом является то, что большая величина двухпетлевой поправки свидетельствует о необходимости вычисления высших поправок, и указывает на необходимость увеличения значения глюонного конденсата.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Среди них основными являются следующие:

I. Создан пакет СотрНЕР для автоматизации расчета характеристик процессов столкновения элементарных частиц и распада нестабильных частиц в древесном приближении, в том числе сечений и ширин, а также различных распределений. При этом модуль аналитических вычислений квадрата матричного элемента обеспечивает, в частности, контроль за калибровочной инвариантностью расчетов. Численный модуль позволяет вводить различные параметризации фазового пространства, сворачивать со структурными функциями начальных состояний, а также вводить кинематические обрезания по различным переменным. Особенностью пакета является также отсутствие требо-

вания к пользователю какого-либо самостоятельного программирования. [1]-[6]

II. Результаты по физике бозона Хиггса:

(a) Для поиска хиггсовского бозона предложены процессы еу —» uWE и 67 —>• еН и показана конкурентноспособность электрон-фотонных коллайдеров для этой задачи в сравнении с другими типами ускорителей. [8, 9]

(b) Процесс рождения хиггсовского бозона еу -» еН исследован во всех кинематических областях, в том числе, впервые, при больших переданных импульсах. Получены аналитические выражения для спиральных амплитуд. Проведен анализ вкладов вершин 77Н и ZyH. Найдены оптимальные условия для экспериментов по измерению константы связи ZyH с учетом основных фонов. [9]

(c) Изучены все возможные процессы парного рождения бозона Хиггса на проектируемых е+е~, еу и 77 линейных коллайдерах. Проведен сравнительный анализ возможности измерения константы хиггсовского самодействия и показано преимущество процессов 77 WWHH и еу —> i/WHH для решения этой задачи в случае Мн > 150 ГэВ. [10]

III. Исследованы процессы рождения в ер столкновениях одиночного леп-токварка произвольного типа, ассоциированного с излучением жесткого фотона. Предсказан эффект радиационного нуля амплитуды и показано, что наличие и положение этого нуля определяет тип лептокварка [11, 12]. Для векторного лептокварка показано, что этот эффект можно использовать для разделения двух принципиально различающихся типов взаимодействия с фотоном, минимального и янг-миллсовского, в экспериментах на ускорителях HERA и LEP2+LHC [13].

Перечисленные основные физические результаты получены с помощью пакета программ СошрНЕР.

Другие результаты можно подразделить на две группы. В первую входят результаты исследования отдельных проблем но физике взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях, связанные с основными результатами, перечисленными выше, или имеющие самостоятельное значение, в том числе и в связи с проблемой автоматизации расчетов:

1.1 Проведен прецизионный расчет процесса одиночного рождения t-кварка на ускорителе LEP2. Показано, что этот процесс имеет недостаточно большое для наблюдения t-кзарка сечение, вследствие "катастрофического" сокращения вкладов отдельных квадрированных диаграмм, обусловленного SUi{2) 0 Uy( 1) калибровочной инвариантностью. [7]

1.2 Показана возможность изучения ZW+W~ вершины в реакции е7 cW+W~ с парным рождением W бозонов. [14, 15]

1.3 В КХД проведены расчеты двухпеглевых вкладов в коэффициентные функции глюонного конденсата в корреляторах токов тяжелых кварков. Показано, что величина глюонного конденсата, полученная из спектроскопии чармония с учетом однопетлевых расчетов, существенно занижена. [16, 17, 18]

Во вторую группу сопутствующих результатов входят решения отдельных компьютерных проблем, общих для автоматизации расчетов в теоретической физике:

2.1 Создан алгоритм учета многочленных тождеств в задаче упрощения выражений, составленных из индексированных объектов (тензоров). Доказано существование канонической формы. Алгоритм реализован в программе ATENSOR. [24, 25, 26]

2.2 Эффективный алгоритм Кеннеди-Квитановича для вычислений в алгебре 7-матриц Дирака в пространствах произвольной размерности впервые реализован в виде REDUCE программы CVIT. Показано явное преимущество этого алгоритма по сравнению с прямыми расчетами, применявшимися ранее. Программа CVIT включена в состав системы компьютерной алгебры REDUCE. [19, 20]

2.3 Проведен анализ различных методов вычислений в алгебре 7-матриц Дирака при наличии 75 матрицы в пространствах произвольной размерности. Предложена модификация метода четырехмерной 75-матрицы, позволяющая избежать фиктивных аномалий в теориях с абелевой киральной или аксиальной калибровочной инвариантностью. [21, 22, 23]

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

IlySjiHKanHH

[1] Boos E.E., Dubinin M.N., Edneral V.F., Uyin V.A., Kryukov A.P., Pukhov A.E, Rodionov A.Ya., Savrin V.I., Slavnov D.A., Taranov A.Yu. CompHEP - computer system for calculation of particles collision characteristics at high energies. Preprint INP MSU 89-63/140, Moscow, 1989, 16p.

[2] Boos E.E., Dubinin M.N., Edneral V.F., Ilyin V.A., Kryukov A.P., Pukhov A.E., Savrin V.I., Shichanin S.A., Taranov A.Yu. Computer interactive system for particles collision calculations at high energies. In: "New Computing Techniques in Physics Research" (Proc. 1st Int. Workshop AIHENP-90, March 1990, Lyon-Villeurbanne), ed. by D.Perret-Gallix and W.Wojcik, Paris, Editions du CNRS, 1990, p.573-580.

[3] Ilyin V.A., Pukhov A.E., Shichanin S.A. The symbolic-numerical interface in CompHEP project: interface with BASES. In: "New Computing Techniques in Physics Research II" (Proc. 2nd Int. Workshop AIHENP-92, January 1992, l'Agelonde), ed. by D.Perret-Gallix, Singapore, World Scientific, 1992, p.671-676.

[4] Gladilin L.G., Ilyin V.A., Pukhov A.E. Present status of the computer calculations of high energy processes with CompHEP system. In: Proc. of the Int. Conf. on Computing in High Energy Physics'92 (CHEP'92, September 1992, Annecy), ed. by C.Verkerk and W.Wojcik, CERN 92-07, 1992, p.855-857.

[5] Boos E.E., Dubinin M.N., Ilyin V.A, Pukhov A.E., Shichanin S.A. Kaneko T., Kawabata S., Kurihara Y., Shimizu Y., Tanaka H. Automatic calculations in high energy physics by GRACE/CHANEL and CompHEP. Int. Jour. Mod. Phys., 1994, v. C5, N4, p.615-628.

[6] Boos E.E., Dubinin M.N., Ilyin V.A., Pukhov A.E, Savrin V.I. CompHEP -specialized package for automatic calculations of elementary particle decays and collisions. Preprint SNUTP 94-116, INP MSU 94-36/358, Seoul, 1995, p.22.

[7] Boos E., Sachwitz M., Schreiber H.-J., Shichanin S, Ilyin V, Pukhov A., Ishikawa T, Kaneko T., Kawabata S., Kurihara Y., Shimizu Y, Tanaka H. Single top quark production at LEP200?. Phys. Lett., 1994, v. B326, p.190-196.

[8] Boos E.E., Dubinin M.N., Ilyin V.A., Jikia G.V., Pukhov Л.Е, Sultanov S.F. Associated Higgs boson production in gamma-e collisions. Phys. Lett., 1991, v. B273, N1-2, p.173-176.

[9] Gabrielli E., Ilyin V.A., Mele B. Z-gamma-Higgs vertex effects in Iliggs production at future e-gamma linear colliders. Preprint ROME1-1165/97, NDU-HEP-97-EG01, February 1997, 36p.

[10] Ilyin V.A., Pukho-v A.E., Kurihaia Y., Shimizu Y., Kaneko T. Probing the HHH vertex in e+e-, gamma-e and gamma-gamma collisions for light and intermediate Higgs bosons. Phys. Rev., 1996, v. D54, p.6717-6727.

[11] Ilyin V., Pukhov A., Savrin V., Semenov A., von Schlippe W. Single leptoquark production associated with hard photon emission in ep collisions at high energies. Phys. Lett., 1995, v. B351, p.504-509.

[12] Ilyin V., Pukhov A., Savrin V., Semenov A., von Schlippe W. On a method of indentification of leptoquarks produced inep collisions. Phys. Lett., 1995, v. B356, p.531-538.

[13] Ilyin V., Pukhov A., Savrin V., Semenov A., von Schlippe W. On probing the anomalous coupling of vector leptoquarks with photons in ep collisions by means of radiative-amplitude-zero effect. Ядерная физика, 1997, т.60, вып. 3, с.492-498.

[14] Гинзбург И.Ф., Ильин В.А., Пухов А.Е.,Сербо В.Г. Рождение лары W-бозонов совместно с нерегистрируемым электроном - новый базовый процесс для gamma-e коллайдеров. Вестник МГУ, сер. Физика и Астрономия, 1993, т.34, N4, с.93-94.

[15] Ginzburg I.F., Ilyin V.A., Pukhov А.Е., Serbo V.G., Shichanin S.A. The third order processes with W and Z production in gamma-e and gamma-gamma collisions. Ядерная Физика, 1993, т.56, вып.11, с.57-64.

[16] Baikov P.A., Chetyrkin K.G., Ilyin V.A., Smirnov V.A., Taranov A.Yu. Two-loop coefficient functions in the large mass expansions of correlators of two (pseudo) scalar and (pseudo) vector currents. Phys. Lett., 1991, v. B263, N3-4, p.481-484.

[17] Baikov P.A., Ilyin V.A., Smirnov V.A. Gluon condensate fitting from the two-loop correction to the coefficient function. ЯФ, 1993, т.56, вып.11, p.130-136.

[18] Broadhurst D.J., Baikov P.A., Ilyin V.A., Fleischer J., Tarasov O.V., Smirnov V.A. Two-loop gluon-condensate contributions to heavy-quark current correlators: exact results and approximations. Phys. Lett., 1994, v. B329, p.103-110.

[19] Ilyin V.A., Kryukov A.P., Rodionov A.Ya., Taranov A.Yu. Fast algorithm for calculation of Dirac's gamma-matrices traces. Sigsam Bulletin, 1989, v. 23, N4, p. 15-24.

[20] Ilyin V.A., Kryukov A.P., Rodionov A.Ya., Taranov A.Yu. High speed Dirac algebra calculations in a space of arbitrary dimension by means of a computer algebra system. Сотр. Phys. Comm., 1989, v.57, N1-3, p.505-506.

[21] Ильин В.А., Байков П.А. Статус gamma5 в размерной регуляризации. Теоретическая и математическая физика, 1991, т.88, N2, с.163-191.

[22] Ilyin V.A., Kryukov А.P. DIMREG - the package for calculations in the dimensional regularization with 4-dimensional gamma5-matrix in quantum field theory. Lecture Notes in Computer Science, v.378, Springer-Verlag, 1989, p.225-232.

[23] Baikov P.A., Ilyin V.A., Slavnov D.A. A modification of the standard dimensional regularization rules and removing spurious gamma5 anomalies. In: Proc. of Joint Int. Workshop (VIII Workshop on HEP and QFT and III Workshop on Physics at VLEPP, Zvenigorod 15-21 Sepetember 1993), ed. by B.Levtchenko, Moscow, Moscow Univ. Press, 1994, p.175-180.

[24] Ilyin V.A., Kryukov A.P. Symbolic simplification of tensor expressions using symmetry, dummy indices and identities. In: Proc. of the Int. Symposium on Symbolic and Algebraic Computations (ISSAC'91, July 1991, Bonn), ed. by S.M.Watt, N-Y, ASM Press, 1991, p.224-228.

[25] Ильин В.А., Крюков А.П. Алгоритм упрощения тензорных выражений в компьютерной алгебре. Программирование, N1, 1994, р.83-91.

[26] Ilyin V.A., Kryukov А.Р. ATENSOR - REDUCE program for tensor simplification. Сотр. Phys. Comm., 1996, v. 96, p.36-52.