Теоретическое исследование особенностей автоэлектронной эмиссии с углеродных объектов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

\2

1 объединенный институт ядерных исследовании

17-2010-43

На правах рукописи удк 537.533.2

КАТКОВ Всеволод Леонидович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ АВТОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ С УГЛЕРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2010

2 0 идд 2310

004602403

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.А. Осипов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Л.А. Чернозатонский

доктор физико-математических наук В.О. Нестеренко

Ведущая организация: Саратовский филиал ИРЭ им. В.А.Котельникова

Российской академии наук

Защита состоится M&Ji 2010 г. в /S ч. 00 мин. на заседании

диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московская область, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ. Автореферат разослан "20 " 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук У1 А.Б. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы.

Экспериментальное открытие многообразия различных структур на основе атома углерода в ¿р2 гибридизации породило огромный исследовательский интерес к этим объектам как с точки зрения фундаментальной физики, так и с точки зрения возможных практических приложений. В 1995 году три научные группы (Чернозатонского [1], де Хира [2] и Рин-злера [3]) обнаружили, что углеродные нанотрубки (УНТ) обладают хорошими автоэмиссионными свойствами: эмиссия характеризуется малыми пороговыми напряжениями, большими токами и хорошей временной стабильностью. Нанотрубки представляют собой сильно вытянутые цилиндры, свернутые из одного листа графита - графена, их замечательные эми-сионные свойства обусловлены большим аспектным отношением (отношение длины к радиусу), хорошими механическими свойствами, достаточно большой электропроводностью, а также тем, что что УНТ образованы из атомов, соединенных не металлическими, а ковалентными связям. Последнее обстоятельство существенно увеличивает энергию активации атомов поверхностной миграции и приводит к повышению стабильности процесса эмиссии.

Вскоре на основе УНТ был разработан автоэмиссионный дисплей [4], а затем источник света [5]. В настоящее время многие научные коллективы проектируют различные приборы, основанные на автоэлектронной эмиссии с углеродных нанотрубок, например, такие как яркие лампы, рентгеновские трубки, источники электронов для электронных микроскопов с высоким разрешением. Можно отметить, что яркие лампы и рентгеновские трубки на основе УНТ это уже успешный коммерческий продукт [6]. Вместе с тем, исследования показывают, что не только углеродные нанотрубки являются хорошими источниками автоэлектронной эмиссии. Углеродные наноконусы [7], углеродные наноспирали [8], углеродные нано-хорны [9], графитоподобные пленки [10] и углеродные нанолисты [11-14] также можно считать хорошими кандидатами на эту роль.

Вслед за интенсивным экспериментальным изучением эмиссии с углеродных структур примерно с 2000-го года началось активное теоре-

тическое исследование данного процесса, прежде всего, с целью найти способы повышения эффективности эмиссии. Многие работы по моделированию автоэлектронной эмиссии с конкретных структур представляют собой расчеты из первых принципов. Если эмиттеры состоят из небольшого числа атомов, то такое вычисление на современных компьютерах становится возможным [16, 17]. Данный подход безусловно полезен, когда речь идет об описании конкретных структур. Однако наряду с ним активно развиваются другие подходы, основанные на модификации туннельной модели Фаулера-Нордгейма. Актуальность проведения теоретических исследований именно в этом направлении обусловлена тем, что с их помощью можно ответить на вопрос, каким образом те или иные физические характеристики эмиттера влияют на его эмиссионные свойства. Известная связь физических характеристик с эмиссионными, с одной стороны, указывает пути увеличения эффективности эмиссии электронов, а с другой - позволяет исследовать физические характеристики на основе эмиссионных. Так как количество углеродных структур, претендующих на роль эффективных эмиттеров, велико, исследованиям в данной области посвящено большое количество научных публикаций. В частности, специфика эмиссии, обусловленная геометрической формой различных эмиттеров, была учтена в работах [18-21]. Влияние зонной структуры на ток эмиссии и энергетическое распределение электронов для УНТ изучено в [22-26]. Таким образом, можно заключить, что исследование автоэлектронной эмиссии с углеродных структур является важной прикладной и интересной физической проблемой.

Цель работы.

1. Разработать способ учета зонной структуры при расчете автоэлектронной эмиссии.

2. Исследовать влияние зонной структуры при автоэлектронной эмиссии с углеродных нанотрубок, графита и углеродных листов.

3. Рассчитать геометрические эффекты при эмиссии с углеродных листов и трубок.

Научная новизна и практическая ценность.

. В представленной диссертации разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии, который может быть назван методом независимых каналов. На основе данного метода найдены законы эмиссии для одностеночных углеродных нанотрубок. Полученные результаты могут быть полезны при экспериментальном определении хиралыюсти конкретной нанотрубки.

Разработанный метод был использован для расчета закона автоэлектронной эмиссии с простого гексагонального графита для двух случаев: когда графитовые слои ориентированы параллельно вектору напряженности электрического поля и когда они ориентированы перпендикулярно ему. Обнаружены следующие эффекты: анизотропия плотности эмиссионного тока, связанная с особенностями зонной структуры, и влияние механической деформации на автоэмиссионный ток. Данные результаты могут быть использованы при экспериментальном измерении параметров зонной структуры графита.

В рамках метода независимых каналов рассчитано энергетическое распределение при эмиссии электронов с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, а также найдены законы эмиссии для монослоя графена и двуслоя графена. Положение и количество обнаруженных в энергетическом распределении суб-пиков напрямую связано числом графитовых слоев в листе. Наличие этих суб-пиков является прямым проявлением квантово-размерного эффекта. Полученные результаты показывают, что измерение распределения эмитированных электронов по энергиям может быть использовано как метод определения числа графитовых слоев в листе, а также как метод определения энергии взаимодействия между соседними слоями наряду с такими подходами как Рамановское рассеяния и фотоэмиссионные эксперименты.

Еще одним результатом диссертации является расчет геометрических эффектов при эмиссии с протяженного горизонтального выступа, имеющего полуэллиптический профиль, и с вытянутого вертикального полуэллипсоида при нанометровых радиусах кривизны у вершины. Обнаружено, что для протяженного выступа геометрические эффекты

выражены гораздо меньше. Полученные в результате соотношения связывают геометрические параметры эмиттера с нелинейностью кривых в координатах Фаулера-Нордгейма и могут быть использованы для оценки радиуса кривизны и фактора усиления поля.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, были представлены в качестве постерного доклада на сессии ПКК ОИЯИ, а также докладывались на следующих конференциях:

1. XXIV International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 6-13, 2010, Kirchberg in Tirol, Austria.

2. International Bogolyubov Conference Problems Of Theoretical And Mathematical Physics, August 21-27, 2009, Moscow-Dubna, Russia.

3. XIII научной конференции ОМУС-2009, 16-21 февраля 2009 года.

4. IV научной конференции конференция "Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика", 7-9 сентября 2009 года, Саратов.

5. "Dubna-Nano2008", July 11-17, 2008, Dubna, Russia.

6. XII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 4-8 февраля 2008 года.

7. XXII International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 1-8, 2008, Kirchberg in Tirol, Austria.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации 87 страни машинописного текста, включая 26 рисунков и список литературы из 93 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проводимых исследований. Дано краткое содержание диссертации.

В первой главе приводится расчет закона эмиссии для одностенных углеродных нанотрубок с учетом зонной структуры. Для расчета использованы приближение Фаулера-Нордгейма для коэффициента прозрачности барьера

D(e) = ехр - 3/2ф1/2£1(у)}\ = bexp(cte), (1)

а также приближение нулевой температуры. С = 8тг(2т0)1/2/Зе/1, у — (eF/47Г£:o)1/'2/</>, Р - напряженность электрического поля, ф работа выхода, £о диэлектрическая проницаемость вакуума, а Ь = ехр (—С,ф^^2у(у)/Р) и с1 = - обозначения, введенные

для краткости. Функции ь(у) и Ь{у) описывают отклонения потенциального барьера, который преодолевает электрон, от треугольной формы. В результате плотность тока выражена в форме суммы по всем ветвям в энергетическом спектре, определяющим каналы эмиссии:

Г1 = (2)

я

Зч=ЗоехР1-----) = 3оехр I-I , (3)

• 4 е Р ( С ,з/2 , Л 2еЬ

* = ехр \~рФ У{У)) = Щ? (4)

Каждый следующий член этой суммы экспоненциально подавляется значением запрещенной зоны для данной ветки, поэтому в случае тонких нанотрубок актуально рассмотрение лишь первых слагаемых. Различный характер зависимости первого слагаемого от диаметра у полупроводниковых и металлических трубок приводит к принципиальной разнице в поведении плотности тока при уменьшении диаметра трубки. Тот же метод обобщен на случай эмиссии со стопки невзаимодействующих слоев графита. Далее

рассмотрен случай взаимодействующих слоев. Принято, что плоскости графита расположены непосредственно один напротив другого, то есть графит имеет простую гексагональную упаковку (упаковку типа А А А).

Анализ формы поверхности Ферми показывает, что каналы эмиссии -траектории вылетающих электронов в р—пространстве, можно разделить на пять различных типов в зависимости от того, пересекают они поверхность Ферми или нет, и в какой области это происходит. Пересечение может происходить либо в области дырочного, либо в области электронного карманов. Найден вклад каналов каждого типа в плотность эмиссионного тока. Результирующая плотность тока определена путем суммирования вкладов каналов всех типов и имеет следующий вид:

.|| _ 2еЬ[Мах/т{ + Ь^сц) - Ьо^сц)] Зш - • ^

Здесь а1 характеризует энергию взаимодействия графитовых слоев, ьр -скорость Ферми электронов в одном слое графита, Ьо(а:) - модифицированная функция Струве, и 1о(а;) - модифицированная функция Бесселя. Далее производится аналогичное вычисление для случая, когда электрическое поле направлено перпендикулярно слоям. Теперь поверхность Ферми повернута на девяносто градусов относительно направления эмиссии. Число различных типов каналов для данной конфигурации равно двум. Как и раньше, производится вычисление вклада каждого канала и суммирование всех вкладов. Результат - закон эмиссии для данного случая, выглядит следующим образом:

^ = щёг К2^' + 1 - ®ф(-2ак0] • (6)

Приведен анализ полученных законов эмиссии. В обоих случаях отличия от закона Фаулера-Нордгейма заключаются только в предэкспоненци-альном факторе, в то время как экспонента полностью соответствует известной формуле. Показано, что зависимость предэспоненты от напряженности электрического поля в обоих случаях практически одинакова. Критическое увеличение поля приводит к тому, что плотность тока эмиссии

при направлении вектора напряженности поля параллельно слоям стремится к плотности тока невзаимодействующих слоев, то есть сильное электрическое поле подавляет эффект взаимодействия между слоями. Обнаружено, что когда вылетающие при эмиссии электроны движутся вдоль слоев графита, плотность тока заметно выше, чем когда вылетающие электроны пересекают слои. В работе рассмотрена зависимость плотности тока от степени сжатия. В деформированном графите величина энергии взаимодействия между слоями меняется. Данный параметр входит в законы эмиссии, поэтому можно достаточно просто найти связь плотности тока с относительной деформацией для обоих рассмотренных случаев. Показано, что плотность тока для случая эмиссии поперек слоев гораздо более чувствительна к сжатию кристалла графита.

Во второй главе на основе описанного в первой главе метода производится учет влияния зонной структуры листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, на автоэлектронную эмиссию. Зонная структура нано-листов вычисляется при помощи энергетического спектра графита структуры Бернала в модели Слонжевского-Вейса-МакКлюэ (СВМ), в котором учтено размерное квантование в направлении поперек слоев. В качестве первого приближения учтены лишь два наибольших параметра СВМ - 70 и 7i- Найденное при этом распределение эмитированных электронов по энергиям имеет следующий вид:

Р(е) = У, (7)

где еп = |е| + 7", g = 4e/(h2Nc), N - число слоев в листе, /(е) - функция распределения Ферми-Дирака, в(е) - функция Хэвисайда,

7l"=7ix2cos(^T), п — 1... N. (8)

Результат расчета по приведенным формулам для двуслоя представлен на рисунке 1. В общем случае полученные кривые представляют собой два больших пика, обусловленные зоной проводимости и валентной зоной, а также суб-пики, связанные с наличием в спектре углеродных листов вет-

Р(е)

Рис. 1: Распределение электронов по энергиям с графенового двуслоя при различных температурах. .Р = 4 У/пш.

вей, отстоящих от уровня Ферми. Далее был произведен расчет распределения для случая, когда все параметры включены. В результате обнаружено небольшое смещение локального минимума вблизи уровня Ферми для структур с числом слоев больше двух. Показано, что получившиеся результаты могут быть поняты и воспроизведены с помощью несложных геометрических соображений, хорошо иллюстрирующих суть метода независимых каналов. Исследованы температурные эффекты. В результате обнаружено, что при высокой температуре правая часть распределения (эмиссия из зоны проводимости) имеет суб-пиковую структуру, симметричную левой части, а также то, что кривые эмиссии в координатах Фаулера-Нордгейма практически идентичны для листов с разным количеством слоев. Эти кривые нелинейны в области слабых полей, причем нелинейность усиливается с ростом температуры.

В третьей главе исследуется влияние геометрической формы на эмиссию в случае осесимметричного выступа - полуэллипсоида (иголки) и протяженного выступа с полуэллиптическим профилем (бортика). Рассчитано влияние электрического поля на изменения площади поверхности, с которой происходит эмиссия электронов и на наклон кривых в координатах Фаулера-Нордгейма. Распределение электростатического потенциала и сила зеркального отражения для иголки известны, в то время как для

бортика приведены необходимые вычисления. Распределение потенциала для бортика найдено путем решения уравнения Лапласа с помощью известного метода преобразований в комплексной плоскости. Сила зеркального изображения для бортика найдена как сила взаимодействия заряда и металлического цилиндра, радиус которого равен радиусу кривизны у вершины бортика. Для определения силы взаимодействия между зарядом и цилиндром решается уравнение Пуассона в цилиндрических координатах с необходимыми граничными условиями. Так как в результате получается довольно сложная функция, производится численная аппроксимация с помощью простой модельной формулы.

Для того чтобы характеризовать изменение величины области с которой происходит эмиссия при изменением напряженности поля введен новый параметр - эффективная площадь эмиссии. Приводится расчет данного параметра для трех различных радиусов кривизны (0.5 пт, 1 пт и 3 пт) в зависимости от напряженности поля. Анализ наклона кривых эмиссии в координатах Фаулера-Нордгейма показывает, что как в случае иголки, так и в случае бортика этот наклон мало зависит от радиуса кривизны. Последнее обстоятельство позволяет написать общие соотношения, связывающие наклон в координатах Фаулера-Нордгейма, напряженность, работу выхода, геометрический фактор усиления на вершине и радиус кривизны эмиттера:

где к « 1.69, х = ф/(рРР), врм = -Ср - радиус кривизны вершины, /3 - коэффициент усиления поля на вершине.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты.

(10)

О)

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии. На его основе найдена связь между зонной структурой и законом эмиссии одностеночных углеродных нанотрубок, а также описана зависимость между плотностью тока и диаметром нанотрубок.

2. Получены законы эмиссии для кристалла гексагонального графита при различных направлениях электрического поля: вдоль и поперек слоев графита. Исследовано влияние деформации кристалла на эмиссионный ток.

3. Изучено влияние зонной структуры на эмиссию с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев. Предсказано наличие пиков и суб-пиков в распределении электронов по энергиям. Их положение и количество определяется числом слоев в углеродном листе, что является проявлением квантово-размерного эффекта.

4. Исследовано влияние геометрии эмиттера с нанометровым радиусом кривизны на эмиссию с протяженных вертикальных и вытянутых горизонтальных структур, имеющих эллиптический профиль. В каждом случае описана связь наклона кривых эмиссии в координатах Фаулера-Нордгейма с геометрическими параметрами, и определена зависимость площади эмиссии от напряженности внешнего поля.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Influence of tip geometry on the field emission law from axisymmetric and wall-like emitters,

V.L. Katkov and V.A. Osipov, Europhysics Letters, 89, 17002 (4pp) (2010)

2. Energy distributions of field emitted electrons from carbon nanosheets: manifestation of the quantum size effect,

B.Jl. Катков и В.А. Осипов, Письма в ЖЭТФ, 90, 304-308 (2009)

3. Effect of band structure on field emission of crystalline graphite,

V.L. Katkov and V.A. Osipov, Journal of Physics: Condensed Matter, 20, 035204 (6pp) (2008)

4. Влияние электронного спектра на автоэлектронную эмиссию с графитового двуслоя типа АА,

В.Л. Катков и В.А. Осипов, труды XIII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 197-200 (2009)

5. Автоэлектронная эмиссия с протяженных структур,

В.Л. Катков и В.А. Осипов, труды VI научной конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика", Саратов, 33-34 (2009)

6. The specific of field emission for single walled carbon nanotubes and graphite,

В.Л. Катков и В.А. Осипов, труды XII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 122-125 (2008)

Список литературы

[1] L.A. Chernozatonskii , Y.V. Gulyaev, Z.Y. Kosakovskaya, N.I. Sinitsyn,

G.V. Torgashov, Yu.F. Zakharchenko, E.A. Fedorov and V.P. Val'chuk, Chem. Phys. Lett. 233, 63 (1995)

[2] W.A. de Heer, A. Chatelain and D. Ugarte, Science 270, 1179 (1995).

[3] A.G. Rinzler, J.H. Hafner, P. Nikolaev, L. Lou, S.G. Kim, D. Tomanek, P. Nordlander, D.T. Colbert and R.E. Smalley, Science 269, 1550 (1995)

[4] Q.H. Wang, A.A. Setlur, J.M. Lauerhaas, J.Y. Dai, E.W. Seelig and R.-P.

H. Chang, Appl. Phys. Lett. 72, 2912 (1998)

[5] Y. Saito and S. Uemura, Carbon 38, 169 (2000)

[6] B.N. Jonge and J. Bonard, Phil. Trans. R. Soc. A 362, 2239 (2004)

[7] J.J. Li, C.Z. Gu, Q. Wang, P. Xu, Z.L. Wang, Z.Xu and X.D. Bai, Appl. Phys. Lett. 87, 143107 (2005)

[8] G. Zhang, X. Jiang and E. Wang, Appl. Phys. Lett. 84, 2646 (2004)

[9] J.-M. Bonard, K.A. Dean, B.F. Coll and C. Klinke, Phys. Rev. Lett. 89, 197602 (2002)

[10] A.H. Образцов, А.П. Волков и И.Ю. Павловский, Письма в ЖЭТФ 68, 56 (1998)

[11] М. Bagge-Hansen, R.A. Outlaw, Р. Miraldo, M.Y. Zhu, К. Hou, N.D. Theodore, X. Zhao and D.M. Manos, J. Appl. Phys. 103, 014311 (2008)

[12] К. Hou, R.A. Outlaw, S. Wang, M. Zhu, R.A. Quinlan, D.M. Manos, M.E. Kordesch, U. Arp and B.C. Holloway, Appl. Phys. Lett. 92, 133112 (2008)

[13] Goki Eda, H.E. Unalan, N. Rupesinghe, Gehan A.J. Amaratunga and M. Chhowalla, Appl. Phys. Lett. 93, 233502 (2008)

[14] A. Malesevic, R. Kemps, A. Vanhulsel, M.P. Chowdhury, A. Volodin and C.V. Haesen-donck, J. Appl. Phys. 104, 084301 (2008)

[15] JI.A. Чернозатонский, Е.Ф. Шека и А.А. Артюх, Письма в ЖЭТФ 89, 412 (2009)

[16] J. Luo, L.-M. Peng, Z.Q. Xue and J.L. Wu, Phys. Rev. В 66, 155407 (2002)

[17] S. Han and J. Ihm, Phys. Rev. В 66, 241402(R) (2002)

[18] Jun He, P.H. Cutler and N.M Miskovsky, Appl. Phys. Lett., 59 1644 (1991)

[19] G.N. Fursey and D.V. Glazanov, J. Vac. Sci. Technol. В 16, 910 (1998)

[20] Т.A. Sedrakyan, E.G. Mishchenko and M.E. Raikh, Phys. Rev. В 73, 245325 (2006)

[21] C.J. Edgcombe, Philos. Mag В 82, 1009 (2001)

[22] Shi-Dong Liang and N.S. Xu, App. Phys. Lett. 83, 1213(2003)

[23] Shi-Dong Liang, N.Y. Huang, S.Z. Deng, and N.S. Xu, Appl. Phys. Lett. 85, 813 (2004)

[24] Shi-Dong Liang, N.Y. Huang, Lu Chen, S.Z. Deng, and N.S. Xu, Phys. Rev. В 73, 245301 (2006)

[25] Shi-Dong Liang, Shao Zhi Deng, and Ning Sheng Xu Phys. Rev. В 74, 155413 (2006)

[26] H. Tang, Shi-Dong Liang, S.Z. Deng and N.S. Xu, J. Phys. D: Appl. Phys. 39, 5280 (2006)

Получено 30 марта 2010 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 31.03.2010. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,82. Тираж 100 экз. Заказ № 56949.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publ ish/

Введение

1 Метод независимых каналов при расчете плотности тока эмиссии с нанотрубок и кристаллического графита

1.1 Закон автоэлектронной эмиссии для одностеночных углеродных нанотрубок.

1.2 Закон автоэлектронной эмиссии для кристалла гексагонального графита.

1.2.1 Невзаимодействующие листы.

1.2.2 Простой гексагональный графит.

1.2.3 Простой гексагональный графит. Перпендикулярное слоям электрическое поле.

1.2.4 Анализ законов эмиссии для простого гексагонального графита. Эффект модуляции плотности тока деформациями

2 Метод независимых каналов при расчете распределения эмитированных электронов по энергии при эмиссии с многослойного графена

2.1 Графеновые нанолисты. Квантово-размерные эффекты при эмиссии.

2.2 Зонная структура многослойных графенов.

2.3 Распределение эмитированных электронов по энергиям при автоэлектронной эмиссии из углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, с упаковкой Бернала.

2.4 Обсуждение результатов.

3 Влияние геометрии эмиттера на автоэлектронную эмиссию

3.1 Протяженный и осесимметричный эмиттеры.

3.2 Электрическое поле вокруг протяженного полуэллиптического металлического выступа (бортика).

3.3 Потенциал взаимодействия элементарного заряда с металлическим цилиндром.

3.3.1 Уравнение Пуассона для функции Грина в цилиндрических координатах

3.3.2 Потенциал свободного заряда.

3.3.3 Элементарный заряд в присутствии цилиндрической металлической поверхности.

3.3.4 Аппроксимация для потенциала сил отражения в случае цилиндра.

3.4 Расчет геометрических эффектов.

Объект исследования и актуальность темы. В 1995 году три научные группы (Чернозатонского /1/, де Хира /2/ и Ринзлера /3/) обнаружили, что углеродные нанотрубки (УНТ) обладают хорошими автоэмиссионными свойствами: эмиссия характеризуется малыми пороговыми напряжениями, большими токами и хорошей временной стабильностью. Нанотрубки представляют собой сильно вытянутые цилиндры, которые свернуты из одного листа графита — графена, их хорошие эмиссионные свойства обусловлены большим аспектным отношением (отношение длины к радиусу), хорошими механическими свойствами, достаточно большой электропроводностью, а также тем, что УНТ образованы из атомов, соединенных не металлическими, а ковалентными связям. Последнее обстоятельство существенно увеличивает энергию активации атомов поверхностной миграции и приводит к повышению стабильность процесса эмиссии /4/.

В 1998 году Ванг с коллегами разработал дисплей, работающий на УНТ /5/, а в 2000 году был изготовлен первый источник света на данном материале /6/. Сейчас многие научные коллективы проектируют различные приборы, основанные на автоэлектронной эмиссии с углеродных на-нотрубок (например, яркие лампы, рентгеновские трубки, источники электронов для электронных микроскопов с высоким разрешением).

Экспериментальному измерению автоэлектронной эмиссии из нано-трубок и массивов из них посвящено множество работ /7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18/.

Однако исследования показывают, что не только углеродные нано-трубки являются хорошими источниками автоэлектронной эмиссии. Углеродные наноконусы, углеродные наноспирали, углеродные нанохорны, графитоподобные пленки и углеродные нанолисты также являются кандидатами на эту роль /20, 21, 22, 23, 24, 25, 26/. Следует отметить, что обнаруженные на данный момент структуры на основе атома углерода в яр2 гибридизации составляют далеко не полный список всех возможных структур /27/.

Многие теоретические работы по моделированию процесса автоэлектронной эмиссии из конкретных структур представляют собой расчеты из первых принципов (см. например /28, 29, 30, 31, 32/). Зачастую эмиттеры состоят из небольшого числа атомов, так что компьютеры могут моделировать данный процесс в приемлемое время. Однако, наряду с этим, подходы, основанные на модификации туннельной модели Фаулера-Нордгейма /33, 34/, также используется многими исследователями, так как позволяют выявить общие закономерности процесса и понять его физические причины. Актуальность проведения теоретических исследований именно в этом направлении обусловлена тем, что с помощью таких подходов можно ответить на вопрос, каким образом те или иные физические характеристики эмиттера влияют на его эмиссионные свойства. Известная связь между физическими и эмиссионными характеристиками с одной стороны, указывает пути увеличения эффективности эмиссии электронов, а с другой — позволяет исследовать физические характеристики на основе эмиссионных.

Так, учет зонной структуры одностенных углеродных нанотрубок позволил группе Лианга в 2004 предсказать квантово-размерный эффект эмиссии /35/. Он заключается в том, что с уменьшением диаметра металлические одностенные нанотрубки и полупроводниковые одностенные на-нотрубки ведут себя различным образом, но при увеличении до 2 нм и далее различия пропадают. Используя тот же подход, группа Лианга вычислила вид распределения электронов по энергиям для различных одностеночных и многостеночных нанотрубок при разной температуре /36, 37, 38, 39/.

Специфика эмиссии, обусловленная геометрической формой нано-эмиттеров, в подходе, связанном с модификацией туннельной теории, была учтена Кутлером с сотрудниками в 1991 /40/, а также Фурсеем и Глазано-вым в 1998 году /41/.

Другой оригинальный метод на основе подхода Томаса-Ферми, с помощью которого можно учесть геометрию катода в простой туннельной модели при эмиссии с уединенных нанотрубок и массивов различной плотности, был развит в цикле теоретических работ /42, 43, 44, 45/.

В 2001 году Эйджеомбе был предложен свой метод учета геометрии эмиттера /46, 47/. Им были получены достаточно простые формулы, напоминающие закон Фаулера-Нордгейма для плотности тока и содержащие две функции, которые включают в себя всю информацию о геометрии и силе взаимодействия с зарядом отражения. Функции зависят от безразмерных параметров, являющихся комбинацией напряженности электрического поля, работы выхода, радиуса кривизны и могут быть вычислены с необходимой точностью.

Тем не менее, многие вопросы о влиянии физических свойств эмиттеров на эмиссионные характеристики оставались без ответа, некоторые из них определили цели данной диссертационной работы. Итак, цели были следующие:

1. Разработать способ учета зонной структуры при расчете автоэлектронной эмиссии.

2. Исследовать влияние зонной структуры при автоэлектронной эмиссии с углеродных нанотрубок, графита, углеродных листов.

3. Рассчитать геометрические эффекты при эмиссии с углеродных листов и трубок.

Научная и практическая ценность данной работы заключается в следующем. В представленной диссертации разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии, который может быть назван методом независимых каналов. На основе данного метода найдены законы эмиссии для одностеночных углеродных нанотрубок. Полученные результаты могут быть полезны при экспериментальном определении хирально-сти конкретной нанотрубки.

Разработанный метод был использован для расчета закона автоэлектронной эмиссии с простого гексагонального графита для двух случаев: когда графитовые слои ориентированы параллельно вектору напряженности электрического поля и когда они ориентированы перпендикулярно ему. Обнаружены следующие эффекты: анизотропия плотности эмиссионного тока, связанная с особенностями зонной структуры и влияние механической деформации на автоэмиссионный ток. Данные результаты могут быть использованы при экспериментальном измерении параметров зонной структуры графита.

В рамках метода независимых каналов рассчитано энергетическое распределение при эмиссии электронов с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев, а также найдены законы эмиссии для монослоя графена и двуслоя графена. Положение и количество обнаруженных в энергетическом распределении суб-пиков напрямую связано числом графитовых слоев в листе. Наличие этих суб-пиков является прямым проявлением квантово-размерного эффекта. Полученные результаты показывают, что измерение распределения эмитированных электронов по энергиям может быть использовано как метод определения числа графитовых слоев в листе, а также как метод определения энергии взаимодействия между соседними слоями наряду с такими подходами как Рамановское рассеяние и фотоэмиссионные эксперименты.

Еще одним результатом диссертации является расчет геометрических эффектов при эмиссии с протяженного горизонтального выступа, имеющего полуэллептический профиль, и с вытянутого вертикального полуэллипсоида при нанометровых радиусах кривизны у вершины. Обнаружено, что для протяженного выступа найденные геометрические эффекты выражены гораздо меньше. Полученные соотношения связывают геометрические параметры эмиттера с нелинейностью кривых в координатах Фаулера-Нордгейма и могут быть использованы для оценки радиуса кривизны и фактора усиления поля.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод учета зонной структуры при автоэлектронной эмиссии. На его основе найдена связь между зонной структурой и законом эмиссии одностеночных углеродных нанотрубок, а также описана зависимость между плотностью тока и диаметром нанотрубок.

2. Получены законы эмиссии для кристалла гексагонального графита при различных направлениях электрического поля: вдоль и поперек слоев графита. Исследовано влияние деформации кристалла на эмиссионный ток.

3. Изучено влияние зонной структуры на эмиссию с углеродных листов, состоящих из нескольких графитовых слоев. Предсказано наличие пиков и суб-пиков в распределении электронов по энергиям. Их положение и количество определяется числом слоев в углеродном листе, что является проявлением квантово-размерного эффекта.

4. Исследовано влияние геометрии эмиттера с нанометровым радиусом кривизны на эмиссию с протяженных вертикальных и вытянутых горизонтальных структур, имеющих эллиптический профиль. В каждом случае описана связь наклона кривых эмиссии в координатах Фаулера-Нордгейма с геометрическими параметрами и определена зависимость площади эмиссии от напряженности внешнего поля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, были представлены в качестве постерного доклада на сессии ПКК ОИЯИ, а также докладывались на следующих конференциях:

1. XXIV International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 6-13, 2010, Kirchberg in Tirol, Austria.

2. International Bogolyubov Conference Problems Of Theoretical And Mathematical Physics, August 21-27, 2009, Moscow-Dubna, Russia.

3. XIII научной конференции (ЭМУС-2009, 16-21 февраля 2009 года.

4. IV научной конференции конференция "Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика", 7-9 сентября 2009 года, Саратов.

5. " Dubna-Nano2008", July 11-17, 2008, Dubna, Russia.

6. XII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 4-8 февраля 2008 года.

7. XXII International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials, March 1-8, 2008, Kirchberg in Tirol, Austria.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводится расчет закона эмиссии для одностенных углеродных нанотрубок с учетом зонной структуры, полученной с помощью приближения сильной связи. Для расчета использованы приближение Фаулера-Нордгейма, суть которого заключается в разложении показателя туннельной экспоненты в ряд вблизи уровня Ферми и приближение нулевой температуры. В результате плотность тока выражена в форме суммы по всем ветвям в энергетическом спектре, определяющим каналы эмиссии. Каждый следующий член суммы экспоненциально подавляется значением запрещенной зоны для данной ветки, поэтому актуально рассмотрение лишь первых слагаемых. Показано, что различный характер поведения плотности тока металлических и полупроводниковых нанотрубок при изменении их диаметра, обнаруженный ранее группой Лианга, определяется видом первого слагаемого.

Далее тот же метод обобщается для расчета закона эмиссии с простого гексагонального графита (графита типа ААА) в двух различных ори-ентациях: когда вектор напряженности электрического поля коллинеарен графитовым слоям и когда он направлен перпендикулярно к ним. В обоих случаях в полученных законах эмиссии предэкспоненциальнй фактор отличается от предэкспоненциального фактора в законе Фаулера-Нордгейма, в то время как экспонента имеет тот же вид. Далее в работе рассматриваются различные эффекты эмиссии с графита, связанные с зонной структурой. В частности, обсуждается эффект анизотропии при эмиссии в различных направлениях, а также эффект модуляции эмиссионного тока внешним сжатием. Результаты, изложенные в этой главе, были опубликованы в работах /48, 49/

Во второй главе производится учет влияния зонной структуры гра-феновых нанолистов на автоэлектронную эмиссию с помощью описанного в первой главе метода. Зонная структура нанолистов вычисляется из спектра Бернального графита при учете размерного квантования.

В этой главе приводятся различные распределения эмитированных электронов по энергиям для нанолистов. Далее показывается, что результаты точного интегрирования могут быть воспроизведены с помощью геометрических соображений, хорошо иллюстрирующих суть использованного метода независимых каналов. Также исследуется температурное влияние на распределение эмитированных электронов. В конце присутствует обсуждение. Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в работе /50/. Аналогичный расчет для двуслоя с графена с простой гексагональной упаковкой произведен в работе /51/.

В третьей главе, результаты которой опубликованы в /52, 53/, изучено влияние геометрической формы на эмиссию в случае осесимметричного выступа — полуэллипсоида (иголки) и протяженного выступа с полуэллиптическим профилем (бортика). Приводится вычисление электрического потенциала вокруг бортика и потенциала сил зеркального отражения. Рассчитывается влияние внешнего неоднородного электрического поля и изменения площади поверхности, с которой происходит эмиссия электронов. Для характеристики последней вводится новый параметр — эффективная площадь эмиссии. Прведены выражения, связывающие наклон кривых в координатах Фаулера-Нордгейма с геометрическими параметрами эмиттеров. Глава заканчивается кратким обсуждением результатов.

В заключении коротко суммируются основные выводы работы.

Заключение

В данной работе исследовано влияние таких физических свойств, как зонная структура и геометрическая форма углеродных эмиттеров на закономерности автоэлектронной эмиссии. Были рассмотрены следующие объекты: открытые одностеночные углеродные нанотрубки, простой гексагональный графит и углеродные листы, состоящие из нескольких графитовых слоев. Эффекты, связанные с влиянием зонной структуры, были обнаружены в плотности тока для нанотрубок и графита и в распределении электронов по энергиям для углеродных листов. Предсказанные эффекты могут наблюдаться в экспериментах, более того, их наблюдение может служить инструментом исследования электронных свойств углеродных эмиттеров. Для оценки геометрических эффектов была рассмотрена теоретическая модель эмиссии с осесимметричного эллипсоида и протяженного выступа с полуэллептическим профилем. Сравнение показывает, что в первом случае геометрические эффекты гораздо сильнее, и это совпадает с общими физическими соображениями относительно данной ситуации. То что общая зависимость наклона кривых в координатах Фаулера-Нордгейма от напряженности поля слабо зависти от радиуса кривизны, позволяет написать простые соотношения, связывающие геометрические характеристики с эмиссионными. Эти соотношения позволяют сделать оценку радиуса кривизны эмиттера на основе измерения вольт-амперных характеристик.

Благодарности

Прежде всего, хочу поблагодарить моих родителей Каткову Наталию Борисовну и Каткова Леонида Кирилловича. Исключительно благодаря их поддержке, как моральной, так и материальной, я смог получить образование, возможность заниматься любимым делом и самореализовываться наиболее эффективным образом. Далее, хочу поблагодарить моего научного руководителя Владимира Андреевича Осипова. Его манера руководства и его талант как физика сыграли важную роль в получении представленных научных результатов. Я благодарен Чернозатонскому Леониду Александровичу за научные дискуссии и поддержку моей деятельности. Упомяну также полезные обсуждения моей работы с Александром Николаевичем Образцовым. Большую помощь также мне оказала научная атмосфера и научные традиции Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова, поэтому хочу поблагодарить всех сотрудников ЛТФ.

1. L.A. Chernozatonskii , Y.V. Gulyaev, Z.Y. Kosakovskaya, N.1. Sinitsyn,

2. G.V. Torgashov, Yu.F. Zakharchenko, E.A. Fedorov and V.P. Val'chuk, Chem. Phys. Lett. 233, 63 (1995)

3. W.A. de Heer, A. Chatelain and D. Ugarte, Science 270, 1179 (1995).

4. A.G. Rinzler, J.H. Hafner, P. Nikolaev, L. Lou, S.G. Kim, D. Tomanek, P. Nordlander, D.T. Colbert and R.E. Smalley, Science 269, 1550 (1995)

5. B.N. Jonge and J. Bonard, Phil. Trans. R. Soc. A 362, 2239 (2004)

6. Q.H. Wang, A.A. Setlur, J.M. Lauerhaas, J.Y. Dai, E.W. Seelig and R.-P.

7. H. Chang, Appl. Phys. Lett. 72, 2912 (1998)

8. Y. Saito and S. Uemura, Carbon 38, 169 (2000)

9. L.A. Chernozatonskii, Z.Ja. Kosakovskaya, Yu.V. Gulyaev, N.I. Sinitsyn, G.V. Torgashov and Yu.F.Zakharchenko, J. Vac. Sei. Technol. 14, 2080 (1996)

10. Yu.F. Zakharchenko, N.I.Sinitsyn, G.V. Torgashov, Yu.V. Gulyaev, I.S. Nefyodov and A.I. Zhbanov, J. Vac. Sei. Technol. 14, 2082 (1996)

11. Yu.V. Gulyaev, N.I. Sinitsyn, G.V. Torgashov, Sh.T. Mevlyut, A.I. Zhbanov, Yu.F. Zakharchenko, Z.Ya. Kosakovskaya, L.A. Chernozatonskii, O.E. Glukhova and I.G. Torgashov, J.Vac.Sci.Technol. В 15, 422 (1997)

12. Ю.В. Гуляев, H.И. Синицын, Г.В. Торгашов, JI.A. Чернозатонский, З.А. Косаковская и Ю.Ф. Захарченко, Журнал Микроэлектроника 26, 84 (1997)

13. N.I. Sinitsyn, Yu.V. Gulyaev, G.V. Torgashov, L.A. Chernozatonskii, Z.Ya. Kosakovskaya, Yu.F." Zakharchenko, N.A. Kiselev, A.L. Musatov, A.I. Zhbanov, Sh.T. Mevlyut and O.E. Glukhova, Applied Surface Science 111, 145 (1997)

14. O.E. Glukhova, A.I. Zhbanov, I.G. Torgashov, N.I. Sinitsyn and G.V. Torgashov, Applied Surface Science 215, 149 (2003)

15. O.E. Глухова, H.И. Синицын, Г.В. Торгашов, З.И. Буянова и И.Г.Торгашов, Нанотехника. 9, 3 (2007)

16. P.G. Collins and A. Zettl, Phys. Rev. В 55, 9391 (1997)

17. J.-M. Bonard, J.P. Salvetat, T. Stôckli, W.A. de Heer, L. Forro, A. Châtelain, Appl. Phys. Lett. 73, 918 (1998)

18. K.A. Dean and B.R. Chalamala, Appl. Phys. Lett. 75, 3017 (1999)

19. Q. Zou, M.Z. Wang and Y.L. Yang, J. Appl. Phys. 106, 013305 (2009)

20. Q.Z. Zhao, F. Ciobanu and L.J. Wang, J. Appl. Phys. 105, 083103 (2009)

21. S.C. Ray, U. Palnitkar, C.W. Pao, H.M. Tsai, W.F. Pong, I-Nan Lin, P. Papakonstantinou, Abhijit Ganguly, L.C. Chen and K.H. Chen, J. Appl. Phys. 104, 063710 (2008)

22. J.J. Li, C.Z. Gu, Q. Wang, P. Xu, Z.L. Wang, Z.Xu and X.D. Bai, Appl. Phys. Lett. 87, 143107 (2005)

23. G. Zhang, X. Jiang and E. Wang, Appl. Phys. Lett. 84, 2646 (2004)

24. J.-M. Bonard, K.A. Dean, B.F. Coll and C. Klinke, Phys. Rev. Lett. 89, 197602 (2002)

25. M. Bagge-Hansen, R.A. Outlaw, P. Miraldo, M.Y. Zhu, K. Hou, N.D. Theodore, X. Zhao and D.M. Manos, J. Appl. Phys. 103, 014311 (2008)

26. K. Hou, R.A. Outlaw, S. Wang, M. Zhu, R.A. Quinlan, D.M. Manos, M.E. Kordesch, U. Arp and B.C. Holloway, Appl. Phys. Lett. 92, 133112 (2008)

27. Goki Eda, H.E. Unalan, N. Rupesinghe, Gehan A.J. Amaratunga and M. Chhowalla, Appl. Phys. Lett. 93, 233502 (2008)

28. A. Malesevic, R. Kemps, A. Vanhulsel, M.P. Chowdhury, A. Volodin and C.V. Haesen-donck, J. Appl. Phys. 104, 084301 (2008)

29. JI.A. Чернозатонский, Е.Ф. Шека и A.A. Артюх, Письма в ЖЭТф 89, 412 (2009)

30. J. Luo, L.-M. Peng, Z.'Q. Xue and J.L. Wu, Phys. Rev. В 66, 155407 (2002)

31. S. Han and J. Ihm, Phys. Rev. В 66, 241402(R) (2002)

32. L. Qiao, C. Wang, C.Q. Qu, Y. Zeng, S.S. Yu, X.Y. Hu, W.T. Zheng, Q. Jiang, Diamond and Related Materials 18, 657 (2009)

33. X. Zheng, G. Chen, Z. Li, Sh. Deng and N. Xu, Phys. Rev. Lett. 92, 106803 (2004)

34. P. Yaghoobi, K. Walus and A. Nojeh, Phys. Rev. В 80, 115422 (2009)

35. R.H. Fowler, L. Nordheim, Proc. Roy. Soc. 119, 173 (1928)

36. L. Nordheim, «Physikalische Zeitschrift», Bd. 30, № 7, S. 117 (1929)

37. Shi-Dong Liang and N.S. Xu, App. Phys. Lett. 83, 1213(2003)

38. Shi-Dong Liang, N.Y. Huang, S.Z. Deng, and N.S. Xu, Appl. Phys. Lett. 85, 813 (2004)

39. Shi-Dong Liang, N.Y. Huang, Lu Chen, S.Z. Deng, and N.S. Xu, Phys. Rev. В 73, 245301 (2006)

40. Shi-Dong Liang, Shao Zhi Deng, and Ning Sheng Xu Phys. Rev. В 74, 155413 (2006)

41. H. Tang, Shi-Dong Liang, S.Z. Deng and N.S. Xu, J. Phys. D: Appl. Phys. 39, 5280 (2006)

42. Jun He, P.H. Cutler and N.M Miskovsky, Appl. Phys. Lett., 59 1644 (1991)

43. G.N. Fursey and D.V. Glazanov, J. Vac. Sei. Technol. В 16, 910 (1998)

44. K.A. Булашевич и B.B. Роткин, Письма в ЖЭТФ, 75, 239 (2002)

45. Е. G. Mishchenko and М. Е. Raikh, Phys. Rev. В 74, 155410 (2006)

46. Zh. Li and W. Wang, Chin. Phys. Lett. 23, 1616 (2006)

47. T.A. Sedrakyan, E.G. Mishchenko and M.E. Raikh, Phys. Rev. В 73, 245325 (2006)

48. C.J. Edgcombe, Philos. Mag В 82, 1009 (2001)

49. C.J. Edgcombe, Phys. Rev. В 72, 045420 (2005)

50. V.L. Katkov and V.A. Osipov, Journal of Physics: Condensed Matter, 20, 035204 (2008)

51. В.Jl. Катков и В.А. Осипов, труды XII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 122-125 (2008)

52. B.JI. Катков и В.А. Осипов, Письма в ЖЭТФ, 90, 304 (2009)

53. B.JI. Катков и В.А. Осипов, труды XIII научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, 197-200 (2009)

54. V.L. Katkov and V.A. Osipov, Europhys. Lett., 89, 17002 (4pp) (2010)

55. B.JI. Катков и В.А. Осипов, труды VI научной конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика", Саратов, 33 (2009)

56. J.W. Gadzuk and E.W. Plummer, Rev. Mod. Phys. 45, 487 (1973)

57. А. Модинос Авто- термо- и вторично- электронная эмиссионная спектроскопия. М: «Наука», 1990

58. М.И. Элинсон, Г.Ф. Васильев Автоэлектронная эмиссия. М: Физмат-лит, 1958

59. P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947)

60. J.С. Slonzewski and P.R. Weiss, Phys. Rev. В 109, 272 (1958)

61. J.W. McClure, IBM. J. Res. Develop. 8, 255 (1964)

62. J.C. Charlier, J.P. Michenaud, X. Gonze and J.P. Vigneron, Phys. Rev. В 44, 13237 (1991)

63. R. Saito, M. Fujita, G! Dresselhaus, and M.S. Dresselhaus, App. Phys. Lett. 60, 2204 (1992)

64. J.-C. Charlier, X. Blase and S. Roche, Rev. Mod. Phys. 79, 677 (2007)

65. R. Stratton, Phys. Rev. 125, 67 (1962)

66. J. Paulini, T. Klein and G Simon, J. Phys. D: Appl. Phys. 26, 1310 (1993)

67. P.W. Hawkes and E. Kasper Principles of Electron Optic Vol. 2 London: Academic Press, 1989

68. H. Dai, Surface Science 500, 218 (2002)

69. J.C. Charlier, J.P. Michenaud, X. Gonze and J.P. Vigneron, Phys. Rev. B 44, 13237 (1991)

70. M. Abramowitz, I. Stegun Handbook of mathematical function (New York: Dover Publication) 12,2.6 1984

71. J.C. Charlier, J.P. Michenaud and X. Gonze, Phys. Rev. B 46, 4531 (1992)

72. J.-K. Lee, S.-C. Lee, J.-P. Ahn, S.-C. Kim, J.I.B. Wilson and Phillip John, J. Chem. Phys. 129, 234709 (2008)

73. Z. Liu, K. Suenaga, P.J.F. Harris and S. Iijima, Phys. Rev. Lett. 102, 015501 (2009)

74. J.J. Wang, M.Y. Zhu,-R.A. Outlaw, X. Zhao, D.M. Manos, B. C. Holloway and V.P. Mammana, Appl. Phys. Lett. 85, 1265 (2004)

75. J.J. Wang, M.Y. Zhu, R.A. Outlaw, X.Zhao, D.M. Manos and B.C. Holloway, Carbon 42, 2867 (2004)

76. A. Mayer, N.M. Miskovsky and P.H. Cutler, J. Phys.: Condens. Matter 15, R177 (2003).f

77. D. Stark and P. Zwicknagl, Appl. Phys. 21, 397 (1980)

78. J.K. Wysockia and D. Stark, Surf. Sei. 247, 402 (1991).

79. S. Johnson, U. Zülicke, and A. Markwitz, J. Appl. Phys. 101,123712 (2007)

80. S. Latil and L. Henrard, Phys. Rev. Lett. 97, 036803 (2006)

81. B. Partoens and F. M.Peeters, Phys. Rev. В 74, 075404 (2006)

82. J.C. Slonzewski and P.R. Weiss, Phys. Rev. В 109, 272 (1958)

83. J.W. McGlure, Phys. Rev. В 108, 612 (1957)

84. M. S. Dresselhaus and G. Dresselhaus, Adv. Phys. 30, 139 (1981)

85. G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai, Phys. Rev. В 77, 113407 (2008)

86. К.F. Мак, M.Y. Sfeir, J.A. Misewich and T.F. Heinz, arXiv:0908.0154vl (2009)

87. L.M. Malard, J. Nilsson2, D.C. Elias, J.C. Brant, F. Plentz, E.S. Alves, A.H. Castro Neto and M.A. Pimenta, Phys. Rev. В 76, 201401(R) (2007).

88. T. Ohta, A. Bostwick, J.L. McChesney, T. Seyller, K. Horn and E. Rotenberg, Phys. Rev. Lett. 98, 206802 (2007).

89. S.T. Purcell, P. Vincent, C. Journet and Vu Thien Binh, Phys. Rev. Lett. 88, 105502 (2002).

90. К. Бинс и П. Лауренсон, Анализ и расчет электрических и магнитных полей, М: «Энергия», 1958

91. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Курс теоретической физики, Том 8 Электродинамика сплошных сред., М: «Наука», 1982

92. Дж. Джексон Классическая электродинамика, М: «Мир», 1965

93. В.В. Батыгин и И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, М: «Физматлит», 1962.

94. J.-M. Bonard and С. Klinke, Phys. Rev. В 67, 15406 (2003)

95. N. Jonge, M. Allioux, M. Doytcheva, and M. Kaiser, Appl. Phys. Lett. 85, 1607 (2004).