Трехчастичные электрон-дырочные комплексы в квантоворазмерных гетероструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Физико Технический институт им. А.Ф. Иоффе

Направахрукописи

СЕРГЕЕВ Ринат Александрович

ТРЕХЧАСТИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНЫЕ КОМПЛЕКСЫ В КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

Специальность:

01.04.10 - физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Физико-Техническом институте им. А.Ф. Иоффе РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, Роберт Арнольдович Сурис

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.Л. Ивченко доктор физико-математических наук, профессор А.И. Соколов

Ведущая организация: Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится " /О " июн.Я 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета К 002.205.01 Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021, Санкт-Петербург, Политехническая 26

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзывы об автореферате в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук С И. Бахолдин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Бурное развитие гетероструктур в последние десятилетия привело к тому, что удалось обнаружить большое количество физических объектов и явлений, которые ранее либо не изучались, либо рассматривались исключительно теоретически. Возможность встраивать в полупроводник потенциал практически любого профиля, причем с масштабом, характерным для проявления квантоворазмерных явлений, позволила создавать на практике искусственные объекты с заранее заданными, контролируемыми свойствами. Так, например, квантовая точка представляет собой, фактически, искусственный атом с системой уровней, которая задается размерами, формой квантовой точки и полупроводником, на основе которого она реализована.

Для того чтобы получить квантоворазмерную структуру в полупроводнике, необходимо создать ограничения на движение носителей заряда на масштабе длин, сравнимых с их характерными де-бройлевскими длинами волн. Качественно различными случаями здесь являются структуры, в которых движение носителей ограничено только в одном (квантовые ямы), двух (квантовые нити) или во всех трех (квантовые точки) направлениях.

Один из многочисленных эффектов, связанных с понижением размерности, это увеличение характерной энергии связи практически любых низкоразмерных электрон-дырочных систем по сравнению с их объемными аналогами. Это обусловлено тем, что электроны и дырки имеют меньше степеней свободы в такой структуре, чем в объемном полупроводнике, из-за того, что их движение ограничено в одном или нескольких направлениях. Это уменьшает их дополнительную кинетическую энергию, которая возникает при образовании системы. С другой стороны, связывающий потенциал системы, при наличии ограничения, как правило, возрастает, так как, из-за концентрации волновой функции в области квантоворазмерной структуры, усиливается кулоновское взаимодействие, и возрастает роль обменного взаимодействия (сильнее перекрываются волновые функции одинаковых частиц). Например,

энергия связи основного состояния двумерного экситона (связанные электрон и дырка, локализованные в пределах очень узкой квантовой ямы) в 4 раза выше, чем у соответствующего ему трехмерного аналога. Интерес вызывает также то, что при понижении размерности происходят не только количественные, но и качественные изменения свойств квантовомеханических систем. Классическим примером здесь является мелкая потенциальная яма, которая в случаях одного (Ш) или двух (2D) измерений всегда способна связать частицу, в то время как в объеме (3D) связанного состояния может и не быть [1]. Также, в качестве любопытного примера, можно привести взаимодействие атома водорода и электрона на больших расстояниях. Хорошо известно (см., например, [2]), что в 3D они притягиваются за счет эффекта поляризации атома, а также - не полного экранирования заряда ядра связанным электроном. Однако в 2D концентрация волновой функции электронов в плоскости приводит к "переэкранированию" заряда ядра (подробнее об этом в §6 4-й главы диссертации) и, как следствие, отталкиванию.

В связи с этими эффектами в область внимания исследователей попали системы, которые до развития квантоворазмерных гетероструктур представляли только теоретический интерес. Одним из таких новых объектов стали связанные трехчастичные электрон-дырочные комплексы — трионы или, как их еще

часто называют, заряженные экситоны. Из трехчастичного набора

\ / \ /

((ЭиХ ©*!

\ У ч '

X* триои

т, \

о- *

> V /' /

^.. _ •

___

Х~трион

Рис. 1. Качественное строение трехчастичных электрон-дырочных комплексов. В пределе т^>т„ X* триоя напоминает молекулу Н2*, а X" трион - ион 1Г.

электронов и дырок можно составить два различных варианта триона (см. Рис. 1): X-(2 электрона + дырка) и X+ (2 дырки + электрон).

Впервые квантовомеханическис системы, состоящие из двух одинаковых ферми-частиц и третьей, имеющей произвольную массу и противоположный знак заряда, попали в область интереса исследователей еще в двадцатые годы прошлого века. Так, ион Н- впервые был рассмотрен Бете в 1929 году (см., например, [3]). А на возможность существования в полупроводнике связанных многочастичных электрон-дырочных комплексов было указано Лампертом в 1958 году [4]. В отличие от иона Н- или молекулы Н + , особенность трио нов состоит в том, что отношение эффективных масс электрона и дырки, составляющих комплекс, не является малой величиной. Интересно то, что в разных полупроводниках возможно достижение различных значений отношения масс электрона и дырки, отчего структура и свойства X- (два электрона + дырка) и X+ (две дырки и электрон) комплексов могут качественно меняться от иона Н- или молекулы Н+ в одном пределе (при массе электрона « массы дырки) до иона позитрония в другом пределе (при равных массах электрона дырки). Заметим, что в последнем случае X- и X+ трионы фактически переходят один в другой при одновременном изменении знака заряда у электронов и дырок. Таким образом, исследуя трионы в материалах с различным отношением масс можно плавно перейти от аналога иона Н- до аналога молекулы Н2+, что представляет отдельный интерес.

В объемном полупроводнике энергия связи заряженных экситонов очень мала и составляет десятые доли мэВ, из-за чего экспериментальное изучение этих комплексов долгое время было сильно затруднено. Проведенные в 80-х годах теоретические расчеты (см., например, [5]) показали, что энергия связи триона в гетероструктуре с квантовой ямой может увеличиться почти на порядок по сравнению с ее значением в объеме. Относительно большая энергия связи, а также возможность избирательно и в широких пределах управлять условиями в квантовой яме (концентрациями электронов и дырок, экситонов, электрическими и магнитными полями), дали возможность впервые экспериментально увидеть и идентифицировать трион в такой гетероструктуре [&Г.

Трионы представляют собой важный промежуточный случай между многочастичными и одночастичными системами. В самом деле, с одной стороны, основную роль в образовании заряженных экситонов играют эффекты поляризации и обменного взаимодействия. С другой стороны, наличие всего трех частиц позволяет проводить исследование такой системы из первых принципов и рассчитывать все ее параметры с хорошей точностью. К тому же, небольшое количество частиц позволяет получить наглядное представление о строении заряженного экситона в каждой конкретной задаче, а также понять и проследить эволюцию его параметров при изменении какого-либо из внешних условий. При этом, маленькая энергия связи и, как следствие, большой размер трионов (от нескольких десятков до сотен ангстрем) могут также стать и их преимуществом. Это дает возможность в широких пределах управлять параметрами этих комплексов при помощи гетероструктур или не очень сильных магнитных полей. Действительно, в квантовой яме на основе GaAs шириной в 50 А, что не представляет никаких трудностей для современной технологии, трион можно считать практически двумерным, а полностью замагнитить этот комплекс, то есть сделать так, чтобы циклотронная энергия значительно превышала боровскую, можно уже в магнитных полях порядка 10 Тл. Для сравнения, для того, чтобы аналогичным образом "замагнитить" ион водорода Н- необходимы поля 105 Тл, а эффекты размерного квантования стали бы для него существенны только в гетероструктурах с характерной длиной локализации в что составляет менее одного периода решетки. Таким образом, трионы - это интересный объект для исследования, по которому уже накоплен значительный экспериментальный материал. В то же время они представляют собой удобную теоретическую модель, которая способствует наглядному пониманию строения систем с ограниченным количеством частиц.

В настоящее время - дм исследования трионов нередко применяются сложные вариационные методы, в которых используется до нескольких тысяч подгоночных параметров [7]. Такой подход позволяет с высокой точностью, значительно превышающей характерный разброс экспериментальных

значений, вычислить параметры этого комплекса в любом заданном внешнем потенциале. Однако при этом получаются исключительно громоздкие и трудные для понимания выражения для волновой функции триона, которые не позволяют ни почувствовать его строение, ни предсказать эволюцию его свойств при изменении какого-либо из параметров системы. Отсутствие компактного выражения для волновой функции также не позволяет использовать результаты расчетов в дальнейших исследованиях.

Целью настоящего исследования является применение и развитие простых и наглядных моделей для изучения качественного строения заряженных экситонов в различных гетероструктурах, а также для вычисления основных параметров этих комплексов с разумной точностью.

Задачи, поставленные и выполненные в рамках проведенного исследования:

1. Построить простую модель основного состояния идеально двумерного триона. Исследовать эволюцию его энергии связи и строения с изменением отношения масс электрона и дырки от иона трион, через ион позитрония до молекулы

2. Построить модель первого возбужденного (триплетного) состояния идеально двумерного X- триона в отсутствие магнитного поля. Исследовать порог разрушения этого состояния, который возникает при увеличении значения отношения масс электрона и дырки в пределах от молекулы до иона позитрония

3. Построить модель X- триона в квантовой яме конечной ширины. Исследовать эволюцию триона с изменением ширины ямы от объемного полупроводника к идеально двумерной квантовой яме. Оценить степень влияния отношения масс электрона и дырки и других параметров гетероструктуры на энергию связи триона.

4. Построить модель триона в системе из двух квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда. Исследовать эволюцию его энергии связи с ростом расстояния между ямами и с изменением отношения масс электрона и дырки.

Научная новизна полученных результатов:

1. Предложена новая пробная функция всего с 6-ю варьируемыми параметрами, которая позволяет единым образом и с хорошей точностью получить энергию связи основного состояния идеально двумерных Х- и X+ трионов во всем диапазоне отношений масс электрона и дырки в пределах от иона Н- до иона позитрония (Х- трион) и от иона позитрония до молекулы Н2+ ^трион).

2. Впервые получена зависимость энергии связи триплетного состояния идеально двумерного X+ триона от отношения масс электрона и дырки. Получена оценка на пороговое значение отношения масс, при котором происходит разрушение триплетного состояния.

3. Предложен простой универсальный способ оценки энергии связи X-триона в квантовой яме конечной ширины в различных гетероструктурах. Найдена возможность учесть зависимость энергии связи триона от отношения масс электрона и дырки и некоторых других параметров гетероструктуры.

4. Впервые получена зависимость энергии связи триона в системе из двух квантовых ям с электронами и дырками, разделенными в пространстве, от расстояния между ямами и от отношения масс электрона и дырки. Найдена область значений этих параметров, в которой связанное состояние триона существует.

Практическая ценность работы состоит в том, что в ней построены простые наглядные модели триона, которые позволяют получить качественное и

количественное представление об эволюции основного и возбужденного состояний этого комплекса с изменением отношения масс, ширины квантовой ямы или расстояния между ямами в случае системы с пространственно разделенным зарядом. В противовес сложным и громоздким теоретическим методам, в которых нередко используется до нескольких тысяч подгоночных параметров [7], развитый подход позволяет строить компактные вариационные функции с несколькими физически осмысленными параметрами, с помощью которых можно получить энергию системы с хорошей точностью. Результаты этой работы будут в первую очередь полезны исследователям, желающим в дополнение к оценке параметров триона получить наглядное представление о структуре этого комплекса.

Основные положения, выносимые на защиту;

1. Для того чтобы с хорошей точностью (5-10%) вычислить энергию связи двумерного экситона с электроном или дыркой при произвольном значении отношения масс электрона и дырки, достаточно учесть эффекты, связанные с обменным взаимодействием, поляризацией и, в случае X+ триона с тяжелыми дырками, локализацией дырок в эффективном потенциале электрона. Для этого достаточно использовать вариационную функцию всего с 6-ю параметрами. Для более грубой оценки энергии связи (~20%), но также применимой, при произвольном значении отношения масс, можно воспользоваться упрощенным вариантом вариационной функции всего с 4-мя параметрами.

2. В отсутствие магнитного поля возбужденными состояниями обладает только X+ трион и только в случае, если масса дырки значительно превышает массу электрона. По мере уменьшения отношения масс электрона и дырки энергия связи этих состояний уменьшается, и происходит их последовательное разрушение. Для модели идеальной двумерной квантовой ямы, последнее возбужденное состояние исчезает, если масса дырки становится меньше чем приблизительно 3 массы электрона.

3. Энергия связи Х- триона в квантовой яме, выраженная в энергиях 3-х мерного экситона, определяется главным образом длиной локализации электрона в этой квантовой яме и практически не зависит как от отношения масс электрона и дырки, так и от структуры потенциала ямы в направлении роста. В широком диапазоне значений ширины квантовой ямы эта энергия может быть описана одной универсальной зависимостью.-

4. Значения энергии связи трионов в узких квантовых ямах (шириной менее боровского радиуса экситона), полученные в моделях, учитывающих локализацию частиц потенциалом квантовой ямы только в одном из направлений, являются сильно (до 2-х раз) заниженными по сравнению с экспериментальными данными. Разница в энергиях может быть объяснена дополнительной локализацией трионов в плоскости ямы на шероховатостях ее границ.

5. Энергия связи электрон-дырочных комплексов из трех и более частиц в системе из двух квантовых ям с пространственным разделением электронов и дырок быстро убывает с ростом расстояния между ямами вплоть до полного разрушения этих систем. Уже при расстоянии между ямами всего в 1 боровский радиус энергия связи трионов убывает более чем на порядок по сравнению с ее значением в узкой одиночной квантовой яме, а более сложные электрон-дырочные комплексы вообще не имеют связанных состояний. Тем не менее, в пределе большой массы дырки по сравнению с массой электрона, связанное состояние X+ триона может существовать вплоть до расстояний между ямами в 30-40 боровских радиусов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах и конкурсах молодых ученых ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, на мини-конференции по физике трионов (Берлин, 2001), на международных конференциях: "Оптические свойства 2D систем с взаимодействующими электронами" (С.Петербург, 2002), "Наноструктуры: Физика и Технология" (С.-Петербург, 2001

и 2003), и на V и VI Российских конференциях по физике полупроводников (Н. Новгород, 2001 и С.-Петербург, 2003).

По результатам исследований, составляющих содержание диссертации, опубликовано 8 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 104 страницы, включая 16 рисунков и одну таблицу. Список литературы содержит 62 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении изложена история вопроса, обоснована актуальность исследований, сформулированы цель и научная новизна работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту, а также кратки изложено содержание диссертации.

Первая глава. "Основное состояние идеально двумерного триона". Данная глава посвящена исследованию эволюции основного состояния X- и X+ трионов при изменении отношения масс электрона и дырки в приближении идеально двумерной квантовой ямы. Введение к первой главе представляет собой литературный обзор исследований по данной теме. В нем также обсуждается возможность создания двумерных трионов, а также особенности этих комплексов, которые делают их любопытными объектами для исследований.

Во втором параграфе рассматриваются модели триона, соответствующие предельным случаям иона Н- и молекулы Н2+, и простейшие волновые функции, способные правильно описывать эти системы. Качественно можно рассмотреть две модели триона:

1. Предел Н- - модель тяжелого ядра, около которого, сильно экранируя друг друга, локализованы два легких электрона. В этой модели трион хорошо описывается двумерным аналогом вариационной функции, предложенной Чандрасекаром [8]:

¥(/■,,г,) = (ехр(-аг, -Ьгг) + ехр(-£г, ~агг)){\+с\г, -/•,[) (1)

Она состоит из симметризованной экситоноподобной части с различными радиусами орбит электронов и поляризационного множителя. Величины Г3 - 2Б - вектора от ядра к электронам. Вариационные параметры а и Ь -имеют смысл радиусов орбит двух электронов, а параметр с - обеспечивает рост волновой функции при увеличении расстояния между электронами, то есть, учитывает поляризационные эффекты. 2. Предел Н2+ - модель молекулы, то есть двух тяжелых ядер и электрона, находящегося на связывающей орбитали. В основном состоянии эта система хорошо описывается волновой функцией вида:

^(О.оМехрС-аг.Э + ехрС-аг,))!^, -г,|), (2)

состоящей из суммы двух водородоподобных волновых функций, умноженной на волновую функцию относительного движения ядер

где

В третьем параграфе составлена общая модель двумерных X- и X+ трионов. На ее основе сконструирована простая единая вариационная функция, которая позволяет получить энергию связи этих комплексов с хорошей точностью при любом значении отношения масс электрона и дырки.

"Хорошую" функцию для описания основного состояния обоих трионов, при любых массах составляющих их частиц будем строить - следующим образом.

1. Приблизительно разобьем весь диапазон отношений масс на два интервала, в каждом из которых трион можно описывать относительно простыми,

приведенными выше, моделями. Иначе говоря, мы будем считать, что при любом отношении масс электрона и дырки, трион имеет волновую функцию по структуре либо близкую к иону Н- (две частицы "вращаются" вокруг одной), либо аналогичную молекуле Н2+ (одна частица связывает две другие). Причем условное деление на эти две области вовсе не соответствует делению трионов на X- и X+ трионы. Можно показать, что условная граница проходит в области X+ комплекса при отношениях масс <т~ 0.1+0.3.

2. В рамках каждой модели, выберем простейшую, с минимальным количеством варьируемых параметров, волновую функцию, хорошо описывающую трион в этом- приближении. В качестве дополнительного условия - волновые функции триона, соответствующие разным моделям должны иметь максимально схожую между собой структуру и максимально большое количество вариационных параметров одной волновой функции должно использоваться в другой. Такими волновыми функциями являются предложенные выше функции (1) и (2). Легко заметить, что безполяризационная часть волновой функции (1)

структурно соответствует электронной части функции (2) и наоборот, часть функции (2),

отвечающая за относительное движение ядер в (2) соответствует поляризационному члену в

3. Искомую пробную функцию получим объединением выбранных в предыдущем пункте двух волновых функций. Причем, схожесть структуры выбранных волновых функций позволяет уменьшить суммарное количество варьируемых параметров в итоговой функции.

Приведенная ниже пробная вариационная функция как раз и представляет

собой искомый продукт объединения вышеприведенных функций (1) и (2):

1 + сЯ

^{г„г3) = (ехр(-а г, - Ъ г,) + ехр(-6 г, - а гг)) ехр(-* Л)

1 + а

где г}\; а, Ь, с, ¡1, Я0, 4 - вариационные параметры. Хорошую

оценку на энергию связи триона при произвольном отношении позволяет получить и упрошенный вариант этой функции всего с 4-мя варьируемыми параметрами:

(4)

В четвертом параграфе с помощью пробных функций (3) и (4) получена зависимость энергии связи триона во всем диапазоне отношений масс и проведено сравнение полученных результатов с более точными расчетами, в которых использовались громоздкие методы с большим количеством подгоночных параметров (см. Рис. 2). Получена оценка вклада колебательной степени свободы дырок в энергию связи триона. Оказывается, что из полуэмпирических соображений можно получить следующую формулу на

Е /Е

/Г «X

0,4

'ах

0,3

о Л 0,1 0,0

[Ч -функция (3) с 6-ю параметрами — — - функция (4) с 4-мя параметрами

\\ - ^ч. ^__Х+ трион

Н" " У " .................

N.. X трион 1 1 .1 . 1 . 1.^.1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0.

о-т /ти

€ Л

Рис. 2. Зависимость энергии связи двумерных X* и Х~ трионов (в единицах энергии связи двумерного экситона) от отношения масс электрона и дырки.

отношение энергии связи двумерных X+ триона и экситона в пределе С—> 0:

которая, как оказалось, обладает очень высокой точностью при отношениях масс а й 0.1.

В пятом параграфе обобщены результаты главы.

Вторая глава. "Триплетное состояние идеально двумерного X+ триона". Глава посвящена исследованию возбужденных состояний двумерного X триона и в первую очередь - самого нижнего из них, триплетного состояния. Введение ко второй главе представляет собой литературный обзор исследований по данной теме. Хорошо известно, что как у трехмерного иона водорода Н-, так и у его двумерного аналога, есть только одно связанное состояние. Также очевидно, что молекула водорода Н2+ обладает множеством связанных состояний вследствие наличия в этой системе двух тяжелых частиц. По своему строению X и X- трионы представляют собой промежуточный объект между Н+ и Н2+, и поэтому ожидается, что все их свойства должны плавно меняться от одного предела к другому с изменением отношения масс электрона и дырки . Таким образом, должно существовать набор

критических значений отношения масс при которых происходит

последовательное разрушение возбужденных состояний триона вплоть до момента, когда у комплекса остается только одно связанное состояние.

Во втором параграфе обсуждается первое возбужденное состояние X триона и составляется его вариационная функция. Известно, что в предельном случае молекулы Н2+, этим состоянием является триплетное состояние с полным угловым моментом В адиабатическом приближении волновая

функция триплетного состояния триона может быть представлена в виде произведения функции электрона с фиксированным Я и функции дырок:

Здесь, р = ^ (тг + Гг) является вектором от электрона к центру масс дырок. В отличие от синглетного состояния, функция (6) должна' быть антисимметричной по отношению к перестановке дырок местами, что соответствует замене К на -К. Однако электрон заметно легче дырки, следовательно, для достижения возбужденного состояния дырок в эффективном потенциале электрона требуется меньшая энергия, чем для возбуждения электрона в потенциале неподвижных дырок. Таким образом, волновая функция электрона- в правой части выражения (6) остается симметричной, а дырок - меняется на антисимметричную. Однако вследствие изотропии системы единственная возможность для функции быть

антисимметричной - это обладать нечетным угловым моментом. Исходя из этих предположений и по аналогии с функцией основного состояния (3), мы выберем простую пробную функцию триплетного состояния следующим образом:

= (ехр(-ят;-6г2)+ехр(-6г, -сг2)) ехр(-«^), (7)

где а, Ь, й, К,п s есть вариационные параметры; 0К обозначает угол между вектором К и каким-то заранее выбранным направлением. С помощью функции (7) получена зависимость энергии связи этого состояния от отношения масс и определено критическое значение этого отношения, при котором происходит исчезновение данного состояния.

В третьем параграфе с помощью адиабатического приближения [9] получена еще одна оценка для значения критического отношения масс для первого возбужденного состояния X+ триона. Зависимости энергии связи триплетного состояния от отношения масс , полученные с помощью функции (7) и в адиабатическом приближении показаны на Рис. 3.

В четвертом параграфе проведено аналитическое исследование поведения энергии триплетного состояния триона вблизи критического значения. В

неявном виде энергия связи триплетного состояния в области выражается следующим образом:

/ \ 1 1

(8)

Здесь некоторые коэффициенты, которые можно аналитически

выразить через адиабатический потенциал, связывающий дырки в трионе. Сравнивая (8) с результатами вариационного исследования, можно получить следующие численные оценки на эти параметры:

< V* >.» 0.584, < « 0.609. (9)

Это позволило уточнить диапазон возможных значений критического отношения масс, полученный во втором и третьем параграфах, при котором происходит разрушение триплетного состояния:

(10)35 <с{г< 0.39.

В пятом параграфе обсуждается поведение прочих возбужденных состояний как двумерного, так и объемного Х+ триона вблизи соответствующих критических значений отношения масс электрона и дырки. Несложно получить, что энергия связи возбужденных состояний двумерного триона с моментом ¿>1, а также - объемного триона с орбитальным моментом ¿¡>1, линейным образом зависит от отношения масс при

где < \>1* >„ - некоторый коэффициент, который зависит от конкретной формы адиабатического потенциала, связывающего дырки в трионе.

В шестом параграфе обобщены результаты главы.

Третья глава. "X- трион в квантовой яме конечной ширины". Цель главы состоит в том, чтобы разработать простую универсальную модель, которая позволяет оценить энергию связи отрицательно заряженного экситона в полупроводниковой квантовой яме произвольной ширины. Введение к третьей главе представляет собой литературный обзор исследований по данной теме.

Во втором параграфе обсуждаются и обобщаются экспериментальные данные измерений энергии связи Х- триона (Ег) в различных полупроводниковых гетероструктурах с квантовой ямой. Оказывается, что независимо отобранные экспериментальные данные для ОаЛй, СЭТе и 2п$е квантовых ям с хорошей точностью могут быть описаны всего одной универсальной зависимостью в координатах -

энергия и радиус объемного экситона в материале квантовой ямы, Ьх — ширина квантовой ямы (см. Рис.4). Это свидетельствует о том, что при заданном значении ширины квантовой ямы, энергия связи триона определяется главным образом Боровскими величинами, а влияние всех остальных параметров

системы, в том числе, отношения масс электрона и дырки или условий на границе квантовой ямы, относительно мало.

В третьем параграфе строится простая модель X- триона в квантовой яме и вариационным методом находится универсальная зависимость энергии связи триона от эффективной ширины ямы. Требование универсальности значительно упрощает задачу, так как мы можем рассматривать только те параметры системы, которые могут быть прямо выражены через энергию, радиус экситона и ширину квантовой ямы. Влияние остальных параметров можно считать малым и рассматривать отдельно как возмущение. Это позволяет считать высоту барьеров квантовой ямы равной бесконечности, а также выбрать для расчета какое-то одно, фиксированное, значение отношения масс электрона и дырки (<г). Наиболее простым для исследования является О" = 0. Простейшей пробной функцией, которая позволяет получить энергию связи X- триона с бесконечно тяжелой дыркой при произвольной ширине квантовой ямы является аналог функции Чандрасекара [8] со всего 3-мя варьируемыми параметрами:

ЧЛЪЛ) = А (ехр(-л г,-Ь г2)+ехр(-6 гх-а гг)) •

Здесь г, и г, - трехмерные вектора, соединяющие дырку с электронами, и - их проекции на направление роста. 2„(2,Ьг) есть волновая функция основного состояния квантовой ямы. А - нормировочный множитель, а, Ъ и с - вариационные параметры.

В четвертом параграфе исследуется степень влияния отношения масс на энергию связи экситона и X- триона в такой структуре. Оказывается, что энергия связи как экситона, так и триона практически не зависит от отношения масс при и имеет очень слабую зависимость при

Заметное увеличение энергии связи комплексов возникает только в случае невероятно большой массы у дырки так как, в этом случае,

электрон-дырочное взаимодействие приводит к сильной локализации дырки в

центре квантовой ямы. Можно также показать, что в значительном диапазоне значений ширины квантовой ямы выполняется:

^.„(^ = »"^.„(■^¿,,<7 = 0), (13)

то есть, энергию связи триона или экситона со значением отношения масс сг е [0.1,1] в квантовой яме шириной Ьх можно с хорошей точностью оценить, зная значение этой энергии при в квантовой яме шириной

вычислить которую несравненно проще. Найденная в §3 зависимость Е„ ( ¿,, <г = 0) и из оценки (13) зависимость Е„ (Ьш = 1) , которые фактически определяют диапазон, в котором меняется энергия связи триона при различных значениях отношения масс, также показаны на Рис. 4.

В пятом параграфе обсуждается степень применимости используемой модели триона, и рассматриваются поправки к его энергии связи, обусловленные упрощениями модели. Рассмотрены поправки, вызванные локализацией носителей в плоскости ямы, поля-ронным эффектом, асимметрией квантовой ямы и влиянием граничных условий квантовой ямы, которое может выражаться в анизотропии приведенной массы, скачке диэлектрической проницаемости на барьерах и различию в длинах локализации электронов и дырок в направлении роста гетероструктуры.

В шестом параграфе обобщены результаты главы.

Четвертая глава. "Электрон-дырочные комплексы в системе с пространственным разделением носителей". Цель главы состоит в том, чтобы проследить за эволюцией X+ и X- тритонов, а также - биэкситона, с изменением расстояния между двумя квантовыми ямами, одна из которых содержит электроны, а вторая - дырки. Введение к четвертой главе представляет собой литературный обзор исследований по данной теме. Во втором параграфе обсуждается простая модель пространственно непрямого экситона в системе из двух бесконечно узких квантовых ям и проводится исследование его энергии и волновой функции в зависимости от расстояния между ямами (й).

В третьем параграфе построена наглядная вариационная функция X+ триона с бесконечно тяжелыми дырками в системе из двух бесконечно узких квантовых ям и проведено исследование эволюции энергии этого комплекса в зависимости от й. Пробную функцию для электрона в потенциале двух неподвижных дырок можно искать в виде суммы двух экситоноподобных экспонент связанных с каждой из дырок и сдвинутых друг к другу в меру поляризационного эффекта:

Здесь р - проекция на плоскость ямы радиус-вектора электрона от центра масс дырок, К - 2Э вектор от одной дырки к другой, й - расстояние между квантовыми ямами, параметр определяет степень локализации электрона в потенциале дырок, а с - учитывает поляризацию.

В четвертом параграфе анализируется эволюция. строения X+ триона с бесконечно тяжелыми дырками с изменением расстояния между ямами й. Обсуждаются особенности X+ триона, которые позволяют ему оставаться связанным при неожиданно больших расстояниях между ямами (согласно полученной оценке, окончательное разрушение такого триона наступает только при расстоянии между ямами боровских радиусов), а также - следы

связанного состояния в

области <!>(1СГ, которые заключаются в существовании соответствующего резонансного состояния в этой области.

В пятом параграфе показана эволюция эффективного потенциала, связывающего дырки в X+ трионе, с изменением расстояния между ямами и, в адиабатическом приближении, получена серия зависимостей энергии связи непрямого триона от отношения масс электрона и дырки для различных значений ё.

В шестом параграфе исследуется эволюция энергий связи X- триона и биэкситона с изменением расстояния между ямами. Полученные в приближении бесконечной массы дырки зависимости энергии связи Х+ и Х-трионов и биэкситона от расстояния между ямами ё показаны на Рис. 5.

В седьмом параграфе получены некоторые оценки энергии связи X+ триона в различных материалах.

В восьмом параграфе обобщены результаты главы.

В Заключении обобщены основные результаты работы:

1. Построена простая и наглядная модельная вариационная функция, которая позволяет всего с помощью 6-и варьируемых параметров качественно правильно описать любой двумерный Х+ или Х- трион включая предельные случаи двумерных иона Н- или молекулы Н2+.

2. Получена зависимость энергии триплетного состояния двумерного X+ триона от отношения масс электрона и дырки в отсутствие магнитного поля. Определено критическое значение отношения масс, при котором это состояние превращается в резонансное.

3. Аналитически выведены зависимости энергии от отношения масс (сХ = 1Ие/л)|1) для всех возбужденных состояний X+ триона вблизи соответствующих критических значений

4. Построена простая вариационная функция, которая позволяет с хорошей точностью получить энергию связи X- триона в квантовой яме произвольной ширины. Прослежена эволюция энергии связи X- триона с шириной квантовой ямы в пределах от идеально двумерной ямы до объемного полупроводника.

5. Доказан универсальный характер зависимости энергии связи X- триона от ширины квантовой ямы. В частности, показано, что энергия связи практически не зависит как от отношения масс электрона и дырки, так и от конкретной формы потенциала квантовой ямы.

6. Предложена простая вариационная функция, которая позволяет сосчитать энергию основного состояния X+ триона с тяжелыми дырками в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда. Получена зависимость энергии связи такого триона от расстояния между ямами и найден порог разрушения связанного состояния при больших расстояниях между ямами.

7. Показана эволюция эффективного потенциала, связывающего дырки в Х+ трионе с изменением расстояния между ямами в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда. В адиабатическом приближении, получена серия зависимостей энергии связи этого триона от отношения масс электрона и дырки.

8. На примерах Х- триона и биэкситона показано быстрое уменьшение энергии связи с последующим разрушением связанного состояния всех электрон-дырочных систем с двумя и более электронами при увеличении расстояния между ямами в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда.

ПУБЛИКАЦИИ

[А1] Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис, Энергия основного состояния X- и X+ трионов в двумерной квантовой яме при произвольном отношении масс, ФТТ 43, 714-718(2001)

[А2] R.A. Sergeev, R.A. Suns, Singlet and triplet states of X- and X+ trions in a 2D quantum well, Proc. of 9th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", 566-569, St.-Petersburg, Russia, 2001

[A3] R.A. Sergeev, R.A. Suris, Singlet and triplet states of X+ and XT trions in 2D quantum wells, Nanotechnology 12,597-601 (2001)

[A4] R.A. Sergeev, R.A. Suris, The triplet state of X+ trion in 2D quantum wells, Phys. Stat. Sol. (b) 227,387-396 (2001)

[A5] R.A. Sergeev, R.A. Suris, The heavy-hole X+ trion in double quantum wells, "Optical properties of 2D systems with interacting electrons", NATO SCIENCE SERIES: II: Mathematics, Physics and Chemistry 119, 279-288 (2003)

[A6] R.A. Sergeev, R.A. Suris, X+ trion in double quantum wells in adiabatic approximation, Proc. of 11th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", 263-264, St.-Petersburg, Russia, 2003

[A7] P.A. Сергеев, Р.А. Сурис, Х+ трион в системе с пространственным разделением носителей заряда, ФТП 37,1235-1240 (2003)

[А8] R.A. Sergeev, R.A. Suris, G.V. Astakhov, W. Ossau, D.R Yakovlev, Universal estimation of X- trion binding energy in semiconductor quantum wells, отправлена в Phys. Rev. B, 8 страниц (2004)

Список литературы

[1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика, Москва, Наука, 1963, §45.

[2] В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике, Москва, Наука, 1992, Гл. 9, §4, задача 11.49.

[3] Н.А. Bethe, E.E. Salpeter. Quantum mechanics of one- and two- electron atoms. Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, (1957).

[4] MA Lampert. Phys. Rev. Lett. 1,12,450 (1958).

[5] B. Stebe, A. Ainane, Superlatt. Microstruct 5,4,545 (1989).

[6] K.Kheng, R.T. Cox, Y.M. d'Aubigne, F.Bassani, K. Saminadayar, S. Tatarenko, Phys. Rev. Lett. 71,1752 (1993).

[7] K. Varga, Y. Suzuki. Phys. Rev. A 53,3,1907 (1996).

[8] S. Chandrasekhar, Astrophys. J. 100,176 (1944).

[9] M. Born, GSttinger Nachr. math. phys. Klasse 1 (1951).

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97.

Подписано в печать 26. О4, 2004 Объем в п.л. 1,5 Тираж 100. Заказ 221.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СПбГПУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Отпечатано на ризографе КЫ-2000 ЕР Поставщик оборудования— фирма "Р-ПРИНТ" Телефон: (812) 110-65-09 Факс: (812) 315-23-04

»-86 39

Введение.

Глава 1 Основное состояние идеально двумерного триона.

§ 1 Введение.

§2 Модели и волновая функция триона.

§3 Основное состояние Х^иХ" трионов.

§4 Результаты расчета и обсуждение.

§2 Вариационное исследование триплетного состояния триона.33

§3 Адиабатическое исследование триплетного состояния триона.37

§4 Аналитическое исследование критической области отношения масс.42

§5 Прочие возбужденные состояния X* триона.47

§6 Заключение ко второй главе.49

Глава 3 Х~ трион в квантовой яме конечной ширины.50 j,

§1 Введение.50

§2 Экспериментальные результаты.г.52

§3 Трион в приближении бесконечно тяжелой дырки.56

§4 Роль отношения масс в рамках простой модели экситона и триона в квантовой яме.60 i

§5 Поправки к энергии связи триона и обсуждение результатов.65

§6 Заключение к третьей главе.70

Глава 4 Электрон-дырочные комплексы в системе с пространственным разделением носителей.71

§1 Введение.71

§2 Волновая функция пространственно-непрямого экситона.74

Выводы:

В результате проведенных исследований удалось подобрать простые и компактные вариационные функции с очень небольшим количеством подгоночных параметров, которые позволяют не только качественно, но и с хорошей точностью получить энергии связи трехчастичных электрон-дырочных комплексов в различных гетероструктурах, а также - предсказать некоторые из их свойств. Такой подход позволил получить наглядное представление о структуре заряженных экситонов, а также - проследить и показать эволюцию их строения и свойств при изменении какого-либо из параметров гетероструктуры. Так, именно благодаря правильно подобранным вариационным функциям, учитывающим все предполагаемые особенности строения электрон-дырочных комплексов, удалось единым образом плавно проследить эволюцию заряженных экситонов с изменением отношения масс электрона и дырки, ширины квантовой ямы и разделения носителей заряда в пространстве в самом широком диапазоне значений этих параметров включая даже их гипотетические предельные случаи.

Публикации

1. Статьи

Al] Р.А. Сергеев, Р.А. Сурис, Энергия основного состояния ХГ и Х+ трионов в двумерной квантовой яме при произвольном отношении масс, ФТТ 43, 714-718 (2001)

А2] R.A. Sergeev, R.A. Suris, Singlet and triplet states of X+ and X trions in 2D quantum wells, Nanotechnology 12, 597-601 (2001)

A3] R.A. Sergeev, R.A. Suris, The triplet state of X+ trion in 2D quantum wells, Phys. Stat. Sol. (b) 227, 387-396 (2001)

A4] R.A. Sergeev, R.A. Suris, The heavy-hole X4" trion in double quantum wells, "Optical properties of 2D systems with interacting electrons", NATO SCIENCE SERIES: II: Mathematics, Physics and Chemistry 119,279-288 (2003)

A5] P.A. Сергеев, P.A. Сурис, X1" трион в системе с пространственным разделением носителей заряда, ФТП 37,1235-1240 (2003)

А6] R.A. Sergeev, R.A. Suris, G.V. Astakhov, W. Ossau, D.R. Yakovlev, Universal estimation of X- trion binding energy in semiconductor quantum wells, отправлена в Phys. Rev. B, 8 страниц (2004)

2. Тезисы конференций

А7] Р.А. Сергеев, РА. Сурис, Трионы и другие многочастичные электрон-дырочные комплексы в квантовой яме, материалы конференции "XXVIII неделя науки СПбГТУ", Санкт-Петербург, 111 (1999) (устный доклад).

А8] Р.А. Сергеев, Трехчастичные электрон-дырочные комплексы в квантовой яме, тезисы Международной Зимней Школы по Физике Полупроводников, сессия молодых ученых, Зеленогорск, 16 (2000) (устный доклад)

А9] R.A. Sergeev, R.A. Suris, Simple calculations of singlet and triplet state energies of X+ and X~ trions in a 2D quantum well, Proc. of Mini Workshop on Trion Physics, Berlin, P7 (2001) (стендовый доклад)

A10] R.A. Sergeev, R.A. Suris, Singlet and triplet states of X+ and X~ trions in a 2D quantum well, Proc. of 9th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", St.-Petersburg, 566-569 (2001) (стендовый доклад) r [A11] P.А. Сергеев, P.А. Сурис, Простой расчет энергии синглетного и триплетного состояний X* и ХГ трионов в квантовой яме, тезисы V Российской Конференции по Физике Полупроводников, Нижний Новгород, 318 (2001) (стендовый доклад)

А 12] R.A. Sergeev, R.A. Suris, The heavy-hole X1" trion in coupled double quantum wells, Proc. of NATO Advanced Research Workshop "Optical Properties of 2D Systems with Interacting Electron", St.-Petersburg, 42 (2002) (стендовый доклад)

A13] R.A. Sergeev, R.A. Suris, X1" trion in double quantum wells in adiabatic approximation, Proc. of 11th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology", St.-Petersburg, 263-264 (2003) (стендовый доклад)

A14] P.A. Сергеев, P.A. Сурис, X+ трион в системе с пространственным разделением носителей заряда, тезисы VI Российской Конференции по Физике Полупроводников, Санкт-Петербург, 75 (2003) (устный доклад)

Заключение

В рамках диссертационных исследований получены следующие основные результаты:

1. Построена простая и наглядная модельная вариационная функция, которая позволяет всего с помощью 6-и варьируемых параметров качественно правильно описать любой двумерный Х+ или X" трион включая предельные случаи двумерных иона Н или молекулы Нг+.

2. Получена зависимость энергии триплетного состояния двумерного Х+ триона от отношения масс электрона и дырки в отсутствие магнитного поля. Определено критическое значение отношения масс, при котором это состояние превращается в резонансное.

3. Аналитически выведены зависимости энергии от отношения масс (сг = me/mh) для всех возбужденных состояний Х+ триона вблизи соответствующих критических значений сг.

4. Построена простая вариационная функция, которая позволяет с хорошей точностью получить энергию связи X" триона в квантовой яме произвольной ширины. Прослежена эволюция энергии связи Х~ триона с шириной квантовой ямы в пределах от идеально двумерной ямы до объемного полупроводника.

5. Доказан универсальный характер зависимости энергии связи Х- триона от ширины квантовой ямы. В частности, показано, что энергия связи практически не зависит как от отношения масс электрона и дырки, так и от конкретной формы потенциала квантовой ямы.

6. Предложена простая вариационная функция, которая позволяет сосчитать энергию основного состояния X* триона с тяжелыми дырками в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей зарада. Получена зависимость энергии связи такого триона от расстояния между ямами и найден порог разрушения связанного состояния при больших расстояниях между ямами.

7. Показана эволюция эффективного потенциала, связывающего дырки в Х+ трионе с изменением расстояния между ямами в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда. В адиабатическом приближении, получена серия зависимостей энергии связи этого триона от отношения масс электрона и дырки.

8. На примерах X триона и биэкситона показано быстрое уменьшение энергии связи с последующим разрушением связанного состояния всех электрон-дырочных систем с двумя и более электронами при увеличении расстояния между ямами в системе из двух узких квантовых ям с пространственным разделением носителей заряда.

1. Е.А. Hylleraas. Z. Phys. 54,347 (1929).

2. H.A. Bethe. Z. Phys. 57, 815 (1929).

3. E.A. Hylleraas. Z. Phys. 63, 771 (1930).

4. E.A. Hylleraas. Z. Phys. 63,291 (1930).

5. L.R. Henrich. Astrophys. J. 99, 59 (1944).

6. E.A. Hylleraas, J. Midtdal. Phys. Rev. 103, 829 (1956).

7. S. Chandrasekhar. Astrophys. J. 100,176 (1944).

8. M. A. Lampert. Phys. Rev. Lett. 1,12,450 (1958).

9. B. Stebe, C. Comte, Phys. Rev. В 15, 8, 3967 (1977).

10. R. Schilling, D.C. Mattis, Phys. Rev. Lett. 49,11, 808 11] (1982).

11. B. Stebe, A. Ainane, Superlatt. Microstruct. 5,4, 545 (1989).

12. K. Kheng, R.T. Cox, Y.M. d'Aubigne, F. Bassani, K. Saminadayar, S. Tatarenko , Phys. Rev. Lett. 71, 1752 (1993).

13. G. Finkelstein, H. Shtrikman, and I. Bar-Joseph, Phys. Rev. Lett. 74, 976 (1995).

14. AJ. Shields, J.L. Osborne, M.Y. Simmons, M. Pepper, and D.A. Ritchie, Phys. Rev. В 52, R5523 (1995).

15. G.V.Astakhov, D.R.Yakovlev, V.P.Kochereshko, W.Ossau, J.Nurnberger, W.Faschinger, and G.Landwehr, Phys. Rev. В 60, R8485 (1999).

16. A. Thilagam. Phys. Rev. В 55,12,7804 (1996).

17. К. Varga, Y. Suzuki. Phys. Rev. A 53, 3,1907 (1996).

18. Y.K. Ho. Phys. Rev. A 48, 6, 4780 (1993).

19. N.P. Sandler, C.R. Proetto. Phys. Rev. В 46,12, 7707 (1992).

20. В. Stebe, G. Munschy, L. Stauffer, F. Dujardin, J. Murat. Phys. Rev. В 56, 19, 12454 (1997).

21. С. Riva, F.M. Peeters, K. Varga. Phys. Status. Solidi A178,1, 513 (2000).

22. B. Stebe, E. Feddi, G. Munschy. Phys. Rev. В 35, 9, 4331 (1987).

23. В. Stebe, A. Ainane, F. Dujardin. J. Phys-condens mat. 8, 29, 5383 (1996).

24. J.J. Quinn, A. Wojs, I. Szlufarska, K. S. Yi. Phys. Rev. В 60,16,11273 (1999).

25. A.B. Dzyubenko. Solid State Comm. 113,12,683 (2000).

26. G.V. Astakhov, D.R. Yakovlev, V.P. Kochereshko, W. Ossau, W. Faschinger, J. Puis, F. Henneberger, S.A. Crooker, Q. McCulloch, D. Wolverson, N.A. Gippius, A. Waag, Phys. Rev В 65, 16,165335 (2002).

27. H.A. Bethe, E.E. Salpeter. Quantum mechanics of one- and two- electron atoms. Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, (1957).

28. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика, Наука, М. (1974), задачи к §81,82.

29. К. Varga. Phys. Rev. В 57,20 13305 (1998).

30. A. Thilagam. Phys. Rev. В 57, 20,13307 (1998).

31. R.N. Hill, Phys. Rev. Lett. 38,643 (1977).

32. A.M. Фролов, ЖЭТФ 92, 1959 (1987).

33. D.M. Larsen, S.Y. McCann, Phys. Rev. В 45, 3485 (1992).

34. M. Born, Gottinger Nachr. math. phys. Klasse 1 (1951).

35. C. Riva, F.M. Peeters, K. Varga, Phys. Rev. В 61,13873 (2000).

36. L.C.O. Dacal, J.A. Brum, Phys. Rev. В 65,115324 (2002).

37. A.V. Filinov, M. Bonitz, Yu.E. Lozovik, Phys. Stat. Sol. (c) 0,1441 (2003).

38. I.N. Yassievish, V.M. Chistyakov, V.P. Kochereshko, K. Kheng, R.T. Cox, Proc. of 24 Int. Conf. Physics of Semiconductors, Jerusalem, Israel 1998, (World Scientific, Singapore 1999), Ed. by D. Gershoni, published on CD

39. J.M. Shi, F.M. Peeters, G.A. Farias, J.A.K. Freire, G.Q.Hai, J.T. Devreese, S. Bednarek, J. Adamowski, Phys. Rev. В 57, 3900 (1998).

40. I.D. Mikhailov, F.J. Betankur, E.A. Escorcia, J. Sierra-Ortega, Phys. Stat. Sol. (b) 234, 590 (2002).

41. V. Huard, R.T. Cox, K. Saminadayar, A. Arnoult, S. Tatarenko, Physical Review Letters 84,187 (2000).

42. O. Homburg, K. Sebald, P. Michler, J. Gutowski, H. Wenisch, D. Hommel, Phys. Rev. В 62, 7413 (2000).

43. Т. Wojtowicz, M. Kutrowski, G. Karczewski, J. Kossut, Acta Physica Polonica A 94, 199 (1998).

44. V.P. Kochereshko, G.V. Astakhov, D.R. Yakovlev, W. Ossau, G. Landwehr, T. Wojtowicz, G. Karczewski, J. Kossut, Phys. Stat. Sol. (b) 220, 345 (2000).

45. K. Kheng, K. Saminadayar, N. Magnea, J. Crys. Growth 184/185, 849 (1998).

46. Z.C. Yan, E. Goovaerts, C. Van Hoof, A. Bouwen, G. Borghs, Phys. Rev. В 52, 5907 (1995).

47. R. Kaur, A.J. Shields, J.L. Osborne, M.Y. Simmons, D.A. Ritchie, M. Pepper, Phys. Stat. Sol. (a) 178, 465 (2000).

48. G. Finkelstein, H. Shtrikman, I. Bar-Joseph, Phys. Rev. В 53, R1709 (1996).

49. A.J. Shields, M. Pepper, D.A. Ritchie, M.Y. Simmons, G.A. C.Jones, Phys. Rev. В 51, 18049(1995).

50. A. Esser, E. Runge, R. Zimmermann, W. Langbein Phys. Rev. В 62, 8232 (2000).

51. N.S. Rytova, Sov. Phys. Dokl. 10, 754 (1966).

52. L.V. Keldysh, JETP Lett. 29, 658 (1979).

53. D.B.T. Thoai, R. Zimmermann, M. Grandmaim, D. Bimberg, Phys. Rev. В 42, 5906 (1990).

54. J. Usukura, Y. Suzuki, K. Varga, Phys. Rev. В 59, 9, 5652 (1999).

55. В. Stebe, A. Moradi, F. Dujardin, Phys. Rev. В 61, 11, 7231 (2000).

56. M.M. Dignam, J.E. Sipe, Phys. Rev. В 43, 4084 (1991)

57. F.M. Peeters, J.E. Golub, Phys. Rev. В 43, 5159 (1991)

58. E. Binder, T. Kuhn, G. Mahler, Phys. Rev. В 50,18319 (1994)

59. P. Bigenwald, B. Gil, Phys. Rev. В 51, 9780 (1995)

60. A.J. Shields, J.L. Osborne, D.M. Whittaker, М.У. Simmons, M. Pepper, D.A. Ritchie Phys. Rev. В 55,1318(1997)

61. V.B. Timofeev, A.V. Larionov, M.G. Alessi, M. Capizzi, A. Frova, J.M. Hvam, Phys. Rev. В 60, 8897 (1999)

62. B.M. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике, Москва, Наука, 1992, Гл. 9, §4, задача 11.49.