Торможение машин системами с постоянными магнитами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Озолин Алексей Юрьевич

СЮ34853 1Э

ТОРМОЖЕНИЕ МАШИН СИСТЕМАМИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ

01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 НОЯ 2009

Санкт-Петербург - 2009

003485319

Работа выполнена на кафедре «Механика и процессы управления» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Скубов Дмитрий Юльевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Ветюков Михаил Михайлович

кандидат технических наук, Саблин Александр Дмитриевич

Ведущая организация

Институт проблем машиноведения РАН

ш

2009 г. в/У^час. на заседании диссертационного

Защита состоится

совета Д 212.229.13 ГОУ ВПО'"Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу: 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 29, корпус / , ауд. 7/

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке

ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан «

// »

2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.229.13, доктор технических наук, профессор

Григорьев Б.С.

Диссертация посвящена электромеханическим системам с постоянными магнитами, предназначенным для электродинамического (вихретокового) торможения машин.

Актуальность. Одним из способов торможения машин и механизмов является электродинамический, при котором тормозящая сила возникает за счет взаимодействия магнитных полей и отсутствует механический контакт. Это позволяет решить проблему как повреждаемости тормозной системы, так и самой машины.

При фрикционном способе торможения машин в отличие от электродинамического длина тормозного пути зависит от погодных условий.

Электродинамическое торможение на сегодняшний день используется в измерительных приборах, горочных замедлителях, в вихретоковых тормозах железнодорожного транспорта, грузовых машинах, автобусах и т.д.

В качестве источника магнитных полей для электродинамического торможения могут использоваться электромагниты или постоянные магниты.

При этом на практике использовались в основном электромагниты, которые по энергетическим и массогабаритным показателям долгое время превосходили постоянные магниты. Это сужало область применения электродинамического торможения, так как требовало гораздо больше энергетических затрат по сравнению с традиционными способами (фрикционными). В последние годы появляются различные сплавы постоянных магнитов, например, на основе Ыс)-Ре-В (неодим, железо, бор), которые обладают высокими значениями остаточной индукции и коэрцитивной силы. При использовании таких сплавов не требуются внешние источники питания и, соответственно, энергетические затраты. Получаемые тормозные усилия с применением постоянных магнитов становятся больше по сравнению с электромагнитами.

В результате создания магнитных полей в движущемся теле наводятся вихревые распределенные токи. Для описания динамики таких электромеханических систем существует несколько подходов. Первый подход связан с совместным решением электродинамической (уравнений Максвелла) и механической задач. Второй подход к исследованию электромеханических систем, который используется в данной работе, основан на описании электромагнитного поля путем представления непрерывно распределенных вихревых токов в виде конечно- или бесконечномерной системы проводящих контуров.

Описание электродинамического торможения машин системами с постоянными магнитами практически не встречается в научных исследованиях, в которых в

1

основном используются подход с совместным решением электродинамической задачи и уравнений механики, а также экспериментальные результаты. Поэтому исследование и разработка систем торможения с постоянными магнитами и оценка их эффективности являются актуальными.

В настоящей работе исследуются три тормозных устройства: вихретоковый замедлитель для сортировочной горки или остановочного тупика, вихретоковый дисковый тормоз для подвижного состава железнодорожного транспорта и системы торможения лифта в случае обрыва троса в дополнение к существующим клиновым ловителям. Последние два устройства являются принципиально новыми.

Цель работы. Определение практической целесообразности создания тормозных систем с постоянными магнитами, определение эффективности торможения исследуемых машин, проведение качественного и количественного исследования их динамики и получение соотношений, которые можно будет использовать при проектировании.

Основные задачи.

1. Для вихретокового замедлителя провести численное интегрирование уравнения движения вагона, выявить основные особенности процесса торможения, проанализировать возможность проскальзывания колес, а также предложить алгоритм управления вагонами на сортировочной станции.

2. Обосновать возможность электродинамического способа торможения подвижного состава железнодорожного транспорта с применением постоянных магнитов: составить уравнения движения вагона под действием вихретокового дискового тормоза, произвести учет нарастания тока в проводящем контуре, уточнить распределение магнитного поля в зазоре, провести тепловой расчет.

3. Вывести уравнения движения падающего лифта под действием систем с постоянными магнитами, провести качественный и количественный анализ эффективности принципиально новых систем торможения.

Методы исследований. В работе применяются методы теории нелинейных колебаний, в частности метод осреднения, прямые методы интегрирования дифференциальных уравнений и метод конечных элементов, реализованный в программной системе конечно-элементного анализа А^Ув.

Достоверность результатов и выводов определяется использованием методов теории нелинейных колебаний, применением численных методов и использованием уравнений Лагранжа-Максвелла, а также сравнительным анализом с имеющимися экспериментальными результатами и публикациями других авторов.

2

Научную новизну составляют следующие результаты работы, являющиеся предметом защиты.

Часть рассмотренных в работе электромеханических устройств с постоянными магнитами является принципиально новой: вихретоковый дисковый тормоз для вагонов железнодорожного транспорта и системы торможения для лифта в случае аварийного падения. Большинство работ при анализе движения электромеханических систем связано с решением краевой электродинамической и механической задач. Работ же, в которых проводящие тела заменяются системой контуров с токами, относительно мало. Поэтому исследованные в диссертации задачи, как по постановке, так и по способу решения и полученному результату являются новыми.

Произведен учет параметров электромеханических систем ранее не входивших в решение задач электродинамического торможения (индуктивность проводящего контура вихретокового механизма).

Выявлены основные факторы, влияющие на эффективность торможения машин системами с постоянными магнитами. При этом получена более общая формула тормозящей силы по сравнению с имеющейся в литературе.

Практическая ценность заключается в возможности использования различных разработанных в диссертации тормозных систем с постоянными магнитами в железнодорожном транспорте и лифтовых конструкциях. Также даны оценки эффективности торможения, которые могут быть использованы при проектировании перечисленных машин.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Всероссийских конференциях «XXXIV Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2005), «XXXV Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2006), «Всероссийский форум «Наука и инновации в технических университетах» (Санкт-Петербург, 2008), «XXXVII Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2008), а также на семинарах кафедры «Механика и процессы управления».

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, в том числе две работы в журнале «Научно-технические ведомости СПбГПУ», входящем в перечень изданий, публикации в которых признаются Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 134 стр., включая 56 рис. и 1 табл.

Краткое содержание работы

Введение к диссертации содержит общую характеристику изучаемой проблемы и краткое содержание самой работы.

Первая глава диссертации посвящена используемому в работе методу исследования движения электромеханических систем, предложенному H.A. Фуфаевым. Далее разбирается случай, когда в системе содержатся постоянные магниты, а также анализируется основной элемент торможения машин.

Для описания движения используются уравнения Лагранжа-Максвелла:

= e (r = l т)

Л d¿r 8Sr dSr'

-a.

dt 8qk dqk

где La = T + W - (П + V) - лагранжиан электромеханической системы, Г = T(q,q) -кинетическая энергия, W - энергия магнитного поля, П = П(<7) - потенциальная энергия, V - энергия электрического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора, q = (q¡ ,...,f/„) - вектор обобщенных механических координат, п - число степеней свободы системы, gr - заряд в r-ом контуре, т - число проводящих контуров и независимых токов, Ег - алгебраическая сумма электродвижущей силы (ЭДС), ~ непотенциальная обобщенная сила, соответствующая к-оп обобщенной координате, F = i1 RH2 - электрическая диссипативная функция, R - симметричная положительно определенная матрица сопротивлений.

Постоянные магниты заменяем электромагнитами, содержащими один виток с постоянным током. Величину этого тока определяем, исходя из равенства величин энергии магнитного поля постоянного магнита и эквивалентного электромагнита.

Энергию магнитного поля можно записать в виде

W = ^iTLi + !TM(q)i + ^ITLaI, (1)

где / = (/,,...,/ ) - заданные и постоянные контурные токи, создающие поле постоянных магнитов, i = (/ ,...,(,„) - вектор токов в фиктивных контурах, связанных с проводящими телами, L, L„ ~ матрицы коэффициентов само- и взаимоиндукций контуров с токами i и I соответственно, М(с/) - прямоугольная матрица размерности р х т коэффициентов взаимной индукции контуров токов / и / .

Далее в работе рассматривается ряд модельных задач о прохождении проводника вдоль постоянных магнитов, в том числе и изображенная на рис. 1.

\

Рис. 1. Модельная задача 1 - проводящее тело, 2 - постоянные магниты Проводящее тело 1 движется в направлении вдоль постоянных магнитов 2. Магнитная система состоит из четырех магнитов, причем полярность выбрана так, что напротив друг друга расположены противоположные полярности. Постоянные магниты в цепочке имеют чередующиеся полярности. Поперечные размеры проводника и постоянных магнитов равны. Длина магнита равна а, а высота - /.

Заменяем проводящее тело контуром с активным сопротивлением К и током Л Энергия магнитного поля для системы с учетом Ф = М1 будет равна

1

(2)

]У=-Ц2+ Ф/, 2

где £ - индуктивность контура, Ф - магнитный поток для контура, который равен

О, дг < О

ВБх/а, 0 <х<а

Ф(л) = ВБГ(х) = • В.ф -2x1 а), а < х < 2а ,

В5(х/я-3), 2а< х < За

О, 3а < х

где В - индукция в зазоре между проводящим телом и постоянными магнитами, 5 площадь поперечного сечения контура.

Уравнения Лагранжа-Максвелла для рассматриваемой системы:

• 0Ф ¿/'+—х+Ш = 0

дх

.. 5Ф. „

тх--1 = О.

дх

(3)

(4)

Начальные условия имеют вид

*(0) = 0, д'(0) = V, 1(0) = 0. (5)

Полагаем, что нарастание тока в контуре до максимального значения происходит практически мгновенно, т.е. предполагаем, что индуктивность проводящего контура

равна нулю. Тогда из уравнения (3) можно выразить ток и подставить в уравнение (4). В результате получим уравнение движения проводящего контура:

.. 1 , . „

тх л—(-) х = 0.

Я дх

(6)

Подставив выражение для магнитного потока, получим тх+ В212х/Я = 0 (0<х<а,2а<х<3а)ч тх + 4В212хШ =0 (а<х<2а). (7)

Из уравнений (7) следует, что наличие чередующихся полюсов увеличивает силу торможения в четыре раза по сравнению с однополюсной системой.

Вторая глава диссертации содержит результаты исследования динамики вихретокового замедлителя, предложенного в диссертации Ободовского (см. рис. 2).

I

Рис. 2. Схема вихретокового замедлителя 1 - постоянные магниты, 2 - кронштейн, 3 - рельс, 4 - колесо, 5 - шпала Вихретоковый замедлитель состоит из постоянных магнитов 1, закрепленных на кронштейнах 2 вблизи головки рельса 3 по обе его стороны. Между магнитами 1 и ободом колеса 4 имеется некоторый воздушный зазор. Полярность магнитов выбрана так, что напротив друг друга оказываются противоположные полюса.

В работе Ободовского получено также и уравнение движения вагона вдоль пути, оснащенного вихретоковым замедлителем, без учета индуктивности контура:

тх + — [(-!-)- +(--) +(—-)"]* = 0,

Я дх дх дх

(8)

где т - масса вагона, координата х определяет положение вагона, Л - сопротивление контура, Ф: - магнитный поток, пронизывающий г'-ый контур.

Как и в работе Ободовского были приняты следующие параметры: угол сектора в = ж 16, радиус колеса Як =0.5 м, В = 0.3 Тл, /? - КГ' Ом, то есть из семи параметров системы четыре являются заданными, а три (т - масса вагона, р - число пар полюсов в магнитной шине, 1'0 - начальная скорость вагона) меняются.

Результаты численного интегрирования представлены на рис. 3.

т = 40000 кг, V,, = 5 м/с, р = 6 т = 80000 кг, V,, = 5 м/с, р = 6

т = 40000 кг, у„ = 10 м/с, р = 6 «г = 40000 кг, г0 = 5 м/с, = 12

Рис. 3. Результаты численного интегрирования Результаты численного интегрирования показывают, что изменение скорости Ду обратно пропорционально массе вагона, мало зависит от величины начальной скорости и определяется числом пар полюсов. Это означает, что вихретоковый замедлитель ведет себя как элемент линейного вязкого трения, т.е. торможение вагона может быть описано следующим уравнением:

х + рх = 0, (9)

где обобщенный коэффициент линейного вязкого трения Р » Ду/(г0/п), /(| - время прохождения колеса через замедлитель.

В связи с этим может быть предложен алгоритм управления процессом торможения вагона. Вдоль пути устанавливаются вихретоковые замедлители и датчики скорости перед замедлителем и за ним. По измеренным скоростям перед и за первым замедлителем вычисляется обобщенный коэффициент вязкого трения, а затем определяется, какие из замедлителей должны быть отключены для остановки вагона в заданной точке сортировочной станции.

В работе также показывается, что проскальзывание колес возможно лишь при высоких скоростях вагона, например в остановочном тупике. При проскальзывании колес эффективность торможения вагона по крайне мере не ухудшается.

Третья глава диссертации посвящена исследованию принципиально новой схемы торможения подвижного состава железнодорожного транспорта (рис. 4).

Рис. 4. Схема вихретокового дискового тормоза 1 - вал, 2 - колесо, 3 - диск, 4 - статор, 5 - магниты Дисковый тормоз состоит из диска 3, закрепленного на валу 1, вращающегося вместе с колесами 2, и статоров 4, установленных по обе стороны диска и оснащенных магнитами 5. Магниты располагаются по окружности статора, причем полярность их чередуется в окружном направлении. Полярность магнитов выбрана так, что напротив друг друга оказываются противоположные полюса. Радиусы статора и диска равны. Включение тормоза производится путем уменьшения зазора между статором и диском.

Расчет с помощью программной системы конечно-элементного анализа ЛЫЗУБ показал, что магнитное поле в зазоре между магнитами и тормозным диском можно считать равномерно распределенным в пределах одного полюса (см. рис. 5).

Рис. 5. Распределение компоненты вектора магнитной индукции Вх

посередине воздушного зазора 1 - метод конечных элементов, 2 - используемое при решении задачи

Также как и в первой главе, распределенные вихревые токи заменяем тонкими проводящими контурами, а постоянные магниты - на витки с токами. Размер контура совпадает с размером магнита.

Так как внутренний радиус мало отличается от внешнего радиуса, этот контур представляет собой фактически прямоугольник. Все проводящие контуры одновременно взаимодействуют со всеми магнитами. Как проводящее кольцо, так и магнитную шину статоров представим в виде цепочек, составленных из прямоугольников (рис. 6).

Л

:___

>~1

Рис. 6. Представление магнитной шины н проводящего кольца 1 - проводящий диск, 2 - постоянные магниты Направления эквивалентного тока у двух соседних постоянных магнитов будут противоположными, так как полярность меняется в окружном направлении.

За обобщенную механическую координату .V выберем положение первого контура в окружном направлении. Длину магнита обозначим а, число пар полюсов 2и, радиус диска - г, радиус колеса - /?к, массу вагона - М . Энергия магнитного поля равна

1Г = -£п2 +!(-] ^"'ВЛ^Ос), (10)

2 *-1 1

где /,. - ток в Аг-ом контуре (обобщенные электрические координаты), Ь -индуктивность контура, В - индукция магнитного поля в зазоре, 5 = о/ - площадь поперечного сечения контура, I - высота магнита, функция Р(х) изображена на рис. 7.

Рис. 7. График функции /г(дг) 9

Уравнения Лагранжа-Макевелла для рассматриваемой системы имеют вид

Lit + Ri,,=(-\)kBS—x,k = \&i (11)

дх

mx-BS—2t(- 1)'Ч=0, (12)

дх

где R - сопротивление контура, т = M(Rt / г)2 - приведенная масса вагона.

В системе уравнений (II) - (12) можно выделить процессы трех масштабов времени. Самый медленный процесс - торможение вагона. На порядки быстрее -прохождение одного контура по одному полюсу, его характеризует механическая постоянная времени тм. Еще более быстрый процесс - нарастание тока контура при прохождении вдоль магнита; ему соответствует электрическая постоянная времени гэ. Ток в контуре меняет свое направление от полюса к полюсу, так как полярность магнитов чередуется. Постоянные времени равны

гм =а/х, гэ = LI R, гм /гэ ~ n/v„, (13)

где v0 - начальная скорость вагона.

Если пренебречь индуктивностью проводящего контура, то первые 2п дифференциальных уравнений превращаются в алгебраические, из которых можно выразить токи через обобщенную скорость. Данные токи подставляем в последнее уравнение из системы. В результате получаем уравнение движение вагона под действием вихретокового дискового тормоза без учета индуктивности проводящего контура:

v + /?v = 0, (14)

%В~1п hУ АВ2У„ -к*

где v - скорость вагона, р =--— -- - обобщенный коэффициент

pMR~ pm

вязкого трения, /;л - толщина диска, р - удельное сопротивление, Vl:Kh. - объем части диска, который заменяется проводящими контурами. В уравнении (14) учтено, что дисковый тормоз устанавливается на всех четырех колесных парах вагона.

В системе уравнений (11)-(12) можно выделить медленно (скорость вагона) и быстро (токи в контурах) меняющиеся переменные. Такие системы были проанализированы В.М. Волосовым и Б.И. Моргуновым.

Уравнения с быстрыми переменными (11) решаем, полагая х = const. Найденные токи из уравнений (11) подставляем в уравнение (12) с медленной переменной. Находим решение уравнения (12), а затем его осредняем по времени прохождения контура по полюсу.

В результате с учетом индуктивности проводящего контура для механической координаты получаем уравнение движения:

!-ехр(-^)

х + Д1 —^-= о, (15)

г" 1 + ехр(-—)

которое нелинейно, так как в механическую постоянную времени по формуле (13) входит сама неизвестная.

На рис. 8 приведено численное решение уравнения (15) при различном числе полюсов.

- -п=60 - - п=60

„ООО - 11=30 «о»» -11=30

Рис. 8. Процесс торможения вагона при различном числе полюсов Из рис. 8 видно, что эффективность торможения существенным образом зависит от числа пар полюсов. Увеличение числа полюсов одной полярности с 30 до 60 приводит к уменьшению длины тормозного пути на 24%.

Отметим, что учет индуктивности (15) приводит к увеличению тормозного пути на 10% по сравнению с полученным при решении уравнения (14) (у,,=30 м/с). С увеличением скорости вагона отличие величины тормозного пути, полученного без и с учетом индуктивности контура, растет. Так для начальной скорости вагона равной 10 м/с разница составляет 4%, для 30 м/с - 10%, для 50 м/с - 20%.

Таким образом, учет индуктивности необходимо производить при высоких скоростях подвижного состава железнодорожного транспорта, так как с ростом скорости время прохождения одного контура вдоль одного полюса уменьшается и вихревой ток не успевает нарасти до максимально возможной величины.

При малых скоростях вагона учет индуктивности можно не производить, так как графики изменения скорости вагона и длина тормозного пути в этом случае очень

похожи. Это обстоятельство позволяет для вихретокового замедлителя на сортировочной станции не учитывать индуктивность проводящего контура.

Формулу для тормозящей силы из (15) можно свести к известной в литературе:

полагая, что отношение гд( / гэ велико.

Помимо числа пар полюсов на эффективность торможения влияет увеличение радиуса тормозного диска. В качестве варианта конструктивного исполнения вихретокового тормоза с диском большого радиуса предлагается вместо одного диска установить два, причем магниты располагаются только в верхней половине статора. При увеличении радиуса диска магниты не будут приближаться к земле. Как крайний вариант увеличения радиуса диска - использование колес в качестве тормозных дисков.

Такая расстановка магнитов помимо повышения неповреждаемости магнитов позволяет расположить систему охлаждения нижней части диска. Так как диск вращается, диск будет периодически охлаждаться. С помощью программной системы конечно-элементного анализа ДЫБУв было показано, что при торможении максимальная температура диска поднимается не более, чем на 35 °С по сравнению с температурой окружающей среды.

В четвертой главе диссертации рассматриваются системы с постоянными магнитами для торможения лифта в случае аварии.

Предлагается для торможения падающего лифта принципиально новая схема с применением постоянных магнитов (рис. 9).

1 + ау

Рис. 9. Принципиальная схема установки для торможения лифта в случае аварии 1 - постоянные магниты, 2 - система торможения, 3 - полоса, 4 - шахта лифта, 5 — кабина лифта 12

К кабине 5 крепится магнитная система 2, состоящая из 4п магнитов 1, причем полярность их чередуется в вертикальном направлении. Полярность магнитов выбрана так, что напротив друг друга оказываются противоположные полюса. К шахте лифта 4 устанавливается полоса 3 из проводящего материала. В случае аварии система из постоянных магнитов 2 приближается к полосе 3, в которой наводятся вихревые токи.

Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что потенциальная энергия системы является функцией от обобщенной механической координаты. При этом магнитная система вместе с лифтом перемещается вниз, поэтому контуры полоски, начиная с первого, поочередно перестают с ней взаимодействовать.

Анализ показал, что после соответствующих замен формула энергии магнитного поля во всех временных промежутках имеет один и тот же вид.

При тех же обозначениях в результате получаем следующую систему уравнений:

Ы,+ ВБ—х + т[ =0, а

¿/' + (-1 + =0, к = 2^п,

а

, (16)

I/:,„! +55-д• + Л/1(К| =0, а

тх-й5{-/, + 1(-1)'-'-1, +-/,,„,}-»»£ = 0. а 1=2 а а

При решении системы (16) без учета индуктивности проводящих контуров уравнение движения лифта при обрыве троса под действием предложенной системы торможения с постоянными магнитами будет иметь вид

у + ру-£ = 0, (17)

где [} обобщенный коэффициент линейного вязкого трения вычисляется по формуле:

„ Я253( 8и-2) Д2О/Л„(2Л-0.5) В2Ут,т,

р =-—---«-. (1«)

а Кт рт рт

Из уравнения (17) видно, что с течением времени скорость лифта становится постоянной величиной, равной .

Чем больше /?, тем меньше разгонится лифт при разрыве троса. Величина линейного вязкого трения прямо пропорциональна общей площади всех магнитов. Число магнитов должно быть достаточно большим, чтобы выполнялось условие мгновенного нарастания тока в контуре (см. формулу (13)).

Сравнение обобщенных коэффициентов вязкого трения для падающего лифта и вагона железнодорожного транспорта показывает, что они имеют одинаковую

структуру. Обобщенный коэффициент вязкого трения для лифта не пропорционален величине объема взаимодействующей проводящей полосы из-за того, что сила взаимодействия контура на входе-выходе с магнитной системой в четыре раза меньше, чем в середине (см. формулу (7)).

При параметрах модели ш = 1000кг, В = 0.3Тл, р -0.2■ 10 Ом■ м , / = 0.125м, а = 0.025 м, /г„ = 0.01м, п = 50 коэффициент обобщенного вязкого трения равен 1.4 1/с, при этом установившаяся скорость равна 7.1 м/с.

Можно для системы уравнений движения падающего лифта под действием системы торможения с постоянными магнитами учесть нарастание тока в контуре до максимального значения аналогично тому, что было проделано в третьей главе.

В результате получатся аналогичное (15) уравнение для скорости лифта. Численное решение данного уравнения показывает, что установившаяся скорость равна 8.2 м/с, что на 15% больше, чем без учета индуктивности.

Для дополнительного торможения можно использовать устройство, содержащее постоянные магниты (см. рис. 10). Такую конструкцию можно назвать линейной магнитной муфтой.

К шахте лифта 4, на высоте примерно 0.5 м, прикрепляется цепочка постоянных магнитов 2, полярность которых меняется в вертикальном направлении. К кабине лифта 3 прикрепляется такая же цепочка постоянных магнитов 1, ко с противоположной полярностью. Число постоянных магнитов в цепочке 2п+1, нечетное.

Отличие данной конструкции состоит в том, что отсутствуют проводящие контура, поэтому остается лишь уравнение движения для механической координаты. В данной системе появляется еще одна сила, которой раньше не было, -сила, появляющаяся вследствие гистерезисного перемагничивания постоянных магнитов при их взаимном перемещении.

Уравнение движения лифта под действием магнитной муфты:

д: + 2«,.\:-я-ф-]5 = 0, (19)

где 2и, = Ыт, Э = 1ВИт, с[2/-1] = 2/-1, с[2г] = -с[2/ -1], / = 0,2/7 + 1, г. (/' - \)а < х < ¡а, Ь - коэффициент, характеризующий степень взаимного перемагничивания.

Использование линейной магнитной муфты не может стабилизировать скорость: приращение скорости лифта после взаимодействия с магнитной системой составляет 2 м/с. Это связано с тем, что магнитная муфта создает тормозное усилие не во всем временном промежутке, и в какой-то момент происходит увеличение скорости лифта.

Выполненные в диссертации расчеты показали, что совместное применение вихретокового тормоза с магннтной муфтой позволяет уменьшить стабилизированный уровень лишь до 6.2 м 'с.

Таким обра ¡ом. применение линейной магннтной муфты следует признать нецелесообразным. При одинаковой массе магнитов вихретоковое торможение существенно эффективнее по сравнению с использованием линейной магнитной муфты.

В заключении отражены оснопные результаты диссертационной работы, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. При решении задачи о прохождении проводящего тела вдоль магнитной системы выбирается основной элемент торможения машин - цепочка постоянных магнитов с чередующейся полярностью, установленных по обе стороны движущегося тела.

2. Все рассмотренные тормозные системы с постоянными магнитами, за исключением линейной магннтной муфты, без учета индуктивности ведут себя как элементы вязкого трения. Эффективность торможения зависит от квадрата величины индукции магнитного поля в зазоре, обратно пропорциональна массе движущегося тела, прямо пропорциональна объему проводящего тела, в котором наводятся вихревые токи.

3. В случае проскальзывания колес эффективность торможения вихретоковым замедлителем не уменьшается.

4. Предложена принципиально новая схема вихретокового дискового тормоза, дается теоретическое обоснование работоспособности данного устройства. Показано, что при больших скоростях движения необходимо учитывать влияние индуктивности цепи вихревого тока на величину силы торможения. Получена более общая формула для оценки электродинамической силы по сравнению с имеющейся в литературе.

5. Проведен тепловой расчет по определению нагрева диска при включении вихретокового тормоза и уточнено магнитное поле зазора с помощью программной системы конечно-элементного анализа ЛЫЗУЭ.

6. Предложена принципиально новая схема торможения лифта в случае обрыва троса. При этом скорость лифта выходит на установившийся уровень. Проведена оценка значения стабилизированной скорости.

7. Рассмотрена линейная магнитная муфта, использующая демпфирование, связанное с гистерезисным перемагничиванием. Показано, что ее использование нецелесообразно. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Озолнн, АЛО. Исследование процесса торможения с помощью внхретокового замедлителя [Текст]: XXXIV Неделя науки СПбГПУ: Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. / А.Ю. Озолин, J1.B. Штукин. - СПб.: Пзд-во Политехнического ун-та, 2006. - Ч. IV. -С. 80-82.

2. Озолин, А.Ю. Исследование процесса торможения с помощью внхретокового дискового тормоза [Текст]: XXXV Неделя науки СПбГПУ: Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. / А.Ю. Озолин, JI.B. Штукин. - СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2007. - Ч. IV. -С. 110-112.

3. Озолин, А.Ю. Оценка нагрева диска внхретокового тормоза [Текст]: XXXV Неделя науки СПбГПУ: Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. / А.Ю. Озолин, Л.В. Штукин. - СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2007. - Ч. IV. - С. 112-114.

4. Озолин, А.Ю. Вихретоковый рельсовый тормоз [Текст]: Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах. / А.Ю. Озолин, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2007. - С. 231

5. Озолин, А.Ю. Исследование внхретокового тормоза падающего лифта [Текст]: Наука и инновации в технических университетах: Материалы Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. / А.Ю. Озолин, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2008. - С. 10

6. Озолин, А.Ю. Исследование внхретокового дискового тормоза [Текст] / А.Ю. Озолин, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2008. - №4. - С. 83-86.

7. Озолин, А.Ю. Способы торможения падающею лифта с помощью постоянных магннтов [Текст] / А.Ю. Озолин, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - №6. - С. 82-86.

8. Озолин, А.Ю. Уточнение магнитного поля внхретокового дискового тормоза

[Текст]: XXXVII Неделя науки СПбГПУ: Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. / А.Ю. Озолин, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин. - СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2008. - Ч. V. -С. 69-71.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 23.10.2009. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 5074Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение.

1. Описание торможения систем с постоянными магнитами.

1.1. Уравнения Лагранжа-Максвелла для описания динамики электромеханических систем.

1.2. Уравнения Лагранжа-Максвелла для описания электромеханических систем с постоянными магнитами.

1.3. Принцип действия электродинамического торможения.

1.4. Прохождение проводника вдоль пары постоянных магнитов.

1.5. Прохождение проводника вдоль цепочек постоянных магнитов.

1.6. Выводы.

2. Динамика вихретокового замедлителя.

2.1. Уравнения движения вагона под действием вихретокового замедлителя.

2.2. Результаты численного интегрирования.

2.3. Вихретоковый замедлитель — элемент линейного вязкого трения.

2.4. Движение вагона при проскальзывании колес.

2.5. Вариант расстановки магнитов в вихретоковом замедлителе.

2.6. Алгоритм управления процессом торможения вагона.

2.7. Выводы.

3. Динамика вихретокового дискового тормоза.

3.1. Виды тормозов для железнодорожного транспорта.

3.2. Вихретоковый дисковый тормоз.

3.3. Уравнения движения вагона при включении дискового тормоза.

3.4. Определение индуктивности проводящего контура.

3.5. Определение сопротивления проводящего контура.

3.6. Оценка характерных величин системы.

3.7. Уравнение движения поезда без учета индуктивности.

3.8. Изменение тока в контуре при прохождении вдоль одного магнита.

3.9. Установившийся режим.

3.10. Уравнение движения поезда с учетом индуктивности.

3.11. Уточнение магнитного поля для вихретокового дискового тормоза.

3.12. Варианты дискового тормоза.

3.13. Оценка нагрева диска вихретокового тормоза.

3.14. Рельсовый тормоз.

3.15. Выводы.

4. Способы торможения падающего лифта с помощью постоянных магнитов.

4.1. Торможение лифта при разрыве троса.

4.2. Уравнение движения падающего лифта при включении тормоза из постоянных магнитов.

4.3. Линейная магнитная муфта для торможения падающего лифта.

4.4. Выводы.

Торможению машин и механизмов посвящена обширная литература, например [1,2]. Однако все многообразие тормозных устройств можно разделить по принципу возникновения тормозящей силы на две группы.

Рассмотрим их кратко.

В первой группе, самой многочисленной, сила возникает в результате механического контакта неподвижной и подвижной частей машин. В результате энергия движения поглощается и преобразуется в тепловую.

Такие тормоза называют фрикционными.

Во второй группе торможение осуществляется без механического контакта за счет взаимодействия электрических или магнитных полей.

Первую группу тормозов можно классифицировать по следующим признакам:

1. по конструктивному исполнению рабочих элементов (колодочные, ленточные, дисковые, конические, рельсовые);

2. по характеру приводного усилия (нормально закрытые, нормально открытые, комбинированные);

3. по принципу действия (автоматические, управляемые);

4. по типу привода (электромагнитный, электрогидравлический, электромеханический, объемный гидравлический, пневматический, механический) и т.д.

Во второй группе в качестве источника магнитного поля могут использоваться электромагниты или постоянные магниты. Такой способ торможения называется электродинамическим (вихретоковым).

Важнейшим достоинством электродинамического способа торможения является отсутствие механического контакта между частями машин. Это позволяет решить проблему повреждаемости тормозной системы.

В данной работе исследуется электродинамическое торможение машин с помощью систем с постоянными магнитами.

История применения постоянных магнитов в технических устройствах началась с открытия Фарадеем явления электромагнитной индукции: он обнаружил появление тока в контуре, движущемся по отношению к магниту или по отношению к другому контуру с током. Заставив вращаться алюминиевый или медный диск между полюсами магнита, Фарадей наложил на ось диска и на его периферию щетки. Таким образом, была сконструирована электрическая машина, получившая позднее наименование униполярного генератора.

Начиная с 1832 года, различные исследователи предлагали целый ряд оригинальных конструкций электрических машин с постоянными магнитами. Однако спустя некоторое время эти машины были полностью вытеснены машинами с электромагнитным возбуждением. Это объясняется тем, что по энергетическим и массогабаритным показателям постоянные магниты долгое время значительно уступали электромагнитам.

Материалы и технология производства постоянных магнитов были еще несовершенными. Начало XX века характеризуется применением для постоянных магнитов вольфрамовой, хромовой и кобальтовой сталей, обладающих высокими значениями остаточной индукции, но недостаточной коэрцитивной силой и, естественно, незначительной удельной энергией.

Тридцатые годы XX века характеризуется разработкой сплавов альнико (А1-№-Со - алюминий, никель, кобальт) и кунифе (Си-М-Бе - медь, никель, железо) с высокими значениями удельной энергии, так как они обладают большими значениями остаточной индукции и коэрцитивной силы. Появление таких сплавов расширило область применения магнитов, обеспечив их появление в поляризованных реле и других устройствах автоматики и связи.

В 70-е годы началось промышленное внедрение высокоэнергетических магнитов на основе интерметаллических соединений кобальта с редкоземельными элементами - самарием, лантаном и другими. Такие магниты имеют высокую стоимость и сложную технологию производства. Однако по своим свойствам они превосходят другие марки магнитов (остаточная индукцияВг = 0.8 ч-0.9 Тл, коэрцитивная сила

Нс - 500 ч- 600 кА/м, удельная энергия магнита \¥тйх = 55 ч-70 кДж/м3). [3] Такие магниты обладают высокими значениями намагниченности насыщения и коэрцитивной силы, термической стабильностью, а также устойчивостью по отношению к процессам коррозии. В то же время из-за высокой цены самария и кобальта их широкое применение в настоящее время затруднено.

В последние годы разрабатывается технология производства менее дорогих магнитов на основе соединения Ыс1-Ре-В (неодим-железо-бор). Такие магниты обладают наилучшими свойствами (5,. = 1.0 ч-1.2 Тл,

Нс = 600 -г-900 кА/м, !Гтах =75^135 кДж/м3) [3]. Магнитная проницаемость постоянных магнитов, как и ферритов, близка к магнитной проницаемости воздуха {/л - 1.1ч-1.3^0), где //0— магнитная постоянная, равная 4л"-10"7—. Удельное электрическое сопротивление постоянных м магнитов достаточно велико и составляет р - (0.5 ч-1.8) • 10б Ом-м. Для сравнения удельное электрическое сопротивление меди почти на два порядка меньше р = 0.02-106 Ом-м. Таким образом, постоянные магниты обладают большим магнитным и электрическим сопротивлением.

Материалы сплава №-Ре-В можно намагничивать без арматуры, так как кривая возврата из рабочей точки магнита без арматуры почти совпадает с кривой размагничивания материала. Для постоянных магнитов Кё-Ре-В не требуется проводить намагничивание в магнитной системе после ее сборки.

В связи с появлением таких сплавов в области электрических машин, где потери на возбуждение составляют более 50 % всех потерь, электромагниты практически полностью вытеснены постоянными магнитами.

Существенным недостатком постоянных магнитов является их чрезвычайно высокая твердость, значительная хрупкость, склонность к трещинообразованию и подверженность коррозии. Для борьбы с коррозией необходимо использовать антикоррозионные покрытия (никель, цинк, кадмий, олово, полимеры и т.д.), герметичные корпуса и т.д. Вследствие невысокой механической прочности применение постоянных магнитов без специальной арматуры ограничено линейной скоростью до 50 м/с. Также следует отметить чувствительность постоянных магнитов к нагреванию. Рабочие температуры, при которых сохраняются магнитные свойства, не превышают 150 200° С.

Развитие постоянных магнитов за XX век показало, что почти каждое десятилетие появлялись все новые сплавы. При этом их свойства улучшались. Для постоянных магнитов Ыс1-Ре-В теоретический предел значения удельной энергии еще не достигнут. Следует ожидать в ближайшие десятилетия появления новых магнитотвердых материалов, постоянные магниты из которых будут обладать следующими свойствами: при минимальных размерах создают максимальное магнитное поле, обладают высоким значением точки Кюри, стабильны при воздействии внешних магнитных полей, просты в изготовлении и недороги.

Срок службы высокоэнергетических постоянных магнитов на сегодняшний день составляет 20 + 25 лет и более. Высокое значение коэрцитивной силы делает такие устройства практически нечувствительными к воздействию внешних магнитных полей. Функциональные параметры обеспечиваются без механического контакта. Таким образом, можно создать тормозные устройства машин и механизмов с принципиально новым набором характеристик, которые недостижимы при чисто механическом подходе.

Электродинамическое торможение в течение длительного времени (с 1929 года) [4] широко используется в горочных замедлителях. Например, с 1979 года фирма (Германия) выпустила 161 электродинамический замедлитель OBW79 для 12 сортировочных горок. Электродинамические тормоза-замедлители (горный тормоз) обязательны к использованию на большегрузных автомобилях и автобусах во Франции, Германии и Швеции. В Японии такие тормоза применяются на городских и пригородных автобусах.

В 2000 году в Читинской области около станции Седловая был установлен замедлитель с постоянными магнитами длиной 20 м для аварийного тупика. Он функционировал до 2007 года.

Поезд ICE 3 является первым серийным поездом железных дорог Германии (DBAG), оборудованный линейным вихретоковым тормозом [5].

Тормозящее действие вихревых токов используется в измерительных приборах для успокоения колебаний стрелок измерительного механизма [6].

Описание электродинамического торможения машин системами с постоянными магнитами практически не встречается в научных исследованиях. Например, в работе [7] описание процесса электродинамического торможения основывается преимущественно на экспериментальных результатах, либо на эвристических предположениях того или иного толка. В работе [8] рассматривается динамика вихретокового (электродинамического) замедлителя для вагонов на сортировочной станции. В работах [9-12] рассматривается описание торможения вагонов системами электромагнитов.

В данной работе исследуется торможение машин системами с постоянными магнитами - для вагонов подвижного состава железнодорожного транспорта и лифта в случае аварии.

Автотормозная техника является одним из важнейших элементов железнодорожного транспорта, от уровня развития и состояния этой техники в значительной мере зависит пропускная способность дорог и безопасность движения поездов. Значение автотормозной техники все больше возрастает по мере повышения максимальных скоростей движения и увеличения веса поездов. Существующие тормозные системы требуют постоянного ремонта и замены, поэтому для железнодорожного транспорта всегда актуально улучшение существующих систем тормозов или принципиально новые схемы торможения, что и нашло отражение в диссертации.

Для торможения лифта в случае аварии в настоящее время используются лишь клиновые ловители, которые не всегда срабатывают во время обрыва троса.

Существуют различные подходы к исследованию динамики электромеханических систем с распределенными вихревыми токами.

Первый подход связан с совместным решением электродинамической (уравнений Максвелла) и механической задачи, где искомые вектора напряженности магнитного и электрического поля являются функциями координат точки в трехмерном пространстве. Имеется обширная литература по этому подходу, обзор этого направления приведен в работе [13]. В общей постановке решение такой проблемы является чрезвычайно сложной для теоретического исследования. Точное решение этих уравнений даже при упрощенной конфигурации области, занимаемой проводящим телом и магнитной системой, не представляется возможным. Возможно получение решений с применением численных методов типа метода конечных элементов (МКЭ), широко применяемого при решении задач механики сплошной среды. Однако даже наиболее известные и широко применяемые пакеты (например, программная система конечноэлементного анализа АИБУЗ), пока не приспособлены к решению электродинамических задач при наличии вихревых токов. Для оценки влияния параметров системы необходимо провести серию численных экспериментов, которая приведет к чрезвычайно трудоемкому расчету. В данной диссертационной работе МКЭ будет использован для уточнения магнитного поля системы и проведения теплового расчета. То есть численное решение будет служить инструментом для получения данных, необходимых для аналитического исследования.

Помимо целиком численного подхода к решению задачи динамики электромеханических систем активно разрабатываются приближенные методы анализа и расчета. Так, например, в работе [13] разработан метод асимптотического расщепления связной задачи расчета поля и движения проводящего твердого тела в двух крайних случаях: высокочастотного и квазистатического магнитного поля.

Другой подход к исследованию электромеханических систем, который используется в данной работе, основан на дискретном описании электромагнитного поля путем представления распределенных вихревых токов в виде конечно- или бесконечномерной системы проводящих контуров [14]. При таком описании векторы магнитной индукции В и напряженности электрического поля Е выражаются через конечное или счетное множество других скалярных величин - эффективных зарядов и контурных токов, аналогичных обобщенным координатам и скоростям. Для такого описания достаточно выполнения условий квазистационарности, состоящих в том, что можно не учитывать электромагнитные волны, порожденные движением зарядов. В результате сплошной массив проводящего твердого тела по существу заменяется системой индуктивно взаимосвязанных токовых контуров. Дальнейшее решение связной электромеханической задачи проводится на основании дискретной модели, позволяющей применить для описания ее динамики уравнения Лагранжа-Максвелла. Данный подход позволяет получить систему дифференциальных уравнений, при этом не требуется параллельно с интегрированием движения проводящего тела решать краевую задачу для уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле. Этот подход и был использован в данной работе для составления уравнений движения машин под действием тормозных систем с постоянными магнитами.

В первой главе описывается более подробно данный подход для описания динамики электромеханических систем, в том числе и с постоянными магнитами, приводятся основы электродинамического торможения.

Вторая глава посвящена вихретоковому замедлителю из [8]. Взяв за основу конструкцию, выведенные уравнения движения и параметры системы, рассматривается продолжение данной задачи.

В третьей главе предлагается и исследуется принципиально новая схема торможения вагонов подвижного состава железнодорожного транспорта — вихретоковый дисковый тормоз.

В четвертой главе анализируются возможные способы торможения падающего лифта системами с постоянными магнитами.

Результаты исследования говорят о том, что целесообразна дальнейшая разработка предложенных в данной главе технических устройств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе проведено исследование электродинамического торможения машин с постоянными магнитами — для вагонов железнодорожного транспорта и лифта в случае аварии.

2 Использован подход к решению задач динамики электромеханических систем, основанный на дискретном описании электромагнитного поля путем представления распределенных вихревых токов в виде конечной системы проводящих контуров. При этом постоянные магниты заменяются витками с токами.

3. На примере модельной задачи о прохождении проводящего тела вдоль магнитной системы выбирается основной элемент торможения машин -цепочка постоянных магнитов с чередующейся полярностью, установленные' по обе стороны движущегося тела.

4. Приведены результаты численного интегрирования уравнения движения вагона вдоль пути, оснащенного вихретоковым замедлителем.

5. Вихретоковый замедлитель ведет себя как элемент линейного вязкого трения.

6. В случае проскальзывания колес эффективность торможения с помощью вихретокового замедлителя не уменьшается.

7. Предложен алгоритм управления процессом торможения вагона на сортировочной станции.

8. Предложена принципиально новая схема вихретокового дискового тормоза.

9. Выведены уравнения движения поезда под действием вихретокового дискового тормоза. При малых скоростях движения вихретоковый дисковый тормоз представляет собой линейный вязкий элемент трения. При больших скоростях движения необходимо учитывать влияние индуктивности цепи вихревого тока на величину силы торможения. Учет индуктивности уменьшает эффективность торможения.

10. Для уменьшения длины тормозного пути необходимо увеличивать число пар полюсов и радиус диска.

11. Проведен тепловой расчет по определению нагрева диска при включении вихретокового тормоза.

12. Проведена проверка предположения о равномерности распределения магнитной индукции в зазоре между постоянными магнитами и движущемся телом.

13. Для тормозящей силы получена более общая формула по сравнению с имеющейся в литературе.

14. Предложена принципиально новая схема торможения лифта в случае обрыва троса. На основе подхода замены распределенных вихревых токов проведено решение задачи движения лифта в случае разрыва троса при включении тормоза. При этом скорость лифта выходит на установившийся уровень. Проведена оценка значения стабилизированной скорости.

15. Все рассмотренные тормозные системы с постоянными магнитами, за исключением линейной магнитной муфты, без учета индуктивности ведут себя как элементы вязкого трения. Эффективность торможения зависит от квадрата величины индукции магнитного поля в зазоре, обратно пропорциональна массе движущегося тела, прямо пропорциональна объему проводящего тела, в котором наводятся вихревые токи.

16. Предложена схема включения системы торможения с постоянными магнитами в случае обрыва троса лифта.

17. Рассмотрена линейная магнитная муфта, использующая демпфирование, связанное с гистерезисным перемагничиванием. Показано, что ее использование нецелесообразно.

1. Тормозные устройства Текст.: справочник / М.П. Александров [и др.]. — М.: Машиностроение, 1985. 312 с.

2. Агафонов, М. И. Тормозной справочник Текст.: монография / М.И. Агафонов, В.И. Крылов, А.Н. Перов. М.: Трансжелдориздат, 1948. -448 с.

3. Куневич, А.В. Ферриты Текст.: энциклопедический справочник. В 5 томах. / А.В. Куневич, А.В. Подольский, И.Н. Сидоров. СПб.: Информационно-издательское агентство «ЛИК», 2004. — Т1. — 358 с.

4. Магнитоэлектрический вагонный замедлитель Текст. // Железные дороги мира. 1997. - №10. - С. 55-58

5. Meier-Credner, W.-D. Линейный вихретоковый тормоз поезда ICE3 Текст. / W.-D. Meier-Credner // Железные дороги мира. 2003. - №1. - С. 4550.

6. Жданов, Л.С. Учебник по физике для средних специальных учебных заведений Текст.: учеб. пособие / Л.С. Жданов. М.: Наука, 1975. - 592 с.

7. Рельсовые тормоза на постоянных магнитах. / Д.Э. Карминский и др.. // Вестник ВНИИЖТ. 1972. - №8. - С. 42-45.

8. Ободовский, Ю.В. Динамика электромеханических устройств с постоянными магнитами Текст.: дис. канд. техн. наук: 01.02.06 / Ю.В. Ободовский. СПб., 2004. - 110 с.

9. Wang, P.J. Analysis of eddy-current brakes for high speed railway Text. / P.J. Wang, S.J. Chiueh // IEEE Transactions on Magnetics. 1998. - v.34, No. 4. -pp. 1237-1239.

10. Bigeon, J. Analysis of an electromagnetic brake. Text. / J. Bigeon, J.C. Sabonnadiere // Electric Machines and Power Systems. 1985. - vol.10. -pp. 285-297

11. Bigeon, J. Finite element analysis of an electromagnetic brake. Text. / J. Bigeon, J.C. Sabonnadiere, J.L. Coulomb // IEEE Transactions on Magnetics. -1983.-vol.19, No. 6. pp.2632-2634

12. Балон, JI.B. Электромагнитные рельсовые тормоза Текст.: монография. М.: Транспорт, 1979. - 104 с.

13. Мартыненко, Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях Текст.: монография М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-368 с.

14. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем Текст.: монография / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1967. - 520 с.

15. Львович, А.Ю. Электромеханические системы Текст.: учеб. пособие/ А.Ю. Львович. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. - 296 с.

16. Скубов, Д.Ю. Нелинейная электромеханика Текст.: монография / Д.Ю. Скубов, К.Ш. Ходжаев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 360 с.

17. Яворский, Б.М. Справочник по физике Текст.: 3-е изд., испр. / Б.М.Яворский, А.А. Детлаф. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -624 с.

18. Тормоза на постоянных магнитах для железнодорожного транспорта

19. Текст.: Fourth International Conference on unconventional electromechanical and electrical systems, St. Petersburg, Russia, June 21-24, 1999 / Б.С. Глаголев и др.]. Szczecin.: Technical University press, 1999. - vol. 2. - pp. 369-374.

20. Электропневматические тормоза Текст.: монография / Н. А. Албегов [и др.]. М.: Транспорт, 1970. - 224 с.

21. Иноземцев, В. Г. Автоматические тормоза Текст.: учебник для вузов ж.д. транспорта / В.Г. Иноземцев, В.М. Казаринов, В.Ф. Ясенцев. М.: Транспорт, 1981. - 464 с.

22. Волосов, В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем Текст.: монография. / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. — М.: Издательство Московского университета, 1971. 508 с.

23. Испытания магниторельсового тормоза на электропоезде "Сокол" Текст. / A.B. Казаринов [и др.]. // Вестник ВНИИЖТ. 2002. - №2. - С. 2428.

24. Эйлерс, Х.-Р. Потенциал и пределы возможностей колодочного тормоза Текст. / Х.-Р. Эйлере // Железные дороги мира. 2004. - №4. - С. 34-44.

25. Полетаев, А. А. Эксплуатация лифтов: Вопросы и ответы Текст.: справочник. / A.A. Полетаев. — М.: Стройиздат, 1991. — 197 с.