Теоретическое моделирование двухслойных смектических жидких кристаллов

Баукина, Светлана Владимировна

Автореферат диссертации на тему "Теоретическое моделирование двухслойных смектических жидких кристаллов"

На правах рукописи

БАУКИНА Светлана Владимировна

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХСЛОЙНЫХ СМЕКТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ

Специальность 01.04.07. - Физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре Теоретической Физики Московского Государственного Института Стали и Сплавов (Технологического Университета), МИСиС

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мухин Сергей Иванович

Официальные оппоненты-.

доктор физико-математических наук, профессор Голо Войслав Любомирович

доктор физико-математических наук, профессор Каган Максим Юрьевич

Ведущая организация:

Институт Физической Химии и Электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН

Защита состоится 23 июня 2005 г. в 15 час. 30 мин. на заседании Диссертационного Совета Д212.132.08 при Московском Государственном Институте Стали и Сплавов по адресу: 119049, г. Москва, Ленинский проспект, 4, ауд Б-436.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИСиС. Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

профессор, доктор физико-математических наук

001-4 .¿4 г 7604.

Общая характеристика работы

Актуальность темы:

Работа посвящена исследованию структурных п термодинамических свойств квазидвумерных жидкокристаллических систем методами теоретической физики. Двухслойный смектический жидкий кристалл может служить моделью для теоретического изучения механических и термодинамических свойств биологических мембран. В современной физике конденсированного состояния исследование биологических систем является перспективным направлением. В последние десятилетия физические методы экспериментального изучения биологических мембран быстро развиваются. Полученные экспериментальные данные и наблюдаемые закономерности требуют физической интерпретации. Исследования указывают, что основной структурный элемент биологической мембраны - липидный бислой - играет активную роль в функционировании мембранных белков. Понимание физических зависимостей между структурой и термодинамическими характеристиками липидного бислоя позволяет предсказывать и направленно изменять свойства биологических мембран, что имеет большое значение для биологии и медицины. Липидный бислой является структурно и динамически сложной средой и представляет собой двухслойный лиотропный смектик. Составляющие его молекулы - липиды - обладают амфифильными свойствами, что приводит к неоднородности межмолекулярных взаимодействий. Благодаря вытянутой форме и гибкости, молекулы обладают большой конфигурационной энтропией. Теоретическое моделирование такой системы является нетривиальной задачей. В настоящее время развиваются подходы к решению этой проблемы. Большинство имеющихся результатов получено путем компьютерного моделирования (молекулярная динамика, метод Монте-Карло), которое не позволяет получить аналитические зависимости и в полной мере установить главные физические закономерности. В этой связи теоретическое моделирование двухслойного смектика, допускающее решение в аналитическом виде, для физического описания биологических мембран является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы: Исследование механических и термодинамических свойств двухслойного смектического жидкого кристалла методами теоретической физики. Вывод функционала свободной энергии смектика с учетом основных структурных характеристик: вытянутой формы, гибкости и амфифильности составляющих молекул. Получение аналитических зависимостей для термодинамических характеристик исследуемой системы.

Основные задачи, которые решались для достижения поставленной цели, можно

сформулировать следующим образом: I 1 - ' »ЬИлп

| 1 ** ' Ч! > Л

1. Критический анализ существующих теоретических моделей квазидвумерных жидкокристаллических систем и методов расчета термодинамических характеристик.

2. Моделирование методами теоретической физики двухслойного смектического жидкого кристалла. Построение функционала плотности свободной энергии.

3. Вычисление упругих и термодинамических характеристик двухслойного смектика с использованием полученных выражений для свободной энергии.

4. Вычисление зависимости термодинамических характеристик от координаты вдоль нормали к слою. Учет неоднородности межмолекулярных взаимодействий и гибкости молекул смектика.

5. Применение теоретических моделей лиотропного двухслойного смектического жидкого кристалла для описания и предсказания физических свойств биологических мембран, а также объяснения экспериментальных зависимостей.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Получен новый функционал свободной энергии двухслойного смектика, включающий непосредственно амплитуды изгиба, растяжения и проскальзывания слоев как функции координат. Функционал выведен из общих принципов теории упругости и обобщает ранее рассмотренные в литературе модели.

2. Впервые рассчитано в аналитическом виде распределение латерального давления вдоль оси гибкой молекулы в слое. Ранее данная характеристика определялась лишь численными методами (молекулярная динамика и метод Монте-Карло).

3. Микроскопическая модель смектика применена для описания термодинамики мембраны в условиях эксперимента «пэтч-клэмп». Показано, что взаимное проскальзывание слоев мембраны термодинамически выгодно и приводит к сбросу напряжений.

Практическая ценность результатов работы состоит в следующем:

1. Построенные теоретические модели двухслойного смектика мо1уг быть использованы для описания липидного бислоя и предсказания физических свойств биологических мембран.

2. Вычисленное распределение латерального давления по толщине слоя в биологической мембране не поддается прямому экспериментальному измерению. Распределение латерального давления в липидном бислое контролирует конформационные перестройки мембранных белков. Полученный результат предполагается использовать для количественного описания воздействия молекул анестетиков на открытие/закрытие

механочуЕствительньк белковых каналов, которое определяет скорость передачи электрического импульса по нервным Еолокнам. 3. Предложенный механизм сброса латеральных напряжений в биологической мембране в эксперименте «пэтч-клэмп» позволяет описать теоретически экспериментально наблюдаемый эффект спонтанного закрытия встроенных в мембрану механочувствительных белковых каналов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Новый функционал свободной энергии упругой деформации двухслойного смекгического жидкого кристалла, включающий три поля: поле межслойного проскальзывания, поле изгибной деформации и поле латерального растяжения. Поле проскальзывания учитывает расслоение нейтральной поверхности в смектике при деформации и локальную разность поверхностных плотностей слоев.

2. Теоретически предсказано четырехкратное уменьшение эффективного модуля изгиба двухслойного смектика в результате взаимного проскальзывания слоев.

3. Распределение латерального давления по толщине слоя смектика состоящего из гибких молекул. Представление профиля давления в виде линейной комбинации квадратов собственных функций самосопряженного оператора плотности энергии.

4. Основной вклад в латеральное давление (при Т~300 К) вносят лишь несколько собственных колебаний молекулярной цепочки с наименьшей эффективной жесткостью на континуальном множестве доступных конфигураций.

5. Теоретическое описание механизма релаксации напряжений в липидном бислое путем проскальзывания слоев при постоянной кривизне мембраны в условиях эксперимента «пэтч-клэмп».

Апробация результатов работы:

Основные результаты были представлены и обсуждались на 7 международных конференциях: Международная конференция Biophysical Society 49th Annual Meeting (Лонг Бич, Калифорния, 2005); Международный семинар СЕСАМ Biomembrane Organization And Protein Function (Лион, Франция, 2005); Международная конференция IUPAP 5-th International Conference on Biological Physics (Гетеборг, Швеция, 2004); Международная конференция From Solid State to BioPhysics II: Role of Inhomogeneities in Solid, Soft and BioMatter (Дубровник, Хорватия, 2004); Международная конференция Biophysical Society 48th Annual Meeting (Балтимор, Мериленд, 2004); Международная конференция Biophysical Society 47th Annual Meeting (Сан Антонио, Техас, 2003); Международная конференция

«Биоэлектрохимия мембран: от фундаментальных принципов к здоровью человека» (Москва, 2002).

Публикации:

По теме диссертации опубликовано 10 работ, перечень которых приведен в конце реферата. Объем работы:

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников.

Работа содержит 92 страницы текста, 16 рисунков, 1 таблицу и 97 наименований библиографии.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Сформулированы цели и задачи диссертационной работы, изложены основные научные результаты. Представлены научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава содержит литературный обзор, в котором представлены основные типы жидких кристаллов и рассмотрены физические свойства объекта исследования - двухслойного смектического жидкого кристалла (рис. 1а). Приведено краткое описание объекта приложения теории - биологической мембраны, основной структурный элемент которой -липидный бислой (рис. 16) - представляет собой двухслойный лиотропный смектик. Обсуждаются существующие феноменологические и микроскопические модели мембран и методы расчета термодинамических характеристик.

Во второй главе выведен функционал энергии упругой деформации двухслойного смектического жидкого кристалла. Функционал учитывает квазидвумерную жидкокристаллическую структуру и слабое взаимодействие между слоями, которое приводит к их взаимному проскальзыванию при деформации. Рассмотрен случай малого изгиба, когда амплитуда изгиба мала по сравнению с толщиной смектика. Для каждого слоя использовано приближение тонкой пластинки с постоянными упругими модулями.

Основное содержание работы

Рис. 16. Модель биологической мембраны: липидный бислой со встроенным белком.

Рис. 1а. Схема: смектик А

Амплитуды изгибз, растяжения и взаимного проскальзывания слоев смектика введены непосредственно в тензор деформации иц:

(1)

Плоскость {х,у} совпадает с общей поверхностью слоев, ось z перпендикулярна плоскости смектика (рис. 2), 0(z>O)o1 и G(z<0) = 0. Поле 4(х>У)-иг(х>У) характеризует поперечное смещение смектика, определяемое на общей поверхности слоев, поле а(х,у) описывает однородное по толщине смектика продольное (латеральное) растяжение/сжатие. Поле проскальзывания f(x,y) в сочетании с ©-функциями описывает разрыв латерального смещения на межслойной поверхности мембраны (z=0) и учитывает свободное (статическое) взаимное проскальзывание слоев в смектике с суммарной амплитудой 2f(x,y), которое не вносит непосредственного вклада в изменение упругой энергии.

I

t стенка |

вода

мембрана

„ i^-yf

вода

стенка

Рис. 2. Схема: двухслойный смекгик в ограниченной геометрии.

Из анализа симметрии системы произведен выбор независимых компонент тензора упругих модулей. Учитывается постоянство плотности смектика при деформации и^+и^+и^ =0 и равенство нулю модуля сдвига в плоскости {х,у}. В диссертационной работе функционал энергии упругой деформации двухслойного смектика получен в виде:

* К -ьи^У Я(П)гсЫУ-

-2Ь2 • ||(У24)-(У-Г)сму+2Ь- Д(У-а)2 +(У-Г)2

где К, - суперпозиция анизотропных модулей упругости,у = {.

I Эх ду I

Данный функционал учитывает проскальзывание слоев и одновременно допускает произвольное положение (по толщине слоя) нейтральной поверхности, которая определяется из условий: и^(х,у,г) = 0, и)у(х,у,2) з 0. Первое слагаемое в функционале (2) есть энергия кг 2

изгиба Рс = Г(2-Н-с0) с!А с нулевой спонтанной кривизной с<>. Модуль изгиба смектика

равен: кь =2Ь3К,/3. Слагаемое ~¡y^aJ в (2) соответствует непрерывному (через межслойную поверхность 2=0) латеральному растяжению смектика, которое приводит к изменению средней поверхностной плотности молекул. Слагаемое -(у^)2 представляет энергию, связанную с несовпадением растяжений в слоях и отклонением поверхностной плотности молекул от среднего значения. Упругий модуль изотермического сжатия равен кд= 2И-К1. Соответственно, соотношение между модулем изгиба и модулем изотермического сжатия имеет вид кь/кл~Ь2. Второе слагаемое в правой части (2) учитывает связь деформаций изгиба и межслойного проскальзывания. Согласно (2) в приближении малого изгиба однородное по толщине латеральное растяжение не зависит от изгиба. Слои смектика имеют одинаковое поперечное смещение на межслойной поверхности, определяемое %(х,у). Межслойное проскальзывание при этом снижает растяжение/сжатие слоев, вызванное изгибом, и приводит к уменьшению свободной энергии. Функционал энергии (2) является инвариантным по отношению к поперечному полю проскальзывания, при котором сНу(Г)=0. Поэтому энергия мембраны не изменяется при взаимном вращении слоев или сдвиге одного слоя как целого относительно другого (без учета конечности размеров мембраны в латеральном направлении).

С использованием функционала энергии (2) решена аналитически задача о цилиндрически симметричной деформации мембраны под действием однородной изгибающей внешней силы. Рассмотрен случай чистого изгиба. Радиальная компонента поля смещения равна:

^^{Ч-^Ч^-2'*2-') (3)

где г - радиус-вектор в плоскости смектика, К радиус смектика, Ь - толщина слоя, Р -внешняя сила на единицу площади (давление). Радиальная компонента тензора напряжений равна:

В рассматриваемом приближения радиальная компонента тензора напряжений не зависит от упругих модулей. Зависимость (4) представлена на рис. 3.

2,5 От-СУо

-г=Ь;-0

¡«»»^ г=Ы2; -И2 1—-——г=+0;

Рис. 3. Вычисленная радиальная компонента тензора напряжений <У„ (норм1грованная на <г0=ЗРК1/(4Ь2)) как функция радиус-вектора г в плоскости смектика

2

1Г

1.5 1

0,5 \

0-

-0,5 •

•1

-1,5

-2

-2,5 -1

Сплошные линии изображают напряжения на верхних поверхностях г = +Ъ,+0 и нижних поверхностях г = -0,-11 верхнего и нижнего слоев, которые занимают области пространства: +0<г< +1] и -Ь<z<~0, соответственно. Штриховая линия описывает нейтральные поверхности (при г = ±Ъ/2) в верхнем и нижнем слоях. Пунктирные линии (г=Ь, г=-Ь) описывают напряжения на верхней и нижней поверхностях смектика такой же толщины 2Ь, в котором проскальзывание слоев невозможно. Согласно (4), перераспределение латерального напряжения в слоях вызвано взаимным проскальзыванием слоев. В результате нейтральная поверхность в центре г=0 расщепляется на две и смещается в центр верхнего г=+Ъ/2 и нижнего г = -Ъ/2 слоя (штриховая линия). Это приводит к уменьшению напряжений на верхней и нижней поверхностях смектика в два раза за счет проскальзывания. Также рассмотрена задача о чистом изгибе смектика в плоскопараллельном канале. Прямое влияние канала заключается в ограничении множества доступных конфигураций. Энтропийное взаимодействие смектика с ограничивающим« стенками (рис. 2) моделируется с помощью включения в функционал энергии дополнительного параболического потенциала ~ а§2 /2 (минимум которого расположен по середине между ограничивающими стенками):

С использованием преобразования Фурье вычислено среднее значение амплитуды изгиба:

(5)

(У)"

квт

зд кят

2Ь"

4 ,_6а

(б)

где ко - постоянная Больцмана, Т - температура. Если проскальзывание в мембране невозможно, то в правой части выражения (6) сохраняется только первое слагаемое. Второе слагаемое описывает увеличение изгибных флуктуации благодаря проскальзыванию слоев. В плоскопараллельном канале средняя амплитуда флуктуации ограничена шириной 2с1 пространства между стенками (пренебрегая объемом, занимаемым мембраной, т.е. Ь«с1). Условие самосогласования для определения коэффициента а параболического потенциала записывается в виде: = где Коэффициент параболического потенциала для смектика с учетом проскальзывания слоев равен:

_(кдт£_

(7)

Коэффициент параболического потенциала для смектика без проскальзывания слоев оказывается в четыре раза меньше. Проскальзывание слоев приводит к частичному сбросу латерального напряжения в мембране. Сброс напряжений приводит к эффективному уменьшению энергии изгиба смектика и увеличивает статистическую вероятность больших амплитуд изгиба. Это, в свою очередь, усиливает энтропийное отталкивание от стенок.

В третьей главе микроскопическая модель двухслойного смектика применена для описания термодинамики биологической мембраны в условиях эксперимента «пэтч-клэмп» (раЮЬ-с1атр). Техника «пэтч-клэмп» (рис.4) в настоящее время является основным экспериментальным

инструментом изучения

функционирования белковых комплексов, встроенных в липидный бислой. В условиях данного эксперимента мембрана, находящаяся в водном растворе, под действием разности давлений втягивается в пипетку.

Разность давлений вызывает изгиб и растяжение мембраны; при этом верхний слой мембраны прилипает к стенкам пипетки. В нижний слой может осуществляться перенос

спой 2

слой 1

проскальзывание прилипание

рвзервуар

Рис. 4. Схема эксперимента «пэтч-клэмп».

молекул из оставшейся нерзстянутой части мембраны, которая слуглгг ргзервуаром для молекул.

Молекулы липидов, составляющие бислой, являются амфифильными: они содержат полярные гидрофильные группы п неполярные гидрофобные хвосты, образованные углеводородными цепочками, (рис. 5). Свободная энергия, приходящаяся на молекулу в верхнем 0=2) и нижнем (1=1) слоях, представлена в виде:

5 =уа! + (ка1о, /2)[(Н±сй)3 + (4/3)с0.1шк] (8)

Гидрофильные полярные группы

ю 2

^ ! О. ф Ё1

Рис. 5. Молекула липида и вклады различных

взаимодействий в

распределение латерального давления в слое мембраны.

Первое слагаемое в (8) есть поверхностная энергия, учитывающая гидрофобный эффект, т.е. взаимодействие между гидрофобными хвостами молекул и окружающим полярным раствором (и полярными группами молекул), у - поверхностное натяжение на границе гидрофобной и гидрофильной областей, а1 - площадь, приходящаяся на молекулу на поверхности раздела гидрофобной и гидрофильной областей в ¡- м слое. Электростатическое взаимодействие между диполями и отдельными зарядами в полярных группах можно рассмотреть в «модели конденсатора»: =С/а1? феноменологическая константа С определяется из экспериментальных данных. Электростатическое отталкивание в модели учитывается в эффективном поверхностном натяжении у. Второе слагаемое в (8) введено в

форме упругой энергии пружинки (к5/2)(1,-1а)2 и моделирует энтропийное отталкивание

между углеводородными цепочками в гидрофобной части мембраны. Притягивающие дисперсионные силы в гидрофобной части мембраны обеспечивают плотную упаковку мономеров углеводородных цепочек. В модели предполагается, что дисперсионные силы

играют роль «фона», который обеспечивает постоянство удельного объем углеводородной цепочки: V = loi - а, = const. Толщина 1; гидрофобной части i-ro слоя связана с площадью ai и

зависит от средней Н и гауссовой К кривизны мембраны: 1, = 1И ± 10,2Н + (2/3)10|3К. Знак «+» здесь и в формуле (8) относится к верхнему слою 2, знак «-» - к нижнему слою 1. Параметры с0| =(101 — I,)/1012 имеют смысл спонтанной кривизны i-ro слоя. Рассмотрена однородная деформация мембраны, при которой площадь aj, приходящаяся на одну молекулу в слое, а также средняя и гауссова кривизна не зависят от координаты в плоскости мембраны, причем Н = 1/ г, К = Н2 =1/г2, где г - радиус кривизны мембраны. Свободная энергия мембраны под действием внешней изгибающей силы на единицу площади Р с учетом переменного числа молекул Н в слоях и адгезии молекул слоя 2 к подложке записывается в виде:

F = N1(f1 -f„)+N2(f2 -(f0-EJ)-N,(a, -a0I)T, -N2(a2 -a02)T2 -

-(N2-N02)a0sine(T,+T2)-fxl(Si(H)-Nlal) (9)

1-1.2

Первое и второе слагаемые представляют собой энергию молекул в изогнутой части слоев 1 и 2, соответственно. Энергия fo вычитается для учета разницы свободной энергии молекул в растянутой мембране и в резервуаре. Энергия адгезии Ea,i во втором слагаемом моделирует прилипание молекул верхнего слоя к стенкам пипетки, которое уменьшает энергию молекул по отношению к резервуару. Следующие два слагаемых в (9) представляют собой механическую работу, производимую натяжением Ti, i=l, 2, по увеличению площади в изогнутой части слоев от исходного aoi до конечного значения щ. Натяжения в слоях Ti связаны с давлением по формуле Лапласа: Т, +Т2'= Рг / 2. Исходные площади aoi и исходные количества молекул в слое Noi соответствуют равновесному состоянию в мембране при нулевом давлении Р. Площади, приходящиеся на молекулу в слоях, при нулевом давлении не совпадают из-за конечной энергии адгезии. Пятое слагаемое описывает работу по отсоединению от стенок пипетки молекул слоя 2 по мере растяжения мембраны, производимую перпендикулярными компонентами натяжений Т-,. Угол в - угол смачивания

между мембраной и пипеткой: sin(O) = ^/l-cos2(0) =^1\-(т/К)г , R - радиус пипетки. Слагаемые с множителями Лагранжа Х12 введены для отбора сферических конфигураций мембраны, кривизна которых не зависит от координаты. Площадь поверхности мембраны зависит от кривизны: А(Н) = 2тсг2 (l —v/l-R2 / г2 j = 2гсН~2 (l —v/l-R2H2 ) = N,a, и изменяется при изменении внешнего давления.

Равновесная конфигурация мембраны при заданных граничных условиях и внешнем давлении Р находится путем минимизации свободной энергии (9) по пяти независимым переменным N1, а) и Н. Полученные уравнения решаются численно. Особенностью эксперимента «пэтч-клэмп» является последовательное изменение граничных условий, которое происходит в несколько этапов. Характерные времена последовательных этапов различаются на несколько порядков. В результате система проходит ряд разделенных по времени равновесных состояний (с минимальной свободной энергией при данных граничных условиях).

В начальный момент времени мембрана находится в пипетке при нулевом давлении Р=0, конечная энергия адгезии приводит к слабому отклонению мембраны от плоской конфигурации: Л/г-Ю"3. Решения уравнений равновесия представлены в табл. 1.

Таблица 1. Решения уравнений равновесия при Р=0 для различных значений Е^ /е,.

Е-'е, 0.030 0,060 олоо 0.300

а2/а0 1,008 " 1.016 1.027 1.093

IV М0 0.992 0.984 0.974 0.*И5 ' '

Р/(Н„-е,) 0.030 0.059 0.099 0,288

а,/а, =1.000, N,/N„ = 1.000

Здесь е, = /2, N0 и ао - число молекул и площадь на молекулу в плоском слое радиуса Я, соответственно. Число молекул в слое 2 уменьшается при увеличении энергии адгезии Еа<1, а число молекул в нижнем слое 1 практически не изменяется, поскольку слой 1 сообщается с резервуаром, из которого осуществляется перенос молекул, компенсирующий растяжение. Из соображений устойчивости мембраны к растяжению, максимальное значение которого до разрыва мембраны может составлять (а. -а0)/а0 «5%, сделан выбор значения Еа(|/е|=0.03. Таким образом, определено значение натяжения адгезии мембраны на стенках пипетки Т,~Е„/а()=2.5-10"3 Н/м (при е, ~кь/2~5-Ю"20Дж, а0 ~ 60А2), которое попадает в середину экспериментально полученного интервала Та = (0.5-5-4)-10"3 Н/м. Под действием импульса внешнего давления происходит изгиб мембраны и растяжение слоев. Характерное время распространения изгибных деформаций в мембране можно оценить, используя формулу для частоты изгибных волн <оь в тонкой пластинке:

~К(Ч»"' ¿К'^РЪ/К - Ю-4сек (10)

Здесь использованы следующие значения доя параметров: К.~2-5-3 мкм, р~1 г/см* -плотность, кь я10~"Д;к - модуль изгиба, 1са. ~ 0.1 мкм - эффективная толщина пластинки, т.е. мембраны и прилегающих слоев воды, д < 2п/К-волновой вектор. За время ть ~ 10"4сек мембрана достигает только квазиравновесного деформированного состояния, поскольку вдоль поверхности нижнего слоя существует градиент натяжения УТ,. В изогнутой части слоя 1 натяжение конечно Т, * 0, при этом в резервуаре (который сообщается с нижним слоем) натяжение равно нулю. Это приводит к переносу дополнительных молекул из резервуара в нижний слой путем проскальзывания нижнего слоя относительно верхнего, который прикреплен о стенки пипетки за счет адгезии молекул. Скорость взаимного проскальзывания слоев определяется коэффициентом вязкого сопротивления Ь5: Ь, • V, = УТ, = кА • Уа, где Т, ~ кЛ • а, кд - модуль изотермического сжатия, а = (а,/а0-1) - поле растяжения. Условие консервативности поля растяжения принимает форму уравнения диффузии: йа/Э1 = УУаекЛ/Ь,У2а, величина кЛ/Ь, играет роль коэффициента диффузии поля растяжения. Время релаксации натяжения в нижнем слое, необходимое для выравнивания растяжения между центром изогнутого слоя и резервуаром вдоль пути длиной Я имеет порядок: К2 21*2Ь5а

= = Ю сек, (11)

где а £0.05, Ь, ~108 Н-сек/м3, Т, иб-10*5 Н/м для г=3.5 мкм, Р = 50мм рт.ст. Время релаксации натяжения т, определяет характерное время установления равновесного состояния в деформированной мембране.

Таким образом, характерное время деформации мембраны на два порядка меньше времени сброса напряжений, что позволило рассмотреть отдельно два состояния мембраны с различными граничными условиями:

1) квазиравновесное состояние: Т, =Тг, Л, -М01 = Ы2 -Ы02 (изменение количества молекул в слоях равны, увеличение числа молекул происходит только за счет отрыва от стенок пипетки);

2) равновесное состояние: Т2 = Рг / 2 г Т, Т, =0, N,-N0, >>Н2-Мга.

Согласно полученным результатам, при любом значении давления Р свободная энергия мембраны в равновесном состоянии меньше, чем в квазиравновесном. Таким образом, сброс натяжения в нижнем слое при постоянном внешнем давлении приводит к уменьшению свободной энергии мембраны. Как следует из рис. 6а, уменьшение свободной энергии

1,06 1,04 1,02

а/а0

а®/а0

р-ю'

0,5

1,5

. ' Т/2

б.

0,98

0,8 0,6 0,4 0,2

0

В. 0 0,5 1 1,5

Рис. 6. Результаты расчетов:

а. нормированное число молекул, п = N / N„,

б. нормированная площадь, приходящаяся на молекулу а/а„ - в верхнем (2) и нижнем

(1) слоях в квазиравновесном (q) и равновесном (е) состояниях,

в. нормированная кривизна мембраны R/r и натяжение в каждом слое Т/2 в квазиравновесном состоянии

- как функции давления р = PV/(2e,).

р-104

и сброс натяжения Т| происходят путем увеличения числа молекул в изогнутой части слоя 1 (и,4 ->п,с) при постоянном внешнем давлении Р. Как следует из рис. бб, сброс натяжения и переход к равновесному состоянию ^ -> е) сопровождаются уменьшением площади, приходящейся на молекулу в нижнем слое (а? -»а^). Согласно рис. бв, когда давление достигает некоторого значения кривизна мембраны 1/г выходит на насыщение, в соответствии с экспериментальными данными. Тем не менее, натяжение Т/2 в каждом слое продолжает увеличиваться с ростом давления. Изложенный механизм релаксации натяжений в мембране позволяет объяснить наблюдаемый в эксперименте «пэтч-клэмп» эффект спонтанного закрытия

механочувствительных белковых каналов МбсЬ, встроенных в липидный бислой. Функции ворот выполняет часть канала, расположенная со стороны нижнего слоя мембраны. После приложения давления к мембране канал открывается под действием натяжения в нижнем слое. Сброс натяжения в нижнем слое при постоянном давлении инициирует спонтанное закрытие

механочувствительных каналов.

В четвертой главе рассмотрена микроскопическая модель двухслойного смектика, состоящего из гибких молекул. Молекулярная (углеводородная) цепочка (см. рис. 5) моделируется как упругая нить конечной длины и толщины (рис. 7). В приближении среднего поля (рис. 8) функционал энергии одной цепочки записывается в виде:

Krjg*R(z)

ôz1

+—R2(z)]dz

(12)

J

где L - длина цепочки; Kf- изгибная жесткость цепочки; В - коэффициент энтропийного отталкивания; z -координата вдоль оси цепочки; R(z)- вектор в плоскости {х,у}, характеризующий отклонение от оси z нити, содержащей центры поперечного сечения цепочки. Первое слагаемое в (12) представляет собой энергию изгиба цепочки. Применительно к углеводородной цепочке молекулы липида данное слагаемое учитывает различную внутреннюю энергию в транс/гош конформациях. Вытянутая форма и гибкость молекул приводят к большой конфигурационной энтропии. Ограничение множества доступных конфигураций молекулы в слое смектика вызывает отталкивание между

рис y Представление мояекУлами> имеющее энтропийную природу. Этот молекулярной цепочка как эффект учитывает второе слагаемое в (12).

Рассматривается предел малых отклонений цепочки от своей оси z по сравнению с длиной цепочки: |R(z)| « L.

упругой толщины.

нити

конечной

Ао - «несжимаемая» площадь поперечных сечений цепочки; А - средняя площадь, приходящаяся на цепочку в слое.

1 цепочка

+Uoff

молекулы в слоях

Рис. 8. Приближение среднего поля.

Множество допустимых конфигураций цепочки непрерывно, поэтому статистическая сумма представляет собой функциональный интеграл по всем конфигурациям цепочки:

г= |ехр(-Е(К(г))Дт)0К,0Яу =(|ехр(-Е(Ях(2))/кТ)ОКх)2 (13)

Второе равенство в (13) имеет место для изотропной в латеральном направлении мембраны, в которой отклонения цепочки вдоль осей х и у можно считать независимыми. Для вычисления функционального интеграла вводится самосопряженный оператор плотности энергии цепочки:

0 2 дг

+ (14)

такой, что выражение (12) представляется в виде: . Оператор Но

находится путем интегрирования по частям выражения (12) при выбранных граничных условиях:

1) Я'(0)'=0;2) Я"(0) = 0;3) 1Г(Ь) = 0;4) Я"(Ь) = 0 (15)

где 2=0 - начало цепочки, 2=Ь - свободный конец (для молекулы липида 2-координата изменяется от г=0 в точке соединения углеводородной цепочки с полярной группой молекулы до г=Ь на свободном конце цепочки). Граничные условия (15) имеют следующий физический смысл: 1) наклон цепочки фиксирован в начале цепочки; 2) суммарная сила, действующая в начале цепочки, равна нулю; 3) крутящий момент равен нулю на свободном конце цепочки; 4) суммарная сила равна нулю на свободном конце цепочки. Собственные значения Еп и собственные функции оператора (14) с граничными условиями (15) равны:

Е"=В+Ш1(4П~1)4' ПЙ1

Е„=В

сЬ(А,пЬ)

(16)

^ (17)

где сп з -\/2/Ь , = -л/4+ теп . Собственные функции оператора плотности энергии

составляют базис на множестве доступных конфигураций цепочки. Функция отклонения цепочки от оси г в произвольной < ••конфигурации и соответствующая ей энергия

представляются в виде: Ях =^СПЯП, Е, =^С„2ЕП, где С„ - коэффициенты разложения. Таким образом, энергия конфигурации разлагается по потенциальным энергиям

независимых «осцилляторов^ с эффективны?,ш несткостями Еа п координатами Си. Координаты Сп характеризуют независимые коллективные степени свободы цепочки. Статистическая сумма цепочки вычисляется как интеграл по коэффициентам разложения:

Z, = ]n^K2En/kT)dC0-nif (IS)

-»11 п V о

Вклад цепочек в свободную энергию мембраны равен:

ДР,=Р,(В)-Р,(В = 0) = кТ^1п^МЬ (19)

Энергия отсчитывается от энергии свободной цепочки с В=0. Уравнение самосогласования: 5AF, / с© = L- < R2 > позволяет найти зависимость В( А)=(Kf /L4) V4'3 (^/А / А0 -l)S" / 4, где v=Kf А0 /(2nkBTL3).

Уравнение состояния: -5AFt(A)/3A = Р, определяет латеральное натяжение Pt,

производимое молекулярными цепочками. Найденная аналитическая зависимость имеет вид:

кТ 21/3 1

Р.СА.Т (20)

Условие равновесия записывается как равенство натяжения, производимого цепочками, эффективному натяжению, которое включает в себя вклады других взаимодействий в мембране и компенсирует вклад цепочек (полное натяжение в мембране равно нулю в отсутствие внешних сил):

Р, (А(Т)) = Peff = V + PhB + Pvdw (21)

Второе равенство в (21) записано для биологической мембраны, где V - поверхностное натяжение в области раздела гидрофильных и гидрофобных групп молекул; - вклад отталкивания электростатической природы между полярными труппами; PVd\v - вклад притягивающих дисперсионных сил между цепочками.

Для численных расчетов использованы следующие параметры (типичные для молекулы липида в биологической мембране): L=15 А, Ао=20 А2, РсГГ =10~'Н/м, Т=300 К. Изгибная

жесткость стержня равна: KpEI, Е ~ О.бГПа - модуль Юнга, 1 = А2/4я- (геометрический) момент инерции цепочки. Из теории полимеров известно: Kf = kBT!p, lp»L/3-перснстентная длина. Обе оценки дают Kf ~ кв1Ъ /3 при выбранных L и Т=То. Среднеквадратичное отклонение цепочки от своей оси равно:

<К2(2)>=2<Я^(2)>=квт2>^) (22)

п

Предел малых отклонений цепочки от своей оси контролируется параметром у1<К2(2)>!Ъ£ (к„Т / Ь2РС(Г )"2 = 0.14.

Вычисленный модуль изотермического сжатия равен: кЛ =-А-ЗР,(А,Т)/<?А-0.1 Н/м. Для биологической мембраны данное значение заметно меньше экспериментального: кд™' =0.25 Н/м, т.е. существенный вклад в модуль изотермического сжатия дают полярные группы. Вычисленный коэффициент температурного расширения: кт = 1 / А - с!А /с1Т ~ 2• Ю^К"1 согласуется с экспериментальными данными для биологических мембран.

Натяжение в слое смектика (20) связано с давлением молекулярных цепочек условием ь

нормировки: |п,(г)(1гиР,. В отличие от обычной жидкости распределение латерального

о

давления по толщине слоя не является однородным вследствие вытянутой формы и гибкости молекул. Распределение латерального давления по толщине слоя (при условии постоянства удельного объема цепочки У=ЬА) найдено в аналитическом виде:

П,(2) = -квТ|;а^2)-^:1п^В(А)^:+^4(4п-1)4 ~М51п(в(А)-05А (23)

где зависимость В(А) известна из уравнения самосогласования. Профиль латерального давления выражен через собственные функции самосопряженного оператора плотности энергии. Слагаемые в сумме в (23) уменьшаются, как 1/п4, поэтому сумма быстро сходится. Основной вклад в латеральное давление вносят первые несколько собственных функций с малыми собственными значениями Е„. Собственные значения играют роль жесткостей «осцилляторов», представляющих коллективные колебания цепочки. Чем меньше жесткость «осциллятора», тем больше его амплитуда (по закону равнораспределения тепловой энергии по независимым степеням свободы) и тем больше его вклад в давление. Полученная зависимость (23) представлена на рис. 9. Давление имеет энтропийную природу и связано с уменьшением амплитуды флуктуации цепочки в слое по сравнению со свободной цепочкой. Существенное уменьшение амплитуды отклонения цепочки в слое происходит на ее концах. Различный характер поведения давления в начале и конце цепочки объясняется различным выбором граничных условий. В центральной части давление меньше благодаря соединению мономеров в цепочке, которое ограничивает флуктуации. Вычисленный профиль давления согласуется с существующими данными расчетов методом молекулярной динамики.

3 2.5 2 1.5 1

0.5

0

1 — Т I пг/П0

- Л^ч«*—РеК=°-02Н/м Л'

р/я=0Л Н/м -

.........и.......... I ,. ...... г/Ь

Рис. 9. Полученное распределение латерального давления П,(г) (нормированное на ПНРеяЛЦ по толщине слоя. 2 - координата вдоль оси молекулы, 2=0 в начале цепочки (соединение углеводородной цепочки с полярной группой молекулы), 2=Ь - на свободном конце цепочки.

0 0.25 0.5 0.75 1

Модель позволяет вычислить среднеквадратичное значение тангенса угла отклонения цепочки от прямой как функцию координаты г вдоль оси цепочки:

12

(24)

П Ьп

В приближении малых отклонений цепочки от своей оси параметр < Щ2(0) > также является малой величиной. Это позволило найти в аналитическом виде распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси цепочки г:

0.5

0.4

0.3

8(г)/2

0.1

Ё(г)=^(3< соэ2 0(г) > -1) (25)

0,2 1 Рис. 10. Полученное распределение

ориентационного параметра порядка 5(г) г/Ь вдоль оси молекулярной цепочки г.

о ол о!3 о! о График зависимости представлен на рис. 10. Полученную кривую можно сопоставить с экспериментально измеряемым в распределением ориентационного параметра порядка вдоль мономеров к углеводородной цепочки: 8(к) = -28со (к) в липидном бислое. Увеличение параметра порядка в начале кривой есть артефакт, связанный с выбранными граничными условиями. Величина ориентационного параметра порядка указывает, что в рассматриваемом пределе малых отклонений цепочки он соответствует гель - состоянию липидного бислоя. При уменьшении эффективного натяжения в слое происходит разупорядочение, наиболее существенное на свободном конце цепочки.

Выводы

1. Выведен новый функционал энергии упругой деформации двухслойного смектического жидкого кристалла, который включает три поля, параметризующие изгиб, взаимное проскальзывание слоев и латеральное растяжение смектика. Функционал получен в приближении малого изгиба при условиях сохранения удельного объема и равенства нулю модуля сдвига в плоскости смектика и не требует существования нейтральной поверхности в каждом слое.

2. Для двухслойного смектика в плоскопараллельном канале вычислен коэффициент параболического потенциала, моделирующего энтропийное отталкивание от ограничивающих стенок. Коэффициент потенциала найден самосогласованным методом как функция температуры, модуля изгиба и расстояния между ограничивающими стенками. Установлено, что данный коэффициент возрастает в четыре раза за счет проскальзывания слоев. Показано, что проскальзывание слоев приводит к частичному сбросу латеральных напряжений в смектике, что, в свою очередь, приводит к уменьшению энергии изгиба смектика и увеличению статистической вероятности больших амплитуд изгиба.

3. Предложена микроскопическая модель смектика, позволяющая рассмотреть переменное число молекул в деформированном слое, большую кривизну и адгезию молекул к подложке. С использованием модели теоретически описан механизм релаксации натяжения в липидном бислое при постоянной нагрузке путем проскальзывания слоев и переноса дополнительных молекул в условиях эксперимента «пэтч-клэмп». Найдено характерное время релаксации напряжений. Вычисленная теоретически энергия адгезии совпадает с экспериментальными значениями.

4. Методом функционального интегрирования вычислена свободная энергия двухслойного смектического жидкого кристалла с учетом конечной изгибной жесткости молекул. Найдена аналитически зависимость натяжения в слое от температуры и средней площади, приходящейся на молекулу, в модели полугибкого полимера конечной длины и толщины в самосогласованном внешнем потенциале, моделирующем энтропийное отталкивание.

5. Впервые получено в аналитическом виде распределение латерального давления по толщине слоя смектика, состоящего из гибких молекул. Профиль латерального давления представлен в виде линейной комбинации квадратов собственных функций самосопряженного оператора плотности энергии молекулы. Вычисленный профиль давления согласуется с данными молекулярной динамики. Получено аналитическое выражение для распределения ориентационного параметра порядка вдоль молекулярной цепочки.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Взоикта S.V., Mukhin S.I. Bilayer membrane in confined geometry: interlayer slide and entropic repulsion // ЖЭТФ.-2004.-Т. 126.-№ 4(10).-c. 1006-1020.

2. Mukhin S.I., Baoukina S. V. Inter-layer slide and stress relaxation in a bilayer lipid membrane in the patch-clamp setting // Биологические мембраны.-2004.-Т.21.-№б.-с. 506-517.

3. Mukhin S.I., Baoukina S.V. Analytical derivation of thermodynamic characteristics of lipid bilayer from flexible string model // Phys. Rev. E.-2005.-V.71.-№ 6-p.

4. Baoukina S.V., Mukhin S.I. Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical derivation // Biophysical Journal.-2005.-V.S8.-№ 2 Supplement.-p. 1218.

5. Mukhin S.I., Baoukina S.V. Analytical calculation of lateral pressure profile from microscopic model of lipid bilayer // Biophysical Journal.-2005.-V. 88.-№ 2 Supplement.-p. 1210.

6. Baoukina S.V., Mukhin, S. I. Dynamics of fluid bilayer membrane in confined geometry // Biophysical Journal.-2004.-V.86.-№ 2 Supplement.-p. 369a.

7. Baoukina S.V., Mukhin, S.I. 2003. Inter-layer slide mechanism of stress relaxation in bilayer fluid membrane under pressure // Biophysical Journal -2003.-V.84.-№ 2 Supplement.-p. 232a.

8. Baoukina S.V., Mukhin, S.I. Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical derivation // Proceedings:"5-th IUPAP International Conference on Biological Physics" Gothenburg, S\veden.-2004.-p. 112.

9. Baoukina S.V., Mukhin, S.I. Bilayer membrane in confined geometiy: interlayer slide and entropic repulsion. // Proceedings:"5-th IUPAP International Conference on Biological Physics" Gothenburg, Sweden.-2004.-p. 112.

10. Baoukina S.V., Mukhin, S.I Equation of state of lipid membrane: self-consistent analytical derivation // Proceedings: "From Solid State to Biophysics II", Dubrovnik, Croatia.-2004.-

p. 12.

Формат 60 х 90 '/16 Объем. 1,44п. л.

Бумага офсетная

Тираж 100 экз. Заказ 766

Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии Издательства «Учеба» МИСиС, 117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 Тел.: 954-73-94, 954-19-22 ЛР №01151 от 11.07.01

РНБ Русский фонд

2007т!

9608

09 Щ€цт

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Баукина, Светлана Владимировна

Введение

1. Теоретические модели двухслойных смектиков

1.1. Особенности строения жидких кристаллов

1.2. Объект исследования

1.3. Феноменологические модели

1.3.1 Теория Ландау

1.3.2 Энергия деформации многослойного смектика

1.3.3 Упругая энергия квазидвумерного смектика

1.3.4 Энергия поперечного изгиба

1.3.5 Приближение малого изгиба

1.4. Микроскопические модели

1.4.1. Вклады межмолекулярных взаимодействий в свободную энергию

1.4.2. Дисперсионное взаимодействие

1.4.3. Конфигурационная энтропия молекул. Модель пружинок

1.4.4. Конфигурационная энтропия молекул. Приближение среднего поля

1.4.5. Решеточная модель для молекулярных цепочек

1.4.6. Растворы жестких и полугибких стержней

1.4.7. Полугибкий полимер во внешнем потенциале как модель молекулярной цепочки

2. Феноменологическое описание двухслойного смектика

2.1. Функционал энергии упругой деформации.

2.1.1. Методика исследования

2.1.2. Обсуждение результатов

2.2. Деформации смектика в приближении малого изгиба: аналитическое решение

2.2.1. Метод решения

2.2.2. Обсуждение результатов

2.3. Ограничивающий потенциал в плоскопараллельном канале

2.4. Выводы

3. Микроскопической описание двухслойного смектика

3.1. Функционал свободной энергии молекулы

3.2. Несимметричные граничные условия и энергия адгезии

3.3. Решения уравнений равновесия

3.3.1. Плоская двухслойная мембрана, симметричные граничные условия

3.3.2. Равновесная конфигурация с учетом адгезии

3.3.3. Равновесная конфигурация под действием внешнего давления

3.3.4. Равновесная конфигурация под действием внешнего давления: релаксация напряжений

3.4. Применение модели для описания эксперимента. Характерные времена

3.4.1. Распространение механических напряжений

3.4.2. Релаксация механических напряжений

3.4.3. Диффузия молекул

3.4.4. Активационный барьер

3.5. Обсуждение результатов

3.5.1. Равновесное состояние в отсутствие внешнего давления

3.5.2. Равновесное состояние под действием внешнего давления

3.6. Выводы

4. Анизотропия свойств и гибкость молекул

4.1. Функционал свободной энергии

4.2. Методика исследования

4.2.1. Статистическая сумма и свободная энергия

4.2.2. Распределение латерального давления по толщине слоя

4.2.3. Распределение ориентационного параметра порядка вдоль оси молекулы

4.2.4. Аналитическое решение

4.3. Обсуждение результатов

4.4. Выводы 85 Заключение 87 Литература

Введение диссертация по физике, на тему "Теоретическое моделирование двухслойных смектических жидких кристаллов"

Актуальность темы:

Работа посвящена исследованию структурных и термодинамических свойств квазидвумерных жидкокристаллических систем методами теоретической физики. Двухслойный смектический жидкий кристалл может служить моделью для теоретического изучения механических и термодинамических свойств биологических мембран.

В современной физике конденсированного состояния исследование биологических систем является перспективным направлением. В последние десятилетия физические методы экспериментального изучения биологических мембран быстро развиваются. Полученные экспериментальные данные и наблюдаемые закономерности требуют физической интерпретации. Исследования указывают, что основной структурный элемент биологической мембраны - липидный бислой - играет активную роль в функционировании мембранных белков. Понимание физических зависимостей между структурой и термодинамическими характеристиками липидного бислоя позволяет предсказывать и направленно изменять свойства биологических мембран, что имеет большое значение для биологии и медицины. Липидный бислой является структурно и динамически сложной средой и представляет собой двухслойный лиотропный смектик. Составляющие его молекулы — липиды - обладают амфифильными свойствами, что приводит к неоднородности межмолекулярных взаимодействий. Благодаря вытянутой форме и гибкости, молекулы обладают большой конфигурационной энтропией. Теоретическое моделирование такой системы является нетривиальной задачей. В настоящее время развиваются подходы к решению этой проблемы. Большинство имеющихся результатов получено путем компьютерного моделирования (молекулярная динамика, метод Монте-Карло), которое не позволяет получить аналитические зависимости и в полной мере установить главные физические закономерности. В этой связи теоретическое моделирование двухслойного смектика, допускающее решение в аналитическом виде, для физического описания биологических мембран является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы: Исследование механических и термодинамических свойств двухслойного смектического жидкого кристалла методами теоретической физики. Вывод функционала свободной энергии смектика с учетом основных структурных характеристик: вытянутой формы, гибкости и амфифильности составляющих молекул.

Получение аналитических зависимостей для термодинамических характеристик исследуемой системы.

Основные задачи, которые решались для достижения поставленной цели, можно сформулировать следующим образом: