Теоретико-множественные свойства многочленов и теорема Минковского о линейных формах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

чгл Ф

г - На правах рукописи

УДК.511.36

БОРБАТ Владимир Николаевич

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ И ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО О ЛИНЕЙНЫХ ФОРМАХ

01.01.06 - "математическая логика, алгебра и теория чисел"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1996

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Беларуси

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Берник В. И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Лауринчикас А.

кандидат физико-математических наук

Домбровский И. Р.

Оппонирующая организация: Гомельский государственный университет

Защита состоится ХО уМ^рЯ 1995 г. в часов на заседании специализированного совета Д. 01.02.01 при Институте математики Академии наук Беларуси по адресу: 220604, г.Минск, ул.Сурганова, 11, к.79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Беларуси.

Автореферат разослан /У Няс&^и* 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета по защите диссертаций, каддидат физико-математических наук Фу^

Беняш-Кривец В. В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью настоящей работы является доказательство новых метрических теорем о совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производных. В работе получены соответствующие оценки размерности Хаусдорфа множеств действительных чисел с определенной диофантовой структурой и указаны применения полученных теорем. Кроме того найден точный порядок в совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов.

Первые работы в данной тематике были выполнены английскими математиками А. Бэйкером, Р.Байкером, М. Додсоном и академиком АН Беларуси В.Г. Спринджуком в связи с вопросами классификаций действительных и комплексных чисел, а также в связи с приложениями в математической физике. В то же время ряд вопросов остались без ответов в виде гипотез или ответы получены только в случаях очень сильных аппроксимаций. Тем самым тематика диссертации представляется и современной и актуальной.

. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при доказательстве метрических теорем в которых целочисленный многочлен и его производная принимают малые по абсолютной величине значения, в теории равномерного распределения. Метод, которым производится доказательство теоремы 5, может быть использован для получения метрических теорем о совместной аппроксимации нуля- значениями целочисленных многочленов в С , значениями целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производиых в £ и С .

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях "Алгебра и кибернетика" СГомеяь, 1993 Э, "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные, функциональные методы в теории чисел" (Воронеж, 1995 ), "Диофантов анализ и его применения" (Минск, 1996), на семинаре лаборатории теории чисел института математики Академии наук Беларуси С руководитель Берник В. И.).

По теме диссертации опубликовано 7 работ, перечень .которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, включающих 11 параграфов, выводов и

списка литературы, включающих 34 источника.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Оценка снизу для суммы показателей степеней, начиная с которой заданная аппроксимация нуля значениями целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производных выполняеся только на множестве нулевой меры Лебега.

2. Получение двухсторонних оценок размерности Хаусдорфа множеств действительных чисел с различным типом в классификациях Малера и Коксмы.

3. Доказательство гипотезы А.Бэйкера для многочленов третьей и четвертой степеней, связанной с приближениями, зависящими от величины каждого коэффициента.

4. Определение точного порядка совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор литературы, связанной с темой диссертации, оценку современного состояния решаемых задач и обоснование необходимости исследований в указанном направлении.

В общей характеристике работы обосновывается актуальность темы диссертации, указывается ее цель, научная новизна, положения выносимые на защиту, даются рекомендации по применению результатов исследований, структура и краткое содержание рабо ты, говорится об апробации и публикации результатов диссертации.

Первая глава носит предварительный характер. В ней собраны определения и вспомогательные результаты, необходимые в дальнейшем.

Пусть Р (ее) = си эс ч- си-1 Я! +.. +Оо - многочлен с целыми коэффициентами, Н ~ Н(Р)"0»£?у | ои|- высота Р(-х) , «К* ... - его корни. Упорядочим корни Р(х) относительно любого из его корней, например, "Х-1 следующим образом

| К* - X* I ^ I X, - Нъ и . . ■ - I Жл - Жп. I Зафиксируем í . Положим £<,~£с[ , где

достаточно большая величина, зависящая только от И. . Обозначим Т=[£< ] и введем /ч: С £ , ^ <£ '2- следующим образом

, м ~ ^ - 1 р-

- = Н ^ ч: < а

1 ? т т '

Пусть далее

р. _ . - ■ 4 < I п~±

\ <- . Т ;

Через £(>) будем обозначать положительные функции, зависящие только от и, и £ -

В £ 1.1 приводятся ухе известные и доказываются новые леммы о многочленах и измеримых множествах.

В £ 1.2 вводится понятие размерности Хаусдорфа и рассматриваются некоторые ее свойства, а также понятие регулярной системы точек. Приводятся результаты А.Бзйкера и В. Шмидта об использовании понятия регулярной системы точек для получения оценок снизу размерности Хаусдорфа.

Вторая глава посвящена вопросам совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производных в полях действительных и комплексных чисел. В 2.1, 2.2 соответственно доказаны: - Теорема 1. Система неравенств

1Р(зс)1 < Н"* + 5Г л - у - £

|Р (*)\ < Н

где 0 < "У < 1 , при любом £ > О имеет для почти всех £ £ лишь конечное число решений в многочленах Р(рс) б С.*;] .

Теорема 2. Система неравенств

"1Р001 < н" * 1Р'(г)| < Н '1~гГ' ~Г

где О < У-, < О 5 , при любом £> О имеет

для почти всех ~± & С лишь конечное число решений в многочленах РОъ) ? СИ .

Доказательство каждой теоремы разбито на три этапа в зависимости от величины , предложения 3-5 и

предложения 6-8 соответственно.

В ? 2.3 на основе теоремы 1 построены регулярные системы действительных алгебраических чисел £ , 14 , для каждого из которых существует целочисленный многочлен Р(х) степени не выше и. , корнем которого является ^ , такой, что

|Р'(£)-'1 < Н(Р) ^ * о < < 1, е >0

и получены двухсторонние оценки размерности Хаусдорфа множест ва ^к(г^) действительных ^ таких, что существуют бесконечно много указанных чисел , удовлетворяющих неравенству

__ п.

Л < Н(?Г-

> К + -1 — 5.У) имеем

< ЛС^ 14 М ±

В третьей главе диссертации доказывается гипотеза А. Бэйкера для многочленов третьей и четвертой степеней, связанная с приближениями нуля, зависящими от величины каждого коэффициента

Теорема 4. При VI - Ъ Ч неравенство н- 1- а

|р(ас) | < ( П 1);

имеет для любого £ > О бесконечное число решений в многочленах РС00) 2 СО только для множества меры нуль.

Рассуждения, с помощью которых проводится доказательство, опираются на метод существенных и несущественных областей, выравнивание коэффициентов многочленов и теорему 1.

В § 3.1 рассматриваются многочлены третьей степени, в 1 3.2 - многочлены четвертой степени.

В четвертой главе исследуется вопрос о точном порядке

Теорема 3. При

И + 1 - 3-Х.

совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных мно-членов. Основной результат этой главы теорема 5. Теорема 5. Система неравенств

/IPiwOl < ЬГ^Ч^Чн) \ LPO'O 1 f г'(Н)

где 1<>л -t Ui = Z , + г-Ч = имеет

для почти всех w't) tr R_ лишь конечное число ре-

шений в многочленах р(эс) ¿С-О

Условия, налагаемые на функцию Ч1' (Н) следующие: Ч' (Н) монотонно убывает и ряд

2 ч-- (и)

Л = /,

сходится.

Центральным моментом доказательства является новая арифметико-топологическая классификация областей, в которых целочисленные многочлены принимают значения, не превосходящие некоторой величины.

Доказательство теоремы разбито на девять этапов, предложения 10-18.

Пусть P(bc) t и . - его корни. Бу-

дем считать, что корни 7lz . .. упорядочены таким .•

образом, что {U Tt 1 £ Rz Р^я. < /. . ~ & 'Mi , В случае равенства fc ГЧ7 = fit 'Н-ь ранее будем записывать тот корень, у которого меньше модуль мнимой части, а в случае равенства модулей мнимых частей ранее поставим тот корень, мнимая часть которого положительна. Выберем два любых корня Хт-г и многочлена Р(Х) . Относительно каждого из них все

остальные корни упорядочим следующим образом

1^11 ~ , i ¡ХЦ - I^tf

) 'Я A, - i * | - К xl К . • ■ 6 I ~ Жох I .

Введем обозначения

IX,1 - l ■= x ... n

/ у '

в

Определим целые числа и из неравенств

< ¡и - < А. с - ¿г ■ • ■ И.

АА- ^ о; < Зл- У = Д ... и .

Пусть далее

... к-1

т

В ? 4.1 в зависимости от величин «^¿Т -+■ и

Л'^ Т " + -< производится разбиение многочленов на . £ ,-классы первого

- р-1 ^ ^ + ^ ^ , второго

и.третьего

■ кхт~\ > ^ -+ ^ А

типов,а также доказываются частные случаи гипотезы для многочленов Р(х) с условием /Хс~ )> 5 для любых

и некоторого произвольного, но фиксированного 6 > С и для многочленов Р(эс) второй степени.

В ? $ 4.2, 4.3, 4.4 соответственно анализируются классы первого С предложения 10-13), второго (предложение 143 и

(

третьего Спредложения 15-18) типов.

ВЫВОДЫ

Основные результаты работы следующие.

Получены общие метрические теоремы о совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производных в полях действительных и комплексных чисел. Показано их применение для доказательства частных случаев гипотезы А, Бэйке-ра.

Впервые построены регулярные системы действительных алгебраических чисел , о!¿^^ ^ для каждого из которых существует целочисленный многочлен Р(х) , степени не выше к , корнем которого является р , такой, что

^'СЯ! ^ Н(р) .

На их основе получены оценки размерности Хаусдорфа.

Найден точный порядок совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов, тем самым подтверждено выполнение гипотезы В.Г. Сприндгука для произвольных мо-— нотанно убывающих функций Ч' ( Н) со сходящимся рядом

I

Метод, которым проведено.....доказательство. может.быть использован для получения двумерных аналогов известных одномерных задач. Так, можно доказать теоремы о совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов, реализующих , теорему Минковского о линейных формах, и их производных в $ и С*6 , получить комплексный аналог теоремы 5. Указанные результаты можно получить также и для пространств Я ' ,

Основные результаты диссертации опубликованы в следу» щих работах:

1. Борбат В. Н. Совместное распределение значений целочис-леных многочленов и их производных // Сб. Актуальные проблемы обучения и воспитания.- Могилев: Ногилевский гос. пед институт, 1993,- С.83-86.

2. Борбат В.Н. Совместная аппроксимация нуля значениями целочисленных многочленов и их производных // Вести АН Беларуси. Сер. физ. -мат. наук. - 1995, N 1,- С.9-16.

3. Борбат В.Н. Оценка размерности Хаусдорфа множества действительных чисел с заданным порядком аппроксимации алгебраическими числами специального вида // Сб. Материаль исследований молодых ученых и аспирантов. - Могилев: Morí

-Л------л ----mrjR _ И 111_1_1-3

¿il*^. iliiuiiii^ i , v. * * A

4. Борбат В.H. О точном порядке совместного приближения нуля многочленами из ~í С в fx"' // Алгебра и киберне тика. Тез. докл. конф. - Гомель, 1995,- С. 29

5. Борбат В.Н. Об одном свойстве целочисленых полиномов совместно аппроксимирующих нуль с заданным порядком // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные функциональные методы в теории чисел. Тез. докл. конф.- Вс ронеж, 1995.- С.24

6. Борбат В.Н. Многочлены с малой производной в корне и диофантовы приближения в поле комплексных чисел // Вести А Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, - 1996, N2.- С. 5-10

7. Borbai V.N.On the complex variant of Baker's conjecture Abstr. rep. Conf..- Minsk, 1996.-P. 9.

РЕЗЮМЕ

Борбат Владимир Николаевич

Теоретико-множественные свойства многочленов и теорема Минксвского о линейных формах

Диофантовы приближения, мера Лебега, размерность Хаусдорфа, регулярная система

Исследованы метрические характеристики множеств действительных и комплексных чисел, в которых модули целочисленных многочленов, реализующих теорему Минковского о линейных формах, и их производных аппроксимируют нуль с заданным порядком. Построены регулярные системы действительных алгебраических чисел , для каждого из которых существует целочисленный многочлен, производная которого в р не превосходит некоторой величины. На их основе получены оценки размерности Хаусдорфа множеств действительных чисел с соответствующей диофантовой структурой. Доказана гипотеза А.Бзй-кера для многочленов третьей и четвертой степеней, связанная с приближениями нуля, зависящими от величины каждого коэффициента. Найден точный порядок совместной аппроксимации нуля значениями целочисленных многочленов.

РЭЗЮМЕ

Борбат Уладз1м1р Мхкалаев1ч

Тэарзтыка-мноствавыя уласидвасц1 мнагаскладау 1 тэарэма М1нко?скага пра л1нейныя формы

Дыяфантавы набл1жэши, мера Лебега, памернасць Хаусдорфа, рэгулярная с1стзма

Даследаваны метрьгчныя характарыстык! мноствау рэча!сных 1 камплексных л1кау, у як1х модул1 цзлал1кавых мнагаскладау, што рзалхзуюць тэарзму Мшкоускага пра л1нейныя формы, 1 1х вытворных апракс1муюць нуль з зададзеным парадкам. Пабудава-ны рэгулярныя с1стэмы рэча1сных алгебра1чных л1кау р для кожнага з як1х 1.снуе цэлал1кавы мнагасклад, вытворная якога у не пераузыходзщь некатарай вел1чьпп. На 1х аснове ат-рыманы ацэша памернасц1 Хаусдорфа мн.оствау рэча!сных л!ка^ з адпаведнай дыяфантавай структурай. Даказана гд.потэза А. Бэй-кера для мнагаскладау трэцяй 1 чацвертай ступеням, звязаная з набл1жэнняш нуля, як1я залежаць ад вел1чтп кожнага каз-ф1цыента. Знойдзены дакладны парадак супольнай апраксхмащл нуля значэнняма цэлал1кавых мнагаскладау.

Summary

Borbat Vladimir Nikolaevich

Theoretic-set properties of the polinomials and Minkovsky theorem on linear forms

Diophantine approximation, Lebesque measure, Hausdorff dimension, regular system

We investigate the metric characteristies of the real and complex sets where the absolute values of the integer polinomials and their derivatives satisfyind Minkovsky theorem on linear forms approximate zero with given order. We construet the regular systems of real algebraic numbers ?> , such that for the any f> there exists an integer polinomi-al whose derivative at ^ does not exceed the given value. On the basisof these regular systems we obteined the estimates for the Hausdorff dimension of real sets of the corresponding diophantine structure. For the polinomials of the 3-rd and 4-th degree we prove the conjecture of A. Baker rel; ted to the approximations of zero depending on the value of each coefficient. We also give the exact.order for the simu. taneous approximations of zero by the values of integer pol. nomials.