Точные решения и модели природных течений на неровных поверхностях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГВ од

1 5 ПКТ )

Карельский Кирилл Владимирович

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И МОДЕЛИ ПРИРОДНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА НЕРОВНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ.

Специальность - 01.04.02 - Теоретическая физика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

МОСКВА, 2000

Работа выполнена в Институте космических исследований Российской академии наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент А.С. Петросян

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С. С. Моисеев

Доктор физико-математических наук, профессор М. Ф. Иванов

Ведущая организация: Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН.

Защита состоится $ 2000г. в ^ часов^^ минут

на заседании диссертационного Д002.94.01

В Институте космических исследований РАН по адресу: 117810, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, подъезд 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института космических исследований РАН

Автореферат разослан С ШАМЯЦьХ 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н. -У'-у- / В.Е.Нестеров

2 2 о. У,

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы.

Все известные течения атмосферы и океана в реальных условиях являются гетерогенными из-за наличия примеси и неоднородными из-за присутствия препятствий, неровностей подстилающей поверхности. Зачастую, хорошо развитая теория течений на ровной границе и модел>., развитые на основе этой теории, не описывают адекватно физические процессы в таких потоках. Исследования динамики реальных природных течений является сложной и важной задачей. Особую роль играют точные решения для таких течений, поскольку позволяют исследовать их нелинейную динамику и изучать пределы применимости идеализированных моделей. Точные решения являются фундаментальными также для разработки приближенных моделей и для изучения адекватности компьютерных расчетов реальным течениям. Наличие второй фазы, помимо традиционных проблем адекватности расчетов, делает актуальной задачуразработки моделей и алгоритмов, минимизирующих вычислительные ресурсы.

В настоящей работе найдены точные решения для природных течений на наклонной плоскости, описываемые приближением мелкой воды, получено точное решение задачи распада произвольного разрыва цля таких течений, разработана и реализована модель переноса твердых частиц ветровым течением вблизи неровной границы.

Цель работы.

Основной целью работы является изучение точных нелинейных решений уравнений мелкой воды над неровной поверхностью, нахождение и анализ точных решений уравнений мелкой воды над наклонным дном, разработка физической модели, описывающей

з

перенос твердых примесей ветровым потоком над сложной границей, & ее численная реализация.

Научная новизна.

1. Классическая теория мелкой воды обобщена на случай течений на,с неоднородной поверхностью.

2. Построено точное решение задачи распада произвольного разрыва для уравнений мелкой воды над наклонной плоскостью

3. Предложена физическая модель переноса твердой примеа-ветровым потоком в областях со сложной границей.

Практическая и научная ценность работы.

Полученные теоретические результаты для течений мелкой водь над неровным дном-являются основой для объяснения целого ряда атмосферных и океанических течений в поле силы тяжести.

На основе аналитических решений начальной задачи Римана для уравнений мелкой воды над неровным дном можно разработать численные алгоритмы типа распада разрыва для предсказания нелинейной динамики таких течений.

Полученные аналитические решения типа «простых волн» позволяют сделать выводы о динамике распространения тяжелых газовых облаков в атмосфере.

Предложенная модель переноса твердых частиц ветровыми течениями вблизи неоднородной поверхности планеты и результаты приведенных расчетов могут быть использованы для интерпретации данных дистанционного зондирования распределений аэрозолей е пограничном слое и допускают обобщения на случай крупномасштабных течений атмосферы переменного состава.

Представленные в работе результаты могут найти применение в исследованиях атмосферы Земли и других планет, ведущихся в ИКИ РАН, ИПМ РАН, ИФА РАН, ИВМ РАН, МФТИ, ИВТАН.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных в работе теоретических результатов обеспечивается использованием строгих математических методов ана; '"--а гиперболических уравнений в частных производных. Достоверность результатов расчетов переноса примеси вблизи поверхности планеты обеспечивается доказанностью устойчивости использованной разностной схемы, а также внутренней само согласованностью полученных результатов.

Апробация работы и публикации.

Апробация работы проведена в докладах на международных и всероссийских симпозиумах: COSPAR- 1994 г., EGS- 1995, 1996, 1997, 1999, 2000 гг., "Workshop on interaction of scales in turbulence: application to convection, diffusion and chemistry", IMAU - 1995, 3-d European Fluid Mechanics Conference, Gettingen - 1997, colloquium EUROMECH "Atmosphere Turbulence and Dispersion in Complex terrine", Bologna -1995, XLII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» - 1999; а также на семинарах ИКИ, Института Физики Атмосферы (Оберпфафенхофен, Германия), Института метеорологии Макса-Планка (Гамбург, Германия), Факультет прикладной математики и теоретической физики университета Кембридж (Англия). Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-16].

Личным вкладом автора являются:

1. Полученные аналитические решения типа «простых волн» для уравнений Сен-Венана.

2. Решение задачи распада произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана.

3. Анализ пределов применимости классических уравнений мелкой воды над ровным дном.

4. Разработка модели переноса твердых частиц вблизи реальной поверхности планеты и анализ пределов применимости этой модели.

5. Разработка алгоритмов расчета и компьютерной программы для описания переноса аэрозолей вблизи поверхности планеты и проведение расчетов.

Все выносимые на защиту результаты получены автором лично, либо при решающем участии автора.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, •приложения и списка цитированной литературы (/]1$стр. текста,рис., ^ наименований литературы).

2. Содержание работы

Во введении обсуждается современное состояние теории течений мелкой воды на неровных поверхностях и проблемы описания и моделирования переноса твердых частиц течениями ветра вблизи неровной поверхности.

б

В первой главе настоящей диссертации найдены и исследованы частные решения одномерной системы уравнений мелкой воды на наклонной плоскости, известной как частный случай уравнения Сен-Венана.

Хорошо известные классические уравнения мелкой. воды, описывающие течения несжимаемой жидкости со . свободной поверхностью в поле силы тяжести на горизонтальной однородной плос.:^сти, с точностью до обозначений совпадают с уравнениями для политропного газа с показателем адиабаты, равным двум. Однако, указанная аналогия полностью распространяется только на непрерывные решения классических уравнений мелкой воды на ровной границе. В силу отличий в постановке условий на поверхностях разрыва, разрывные решения уравнений мелкой воды и газодинамических уравнений существенно отличаются. Чтобы проиллюстрировать данные отличия, достаточно заметить, что решение типа контактного разрыва, являющееся для уравнений газовой динамики одним из основных и регулярно используемых при построении общих решений конкретных задач, не имеет места для классических уравнений мелкой воды.

Уравнения Сен-Вёнана, исследуемые в первых двух главах данной диссертации, имеют ряд отличий от соответствующих газодинамических уравнений, не только в области разрывного течения, в силу отсутствия для таких областей газодинамической аналогии, но и в областях непрерывного течения, в силу учета неоднородности подстилающей поверхности.

Показано, что обобщение элементарных частных решений классических уравнений мелкой воды возможно на случёй неоднородной поверхности только для единственного класса подстилающих поверхностей, для которого существует решение типа простой волны Римана. Указанный класс подстилающих поверхностей

состоит из плоскостей с различным углом наклона. Найдено, что решение типа простой волны для уравнений Сен-Венана в общем случае не существует, в следствии чего основное внимание уделено решениям соответствующей системы уравнений на наклонной плоскости.

Показано, что характеристики системы уравнений мелкой воды на наклонной плоскости являются семейством парабол, имеющих точку касания второго порядка с соответсть/'^щими характеристиками классической системы уравнений мелкой воды на горизонтальной плоскости. Это позволило оцените временной интервал, для которого решение уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости может быть приближено решениями классической системы уравнений мелкой воды, а также оценить величину отклонения, найденных решений, как функцию времени и тангенса угла наклона подстилающей плоскости.

Обнаружено, что простая волна сжатия может существовать только в ограниченном временном интервале, вне которого разрыв производных гидродинамических функций, определяющий такие решения, ведет к разрыву самих функций, так же как и в случае классических уравнений мелкой воды. Получен минимальный временной интервал, в течении которого две произвольные характеристики, принадлежащие одному семейству характеристик простой волны сжатия, пересекаются, переводя тем самым решения в класс разрывных функций. Обнаружено, что огибающая пересечения характеристик одного семейства также является параболой. В следствии чего, в отличие от классического случая, сильные разрывы распространяются по параболической траектории с постоянным ускорением, определяемым углом наклона подстилающей поверхности, несмотря на то, что конечноразностные соотношения на поверхностях разрыва не зависят от геометрии подстилающей поверхности.

Полученные оценки позволяют определить пределы приме; .имости классических уравнений мелкой воды к реальным течениям.

Найденные в первой главе аналитические частные решения описывают новые физические эффекты, привносимые в динамику мелкой воды неоднородностью подстилающей поверхности. Особое внимание уделено • поведению автомодельных решений, играющих ключевую роль в построении численных методов сквозного счета типа распада разрыва. Найденные решения позволили предъявить преобразование зависимых и независимых переменных, переводящее одномерные уравнения Сен-Венана в классические уравнения мелкой воды, а также указать достаточные условия существования данного преобразования. Обобщение данного преобразования на случай многомерных систем гиперболических уравнений получено в заключительной части первой главы диссертации. Указанное преобразование используется при решении задачи Римана для уравнений мелкой воды на наклонной плоскости.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена решению задачи распада произвольного разрыва начальных условий для системы уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости. Задача Коши о распаде произвольного разрыва кусочно-постоянных начальных условий впервые возникла в газовой динамике, как задача Римана и является фундаментальной, поскольку ее решение облегчает понимание нелинейных явлений, в течениях несжимаемой жидкости со свободной границей в поле силы тяжести, описываемой в рамках приближения мелкой воды. Аналитическое решение этой задачи существенно расширяет возможности численного моделирования вышеуказанных уравнений с помощью методов распада разрыва.

Использование преобразования зависимых и независимых переменных, полученного в первой главе, позволило свести задачу для наклонной плоскости к решению соответствующей однородной системы уравнений мелкой воды на горизонтальной плоскости. Показано, что решение рассматриваемой задачи однозначно определяется начальными условиями, совпадающими с начальными условиями в классическом случае однородного, горизонтального дна. Обнаружено, что несмотря на качественное соответствие всех конфигураций, реализующих решение указанной задачи для уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости, конфигурациям, возникающим при решении классической системы уравнений мелкой воды, найденное решение описывает новые физические явления, обусловленные наличием дополнительной скатывающей силы, действующей на жидкость. В сипу того, что характеристики и траектории сильных разрывов в рассматриваемой системе являются параболами, области постоянного течения, имеющие место в решении задачи для классической системы, в данном случае исчезают, уступая место областям равноускоренного течения.

В главе проанализированы условия при которых решения обеих задач можно приближенно считать совпадающими. Полученные результаты важны для анализа течений мелкой воды над сложными поверхностями, поскольку фактически все сложные поверхности, имеющие практический интерес, имеют Жорданову границу и, следовательно, представимы как пространственный многоугольник, в свою очередь описываемый совокупностью областей наклонных плоскостей с различным углом наклона.

Третья глава настоящей диссертации посвящена созданию и реализации новой физической модели переноса примесей (твердых частиц или тяжелых газов) в областях с неровными и/или

изменяющимися во времени границами. В качестве исходных мы используем уравнения Нигматулина, описывающие двухфазную жидкость уравнениями идеального газа с пересчитанными уравнениями состояния. Эффективное уравнение состояния такой среды зависит от характерного размера и концентрации сферических частиц и, в пределе отсутствия твердой 'фазы, переходит в обычные уравнения идеальной жидкости. Фактически, задача анализа переноса частиц в атмосфере сводится к решению уравнений идеального газа с переменг'-'.и в пространстве и времени уравнением состояния.

Основная идея предлагаемого метода состоит в использовании невязких уравнений для моделирования переноса твердых частиц течением ветра вблизи сложной поверхности. Для движений свободной атмосферы число Рейнольдса, характеризующее соотношение силы инерции к силе вязкости в гидродинамических уравнениях, очень велико и нелинейные инерционные члены существенно превосходят по величине слагаемое, содержащее коэффициент молекулярной вязкости. Совершенно другая ситуация возникает для течений вблизи поверхности, где вязкие механизмы играют принципиальную роль, из-за больших градиентов ветра. В нашей модели большие градиенты ветра обеспечиваются схемной вязкостью, используемого численного алгоритма для моделирования явлений вблизи поверхности планеты.

Мы используем метод Годунова для численного решения уравнений двухфазной атмосферы. Суть метода Годунова заключается в использовании точных . обобщенных решений задачи распада произвольного разрыва при дискретизации законов сохранения массы, импульса и энергии в каждой ячейке области моделирования на каждом временном шаге. Эти решения включают локальные тангенциальные разрывы, которые не проявляются на масштабах внешнего течения, но, тем не менее, обеспечивают диссипацию энергии, как это необходимо

для течений в пограничном слое. Структура используемой разностной схемы обеспечивает диффузию областей с высокой энтропией по всем пространственным координатам, воспроизводя качественно эффекты молекулярной вязкости. При. этом влияние схемной вязкости проявляется наиболее весомо, когда пограничный слой нагружен твердыми частицами и в областях значительного изменения рельефа поверхности, а именно как раз в случаях, когда влияние молекулярной вязкости усиливается. Величина схемной вязкости зависит от градиентов подсеточных течений, имеет конечный предел при уменьшении пространства и может регулироваться выбором размера сетки. Ясно, что для турбулентных течений схемная вязкость превосходит соответствующую для ламинарных течений, что отражает известное соотношение между турбулентной и ламинарной вязкостью.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Показано, что обобщение частных автомодельных решений уравнений мелкой воды над ровным дном на случай неоднородной границы имеет место только для тех типов поверхностей, для которых существует решение типа «простой волны», а именно, для наклонной плоскости.

2. Найдены все частные автомодельные . решения уравнений Сен-Венана и показано, что характеристики уравяений мелкой воды на наклонной плоскости являются семейством парабол, имеющих точку касания 2-го порядка с соответствующими характеристиками классических уравнений мелкой воды над ровным дном. Как следствие, в отличие от классического случая, сильные разрывы распространяются по параболической траектории с постоянным ускорением. Показано, что конечно-разностные соотношения на поверхности разрыва не зависят от угла наклона плоскости.

3. Получены оценки временного интервала, в течение которого течения мелкой воды над наклонной плоскостью могут быть аппроксимированы соответствующими решениями классический системы уравнений мелкой воды над ровной поверхностью.

4. Решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости. Показано, что конфигурации, определяющие решения этой задачи, задаются теми же начальными условиями, как и в классическом случае, хотя сами решет." описывают новые физические явления, определяемые дополнительной скатывающей силой, которая действует на жидкость, пропорциональна тангенсу угла наклона плоскости.

5. Найдено невырожденное преобразование зависимых и независимых переменных, сводящее уравнения Сен-Венана для наклонной плоскости к классическим уравнениям мелкой воды над ровным дном. Предъявленное преобразование обобщено на случай произвольной многомерной неоднородной гиперболической системы уравнений с постоянной внешней силой.

6. Предложена модель переноса твердых частиц в атмосфере вблизи поверхности планеты на основе уравнений идеального газа с переменным уравнением состояния и разработан метод распада произвольного разрыва для решения этих уравнений на границах с препятствиями. Показано, что наличие двух механизмов схемной вязкости разработанного алгоритма, а именно, наличие неоднородностей поверхности и градиентов концентраций твердой примеси, позволяет воспроизвести динамику переноса примеси.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Karelsky, К. V., Papkov, V. V., and Petrosyan, A. S„ 2000: The initial discontinuity decay problem for shallow water equations on slopes., 9pp. , Phys. Let. A. Vol. 271, pp 349-357.

2. Karelsky, К. V., Papkov, V. V., Petrosyan, A. S., and Tsygankov, D. V., 2000: Particular solutions of shallow water equations over non-flat surface. 8pp., Phys. Let. A. Vol. 271, pp 341-348.

3. Карельский K.B., Папков B.B., Петросян A.C., Цыганков Д.В. Частные решения уравнений мелкой воды над неоднородной подстилающей поверхностью. ПрелринтИКИ РАН. Пр-2008. 1999. 17 с.

А. Карельский К.В., Папков В.В., Петросян А.С. Задача о распаде произвольного разрыва для уравнеий мелкой воды над наклонной плоскостью. Препринт ИКИ РАН. Пр-2010. 1999. 23 с.

5. Karelsky, К. V., and Petrosyan, A. S., 1995: Numerical simulation of the near-surface phenomena on Mars. Adv. Space Res., 16, 645-648.

6. Karelsky K., Petrosyan A., Nearsurface phenomena on Mars simulations with special attention on direct actions of winds on planetary bodies, Annates Geophysical, Volume 14, Suppl. 2, 1995, p. C459.

7. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, Modeling atmospheric boundary layer flows with the generalized solutions of Eiler equations, Annales Geophysical, Volume 14, Suppl. 2, 1996, p. C459.

8. К. V, Karelsky, A. S. Petrosyan, Turbulence and processes of heat and mass transfer in the planetary boundary layer numerical simulation by the Godunov method, Book of abstracts in "Workshop on interaction of scales in turbulence: application to convection, diffusion and chemistry", IMAU, University Utrecht, 1995.

9. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, New model for surface-atmosphere interaction on Mars, Book of abstracts "International workshop on INTERMARSNET", Capri, Italy, 1995.

10. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, Modeling of dispersed multiphase flows in planetary boundary layer. Book of abstracts, 3-d European Fluid Mechanics Conference, Gettingen, 1997, p. 288.

11. K. Karelsky and A. Petrosyan, Numerical simulations of the near °jrface phenomena on Mars. Book of abstracts, 30th COSPAR Scientific Assembly Hamburg, Germany, 1994, p. 135.

12. Karelsky К. V., Petrosyan A. S. A new model for transport of particles in boundary layer flows. Annales Geophysical, Supplement II to Volume 15, 1997, p. 563.

13. Karelsky К. V., Petrosyan A. S. Solid particles dispersion in turbulent planetary boundary layer flows. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2, 1999, p. 437.

14. Karelsky К. V., Papkov V., Petrosyan A. S. Solid aerosols dispersion in urban area. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2, 1999, p. 528.

15. Karelsky К. V., Papkov V., Petrosyan A. S. A new model for dense gas dispersion through groups of obstacles. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2, 1999, p. 453.

16. К. В. Карельский, В. В. Папков, А. С. Петросян, Учет неоднородностей подстилающей поверхности в моделях мелкой воды. Тезисы докладов, XL1I научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», часть IV, стр. 129, 1999.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НАД НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

1.0 Введение.

1.1 Инварианты Римана для уравнений мелкой воды над неоднородной поверхностью.

1.2 Непрерывные решения: бегущие и центрированные волны Римана.

1.3 Разрывные решения. Условия Гюгонио на ударном переход.

1.4 Преобразование уравнений Сен-Венана к классическим уравнениям мелкой воды.

1.5 Замена переменных обеспечивающая переход от псевдоодноднородной , ■■ дцябмерйои ; системы квазилинеиных уравнений в частных производных к аналогичной однородной системе.

1.6 Обобщение на случай псевдооднородных Т-мерных квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка.

1.7 Резюме.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА РАСПАДА ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СЕН-ВЕНАНА НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ.

2.0 Введение.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Конфигурация две волны разряжения.

2.3 Две волны разрежения разделенные зоной вакуума.

2.4 Конфигурация два гидродинамических прыжка.

2.5 Конфигурация гидродинамических прыжок, волна разряжения.

2.6 Полное решение для уравнений мелкой воды.

2.7 Решение задачи распада разрыва для наклонной плоскости.

2.8 Резюме.

ГЛАВА 3. ОДНОСКОРОСТНАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕИ В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

3.0 Введение.

3.1 Обсуждение основных предположений.

3.2 Ограничения на движения дисперсной среды накладываемые требованиями критериев аналогии с калорически совершенным газом.

3.3 Уравнения атмосферы со взвешенными частицами.

3.4 Расчетные формулы схемы для нестационарных двумерных задач.

3.5 Процедура построения сетки.

3.6 Результаты тестовых расчетов.

3.7 Резюме.

Все известные течения атмосферы и океана в реальных условиях являются гетерогенными из-за наличия примеси и неоднородными из-за присутствия препятствий, неровностей подстилающей поверхности. Зачастую, хорошо развитая теория течений на ровной границе и модели, развитые на основе этой теории, не описывают адекватно физические процессы в таких потоках. Исследования динамики реальных природных течений является сложной и важной задачей. Особую роль играют точные решения для таких течений, поскольку позволяют исследовать их нелинейную динамику и изучать пределы применимости идеализированных моделей. Точные решения являются фундаментальными также для разработки приближенных моделей и для изучения адекватности компьютерных расчетов реальным течениям. Наличие второй фазы, помимо традиционных проблем адекватности расчетов, делает актуальной задачу разработки моделей и алгоритмов, минимизирующих вычислительные ресурсы.

Большое количество физических явлений описывается уравнениями мелкой воды. Уравнения мелкой воды являются системой нелинейных гиперболических уравнений и аппроксимируют полную задачу течения со свободной поверхностью в поле гравитации при пренебрежении эффектами вязкости и поверхностного натяжения. Основным предположением, содержащимся в уравнениях мелкой воды, является то, что вертикальная компонента ускорения частиц воды имеет пренебрежимо малое влияние на давление или, что то же, давление задается гидростатическим законом. Те же самые уравнения получаются как низшее приближение теории возмущений, которая представляет собой формальное разложение всех величин по степеням малого параметра е, являющегося отношением глубины воды к некоторой другой характеристической длине, связанной с горизонтальным направлением. Второй подход к выводу уравнений мелкой воды делает очевидным роль, которую играет глубина невозмущенной воды в определении точности приближения [1,2]. Относительная простота уравнений мелкой воды по сравнению с полной системой гидродинамических уравнений является основной причиной привлекательности данного приближения для понимания и прогноза природных течений.

Типичным примером применения двухмерных уравнений мелкой воды к атмосферным течениям является классическая работа [3], в которой приближение мелкой воды используется для задач прогноза погоды. Авторы [3] проинтегрировали гидродинамические уравнения вдоль всей глубины атмосферы, пренебрегая стратификацией плотности и, тем самым, приходя к двухмерным баротропным уравнениям. Для крупномасштабных атмосферных течений существенно ускорение Кориолиса и его широтные вариации. Динамические уравнения работы [3] сформулированы в терминах потенциальной завихренности и функции тока.

Традиционно, океанические течения являются важным направлением применения уравнений мелкой воды. Компьютерные модели от малых до больших масштабов были разработаны для большого числа районов нашей планеты. Например, в работе [4] приведены результаты моделирования крупномасштабных течений на всем земном шаре, учитывающие влияние сил, вызываемых воздействием Солнца и Луны . Интересный пример применения приближения мелкой воды приведен в работе [5], в которой решены усредненные уравнения мелкой воды для остаточных течений. Уравнения работы [5] усреднялись по периоду течения, нелинейные члены при таком усреднении описывали суммарный поток импульса (радиационное напряжение), который определяется волновой компонентой течения. Важным приложением уравнений мелкой воды является предсказание штормовой картины, а именно, генерация течений и вариаций уровня воды, вызванных разницей атмосферного давления и напряжением ветра на водной поверхности [6,7].

Если жидкость расслаивается по причине разной солености, то полученный в результате слоистый поток очень похож на течение мелкой воды. Теперь имеется два мелких слоя, один над другим. Пример использования многослойной модели мелкой воды приведен в работе [8]. Схожая многослойная модель использовалась в работе [9] для моделирования и описания Большого Красного Пятна в атмосфере Юпитера.

К сказанному выше следует упомянуть возникшие в последнее время актуальные применения приближений мелкой воды для описания гидравлических течений [10,11], береговых течений [12], моделирование цунами [13], течений в озерах [14] и распространение тяжелых газов в земной атмосфере.

Нелинейный характер уравнений мелкой воды означает, что использование аналитических методов решения может иметь успех только при очень специальных условиях. Чтобы получить решения задач научного и инженерного характера необходимо использовать численные методы. Именно гиперболический характер уравнений мелкой воды обуславливает трудность аналитического и численного решения.

Гиперболические уравнения в дополнение гладким и классическим решениям допускают разрывные решения. Даже в случае, когда начальные условия являются везде гладкими, нелинейный характер уравнений наряду с их гиперболичностью в конечное время может привести к разрывному решению. В газовой динамике разрывные решения ассоциируются с ударными волнами и контактными разрывами. В контексте уравнений мелкой воды разрывы связываются с гидравлическими прыжками и сильным приливным течением в воде или распространением быстрых атмосферных фронтов.

Простые автомодельные решения гиперболических систем уравнений являются основополагающими в исследовании нелинейных волновых явлений, поскольку позволяют найти точное решение задачи распада произвольного разрыва. Первоначально полученные при решении газодинамических задач, они стали играть ключевую роль в общей теории динамики гиперболических систем [15-22]. Указанные решения являются важнейшем компонентом в разработке численных методов сквозного счета, основанных на аналитическом решении задачи Римана, известных как методы распада разрыва. Данные методы особенно часто находят применение в численном моделировании, поскольку позволяют получать решение не только в области непрерывного течения, но и в областях разрыва решений, без специального выделения и отслеживания поверхностей разрыва [23-31]. Кроме того, эти методы хорошо адаптируются к сложным граничным условиям, характеризующим большинство постановок задач, описывающих реальные природные течения [31]. Задача Коши о распаде произвольного разрыва кусочно-постоянных начальных условий, впервые возникшая в газовой динамике (Задача Римана) [32,33], не только расширяет возможности численного моделирования уравнений мелкой воды с помощью методов распада разрыва, но и имеет самостоятельное фундаментальное значение. Ее решение облегчает понимание множества нелинейных явлений, в течениях несжимаемой жидкости со свободной границей в поле силы тяжести, в рамках приближения мелкой воды.

Несмотря на многочисленные вышеуказанные исследования течений мелкой воды, полученные результаты имеют ограниченные пределы применимости к реальным течениям, поскольку используют решение задачи Римана на ровной плоскости при расчете потоковых величин в методах распада разрыва. Отсутствие аналитических решений соответствующих реальным подстилающим поверхностям ограничивает возможности интерпретации реальных природных течений. В настоящей работе найдены точные решения для природных течений на наклонной плоскости, описываемые приближением мелкой воды, получено точное решение задачи распада произвольного разрыва для таких течений.

В связи с ухудшающейся экологической обстановкой особую актуальность имеют задачи, связанные с переносом примесей в атмосферном погранслое. Важное практическое значение имеют задачи определения динамики пылевых облаков в атмосфере, и их взаимодействия с подстилающей поверхностью. Наличие твердой примеси в погранслое атмосферы в корне меняет радиационный баланс в силу изменения прозрачности воздушных масс, что в свою очередь обуславливает изменение всей гидродинамики атмосферных потоков и ведет к созданию новых течений. Особую роль в динамике атмосферных потоков играет орография. Наличие изменений в геометрии подстилающей поверхности может принципиально изменить картину течения. Компактно распространяющаяся дисперсная фаза, занимающая односвязную область, может перейти в много связный режим либо сильно изменить размеры и геометрию области занимаемой твердыми частицами. Немаловажны также изменения скорости распространения и декремента затухания слабых возмущений в области двухфазного течения, которое в ряде задач имеет основополагающее значение.

Гидродинамика гетерогенных систем - обширная область современной науки. Описание различных природных процессов связано с гетерогенными системами как с сложными смесями, компоненты которых имеют разные физико-механические свойства. На сегодняшний день такие системы встречаются даже чаще нежели обычные гомогенные. Исследование гетерогенных систем серьезно затруднено по причине сложности структуры и процессов теплообмена, диффузии, фазовых и химических превращений, силового взаимодействия. Развитие компьютерной техники в последнее время позволило сделать серьезный прорыв в области численного моделирование гетерогенных сред. Тем не менее, для задач со сложными и/или переменными границами даже революционно увеличившие вычислительные ресурсы не являются достаточными. Таким образом., абсолютно естественным подходом при разрешении указанной проблемы является создание математических моделей, которые с одной стороны отражают основные свойства гетерогенных сред, принимаемые во внимание в решаемой задаче, а с другой стороны, за счет пренебрежения несущественными для решаемой задачи свойствами многофазности позволяют эффективно экономить вычислительные ресурсы.

Наиболее характерной особенностью движения гетерогенных сред, отличающей их от однофазных, является наличие макроскопического движения фаз относительно друг друга (другими словами, наличие двухскоростных, а в более общем случае многоскоростных эффектов), связанное в основном с различием плотностей веществ фаз. Наиболее отчетливо указанный эффект проявляется в газовзвесях, в частности при распространении в них волн.Отсутствие собственного давления дисперсной фазы в системе уравнений двухскоростного течения делает систему негиперболической. Другими словами для гиперболичности необходимо, чтобы число независимых давлений совпадало с числом независимых скоростей.

Система уравнений двухскоростного движений бесстолкновительной дисперсной смеси является негиперболпческой, учет составляющей межфазной силы за счет эффекта присоединенных масс не влияет на этот вывод. Проблемам негиперболичности в механике сплошной среды всегда уделяется особое внимание [34]. Негиперболичность двухскоростных уравнений отмечалась в работах [35-37], и она осложняет реализацию численных решений.

Рассмотрение на основе уравнений двухскоростного движения эволюции слабых возмущений, полученных дисперсной фазой, препятствует аномальной концентрация дисперсных частиц. Для малоконцентрированных дисперсных смесей роль собственного давления дисперсной фазы может быть аналогичной искусственной вязкости для идеального газа в конечно-разностных методах расчетов, т. е. иногда собственное давление дисперсной фазы, может рассматриваться как «искусственное давление». Для гиперболичности двухскоростных уравнений движения .необходимо использовать два разных давления в уравнениях импульса фаз. Если необходимо получить непрерывное (гладкое) решение уравнений механики сплошной среды, то введение вязкости необходимо только для нелинейных волн сжатия, а введение давления необходимо даже для линейных волн сжатия. Другими словами, «опрокидывание» или «перехлест» волн сжатия будет в нелинейном режиме в среде без вязкости и даже в линейном режиме в среде без давления. «Опрокидывание» волн сжатия ломимо введения собственного давления и вязкости, можно предотвратить также введением

-у поверхностей разрыва параметров. Но только при отсутствии собственного давления такие поверхности будут поверхностями типа «пелены» с конечной массой дисперсных частиц, приходящихся на единицу площади поверхности разрыва [38].

Система уравнений двухскоростного движения бесстолкновительной дисперсной смеси негиперболична вследствие недостаточно полного описания межфазного взаимодействия ц взаимодействия между дисперсными частицами. Но, несмотря на это, существует достаточно широкий класс задач, когда эта система уравнений правильно отражает физику процесса и физическую неустойчивость некоторых течений. Для таких задач постановка задачи Коши «условно корректна» в определенном классе функций, т. е. в этом классе функций решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных условий.

Зависимость скорости развития неустойчивости от длины волны может накладывать ограничение снизу на выбор шага расчетной сетки при численном решении задачи на основе уравнений двухскоростного движения. Структура стационарных ударных волн с передним скачком в газе с твердыми частицами, когда отсутствует фазовый переход, была исследована в работе [39]. В работе [40] разработан алгоритм сквозного счета дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения двухскоростной среды в эйлеровых переменных с использованием разностных схем метода «крупных частиц» [41] и метода [42]. В литературе для расчета одномерных нестационарных течений газовзвесей рассмотрены различные методы [43]. В работе [44] предложен конечно-разностный метод интегрирования уравнений в лагранжевых переменных г, б газовой фазы, где г — координата материальных точек газовой фазы в начальный момент времени. Естественно, что дисперсные частицы, имея отличную от газа скорость, перемещаются относительно лагранжевых координат газа. Некоторые результаты расчетов представлены также в статье [45].

Различие плотностей дисперсной и газообразной фаз движения гетерогенных систем носит в общем случае многоскоростной характер(т.е. при наличии различных фракций в дисперсной фазе). При пренебрежении многофракционностью дисперсной фазы такое течение можно описать двухскоростной системой нелинейных уравнений в частных производных. Обсуждению данного вопроса посвящено множество работ различных авторов [46-52]. Даже двухскоростная модель течения дисперсной системы связана с требованиями больших вычислительных ресурсов и трудностями численной реализации, связанными с негиперболичностью описывающих их систем уравнений в частных производных [52].

В данной работе развит численный метод описания одного из основных классов гетерогенных систем : двухкомпонентной смеси твердых частиц и произвольного газа, т.е. дисперсной системы. Данный метод главным образом ориентирован на решение практических задач связанных с транспортом твердой примеси газом над сложной поверхностью. Определение течения газа над комплексной поверхностью является, вообще говоря, самостоятельной задачей, методы решения которой связаны с особенностями подстилающей поверхности и скоростным режимом течения.

Цель работы.

Основной целью работы является изучение точных нелинейных решений уравнений мелкой воды над неровной поверхностью, нахождение и анализ точных решений уравнений мелкой воды над наклонным дном, разработка физической модели, описывающей перенос твердых примесей ветровым потоком над сложной границей, и ее численная реализация.

Научная новизна.

1. Классическая теория мелкой воды обобщена на случай течений над неоднородной поверхностью.

2. Построено точное решение задачи распада произвольного разрыва для уравнений мелкой воды над наклонной плоскостью

3. Предложена физическая модель переноса твердой примеси ветровым потоком в областях со сложной границей.

Практическая и научная ценность работы.

Полученные теоретические результаты для течений мелкой воды над неровным дном являются основой для объяснения целого ряда атмосферных и океанических течений в поле силы тяжести.

На основе аналитических решений начальной задачи Римана для уравнений мелкой воды над неровным дном можно разработать численные алгоритмы типа распада разрыва для предсказания нелинейной динамики таких течений.

Полученные аналитические решения типа «простых волн» позволяют сделать выводы о динамике распространения тяжелых газовых облаков в атмосфере.

Предложенная модель переноса твердых частиц ветровыми течениями вблизи неоднородной поверхности планеты и результаты приведенных расчетов могут быть использованы для интерпретации данных дистанционного зондирования распределений аэрозолей в пограничном слое и допускают обобщения на случай крупномасштабных течений атмосферы переменного состава.

Представленные в работе результаты могут найти применение в исследованиях атмосферы Земли и других планет, ведущихся в ИКИ РАН, ИПМ РАН, ИФА РАН, ИВМ РАН, МФТИ, ИВТАН.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных в работе теоретических результатов обеспечивается использованием строгих математических методов анализа гиперболических уравнений в частных производных. Достоверность результатов расчетов переноса примеси вблизи поверхности планеты обеспечивается доказанностью устойчивости использованной разностной схемы, а также внутренней само согласованностью полученных результатов.

Апробация работы и публикации.

Апробация работы проведена в докладах на международных и всероссийских симпозиумах: COSPAR- 1994 г., EGS - 1995, 1996, 1997, 1999, 2000 гг., "Workshop on interaction of scales in turbulence: application to convection, diffusion and chemistry", IMAU - 1995, 3-d European Fluid Mechanics

Conference, Gettingen - 1997, colloquium EUROMECH "Atmosphere Turbulence and Dispersion in Complex terrine", Bologna - 1995, XLII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» -1999; а также на семинарах ИКИ, Института Физики Атмосферы (Оберпфафенхофен, Германия), Института метеорологии Макса-Планка (Гамбург, Германия), Факультет прикладной математики и теоретической физики университета Кэмбридж (Англия). Основное содержание диссертации опубликовано в работах [53-69].

Личным вкладом автора являются:

1. Полученные аналитические решения типа «простых волн» для уравнений Сен-Венана.

2. Решение задачи распада произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана.

3. Анализ пределов применимости классических уравнений мелкой воды над ровным дном.

4. Разработка модели переноса твердых частиц вблизи реальной поверхности планеты и анализ пределов применимости этой модели.

5. Разработка алгоритмов расчета и компьютерной программы для описания переноса аэрозолей вблизи поверхности планеты и проведение расчетов.

Все выносимые на защиту результаты получены автором лично, либо при решающем участии автора.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитированной литературы ( 145 стр. текста, 39 рис., 73 наименований литературы).

ВКЛЮЧЕНИЕ иссертационная работа посвящена нахождению точных решений уравнений мелкой ад наклонным дном и разработке модели переноса твердых частиц вблизи неровной ности планеты. Получен ряд новых результатов, имеющих важное значение для щия нелинейных явлений в океане и атмосфере, а также для анализа процессов са твердых аэрозолей атмосферными течениями вблизи поверхности планеты, •сновные результаты, представленные в диссертационной работе, состоят в >щем:

Показано, что обобщение частных автомодельных решений уравнений мелкой воды над ровным дном на случай неоднородной границы имеет место только для тех типов поверхностей для которых существует решение типа «простой волны», а именно, для наклонной плоскости.

Впервые найдены все частные автомодельные решения уравнений Сен-Венана и показано, что характеристики уравнений мелкой воды на наклонной плоскости являются семейством парабол, имеющих точку касания 2-го порядка с соответствующими характеристиками классических уравнений мелкой воды над ровным дном. Как следствие, в отличие от классического случая, сильные разрывы распространяются по параболической траектории с постоянным ускорением. Показано, что конечно-разностные соотношения на поверхности разрыва не зависят от угла наклона плоскости.

Впервые получены оценки временного интервала, в течение которого течения мелкой воды над наклонной плоскостью могут быть аппроксимированы соответствующими решениями классический системы уравнений мелкой воды над ровной поверхностью.

Впервые решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана. Показано, что конфигурации, определяющие решения этой задачи, задаются теми же начальными условиями, как и в классическом случае, хотя сами решения описывают новые физические явления, определяемые дополнительной скатывающей силой, которая действует на жидкость м пропорциональна тангенсу угла наклона плоскости. Впервые найдено невырожденное преобразование зависимых и независимых переменных, сводящее уравнения Сен-Венана для наклонной плоскости к классическим уравнениям мелкой воды над ровным дном. Предъявленное преобразование обобщено на случай произвольной многомерной неоднородной гиперболической системы уравнений с постоянной внешней силой. Впервые предложена модель переноса твердых частиц в атмосфере вблизи поверхности планеты на основе уравнений идеального газа с переменным уравнением состояния и разработан метод распада произвольного разрыва для решения этих уравнений на границах с препятствиями. Показано, что наличие двух механизмов схемной вязкости разработанного алгоритма, а именно, наличие неоднородностей поверхности и градиентов концентраций твердой примеси, позволяет воспроизвести динамику переноса примеси.

1. Стокер Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Иностр. Лит., 1959. 618с.

2. Овсянников JI. В. К обоснованию теории мелкой воды, Сборник «Динамика мплошной среды» вып. 15, СО АН СССР, 1973.

3. Chamey J. G., R. Fjôrtoft & J von Neumon, 1950 Numerical integration of the barotropic vorticity equation, Tellus 2, pp. 237-254

4. Hendershott M., 1981 Long waves and ocean tides, Ch. 10 in: B. A. Warren & C. Wunsch (eds.) Evolution of physical oceanography, MIT Press, pp. 292-341

5. Nihoul J. C. J. & F. C. Ronday 1975 The influence of tidal stresses on the residual circulation, Tellus 29, pp. 484-490

6. Dube S.K., P.C. Sinha and G.D. Roy 1985 -The numerical simulation of storm surgers along the Bangla Desh coast, Dyn. Atm. Oceans 9, pp. 121-133.

7. Johns, В., S.K. Dube, P.C. Sinha, U.C. Mohanty and A.D. Rao 1982 The simulation of continuously deforming lateral boundaries in problems involving the shallow-water equations, Сотр. And Fluids 10,2, pp. 105-116.

8. Garvine R.W. 1987 Estuary plume and fronts in shelf waters: a layer modele, J. Phys. Oceanogr. 17,pp. 1877-1896.

9. Dowling D.E. & A.P. Ingersoll 1989 Jupiter'sGreat Red Spot as a shallow-water system, J. Atmosph. Sci. 46,21, pp. 3256-3278.

10. Stelling, G.S. 1983 On the construction of the computational methods for shallow-water flow problems, PhD thesis Delft Univ. of Technology

11. Alcrudo & Garcia-Navarro 1993 A high-resolution Godunov-type scheme in finite volume for the 2-d shallow-water equations, Mon. Wea. Rev. 109, pp. 18-36.

12. Wind, H.G. & C.B. Vreugdenhil 1986 Rip-current generation near structures, J. Fluid Mech. 171, pp. 459-476

13. Shokin, Y.I. & L.B. Chubarov 1980 Finite-difference simuletion of tsunami propogation, in (U. Muller et al, eds) Theoretical and experimental fluid mechanics, Springer, Berlin, pp. 599-606.

14. Platzman, G.W. 1972 Two-dimensional free oscillations in natural basins, J. Phys. Oceanogr. 2,2, pp.117-138.

15. Stoker J.J. The formation of breakers and bores // Commun. Pure Appl. Math. 1948. Vol.1, No.I. P. 1-87.

16. Шокин Ю.И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 368с.

17. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физ-матгиз,1963. 4.1. 584с.

18. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. JL: Гидрометеоиздат, 1977. 310с.

19. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.392с.

20. Марчук А.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 176с.

21. Уизем Г. В. Линейные и нелинейные волны. Изд. МИР, Москва, 1977,567с.

22. Lighthill М. J. River waves, Naval hydrodynamics publication 515 National Academy of Sciences National Research Council, 1957.

23. S.J. Billett & E.F. Того On WAF-Type Schemes for Multidimensional hyperbolic conservation laws journal of computational physics 130, pp. 1-24 (1997)

24. E.F. Того & S.J. Billett Centered TVD schemes for hyperbolic conservation laws. IMA Journal of numerica analysis (2000) 20, pp. 47-79

25. G. Watson, D.H. Peregrine & E.F. Того Numerical solution of the shallow-water equations on a beach using the weighted average flux method. Computational Fluid Dynamics, Volume 1,1992, pp.495-501

26. P. Glaister Difference schemes for the shallow water equations. Univ. of Reading, Department of mathematics, Numerical Analysis report 9/87, pp.50

27. L. Fraccarollo & E.F. Того Experimental and numerical assessment of the shallow water model for two-dimensional dam-break type problems. Journal of hydraaulic research, vol. 33, 1995, NO. 6, pp. 843-864.

28. E.F. Того Riemann problems and the WAF method for solving the two-dimensional shallow water equations. Phil. Trans. R. Soc. bond. A (1992) 338, pp. 43-68

29. A. Bermudez, A. Dervieux, Jean-Antoine Desideri, M.E. Vazquez INRIA Rapport de recherche № 2738 (1995), pp. 50.

30. F. Alcrudo and P. Garcia-Navarro A high resolution Godunov-type scheme in finite volumes for the 2d shallow-water equations.Int. Journ. Numerical Methods in Fluids, vol. 16, P. 489-505,1993.

31. Беликов В.В., Семенов Ю.А. Построение численных методов распада разрыва для решений уравнений теории мелкой воды.// Труды ИОФАН. Выч. гидродинамика природных течений. Т.53. М.: Наука. Физматлит. 1997. С. 5-43

32. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение в газовой динамике. М.: Наука. 1978. 688с.

33. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736с.

34. Л. В. Овсянников Лекции по основам газовой динамике. М.: Наука, 1981. 368 с.

35. Рахматулин X. А. (1956). Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред//ПММ.—1956.— Т. 20, № 2.

36. Крайко А. Н., Стернин Л. Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами //ПММ.— 1965.- Т. 29, .№ 3.

37. S. Banerjee, W. Hancox On the development of methods for analysing transient flow-boiling //Int. J. Multiphase Flow.—1978.— V. 4,— P. 437—460.

38. A, H. Крайко, О корректности задачи Коши для двухжидкостнои модели течения смеси газа с частицами // ПММ,— 1982 — Т. 46, № 3 — С. 420-428.

39. G. Rudinger (1964). Some properties of shock relaxation in gas flows carrying small particles//Phys. Fluids—1964— V. 7,No 5.

40. А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева, P. И. Нигматулина Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных волновых процессов в многофазных дисперсных средах//ЖВМ и МФ.— 1977.-Т. 17, № 6.

41. М. Белоцерковского, Ю. М. Давыдова, Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов, ЖВМ и МФ, 1971,11, № 1,182-207.

42. А. И. Ивандаева, А. Г. Кутушева, Р. И. Нигматулина Газовая динамика многофазных сред.— Ударные и детонационные волпы в газовзвесях // Итоги науки. Механика жидкости и газа.— М.: ВИНИТИ, 1981.— Т. 16 — С. 209—287.

43. Ф. Б. Абуталиевым, Н. М. Ильясовым Решение задачи о неустановившемся взаимопроникающем движении двухфазных сред в ударной трубе переменного сечения//Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук.—1973.—№ 6.

44. В. Otterman, A. Levine Analysis of gas-solid particle flows in shock tubes // AIAA Journal.— 1979.—V. 12, No 5. Рус. пер.: // Ракетная техника и космонавтика.— 1974.—Т. 12, №5.

45. Рахматулин X. А., Мамадалиев Н. А. Двухскоростная теория обтекания тонкого профиля //ПМТФ,— 1969.— № 4.

46. Крайко А. Н., Стерпин Л. Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами //ПММ.— 1965.- Т. 29, .№ 3.

47. Нигматулин Р. И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений // Изв. АН СССР. МЖГ.— 1967.— № 5.— С. 33—47.

48. Soo S. L. Fluid dynamics of multi-phase systems—Toronto—London, 1967.— Рус. пер.: Coy С. Гидродинамика многофазных систем.— М.: Мир, 1971.—536с.

49. Marble F. F. Dynamics of dusty gases // Ann. Rev. Fluid Mech.—1970.— No 2.— Рус. пер.: //В сб. пер. Механика.— 1971.— № 6. Me Queen R. G., Marsh S.

50. Николаевский В. Н.,Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред.—М.: Недра, 1970.—336 с.

51. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1.-М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1987.-464 с.

52. Karelsky, К. V., Papkov, V. V., and Petrosyan, A. S., 2000: The initial discontinuity decay problem for shallow water equations on slopes., 9pp. , Phys. Let. A. Vol. 271, pp 349-357.

53. Karelsky, К. V., Papkov, V. V., Petrosyan, A. S., and Tsygankov, D. V., 2000: Particular solutions of shallow water equations over non-flat surface. 8pp., Phys. Let. A. Vol. 271, pp 341-348.

54. Карельский K.B., Папков B.B., Петросян A.C., Цыганков Д.В. Частные решения уравнений мелкой воды над неоднородной подстилающей поверхностью. Препринт ИКИ РАН. Пр-2008. 1999. 17 с.

55. Карельский К.В., Папков В.В., Петросян А.С. Задача о распаде произвольного разрыва для уравнеий мелкой воды над наклонной плоскостью. Препринт ИКИ РАН. Пр-2010. 1999.23 с.

56. Karelsky, К. V., and Petrosyan, A. S., 1995: Numerical simulation of the near-surface phenomena on Mars. Adv. Space Res., 16,645-648.

57. Karelsky К., Petrosyan A., Nearsurface phenomena on Mars simulations with special attention on direct actions of winds on planetary bodies, Annales Geophysical, Volume 14, Suppl. 2,1995, p. C459. „

58. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, Modeling atmospheric boundary layer flows with the generalized solutions of Eiler equations, Annales Geophysical, Volume 14, Suppl. 2,1996, p. C459

59. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, New model for surface-atmosphere interaction on Mars, Book of abstracts "International workshop on INTERMARSNET", Capri, Italy, 1995.

60. К. V. Karelsky, A. S. Petrosyan, Modeling of dispersed multiphase flows in planetary boundary layer. Book of abstracts, 3-d European Fluid Mechanics Conference, Gettingen,1997, p. 288.

61. K. Karelsky and A. Petrosyan, Numerical simulations of the near surface phenomena on Mars. Book of abstracts, 30th COSPAR Scientific Assembly Hamburg, Germany, 1994, p. 135.

62. Karelsky К. V., Petrosyan A. S. A new model for transport of particles in boundary layer flows. Annales Geophysical, Supplement II to Volume 15,1997, p. 563.

63. Karelsky К. V., Petrosyan A. S. Solid particles dispersion in turbulent planetary boundary layer flows. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2,1999, p. 437.

64. Karelsky К. V., Papkov V., Petrosyan A. S. Solid aerosols dispersion in urban area. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2,1999, p. 528.

65. Karelsky К. V., Papkov V., Petrosyan A. S. A new model for dense gas dispersion through groups of obstacles. Geophysical Research Abstracts, Volume 2, Number 2,1999, p. 453.

66. К. В. Карельский, В. В. Папков, А. С. Петросян, Учет неоднородностей подстилающей поверхности в моделях мелкой воды. Тезисы докладов, XLII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», часть IV, стр. 129,1999.

67. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1; 2.—М.: Наука, 1984. Гришин А. М., Фомин В. М. (1984). Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред.— Новосибирск: Наука, 1984.— 318 с.

68. Губайдуллип А. А., Ивандаев А. И., Нигматули н Р. И. Некоторые результаты численного исследования нестационарных волн в газовзвесях // Изв. АН СССР. МЖГ.—1976.—№5.

69. Г убаидуллинА. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных волповых процессов в многофазных дисперсных средах //ЖВМ и МФ.— 1977.-Т. 17, № 6.

70. Арутюнян Г.М., Условия применимости результатов гидродинамики совершенного газа к дисперсным средам // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979.- № 1.- С.157-160.

71. Арутюнян Г.М. Термогидродинамическая теория гетерогенных систем. М.: Физматлит, 1994. - 272 с.